CN112711869A - 一种计算地震作用下均质边坡动力极限荷载的拟静力法 - Google Patents

Abstract

本发明提供了一种计算地震作用下均质边坡动力极限荷载的拟静力法，其特点是，首先设定坡顶荷载变化值；然后根据地震作用应力平衡方程组和摩尔库伦准则应力表达式，应用特征线法推导滑移线场两族特征线微分方程组，根据地震作用下主动、过渡、被动区的动力边界条件，采用有限差分法求解以上微分方程组，得到地震作用下的滑移线场和动力极限状态下的边坡坡面曲线(简称动力极限坡面曲线)；最后由不同的坡顶荷载变化值可计算得到不同的动力极限荷载，对应不同的动力极限坡面曲线，根据动力极限坡面曲线与坡底交点横坐标的正负判断地震作用下边坡动力稳定性，当交点横坐标为零时，判断边坡为动力极限状态，此时坡顶荷载值计算的动力荷载为动力极限荷载值。

Description

一种计算地震作用下均质边坡动力极限荷载的拟静力法

技术领域

本发明属于边坡稳定性评价领域，具体涉及一种计算地震作用下均质边坡动力极限荷载的拟静力法。

背景技术

由于我国经济迅速发展，兴建了大量土木工程，许多桥台、建筑物和挡土墙条形基础都修在边坡上，在边坡坡顶形成了坡顶荷载，而我国同时还是一个地震多发国家，因此地震作用下边坡动力极限荷载的确定是一个非常重要的问题。

目前确定边坡动力极限荷载主要有三种方法：(1)基于拟静力概念的极限平衡条分法，该法需要假设不同的滑动面形式，对应不同滑动面形式的考虑地震惯性力动力安全系数计算结果会有较大差距，不利于工程实践应用；(2)基于拟静力概念的极限分析法，该方法同样需要假设破坏机构；(3)基于强度折减概念的有限元或有限差分等数值分析方法，这类方法不需要假设或者搜索临界滑动面，但动力失稳判据的确定，即如何确定边坡处于动力极限状态是一个难题，目前边坡动力失稳判据主要有三种方法，包括计算不收敛判据、位移突变判据及塑性区贯通判据，由于考虑地震惯性力边坡数值计算模型的复杂性，因此影响计算不收敛的因素较多，而位移突变判据的缺点是特征点位置的选取无统一标准，有时候特征点位移曲线拐点不明显，人为判断突变点时会存在主观因素，塑性区贯通是边坡破坏的必要非充分条件。

发明内容

针对现有技术的不足，本发明的目的在于提供一种科学合理，工程实用价值高，效果佳的地震作用下均质边坡动力极限荷载的拟静力法。

为实现上述目的，本发明采用的技术方案是：

1.一种计算地震作用下均质边坡动力极限荷载的拟静力法，其特征是，它包括以下内容：

1)设定坡顶荷载值：

P₁＝P₀+l·ΔP (1)

式中P₁为坡顶荷载变化值，P₀为初始坡顶荷载，ΔP为荷载增加值，l＝1，2，3......N为自然数。

2)拟静力法滑移线场计算公式

地震作用力下，应力平衡方程组为：

式中σ_x和σ_y分别表示x和y方向正应力，τ_xy和τ_yx分别表示x和y方向剪应力，f_x＝γ·k_H，f_y＝γ·(1-k_V)，γ表示容重，k_H和k_V分别表示水平和竖直地震系数，k_V＝ξ·k_H，ξ为比例系数。

为了给出摩尔库伦准则中正应力以及剪应力的表达式，引入特征应力σ的公式：

式中c为粘聚力和

为内摩擦角。

此时正应力和剪应力表达式为：

式中θ为最大主应力σ₁与x轴交角。

将(4)式代入(2)式中，并根据特征线法，可得地震动力作用下滑移线场理论两族(α和β族)特征线微分方程：

式中

为两族滑移线交角平均值。

采用差分法近似求解特征线方程(5)和(6)，

式中M_α(x_α，y_α，θ_α，σ_α)为α族上的点，M_β(x_β，y_β，θ_β，σ_β)为β族上的点，(x，y)为坐标值，

和

由公式(7)和(8)联立计算滑移线上的待求点M(x，y，θ，σ)，公式为：

滑移线场理论计算得到的边坡动力极限状态下的坡面曲线(简称动力极限坡面曲线)微分方程：

与β族滑移线方程联立可求解动力极限坡面曲线坐标点M_ij(x_ij，y_ij，θ_ij，σ_ij)：

式中M_b(x_b，y_b，θ_b，σ_b)和M′_β(x′_β，y′_β，θ′_β，σ′_β)为动力极限坡面曲线和第β族滑移线已知点。

3)拟静力法滑移线场边界条件

(1)主动区O₁AB边界条件

主动区第α、β族已知计算点M_α和M_β的(x，y)为坡顶O₁A坐标值，其中横坐标x＝Δx·i，Δx为计算步长，i为自然数，i＝0～N₁，N₁为步长数，纵坐标为坡高，主动区边界最大主应力与x轴交角：

式中

为地震动力引起的应力偏角，根据该公式可知，应力偏角和摩擦角必须满足关系式

主动区边界特征应力：

式中坡顶动力荷载

动力正应力σ₀＝P₁·(1-k_V)，动力剪应力τ₀＝P₁·k_H，P₁为公式(1)计算的坡顶荷载变化值，

滑移线交点计算公式为(9)～(12)；

(2)过渡区O₁BC边界条件

过渡区已知边界点O₁的(x，y)为坡肩坐标值，特征应力为：

式中

k为自然数，k＝0～N₂，Δθ＝θ_III-θ_I，N₂为过渡区点剖分数，过渡区滑移线交点计算公式为(9)～(12)；

(3)被动区O₁CD边界条件

M_b第一个已知点为坡肩O₁的(x，y)坐标值，但特征应力值为

代入公式(19)可得

为满足Δθ≥0，则必须θ_III≥θ_I，被动区滑移线交点计算公式为(9)～(12)，动力极限坡面曲线OD采用公式(13)～(16)计算。

4)拟静力法失稳判据计算动力极限荷载

动力极限坡面曲线与坡底交点为(x₁，0)，根据横坐标值x₁的正负判断地震动力作用下拟静力法分析边坡稳定性的失稳判据：当x₁＞0时，判断边坡处于稳定状态，外荷载增加值ΔP为正值，可取1kPa；当x₁＝0时，判断边坡处于极限状态，此时动力极限荷载P_crit＝P_s；当x₁＜0时，判断边坡处于破坏状态，外荷载增加值ΔP为负值，可取-1kPa。

本发明的一种计算地震作用下均质边坡动力极限荷载的拟静力法与现有技术相比，所具有的有益效果是：

(1)通过推导地震作用下的滑移线场理论，计算得到不同坡顶荷载作用的动力极限状态下边坡坡面形状曲线(简称动力极限坡面曲线)，以动力极限坡面曲线与坡底交点横坐标的正负判断边坡动力稳定性，当横坐标为零时，判断边坡处于动力极限平衡状态，实现了边坡动力失稳判据客观标准定量化：

(2)采用本发明失稳判据计算动力极限荷载时，相对于已有的基于拟静力概念的极限平衡条分法和极限分析法，不需要假设和搜索边坡临界滑裂面和破坏机构；

(3)本发明失稳判据相对于已有的边坡动力强度折减法失稳判据，排除了计算不收敛的影响，不需要人为选取边坡特征点和对边坡位移折减曲线判断突变点，避免了人为主观因素的影响；

(4)其科学合理，工程实用价值高，效果佳。

附图说明

图1是：地震作用下施加坡顶荷载的滑移线场理论计算动力极限坡面曲线示意图；

图2是：本发明施加坡顶荷载的拟静力法失稳判据示意图；

图3是：本发明施加坡顶荷载的拟静力法失稳判据计算动力极限荷载技术流程图；

图4是：当k_H＝0.1，ξ＝0.5(即k_V＝0.05)和动力荷载P_S＝191kpa时，均质边坡地震作用下滑移线场理论(Δx＝0.1、N₁＝250、N₂＝5)计算动力极限坡面曲线图，可得x₁＝6.2427；

图5是：当k_H＝0.1，ξ＝0.5(即k_V＝0.05)和动力荷载P_S＝239kpa时，均质边坡地震作用下滑移线场理论(Δx＝0.1、N₁＝250、N₂＝5)计算动力极限坡面曲线图，可得x₁＝0；

图6是：当k_H＝0.1，ξ＝0.5(即k_V＝0.05)和动力荷载P_S＝382kpa时，均质边坡地震作用下滑移线场理论(Δx＝0.1、N₁＝250、N₂＝5)计算动力极限坡面曲线图，可得x₁＝-6.2335；

图7是：拟静力极限平衡条分法(简化bishop法)在动力极限荷载P_S＝239kpa的计算结果。

具体实施方式

下面结合附图对本发明的具体实施方式做进一步的详细说明。

本发明的一种计算地震作用下均质边坡动力极限荷载的拟静力法，包括以下内容：

1.一种计算地震作用下均质边坡动力极限荷载的拟静力法，其特征是，它包括以下内容：

1)设定坡顶荷载值：

P₁＝P₀+l·ΔP (1)

式中P₁为坡顶荷载变化值，P₀为初始坡顶荷载，ΔP为荷载增加值，l＝1，2，3......N为自然数。

2)拟静力法滑移线场计算公式

地震作用下施加坡顶荷载的滑移线场理论计算动力极限坡面曲线示意图见图1。

地震作用力下，应力平衡方程组为：

式中σ_x和σ_y分别表示x和y方向正应力，τ_xy和τ_yx分别表示x和y方向剪应力，f_x＝γ·k_H，f_y＝γ·(1-k_V)，γ表示容重，k_H和k_V分别表示水平和竖直地震系数，k_V＝ξ·k_H，ξ为比例系数。

为了给出摩尔库伦准则中正应力以及剪应力的表达式，引入特征应力σ的公式：

式中c为粘聚力和

为内摩擦角。

此时正应力和剪应力表达式为：

式中θ为最大主应力σ₁与x轴交角。

将(4)式代入(2)式中，并根据特征线法，可得地震动力作用下滑移线场理论两族(α和β族)特征线微分方程：

式中

为两族滑移线交角平均值。

采用差分法近似求解特征线方程(5)和(6)，

式中M_α(x_α，y_α，θ_α，σ_α)为α族上的点，M_β(x_β，y_β，θ_β，σ_β)为β族上的点，(x，y)为坐标值，

和

由公式(7)和(8)联立计算滑移线上的待求点M(x，y，θ，σ)，公式为：

由滑移线场理论计算得到的边坡动力极限状态下坡面曲线(简称动力极限坡面曲线)微分方程为：

与β族滑移线方程联立求解动力极限坡面曲线坐标点M_ij(x_ij，y_ij，θ_ij，σ_ij)：

式中M_b(x_b，y_b，θ_b，σ_b)和M′_β(x′_β，y′_β，θ′_β，σ′_β)为动力极限坡面曲线和第β族滑移线已知点。

3)拟静力法滑移线场边界条件

(1)主动区O₁AB边界条件

主动区第α、β族已知计算点M_α和M_β的(x，y)为坡顶O₁A坐标值，其中横坐标x＝Δx·i，Δx为计算步长，i为自然数，i＝0～N₁，N₁为步长数，纵坐标为坡高，主动区边界最大主应力与x轴交角：

式中

为地震动力引起的应力偏角，根据该公式可知，应力偏角和摩擦角必须满足关系式

主动区边界特征应力：

式中坡顶动力荷载

动力正应力σ₀＝P₁·(1-k_V)，动力剪应力τ₀＝P₁·k_H，P₁为公式(1)计算的坡顶荷载变化值，

滑移线交点计算公式为(9)～(12)；

(2)过渡区O₁BC边界条件

过渡区已知边界点O₁的(x，y)为坡肩坐标值，特征应力为：

式中

k为自然数，k＝0～N₂，Δθ＝θ_III-θ_I，N₂为过渡区点剖分数，过渡区滑移线交点计算公式为(9)～(12)；

(3)被动区O₁CD边界条件

M_b第一个已知点为坡肩O₁的(x，y)坐标值，但特征应力值为

代入公式(19)可得

为满足Δθ≥0，则必须θ_III≥θ_I，被动区滑移线交点计算公式为(9)～(12)，极限坡面曲线OD采用公式(13)～(16)计算。

4)拟静力法失稳判据计算动力极限荷载

动力极限坡面曲线与坡底交点为(x₁，0)，根据横坐标值x₁的正负判断地震作用下拟静力法分析边坡稳定性的失稳判据，示意图见图2：当x₁＞0时，判断边坡处于稳定状态，外荷载增加值ΔP为正值，可取1kPa；当x₁＝0时，判断边坡处于极限状态，此时动力极限荷载P_crit＝P_s；当x₁＜0时，判断边坡处于破坏状态，外荷载增加值ΔP为负值，可取-1kPa。

表1给出了一个地震烈度为9度的均质边坡几何和物理参数值，根据《建筑边坡工程技术规范GB50330-2013》，当地震烈度9度，水平地震系数k_H＝0.1，该算例可用来对比验证本发明拟静力失稳判据计算动力极限荷载的正确性。

表1本发明实施例均质边坡考题计算参数

^*《建筑边坡工程技术规范GB50330-2013》

按计算流程图3，水平地震动力系数k_H＝0.1，ξ＝0.5(即垂直地震动力系数k_V＝0.05)，均质边坡地震作用下滑移线场理论边界条件为Δx＝0.1、N₁＝250、N₂＝5，当坡顶荷载P₁＝200kpa时，动力荷载P_S＝191kpa，计算动力极限坡面曲线图，可得x₁＝6.2427(见图4)；当坡顶荷载P₁＝250kpa时，动力荷载P_S＝239kpa，计算动力极限坡面曲线图，可得x₁＝0(见图5)；当坡顶荷载P₁＝400kpa时，动力荷载P_S＝382kpa，计算动力极限坡面曲线图，可得x₁＝-6.2335(见图6)；根据本发明的拟静力失稳判据(见图2)，可得动力极限荷载为P_crit＝P_S＝239kpa，此时的动力安全系数FS＝1.0，采用极限平衡条分拟静力法(简化bishop拟静力法)，当动力极限荷载为P_S＝239kpa，计算的动力安全系数结果FS＝0.971(见图7)，误差百分比为3％。

通过考题可知，本发明的拟静力法失稳判据能够给出可靠的动力极限荷载，计算过程表明，本发明的失稳判据给出了判断地震作用下均质边坡动力极限状态的客观标准，即当x₁＝0时，对应的动力荷载为动力极限荷载，避免了边坡强度折减法传统动力失稳判据中需要选取特征点和人为主观判断特征位移曲线突变点，相对于已有的拟静力极限平衡条分法和极限分析法，本发明失稳判据不需要假设和搜索动力条件下的临界滑裂面和破坏机构。

最后应当说明的是，以上实施例仅用以说明本发明的技术方案而非对其限制，尽管参照上述实施例对本发明进行了详细的说明，所属领域的普通技术人员应当理解，依然可以对本发明的具体实施方式进行修改或者等同替换，而未脱离本发明精神和范围的任何修改或者等同替换，其均应涵盖在本发明的权利要求范围当中。

Claims (1)

1.一种计算地震作用下均质边坡动力极限荷载的拟静力法，其特征是，它包括以下内容：

1)设定坡顶荷载值：

P₁＝P₀+l·ΔP (1)

式中P₁为坡顶荷载变化值，P₀为初始坡顶荷载，ΔP为荷载增加值，l＝1，2，3......N为自然数。

2)拟静力法滑移线场计算公式

地震作用力下，应力平衡方程组为：

式中σ_x和σ_y分别表示x和y方向正应力，τ_xy和τ_yx分别表示x和y方向剪应力，f_x＝γ·k_H，f_y＝γ·(1-k_V)，γ表示容重，k_H和k_V分别表示水平和竖直地震系数，k_V＝ξ·k_H，ξ为比例系数。

为了给出摩尔库伦准则中正应力以及剪应力的表达式，引入特征应力σ的公式：

式中c为粘聚力和

为内摩擦角。

此时正应力和剪应力表达式为：

式中θ为最大主应力σ₁与x轴交角。

将(4)式代入(2)式中，并根据特征线法，可得地震动力作用下滑移线场理论两族(α和β族)特征线微分方程：

式中

为两族滑移线交角平均值。

采用差分法近似求解特征线方程(5)和(6)，

式中M_α(x_α，y_α，θ_α，σ_α)为α族上的点，M_β(x_β，y_β，θ_β，σ_β)为β族上的点，(x，y)为坐标值，

和

由公式(7)和(8)联立计算滑移线上的待求点M(x，y，θ，σ)，公式为：

滑移线场理论计算得到的边坡动力极限状态下的坡面曲线(简称动力极限坡面曲线)微分方程为：

与β族滑移线方程联立求解动力极限坡面曲线坐标点M_ij(x_ij，y_ij，θ_ij，σ_ij)：

式中M_b(x_b，y_b，θ_b，σ_b)和M′_β(x′_β，y′_β，θ′_β，σ′_β)为动力极限坡面曲线和第β族滑移线已知点。

3)拟静力法滑移线场边界条件

(1)主动区O₁AB边界条件

主动区第α、β族已知计算点M_α和M_β的(x，y)为坡顶O₁A坐标值，其中横坐标x＝Δx·i，Δx为计算步长，i为自然数，i＝0～N₁，N₁为步长数，纵坐标为坡高，主动区边界最大主应力与x轴交角：

式中

为地震动力引起的应力偏角，根据该公式可知，应力偏角和摩擦角必须满足关系式

主动区边界特征应力：

式中坡顶动力荷载

动力正应力σ₀＝P₁·(1-k_V)，动力剪应力τ₀＝P₁·k_H，P₁为公式(1)计算的坡顶荷载变化值，

滑移线交点计算公式为(9)～(12)；

(2)过渡区O₁BC边界条件

过渡区已知边界点O₁的(x，y)为坡肩坐标值，特征应力为：

式中

k为自然数，k＝0～N₂，Δθ＝θ_III-θ_I，N₂为过渡区点剖分数，过渡区滑移线交点计算公式为(9)～(12)；

(3)被动区O₁CD边界条件

M_b第一个已知点为坡肩O₁的(x，y)坐标值，但特征应力值为

代入公式(19)可得

为满足Δθ≥0，则必须θ_III≥θ_I，被动区滑移线交点计算公式为(9)～(12)，动力极限坡面曲线OD采用公式(13)～(16)计算。

4)拟静力法失稳判据计算动力极限荷载

动力极限坡面曲线与坡底交点为(x₁，0)，根据横坐标值x₁的正负判断地震作用下拟静力法分析边坡稳定性的失稳判据：当x₁＞0时，判断边坡处于稳定状态，外荷载增加值ΔP为正值，可取1kPa；当x₁＝0时，判断边坡处于极限状态，此时动力极限荷载P_crit＝P_s；当x₁＜0时，判断边坡处于破坏状态，外荷载增加值ΔP为负值，可取-1kPa。

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