CN110110359A - 一种基于几何样条的线弹模型建模求解方法 - Google Patents

一种基于几何样条的线弹模型建模求解方法 Download PDF

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Abstract

本发明公开了一种基于几何样条的线弹模型建模求解方法，包括：将线弹问题的边界使用参数表示成具有几何意义的控制顶点与基函数的线性组合的几何样条，完成建模；采用边界表示模型相同的几何样条基函数作为线弹问题边界积分方程中的位移和面力的形函数，通过离散边界积分方程得到线性方程组，组建刚度矩阵并求解，获得边界控制顶点的位移和面力；本发明通过几何样条对2D线弹问题物理域边界建模，提供常用模型表示的精确转换方法，避免常用边界模型在建模阶段的逼近误差；在边界积分方程中采用几何样条基函数作为描述边界物理量的形函数，节约模型转换的时间。

Description

一种基于几何样条的线弹模型建模求解方法
技术领域
本发明涉及计算机辅助设计与工程领域技术领域，具体涉及一种基于几 何样条的线弹模型建模求解方法。
背景技术
现有的边界元方法在几何建模阶段常采用拉格朗日多项式等基函数，不 能精确建模多种CAD/CAM(计算机辅助制造)中常用的解析模型，如在建 立圆锥曲线曲面、圆弧样条、三角双曲函数曲线曲面时，容易引起建模阶段 的模型表示误差。另一方面现有方法中在几何建模阶段的模型表示基函数与 模拟仿真阶段采用的形函数不一致，导致建模与分析过程中存在反复的模型 转换，带来较大误差及消耗更多时间。
发明内容
本发明的目的是为了克服以上现有技术存在的不足，提供了一种基于几 何样条的线弹模型建模求解方法。
本发明的目的通过以下的技术方案实现：
一种基于几何样条的线弹模型建模求解方法，包括：
S1，将线弹问题的边界使用参数表示成具有几何意义的控制顶点与基函 数的线性组合的几何样条，完成建模；
S2，采用边界表示模型相同的几何样条基函数作为线弹问题边界积分方 程中的位移和面力的形函数，通过离散边界积分方程得到线性方程组，组建 刚度矩阵并求解，获得边界控制顶点的位移和面力；
S3，将控制顶点的位移和面力代入几何样条插值函数计算边界上任意点 的位移和面力；
S4，利用弹性体内部任一点处应力与边界上位移、面力之间的关系式， 将模型的内部参数化；
S5，对以上步骤的结果进行误差分析，若数值解满足精度要求，则线弹 问题求解结束。
优选地，在步骤S1中，用几何样条表示线弹问题的边界，该几何样条为具 有几何意义的控制顶点序列与三角双曲多项式混合样条基函数的线性组合：
以上公式中k为几何样条的次数，l为区间长度，ωi为几何样条的频率 参数。
优选地，步骤S2包括：利用几何样条曲线的分段点将边界离散为一系列 不重复的单元：
在单元上，用几何样条基函数为形函数插值表示边界上位移及面力函数：
其中q为单元与形函数关联矩阵元素的值，表示对应单 元控制顶点位移，表示对应控制顶点面力；
将以上几何样条表示的边界物理模型、边界上位移与面力模型、施加的边 界条件代入2D线弹问题离散边界积分方程：
其中，为雅可比转换，将式子(1)简写成矩阵形式：
[H]{u}＝[G]{t} (2)
其中，[H]是一个二次矩阵包括Tij核和转换项，u是位移向量，G是由Uij核 积分组成的三角矩阵；按照未知量和已知量的预设关系将式子(2)重排为：
[A]{x}＝{b} (3)
求解线性方程(3)计算得到边界上的控制顶点位移和面力。
优选地，步骤S3包括：利用控制顶点面力和位移的几何样条插值函数计 算整个模型边界上任意点的面力和位移：
步骤S4包括：采用几何样条在凸域内加权因子的方式将模型的内部参数 化，利用Somaliana公式、边界位移及面力以及几何样条形函数计算域内应力：
其中α，β，γ取值均为1或2。
优选地，在步骤S4中：
边界细化方案采用几何样条细分方法，控制顶点细分规则如下：
其中，模型的频率参数细分规则为：
优选地，线弹问题的边界为多项式曲线、圆锥曲线、三角曲线、双曲曲 线或混合形式中的任意一种。其中，混合形式为包括多项式曲线、圆锥曲线、 三角曲线、双曲曲线中的至少两种。
本发明相对于现有技术具有如下的优点：
本发明通过采用三角双曲多项式混合的几何样条对2D线弹问题物理域边 界建模，提供常用B样条模型、圆锥模型、三角/双曲函数模型、圆弧样条模 型表示的精确转换方法，避免或减少这些常用边界模型在建模阶段的逼近误 差；根据建立的模型建立边界积分方程，并求解边界积分方程获得边界节点 位移和面力；在边界积分方程中采用该几何样条基函数作为描述边界物理量 的形函数，节约模型转换的时间、避免转换误差。根据面力和节点位移的几 何样条插值函数计算边界节点和整个模型边界上的位移；将模型的内部参数 化，并将参数代入边界积分方程求得模型内部节点的应力值；在内部应力分 布的后处理过程中，提供以控制多边形为加权因子的内部参数化方案，比传 统的域内分割方法简单。将模型的边界元问题利用几何样条细分收敛到光滑 样条曲线。根据仿真分析结果提供边界细化方案，由于该几何样条具有由控 制多边形分层次细分收敛于光滑曲线的性质，只需要在上一层单元划分的基 础上按细分规则细分一层或若干层即可得到细化结果，避免一般边界元方法 从头离散边界的做法。本发明通过一系列技术方案，多环节减少误差、提高 效率，从而实现整个边界元分析流程精度和效率的提升。
附图说明
图1是本发明的基于几何样条的线弹模型建模求解方法的流程示意图。
图2是本发明采用的几何样条精确建模圆弧样条边界图。
图3是本发明的二次几何样条基函数曲线图及其导函数曲线图。
图4是本发明的圆弧样条边界线弹问题形变结果图。
图5是本发明的采用一次细分方法细化圆弧样条边界的结果图。
图6是本发明的采用二次细分方法细化圆弧样条边界的结果图。
图7是本发明的几何样条精确建模插入三角函数曲线的混合边界图。
图8是本发明的NURBS逼近建模边界中的余弦曲线结果比较图。
图9是本发明的三次几何样条基函数曲线图及其导函数曲线图。
图10是本发明的余弦多项式混合边界线弹问题位移变化结果图。
图11是本发明的余弦曲线混合边界元问题剪应力分布图。
具体实施方式
下面结合附图和实施例对本发明作进一步说明。
为了解决几何建模阶段常用模型的精确表示问题，以及几何建模与模拟 仿真的无缝融合问题，本发明提出了一种基于三角双曲多项式混合的几何样 条边界元方法，提供常用模型的精确建模技术，同时在几何建模阶段与模拟 仿真阶段采用相同的基函数表示，实现两个阶段的无缝融合，避免基函数的 反复转换，提高线弹问题边界元分析的精度和效率。具体地，本方案采用三 角双曲多项式混合的几何样条对2D线弹问题物理域边界建模，提供常用B 样条模型、圆锥模型、三角/双曲函数模型、圆弧样条模型表示的精确转换方法，避免或减少这些常用边界模型在建模阶段的逼近误差。在边界划分阶段， 采用N次该几何样条曲线的自然分段表示作为单元划分，避免一般边界元方 法采用折线表示带来的边界离散误差。同样在边界积分方程中采用该几何样 条基函数作为描述边界物理量的形函数，节约模型转换的时间、避免转换误 差。在组建刚度矩阵和求解方程组的过程中，提供该几何样条对应的求值、 求导、数值积分的方法，相关运算的计算复杂度与多项式函数相当。根据仿 真分析结果提供边界细化方案，由于该几何样条具有由控制多边形分层次细 分收敛于光滑曲线的性质，只需要在上一层单元划分的基础上按细分规则细 分一层或若干层即可得到细化结果，避免一般边界元方法从头离散边界的做 法。在内部应力分布的后处理过程中，提供以控制多边形为加权因子的内部 参数化方案，比传统的域内分割方法简单。本发明通过一系列技术方案，多 环节减少误差、提高效率，从而实现整个边界元分析流程精度和效率的提升。
实施例1
参见图1、一种基于几何样条的线弹模型建模求解方法，包括：
S1，将线弹问题的边界使用参数表示成具有几何意义的控制顶点与基函 数的线性组合的几何样条，完成建模；在本实施例，线弹问题的边界样条为 圆弧样条。将圆弧样条用该几何样条精确表示，图2所示的倒角梯形边界， 是由直线段和圆弧段组成的圆弧样条，利用二次几何样条可以精确建模这种 边界，从而将圆弧样条转换为参数表示的几何样条，以便应用于边界元分析 流程。该实例边界的几何样条表示中频率序列取值为：{0.8615,0.8615,0.8615, 0.1,0.8615,0.8615,1,0.4869,0.4869,0.2,0.6182,0.6182,0.8615,0.8615, 0.8615}，控制顶点坐标矩阵为：[-7.3963,-2.5731；-6.3825,1.6082；-2.2336,2.7473；0.3159,3.4472；3.2028,4.2398；4.7771,1.6934；8.1133,-3.7027；10.0000, -6.7544；6.4121,-6.7544；-4.1077,-6.7544；-8.4101,-6.7544；-7.3963,-2.5731； -6.3825,1.6082；]，则二次几何样条的基函数显式表达式为：
图2示意了建模过程，获得几何样条的控制多边形，其顶点为黑色实心 圆点，图3绘制了该几何样条的二次基函数及其导函数图。
S2，采用边界表示模型相同的几何样条基函数作为线弹问题边界积分方 程中的位移和面力的形函数，通过离散边界积分方程得到线性方程组，组建 刚度矩阵并求解，获得边界控制顶点的位移和面力；步骤S2包括：
预设模型的边界面力{tx(i)＝-1000,ty(i)＝-100000,i＝6,7}和位移边界 条件{ux(i)＝0,uy(i)＝0,i＝1,2,3.}，利用几何样条基函数将模型的边界离 散为一系列不重复的单元：
则2D线弹问题离散边界积分方程可表示为：
其中，为雅可比转换，将式子(1)简写成矩阵形式：
[H]{u}＝[G]{t} (2)
其中，[H]是一个二次矩阵包括Tij核和转换项，u是位移向量，G是由Uij核 积分组成的三角矩阵；按照未知量和已知量的预设关系将式子(2)重排为：
[A]{x}＝{b} (3)
预设自由度为37，求解线性方程(3)计算得到边界上的节点位移和面力。
S3将控制顶点的位移和面力代入几何样条插值函数计算边界上任意点的 位移和面力；步骤S3包括在单元上，用几何样条插值函数计算边界上位移及 面力：
一方面，边界任意一点的面力ti和位移导数可根据位移和面力的节 点值和几何样条插值函数值求出，将ui,j求出，代入应力应变关系式求出应力 分量。另一方面，由于本实施例中几何样条具有可细分性，利用细分规则可 以更快速得到整个形变后的边界，仅涉及线性运算，速度更快。图4为该圆 弧样条边界的线弹问题位移变化图。
S4，利用弹性体内部任一点处应力与边界上位移、面力之间的关系式， 将模型的内部参数化；即Somigliana应力公式计算模型内部参数化节点上的 应力值；
其中凸域内取[0,1]；采用几何样条在凸域内加权因子的方式参数化模型 内部，比传统方法从头对域内参数化方法简便，代入边界积分方程求得内部 节点的应力值。
S5，对以上步骤的结果进行误差分析，若数值解满足精度要求，则线弹 问题求解结束；否则将利用几何样条的可细分性将模型边界进一步细化，产 生更为细化的控制多边形，转到步骤S1；本实施例的几何样条具有可逐层细 分收敛到光滑样条曲线的性质，按细分层次恰好可作为边界元问题的细化方 案，只涉及线性运算简单高效。图5是本发明的采用一次细分方法细化圆弧 样条边界的结果图。图6是本发明的采用二次细分方法细化圆弧样条边界的 结果图。其中该实例中采用二次几何样条细分方法，控制顶点细分规则可整理为：
其中频率参数细分规则为：
实施例2
参见图1、一种基于几何样条的线弹模型建模求解方法，包括：
S1，将线弹问题的边界使用参数表示成具有几何意义的控制顶点与基函 数的线性组合的几何样条，完成建模；在本实施例，线弹问题的边界为插入 三角函数曲线的混合边界，所述线弹问题的边界样条包括：余弦函数曲线和 样条曲线；图7所示的插入三角函数曲线的混合边界，余弦函数曲线也可以 由本身实施例采用的三次(4阶)几何样条精确建模，其余部分本身为几何样 条曲线，从而整个混合边界都能精确转换为参数表示的几何样条，这是其它 已有的参数样条无法做到的，图8为用NURBS曲线逼近余弦曲线段的结果图。本实例中几何样条表示的控制顶点为矩阵为[9.4248 4.6188；6.2832 4.6188； 3.14164.6188；4.1888 2.3094；5.2360-2.3094；6.2832-4.6188；7.3304-2.3094； 8.37762.3094]，频率参数恒为本实例中采用的三次几何样条基函数显 式表达式为：
图9绘制了该几何样条的三次基函数及其导函数图。
S2，采用边界表示模型相同的几何样条基函数作为线弹问题边界积分方 程中的位移和面力的形函数，通过离散边界积分方程得到线性方程组，组建 刚度矩阵并求解，获得边界控制顶点的位移和面力；
预设模型的边界面力{ty(i)＝-100,i＝1,2,3}和位移边界条件 {ux(i)＝0,uy(i)＝0,i＝6}，利用几何样条基函数将模型的边界离散为一系列 不重复的单元：
则2D线弹问题离散边界积分方程可表示为：
其中，为雅可比转换，将式子(1)简写成矩阵形式：
[H]{u}＝[G]{t} (2)
其中，[H]是一个二次矩阵包括Tij核和转换项，u是位移向量，G是由Uij核 积分组成的三角矩阵；按照未知量和已知量的预设关系将式子(2)重排为：
[A]{x}＝{b} (3)
预设自由度为37，求解线性方程(3)计算得到边界上的控制顶点位移和面 力。
S3，将控制顶点的位移和面力代入几何样条插值函数计算边界上任意点 的位移和面力；利用实施例1中的公式(4)、(5)以及面力和位移的几何样 条插值函数计算整个边界上的位移，如图10、11所示。
S4，利用弹性体内部任一点处应力与边界上位移、面力之间的关系式， 将模型的内部参数化；步骤S4包括：采用几何样条在凸域内加权因子的方式 将模型的内部参数化；其中凸域内取[0,1]；取加权因子向量和节点向量并计 算模型内部节点的应力值，其中因子向量为0:0.1:1，节点向量为0:0.1:8。得 到的剪应力分布如图8所示。
S5，对以上步骤的结果进行误差分析，若数值解满足精度要求，则线弹 问题求解结束。否则将利用几何样条的可细分性将模型边界进一步细化，产 生更为细化的控制多边形，转到步骤S1。
该实例中频率参数细分规则与实例1相同，控制顶点细分规则为三次几 何样条细分，递推公式如下：
其中
上述具体实施方式为本发明的优选实施例，并不能对本发明进行限定， 其他的任何未背离本发明的技术方案而所做的改变或其它等效的置换方式， 都包含在本发明的保护范围之内。

Claims (6)

1.一种基于几何样条的线弹模型建模求解方法，其特征在于，包括：
S1，将线弹问题的边界使用参数表示成具有几何意义的控制顶点与基函数的线性组合的几何样条，完成建模；
S2，采用边界表示模型相同的几何样条基函数作为线弹问题边界积分方程中的位移和面力的形函数，通过离散边界积分方程得到线性方程组，组建刚度矩阵并求解，获得边界控制顶点的位移和面力；
S3，将控制顶点的位移和面力代入几何样条插值函数计算边界上任意点的位移和面力；
S4，利用弹性体内部任一点处应力与边界上位移、面力之间的关系式，将模型的内部参数化；
S5，对以上步骤的结果进行误差分析，若数值解满足精度要求，则线弹问题求解结束。
2.根据权利要求1所述的基于几何样条的线弹模型建模求解方法，其特征在于，在步骤S1中，用几何样条表示线弹问题的边界，该几何样条为具有几何意义的控制顶点序列与三角双曲多项式混合样条基函数的线性组合：
以上公式中k为几何样条的次数，l为区间长度，ωi为几何样条的频率参数。
3.根据权利要求2所述的基于几何样条的线弹模型建模求解方法，其特征在于，步骤S2包括：
利用几何样条曲线的分段点将边界离散为一系列不重复的单元：
在单元上，用几何样条基函数为形函数插值表示边界上位移及面力函数：
其中q为单元与形函数关联矩阵元素的值，表示对应单元控制顶点位移，表示对应控制顶点面力；
将以上几何样条表示的边界物理模型、边界上位移与面力模型、施加的边界条件代入2D线弹问题离散边界积分方程：
其中，为雅可比转换，将式子(1)简写成矩阵形式：
[H]{u}＝[G]{t} (2)
其中，[H]是一个二次矩阵包括Tij核和转换项，u是位移向量，G是由Uij核积分组成的三角矩阵；按照未知量和已知量的预设关系将式子(2)重排为：
[A]{x}＝{b} (3)
求解线性方程(3)计算得到边界上的控制顶点位移和面力。
4.根据权利要求3所述的基于几何样条的线弹模型建模求解方法，其特征在于，步骤S3包括：利用控制顶点面力和位移的几何样条插值函数计算整个模型边界上任意点的面力和位移：
步骤S4包括：采用几何样条在凸域内加权因子的方式将模型的内部参数化，利用Somaliana公式、边界位移及面力以及几何样条形函数计算域内应力：
其中α，β，γ取值均为1或2。
5.根据权利要求4所述的基于几何样条的线弹模型建模求解方法，其特征在于，在步骤S4中：
边界细化方案采用几何样条细分方法，控制顶点细分规则如下：
其中，模型的频率参数细分规则为：
6.根据权利要求1所述的基于几何样条的线弹模型建模求解方法，其特征在于，线弹问题的边界为多项式曲线、圆锥曲线、三角曲线、双曲曲线或混合形式中的任意一种。
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