CN112233203A - 一种三次球b样条的延拓方法 - Google Patents

一种三次球b样条的延拓方法 Download PDF

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CN112233203A
CN112233203A CN202010942901.8A CN202010942901A CN112233203A CN 112233203 A CN112233203 A CN 112233203A CN 202010942901 A CN202010942901 A CN 202010942901A CN 112233203 A CN112233203 A CN 112233203A
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ball
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武仲科
刘欣悦
王醒策
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Beijing Normal University
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Abstract

本发明公开了一种三次球B样条的延拓方法，包括以下步骤：(1)首先令延拓段的三次球B样条有4个控制球(一段多项式形式)；(2)确定延拓段球B样条的节点矢量；(3)将延拓段球B样条的前三个控制球表达成关于G2连续条件中自由度α，β的表达式；(4)利用KKT条件求解延拓段球B样条具有最小的应变能时，自由度α，β及其余控制球的解；(5)根据自由度获得前三个控制球的解；(6)计算此时的应变能；(7)增加延拓段球B样条的控制球个数，重复以上步骤，求出每一个分段多项式形式下的最优延拓结果，直到其应变能不再下降。本发明所述的延拓方法使用了分段多项时来代替一段多项式，是的最终得到的延拓结果是全局解空间上的最优解。

Description

一种三次球B样条的延拓方法
技术领域
本发明涉及计算机图形学领域，具体而言，涉及一种三次球B样条的延拓方法。
背景技术
B样条曲线、曲面是几何造型领域广泛使用的自由形体的参数表示方法，也是工业标准。其严格的数学方程表示，计算的精确、高效和易于编辑等优点使其成为主要的几何表示模型。对其进行扩展一直是计算机辅助几何设计领域的热点问题。B样条曲线、曲面表示物体本质上还是数学的抽象表示，即表示的曲线没有宽度，表示的曲面没有厚度，因此在对管状或壳状物体建模上存在一定缺陷。球B样条是一种基于骨架的三维实体参数表示模型，这种表示不仅显示地表达了物体的骨架，同时也能精确定义实体内部的任意一点。它用B样条定义实体区域的骨架(中心线)及厚度(半径)，表示形式精确。这为交互式建模提供了方便。一方面，用球B样条进行管状物体建模时，只需输入相应控制点的三维坐标和控制半径，按照给定公式计算出实体表面上的点，依次连接成网格，便能实现模型的建立；另一方面，对模型进行控制，变形等操作时，可以直接通过改变控制点位置与半径来实现。由于球B样条对半径变化的管状物体具有十分灵活的造型能力，目前已被广泛应用于自然物体造型(植物等)，医学图像以及二、三维计算机动画等方面的应用。
例如中国专利公开号为CN104765978B的发明专利公开了一种基于球B样条曲线的头发造型建模方法，该发明提供的基于球B样条曲线的头发造型建模方法，包括：对头发的生长点进行初始化；对头发的进行参数化计算；计算头发进行标架和坐标；对所述头发进行能量最小化计算；计算头发的新标架和坐标；对头发进行碰撞检测；根据球B样条曲线对头发进行建模。该发明能利用球B样条来构造头发股，利用能量最小化来优化头发造型，所获得的模型能用于虚拟人的各种各样的发型模型。
对于一条给定的曲线，如何将其平滑地延伸至一个或多个目标点同时保持该给定的曲线形状不发生改变是计算机辅助设计领域一个非常常见的问题。很多研究学者对解决B样条的延拓问题做出了贡献。而球B样条如何延拓的研究上则稍显空白。实际上球B样条延拓的研究对于一些实体建模具有非常重要的意义。例如在医学影响处理方面，使用球B样条对扫描得到的三维血管数据进行拟合时，常常因为扫描得到的数据不全或者精度不够而出现某些数据点与前一部分血管连接不上的情况。此时就需要将前一部分血管延拓至这些数据点上。在动画娱乐方面，模拟植物动态生长时，可以预先设定植物的枝、茎完成生长后所达到的空间中的某点，然后将原有尚未成熟的枝、茎延拓至该点即可实现植物动态生长的过程。由此可见，球B样条的延拓对人体器官的三维可视化以及计算机动画等领域都有重要应用途径。
目前，对球B样条曲线进行延拓有如下几种方法：
1、曲线放松法，首先对输入的两端加紧(clamp)形式的曲线放松(unclamp)靠近延拓目标点的一端。然后直接将延拓目标点作为最后一个控制点，再根据弦长累计法计算新的节点矢量。
2、最小能量法，仅在原始给定的曲线与延拓点之间的间隙处添加一条的新的延拓曲线。为了保证该延拓曲线与原始曲线在连接点处的光滑性，延拓曲线的起始端与原始曲线的尾端应满足几何连续性。在该约束条件下，可以构建的延拓曲线有很多条。因此该方法的第二步是通过优化延拓曲线的能量来确定最终的延拓结果。该方法得到的延拓结果，不仅光顺性得到了保证，同时几何连续性中的自由度提供给了用户调整延拓曲线的灵活性。因此，就当前的研究来看，B样条曲线的延拓方法还有很大的改进空间。
现有技术中至少存在以下问题：
利用曲线放松法得到的延拓部分的曲线能够与原始给定曲线在连接点处满足数学连续性，但是给出的延拓结果是唯一的，不能提供用户足够的灵活性来调整曲线造型。
最小化能量法为将新的延拓曲线构建为一个多项式段——贝塞尔形式的曲线。由于球B样条曲线可以被看成两部分：骨架线(一条B样条曲线)和半径函数(B样条函数的标量表示)；球B样条曲线的延拓算法分成两部分：对骨架线的延拓和对半径函数的延拓。最小化能量法存在以下两个缺陷：一是由于沿用了传统最小能量法来解决球B样条的延拓问题，因此解空间的局限性问题在球B样条的延拓中依然存在。二是在对球B样条延拓时，需要对其骨架线和半径函数分开处理，得到的延拓结果仅仅是一个多项式段形式下的最优延拓结果而不是全局最优结果。
针对现有技术中利用曲线放松法给出的延拓结果是唯一的，不能提供用户足够的灵活性来调整曲线造型、利用最小能量法得到的延拓结果仅仅是一个多项式段形式下的最优延拓结果而不是全局最优结果的问题，目前尚未提出有效的解决方案。
发明内容
本发明的目的是针对现有技术的不足，提供一种三次球B样条的延拓方法。
所述三次球B样条的延拓方法包括以下步骤：
步骤1，计算延拓段的球B样条曲线的节点矢量和确定前三个控制球的表达式：
步骤1.1，设给定的球B样条曲线的表达式为B(t)，延拓目标球为R，延拓段的球B样条曲线的参数形式为下式(1)：
Figure BDA0002674245800000031
式中，
Figure BDA0002674245800000032
是B样条基函数，Qi是4维向量，其中前3维表示控制球的球心位置，第4维表示控制球的半径；
步骤1.2，计算延拓段的球B样条曲线的节点矢量，设延拓段球B样条曲线的控制球个数为n+1，初次计算时，n＝3，最后一个控制球为延拓目标球R，则延拓段球B样条曲线的节点矢量为
Figure BDA0002674245800000033
其中，
Figure BDA0002674245800000034
均匀分布；
步骤1.3，确定延拓段的球B样条曲线的控制球的表达式：
步骤1.3.1，设有两条参数曲线，第一条参数曲线为B(t),t∈[0,1]，第二条参数曲线为
Figure BDA0002674245800000035
若第二条参数曲线在第一条参数曲线的末端B(1)与其光滑衔接，则满足如下式(2)的G2连续条件：
Figure BDA0002674245800000036
式中，自由度α是大于0的实数，自由度β是任意实数；
步骤1.3.2，当B(t)和
Figure BDA0002674245800000037
为两端夹紧的球B样条的参数形式时，通过将
Figure BDA0002674245800000038
的一阶导和二阶导代入上式(2)，可以得到
Figure BDA0002674245800000039
的前三个控制球Q0,Q1,Q2关于G2连续条件中的自由度α,β的表达式(3)、(4)、(5)：
Q0＝B(1)……(3)，
Figure BDA00026742458000000310
Figure BDA00026742458000000311
步骤2，确定三次球B样条的矩阵表达，对于在参数区间
Figure BDA00026742458000000312
球B样条上的任意一点通过如下公式(6)进行计算：
Figure BDA00026742458000000313
式中，
Figure BDA00026742458000000314
步骤3，根据三次球B样条的矩阵表达推导出延拓段球B样条的应变能的显式公式；
对于任意形式的参数曲线
Figure BDA0002674245800000041
应变能的计算如下式(7)：
Figure BDA0002674245800000042
其中，||·||表示欧几里得范数，当
Figure BDA0002674245800000043
为球B样条时，即
Figure BDA0002674245800000044
Figure BDA0002674245800000045
根据积分的累加性，推导出下式(8)；
Figure BDA0002674245800000046
根据球B样条的矩阵表达式(6)，推导出下式(9)、(10)：
Figure BDA0002674245800000047
Figure BDA0002674245800000048
式中，
Figure BDA0002674245800000049
将上式(10)展开为多项式形式，得到下式(11)：
Figure BDA00026742458000000410
式中，
Figure BDA00026742458000000411
是矩阵N4(i)第3行第3列的元素，
Figure BDA00026742458000000412
是N4(i)第3行第4列的元素，以此类推；
对上式(11)进行积分得到下式(12)：
Figure BDA00026742458000000413
将
Figure BDA00026742458000000414
展开并进行整理，即得到
Figure BDA00026742458000000415
的应变能的显式计算公式(13)：
Figure BDA00026742458000000416
式中，Qi是包括控制球的球心坐标以及半径的四维向量，
Figure BDA00026742458000000417
是由三次球B样条的系数矩阵确定的常数；
步骤4，求解延拓段球B样条的参数形式时，应保证所有控制球的半径不为负。因此，求解具有最小应变能的延拓段球B样条即求解以下带约束的优化问题(14)：
Figure BDA00026742458000000418
s.t.-(aiα2+biα+ciβ+di)≤0,i＝1,2
-(ri-∈)≤0,i＝3,……,n-1
……(14)，
式中，∈为10-5，ai，bi，ci，di是由控制球的半径的G2连续性确定的常系数；
利用KKT条件求解以上带有约束条件的优化问题，设下式(15)：
Figure BDA0002674245800000051
带有约束条件的优化问题中的拉格朗日方程定义为下式(16)：
Figure BDA0002674245800000052
求解以下KKT方程组(17)得到上述带约束的优化问题的最优解：
Figure BDA0002674245800000053
步骤5，将求得的自由度的解代入延拓段球B样条的前三个控制球的表达式(3)、(4)、(5)中，得到延拓段球B样条的前三个控制球的解；
步骤6，根据获得的节点矢量以及控制球的解，由公式(13)计算延拓段球B样条的应变能；
步骤7，增加延拓曲线的控制球个数，重复计算步骤1-步骤6，直到得到延拓段球B样条的应变能不再下降。
进一步地，步骤3所述的根据三次球B样条的矩阵表达推导出延拓段球B样条的应变能的显式公式中，
Figure BDA0002674245800000054
是由三次球B样条的系数矩阵中的元素确定，
Figure BDA0002674245800000055
全部计算式如下所示：
Figure BDA0002674245800000056
Figure BDA0002674245800000057
Figure BDA0002674245800000058
Figure BDA0002674245800000059
Figure BDA00026742458000000510
Figure BDA00026742458000000511
Figure BDA00026742458000000512
Figure BDA00026742458000000513
Figure BDA00026742458000000514
Figure BDA00026742458000000515
相对于现有技术，本发明所述的三次球B样条的延拓方法具有以下显著的优越效果：
1，本发明所述的三次球B样条的延拓方法使用了分段多项式来代替一段多项式表达延拓部分的曲线，分段多项式具有比一段多项式更灵活的建模能力，因而扩大了原问题的解空间，使得延拓曲线具有更优的应变能，也即更好的光顺性。
2，本发明所述的三次球B样条的延拓方法提供了球B样条的应变能的计算公式；该应变能结合了球B样条的骨架线和半径描述球B样条整体的光顺性；球B样条的应变能不仅受其骨架线走势的影响，而且还受控制球半径变化的影响；特别地，如果有几条骨架线完全相同的球B样条，则半径变化的球B样条应该始终比半径恒定的球B样条具有更多的应变能。
3，本发明所述的三次球B样条的延拓方法能够很容易地扩展到多个目标球的延拓上。即当延拓目标球是多个，而非单一一个时，本发明所述的三次球B样条的延拓方法也能取得良好的结果。
附图说明
图1为本发明所述三次球B样条的延拓方法的流程示意图；
图2为本发明所述三条骨架线相同的半径不同的球B样条；
图3为本发明所述三次球B样条的延拓方法的已知B样条曲线和延拓目标球的示意图；
图4为本发明所述三次球B样条的延拓方法的延拓结果示意图；
图5为本发明所述三次球B样条的延拓方法的延拓结果示意图；
图6为本发明所述三次球B样条的延拓方法的延拓结果示意图；
图7为本发明所述三次球B样条的延拓方法的延拓结果示意图；
图8为本发明所述三次球B样条的延拓方法的延拓结果示意图。
具体实施方式
下面结合说明书附图和具体实施方式对本发明进行进一步的详细描述。
如图1至图4所示，所述三次球B样条的延拓方法包括以下步骤：
步骤1，计算延拓段的球B样条曲线的节点矢量和确定前三个控制球的表达式：
步骤1.1，设给定的球B样条曲线的表达式为B(t)，延拓目标球为R，延拓段的球B样条曲线的参数形式为下式(1)：
Figure BDA0002674245800000061
式中，
Figure BDA0002674245800000062
是球B样条基函数，Qi是4维向量，其中前3维表示控制球的球心位置，第4维表示控制球的半径；
步骤1.2，计算延拓段的球B样条曲线的节点矢量，设延拓段球B样条曲线的控制球个数为n+1，初次计算时，n＝3，最后一个控制球为延拓目标球R，则延拓段球B样条曲线的节点矢量为
Figure BDA0002674245800000071
其中，
Figure BDA0002674245800000072
均匀分布；
步骤1.3，确定延拓段的球B样条曲线的控制球的表达式：
步骤1.3.1，设有两条参数曲线，第一条参数曲线为B(t),t∈[0,1]，第二条参数曲线为
Figure BDA0002674245800000073
若第二条参数曲线在第一条参数曲线的末端B(1)与其光滑衔接，则满足如下式(2)的G2连续条件：
Figure BDA0002674245800000074
式中，自由度α是大于0的实数，自由度β是任意实数；
步骤1.3.2，当B(t)和
Figure BDA0002674245800000075
为两端夹紧的球B样条的参数形式时，通过将
Figure BDA0002674245800000076
的一阶导和二阶导代入上式(2)，可以得到
Figure BDA0002674245800000077
的前三个控制球Q0,Q1,Q2关于G2连续条件中的自由度α,β的表达式(3)、(4)、(5)：：
Q0＝B(1)……(3)，
Figure BDA0002674245800000078
Figure BDA0002674245800000079
步骤2，确定三次球B样条的矩阵表达，对于在参数区间
Figure BDA00026742458000000710
球B样条上的任意一点通过如下公式(6)进行计算：
Figure BDA00026742458000000711
式中，
Figure BDA00026742458000000712
步骤3，根据三次球B样条的矩阵表达推导出延拓段球B样条的应变能的显式公式；
对于任意形式的参数曲线
Figure BDA00026742458000000713
应变能的计算如下式(7)：
Figure BDA00026742458000000714
其中，||·||表示欧几里得范数，当
Figure BDA00026742458000000715
为球B样条时，即
Figure BDA00026742458000000716
Figure BDA00026742458000000717
根据积分的累加性，推导出下式(8)；
Figure BDA00026742458000000718
根据球B样条的矩阵表达式(6)，推导出下式(9)、(10)：
Figure BDA00026742458000000719
Figure BDA0002674245800000081
式中，
Figure BDA0002674245800000082
将上式(10)展开为多项式形式，得到下式(11)：
Figure BDA0002674245800000083
式中，
Figure BDA0002674245800000084
是矩阵N4(i)第3行第3列的元素，
Figure BDA0002674245800000085
是N4(i)第3行第4列的元素，以此类推；
对上式(11)进行积分得到下式(12)：
Figure BDA0002674245800000086
将
Figure BDA0002674245800000087
展开并进行整理，即得到
Figure BDA0002674245800000088
的应变能的显式计算公式(13)：
Figure BDA0002674245800000089
式中，Qi是包括控制球的球心坐标以及半径的四维向量，
Figure BDA00026742458000000810
是由三次球B样条的系数矩阵确定的常数；
步骤4，求解延拓段球B样条的参数形式时，应保证所有控制球的半径不为负。因此，求解具有最小应变能的延拓段球B样条即求解一下带约束的优化问题(14)：
Figure BDA00026742458000000811
s.t.-(aiα2+biα+ciβ+di)≤0,i＝1,2
-(ri-∈)≤0,i＝3,……,n-1
……(14)，
式中，∈为10-5，ai，bi，ci，di是由控制球的半径的G2连续性确定的常系数；
利用KKT条件求解以上带有约束条件的优化问题，设下式(15)：
Figure BDA00026742458000000812
带有约束的优化问题中的拉格朗日方程定义为下式(16)：
Figure BDA00026742458000000813
求解以下KKT方程组(17)得到上述带有约束的优化问题的最优解：
Figure BDA00026742458000000814
步骤5，将求得的自由度的解代入延拓段球B样条的前三个控制球的表达式(3)、(4)、(5)中，得到延拓段球B样条的前三个控制球的解；
步骤6，根据获得的节点矢量以及控制球的解，由公式(13)计算延拓段球B样条的应变能；
步骤7，增加延拓曲线的控制球个数，重复计算步骤1-步骤6，直到得到延拓段球B样条的应变能不再下降。
进一步地，步骤3所述的根据三次球B样条的矩阵表达推导出延拓段球B样条的应变能的显式公式中，
Figure BDA0002674245800000091
是由三次球B样条的系数矩阵中的元素确定，
Figure BDA0002674245800000092
全部计算式如下所示：
Figure BDA0002674245800000093
Figure BDA0002674245800000094
Figure BDA0002674245800000095
Figure BDA0002674245800000096
Figure BDA0002674245800000097
Figure BDA0002674245800000098
Figure BDA0002674245800000099
Figure BDA00026742458000000910
Figure BDA00026742458000000911
Figure BDA00026742458000000912
如图5至图8所示，本发明所述的三次球B样条的延拓方法能够很容易地扩展到多个目标球的延拓上。即当延拓目标球是多个，而非单一一个时，本发明所述的三次球B样条的延拓方法也能取得良好的结果。
以上所述仅为本发明的优选实施例而已，并不用于限制本发明，对于本领域的技术人员来说，本发明可以有各种更改和变化，凡在本发明的精神和原则之内，所作的任何修改、等同替换、改进等，均应包含在本发明权利要求的保护范围之内。

Claims (2)

1.一种三次球B样条的延拓方法，其特征在于，包括以下步骤：
步骤1，计算延拓段的球B样条曲线的节点矢量和确定前三个控制球的表达式：
步骤1.1，设给定的球B样条曲线的表达式为B(t)，延拓目标球为R，延拓段的球B样条曲线的参数形式为下式(1)：
Figure FDA0002674245790000011
式中，
Figure FDA0002674245790000012
是B样条基函数，Qi是4维向量，其中前3维表示控制球的球心位置，第4维表示控制球的半径；
步骤1.2，计算延拓段的球B样条曲线的节点矢量，设延拓段球B样条曲线的控制球个数为n+1，初次计算时，n＝3，最后一个控制球为延拓目标球R。延拓段球B样条曲线的节点矢量设置为
Figure FDA0002674245790000013
其中，
Figure FDA0002674245790000014
均匀分布；
步骤1.3，确定延拓段的球B样条曲线的前三个控制球的表达式：
步骤1.3.1，设有两条参数曲线，第一条参数曲线为B(t),t∈[0,1]，第二条参数曲线为
Figure FDA0002674245790000015
若第二条参数曲线在第一条参数曲线的末端B(1)与其光滑衔接，则满足如下式(2)的G2连续条件：
Figure FDA0002674245790000016
式中，自由度α是大于0的实数，自由度β是任意实数；
步骤1.3.2，当B(t)和
Figure FDA0002674245790000017
为两端夹紧(clamped)形式的球B样条时，通过将
Figure FDA0002674245790000018
的一阶导和二阶导代入上式(2)，可以得到
Figure FDA0002674245790000019
的前三个控制球Q0,Q1,Q2关于G2连续条件中的自由度α,β的表达式(3)、(4)、(5)：
Q0＝B(1)……(3)，
Figure FDA00026742457900000110
Figure FDA00026742457900000111
步骤2，确定三次球B样条的矩阵表达，对于在参数区间
Figure FDA00026742457900000112
球B样条上的任意一点通过如下公式(6)进行计算：
Figure FDA00026742457900000113
式中，
Figure FDA0002674245790000021
步骤3，根据三次球B样条的矩阵表达推导出延拓段球B样条的应变能的显式公式；
对于任意形式的参数曲线
Figure FDA0002674245790000022
应变能的计算如下式(7)：
Figure FDA0002674245790000023
其中，||·||表示欧几里得范数，当
Figure FDA0002674245790000024
为球B样条时，即
Figure FDA0002674245790000025
Figure FDA0002674245790000026
根据积分的累加性，推导出下式(8)；
Figure FDA0002674245790000027
根据球B样条的矩阵表达式(6)，推导出下式(9)、(10)：
Figure FDA0002674245790000028
Figure FDA0002674245790000029
式中，
Figure FDA00026742457900000210
将上式(10)展开为多项式形式，得到下式(11)：
Figure FDA00026742457900000211
式中，
Figure FDA00026742457900000212
是矩阵N4(i)第3行第3列的元素，
Figure FDA00026742457900000213
是N4(i)第3行第4列的元素，以此类推；
对上式(11)进行积分得到下式(12)：
Figure FDA00026742457900000214
将
Figure FDA00026742457900000215
展开并进行整理，即得到
Figure FDA00026742457900000216
的应变能的显式计算公式(13)：
Figure FDA00026742457900000217
式中，Qi是包括控制球的球心坐标以及半径的四维向量，
Figure FDA00026742457900000218
是由三次球B样条的系数矩阵确定的常数；
步骤4，求解延拓段球B样条的参数形式时，应保证所有控制球的半径不为负。因此，求解具有最小应变能的延拓段球B样条即求解以下带约束的优化问题(14)：
Figure FDA00026742457900000219
s.t.-(aiα2+biα+ciβ+di)≤0,i＝1,2
-(ri-∈)≤0,i＝3,……,n-1
……(14)，
式中，∈为10-5，ai，bi，ci，di是由控制球的半径的G2连续性确定的常系数；
利用KKT条件求解以上带有约束条件的优化问题，设下式(15)：
Figure FDA0002674245790000031
带有约束条件的优化问题中的拉格朗日方程定义为下式(16)：
Figure FDA0002674245790000032
求解以下KKT方程组(17)得到上述带约束的优化问题的最优解：
Figure FDA0002674245790000033
步骤5，将求得的自由度的解代入延拓段球B样条的前三个控制球的表达式(3)、(4)、(5)中，得到延拓段球B样条的前三个控制球的解；
步骤6，根据获得的节点矢量以及控制球的解，由公式(13)计算延拓段球B样条的应变能；
步骤7，增加延拓曲线的控制球个数，重复计算步骤1-步骤6，直到得到延拓段球B样条的应变能不再下降。
2.根据权利要求1所述的三次球B样条的延拓方法，其特征在于，步骤3所述的根据三次球B样条的矩阵表达推导出延拓段球B样条的应变能的显式公式中，
Figure FDA0002674245790000034
是由三次球B样条的系数矩阵中的元素确定，
Figure FDA0002674245790000035
全部计算式如下所示：
Figure FDA0002674245790000036
Figure FDA0002674245790000037
Figure FDA0002674245790000038
Figure FDA0002674245790000039
Figure FDA00026742457900000310
Figure FDA00026742457900000311
Figure FDA00026742457900000312
Figure FDA00026742457900000313
Figure FDA00026742457900000314
Figure FDA00026742457900000315
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