CN109684723B - 一种二维结构内部声学性能分析方法 - Google Patents

一种二维结构内部声学性能分析方法 Download PDF

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Abstract

本发明属于计算机声学辅助设计领域，具体涉及一种二维结构内部声学性能分析方法，包括以下步骤：提取表示二维声学区域的NURBS几何参数，包括节点向量、多项式阶次及控制点网络；转化NURBS参数，得到新的插值点及插值基函数；采用上述插值基函数，描述二维区域内部声场及其偏导数；应用Gauss‑Lobatto积分法则，计算声压在单位参数空间[0,1]×[0,1]内的数值积分；与传统有限元相比，等几何分析不需要常规的网格划分，可以在保留了几何模型精确性的情况下分析结构的声学性能，从而提高了分析的精度。

Description

一种二维结构内部声学性能分析方法
技术领域
本发明属于计算机声学辅助设计领域，具体涉及一种二维结构内部声学性能分析方法。
背景技术
在声学部件设计与开发过程中，计算机辅助设计(Computer Aided Design,CAD)和基于有限元等数值方法进行仿真分析的计算机辅助工程(Computer AidedEngineering,CAE)已密不可分。但是，由CAD软件得到的几何模型并不能直接用于有限元分析，必须经过几何清理及网络划分等繁琐的操作，这不仅造成了几何精度的损失还耗费了大量时间与工作量。T.J.RHughes等人将非均匀有理B样条(Non-Uniform Rational B-Splines,NURBS)引入到有限元分析中，建立了具有精确几何模型的新型有限元法，并称之为等几何分析(Isogeometric Analyse,IGA)(相关文献为T.J.R.Hughes,J.A.Cottrell,Y.Bazilevs,Isogeometric analysis:CAD,finite elements,NURBS,exact geometry andmesh refinement.[J].Comput.Methods Appl.Mech.Engrg,2005,194:4135–4195.)。与传统有限元相比，等几何分析具有几何精确、精度高、高阶连续、无需传统的网格划分等优点，有望实现CAD与CAE的有机统一。
NUSBS在自由曲线曲面造型方面展现出强大的优势，但它存在一些缺陷。基于张量积定义的NURBS在细化模型的过程中会产生大量冗余的控制点，使得设计人员难以编辑与处理。此外，NURBS基函数一般不具有插值特性，直接将场变量约束施加在控制点上将产生明显的误差且影响其收敛率。
对于二维声学结构的内部声场分析，传统有限元法在离散时引入了不可消除的模型精度误差，基于NURBS的等几何方法虽直接将精确几何模型用于分析但难以精确地施加本质边界条件。因此，建立一种高效可靠的二维结构内部声学性能分析方法非常有必要。
发明内容
本发明的目的在于提供一种二维结构内部声学性能分析方法，以解决对声学结构进行声场分析时，计算效率低、本质边界难以精确施加等问题。
一种二维结构内部声学性能分析方法，包括以下步骤：
(1)提取表示二维声学区域的NURBS几何参数，包括节点向量、多项式阶次及控制点网络；
(2)转化NURBS参数，得到新的插值点及插值基函数；
(3)采用上述插值基函数，描述二维区域内部声场及其偏导数；
(4)应用Gauss-Lobatto积分法则，计算声压在单位参数空间[0,1]×[0,1]内的数值积分；
(5)定义节点(si,tj)对应的声压向量
Figure BDA0001918698350000011
与积分点(s* i,t* i)对应的声压向量
Figure BDA0001918698350000012
(6)计算声压在二维结构的几何区域区域A内的积分；
(7)建立二维内部声学问题的伽辽金弱形式控制方程；
(8)利用MATLAB软件编写程序，求得刚度矩阵K与质量矩阵M；
(9)采用传统有限元中的“划行划列法”施加声学Dirichlet边界条件，然后计算特征方程，得到二维声学区域自然波数与声学模态图。
所述提取表示二维声学区域的NURBS几何参数，包括节点向量、多项式阶次及控制点网络，包括：
NURBS基函数及二维区域的具体表达式如下：
Figure BDA0001918698350000021
Figure BDA0001918698350000022
其中，Ni,p(ξ)为ξ方向的p阶单变量NURBS基函数，Mj,q(η)为η方向的q阶单变量NURBS基函数，
Figure BDA0001918698350000023
为双变量NURBS基函数，Bi,j为NURBS控制点，ωi,j为控制点Bi,j对应的权重，m与n表示在ξ与η方向的控制点个数。
所述转化NURBS参数，得到新的插值点及插值基函数，包括：
转化方法如下：
Figure BDA0001918698350000024
Figure BDA0001918698350000025
Figure BDA0001918698350000026
c1＝1,cr＝r+[p/2](1＜r≤m-p),cm+1-p＝m
Figure BDA0001918698350000027
d1＝1,dv＝v+[q/2](1＜v≤n-q),cn+1-q＝n
Figure BDA0001918698350000028
其中，
Figure BDA0001918698350000029
为插值点，
Figure BDA00019186983500000210
为s方向的p阶单变量插值基函数，cr与si(i＝1,2,…,m)分别为s方向的索引参数及节点向量中的节点，符号[]代表向下取整；
Figure BDA00019186983500000211
为t方向的q阶单变量插值基函数，dv与tj(j＝1,2,…,n)分别为t方向的索引参数及节点向量中的节点；
Figure BDA0001918698350000031
为插值点
Figure BDA0001918698350000032
对应的双变量插值基函数。
所述采用上述插值基函数，描述二维区域内部声场及其偏导数，包括：
采用上述插值基函数，描述二维区域内部声场如下：
Figure BDA0001918698350000033
其中
Figure BDA0001918698350000034
为插值点处的声压；
此外，计算声压的偏导数如下：
Figure BDA0001918698350000035
其中J为雅可比矩阵。
所述应用Gauss-Lobatto积分法则，计算声压在单位参数空间[0,1]×[0,1]内的数值积分，包括：
声压在单位参数空间[0,1]×[0,1]内的Gauss-Lobatto积分定义为：
Figure BDA0001918698350000036
其中，s* i,Cs i和t* i,
Figure BDA0001918698350000037
分别为s与t方向的插值点及权重，Ns与Nt分别为s与t方向的插值点的个数，
Figure BDA0001918698350000038
为插值点处的声压；
定义积分系数矩阵C如下：
Figure BDA0001918698350000039
所述定义节点(si,tj)对应的声压向量
Figure BDA00019186983500000310
与积分点(s* i,t* i)对应的声压向量
Figure BDA00019186983500000311
包括：
Figure BDA00019186983500000312
Figure BDA00019186983500000313
其中，G为权系数矩阵，可以从步骤(3)与(4)中得到。
所述计算声压在二维结构的几何区域区域A内的积分，包括：
声压在二维结构的几何区域区域A内的积分为：
Figure BDA0001918698350000041
其中，C为积分系数矩阵，G为权系数矩阵。
所述建立二维内部声学问题的伽辽金弱形式控制方程，包括：
基于亥姆霍兹方程
Figure BDA0001918698350000042
及Dirichlet边界条件
Figure BDA0001918698350000043
建立二维内部声学问题的伽辽金弱形式控制方程如下：
Figure BDA0001918698350000044
Figure BDA0001918698350000045
其中，
Figure BDA0001918698350000046
为拉普拉斯算子，φ为权函数，k为波数，
Figure BDA0001918698350000047
为特征向量。
所述利用MATLAB软件编写程序，求得刚度矩阵K与质量矩阵M，包括：
计算方法如下：
Figure BDA0001918698350000048
M＝GTCG
其中Gx与Gy分别为权系数矩阵对空间坐标x与y的偏导数。
本发明的有益效果在于：
与传统有限元相比，等几何分析不需要常规的网格划分，可以在保留了几何模型精确性的情况下分析结构的声学性能，从而提高了分析的精度。相比不具有插值特性的NURBS基函数，采用具有插值意义的基函数统一描述几何模型和分析模型时，该函数的插值特性使设计人员可以直接操作位于几何模型边界的插值点，进而可以直接施加本质边界。此外，针对不同的声学结构，仅需要改变相关的插值点和节点向量便可以建立几何模型及后续的分析模型，避免了重新编程处理，能够大幅节省计算成本。
附图说明
图1是本发明的流程图；
图2是本发明实施方式中的几何模型示意图；
图3是本发明实施方式中几何模型的控制点及插值点示意图。
具体实施方式
下面结合附图对本发明做进一步描述。
本发明属于计算机声学辅助设计领域，具体涉及一种基于等几何分析的二维结构内部声学性能分析方法。
在声学部件设计与开发过程中，计算机辅助设计(Computer Aided Design,CAD)和基于有限元等数值方法进行仿真分析的计算机辅助工程(Computer AidedEngineering,CAE)已密不可分。但是，由CAD软件得到的几何模型并不能直接用于有限元分析，必须经过几何清理及网络划分等繁琐的操作，这不仅造成了几何精度的损失还耗费了大量时间与工作量。T.J.RHughes等人将非均匀有理B样条(Non-Uniform Rational B-Splines,NURBS)引入到有限元分析中，建立了具有精确几何模型的新型有限元法，并称之为等几何分析(Isogeometric Analyse,IGA)(相关文献为T.J.R.Hughes,J.A.Cottrell,Y.Bazilevs,Isogeometric analysis:CAD,finite elements,NURBS,exact geometry andmesh refinement.[J].Comput.Methods Appl.Mech.Engrg,2005,194:4135–4195.)。与传统有限元相比，等几何分析具有几何精确、精度高、高阶连续、无需传统的网格划分等优点，有望实现CAD与CAE的有机统一。
NUSBS在自由曲线曲面造型方面展现出强大的优势，但它存在一些缺陷。基于张量积定义的NURBS在细化模型的过程中会产生大量冗余的控制点，使得设计人员难以编辑与处理。此外，NURBS基函数一般不具有插值特性，直接将场变量约束施加在控制点上将产生明显的误差且影响其收敛率。
对于二维声学结构的内部声场分析，传统有限元法在离散时引入了不可消除的模型精度误差，基于NURBS的等几何方法虽直接将精确几何模型用于分析但难以精确地施加本质边界条件。因此，建立一种高效可靠的二维结构内部声学性能分析方法非常有必要。
本发明的目的在于提供一种二维结构内部声学性能分析方法，以解决对声学结构进行声场分析时，计算效率低、本质边界难以精确施加等问题。
本发明的目的是这样实现的：
(1)提取表示二维声学区域的NURBS几何参数，包括节点向量、多项式阶次及控制点网络等，NURBS基函数及二维区域的具体表达式如下：
Figure BDA0001918698350000051
Figure BDA0001918698350000052
其中Ni,p(ξ)为ξ方向的p阶单变量NURBS基函数，Mj,q(η)为η方向的q阶单变量NURBS基函数，
Figure BDA0001918698350000053
为双变量NURBS基函数，Bi,j为NURBS控制点，ωi,j为控制点Bi,j对应的权重，m与n表示在ξ与η方向的控制点个数。
(2)转化NURBS参数，得到新的插值点及插值基函数，以便于本质边界的直接施加，并将二维区域表示如下：
Figure BDA0001918698350000054
Figure BDA0001918698350000061
其中
Figure BDA0001918698350000062
为插值点，si(i＝1,2,…,m)与tj(j＝1,2,…,n)分别为s与t方向节点向量中的节点，
Figure BDA0001918698350000063
为插值点
Figure BDA0001918698350000064
对应的插值基函数。
(3)采用上述插值基函数，描述二维区域内部声场如下：
Figure BDA0001918698350000065
其中
Figure BDA0001918698350000066
为插值点处的声压。
此外，可计算声压的偏导数如下：
Figure BDA0001918698350000067
其中J为雅可比矩阵。
(4)声压在单位参数空间[0,1]×[0,1]内的Gauss-Lobatto积分定义为
Figure BDA0001918698350000068
其中s* i,Cs i和t* i,
Figure BDA0001918698350000069
分别为s与t方向的插值点及权重，Ns与Nt分别为s与t方向的插值点的个数，
Figure BDA00019186983500000610
为插值点处的声压。
然后，定义积分系数矩阵C如下：
Figure BDA00019186983500000611
(5)定义节点(si,tj)对应的声压向量
Figure BDA00019186983500000612
与积分点(s* i,t* i)对应的声压向量
Figure BDA00019186983500000613
如下：
Figure BDA00019186983500000614
Figure BDA00019186983500000615
其中G为权系数矩阵，可以从步骤(3)与(4)中得到。
(6)基于亥姆霍兹方程
Figure BDA00019186983500000616
及Dirichlet边界条件
Figure BDA00019186983500000617
建立二维内部声学问题的伽辽金弱形式控制方程如下：
Figure BDA00019186983500000618
Figure BDA00019186983500000619
其中
Figure BDA0001918698350000071
为拉普拉斯算子，φ为权函数，k为波数，
Figure BDA0001918698350000072
为特征向量。K与M分别为刚度矩阵与质量矩阵，计算方法如下：
Figure BDA0001918698350000073
M＝GTCG
其中Gx与Gy分别为权系数矩阵对空间坐标x与y的偏导数。
(7)利用MATLAB软件编写程序求解声学特征方程，得到自然波数与声学模态图。
本发明的优势在于：与传统有限元相比，等几何分析不需要常规的网格划分，可以在保留了几何模型精确性的情况下分析结构的声学性能，从而提高了分析的精度。相比不具有插值特性的NURBS基函数，采用具有插值意义的基函数统一描述几何模型和分析模型时，该函数的插值特性使设计人员可以直接操作位于几何模型边界的插值点，进而可以直接施加本质边界。此外，针对不同的声学结构，仅需要改变相关的插值点和节点向量便可以建立几何模型及后续的分析模型，避免了重新编程处理，能够大幅节省计算成本。
考虑圆形区域内声场特性，该区域如图1所示，圆域的半径为R＝1m。极坐标下，声压的控制方程和零声压Dirichlet边界条件为：
Figure BDA0001918698350000074
Figure BDA0001918698350000075
其解析解为：
kmn＝λmn,m＝0,1,…,n＝1,2,…
Figure BDA0001918698350000076
Figure BDA0001918698350000077
其中Jm是m阶第一类贝塞尔函数，λmn是Jm的第n个正根。
下面结合附图对本发明做更详细的描述，并计算上述问题的数值解，具体步骤如下：
(1)提取表示二维声学区域的NURBS几何参数，包括节点向量、多项式阶次及控制点网络等，NURBS基函数及二维区域的具体表达式如下：
Figure BDA0001918698350000078
Figure BDA0001918698350000079
其中Ni,p(ξ)为ξ方向的p阶单变量NURBS基函数，Mj,q(η)为η方向的q阶单变量NURBS基函数，
Figure BDA0001918698350000081
为双变量NURBS基函数，Bi,j为NURBS控制点，ωi,j为控制点Bi,j对应的权重，m与n表示在ξ与η方向的控制点个数。
(2)转化NURBS参数，得到新的插值点及插值基函数，以便于本质边界的直接施加，转化方法如下：
Figure BDA0001918698350000082
Figure BDA0001918698350000083
c1＝1,cr＝r+[p/2](1＜r≤m-p),cm+1-p＝m
Figure BDA0001918698350000084
d1＝1,dv＝v+[q/2](1＜v≤n-q),cn+1-q＝n
Figure BDA0001918698350000085
其中，
Figure BDA0001918698350000086
为插值点，
Figure BDA0001918698350000087
为s方向的p阶单变量插值基函数，cr与si(i＝1,2,…,m)分别为s方向的索引参数及节点向量中的节点，符号[]代表向下取整；
Figure BDA0001918698350000088
为t方向的q阶单变量插值基函数，dv与tj(j＝1,2,…,n)分别为t方向的索引参数及节点向量中的节点；
Figure BDA0001918698350000089
为插值点
Figure BDA00019186983500000810
对应的双变量插值基函数。
NURBS几何参数及其转化得到的插值参数如表1和表2所示；
表1
Figure BDA00019186983500000811
表2
Figure BDA0001918698350000091
其中ωi,j为控制点Bi,j对应的权值，
Figure BDA0001918698350000092
为插值点
Figure BDA0001918698350000093
对应的权值。
(3)采用插值基函数，描述二维区域、内部声场及其偏导数如下：
Figure BDA0001918698350000094
Figure BDA0001918698350000095
Figure BDA0001918698350000096
其中
Figure BDA0001918698350000097
为插值点处的声压，J为雅可比矩阵。
(4)应用Gauss-Lobatto积分法则，计算声压在单位参数空间[0,1]×[0,1]内的数值积分为
Figure BDA0001918698350000098
其中s* i,Cs i和t* i,
Figure BDA0001918698350000099
分别为s与t方向的插值点及权重，Ns与Nt分别为为s与t方向的插值点的个数，
Figure BDA00019186983500000910
为插值点处的声压。
定义积分系数矩阵C如下：
Figure BDA00019186983500000911
(5)定义插值点(si,tj)对应的声压向量
Figure BDA00019186983500000912
与积分点(s* i,t* i)对应的声压向量
Figure BDA00019186983500000913
如下：
Figure BDA00019186983500000914
Figure BDA00019186983500000915
其中G为权系数矩阵，可以从步骤(3)与(4)中得到。
(6)由步骤(4)中的积分系数矩阵C及步骤(5)权系数矩阵G中的计算声压在二维结构的几何区域区域A内的积分，如下：
Figure BDA00019186983500000916
(7)基于亥姆霍兹方程
Figure BDA0001918698350000101
及Dirichlet边界条件
Figure BDA0001918698350000102
建立二维内部声学问题的伽辽金弱形式控制方程如下：
Figure BDA0001918698350000103
Figure BDA0001918698350000104
其中
Figure BDA0001918698350000105
为拉普拉斯算子，φ为权函数，k为波数，
Figure BDA0001918698350000106
为特征向量。
(8)利用MATLAB软件编写程序，求得刚度矩阵K与质量矩阵M，计算方法如下：
Figure BDA0001918698350000107
M＝GTCG
其中Gx与Gy分别为权系数矩阵对空间坐标x与y的偏导数。
(9)采用传统有限元中的“划行划列法”施加声学Dirichlet边界条件，然后计算特征方程，得到二维声学区域自然波数与声学模态图。
自然波数的计算结果如表3所示，可以看出，本发明方法的计算结果与解析解吻合良好，随着插值基函数阶次的升高及网格数量的增加，计算结果收敛于解析解，具有较好的计算精度。
表3
Figure BDA0001918698350000108

Claims (7)

1.一种二维结构内部声学性能分析方法，其特征在于，包括以下步骤：
(1)提取表示二维声学区域的NURBS几何参数，包括节点向量、多项式阶次及控制点网络；
NURBS基函数及二维区域的具体表达式如下：
Figure FDA0003534960420000011
Figure FDA0003534960420000012
其中，Ni,p(ξ)为ξ方向的p阶单变量NURBS基函数，Mj,q(η)为η方向的q阶单变量NURBS基函数，
Figure FDA0003534960420000013
为双变量NURBS基函数，Bi,j为NURBS控制点，ωi,j为控制点Bi,j对应的权重，m与n表示在ξ与η方向的控制点个数；
(2)转化NURBS参数，得到新的插值点及插值基函数；转化方法如下：
Figure FDA0003534960420000014
Figure FDA0003534960420000015
Figure FDA0003534960420000016
c1＝1,cr＝r+[p/2](1＜r≤m-p),cm+1-p＝m
Figure FDA0003534960420000017
d1＝1,dv＝v+[q/2](1＜v≤n-q),cn+1-q＝n
Figure FDA0003534960420000018
其中，
Figure FDA0003534960420000019
为插值点，
Figure FDA00035349604200000115
为s方向的p阶单变量插值基函数，cr与si(i＝1,2,…,m)分别为s方向的索引参数及节点向量中的节点，符号[]代表向下取整；
Figure FDA00035349604200000110
为t方向的q阶单变量插值基函数，dv与tj(j＝1,2,…,n)分别为t方向的索引参数及节点向量中的节点；
Figure FDA00035349604200000111
为插值点
Figure FDA00035349604200000112
对应的双变量插值基函数；
(3)采用上述插值基函数，描述二维区域内部声场及其偏导数；
(4)应用Gauss-Lobatto积分法则，计算声压在单位参数空间[0,1]×[0,1]内的数值积分；
(5)定义节点(si,tj)对应的声压向量
Figure FDA00035349604200000113
与积分点(si *,ti *)对应的声压向量
Figure FDA00035349604200000114
(6)计算声压在二维结构的几何区域区域A内的积分；
(7)建立二维内部声学问题的伽辽金弱形式控制方程；
(8)利用MATLAB软件编写程序，求得刚度矩阵K与质量矩阵M；
(9)采用传统有限元中的“划行划列法”施加声学Dirichlet边界条件，然后计算特征方程，得到二维声学区域自然波数与声学模态图。
2.根据权利要求1所述的一种二维结构内部声学性能分析方法，其特征在于，所述采用上述插值基函数，描述二维区域内部声场及其偏导数，包括：
采用上述插值基函数，描述二维区域内部声场如下：
Figure FDA0003534960420000021
其中
Figure FDA0003534960420000022
为插值点处的声压；
此外，计算声压的偏导数如下：
Figure FDA0003534960420000023
其中J为雅可比矩阵。
3.根据权利要求1所述的一种二维结构内部声学性能分析方法，其特征在于，所述应用Gauss-Lobatto积分法则，计算声压在单位参数空间[0,1]×[0,1]内的数值积分，包括：
声压在单位参数空间[0,1]×[0,1]内的Gauss-Lobatto积分定义为：
Figure FDA0003534960420000024
其中，si *,
Figure FDA0003534960420000025
和
Figure FDA0003534960420000026
分别为s与t方向的插值点及权重，Ns与Nt分别为s与t方向的插值点的个数，
Figure FDA0003534960420000027
为插值点处的声压；
定义积分系数矩阵C如下：
Figure FDA0003534960420000028
4.根据权利要求1所述的一种二维结构内部声学性能分析方法，其特征在于，所述定义节点(si,tj)对应的声压向量
Figure FDA0003534960420000029
与积分点
Figure FDA00035349604200000210
对应的声压向量
Figure FDA00035349604200000211
包括：
Figure FDA00035349604200000212
Figure FDA0003534960420000031
其中，G为权系数矩阵，可以从步骤(3)与(4)中得到。
5.根据权利要求1所述的一种二维结构内部声学性能分析方法，其特征在于，所述计算声压在二维结构的几何区域区域A内的积分，包括：
声压在二维结构的几何区域区域A内的积分为：
Figure FDA0003534960420000032
其中，C为积分系数矩阵，G为权系数矩阵。
6.根据权利要求1所述的一种二维结构内部声学性能分析方法，其特征在于，所述建立二维内部声学问题的伽辽金弱形式控制方程，包括：
基于亥姆霍兹方程
Figure FDA0003534960420000033
及Dirichlet边界条件
Figure FDA0003534960420000034
建立二维内部声学问题的伽辽金弱形式控制方程如下：
Figure FDA0003534960420000035
Figure FDA0003534960420000036
其中，
Figure FDA0003534960420000037
为拉普拉斯算子，φ为权函数，k为波数，
Figure FDA0003534960420000038
为特征向量。
7.根据权利要求1所述的一种二维结构内部声学性能分析方法，其特征在于，所述利用MATLAB软件编写程序，求得刚度矩阵K与质量矩阵M，包括：
计算方法如下：
Figure FDA0003534960420000039
M＝GTCG
其中Gx与Gy分别为权系数矩阵对空间坐标x与y的偏导数。
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