CN107515982B - 一种三维力学有限元模态分析中的接触分析方法 - Google Patents

一种三维力学有限元模态分析中的接触分析方法 Download PDF

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CN107515982B CN201710724845.9A CN201710724845A CN107515982B CN 107515982 B CN107515982 B CN 107515982B CN 201710724845 A CN201710724845 A CN 201710724845A CN 107515982 B CN107515982 B CN 107515982B
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Abstract

本发明属于三维结构力学分析数值求解技术领域，涉及一种三维力学有限元模态分析中的接触分析方法。本发明首先对目标电子器件结构进行建模，引入位移边界条件或者应力边界条件建立对应的几何结构模型，并根据各部件之间的相互关系，生成各部件之间的接触关系，然后对所建几何结构模型采用四面体网格进行剖分，并根据仿真区域接触面的面网格生成联合面网格，最后利用有限元法，建立考虑接触问题的目标电子器件的有限元广义本征方程，并求解该方程获得特征值和特征向量，进行后处理获得振动模态频率和振动振型，从而实现了模态分析中的接触分析，且获得高精度的数值计算结果。

Description

一种三维力学有限元模态分析中的接触分析方法
技术领域
本发明属于三维结构力学分析数值求解技术领域，涉及一种三维力学有限元模态分析中的接触分析方法。
背景技术
电子器件的使用环境往往十分恶劣，例如在崎岖上路上运输时的振动、飞机起飞、坦克高速行进、卫星和导弹上升阶段的重力加速等对电子器件的机械强度提出了十分严格的要求。机械性能却又是电子器件的可靠性和稳定性的重要组成部分，这直接影响到器件能否正常工作。因此对电子器件的机械性能进行优化设计是有必要的，而模态分析可以获得电子器件的振动特性，是其机械性能设计的重要环节，因此模态分析中高精度的获得器件的振动特性具有极其重要的意义。然而大部分的器件振动是一种多体运动，部件之间存在接触关系，适当的接触分析方法是能否高精度获得器件的振动特性的关键，因此研究模态分析中的接触分析方法具有重要意义。
目前，利用各种力学计算方法对电子器件结构模态进行仿真分析时，都是采用的有限元本征分析方法。有限元分析一般包括，单元划分、单元分析、系统综合、引入条件、求解方程组和后处理等几个步骤，这是一个线性分析过程。有关接触问题的分析，大量的文献资料上描述的都是一种非线性分析过程，因此对于模态分析中的接触问题分析仅有美国ANSYS公司开发的ANSYS软件等一些商业软件做到了这一点，但是其牵涉到的技术内容由于商业机密并没有对外公布。然而商业软件由于其广泛的适应性，其在算法的效率上并不具有优势，随着分析的结构复杂化，在一定程度上并不能满足专业用户的精度和效率需求。而且由于其高度的封装性，在用户二次开发时并不能透明化的使用接触分析这个功能，这也将影响专业用户的需求。因此我们需要一种模态分析中的接触分析方法，来高精度获得器件的振动特性，同时也方便用户二次开发。
发明内容
针对上述存在问题或不足，为解决构造有限元模态分析中的接触分析，从而获得高精度的数值模拟结果；本发明提供了一种三维力学有限元模态分析中的接触分析方法。
该三维力学有限元模态分析中的接触分析方法，包括以下步骤：
A.将目标电子器件结构进行建模，引入位移边界条件或者应力边界条件建立对应的几何结构模型；
B.根据电子器件各部件之间的相互关系，生成几何结构各部件之间的接触关系；
C.对所建几何结构模型采用四面体网格进行剖分，将连续的几何结构空间转化为离散空间；
D.根据仿真区域接触面的面网格生成联合面网格；
E.利用有限元法，将平衡微分方程、几何方程和物理方程等效的结构力学边值问题在步骤C建立的网格空间进行离散，结合步骤D建立的联合面网格，建立考虑接触问题的目标电子器件的有限元方程；
F.引入几何结构的惯性力，得到其自由振动有限元广义本征方程；
G.求F步骤所获得的本征方程，获得一系列的特征值λj和对应的特征向量
Figure GDA0002536408550000021
即振幅向量，其中n为所求特征值的个数,j＝1,2,3…n；
H.对G步骤获得的特征值和对应特征向量进行后处理获得振动模态频率和对应振动振型。
本发明通过在弹性体刚度矩阵中添加与接触约束相应的矩阵元素来实现接触分析，在求解本征方程时，矩阵方程求解只需要一次求解，而不需要非线性迭代多次求解矩阵方程，从而能够高效的获得高精度的数值计算结果。
附图说明
图1是本发明的流程图；
图2接触面联合面网格示意图。
具体实施方式
下面结合附图和实施例来详细说明本发明的技术方案。
参照附图1，一种三维力学有限元模态分析中的接触分析方法，包括以下步骤：
A.将目标电子器件结构进行建模，引入位移边界条件或者应力边界条件建立对应的几何结构模型。
建立目标电子器件的几何模型，根据电子器件的特性，引入位移边界条件来仿真整个结构的振动特性。具体的结构建模是结构力学数值计算中的一种公知过程，因此本步骤不再详细描述。
B.根据电子器件各部件之间的相互关系，生成几何结构各部件之间的接触关系。
根据电子器件各部件的间的连接关系，在几何结构中生成相应的接触对。一般的前处理软件都能够实现该功能，这是一种公知的过程，因此本步骤不再详细阐述。
C.对所建几何结构模型采用四面体网格进行剖分，将连续的几何结构空间转化为离散空间。
采用四面体网格剖分仿真区域，剖分后的仿真区域被人为分割为多个三维四面体网格，从而将连续的几何结构空间转化为离散的网格空间。此时，接触面由一系列离散的面网格组成。由于四面体网格剖分是有限元方法中的一种公知过程，因此本步骤不再详细描述。
D.根据仿真区域接触面的面网格生成联合面网格。
在上述步骤C中生成的四面体网格在接触面上会存在一个公共面，由于接触面两边属于不同的部件，各部件具有不同的属性，因此接触面在不同的部件网格中具有不同的属性，需要建立一套联合的接触面网格。下面给出联合面网格的生成方法与步骤。
1)确定接触面网格的位置和所属四面体单元
根据步骤C生成的四面体网格信息和步骤B生成的接触对关系，确定每一个接触对上的面网格以及其所属四面体单元。
2)复制接触单元面网格
对上述D步骤中的1)步骤所确定的接触对上的面网格进行共形复制，如附图2所示面网格A'B'C'是接触单元面网格ABC的一个复制，附图2中面网格A'B'C'和面网格ABC在空间几何位置上是重叠的，之间是没有缝隙的，图中只是为了示意方便，描述成那样。这样在接触面上就形成了一套共形网格，其中面网格ABC属于四面体ABCD，面网格A'B'C'属于四面体A'B'C'D'，以分别携带不同的材料属性。
E.利用有限元法，将平衡微分方程、几何方程和物理方程等效的结构力学边值问题在步骤C建立的网格空间进行离散，结合步骤D建立的联合面网格，建立考虑接触问题的目标电子器件的有限元方程。
对于空间边值问题，在结构(弹性体)内部我们要考虑静力学、几何学、物理学三方面条件，分别建立三套方程；并在给定约束或面力的边界上，建立位移边界条件或应力边界条件。具体如下：
平衡微分方程
Figure GDA0002536408550000031
几何方程
Figure GDA0002536408550000041
物理方程
Figure GDA0002536408550000042
位移边界条件
Figure GDA0002536408550000043
应力边界条件
Figure GDA0002536408550000044
上述(1)(2)(3)(4)(5)式中，σx,σy,σz,τxy＝τyx,τyz＝τzy,τzx＝τxz表示求解区域中6个应力分量，εx,εy,εz,γxy,γyz,γzx表示求解区域中6个形变应力分量，u,v,w表示求解区域中3个位移分量。E是求解区域中结构的杨氏弹性模量，μ是求解区域中结构的泊松比，Su表示位移边界面，Sσ表示应力边界面。a＝cos(n′,x),b＝cos(n′,y),c＝cos(n′,z)，表示应力边界面Sσ上的方向余弦，其中n′为应力边界面Sσ的外法线，x,y,z为应力边界面Sσ上三个方向的坐标值。
Figure GDA0002536408550000045
为位移边界面Su上的位移值，fx,fy,fz为求解区域内结构受到的各个方向的体力，为应力边界面Sσ上受到的各个方向的面力，具体推导过程为一种公知过程，这里不再阐述。
经过有限元推导我们得到如下每一个四面体单元中的有限元方程，有限元法是一种众所周知的近似求解数理边值问题的数值技术，在结构力学中的应用已经很成熟，这里不再具体赘述。
Kmαm＝Fm (6)
其中m为第几个单元，Km为第m个单元的刚度矩阵，αm为第m个单元的位移向量，Fm为第m个单元的外载荷量。具体表达式如下
Km＝∫∫∫ΩNTATDANdV (7)
Figure GDA0002536408550000051
Figure GDA0002536408550000052
式(7)、(8)、(9)中T是矩阵转置符号，
Figure GDA0002536408550000053
为第m个单元的体力向量，
Figure GDA0002536408550000054
为第m个单元的面力向量；αm中位移的下标表示第几个插值点，l为体插值基函数(插值点)的个数，ui,vi,wi表示三个位移分量。
Figure GDA0002536408550000055
Figure GDA0002536408550000061
N为体插值基函数的矩阵形式
N＝[N1 N2 … Ni … Nl] (12)
Figure GDA0002536408550000062
(13)式中Ni为体插值基函数，下标表示第几个插值点。对所有的四面体单元进行编号，同时对四面体单元内的插值点进行编号，最后去除重复的插值点，得到一组全局编号，该编号的个数即为整体系统的自由度，然后通过有限元系统装配以得到如下整体结构有限元方程，具体装配过程是一种公知的过程，这里不再描述。
Kα＝F (14)
其中K为弹性体的刚度矩阵，α为结构位移向量，F为外载荷量。
Figure GDA0002536408550000063
其中nf为系统总自由度。
通常我们将联合面网格h上的两个接触的点P和Q构成接触面上接触点对如附图2所示，他们的位移分别是
Figure GDA0002536408550000064
和
Figure GDA0002536408550000065
其位移可由所在接触网格面上的节点位移插值得到，则有
Figure GDA0002536408550000066
Figure GDA0002536408550000067
式中Li是面插值基函数，
Figure GDA0002536408550000068
为接触点所在单元的节点的位移矢量，nS为面基函数(插值点)的个数，下标i表示第几个插值点。这样一来，对于接触点P和Q间的相对位移表示为
Figure GDA0002536408550000071
其中
Figure GDA0002536408550000072
Figure GDA0002536408550000073
Figure GDA0002536408550000074
式(18)、(19)、(20)、(21)是在总体坐标系中定义，为方便引入接触条件，需要将其转换到局部坐标系中，即
Figure GDA0002536408550000075
其中T是两种坐标系之间的转换矩阵,T是矩阵转置符号
Figure GDA0002536408550000076
Figure GDA0002536408550000077
为局部坐标系的三个单位基矢量，
Figure GDA0002536408550000078
和
Figure GDA0002536408550000079
式局部坐标系下P点和Q点的位移。
在黏结接触状态下局部坐标中一个接触点对的接触力引起的等效节点力向量为
Figure GDA00025364085500000710
其中
Figure GDA00025364085500000711
和
Figure GDA00025364085500000712
为第h个联合面网格单元三个方向的罚系数。
进一步以得到第h个联合面网格单元整体坐标系下接触力等效节点力向量
Figure GDA00025364085500000713
或者写为
Figure GDA00025364085500000714
其中
Figure GDA00025364085500000715
为第h个联合面网格单元的接触刚度矩阵。
对所有联合面网格单元的接触节点计算，并按照联合面网格所属体单元的编号，以及面插值点在体单元的位置组装到式(14)，则可得到系统的运动方程，即
(K+Kc)α＝F (27)
其中Kc为弹性体的接触刚度矩阵。
F.引入结构的惯性力，得到结构的自由振动有限元广义本征方程。
当研究结构振动问题时，上述E步骤的α位移向量为时间的函数，我们重新定义时间函数的结构位移向量
Figure GDA0002536408550000081
其中ui(t),vi(t),wi(t)表示是时间函数的三个位移分量。则根据E步骤讨论得到的有限元方程(27)，引入物体的惯性力得到
Figure GDA0002536408550000082
其中
M＝∫∫∫ΩρNTNdΩ (30)
M为质量矩阵，ρ为求解区域物体的密度，
Figure GDA0002536408550000083
为α(t)对时间的二阶导数，F(t)为时间相关的载荷向量。
当物体自由振动时，此时F(t)＝0方程(29)退化为
Figure GDA0002536408550000084
其振动形式叫做自由振动，该方程有解的形式
Figure GDA0002536408550000085
这是简谐振动的形式，其中ω为常数，
Figure GDA0002536408550000086
为振幅向量，将其代入式(64)中，有
Figure GDA0002536408550000087
消去ejωt后，有
Figure GDA0002536408550000088
该方程有非零解的条件是
|(K+Kc)-ω2M|＝0 (35)
这就是接触问题模态分析广义本征方程。
G.求F步骤所获得的本征方程，获得一系列的特征值λj和对应的特征向量
Figure GDA0002536408550000089
即振幅向量，其中n为所求特征值的个数,j＝1,2,3…n。
求解E步骤得到的广义本征方程(35)，得到一系列的特征值λj(j＝1,2,3…n)和对应的特征向量
Figure GDA0002536408550000091
其中n为所求特征值的个数。
H.对G步骤获得的特征值和对应特征向量进行后处理获得振动模态频率和对应振动振型。
对G步骤获得特征值λj进行处理，对应的振动模态频率为
Figure GDA0002536408550000092
根据得到的本征方程(35)的特征向量
Figure GDA0002536408550000093
结合插值基函数，得到求解域内的位移分布，这就是对应振动模态频率的振动振型。

Claims (3)

1.一种三维力学有限元模态分析中的接触分析方法，包括以下步骤：
A.将目标电子器件结构进行建模，引入位移边界条件或者应力边界条件建立对应的几何结构模型；
B.根据电子器件各部件之间的相互关系，生成几何结构各部件之间的接触对关系；
C.对所建几何结构模型采用四面体网格进行剖分，将连续的几何结构空间转化为离散空间；
采用四面体网格剖分仿真区域，剖分后的仿真区域被人为分割为多个三维四面体网格，从而将连续的几何结构空间转化为离散的网格空间；此时，接触面由一系列离散的面网格组成；
D.根据仿真区域接触面的面网格生成联合面网格；
E.利用有限元法，将平衡微分方程、几何方程和物理方程等效的结构力学边值问题在步骤C建立的网格空间进行离散，结合步骤D建立的联合面网格，建立考虑接触问题的目标电子器件的有限元方程；
F.引入几何结构的惯性力，得到其自由振动有限元广义本征方程；
G.求F步骤所获得的本征方程，获得一系列的特征值λj和对应的特征向量
Figure FDA0002536408540000011
即振幅向量，其中n为所求特征值的个数，j＝1,2,3…n；
H.对G步骤获得的特征值和对应特征向量进行后处理获得振动模态频率和对应振动振型。
2.如权利要求1所述三维力学有限元模态分析中的接触分析方法，其特征在于：
所述步骤D中联合面网格的步骤具体为：
1)确定接触面网格的位置和所属四面体单元；
根据步骤C生成的四面体网格信息和步骤B生成的接触对关系，确定每一个接触对上的面网格以及其所属四面体单元；
2)复制接触单元面网格；
对步骤1)中的步骤所确定的接触对上的面网格进行共形复制，在接触面上形成一套共形网格，以分别携带不同的材料属性。
3.如权利要求1所述三维力学有限元模态分析中的接触分析方法，其特征在于：
所述步骤E具体如下：
对于空间边值问题，在结构即弹性体的内部考虑静力学、几何学、物理学三方面条件，分别建立三套方程；并在给定约束或面力的边界上，建立位移边界条件或应力边界条件；
平衡微分方程：
Figure FDA0002536408540000021
几何方程：
Figure FDA0002536408540000022
物理方程：
Figure FDA0002536408540000023
位移边界条件：
Figure FDA0002536408540000024
应力边界条件：
Figure FDA0002536408540000025
上述(1)(2)(3)(4)(5)式中，σx,σy,σz,τxy＝τyx,τyz＝τzy,τzx＝τxz表示求解区域中6个应力分量，εx,εy,εz,γxy,γyz,γzx表示求解区域中6个形变应力分量，u,v,w表示求解区域中3个位移分量；E是求解区域中结构的杨氏弹性模量，μ是求解区域中结构的泊松比，Su表示位移边界面，Sσ表示应力边界面；a＝cos(n′,x),b＝cos(n′,y),c＝cos(n′,z)，表示应力边界面Sσ上的方向余弦，其中n′为应力边界面Sσ的外法线，x,y,z为应力边界面Sσ上三个方向的坐标值；
Figure FDA0002536408540000031
为位移边界面Su上的位移值，fx,fy,fz为求解区域内结构受到的各个方向的体力，
Figure FDA0002536408540000032
为应力边界面Sσ上受到的各个方向的面力；
经过有限元推导得到如下每一个四面体单元中的有限元方程；
Kmαm＝Fm (6)
其中m为第几个单元，Km为第m个单元的刚度矩阵，αm为第m个单元的位移向量，Fm为第m个单元的外载荷量；
Km＝∫∫∫ΩNTATDANdV (7)
Figure FDA0002536408540000033
Figure FDA0002536408540000034
式(7)、(8)、(9)中T是矩阵转置符号，
Figure FDA0002536408540000035
为第m个单元的体力向量，
Figure FDA0002536408540000036
为第m个单元的面力向量；αm中位移的下标表示第几个插值点，l为体插值基函数的个数，ui,vi,wi表示三个位移分量；
Figure FDA0002536408540000037
Figure FDA0002536408540000041
N为体插值基函数的矩阵形式
N＝[N1 N2…Ni…Nl] (12)
Figure FDA0002536408540000042
(13)式中Ni为体插值基函数，下标表示第几个插值点，对所有的四面体单元进行编号，同时对四面体单元内的插值点进行编号，最后去除重复的插值点，得到一组全局编号，该编号的个数即为整体系统的自由度，然后通过有限元系统装配以得到如下整体结构有限元方程；
Kα＝F (14)
其中K为弹性体的刚度矩阵，α为结构位移向量，F为外载荷量；
Figure FDA0002536408540000043
其中nf为系统总自由度；
将联合面网格h上的两个接触的点P和Q构成接触面上接触点，其位移分别是
Figure FDA0002536408540000044
和
Figure FDA0002536408540000045
其位移可由所在接触网格面上的节点位移插值得到，则有
Figure FDA0002536408540000046
Figure FDA0002536408540000047
式中Li是面插值基函数，
Figure FDA0002536408540000048
为接触点所在单元的节点的位移矢量，nS为面基函数即插值点的个数，下标i表示第几个插值点；这样一来，对于接触点P和Q间的相对位移表示为
Figure FDA0002536408540000051
其中
Figure FDA0002536408540000052
Figure FDA0002536408540000053
Figure FDA0002536408540000054
式(18)、(19)、(20)、(21)是在总体坐标系中定义，为方便引入接触条件，需要将其转换到局部坐标系中，即
Figure FDA0002536408540000055
其中T是两种坐标系之间的转换矩阵,T是矩阵转置符号
Figure FDA0002536408540000056
Figure FDA0002536408540000057
为局部坐标系的三个单位基矢量，
Figure FDA0002536408540000058
和
Figure FDA0002536408540000059
式局部坐标系下P点和Q点的位移；
在黏结接触状态下局部坐标中一个接触点对的接触力引起的等效节点力向量为
Figure FDA00025364085400000510
其中
Figure FDA00025364085400000511
Figure FDA00025364085400000512
和
Figure FDA00025364085400000513
为第h个联合面网格单元三个方向的罚系数；
进一步以得到第h个联合面网格单元整体坐标系下接触力等效节点力向量
Figure FDA00025364085400000514
或者写为
Figure FDA00025364085400000515
其中
Figure FDA00025364085400000516
为第h个联合面网格单元的接触刚度矩阵；
对所有联合面网格单元的接触节点计算，并按照联合面网格所属体单元的编号，以及面插值点在体单元的位置组装到式(14)，则可得到系统的运动方程，即
(K+Kc)α＝F (27)
其中Kc为弹性体的接触刚度矩阵。
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