CN112686980A - 一种基于动态球b样条曲线的三维动态几何建模方法 - Google Patents

一种基于动态球b样条曲线的三维动态几何建模方法 Download PDF

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CN112686980A CN202011463605.6A CN202011463605A CN112686980A CN 112686980 A CN112686980 A CN 112686980A CN 202011463605 A CN202011463605 A CN 202011463605A CN 112686980 A CN112686980 A CN 112686980A
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武仲科
张宇
王醒策
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Abstract

本发明公开了一种基于动态球B样条曲线的三维动态几何建模方法。所述三维动态几何建模方法的动态球B样条适合于计算机交互几何造型设计，动态球B样条曲线是一个基于物理的模型，通过施加合适的外力，用户可以交互地直接操控动态球B样条曲线的形状，便捷地对其进行调整，从而获得期望的造型结果，实验结果显示动态球B样条曲线能够可靠地描述球B样条曲线的运动变形行为，通过提供合适的物理参数，我们可以使用动态球B样条曲线进行足够精度的物理模拟，实验结果证实，动态球B样条曲线极大地提高了球B样条曲线的可用性和灵活性，在可预见的未来，动态球B样条曲线有希望成为计算机三维几何建模和物理模拟领域中的有力工具。

Description

一种基于动态球B样条曲线的三维动态几何建模方法
技术领域
本发明涉及计算机物理技术领域，具体而言，涉及一种基于动态球B样条曲线的三维动态几何建模方法。
背景技术
几何造型方法是研究几何物体数学表达形式的方法，在计算机辅助几何设计、计算机图形学、虚拟现实与可视化等领域中拥有着重要应用。球B样条曲线(Ball B-splinecurve,BBSC)是基于骨架线的几何造型方法，可以看作是三维B样条曲线的拓展形式。球B样条曲线拥有许多良好的数学几何性质，并广泛应用于多个领域。球B样条曲线描述了一个三维空间中的实体，该实体的半径可以沿骨架线方向变化。球B样条曲线常用于树枝、植物和血管等三维物体的建模，广泛应用于计算机三维几何造型、三维动画设计等领域。
尽管围绕球B样条曲线，大量的研究工作已经完成，但是目前的大多数研究工作都集中于球B样条曲线的静态形式。然而，当前的球B样条曲线理论应用受限于其静态的形式，无法发挥该造型方法实际潜在的能力。在实际应用中，静态形式的球B样条曲线存在以下不足。
1)计算机几何造型领域：在使用球B样条曲线为物体建模时，用户很难获得预期的几何形状，原因在于，用户无法直接调整球B样条曲线的形状，而只能通过调整控制球的位置和大小，从而间接地调整球B样条曲线的形状。在大多数情况下，这种间接地方法是低效的，为了获得预期的结果，用户需要花费大量的时间。在一些情况下，甚至可能无法获得满意的结果。
2)计算机动画生成：使用球B样条曲线生成基于物理的动画是十分费时费力的，比如生成一段球B样条曲线在重力作用下运动的动画，用户需要“手动”地在动画的每一帧调整球B样条的位置和形状，以此来生成一段“看似真实的”球B样条在重力下运动变形的动画。因为用户需要逐帧地调整球B样条的位置和形状，这会导致巨大的工作量。
在现有公开的专利文献中，例如中国发明专利公开号CN104679958B公开了一种基于弹簧模型的球B样条编针织物形变仿真的方法，该发明对基于球B样条构造的编针织物进行形变仿真，球B样条是通过定义一系列的控制点、控制点所在的控制半径以及和这些控制点相联系的B样条曲线来表现2D绘画和3D绘画，操作时，基于胡克定律在编针织物的各个线圈之间建立弹簧模型，通过改变球B样条曲线控制点和其对应的厚度可以实现编针织物精确的形变并且提高了存储和传输的效率。该发明的缺点在于弹簧模型不是基于物理的模型，因此不能实现真实的仿真模拟效果。
再例如中国发明专利公开号CN101833787B公开了一种基于球B样条的植物叶片建模方法，包括：对待建模叶片进行叶脉分析，选取待建模叶脉；测量叶片三维形态信息，所述叶片三维形态信息包括：待建模叶脉上至少测量4个特征点位置信息、所述特征点对应的厚度信息和叶边缘特征点的位置信息；根据所述叶片三维形态信息采用插值型球B样条进行叶脉建模；根据所述叶片三维形态信息采用插值型B样条曲面进行叶面建模；将所述叶脉模型与所述叶面模型的特征点位置重合，得到完整的叶片三维模型。该发明球B样条曲线理论应用受限于其静态的形式，无法发挥该造型方法实际潜在的能力。
发明内容
本发明的目的是针对现有技术的不足，提供一种基于动态球B样条曲线的三维动态几何建模方法。
所述三维动态几何建模方法包括以下步骤：
步骤1，使用<ρi，ri>表示球B样条曲线的第i个控制球，使用Ni，p(u)表示次数为p的第i个B样条基函数，则球B样条曲线被定义为下式(1)：
Figure BDA0002832367990000021
步骤2，式(1)为隐式的几何表达式，为便于对球B样条曲线的数学性质进行分析，使用显式的球B样条曲线的表达式；
步骤3，使用
Figure BDA0002832367990000022
表示球B样条曲线在时刻t时的第i个控制球，对于时刻t所有的控制球表示为下式(4)：
Figure BDA0002832367990000023
其中，p(t)为时间参数t的函数，在时刻t，一条球B样条曲线由p(t)唯一确定，在拉格朗日函数中，p(t)为广义坐标；
步骤4，动态球B样条曲线是球B样条曲线在时间域上的推广，在球B样条曲线的几何表达式中加入时间参数t后，动态球B样条曲线的数学表示为下式(5)：
Figure BDA0002832367990000031
其中，c′(u，t)和r′(u，t)分别表示为
Figure BDA0002832367990000032
和
Figure BDA0002832367990000033
步骤5，使用pi(t)表示物理系统的广义坐标的第i个分量，使用p(t)表示物理系统的广义坐标，使用
Figure BDA0002832367990000034
表示广义坐标关于时间参数t的导数，省略所有的时间参数t，得到下式(6)：
Figure BDA0002832367990000035
步骤6，使用T、U和D分别表示系统的动能、势能和Raleigh耗散能，使用fi表示作用在第i个广义坐标pi的广义外力，则拉格朗日函数式表示为下式(7)：
Figure BDA0002832367990000036
其中，T、U和D均为广义坐标p及其关于时间的导数
Figure BDA0002832367990000037
的函数，fi为时间t的函数；
步骤7，将上式(7)表示为矩阵形式，则有下式(8)：
Figure BDA0002832367990000038
其中，
Figure BDA0002832367990000039
其他项类同；
步骤8，对于一个动态球B样条系统，使用μ(u，v)和M(p)分布表示其质量密度分布函数和质量矩阵，省略函数参数后，系统动能T表示为下式(9)：
Figure BDA00028323679900000310
质量矩阵M(p)表示为下式(10)：
Figure BDA00028323679900000313
步骤9，使用γ(u，v)和D(p)分布表示阻尼密度分布函数和阻尼矩阵，省略函数参数后，耗散能D能够与阻尼矩阵D(p)分别表示为下式(11)、(12)：
Figure BDA00028323679900000311
Figure BDA00028323679900000314
步骤10，计算动态球B样条曲线的势能U，使用α(u，v)、β(u，v)和K(p)分别表示系统的局部张力函数、刚度函数和刚度矩阵，省略函数参数后，系统势能U表示为下式(13)：
Figure BDA00028323679900000312
Figure BDA0002832367990000041
刚度矩阵K(p)表示为下式(14)：
Figure BDA0002832367990000042
其中，带有下标的Jacobian矩阵J表示J关于参数u和v的偏导数；
步骤11，系统的广义外力fp能够根据虚功原理得到，使用f(u，v，t)表示系统的外力分布函数，则系统广义外力fp能够表示为以下公式(15)：
Figure BDA0002832367990000047
步骤12，根据以上的推导，在动态球B样条曲线系统中，拉格朗日函数式(7)表示为下式(16)：
Figure BDA0002832367990000043
步骤13，根据动态球B样条曲线的数学性质，对上式(16)进行简化，得到简化的动态球B样条曲线运动方程式(17)：
Figure BDA0002832367990000044
其中，
Figure BDA0002832367990000045
步骤14，线性几何约束表示为下式(18)：
C(p)＝Ap+b＝0……(18)，
其中，p为系统的广义坐标；
步骤15，当系统存在M个独立的线形几何约束，且p包含N个分量，则A为一个M×N的矩阵，b为一个常向量，同时，广义坐标p表示为下式(19)：
p＝Gq+q0……(19)，
其中，G为一个M×(N-M)的矩阵，q0是一个常向量，q表示系统新的广义坐标，其分量个数为N-M，系统新的广义坐标q由高斯消元法求得；
步骤15，根据上式(19)获得以下带有线性约束的动态球B样条曲线的运动方程式(20)：
Figure BDA0002832367990000046
式(20)中的各项分别表示为下式(21)：
Figure BDA0002832367990000048
Figure BDA0002832367990000049
其中，L＝JG为s关于q的雅克比矩阵；
步骤16，为了求解动态球B样条曲线的运动方程，使用有限差分法对雅克比矩阵J的一、二阶偏导数进行近似求导，如下式(22)：
Figure BDA0002832367990000051
其中，式(22)使用的差分近似方法为中心差分，对于网格边界上的节点，使用对应的前向差分或者后向差分方法；
步骤17，动态球B样条曲线的运动方程式(17)为一个二阶偏微分方程，通常情况下，式(17)没有解析解，为了求解动态球B样条曲线的运动方程，与参数域上的有限差分法类似，在时间域上，使用差分对
Figure BDA0002832367990000052
和
Figure BDA0002832367990000053
进行近似，给定特定的物理参数，动态球B样条曲线系统运动方程式(17)成为一个刚性系统，使用隐式Euler方式对时间积分进行近似，得下式(23)：
Figure BDA0002832367990000054
Figure BDA0002832367990000055
步骤18，根据式(23)、动态球B样条曲线的运动方程式(17)以及动态球B样条曲线的数学式性质，推导出动态球B样条曲线运动方程的离散化式(24)：
Figure BDA0002832367990000058
步骤19，式(24)中，没有上标说明的物理量取其在(t+Δt)时刻的值，为了对式(24)进一步简化，对于式(24)中的矩阵物理量，使用在时刻t的值对其在时刻(t+Δt)的值进行近似，得下式(25)：
Figure BDA0002832367990000056
步骤20，对于带有线性几何约束的动态球B样条曲线的运动方程，推导出与其对应的离散化形式的式(26)：
Figure BDA0002832367990000059
Figure BDA0002832367990000065
当给定合适的物理参数时，动态球B样条曲线系统运动方程式(17)成为一个非刚性系统，在这种情况下，动态球B样条曲线的离散化形式(式(24)和式(26))则使用显式Euler方法进行简化。
进一步地，步骤2所述使用显式的球B样条曲线的表达式包括如下步骤：
步骤2.1，使用
Figure BDA0002832367990000066
表示球B样条曲线的第i个控制球，使用
Figure BDA0002832367990000061
Figure BDA0002832367990000062
表示第i个控制球的位置，使用c(u)和r(u)分别表示骨架线上点的位置和沿骨架线方向半径变化的数学表达式，使用T(u)、B(u)和N(u)分别表示骨架线曲线上随参数u变化的Frenet标架的三个单位正交基，则分别表示为下式(2)：
Figure BDA0002832367990000063
步骤2.2，则球B样条曲线的数学表达式能够显式地表示为下式(3)：
Figure BDA0002832367990000064
其中，u和v分别表示沿骨架线方向和垂直于骨架线方向的参数，s(u，v)为球B样条曲线的表面上任意一点。
进一步地，步骤19中的式(25)近似表示为下式(27)：
M(t+Δt)＝M(t)……(27)。
相对于现有技术，本发明所述的三维动态几何建模方法具有以下显著的优越效果：
1，动态球B样条适合于计算机交互几何造型设计，动态球B样条曲线是一个基于物理的模型，通过施加合适的外力，用户能够交互地直接操控动态球B样条曲线的形状，便捷地对其进行调整，从而获得期望的造型结果。
2，动态球B样条曲线适合于基于物理的计算机动画生成，使用动态球B样条曲线生成基于物理的动画十分便捷，通过设置合适的初始物理参数，如外力、刚度和几何约束，动态球B样条曲线能够进行遵循物理规律的运动和变形，直接生成整个运动过程的动画。
3，实验结果显示动态球B样条曲线能够可靠地描述球B样条曲线的运动变形行为，通过提供合适的物理参数，能够使用动态球B样条曲线进行足够精度的物理模拟，实验结果证实，动态球B样条曲线极大地提高了球B样条曲线的可用性和灵活性，在预见的未来，动态球B样条曲线有望成为计算机三维几何建模和物理模拟领域中的强有力的使用工具。
附图说明
图1为本发明所述三维动态几何建模方法的球B样条曲线示意图；
图2为图1中球B样条曲线沿骨架线方向的剖面图；
图3为本发明所述三维动态几何建模方法的树木初始状态示意图；
图4为本发明所述三维动态几何建模方法的树木变形状态示意图；
图5为本发明所述三维动态几何建模方法的脑血管模型初始状态示意图；
图6为本发明所述三维动态几何建模方法的脑血管模型变形状态示意图；
图7为本发明所述三维动态几何建模方法的流程示意图。
具体实施方式
下面结合说明书附图和具体实施方式对本发明进行进一步的详细描述。
如图1至图7所示，所述三维动态几何建模方法包括以下步骤：
所述三维动态几何建模方法包括以下步骤：
步骤1，使用<ρi，ri>表示球B样条曲线的第i个控制球，使用Ni，p(u)表示次数为p的第i个B样条基函数，则球B样条曲线被定义为下式(1)：
Figure BDA0002832367990000071
步骤2，式(1)为隐式的几何表达式，为便于对球B样条曲线的数学性质进行分析，使用显式的球B样条曲线的表达式；
步骤3，使用
Figure BDA0002832367990000072
表示球B样条曲线在时刻t时的第i个控制球，对于时刻t所有的控制球表示为下式(4)：
Figure BDA0002832367990000073
其中，p(t)为时间参数t的函数，在时刻t，一条球B样条曲线由p(t)唯一确定，在拉格朗日函数中，p(t)为广义坐标；
步骤4，动态球B样条曲线是球B样条曲线在时间域上的推广，在球B样条曲线的几何表达式中加入时间参数t后，动态球B样条曲线的数学表示为下式(5)：
Figure BDA0002832367990000081
其中，c′(u，t)和r′(u，t)分别表示为
Figure BDA0002832367990000082
和
Figure BDA0002832367990000083
步骤5，使用pi(t)表示物理系统的广义坐标的第i个分量，使用p(t)表示物理系统的广义坐标，使用
Figure BDA0002832367990000084
表示广义坐标关于时间参数t的导数，省略所有的时间参数t，得到下式(6)：
Figure BDA0002832367990000085
步骤6，使用T、U和D分别表示系统的动能、势能和Raleigh耗散能，使用fi表示作用在第i个广义坐标pi的广义外力，则拉格朗日函数式表示为下式(7)：
Figure BDA0002832367990000086
其中，T、U和D均为广义坐标p及其关于时间的导数
Figure BDA0002832367990000087
的函数，fi为时间t的函数；
步骤7，将上式(7)表示为矩阵形式，则有下式(8)：
Figure BDA0002832367990000088
其中，
Figure BDA0002832367990000089
其他项类同；
步骤8，对于一个动态球B样条系统，使用μ(u，v)和M(p)分布表示其质量密度分布函数和质量矩阵，省略函数参数后，系统动能T表示为下式(9)：
Figure BDA00028323679900000810
质量矩阵M(p)表示为下式(10)：
Figure BDA00028323679900000812
步骤9，使用γ(u，v)和D(p)分布表示阻尼密度分布函数和阻尼矩阵，省略函数参数后，耗散能D能够与阻尼矩阵D(p)分别表示为下式(11)、(12)：
Figure BDA00028323679900000811
Figure BDA0002832367990000097
步骤10，计算动态球B样条曲线的势能U，使用α(u，v)、β(u，v)和K(p)分别表示系统的局部张力函数、刚度函数和刚度矩阵，省略函数参数后，系统势能U表示为下式(13)：
Figure BDA0002832367990000091
刚度矩阵K(p)表示为下式(14)：
Figure BDA0002832367990000092
其中，带有下标的Jacobian矩阵J表示J关于参数u和v的偏导数；
步骤11，系统的广义外力fp能够根据虚功原理得到，使用f(u，v，t)表示系统的外力分布函数，则系统广义外力fp能够表示为以下公式(15)：
Figure BDA0002832367990000098
步骤12，根据以上的推导，在动态球B样条曲线系统中，拉格朗日函数式(7)表示为下式(16)：
Figure BDA0002832367990000093
步骤13，根据动态球B样条曲线的数学性质，对上式(16)进行简化，得到简化的动态球B样条曲线运动方程式(17)：
Figure BDA0002832367990000094
其中，
Figure BDA0002832367990000095
步骤14，线性几何约束表示为下式(18)：
C(p)＝Ap+b＝0……(18)，
其中，p为系统的广义坐标；
步骤15，当系统存在M个独立的线形几何约束，且p包含N个分量，则A为一个M×N的矩阵，b为一个常向量，同时，广义坐标p表示为下式(19)：
p＝Gq+q0……(19)，
其中，G为一个M×(N-M)的矩阵，q0是一个常向量，q表示系统新的广义坐标，其分量个数为N-M，系统新的广义坐标q由高斯消元法求得；
步骤15，根据上式(19)，获得以下带有线性约束的动态球B样条曲线的运动方程式(20)：
Figure BDA0002832367990000096
式(20)中的各项分别表示为下式(21)：
Figure BDA0002832367990000108
Figure BDA0002832367990000107
其中，L＝JG为s关于q的雅克比矩阵；
步骤16，为了求解动态球B样条曲线的运动方程，使用有限差分法对雅克比矩阵J的一、二阶偏导数进行近似求导，如下式(22)：
Figure BDA0002832367990000101
其中，式(22)使用的差分近似方法为中心差分，对于网格边界上的节点，使用对应的前向差分或者后向差分方法；
步骤17，动态球B样条曲线的运动方程式(17)为一个二阶偏微分方程，通常情况下，式(17)没有解析解，为了求解动态球B样条曲线的运动方程，与参数域上的有限差分法类似，在时间域上，使用差分对
Figure BDA0002832367990000102
和
Figure BDA0002832367990000103
进行近似，给定特定的物理参数，动态球B样条曲线系统运动方程式(17)成为一个刚性系统，使用隐式Euler方式对时间积分进行近似，得下式(23)：
Figure BDA0002832367990000104
Figure BDA0002832367990000105
步骤18，根据式(23)、动态球B样条曲线的运动方程式(17)以及动态球B样条曲线的数学式性质，推导出动态球B样条曲线运动方程的离散化式(24)：
Figure BDA0002832367990000109
步骤19，式(24)中，没有上标说明的物理量取其在(t+Δt)时刻的值，为了对式(24)进一步简化，对于式(24)中的矩阵物理量，使用在时刻t的值对其在时刻(t+Δt)的值进行近似，得下式(25)：
Figure BDA0002832367990000106
步骤20，对于带有线性几何约束的动态球B样条曲线的运动方程，推导出与其对应的离散化形式的式(26)：
Figure BDA0002832367990000115
当给定合适的物理参数时，动态球B样条曲线系统运动方程式(17)成为一个非刚性系统，在这种情况下，动态球B样条曲线的离散化形式(式(24)和式(26))则使用显式Euler方法进行简化。
进一步地，步骤2所述使用显式的球B样条曲线的表达式包括如下步骤：
步骤2.1，使用
Figure BDA0002832367990000116
表示球B样条曲线的第i个控制球，使用
Figure BDA0002832367990000111
Figure BDA0002832367990000112
表示第i个控制球的位置，使用c(u)和r(u)分别表示骨架线上点的位置和沿骨架线方向半径变化的数学表达式，使用T(u)、B(u)和N(u)分别表示骨架线曲线上随参数u变化的Frenet标架的三个单位正交基，则分别表示为下式(2)：
Figure BDA0002832367990000113
步骤2.2，则球B样条曲线的数学表达式能够显式地表示为下式(3)：
Figure BDA0002832367990000114
其中，u和v分别表示沿骨架线方向和垂直于骨架线方向的参数，s(u，v)为球B样条曲线的表面上任意一点。
进一步地，步骤19中的式(25)近似表示为下式(27)：
M(t+Δt)＝M(t)……(27)。
以上所述仅为本发明的优选实施例而已，并不用于限制本发明，对于本领域的技术人员来说，本发明可以有各种更改和变化，凡在本发明的精神和原则之内，所作的任何修改、等同替换、改进等，均应包含在本发明权利要求的保护范围之内。

Claims (3)

1.一种基于动态球B样条曲线的三维动态几何建模方法，其特征在于，包括以下步骤：
所述三维动态几何建模方法包括以下步骤：
步骤1，使用<ρi，ri>表示球B样条曲线的第i个控制球，使用Ni，p(u)表示次数为p的第i个B样条基函数，则球B样条曲线被定义为下式(1)：
Figure FDA0002832367980000011
步骤2，式(1)为隐式的几何表达式，为便于对球B样条曲线的数学性质进行分析，使用显式的球B样条曲线的表达式；
步骤3，使用
Figure FDA00028323679800000110
表示球B样条曲线在时刻t时的第i个控制球，对于时刻t所有的控制球表示为下式(4)：
Figure FDA0002832367980000019
其中，p(t)为时间参数t的函数，在时刻t，一条球B样条曲线由p(t)唯一确定，在拉格朗日函数中，p(t)为广义坐标；
步骤4，动态球B样条曲线是球B样条曲线在时间域上的推广，在球B样条曲线的几何表达式中加入时间参数t后，动态球B样条曲线的数学表示为下式(5)：
Figure FDA0002832367980000012
其中，c′(u，t)和r′(u，t)分别表示为
Figure FDA0002832367980000013
和
Figure FDA0002832367980000014
步骤5，使用pi(t)表示物理系统的广义坐标的第i个分量，使用p(t)表示物理系统的广义坐标，使用
Figure FDA0002832367980000015
表示广义坐标关于时间参数t的导数，省略所有的时间参数t，得到下式(6)：
Figure FDA0002832367980000016
步骤6，使用T、U和D分别表示系统的动能、势能和Raleigh耗散能，使用fi表示作用在第i个广义坐标pi的广义外力，则拉格朗日函数式表示为下式(7)：
Figure FDA0002832367980000017
其中，T、U和D均为广义坐标p及其关于时间的导数
Figure FDA0002832367980000018
的函数，fi为时间t的函数；
步骤7，将上式(7)表示为矩阵形式，则有下式(8)：
Figure FDA0002832367980000021
其中，
Figure FDA00028323679800000211
其他项类同；
步骤8，对于一个动态球B样条系统，使用μ(u，v)和M(p)分布表示其质量密度分布函数和质量矩阵，省略函数参数后，系统动能T表示为下式(9)：
Figure FDA0002832367980000023
质量矩阵M(p)表示为下式(10)：
Figure FDA00028323679800000210
步骤9，使用γ(u，v)和D(p)分布表示阻尼密度分布函数和阻尼矩阵，省略函数参数后，耗散能D能够与阻尼矩阵D(p)分别表示为下式(11)、(12)：
Figure FDA0002832367980000024
Figure FDA00028323679800000212
步骤10，计算动态球B样条曲线的势能U，使用α(u，v)、β(u，v)和K(p)分别表示系统的局部张力函数、刚度函数和刚度矩阵，省略函数参数后，系统势能U表示为下式(13)：
Figure FDA0002832367980000025
刚度矩阵K(p)表示为下式(14)：
Figure FDA0002832367980000026
其中，带有下标的Jacobian矩阵J表示J关于参数u和v的偏导数；
步骤11，系统的广义外力fp能够根据虚功原理得到，使用f(u，v，t)表示系统的外力分布函数，则系统广义外力fp能够表示为以下公式(15)：
Figure FDA00028323679800000213
步骤12，根据以上的推导，在动态球B样条曲线系统中，拉格朗日函数式(7)表示为下式(16)：
Figure FDA0002832367980000027
步骤13，根据动态球B样条曲线的数学性质，对上式(16)进行简化，得到简化的动态球B样条曲线运动方程式(17)：
Figure FDA0002832367980000028
其中，
Figure FDA0002832367980000029
步骤14，线性几何约束表示为下式(18)：
C(p)＝Ap+b＝0……(18)，
其中，p为系统的广义坐标；
步骤15，当系统存在M个独立的线形几何约束，且p包含N个分量，则A为一个M×N的矩阵，b为一个常向量，同时，广义坐标p表示为下式(19)：
p＝Gq+q0……(19)，
其中，G为一个M×(N-M)的矩阵，q0是一个常向量，q表示系统新的广义坐标，其分量个数为N-M，系统新的广义坐标q由高斯消元法求得；
步骤15，根据上式(19)，获得以下带有线性约束的动态球B样条曲线的运动方程式(20)：
Figure FDA0002832367980000031
式(20)中的各项分别表示为下式(21)：
Figure FDA0002832367980000037
Figure FDA0002832367980000036
其中，L＝JG为s关于q的雅克比矩阵；
步骤16，为了求解动态球B样条曲线的运动方程，使用有限差分法对雅克比矩阵J的一、二阶偏导数进行近似求导，如下式(22)：
Figure FDA0002832367980000032
其中，式(22)使用的差分近似方法为中心差分，对于网格边界上的节点，使用对应的前向差分或者后向差分方法；
步骤17，动态球B样条曲线的运动方程式(17)为一个二阶偏微分方程，通常情况下，式(17)没有解析解，为了求解动态球B样条曲线的运动方程，与参数域上的有限差分法类似，在时间域上，使用差分对
Figure FDA0002832367980000033
和
Figure FDA0002832367980000034
进行近似，给定特定的物理参数，动态球B样条曲线系统运动方程式(17)成为一个刚性系统，使用隐式Euler方式对时间积分进行近似，得下式(23)：
Figure FDA0002832367980000035
Figure FDA0002832367980000041
步骤18，根据式(23)、动态球B样条曲线的运动方程式(17)以及动态球B样条曲线的数学式性质，推导出动态球B样条曲线运动方程的离散化式(24)：
Figure FDA0002832367980000047
步骤19，式(24)中，没有上标说明的物理量取其在(t+Δt)时刻的值，为了对式(24)进一步简化，对于式(24)中的矩阵物理量，使用在时刻t的值对其在时刻(t+Δt)的值进行近似，得下式(25)：
Figure FDA0002832367980000042
步骤20，对于带有线性几何约束的动态球B样条曲线的运动方程，推导出与其对应的离散化形式的式(26)：
Figure FDA0002832367980000046
当给定合适的物理参数时，动态球B样条曲线系统运动方程式(17)成为一个非刚性系统，在这种情况下，动态球B样条曲线的离散化形式(式(24)和式(26))则使用显式Euler方法进行简化。
2.根据权利要求1所述的基于动态球B样条曲线的三维动态几何建模方法，其特征在于，步骤2所述使用显式的球B样条曲线的表达式包括如下步骤：
步骤2.1，使用
Figure FDA0002832367980000048
表示球B样条曲线的第i个控制球，使用
Figure FDA0002832367980000043
表示第i个控制球的位置，使用c(u)和r(u)分别表示骨架线上点的位置和沿骨架线方向半径变化的数学表达式，使用T(u)、B(u)和N(u)分别表示骨架线曲线上随参数u变化的Frenet标架的三个单位正交基，则分别表示为下式(2)：
Figure FDA0002832367980000044
r(u)＝∑riNi，p(u)，
Figure FDA0002832367980000045
Figure FDA0002832367980000051
Figure FDA0002832367980000052
步骤2.2，则球B样条曲线的数学表达式能够显式地表示为下式(3)：
Figure FDA0002832367980000053
其中，u和v分别表示沿骨架线方向和垂直于骨架线方向的参数，s(u，v)为球B样条曲线的表面上任意一点。
3.根据权利要求1所述的基于动态球B样条曲线的三维动态几何建模方法，其特征在于，步骤19中的式(25)近似表示为下式(27)：
M(t+Δt)＝M(t)……(27)。
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Cited By (2)

* Cited by examiner, † Cited by third party
Publication number Priority date Publication date Assignee Title
CN112233203A (zh) * 2020-09-09 2021-01-15 北京师范大学 一种三次球b样条的延拓方法
CN117057090A (zh) * 2023-06-29 2023-11-14 武汉纺织大学 一种基于tnb框架的针织物高精度建模方法

Citations (3)

* Cited by examiner, † Cited by third party
Publication number Priority date Publication date Assignee Title
CN104679958A (zh) * 2015-03-12 2015-06-03 北京师范大学 基于弹簧模型的球b样条编针织物形变仿真的方法
CN104765978A (zh) * 2015-04-28 2015-07-08 北京师范大学 一种基于球b样条曲线的头发造型建模方法
CN106709203A (zh) * 2017-01-05 2017-05-24 天津工业大学 一种基于Texgen纬编织物模型的三维模拟方法

Patent Citations (3)

* Cited by examiner, † Cited by third party
Publication number Priority date Publication date Assignee Title
CN104679958A (zh) * 2015-03-12 2015-06-03 北京师范大学 基于弹簧模型的球b样条编针织物形变仿真的方法
CN104765978A (zh) * 2015-04-28 2015-07-08 北京师范大学 一种基于球b样条曲线的头发造型建模方法
CN106709203A (zh) * 2017-01-05 2017-05-24 天津工业大学 一种基于Texgen纬编织物模型的三维模拟方法

Non-Patent Citations (6)

* Cited by examiner, † Cited by third party
Title
KE GUO 等: "Modelling and Simulation of Weft Knitted Fabric Based on Ball B-Spline Curves and Hooke’s Law" *
YIGE TANG 等: "Sketching 3D Plant Based on Ball B-Spline Curves and L-system" *
YU ZHANG 等: "Dynamic disk B-spline curves" *
徐欣 等: "基于球 Ｂ样条的 3D人物角色建模与动画" *
王芸芸;温维亮;郭新宇;赵国辉;陆声链;肖伯祥;: "基于球B样条函数的烟草叶片虚拟实现" *
赵丽丽;郭新宇;温维亮;陆声链;肖伯祥;: "油菜花序三维形态结构数字化设计技术研究" *

Cited By (2)

* Cited by examiner, † Cited by third party
Publication number Priority date Publication date Assignee Title
CN112233203A (zh) * 2020-09-09 2021-01-15 北京师范大学 一种三次球b样条的延拓方法
CN117057090A (zh) * 2023-06-29 2023-11-14 武汉纺织大学 一种基于tnb框架的针织物高精度建模方法

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