CN109783946A - 一种声子晶体带隙仿真的节点积分算法 - Google Patents
一种声子晶体带隙仿真的节点积分算法 Download PDFInfo
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Abstract
本发明公开了一种声子晶体带隙仿真的节点积分算法，首先，采用非结构网格对单个原胞进行离散，并运用线性形函数对位移进行插值；然后，基于背景网格的节点构造相应的光滑域，并引入梯度光滑技术和泰勒中值定理对积分域内的应变进行光滑处理；在此基础之上，构造整个系统的质量矩阵与刚度矩阵；最后，通过施加Bloch周期性边界条件以形成相应的特征值问题方程。与现有技术相比，本发明专利能有效地克服传统有限元法模型过于“刚硬”的缺陷，提高其计算精度与收敛效率；此外，本算法亦具有前处理简单、抗网格畸变能力强的优势。
Description
技术领域
本发明涉及声学超材料的仿真计算领域，具体涉及声子晶体带隙仿真中的一种声子晶体带隙仿真的节点积分算法，用于高效率、高精度地计算声子晶体的带隙。
背景技术
噪声是新时代下全球的四大污染之一，较强的噪声甚至影响人们的心理健康和生存环境。防止噪声污染最有效的措施便是对噪声源采用吸声、隔声装置。
声子晶体是一种新型功能材料，存在弹性波禁带，即弹性波在声子晶体中传播时会强烈衰减某些频率范围(即禁带)，所以基于声子晶体的隔音装置同传统的相比具有禁带频率可设计、针对性强、效果好的优点。
声子晶体是材料常数周期性分布的宏观结构，而弹性常数和晶格类型等均影响带隙的宽度及频率范围，不同的带隙频率范围及宽度造成了带隙多样性。而带隙则决定了声子晶体在工程实践中应用的可行性以及隔声的频率范围，因此对声子晶体的带隙进行仿真计算是将声子晶体应用于工程实践的核心。
在传统的声子晶体带隙计算中，常使用PWE(平面波展开法)，TM(传递矩阵法)，MST(多重散射理论)，FEM(有限元法)。PWE能很好地对同相材料声子晶体的带隙进行仿真，然而对于异相材料及大弹性常数差声子晶体，其计算精度和收敛性过差；TM在声子晶体研究中可以获得精确解，但是其仅适用于一维声子晶体的计算；与PWE比较，MST对于任意弹性常数差都能给出较好的计算结果，然而构造方式的复杂性使它仅能求解圆柱形及球形散射体构成的声子晶体；FEM适用范围较广，但是其精度无法保证，只能用相当细密的网格来进行计算，这严重地降低了计算效率。如图6所示，在声子晶体带隙特性研究中FEM实施的具体步骤为：
(1)由于声子晶体存在材料以及结构周期分布的特性，所以只需要将声子晶体的一个原胞离散为非结构网格(二维声子晶体离散为三角形网格，三维声子晶体离散为四面体网格)；
(2)按基体和散射体材料参数的不同对网格、节点等信息进行分类；
(3)在每个网格内使用线性形函数对位移进行插值，通过位移场得到各单元内的梯度场；
(4)单元质量矩阵和单元刚度矩阵求解与组装；
(5)对系统刚度矩阵和质量矩阵施加Bloch周期性边界条件；
(6)重复(3)～(5)，完成基体和散射体的循环；
(7)遍历第一布里渊区边界选取波矢(如图5，我们可以看出正方晶格对应的布里渊区为相应的灰色阴影区域，其波矢的选取顺序为Μ→Γ→X→Μ；立方晶体对应的布里渊区为浅灰色区域，其波矢的选取顺序为R-Μ-Γ-X-R)；
(8)求解每个波矢对应的特征值问题方程，得到声子晶体的能带结构图。
在声子晶体带隙特性的仿真计算中，FEM主要存在以下问题：
首先，FEM的计算精度依赖于单元类型。四边形网格对复杂几何曲面剖分困难，难以准确表征边界，导致基于四边形网格的FEM仿真结果与实际值有出入；而三角形网格虽然可精确地逼近复杂几何边界，但是基于三角形网格的FEM模型过硬，导致结果偏离精确解，在求解声子晶体刚度矩阵时存在精度过低的问题(三维问题中，基于四面体和六面体网格的FEM同样存在此问题)。其次，FEM对网格畸变现象很敏感，当网格质量不好时，FEM很难给出较为合理的带隙仿真结果。
近些年，无网格方法的研究方兴未艾。无网格方法由于克服了网格问题带来的分析困难，摆脱了网格依赖性，所以能较好地用于分析各类工程问题。但是，无网格法仍然存在一些缺陷：(1)由于无网格法权函数所包含的节点数远大于FEM包含的节点数，而且在域内积分时需要更多的积分点数，所以计算成本也明显提高；(2)受制于节点形函数构造的复杂性，无网格方法的的计算效率并不高。
发明内容
本发明的目的是要解决现有技术中存在的不足，提供一种可改善运算效率，提高精度的声子晶体带隙仿真的节点积分算法；基于背景网格建立以节点为基础的新积分域的方式将有限元与无网格的优点融合，从而形成一种高效率的声子晶体带隙计算新方法；该方法采用网格内的线性插值函数，利用节点构造积分域，将插值域与积分域分离。与现有技术相比，本发明专利能有效地克服传统有限元法模型过于“刚硬”的问题，提高其计算精度与收敛效率；此外，本算法亦具有前处理简单、抗网格畸变能力强的优势。
为达到上述目的，本发明是按照以下技术方案实施的：
一种声子晶体带隙仿真的节点积分算法，将插值域和积分域分离，主要包括以下步骤：
(1)将二维声子晶体的一个原胞离散为三角形网格，将三维声子晶体的一个原胞离散为四面体网格；
(2)按基体和散射体材料参数的不同对网格、节点等信息进行分类；
(3)在每个网格内采用线性形函数对位移插值，通过位移场得到网格内的梯度场；
(4)单元质量矩阵求解与组装；
(5)对系统质量矩阵施加Bloch周期性边界条件；
(6)基于四面体网格或三角形网格，构造以节点为基础的光滑积分域其中构造的光滑域满足且
(7)在第k个节点积分域内，使用光滑函数对应变分量进行梯度光滑处理之后，得到新的应变如下：
其中,为积分域的面积或体积；
(8)结合泰勒中值定理构造应变的梯度增量，其相应展开式如下：
(9)基于积分域内的光滑梯度及应变的梯度增量计算各子域内的刚度矩阵并组装；
(10)对系统刚度矩阵施加Bloch周期性边界；
(11)重复(3)～(10)，完成基体和散射体的循环；
(12)遍历第一布里渊区边界选取波矢；
(13)求解每个波矢对应的特征值问题，得到声子晶体的能带结构图。
与现有技术相比，本发明具有以下有益效果：
(1)本发明采用三角形(二维问题)和四面体网格(三维问题)对原胞进行离散，在线性插值的基础之上，运用梯度光滑技术对基于节点的积分域进行应变光滑处理，因而，前处理方便且计算精度高，可有效地克服传统有限元模型过于“刚硬”的数值缺陷。
(2)本发明使用泰勒公式展开梯度函数增加了导数项，因而克服了传统节点积分算法的不稳定性，保证了计算结果的可靠性与精确性；
(3)本发明将插值域与积分域分离，降低了网格的依赖性，抗网格畸变能力强，其计算结果与实验结果更为接近；利用散度定理将求解域转化到边界上，降低了计算量和计算时间，从而能有效地提高收敛性。
综上，本发明提供了一种可有效提升运算效率、提高仿真精度、改善数值模型收敛性的声子晶体带隙计算新方法；此外，由于采用非结构网格作为背景网格，基于线性形函数对离散域进行插值，因而本发明亦具有前处理简单、编程计算简便等优点。
附图说明
图1本发明求解声子晶体基本流程。
图2二维问题中基于节点k的光滑域。
图3三维问题中基于节点k的光滑域。
图4三维问题中在背景网格I内基于节点k的光滑域。
图5二维和三维声子晶体布里渊区图。
图6有限元法求解声子晶体基本流程。
图7菱形铅柱散射体与橡胶基体构成的正方晶格声子晶体。
图8菱形铅柱散射体与橡胶基体构成的声子晶体带结构图。
图9其他方法与本方法计算菱形铅柱散射体与橡胶基体声子晶体时收敛性比较。
图10Bloch周期性边界施加示意图。
图11本发明的积分域以及可替代的积分域。
具体实施方式
为使本发明的目的、技术方案及优点更加清楚明白，以下结合附图和实施例，对本发明进行进一步的详细说明。此处所描述的具体实施例仅用于解释本发明，并不用于限定发明。
如图1所示，本发明提供的一种声子晶体带隙仿真的节点积分算法，将插值域和积分域分离，主要包括以下步骤：
(1)由于声子晶体材料和结构周期分布的特性，所以只需要将声子晶体的一个原胞离散为非结构网格(二维声子晶体为三角形网格，三维声子晶体为四面体网格)；
(2)按基体和散射体材料参数的不同对网格、节点等信息进行分类；
(3)在每个网格内采用线性形函数对位移插值，通过位移场得到网格内的梯度场；
(4)单元质量矩阵求解与组装；
(5)对系统质量矩阵施加Bloch周期性边界条件；
(6)基于四面体网格或三角形网格，构造以节点为基础的光滑积分域。图2和图3分别显示了二维和三维问题中基于节点的光滑域构造方法，光滑域的边界表示为在二维情况下，依次连接节点周围三角形单元的面心和边的中点即可得到围绕此节点的多边形积分域。三维情况下，则需通过节点k周围四面体单元的体心、面心和边中点来构造一个多面体积分域，可在图4中看到节点k积分域在第I个相关单元中的示意图。如此构造的光滑域满足且由此保证了积分时不会出现区域的重复或遗漏；
(7)在第k个节点积分域内，使用光滑函数对应变分量进行梯度光滑处理之后，得到新的应变如下：
其中,为积分域的面积或体积；
(8)结合泰勒中值定理构造应变的梯度增量，其相应展开式如下：
(9)基于积分域内的光滑梯度及应变的梯度增量计算各子域内的刚度矩阵并组装；
(10)对系统刚度矩阵施加Bloch周期性边界；
(11)重复(3)～(10)，完成基体和散射体的循环；
(12)遍历第一布里渊区边界选取波矢(如图5，可以看出正方晶格对应的布里渊区为相应的灰色阴影区域，其波矢的选取顺序为Μ→Γ→X→Μ；立方晶体对应的布里渊区为浅灰色区域，其波矢的选取顺序为R-Μ-Γ-X-R)；
(13)求解每个波矢对应的特征值问题，得到声子晶体的能带结构图。
为了进一步详细说明本发明效果，以二维声子晶体为例：
(1)将图4中(其中基体材料为橡胶，散射体材料为铅)的二维声子晶体的一个原胞使用三角形网格进行离散，得到网格、节点等信息；
(2)按基体和散射体材料参数不同将网格、节点等信息分为两类，其中两类网格无交集，而材料交界处的节点属于共有节点；
(3)在每个单元内根据网格类型使用线性插值函数，求出每个单元的质量矩阵并组装到整体质量矩阵，该实施例的质量矩阵公式如下：
其中，mk代表第k个单元的质量矩阵，ρ为材料密度；
(4)通过替换原胞边界对应的自由度编号，从而将Bloch周期性边界条件施加到整体质量矩阵中。如图10，我们可以看到离散一个周期原胞之后的网格图，为了能够精确满足Bloch周期性边界条件，在划分网格时应使左右边界及上下边界具有相同数目的节点数及完全对应的节点分布。以图10为例，E、F、G、H四点对应一个自由度编号，P、Q点对应一个自由度编号，M点与N点之间对应一个自由度编号；
(5)基于三角形背景网格，积分区域Ω被进一步的划分为个N以节点为中心、互不重合的光滑域依次连接节点周围三角形单元的面心和边的中点即可得到围绕此节点的多边形积分域。其中构造的光滑域满足且保证了积分时不会出现区域的重复或遗漏；
(6)在积分域内，对应变分量进行梯度光滑处理之后，得到新的应变如下：
其中，为积分域的面积；
(7)使用高斯散度定理，将上述积分转化为对域的边界积分，得到新的应变矩阵如下：
其中，nx,ny是域边界的法线向量；
(8)结合泰勒中值定理构造应变的梯度增量，其相应展开式如下：
(9)基于积分域内的光滑梯度及应变的梯度增量计算各子域内的刚度矩阵并组装。积分域的刚度矩阵如下：
其中，分别为光滑积分域下的x-y模式，z模式下的的刚度矩阵；
(10)通过替换边界对应的自由度编号，从而将Bloch周期性边界条件施加到整体刚度矩阵；
(11)重复(3)～(10)，完成基体和散射体材料的循环；
(12)遍历第一布里渊区边界选取波矢(如图5，可以看出该算例为正方晶格，其对应的布里渊区为相应的灰色阴影区域，其波矢的选取顺序为Μ→Γ→X→Μ)；
(13)分别求解每个波矢对应的特征值问题，得到声子晶体的能带结构图。
如图7所示，一菱形铅柱散射体在橡胶基体中构成的二维正方晶格声子晶体，晶格常数a＝0.02m，散射体半径r＝0.008m。计算中所使用的铅的密度为11600kg/m3，拉梅第一参数为4.23×1010Pa，拉梅第二参数为1.49×1010Pa；橡胶的密度为1300kg/m3，拉梅第一参数为7.0×105Pa，拉梅第二参数6×104Pa。
通过使用本方法计算带隙，并将分析结果与传统有限元方法进行对比，来显示发明效果。
图8给出了采用三角形网格集中质量法和节点积分有限元法计算得到的该正方晶格声子晶体带结构关系，其中FEM引入了3829个节点，而本方法引入了137个节点，图中实线和虚线分别为本发明计算得到的x-y模式及z模式色散曲线，而三角形符号和圆形符号则表征FEM的计算结果。可以看到在FEM引入大量网格的情况下，两种结果给出了比较一致的能带关系预测。
图9给出了也给出了能带结构图中M1、M2及M3,4点模态频率随节点数目递增的收敛曲线。可以看出：(1)在所有对比方法之中，平面波展开法的精度及收敛性均是最糟糕的，印证了PWE不适宜计算大弹性常数差声子晶体能带结构的结论；(2)本方法在节点数目较少时，已能给出远远优于FEM的弹性波传播频率预测，而且其收敛性相比其他方法也更突出，而且其收敛性相比其他方法也更突出。这说明节点积分有限元法的精度和收敛性不受介质弹性常数差异的影响，因而其更适合大弹性常数差声子晶体带隙频率的仿真。
作为本发明另一个实施例，与上述实施例不同在于：在步骤(5)中节点为基础，其附近单元相关的其他特征点构造的新积分域，如图11所示，该实施例的积分域构造思想跟专利中方法构造思想是一致的，都是以节点为基础，依次连接节点附近单元相关的特征点(如实施例中的特征点为单元边上的中点和单元面内的外心点)构成积分域，可以明显看出实施例的积分域与前面所述专利的积分域存在严重的相似性。
本发明的技术方案不限于上述具体实施例的限制，凡是根据本发明的技术方案做出的技术变形，均落入本发明的保护范围之内。
Claims (1)
1.一种声子晶体带隙仿真的节点积分算法，其特征在于，将插值域和积分域分离，主要包括以下步骤：
(1)将二维声子晶体的一个原胞离散为三角形网格，将三维声子晶体的一个原胞离散为四面体网格；
(2)按基体和散射体材料参数的不同对网格、节点等信息进行分类；
(3)在每个网格内采用线性函数对位移插值，通过位移场得到网格内的梯度场；
(4)单元质量矩阵求解与组装；
(5)对系统质量矩阵施加Bloch周期性边界条件；
(6)基于四面体网格或三角形网格，构造以节点为基础的光滑积分域其中构造的光滑域满足且
(7)在第k个节点积分域内，使用光滑函数对应变分量进行梯度光滑处理之后，得到新的应变如下：
其中,为积分域的面积或体积；
(8)结合泰勒中值定理构造应变的梯度增量，其相应展开式如下：
(9)基于积分域内的光滑梯度及应变的梯度增量计算各子域内的刚度矩阵并组装；
(10)对系统刚度矩阵施加Bloch周期性边界；
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| PB01 | Publication | ||
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| SE01 | Entry into force of request for substantive examination | ||
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| RJ01 | Rejection of invention patent application after publication | ||
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