CN109117504B - 一种双向功能梯度曲壳振动分析方法 - Google Patents

Abstract

本发明属于结构动力学领域，一种双向功能梯度曲壳振动分析方法。本发明利用NURBS函数对未知域和几何模型进行描述，从而保证了几何精确性的同时也能对几何结构响应分析，并考虑了轴向和周向的功能梯度变换材料影响，且能够根据实际需求实现不同的细化，从而提高计算效率。此外，针对不同曲壳结构、边界条件和材料属性，仅需要通过设置相应的几何控制点和样条函数、边界约束参数和材料指数参数而无需要逐一重新编程处理，大幅地节省了计算成本。

Description

一种双向功能梯度曲壳振动分析方法

技术领域

本发明属于结构动力学领域，一种双向功能梯度曲壳振动分析方法。

背景技术

功能梯度材料是一种材料属性沿指定方向呈连续梯度变化的新型复合材料，其结构上不存在材料接触面，因而能避免结构中位移和应力的突变，从而防止层合结构中材料的分层和脱胶等问题，与此同时还能满足工程结构在极限环境下工作。功能梯度结构由于其优良的机械性能而被广泛应用于现在航天航空工业、船舶与海洋工程、机械工程、建筑工程等领域。其结构的振动往往能够影响设备的正常运行和结构的安全问题。因而，研究该类结构的动力学特性不仅利于结构优化设计，而且对减振降噪有着重要的指导意义。

近年来，许多学者对于功能梯度曲壳结构的振动问题的求解提出了不同的求解方法，例如有限元、改进傅里叶级数法、微分求积法和动力刚度法等，然而其大部分都只考虑材料在厚度方向上的连续梯度变化，对周向和轴向两个方向的研究较少。同时，随着科学技术的迅速发展，有限元的理论和应用也不断成熟，适应着各个领域发展的需要，但随着几何变得越来越复杂，有限元分析预处理阶段的网格划分所需时间越来越长，成为制约有限元分析和发展的瓶颈。为了满足几何的精确建模和结构优化设计分析为一体。本方法提供了一种基于等几何法的双向功能梯度曲壳分析方法。该方法具有适用多种边界条件和复杂几何曲壳、收敛速度快、计算效率高等特点。

发明内容

本发明的目的在于提供一种适用多边界条件，同时考虑材料属性双向功能梯度，即在轴向和周向上呈梯度变化的曲壳振动分析方法。该方法具有适用多种边界条件和复杂几何曲壳、收敛速度快、计算效率高等特点。

本发明的目的是这样实现的：

一种双向功能梯度曲壳振动分析方法，所述的方法包括以下步骤：

步骤1.构建曲壳模型；

步骤2.提取曲壳的控制点并非均匀有理样条(NURBS)基函数；

步骤3.应用NURBS样条基函数对曲壳的几何和位移进行描述，分别得到曲壳的笛卡尔坐标和曲壳的位移分量，具体表达式如下：

其中，

和G＝[X,Y,Z]分别为曲壳的位移分量和笛卡尔坐标系下曲壳坐标；ξ和η为参数变量；

和P_a＝(X_a,Y_a,Z_a)分别为第a个控制点的位移和笛卡尔坐标系下控制点坐标；N_a为第a个NURBS函数，Nel为曲壳上总的控制点；

步骤4.通过笛卡尔坐标系下曲壳坐标求出曲壳的曲线坐标，并求解功能梯度材料系数，具体如下

其中，x和y为曲线坐标值；L,r和θ分别为曲壳的长度，半径和角度；ρ和E分别为曲壳的有效密度和弹性模量；ρ₀和E₀分别为初始密度和弹性模量；γ_x和γ_y为指数变化参数；

步骤5.基于一阶剪切变形曲壳理论和罚函数建立曲壳的能量泛函，具体表达式如下：

Π＝T_ks-U_st-U_sp

其中，U_st、T_st和U_sp分别为曲壳的势能、动能和边界泛函；Π为曲壳的能量泛函；ε_x，ε_y，γ_xy,γ_xz和γ_yz为曲壳的应变向量；σ_x，σ_y，τ_xy，τ_xz和τ_yz为曲壳的应力向量；ρ(x,y)为曲壳为材料密度，

为曲壳的边界约束系数；

步骤6.由步骤5计算第1子层的特征方程；

步骤7.基于变分原理和步骤6推导出曲壳的振动控制方程，具体表达式如下：

[K-ω_k ²M]{d_k}＝0

其中，K为刚度矩阵；ω_k为频率参数；M为质量矩阵；d_k为系数向量；

步骤8.求解振动控制方程，得到双向功能梯度曲壳的振动特性。

本发明的有益效果在于：本发明利用NURBS函数对未知域和几何模型进行描述，从而保证了几何精确性的同时也能对几何结构响应分析，并考虑了轴向和周向的功能梯度变换材料影响，且能够根据实际需求实现不同的细化，从而提高计算效率。此外，针对不同曲壳结构、边界条件和材料属性，仅需要通过设置相应的几何控制点和样条函数、边界约束参数和材料指数参数而无需要逐一重新编程处理，大幅地节省了计算成本。

附图说明

图1为本发明流程的第一种表达方法图；

图2为本发明流程的第二种表达方法图；

图3为本发明中曲线域、参数域和求解域之间的映射图；

图4为本发明材料属性分布示意图。

具体实施方式：

下面结合附图1-4对本发明做进一步的描述：

实施例1

如图1、3、4所示，本发明具体步骤如下：

如图1和3所示，考虑一个圆柱壳的1/4结构，该结构的半径为r＝0.2m，长度为L＝1m，总厚度为h＝0.02m,角度为θ＝π/2；且材料属性在轴向和周向上呈双向功能梯度变化如图4所示。初始材料属性考虑为铝即E₀＝70Gpa,ρ₀＝2700kg/m³,μ₀＝0.3。利用本发明方法对其进行求解，具体步骤如下：

1.提取曲壳的控制点、NURBS样条基函数的基本参数如下表1和表2所示；

表1

表2

其中，i,j为参数空间样条系数；w_i,j为相应的权值；B_i,j为控制点。

2.应用NURBS样条基函数对曲壳的几何和位移进行描述，具体表达式如下：

其中，u,v,w为曲壳位移在轴向、周向和法向的分量；

为切线旋转量；X,Y,Z分别为笛卡尔坐标系下曲壳坐标；

3.通过笛卡尔坐标系下曲壳坐标求出曲壳的曲线坐标，

其中，x，y为曲线坐标值；X,Y,Z为笛卡尔坐标值；ξ,η为参数空间值。然后，通过所求的曲线坐标并写出功能梯度材料系数，假设其泊松比为恒值μ＝0.3，则材料参数具体如下

其中，ρ和E分别为曲壳的有效密度和弹性模量；L,r和θ分别为曲壳的长度，半径和角度；ρ₀和E₀分别为初始密度和弹性模量；γ_x和γ_y为指数变化参数。曲壳的曲线域、参数域和求解域之间的映射关系如图3。

4.基于一阶剪切变形曲壳理论和罚函数建立曲壳的能量泛函，具体表达式如下：

Π＝T_ks-U_st-U_sp

其中，U_st、T_st和U_sp分别为曲壳势能、动能和边界泛函；Π为曲壳能量泛函。

5.由步骤4计算第1子层特征方程，具体表达式如下：

[K-ω_k ²M]{d_k}＝0

其中，K、M和d_k分别为曲壳的刚度矩阵、质量矩阵、系数向量。其质量和刚度采用有限元思想进行计算。

6.选取γ_x和γ_y指数变化参数都为0，并设定双向功能梯度曲壳的边界都为固支，利用步骤5求解振动控制方程，得到双向功能梯度曲壳的振动特性。

计算结果如表所示，从表中可以看出，本发明方法在处理不同角度曲壳的时也具有很好的精确性，同时可以看出本发明的所需网格数量比有限元少，具有较好的计算精度。

表3

实施例2

如图2、3、4所示，本实施例的具体步骤如下：

如图2和3所示，考虑一个圆柱壳的1/4结构，该结构的半径为r＝0.2m，长度为L＝1m，总厚度为h＝0.02m,角度为θ＝π/2；且材料属性在轴向和周向上呈双向功能梯度变化如图4所示。初始材料属性考虑为铝即E₀＝70Gpa,ρ₀＝2700kg/m³,μ₀＝0.3。利用本发明方法对其进行求解，具体步骤如下：

1.构建曲壳模型

2.提取曲壳的控制点、NURBS样条基函数的基本参数如下表1和表2所示；

表1

表2

其中，i,j为参数空间样条系数；w_i,j为相应的权值；B_i,j为控制点。

3.应用NURBS样条基函数对曲壳的几何和位移进行描述，具体表达式如下：

其中，u,v,w为曲壳位移在轴向、周向和法向的分量；

为切线旋转量；X,Y,Z分别为笛卡尔坐标系下曲壳坐标；

4.通过笛卡尔坐标系下曲壳坐标求出曲壳的曲线坐标，

其中，x，y为曲线坐标值；X,Y,Z为笛卡尔坐标值；ξ,η为参数空间值。然后，通过所求的曲线坐标并写出功能梯度材料系数，假设其泊松比为恒值μ＝0.3，则材料参数具体如下

其中，ρ和E分别为曲壳的有效密度和弹性模量；L,r和θ分别为曲壳的长度，半径和角度；ρ₀和E₀分别为初始密度和弹性模量；γ_x和γ_y为指数变化参数。曲壳的曲线域、参数域和求解域之间的映射关系如图3。

5.基于一阶剪切变形曲壳理论和罚函数建立曲壳的能量泛函，具体表达式如下：

Π＝T_ks-U_st-U_sp

其中，U_st、T_st和U_sp分别为曲壳势能、动能和边界泛函；Π为曲壳能量泛函。

6.由步骤5计算第1子层特征方程，具体表达式如下：

[K-ω_k ²M]{d_k}＝0

其中，K、M和d_k分别为曲壳的刚度矩阵、质量矩阵、系数向量。其质量和刚度采用有限元思想进行计算。

7.选取γ_x和γ_y指数变化参数都为0，并设定双向功能梯度曲壳的边界都为固支，利用步骤6求解振动控制方程，

8.求解振动控制方程，得到双向功能梯度曲壳的振动特性。

计算结果如表所示，从表中可以看出，本发明方法在处理不同角度曲壳的时也具有很好的精确性，同时可以看出本发明的所需网格数量比有限元少，具有较好的计算精度。

表3

这里必须指出的是，本发明中给出的其他未说明的实施方式和公式说明因为都是本领域的公知方式和公知公式，根据本发明所述的名称或描述，本领域技术人员就能够找到相关记载的文献，因此未做进一步说明。本方案所公开的技术手段不仅限于上述实施方式所公开的技术手段，还包括由以上技术特征任意组合所组成的技术。

Claims (1)

1.一种双向功能梯度曲壳振动分析方法，其特征在于：所述的方法包括以下步骤：

步骤1.构建曲壳模型；

步骤2.提取曲壳的控制点并非均匀有理样条基函数；

步骤3.应用NURBS样条基函数对曲壳的几何和位移进行描述，分别得到曲壳的笛卡尔坐标和曲壳的位移分量，具体表达式如下：

其中，

和G＝[X,Y,Z]分别为曲壳的位移分量和笛卡尔坐标系下曲壳坐标；u,v,w为曲壳位移在轴向、周向和法向的分量；

为切线旋转量，X,Y,Z分别为笛卡尔坐标系下曲壳坐标，ξ和η为参数变量；

和P_a＝(X_a,Y_a,Z_a)分别为第a个控制点的位移和笛卡尔坐标系下控制点坐标；N_a为第a个NURBS函数，Nel为曲壳上总的控制点；

步骤4.通过笛卡尔坐标系下曲壳坐标求出曲壳的曲线坐标，并求解功能梯度材料系数，具体如下

其中，x和y为曲线坐标值；L,r和θ分别为曲壳的长度，半径和角度；ρ和E分别为曲壳的有效密度和弹性模量；ρ₀和E₀分别为初始密度和弹性模量；γ_x和γ_y为指数变化参数；

步骤5.基于一阶剪切变形曲壳理论和罚函数建立曲壳的能量泛函，具体表达式如下：

Π＝T_ks-U_st-U_sp

其中，U_st、T_st和U_sp分别为曲壳的势能、动能和边界泛函；Π为曲壳的能量泛函；ε_x，ε_y，γ_xy,γ_xz和γ_yz为曲壳的应变向量；σ_x，σ_y，τ_xy，τ_xz和τ_yz为曲壳的应力向量；ρ(x,y)为曲壳为材料密度，

为曲壳的边界约束系数，i＝1,2,3,4；

步骤6.由步骤5计算第1子层的特征方程；

步骤7.基于变分原理和步骤6推导出曲壳的振动控制方程，具体表达式如下：

[K-ω_k ²M]{d_k}＝0

其中，K为刚度矩阵；ω_k为频率参数；M为质量矩阵；d_k为系数向量；

步骤8.求解振动控制方程，得到双向功能梯度曲壳的振动特性。

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