CN113486512B - 一种功能梯度变厚度叶片模型的颤振分析方法 - Google Patents

一种功能梯度变厚度叶片模型的颤振分析方法 Download PDF

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Abstract

本发明公开了一种功能梯度变厚度叶片模型的颤振分析方法，具体包括以下步骤：构建功能梯度变厚度叶片的模型，提取NURBS的基本参数；通过几何细化步骤，得到新的控制点和节点向量信息，并以此构建颤振分析的插值基函数；用上述的基函数来描述变厚度叶片的颤振位移变量，通过一阶活塞理论，精化板理论和相应边界条件，建立其能量泛函；计算单个参数单元的刚度矩阵和质量矩阵；以此为基础循环形成整体刚度和质量矩阵，得到变厚度叶片的颤振特性结果。本发明利用等几何方法，精化板理论和一阶活塞理论的结合，利用较少的控制点描述复杂几何形状，在保证变厚度叶片几何精确性的同时，节省了计算成本，提高了分析的效率。

Description

一种功能梯度变厚度叶片模型的颤振分析方法
技术领域
本发明属于结构动力学领域，特别是涉及一种功能梯度变厚度叶片模型的颤振分析方法。
背景技术
叶片是涡轮机械中的主要部件之一，广泛应用于各种航天航空，船舶等工业领域中。叶片在工作中由于受到高速气流的影响，在特定的情况下会发生颤振现象。颤振的发生，会使叶片乃至整个涡轮机械遭到严重的破坏。因此，深入研究叶片模型的颤振问题对于早期叶片的设计及后期避免颤振的发生都具有重要的理论与实践指导意义。
近年来，大多学者研究叶片模型的颤振问题，通常采用细长梁模型、板模型和薄壳模型。然而，细长梁模型忽略了y方向的受力，只适用于大展弦比的情况；板模型和壳模型虽然可以适用于小展弦比的情况，但对于实际情况来说，叶片模型往往不是规则的梁板壳，由于方法的局限性，学者们在研究叶片模型的颤振时往往没有考虑到这一点，所以考虑变厚度叶片模型的颤振问题是十分必要的。
因此，建立一种有效的适用于多种变厚度叶片模型的颤振分析方法成为研究人员关注的问题。
发明内容
为了解决上述技术问题，本发明提供一种功能梯度变厚度叶片模型的颤振分析方法，保证在变厚度叶片模型几何参数变化时，也能较快的得到颤振特性结果，使整个分析过程在保证变厚度叶片模型几何精确性的同时，避免了重复定义几何和网格再次划分过程。
为实现上述目的，本发明提出一种功能梯度变厚度叶片模型的颤振分析方法，具体包括以下步骤：
S1、构建基于非均匀有理B样条NURBS的二维变厚度叶片模型，并提取所述二维变厚度叶片模型中NURBS的基本信息；
S2、基于几何细化策略，得到新的NURBS基本信息；并基于所述新的NURBS基本信息，构建颤振分析的插值基函数；
S3、基于所述插值基函数，构建用于颤振分析的功能梯度变厚度叶片模型的位移向量和几何向量，并求解出所述功能梯度变厚度叶片模型中的厚度变化和功能梯度材料参数；
S4、构建所述功能梯度变厚度叶片模型的能量泛函；
S5、基于变分原理和所述能量泛函，构建所述功能梯度变厚度叶片模型的振动控制方程；
S6、通过母域、物理域和实体域的转换关系求解单个参数单元的刚度、质量和阻尼矩阵；并对所述单个参数单元的刚度、质量和阻尼矩阵进行程序循环，得到整体的刚度、质量和阻尼矩阵，进而求解出振动控制方程；
S7、计算所述振动控制方程，求解功能梯度变厚度叶片模型的固有频率；并以相邻两阶频率的首次合并作为颤振发生的节点，得到变厚度叶片模型的颤振特性。
优选地，所述NURBS的基本信息，包括：初始叶片模型的控制点信息、节点向量信息和初始阶次信息。
优选地，基于非均匀有理B样条NURBS的二维变厚度叶片模型的表达式为：
Figure BDA0003148696300000031
其中，
Figure BDA0003148696300000032
是NURBS的基函数；Ba为控制点信息；p，q分别是两个参数向量ξ,η的阶次；m，n是两个参数向量方向的控制点个数；S(ξ,η)表示二维叶片模型的曲面。
优选地，所述S3具体为：
S3.1、基于所述插值基函数，构建颤振分析的功能梯度变厚度叶片模型的位移变量和几何变量；
S3.2、基于所述S3.1，对所述功能梯度变厚度叶片模型中的厚度变化和功能梯度材料参数进行求解。
优选地，所述功能梯度变厚度叶片模型中的厚度变化的参数有两种表达形式，分别为：
形式一：
Figure BDA0003148696300000033
形式二：
Figure BDA0003148696300000034
a0＝0.2969,a1＝-0.1260,a2＝-0.3516,a3＝0.2843a1＝-0.1036
其中，L，b分别是功能梯度变厚度叶片模型的长和宽；hr是第一种变厚度形式下x＝0的叶片模型厚度；β是沿x方向上的厚度变化指数；hm是第二种变厚度方式下叶片模型的最大厚度，xa,ya是控制点的坐标值。
优选地，所述功能梯度变厚度叶片模型的能量泛函是通过精化板理论、一阶气动活塞理论及相应的边界条件来建立的。
优选地，所述功能梯度变厚度叶片模型的振动控制方程的表达式为：
Figure BDA0003148696300000041
其中，M，Ks，KF，C分别是质量矩阵，应变产生的刚度矩阵，气动力产生的刚度矩阵和阻尼矩阵，
Figure BDA0003148696300000042
为振动位移向量及其对时间的一阶和二阶导数。
优选地，所述单个参数单元的刚度、质量和阻尼矩阵是利用高斯积分公式求解得到的。
优选地，所述整体的刚度、质量和阻尼矩阵是采用迭代程序对所述单个参数单元的刚度、质量和阻尼矩阵进行程序循环而得到的。
与现有技术相比，本发明的有益效果在于：
本发明利用等几何方法来分析变厚度叶片模型的颤振问题，使得分析的叶片模型更贴近于实际模型，且使用精化板理论来描述叶片的剪切变形，不需要人为的剪切因子，得到的结果也更加准确。以计算机辅助设计(CAD)中的NURBS样条为描述几何和计算分析的基函数，保证了变厚度叶片模型的几何精确性，对于不同的变厚度方式和几何参数的变厚度叶片，无需重新建模和划分网格，极大地节省了计算时间，提高了分析过程的计算效率。综上，本发明保证在变厚度叶片模型几何参数变化时，也能较快的得到颤振特性结果，使整个分析过程在保证变厚度叶片模型几何精确性的同时，避免了重复定义几何和网格再次划分过程。
附图说明
为了更清楚地说明本发明实施例或现有技术中的技术方案，下面将对实施例中所需要使用的附图作简单地介绍，显而易见地，下面描述中的附图仅仅是本发明的一些实施例，对于本领域普通技术人员来讲，在不付出创造性劳动性的前提下，还可以根据这些附图获得其他的附图。
图1为本发明的方法流程图；
图2为第一种变厚度方式的叶片模型图；
图3为第二种变厚度方式的叶片模型图；
图4为实体域、参数域与母域之间的转换关系图。
具体实施方式
下面将结合本发明实施例中的附图，对本发明实施例中的技术方案进行清楚、完整地描述，显然，所描述的实施例仅仅是本发明一部分实施例，而不是全部的实施例。基于本发明中的实施例，本领域普通技术人员在没有做出创造性劳动前提下所获得的所有其他实施例，都属于本发明保护的范围。
为使本发明的上述目的、特征和优点能够更加明显易懂，下面结合附图和具体实施方式对本发明作进一步详细的说明。
实施例1
参照图1所示，本发明提供一种功能梯度变厚度叶片模型的颤振分析方法，具体包括以下步骤：
S1、构建基于非均匀有理B样条NURBS的二维变厚度叶片模型，并提取所述二维变厚度叶片模型中NURBS的基本信息；
所述非均匀有理B样条(NURBS)的基本信息，包括：初始叶片模型的控制点信息、节点向量信息和初始阶次信息；
基于NURBS的二维叶片模型具体表达式为：
Figure BDA0003148696300000061
其中，
Figure BDA0003148696300000062
是NURBS的基函数；Ba为控制点信息；p,q分别为两个参数向量ξ,η的阶次；m,n分别为两个参数向量ξ,η方向上的控制点个数，S(ξ,η)表示二维叶片模型的曲面。
S2、基于几何细化策略，得到新的NURBS基本信息；并基于所述新的NURBS基本信息，构建颤振分析的插值基函数；
S3、基于所述插值基函数，构建用于颤振分析的功能梯度变厚度叶片模型的位移向量和几何向量，并求解出所述功能梯度变厚度叶片模型中的厚度变化和功能梯度材料参数，具体为：
S3.1、基于所述插值基函数，构建颤振分析的功能梯度变厚度叶片模型的位移变量和几何变量；
Figure BDA0003148696300000063
Figure BDA0003148696300000071
Figure BDA0003148696300000072
Figure BDA0003148696300000073
其中，D＝[u,v,w,θx,θy]为变厚度叶片的位移变量，其中u,v,w,分别表示变厚度叶片沿x,y,z轴的位移变量，θx,θy表示变厚度叶片的转角位移变量；x、y是变厚度叶片的几何变量，h是变厚度叶片的厚度。da＝[ua,va,wa,θxa,θya]是单个控制点的位移变量，ua,va,wa,θxa,θya是每个控制点处相对应的位移变量，xa、ya、ha是每个控制点的几何向量。
S3.2、基于所述S2.1，对所述功能梯度变厚度叶片模型中的厚度变化和功能梯度材料参数进行求解。
变厚度方式的有两种表达形式，分别为：
形式一：
Figure BDA0003148696300000074
形式二：
Figure BDA0003148696300000081
a0＝0.2969,a1＝-0.1260,a2＝-0.3516,a3＝0.2843a1＝-0.1036
其中，L，b分别是功能梯度变厚度叶片模型的长和宽；hr是第一种变厚度形式下x＝0的叶片模型厚度；β是沿x方向上的厚度变化指数；hm是第二种变厚度方式下叶片模型的最大厚度，xa,ya是控制点的坐标值。
功能梯度材料参数表达式为：
Figure BDA0003148696300000082
其中，P代表材料参数，如弹性模量E,密度ρ,泊松比μ,Pm,Pc分别表示金属材料和非金属材料的材料参数，s为功能梯度材料的变化指数。
S4、基于精化板理论，一阶气动活塞理论及相应的边界条件，构建所述功能梯度变厚度叶片模型的能量泛函，具体表达式如下：
Figure BDA0003148696300000083
Figure BDA0003148696300000084
w(x,y)＝wb+ws
Figure BDA0003148696300000085
Figure BDA0003148696300000086
Figure BDA0003148696300000091
Wp＝∫∫∫VΔpwdV
Figure BDA0003148696300000092
Π＝Us+Ts+Wp
其中，u，v，w分别是变厚度叶片模型的任意一点的位移，u0,v0是中性面上一点的面内位移，wb,ws是中性面上一点的弯曲和剪切变形位移。σ,ε是叶片模型的应力矩阵和应变矩阵，符号T表示矩阵转置。Π，Us，Wp，Ts分别为变厚度叶片模型的总能量，应变能、气动力做功和动能，V表示整个变厚度叶片的体积。Δp表示气动压力，M∞表示马赫数，θ为气流与x方向的风向角，
Figure BDA0003148696300000093
表示各个位移变量对于时间的导数。
S5、基于变分原理和所述能量泛函，构建所述功能梯度变厚度叶片模型的振动控制方程；
Figure BDA0003148696300000094
其中，M，Ks，KF，C分别是质量矩阵，应变产生的刚度矩阵，气动力产生的刚度矩阵和阻尼矩阵，
Figure BDA0003148696300000095
为振动位移向量及其对时间的一阶和二阶导数。
S6、通过母域、物理域和实体域的转换关系，利用高斯积分公式求解单个参数单元的刚度、质量和阻尼矩阵；并通过matlab迭代程序对所述单个参数单元的刚度、质量和阻尼矩阵进行程序循环，得到整体的刚度，质量和阻尼矩阵，进而求解出振动控制方程；
计算过程如下：
Figure BDA0003148696300000101
Figure BDA0003148696300000102
Figure BDA0003148696300000103
Figure BDA0003148696300000104
Figure BDA0003148696300000105
Figure BDA0003148696300000106
Figure BDA0003148696300000107
Figure BDA0003148696300000108
Figure BDA0003148696300000109
Figure BDA00031486963000001010
Figure BDA00031486963000001011
Figure BDA00031486963000001012
Figure BDA00031486963000001013
Figure BDA00031486963000001014
Figure BDA00031486963000001015
Figure BDA00031486963000001016
Figure BDA00031486963000001017
单元的刚度矩阵和质量矩阵均为对称矩阵，符号
Figure BDA00031486963000001018
表示单元刚度，质量矩阵或者阻尼矩阵的第c行第d列的位置的元素，其余矩阵符号以此类推,Ri,Rj为分析的NURBS基函数，Ri,x,Ri,y是基函数Ri,Rj对x,y第一阶导数，Ri,xx,Ri,yy,Ri,xy,Rj,xx,Rj,yy,Rj,xy是基函数Ri,Rj的第二阶导数,Q11,……，Q66是结构材料系数矩阵中的元素，Em,vm,ρm是金属材料的弹性模量，泊松比和密度。L是变厚度叶片的长度，h是变厚度叶片的厚度，h值是随叶片位置不同而变化的，θ是气流与x轴的夹角，Ωe表示每个参数单元的体积。
S7、通过求解上述由整体刚度矩阵，质量矩阵和阻尼矩阵组成的振动控制方程，可以得到功能梯度变厚度叶片的固有频率。随着气动压力的增大，某两个相邻频率值会逐渐靠近，以相邻两阶频率的首次合并作为颤振发生的节点，得到变厚度叶片模型的颤振特性。
为了验证技术效果，本发明考虑一个变厚度叶片模型，参照图2和图3所示，第一种变厚度方式中，截面尺寸长和宽L＝b＝1m，hr＝0.1m，β＝0.5，第二种变厚度方式中，截面尺寸长和宽L＝2m，b＝1m，hm＝0.12m，叶片模型的材料参数为功能梯度材料，杨氏模量Em＝70GPa,Ec＝380GPa，密度ρm＝2707kg/m3,ρc＝3800kg/m3，泊松比μm＝μc＝0.3，功能梯度指数s＝1。叶片模型x＝0一端固支，其余三个方向无约束，除气动压力外无其他外加载荷。利用本方法对其进行求解，具体步骤如下：
(1)构建两种变厚度叶片的模型，提取构建模型的非均匀有理B样条(NURBS)的基本信息。
基本信息如下表1和表2所示：
表1
Figure BDA0003148696300000121
表2
Figure BDA0003148696300000122
(2)通过细化策略，得到新的控制点及节点向量信息，构建颤振分析的插值基函数，对变厚度叶片模型的位移变量和几何变量进行描述，并且求解叶片模型的厚度变化及功能梯度材料参数
(3)基于精化板理论，一阶气动活塞理论及相应的边界条件建立变厚度叶片模型的能量泛函
(4)基于变分原理和上述能量泛函，推导变厚度叶片的振动控制方程
(5)参照图4所示，通过母域、物理域和实体域的转换关系，利用高斯积分公式，求解单个参数单元的刚度矩阵，质量矩阵和阻尼矩阵；
(6)通过matlab迭代程序循环单个单元刚度，质量和阻尼矩阵，求得整体刚度，质量和阻尼矩阵，求解振动控制方程；
(7)计算上述振动控制方程，求解功能梯度变厚度叶片模型的固有频率。以相邻两阶频率的首次合并作为颤振发生的节点，得到变厚度叶片模型的颤振特性。
计算结果如表3所示，表3给出了不同阶数和不同参数单元数下用本方法计算出的两种变厚度方式叶片模型的前三阶固有频率(无气动压力)和颤振发生时的气动压力和颤振频率(有气动压力)。
表3
Figure BDA0003148696300000131
从表3中可以看出，随着阶次的升高和单元数的增加，计算结果迅速收敛，且与参考值相比具有较好的计算精度。
综上，本发明利用等几何方法来分析变厚度叶片模型的颤振问题，使得分析的叶片模型更贴切于实际模型，且使用精化板理论来描述叶片的剪切变形，不需要人为的剪切因子，得到的结果也更加准确。以计算机辅助设计(CAD)中的NURBS样条为描述几何和计算分析的基函数，保证了变厚度叶片模型的几何精确性，对于不同的变厚度方式和几何参数的变厚度叶片，无需重新建模和划分网格，极大地节省了计算时间，提高了分析过程的计算效率。
以上所述的实施例仅是对本发明的优选方式进行描述，并非对本发明的范围进行限定，在不脱离本发明设计精神的前提下，本领域普通技术人员对本发明的技术方案做出的各种变形和改进，均应落入本发明权利要求书确定的保护范围内。

Claims (4)

1.一种功能梯度变厚度叶片模型的颤振分析方法，其特征在于，具体包括以下步骤：
S1、构建基于非均匀有理B样条NURBS的二维变厚度叶片模型，并提取所述二维变厚度叶片模型中NURBS的基本信息，所述NURBS的基本信息，包括：初始叶片模型的控制点信息、节点向量信息和初始阶次信息，基于非均匀有理B样条NURBS的二维变厚度叶片模型的表达式为：
Figure FDA0003562161640000011
其中，是
Figure FDA0003562161640000012
NURBS的基函数；Ba为控制点信息；p，q分别是两个参数向量ξ,η的阶次；m，n是两个参数向量方向的控制点个数；S(ξ,η)表示二维叶片模型的曲面；
S2、基于几何细化策略，得到新的NURBS基本信息；并基于所述新的NURBS基本信息，构建颤振分析的插值基函数；
S3、基于所述插值基函数，构建用于颤振分析的功能梯度变厚度叶片模型的位移向量和几何向量，并求解出所述功能梯度变厚度叶片模型中的厚度变化和功能梯度材料参数，包括如下步骤：
S3.1、基于所述插值基函数，构建颤振分析的功能梯度变厚度叶片模型的位移变量和几何变量：
Figure FDA0003562161640000013
Figure FDA0003562161640000014
Figure FDA0003562161640000021
Figure FDA0003562161640000022
其中，D＝[u,v,w,θx,θy]为变厚度叶片的位移变量，其中u,v,w,分别表示变厚度叶片沿x,y,z轴的位移变量，θx,θy表示变厚度叶片的转角位移变量；x、y是变厚度叶片的几何变量，h是变厚度叶片的厚度；da＝[ua,va,wa,θxa,θya]是单个控制点的位移变量，ua,va,wa,θxa,θya是每个控制点处相对应的位移变量，xa、ya、ha是每个控制点的几何向量；
S3.2、基于所述S3.1，对所述功能梯度变厚度叶片模型中的厚度变化和功能梯度材料参数进行求解，所述功能梯度变厚度叶片模型中的厚度变化的参数有两种表达形式，分别为：
形式一：
Figure FDA0003562161640000023
形式二：
Figure FDA0003562161640000024
a0＝0.2969,a1＝-0.1260,a2＝-0.3516,a3＝0.2843,a4＝-0.1036
其中，L，b分别是功能梯度变厚度叶片模型的长和宽；hr是第一种变厚度形式下x＝0的叶片模型厚度；β是沿x方向上的厚度变化指数；hm是第二种变厚度方式下叶片模型的最大厚度，xa,ya是控制点的坐标值；
功能梯度材料参数表达式为：
Figure FDA0003562161640000031
其中，P代表材料参数，如弹性模量E，密度ρ,泊松比μ,Pm,Pc分别表示金属材料和非金属材料的材料参数，s为功能梯度材料的变化指数；
S4、构建所述功能梯度变厚度叶片模型的能量泛函；
S5、基于变分原理和所述能量泛函，构建所述功能梯度变厚度叶片模型的振动控制方程，所述功能梯度变厚度叶片模型的振动控制方程的表达式为：
Figure FDA0003562161640000032
其中，M，Ks，KF，C分别是质量矩阵，应变产生的刚度矩阵，气动力产生的刚度矩阵和阻尼矩阵，q，
Figure FDA0003562161640000033
为振动位移向量及其对时间的一阶和二阶导数；
S6、通过母域、物理域和实体域的转换关系求解单个参数单元的刚度、质量和阻尼矩阵；并对所述单个参数单元的刚度、质量和阻尼矩阵进行程序循环，得到整体的刚度、质量和阻尼矩阵，进而求解出振动控制方程；
S7、计算所述振动控制方程，求解功能梯度变厚度叶片模型的固有频率；并以相邻两阶频率的首次合并作为颤振发生的节点，得到变厚度叶片模型的颤振特性。
2.据权利要求1所述的功能梯度变厚度叶片模型的颤振分析方法，其特征在于，所述功能梯度变厚度叶片模型的能量泛函是通过精化板理论、一阶气动活塞理论及相应的边界条件来建立的。
3.根据权利要求1所述的功能梯度变厚度叶片模型的颤振分析方法，其特征在于，所述单个参数单元的刚度、质量和阻尼矩阵是利用高斯积分公式求解得到的。
4.根据权利要求1所述的功能梯度变厚度叶片模型的颤振分析方法，其特征在于，所述整体的刚度、质量和阻尼矩阵是采用迭代程序对所述单个参数单元的刚度、质量和阻尼矩阵进行程序循环而得到的。
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