CN112686970A - 一种基于动态盘b样条曲线的二维动态几何建模方法 - Google Patents

一种基于动态盘b样条曲线的二维动态几何建模方法 Download PDF

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CN112686970A CN202011463643.1A CN202011463643A CN112686970A CN 112686970 A CN112686970 A CN 112686970A CN 202011463643 A CN202011463643 A CN 202011463643A CN 112686970 A CN112686970 A CN 112686970A
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武仲科
张宇
王醒策
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Beijing Normal University
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Beijing Normal University
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Abstract

本发明公开了一种基于动态盘B样条曲线的二维动态几何建模方法。所述二维动态几何建模方法使用动态盘B样条曲线适合于基于物理的计算机动画生成。使用动态盘B样条曲线生成基于物理的动画十分便捷。通过设置合适的初始物理参数，如外力、刚度和几何约束等，动态盘B样条曲线可以进行遵循物理规律的运动和变形，直接生成整个运动过程的动画。动态盘B样条适合于计算机交互几何造型设计。动态盘B样条曲线是一个基于物理的模型，通过施加合适的外力，用户可以交互地直接操控动态盘B样条曲线的形状，便捷地对其进行调整，从而获得期望的造型结果。

Description

一种基于动态盘B样条曲线的二维动态几何建模方法
技术领域
本发明涉及计算机物理模拟技术领域，具体而言，涉及一种基于动态盘B样条曲线的二维 动态几何建模方法。
背景技术
几何造型方法是研究几何物体数学表达形式的方法，在计算机辅助几何设计、计算机图形 学、虚拟现实与可视化等领域中拥有着重要应用。盘B样条曲线(Disk B-splinecurve,DBSC) 是两种基于骨架线的几何造型方法，可以看作是二维B样条曲线的拓展形式。盘B样条曲线拥 有许多良好的数学几何性质，并广泛应用于多个领域。盘B样条曲线描述了一个二维空间中区 域，该区域的宽度可以沿骨架线方向变化，因此盘B样条曲线经常用于表示书画中的笔触，广 泛应用于计算机书法、计算机二维动画设计和非真实渲染等领域。
目前的大多数研究工作都集中于盘B样条曲线的静态形式。然而，当前的盘B样条曲线理 论应用受限于其静态的形式，无法发挥该造型方法实际潜在的能力。在实际应用中，静态形式 的盘B样条曲线存在以下不足。
1)计算机几何造型领域：在使用盘B样条曲线为物体建模时，用户很难获得预期的几何 形状。原因在于，用户无法直接调整盘B样条曲线的形状，而只能通过调整控制球的位置和大 小，从而间接地调整盘B样条曲线的形状。在大多数情况下，这种间接地方法是低效的，为了 获得预期的结果，用户需要花费大量的时间。在一些情况下，甚至可能无法获得满意的结果。
2)计算机动画生成：使用盘B样条曲线生成基于物理的动画是十分费时费力的。比如生 成一段盘B样条曲线在重力作用下运动的动画，用户需要“手动”地在动画的每一帧调整盘B 样条的位置和形状，以此来生成一段“看似真实的”盘B样条在重力下运动变形的动画。因为 用户需要逐帧地调整盘B样条的位置和形状，这会导致巨大的工作量。
在现有公开的专利文献中，例如中国发明专利公开号CN104765978B的公开了一种基于球B 样条曲线的头发造型建模方法，具体涉及一种基于球B样条曲线的头发造型建模方法。该发明 提供的基于球B样条曲线的头发造型建模方法，包括：对头发的生长点进行初始化；对头发的 进行参数化计算；计算头发进行标架和坐标；对所述头发进行能量最小化计算；计算头发的新 标架和坐标；对头发进行碰撞检测；根据球B样条曲线对头发进行建模。该发明提供的基于球B样条曲线的头发造型建模方法不适用于动态盘B样条曲线的二维动态几何建模。
发明内容
本发明的目的是针对现有技术的不足，提供一种基于动态盘B样条曲线的二维动态几何建 模方法。
所述二维动态几何建模方法包括以下步骤：
步骤1，使用
Figure BDA00028323681600000210
表示盘B样条曲线的第i个控制盘，使用
Figure BDA0002832368160000021
表示 第i个控制盘的位置，使用
Figure BDA0002832368160000022
和r(u)＝∑riNi，p(u)分别表示骨架线上点的位置 和沿骨架线方向半径变化的数学表达式，使用
Figure BDA0002832368160000023
和
Figure BDA00028323681600000211
表示骨架线 曲线上随参数u变化的每一处的切向和法向，Tx和Ty分别表示T(u)的两个坐标分量，则盘B样 条曲线表示为下式(1)：
Figure BDA0002832368160000024
上式(1)中，u为沿骨架线方向的参数，v为垂直于骨架线方向的参数，s(u，v)为盘B样条 曲线区域中任意一点；
步骤2，使用
Figure BDA0002832368160000028
表示盘B样条曲线在时刻t时的第i个控制盘， 对于时刻t所有的控制盘，表示为下式(2)：
Figure BDA0002832368160000029
上式(2)中，p(t)是时间参数t的函数，在时刻t，一条盘B样条曲线由p(t)唯一确定；
步骤3，动态盘B样条曲线是盘B样条曲线在时间域上的推广，在盘B样条曲线的几何表 达式中加入时间参数t后，给出动态盘B样条曲线的数学表达式为下式(3)：
Figure BDA0002832368160000025
步骤4，使用pi(t)表示物理系统的广义坐标第i个分量，使用p(t)表示该物理系统的广义坐 标，使用
Figure BDA0002832368160000026
表示广义坐标关于时间参数t的导数，省略所有的时间参数t，得下式(4)：
Figure BDA0002832368160000027
步骤5，使用T、U和D分别表示系统的动能、势能和耗散能，使用fi表示作用在第i个广义 坐标pi的广义外力，则拉格朗日函数式表示为下式(5)：
Figure BDA0002832368160000031
上式(5)中，T、U和D均为广义坐标p及其关于时间的导数
Figure BDA0002832368160000032
的函数，fi为时间t的函数；
步骤6，将步骤5中的式(5)表示为矩阵形式，则有下式(6)：
Figure BDA0002832368160000033
上式(6)中，
Figure BDA0002832368160000039
其他项以此类推；
步骤7，对于一个动态盘B样条系统，使用μ(u，v)和M分别表示质量密度分布函数和质量矩 阵，省略函数参数后，系统动能T、质量矩阵M(p)分别表示为下式(7)、(8)：
Figure BDA0002832368160000035
Figure BDA00028323681600000310
步骤8，使用γ(u，v)和D(p)分布表示阻尼密度分布函数和阻尼矩阵，省略函数参数后，耗 散能D与阻尼矩阵D(p)分别表达为下式(9)、(10)：
Figure BDA0002832368160000036
Figure BDA00028323681600000311
步骤9，使用α(u，v)、β(u，v)和K(p)分布表示系统的局部张力函数、刚度函数和刚度矩阵： 省略函数参数后，系统势能U与刚度矩阵K(p)分别表示为下式(11)、(12)：
Figure BDA0002832368160000037
Figure BDA0002832368160000038
上式(12)中，带有下标的矩阵J表示J关于参数u和v的偏导数；
步骤10，使用f(u，v，t)表示系统的外力分布函数，则系统广义外力fp表示为下式(13)：
Figure BDA00028323681600000312
根据以上的推导，在动态盘B样条曲线系统中，拉格朗日函数式(5)进一步表示为下式(14)：
Figure BDA0002832368160000041
根据动态盘B样条曲线的数学性质，对式(14)进行简化，得到简化的动态盘B样条曲线 运动方程式(15)：
Figure BDA0002832368160000042
上式(15)中，
Figure BDA0002832368160000043
步骤11，线性几何约束表示为下式(16)：
C(p)＝Ap+b＝0¨¨¨ (16)，
上式(16)中，p为系统的广义坐标；
步骤12，若系统存在M个独立的线形几何约束，且p包含N个分量，则A为一个M×N的矩 阵，b为一个常向量，广义坐标p表示为下式(17)：
p＝Gq+q0…… (17)，
上式(17)中，G为一个M×(N-M)的矩阵，q0是一个常向量，q表示该系统新的广义坐标，其分量个数为N-M，新的广义坐标q使用高斯消元法求得；
步骤13，根据上式(17)，得到带有线性约束的动态盘B样条曲线的运动方程式(18)：
Figure BDA0002832368160000044
上式(18)中：
Figure BDA0002832368160000045
Figure BDA0002832368160000046
并且，L＝JG为s关于q的雅克比矩阵；
步骤14，求解动态盘B样条曲线的运动方程，使用有限差分法对雅克比矩阵J的一、二阶 偏导数进行近似，得下式(19)：
Figure BDA0002832368160000051
Figure BDA0002832368160000052
Figure BDA0002832368160000053
Figure BDA0002832368160000054
步骤15，动态盘B样条曲线的运动方程式(15)为一个二阶偏微分方程,在通常情况下， 式(15)没有解析解,为了求解动态盘B样条曲线的运动方程，与参数域上的有限差分法类似， 在时间域上，使用差分对
Figure BDA0002832368160000055
和
Figure BDA00028323681600000511
进行近似,给定特定的物理参数，动态盘B样条曲线系统运动方 程式(15)成为一个刚性系统，为保证计算的稳定性，需要使用隐式欧拉方式对时间积分进行 近似求算，得到下式(20)：
Figure BDA0002832368160000056
Figure BDA0002832368160000057
步骤16，根据式(20)、动态盘B样条曲线的运动方程式(15)以及动态盘B样条曲线的数 学式性质，推导出动态盘B样条曲线运动方程的离散化形式(21)：
Figure BDA0002832368160000058
式(21)中，没有上标说明的物理量取其在(t+Δt)时刻的值，为了对式(21)进一步简化， 对于式(21)中的矩阵物理量，使用在时刻t的值对其在时刻(t+Δt)的值进行近似，如下式(22)：
Figure BDA0002832368160000059
步骤17，对于带有线性几何约束的动态盘B样条曲线的运动方程，能够推导出其对应的离 散化形式的式(23)：
Figure BDA00028323681600000510
Figure BDA0002832368160000061
进一步地，步骤1之前，还包括求解盘B样条曲线隐式几何表达式的步骤，使用<ρi，ri>表 示盘B样条曲线的第i个控制盘，使用Ni，p(u)表示次数为p的第i个B样条基函数，则盘B样条曲 线定义为下式(24)：
Figure BDA0002832368160000062
其中，u为盘B样条曲线沿骨架线方向的参数。
进一步地，步骤16中的式(22)近似表达式为：M(t+Δt)＝M(t)。
进一步地，本发明所述二维动态几何建模方法还包括步骤18，当给定合适的物理参数时， 动态盘B样条曲线系统运动方程式(15)成为一个非刚性系统，在这种情况下，动态盘B样条 曲线的离散化形式的方程式(21)和式(23)能够使用显式欧拉方法进行化简。
相对于现有技术，本发明所述的二维动态几何建模方法具有以下显著的优越效果：
1，动态盘B样条适合于计算机交互几何造型设计，动态盘B样条曲线是一个基于物理的模 型，通过施加合适的外力，用户能够交互地直接操控动态盘B样条曲线的形状，便捷地对其进 行调整，从而获得期望的造型结果。
2，动态盘B样条曲线适合于基于物理的计算机动画生成，使用动态盘B样条曲线生成基于 物理的动画十分便捷，通过设置合适的初始物理参数，如外力、刚度和几何约束，动态盘B样 条曲线遵循物理规律的运动和变形，直接生成整个运动过程的动画。
附图说明
图1为本发明所述二维动态几何建模方法的盘B样条曲线的示意图；
图2为本发明所述二维动态几何建模方法的控制盘圆心的位置示意图；
图3为本发明所述二维动态几何建模方法的树的树叶被风吹动示意图；
图4为本发明所述二维动态几何建模方法的马的毛发被风吹动示意图；
图5为本发明所述二维动态几何建模方法的流程示意图。
具体实施方式
下面结合说明书附图和具体实施方式对本发明进行进一步的详细描述。
如图1至图5所示，所述二维动态几何建模方法包括以下步骤：
步骤1，使用
Figure BDA0002832368160000065
表示盘B样条曲线的第i个控制盘，使用
Figure BDA0002832368160000063
表示 第i个控制盘的位置，使用
Figure BDA0002832368160000064
和r(u)＝∑riNi，p(u)分别表示骨架线上点的位置 和沿骨架线方向半径变化的数学表达式，使用
Figure BDA0002832368160000071
和
Figure BDA00028323681600000710
表示骨架线 曲线上随参数u变化的每一处的切向和法向，Tx和Ty分别表示T(u)的两个坐标分量，则盘B样 条曲线表示为下式(1)：
Figure BDA0002832368160000072
上式(1)中，u为沿骨架线方向的参数，v为垂直于骨架线方向的参数，s(u，v)为盘B样条 曲线区域中任意一点；
步骤2，使用
Figure BDA00028323681600000711
表示盘B样条曲线在时刻t时的第i个控制盘， 对于时刻t所有的控制盘，表示为下式(2)：
Figure BDA00028323681600000712
上式(2)中，p(t)是时间参数t的函数，在时刻t，一条盘B样条曲线由p(t)唯一确定；
步骤3，动态盘B样条曲线是盘B样条曲线在时间域上的推广，在盘B样条曲线的几何表 达式中加入时间参数t后，给出动态盘B样条曲线的数学表达式为下式(3)：
Figure BDA0002832368160000073
步骤4，使用pi(t)表示物理系统的广义坐标第i个分量，使用p(t)表示该物理系统的广义坐 标，使用
Figure BDA0002832368160000074
表示广义坐标关于时间参数t的导数，省略所有的时间参数t，得下式(4)：
Figure BDA0002832368160000075
步骤5，使用T、U和D分别表示系统的动能、势能和耗散能，使用fi表示作用在第i个广义 坐标pi的广义外力，则拉格朗日函数式表示为下式(5)：
Figure BDA0002832368160000076
上式(5)中，T、U和D均为广义坐标p及其关于时间的导数
Figure BDA0002832368160000077
的函数，fi为时间t的函数；
步骤6，将步骤5中的式(5)表示为矩阵形式，则有下式(6)：
Figure BDA0002832368160000078
上式(6)中，
Figure BDA00028323681600000713
其他项以此类推；
步骤7，对于一个动态盘B样条系统，使用μ(u，v)和M分别表示质量密度分布函数和质量矩 阵，省略函数参数后，系统动能T、质量矩阵M(p)分别表示为下式(7)、(8)：
Figure BDA0002832368160000081
Figure BDA0002832368160000088
步骤8，使用γ(u，v)和D(p)分布表示阻尼密度分布函数和阻尼矩阵，省略函数参数后，耗 散能D与阻尼矩阵D(p)分别表达为下式(9)、(10)：
Figure BDA0002832368160000082
Figure BDA0002832368160000089
步骤9，使用α(u，v)、β(u，v)和K(p)分布表示系统的局部张力函数、刚度函数和刚度矩阵： 省略函数参数后，系统势能U与刚度矩阵K(p)分别表示为下式(11)、(12)：
Figure BDA0002832368160000083
Figure BDA0002832368160000084
上式(12)中，带有下标的矩阵J表示J关于参数u和v的偏导数；
步骤10，使用f(u，v，t)表示系统的外力分布函数，则系统广义外力fp表示为下式(13)：
Figure BDA00028323681600000810
根据以上的推导，在动态盘B样条曲线系统中，拉格朗日函数式(5)进一步表示为下式(14)：
Figure BDA0002832368160000085
根据动态盘B样条曲线的数学性质，对式(14)进行简化，得到简化的动态盘B样条曲线 运动方程式(15)：
Figure BDA0002832368160000086
上式(15)中，
Figure BDA0002832368160000087
步骤11，线性几何约束表示为下式(16)：
C(p)＝Ap+b＝0¨¨¨ (16)，
上式(16)中，p为系统的广义坐标；
步骤12，若系统存在M个独立的线形几何约束，且p包含N个分量，则A为一个M×N的矩 阵，b为一个常向量，广义坐标p表示为下式(17)：
p＝Gq+q0……(17)，
上式(17)中，G为一个M×(N-M)的矩阵，q0是一个常向量，q表示该系统新的广义坐标，其分量个数为N-M，新的广义坐标q使用高斯消元法求得；
步骤13，根据上式(17)，得到带有线性约束的动态盘B样条曲线的运动方程式(18)：
Figure BDA0002832368160000091
上式(18)中：
Figure BDA0002832368160000099
Figure BDA00028323681600000910
并且，L＝JG为s关于q的雅克比矩阵；
步骤14，求解动态盘B样条曲线的运动方程，使用有限差分法对雅克比矩阵J的一、二阶 偏导数进行近似，得下式(19)：
Figure BDA0002832368160000092
Figure BDA0002832368160000093
Figure BDA0002832368160000094
Figure BDA0002832368160000095
步骤15，动态盘B样条曲线的运动方程式(15)为一个二阶偏微分方程,在通常情况下， 式(15)没有解析解,为了求解动态盘B样条曲线的运动方程，与参数域上的有限差分法类似， 在时间域上，使用差分对
Figure BDA0002832368160000096
和
Figure BDA0002832368160000097
进行近似,给定特定的物理参数，动态盘B样条曲线系统运动方 程式(15)成为一个刚性系统，为保证计算的稳定性，需要使用隐式欧拉方式对时间积分进行 近似求算，得到下式(20)：
Figure BDA0002832368160000098
Figure BDA0002832368160000101
步骤16，根据式(20)、动态盘B样条曲线的运动方程式(15)以及动态盘B样条曲线的数 学式性质，推导出动态盘B样条曲线运动方程的离散化形式(21)：
Figure BDA0002832368160000102
式(21)中，没有上标说明的物理量取其在(t+Δt)时刻的值，为了对式(21)进一步简化， 对于式(21)中的矩阵物理量，使用在时刻t的值对其在时刻(t+Δt)的值进行近似，如下式(22)：
Figure BDA0002832368160000103
步骤17，对于带有线性几何约束的动态盘B样条曲线的运动方程，能够推导出其对应的离 散化形式的式(23)：
Figure BDA0002832368160000104
进一步地，步骤1之前，还包括求解盘B样条曲线隐式几何表达式的步骤，使用<ρi，ri>表 示盘B样条曲线的第i个控制盘，使用Ni，p(u)表示次数为p的第i个B样条基函数，则盘B样条曲 线定义为下式(24)：
Figure BDA0002832368160000105
其中，u为盘B样条曲线沿骨架线方向的参数。
进一步地，步骤16中的式(22)近似表达式为：M(t+Δt)＝M(t)。
进一步地，本发明所述二维动态几何建模方法还包括步骤18，当给定合适的物理参数时， 动态盘B样条曲线系统运动方程式(15)成为一个非刚性系统，在这种情况下，动态盘B样条 曲线的离散化形式的方程式(21)和式(23)能够使用显式欧拉方法进行化简。
以上所述仅为本发明的优选实施例而已，并不用于限制本发明，对于本领域的技术人员来 说，本发明可以有各种更改和变化，凡在本发明的精神和原则之内，所作的任何修改、等同替 换、改进等，均应包含在本发明权利要求的保护范围之内。

Claims (4)

1.一种基于动态盘B样条曲线的二维动态几何建模方法，其特征在于，包括以下步骤：
步骤1，使用
Figure FDA00028323681500000111
表示盘B样条曲线的第i个控制盘，使用
Figure FDA0002832368150000011
表示第i个控制盘的位置，使用
Figure FDA0002832368150000012
和r(u)＝∑riNi，p(u)分别表示骨架线上点的位置和沿骨架线方向半径变化的数学表达式，使用
Figure FDA0002832368150000013
和
Figure FDA00028323681500000112
表示骨架线曲线上随参数u变化的每一处的切向和法向，Tx和Ty分别表示T(u)的两个坐标分量，则盘B样条曲线表示为下式(1)：
Figure FDA0002832368150000014
上式(1)中，u为沿骨架线方向的参数，v为垂直于骨架线方向的参数，s(u，v)为盘B样条曲线区域中任意一点；
步骤2，使用
Figure FDA00028323681500000113
表示盘B样条曲线在时刻t时的第i个控制盘，对于时刻t所有的控制盘，表示为下式(2)：
Figure FDA00028323681500000110
上式(2)中，p(t)是时间参数t的函数，在时刻t，一条盘B样条曲线由p(t)唯一确定；
步骤3，动态盘B样条曲线是盘B样条曲线在时间域上的推广，在盘B样条曲线的几何表达式中加入时间参数t后，给出动态盘B样条曲线的数学表达式为下式(3)：
Figure FDA0002832368150000015
步骤4，使用pi(t)表示物理系统的广义坐标第i个分量，使用p(t)表示该物理系统的广义坐标，使用
Figure FDA0002832368150000019
表示广义坐标关于时间参数t的导数，省略所有的时间参数t，得下式(4)：
Figure FDA0002832368150000016
步骤5，使用T、U和D分别表示系统的动能、势能和耗散能，使用fi表示作用在第i个广义坐标pi的广义外力，则拉格朗日函数式表示为下式(5)：
Figure FDA0002832368150000017
上式(5)中，T、U和D均为广义坐标p及其关于时间的导数
Figure FDA0002832368150000018
的函数，fi为时间t的函数；
步骤6，将步骤5中的式(5)表示为矩阵形式，则有下式(6)：
Figure FDA0002832368150000021
上式(6)中，
Figure FDA0002832368150000029
其他项以此类推；
步骤7，对于一个动态盘B样条系统，使用μ(u，v)和M分别表示质量密度分布函数和质量矩阵，省略函数参数后，系统动能T、质量矩阵M(p)分别表示为下式(7)、(8)：
Figure FDA0002832368150000023
Figure FDA00028323681500000210
步骤8，使用γ(u，v)和D(p)分布表示阻尼密度分布函数和阻尼矩阵，省略函数参数后，耗散能D与阻尼矩阵D(p)分别表达为下式(9)、(10)：
Figure FDA0002832368150000024
Figure FDA00028323681500000211
步骤9，使用α(u，v)、β(u，v)和K(p)分布表示系统的局部张力函数、刚度函数和刚度矩阵：省略函数参数后，系统势能U与刚度矩阵K(p)分别表示为下式(11)、(12)：
Figure FDA0002832368150000025
Figure FDA0002832368150000026
上式(12)中，带有下标的矩阵J表示J关于参数u和v的偏导数；
步骤10，使用f(u，v，t)表示系统的外力分布函数，则系统广义外力fp表示为下式(13)：
Figure FDA00028323681500000212
根据以上的推导，在动态盘B样条曲线系统中，拉格朗日函数式(5)进一步表示为下式(14)：
Figure FDA0002832368150000027
根据动态盘B样条曲线的数学性质，对式(14)进行简化，得到简化的动态盘B样条曲线运动方程式(15)：
Figure FDA0002832368150000028
上式(15)中，
Figure FDA0002832368150000031
步骤11，线性几何约束表示为下式(16)：
C(p)＝Ap+b＝0……(16)，
上式(16)中，p为系统的广义坐标；
步骤12，若系统存在M个独立的线形几何约束，且p包含N个分量，则A为一个M×N的矩阵，b为一个常向量，广义坐标p表示为下式(17)：
p＝Gq+q0……(17)，
上式(17)中，G为一个M×(N-M)的矩阵，q0是一个常向量，q表示该系统新的广义坐标，其分量个数为N-M，新的广义坐标q使用高斯消元法求得；
步骤13，根据上式(17)，得到带有线性约束的动态盘B样条曲线的运动方程式(18)：
Figure FDA0002832368150000032
上式(18)中：
Figure FDA0002832368150000036
Figure FDA0002832368150000037
并且，L＝JG为s关于q的雅克比矩阵；
步骤14，求解动态盘B样条曲线的运动方程，使用有限差分法对雅克比矩阵J的一、二阶偏导数讲行近似，得下式(19)：
Figure FDA0002832368150000033
步骤15，动态盘B样条曲线的运动方程式(15)为一个二阶偏微分方程，在通常情况下，式(15)没有解析解，为了求解动态盘B样条曲线的运动方程，与参数域上的有限差分法类似，在时间域上，使用差分对
Figure FDA0002832368150000034
和
Figure FDA0002832368150000035
进行近似，给定特定的物理参数，动态盘B样条曲线系统运动方程式(15)成为一个刚性系统，为保证计算的稳定性，需要使用隐式欧拉方式对时间积分进行近似求算，得到下式(20)：
Figure FDA0002832368150000041
步骤16，根据式(20)、动态盘B样条曲线的运动方程式(15)以及动态盘B样条曲线的数学式性质，推导出动态盘B样条曲线运动方程的离散化形式(21)：
Figure FDA0002832368150000042
式(21)中，没有上标说明的物理量取其在(t+Δt)时刻的值，为了对式(21)进一步简化，对于式(21)中的矩阵物理量，使用在时刻t的值对其在时刻(t+Δt)的值进行近似，如下式(22)：
Figure FDA0002832368150000043
步骤17，对于带有线性几何约束的动态盘B样条曲线的运动方程，能够推导出其对应的离散化形式的式(23)：
Figure FDA0002832368150000045
2.根据权利要求1所述的基于动态盘B样条曲线的二维动态几何建模方法，其特征在于，步骤1之前，还包括求解盘B样条曲线隐式几何表达式的步骤，使用<ρi，ri>表示盘B样条曲线的第i个控制盘，使用Ni，p(u)表示次数为p的第i个B样条基函数，则盘B样条曲线定义为下式(24)：
Figure FDA0002832368150000044
其中，u为盘B样条曲线沿骨架线方向的参数。
3.根据权利要求1所述的基于动态盘B样条曲线的二维动态几何建模方法，其特征在于，还包括步骤18，当给定合适的物理参数时，动态盘B样条曲线系统运动方程式(15)成为一个非刚性系统，在这种情况下，动态盘B样条曲线的离散化形式的方程式(21)和式(23)能够使用显式欧拉方法进行化简。
4.根据权利要求1所述的基于动态盘B样条曲线的二维动态几何建模方法，其特征在于，步骤16中的式(22)近似表示为：M(t+Δt)＝M(t)。
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