CN112861069B - 一种外荷载作用下均质纯粘土边坡安全系数计算方法 - Google Patents

一种外荷载作用下均质纯粘土边坡安全系数计算方法 Download PDF

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CN112861069B CN202110151673.7A CN202110151673A CN112861069B CN 112861069 B CN112861069 B CN 112861069B CN 202110151673 A CN202110151673 A CN 202110151673A CN 112861069 B CN112861069 B CN 112861069B
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Abstract

本发明提供了一种外荷载作用下均质纯粘土边坡安全系数计算方法，其特点是，首先推导了内摩擦角为零的纯粘土正应力和剪应力表达式，代入应力平衡微分方程组；然后应用三角函数变换，并根据特征线法推导纯粘土边坡滑移线场两族特征线微分方程组，采用有限差分法求解以上微分方程组，得到外荷载作用下的滑移线场和极限状态下的边坡坡面曲线(简称极限坡面曲线)，同时给出外荷载作用下纯粘土边坡的主动、过渡、被动区边界条件；最后采用强度折减法的概念对粘聚力进行折减，以极限坡面曲线与纵坐标轴交点纵坐标值的正负判断外荷载作用下纯粘土均质边坡稳定性，当交点纵坐标值为零时，判断边坡为极限状态，此时折减系数为均质纯粘土边坡安全系数。

Description

一种外荷载作用下均质纯粘土边坡安全系数计算方法
技术领域
本发明属于边坡稳定性评价领域，具体涉及一种外荷载作用下均质纯粘土边坡安全系数计算方法。
背景技术
由正常固结粘性土构成的边坡为不排水破坏模式时，内摩擦角约等于零，此时粘土强度主要是粘聚力，称为纯粘土。目前均质纯粘土边坡安全系数计算方法主要有两种：一种是极限平衡条分法，即将边坡土体剖分成若干条块，在对条块侧面的作用力作适当假定，并用静力平衡分析获得边坡安全系数的计算式，采用试算方法或者最优化方法得到临界滑裂面和最小安全系数，如初值选择不当，可能会导致计算不收敛或者仅得到局部最优解；另一种方法是强度折减概念结合数值分析方法(如有限元法)，该方法不需要确定临界滑裂面而直接得到安全系数，但是失稳判据，即如何判断边坡处于极限状态是一个关键问题。目前失稳判据的主要确定方法及不足如下：(1)计算不收敛判据，边坡数值分析模型复杂性会影响计算的收敛性；(2)位移突变判据，选取特征点位置和判断位移变化曲线突变点时会存在人为主观因素，并且有时候特征点位移曲线的拐点不明显；(3)塑性区贯通判据，一般认为该方法只是边坡破坏的必要非充分条件。
发明内容
针对现有技术的不足，本发明的目的在于提供一种科学合理，工程实用价值高，效果佳的外荷载作用下均质纯粘土边坡安全系数计算方法。
为实现上述目的，本发明采用的技术方案是：
1.一种外荷载作用下均质纯粘土边坡安全系数计算方法，其特征是，它包括以下内容：
1)滑移线场理论
根据摩尔库伦准则，正应力和剪应力表达式为：
Figure BSA0000232644000000011
Figure BSA0000232644000000012
式中σx和σy分别表示x和y方向正应力，τxy和τyx分别表示x和y方向剪应力，σ为特征应力，c为粘聚力，
Figure BSA0000232644000000013
为内摩擦角，θ为最大主应力σ1与x轴交角。
由于纯粘土中c＞0，
Figure BSA0000232644000000014
引入特征应力σ的公式：
Figure BSA0000232644000000015
其中
Figure BSA0000232644000000021
σ1和σ3分别为最大和最小主应力。
将(2)代入(1)中，然后令
Figure BSA0000232644000000022
可得：
Figure BSA0000232644000000023
τxy＝τyx＝c·sin 2θ (3b)
应力平衡微分方程组为：
Figure BSA0000232644000000024
Figure BSA0000232644000000025
式中γ表示容重。
将(3)式代入(4)式中，可得：
Figure BSA0000232644000000026
Figure BSA0000232644000000027
公式(5a)乘以
Figure BSA0000232644000000028
公式(5b)乘以
Figure BSA0000232644000000029
可得：
Figure BSA00002326440000000210
Figure BSA00002326440000000211
公式(6a)+(6b)可得方程(6)的另一种形式：
Figure BSA00002326440000000212
将方程(6c)乘以dx和dy可得：
Figure BSA00002326440000000213
Figure BSA00002326440000000214
对以上公式进行变换：
Figure BSA00002326440000000215
Figure BSA00002326440000000216
式中：
Figure BSA00002326440000000217
根据空间全微分方程组：
Figure BSA00002326440000000218
和
Figure BSA00002326440000000219
由(6f)+(6g)可得：
Figure BSA0000232644000000031
对方程(7a)乘以
Figure BSA0000232644000000032
和
Figure BSA0000232644000000033
可得：
Figure BSA0000232644000000034
Figure BSA0000232644000000035
将(6f)和(6g)分别代入到(7b)和(7c)得到：
Figure BSA0000232644000000036
Figure BSA0000232644000000037
对公式(7d)和(7e)变换可得：
Figure BSA0000232644000000038
Figure BSA0000232644000000039
由公式(8)，根据特征线法可得滑移线场理论两族(α和β族)特征线微分方程：
Figure BSA00002326440000000310
Figure BSA00002326440000000311
采用差分法近似求解特征线方程(9)和(10)，
Figure BSA00002326440000000312
Figure BSA00002326440000000313
式中Mα(xα，yα，θα，Sα)为α族上的点，Mβ(xβ，yβ，θβ，Sβ)为β族上的点，(x，y)为坐标值。
由公式(11)和(12)联立计算滑移线上的待求点M(x，y，θ，σ)，公式为：
Figure BSA00002326440000000314
Figure BSA0000232644000000041
Figure BSA0000232644000000042
Figure BSA0000232644000000043
由滑移线场理论计算得到的边坡极限状态下的坡面曲线(简称极限坡面曲线)微分方程为：
Figure BSA0000232644000000044
与β族滑移线方程联立求解极限坡面曲线坐标点Mij(xij，yij，θij，Sij)：
Figure BSA0000232644000000045
Figure BSA0000232644000000046
Figure BSA0000232644000000047
Sij＝c (20)
式中Mb(xb，yb，θb，Sb)和M′β(x′β，y′β，θ′β，S′β)为极限坡面曲线及第β族滑移线上已知点。
2)滑移线场边界条件
(1)主动区O1AB边界条件
主动区第α、β族已知计算点Mα和Mβ的(x，y)为坡顶O1A坐标值，其中横坐标x＝Δx·i，Δx为计算步长，i为自然数，i＝0～N1，N1为步长数，纵坐标y为坡高，主动区边界最大主应力与x轴交角和特征应力分别为：
Figure BSA0000232644000000048
S1＝P0-c (22)
式中P0为坡顶外荷载作用值，滑移线交点计算公式为(13)～(16)；
(2)过渡区O1BC边界条件
过渡区已知边界点O1的(x，y)为坡肩坐标值，特征应力为：
Si＝P0-c(2θk-π+1) (23)
式中
Figure BSA0000232644000000049
k为自然数，k＝0～N2，Δθ＝θIII-θ1，N2为过渡区点剖分数，过渡区滑移线交点计算公式为(13)～(16)；
(3)被动区O1CD边界条件
Mb第一个已知点为坡肩O1的(x，y)坐标值，特征应力值为Sb＝SIII＝c，代入公式(23)可得
Figure BSA0000232644000000051
被动区滑移线交点计算公式为(8)～(11)，而极限坡面曲线OD采用公式(17)～(20)计算。
3)失稳判据
对强度参数粘聚力c进行折减，
Figure BSA0000232644000000052
式中c1为折减后的粘聚力，Fi为折减系数，i为自然数；
将折减后的粘聚力c1代入到滑移线场理论及边界条件公式中，计算极限坡面曲线OD与y轴交点坐标(0，y1)，根据纵坐标值y1的正负判断纯粘土边坡稳定性的失稳判据：当y1＜0时，判断边坡处于稳定状态，此时增大折减系数Fi；当y1＝0时，判断边坡处于极限状态，此时折减系数Fi等于安全系数FS；当y1＞0时，此时判断边坡处于破坏状态，此时减小折减系数Fi。
本发明的一种外荷载作用下均质纯粘土边坡安全系数计算方法与现有技术相比，所具有的有益效果是：
(1)通过理论推导了摩擦角为零的滑移线场理论，计算得到不同折减系数的极限状态下边坡坡面形状曲线(简称极限坡面曲线)，以极限坡面曲线与纵坐标轴交点的纵坐标值正负判断边坡稳定性，当纵坐标为零时，判断边坡处于极限状态，给出了判断外荷载作用下均质纯粘土边坡失稳的客观标准定量化；
(2)极限平衡条分法在计算外荷载作用下均质纯粘土边坡安全系数时，需要对边坡土体进行土条划分，需要假设或者采用最优化方法确定临界滑裂面和最小安全系数，而本发明失稳判据在计算安全系数时不需要土条划分，不需要假设和搜索边坡临界滑动面，提高了计算效率和精度；
(3)结合强度折减概念的数值分析方法(如有限元法等)，影响计算不收敛的因素较多，不收敛作为失稳判据有一定误差。本发明失稳判据相对于已有的边坡强度折减法失稳判据，没有计算不收敛的影响，避免了边坡特征点的选取和位移折减曲线判断突变点的人为主观因素的影响；
(4)其科学合理，工程实用价值高，效果佳。
附图说明
图1是：外荷载作用下滑移线场理论计算均质纯粘土边坡极限坡面曲线示意图；
图2是：本发明均质纯粘土边坡失稳判据判断边坡稳定状态示意图；
图3是：本发明均质纯粘土边坡失稳判据计算安全系数流程图；
图4是：当F＝0.8和外荷载P0＝100kpa时，均质纯粘土边坡滑移线场理论(Δx＝0.9、N1＝50、N2＝5)计算极限坡面曲线图，可得y1＝-3.75；
图5是：当F＝0.99和外荷载P0＝100kpa时，均质纯粘土边坡滑移线场理论(Δx＝0.9、N1＝50、N2＝5)计算极限坡面曲线图，可得y1＝0；
图6是：当F＝1.2时和外荷载P0＝100kpa时，均质纯粘土边坡滑移线场理论(Δx＝0.9、N1＝50、N2＝5)计算极限坡面曲线图，可得y1＝2.85；
图7是：当外荷载P0＝100kpa时，极限平衡条分法(简化Janbu法)安全系数计算结果。
具体实施方式
下面结合附图对本发明的具体实施方式做进一步的详细说明。
本发明外荷载作用下滑移线场理论计算均质纯粘土边坡极限坡面曲线示意图见图1。
1.一种外荷载作用下均质纯粘土边坡安全系数计算方法，其特征是，它包括以下内容：
1)滑移线场理论
根据摩尔库伦准则，正应力和剪应力表达式为：
Figure BSA0000232644000000061
Figure BSA0000232644000000062
式中σx和σy分别表示x和y方向正应力，τxy和τyx分别表示x和y方向剪应力，σ为特征应力，c为粘聚力，
Figure BSA0000232644000000063
为内摩擦角，θ为最大主应力σ1与x轴交角。
由于纯粘土中c＞0，
Figure BSA0000232644000000064
引入特征应力σ的公式：
Figure BSA0000232644000000065
其中
Figure BSA0000232644000000066
σ1和σ3分别为最大和最小主应力。
将(2)代入(1)中，然后令
Figure BSA0000232644000000067
可得：
Figure BSA0000232644000000068
τxy＝τyx＝c·sin 2θ (3b)
应力平衡微分方程组为：
Figure BSA0000232644000000071
Figure BSA0000232644000000072
式中γ表示容重。
将(3)式代入(4)式中，可得：
Figure BSA0000232644000000073
Figure BSA0000232644000000074
公式(5a)乘以
Figure BSA0000232644000000075
公式(5b)乘以
Figure BSA0000232644000000076
可得：
Figure BSA0000232644000000077
Figure BSA0000232644000000078
公式(6a)+(6b)可得方程(6)的另一种形式：
Figure BSA0000232644000000079
将方程(6c)乘以dx和dy可得：
Figure BSA00002326440000000710
Figure BSA00002326440000000711
对以上公式进行变换：
Figure BSA00002326440000000712
Figure BSA00002326440000000713
式中：
Figure BSA00002326440000000714
根据空间全微分方程组：
Figure BSA00002326440000000715
和
Figure BSA00002326440000000716
由(6f)+(6g)可得：
Figure BSA00002326440000000717
对方程(7a)乘以
Figure BSA00002326440000000718
和
Figure BSA00002326440000000719
可得：
Figure BSA00002326440000000720
Figure BSA00002326440000000721
将(6f)和(6g)分别代入到(7b)和(7c)得到：
Figure BSA0000232644000000081
Figure BSA0000232644000000082
对公式(7d)和(7e)变换可得：
Figure BSA0000232644000000083
Figure BSA0000232644000000084
由公式(8)，根据特征线法可得滑移线场理论两族(α和β族)特征线微分方程：
Figure BSA0000232644000000085
Figure BSA0000232644000000086
采用差分法近似求解特征线方程(9)和(10)，
Figure BSA0000232644000000087
Figure BSA0000232644000000088
式中Mα(xα，yα，θα，Sα)为α族上的点，Mβ(xβ，yβ，θβ，Sβ)为β族上的点，(x，y)为坐标值。
由公式(11)和(12)联立计算滑移线上的待求点M(x，y，θ，σ)，公式为：
Figure BSA0000232644000000089
Figure BSA00002326440000000810
Figure BSA00002326440000000811
Figure BSA00002326440000000812
由滑移线场理论计算得到的边坡极限状态下的坡面曲线(简称极限坡面曲线)微分方程为：
Figure BSA0000232644000000091
与β族滑移线方程联立求解极限坡面曲线坐标点Mij(xij，yij，θij，Sij)：
Figure BSA0000232644000000092
Figure BSA0000232644000000093
Figure BSA0000232644000000094
Sij＝c (20)
式中Mb(xb，yb，θb，Sb)和M′β(x′β，y′β，θ′β，S′β)为极限坡面曲线及第β族滑移线上已知点。
2)滑移线场边界条件
(1)主动区O1AB边界条件
主动区第α、β族已知计算点Mα和Mβ的(x，y)为坡顶O1A坐标值，其中横坐标x＝Δx·i，Δx为计算步长，i为自然数，i＝0～N1，N1为步长数，纵坐标y为坡高，主动区边界最大主应力与x轴交角和特征应力分别为：
Figure BSA0000232644000000095
S1＝P0-c (22)
式中P0为坡顶外荷载作用值，滑移线交点计算公式为(13)～(16)；
(2)过渡区O1BC边界条件
过渡区已知边界点O1的(x，y)为坡肩坐标值，特征应力为：
Si＝P0-c(2θk-π+1) (23)
式中
Figure BSA0000232644000000096
k为自然数，k＝0～N2，Δθ＝θIII-θ1，N2为过渡区点剖分数，过渡区滑移线交点计算公式为(13)～(16)；
(3)被动区O1CD边界条件
Mb第一个已知点为坡肩O1的(x，y)坐标值，特征应力值为Sb＝SIII＝c，代入公式(23)可得
Figure BSA0000232644000000097
被动区滑移线交点计算公式为(8)～(11)，而极限坡面曲线OD采用公式(17)～(20)计算。
3)失稳判据
对强度参数粘聚力c进行折减，
Figure BSA0000232644000000101
式中c1为折减后的粘聚力，Fi为折减系数，i为自然数；
将折减后的粘聚力c1代入到滑移线场理论及边界条件公式中，计算极限坡面曲线OD与y轴交点坐标(0，y1)，根据纵坐标值y1的正负判断纯粘土边坡稳定性的失稳判据，见图2：当y1＜0时，判断边坡处于稳定状态，增大折减系数Fi；当y1＝0时，判断边坡处于极限状态，此时折减系数Fi等于安全系数FS；当y1＞0时，判断边坡处于破坏状态，减小折减系数Fi。
表1给出了一个均质纯粘土边坡几何和物理参数值，该算例可用来对比验证本发明拟静力失稳判据计算极限地震作用系数的正确性。按计算流程图3，折减系数F1＝0.8，外荷载P0＝100kpa作用下均质纯粘土边坡滑移线场理论边界条件为(Δx＝0.9、N1＝50、N2＝5)，计算极限坡面曲线图，可得y1＝-3.75(见图4)；折减系数F2＝0.99，外荷载P0＝100kpa作用下均质纯粘土边坡滑移线场理论边界条件为(Δx＝0.9、N1＝50、N2＝5)，计算极限坡面曲线图，可得y1＝0(见图5)；折减系数F3＝1.2，外荷载P0＝100kpa作用下均质纯粘土边坡滑移线场理论边界条件为(Δx＝0.9、N1＝50、N2＝5)，计算极限坡面曲线图，可得y1＝2.85(见图6)；根据本发明的均质纯粘土边坡失稳判据(见图2)，可得安全系数FS＝F2＝0.99，采用极限平衡条分法(简化Janbu法)，当外荷载P0＝100kpa，计算安全系数结果FS＝1.032(见图7)，误差百分比为4.1％。
表1本发明实施例均质纯粘土边坡考题计算参数
Figure BSA0000232644000000102
通过考题可知，本发明的均质纯粘土边坡失稳判据能够给出可靠的安全系数，计算过程表明，本发明的失稳判据给出了判断外荷载作用下均质纯粘土边坡极限状态的客观标准，即当y1＝0时，折减系数为安全系数，相对于有限元强度折减法，不需要以计算不收敛和选取特征点以及人为主观判断特征位移曲线突变点判断边坡是否破坏，相对于已有的极限平衡条分法，本发明失稳判据不需要假设和搜索临界滑裂面。
最后应当说明的是，以上实施例仅用以说明本发明的技术方案而非对其限制，尽管参照上述实施例对本发明进行了详细的说明，所属领域的普通技术人员应当理解，依然可以对本发明的具体实施方式进行修改或者等同替换，而未脱离本发明精神和范围的任何修改或者等同替换，其均应涵盖在本发明的权利要求范围当中。

Claims (1)

1.一种外荷载作用下均质纯粘土边坡安全系数计算方法，其特征是，它包括以下内容：
1)滑移线场理论
根据摩尔库伦准则，正应力和剪应力表达式为：
Figure FSB0000200538850000011
Figure FSB0000200538850000012
式中σx和σy分别表示x和y方向正应力，τxy和τyx分别表示x和y方向剪应力，σ为特征应力，c为粘聚力，
Figure FSB0000200538850000013
为内摩擦角，θ为最大主应力σ1与x轴交角；
由于纯粘土中c＞0，
Figure FSB0000200538850000014
引入特征应力σ的公式：
Figure FSB0000200538850000015
其中
Figure FSB0000200538850000016
σ1和σ3分别为最大和最小主应力；
将(2)代入(1)中，然后令
Figure FSB0000200538850000017
可得：
Figure FSB0000200538850000018
τxy＝τyx＝c·sin 2θ (3b)
应力平衡微分方程组为：
Figure FSB0000200538850000019
Figure FSB00002005388500000110
式中γ表示容重；
将(3)式代入(4)式中，可得：
Figure FSB00002005388500000111
Figure FSB00002005388500000112
公式(5a)乘以
Figure FSB00002005388500000113
公式(5b)乘以
Figure FSB00002005388500000114
可得：
Figure FSB00002005388500000115
Figure FSB00002005388500000116
公式(6a)+(6b)可得方程(6)的另一种形式：
Figure FSB0000200538850000021
将方程(6c)乘以dx和dy可得：
Figure FSB0000200538850000022
Figure FSB0000200538850000023
对以上公式进行变换：
Figure FSB0000200538850000024
Figure FSB0000200538850000025
式中：
Figure FSB0000200538850000026
根据空间全微分方程组：
Figure FSB0000200538850000027
和
Figure FSB0000200538850000028
由(6f)+(6g)可得：
Figure FSB0000200538850000029
对方程(7a)乘以
Figure FSB00002005388500000210
和
Figure FSB00002005388500000211
可得：
Figure FSB00002005388500000212
Figure FSB00002005388500000213
将(6f)和(6g)分别代入到(7b)和(7c)得到：
Figure FSB00002005388500000214
Figure FSB00002005388500000215
对公式(7d)和(7e)变换可得：
Figure FSB00002005388500000216
Figure FSB00002005388500000217
由公式(8a)和(8b)，根据特征线法可得滑移线场理论α族和β族特征线微分方程：
Figure FSB00002005388500000218
Figure FSB00002005388500000219
采用差分法近似求解特征线方程(9)和(10)，
Figure FSB0000200538850000031
Figure FSB0000200538850000032
式中Mα(xα，yα，θα，Sα)为α族上的点，Mβ(xβ，yβ，θβ，Sβ)为β族上的点，(x，y)为坐标值；
由公式(11)和(12)联立计算滑移线上的待求点M(x，y，θ，σ)，公式为：
Figure FSB0000200538850000033
Figure FSB0000200538850000034
Figure FSB0000200538850000035
Figure FSB0000200538850000036
由滑移线场理论计算得到的边坡极限状态下的坡面曲线(简称极限坡面曲线)微分方程为：
Figure FSB0000200538850000037
与β族滑移线方程联立求解极限坡面曲线坐标点Mij(xij，yij，θij，Sij)：
Figure FSB0000200538850000038
Figure FSB0000200538850000039
Figure FSB00002005388500000310
Sij＝c (20)
式中Mb(xb，yb，θb，Sb)和M′β(x′β，y′β，θ′β，S′β)为极限坡面曲线及第β族滑移线上已知点；
2)滑移线场边界条件
(1)主动区O1AB边界条件
主动区第α、β族已知计算点Mα和Mβ的(x，y)为坡顶O1A坐标值，其中横坐标x＝Δx·i，Δx为计算步长，i为自然数，i＝0～N1，N1为步长数，纵坐标y为坡高，主动区边界最大主应力与x轴交角和特征应力分别为：
Figure FSB0000200538850000041
S1＝P0-c (22)
式中P0为坡顶外荷载作用值，滑移线交点计算公式为(13)～(16)；
(2)过渡区O1BC边界条件
过渡区已知边界点O1的(x，y)为坡肩坐标值，特征应力为：
Si＝P0-c(2θk-π+1) (23)
式中
Figure FSB0000200538850000042
k为自然数，k＝0～N2，Δθ＝θIII-θI，N2为过渡区点剖分数，过渡区滑移线交点计算公式为(13)～(16)；
(3)被动区O1CD边界条件
Mb第一个已知点为坡肩O1的(x，y)坐标值，特征应力值为Sb＝SIII＝c，代入公式(23)可得
Figure FSB0000200538850000043
被动区滑移线交点计算公式为(8)～(11)，而极限坡面曲线OD采用公式(17)～(20)计算；
3)失稳判据
对强度参数粘聚力c进行折减，
Figure FSB0000200538850000044
式中c1为折减后的粘聚力，Fi为折减系数，i为自然数；
将折减后的粘聚力c1代入到滑移线场理论及边界条件公式中，计算极限坡面曲线OD与y轴交点坐标(0，y1)，根据纵坐标值y1的正负判断纯粘土边坡稳定性的失稳判据：当y1＜0时，判断边坡处于稳定状态，此时增大折减系数Fi；当y1＝0时，判断边坡处于极限状态，此时折减系数Fi等于安全系数FS；当y1＞0时，此时判断边坡处于破坏状态，此时减小折减系数Fi。
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