CN113836768B - 一种基于曲线/曲面桥接节点的异质结构高精度仿真方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种基于曲线/曲面桥接节点的异质结构高精度仿真方法，从细网格边界自适应地选择自由度的数量，沿每个曲线/曲面桥接节点对结构进行粗略离散化,构造新的材料感知的形函数。本发明与现有的将形函数的推导公式化为求解一个非线性优化问题的方法不同，而是构建一个从曲线/曲面桥接节点到内部节点的映射，通过高阶插值算子和边界‑内部映射算子，最终将形函数以显式矩阵形式给出。本发明基于曲线/曲面桥接节点的形函数为仿真分析提供了更大的灵活性，适用于线性及非线性的结构分析问题；克服了单元间刚度和粗单元间界面位移不连续的重要挑战性问题，将分析精度提高到了数量级；且还满足形函数的基本几何属性，避免了错误的物理分析结果。

Description

一种基于曲线/曲面桥接节点的异质结构高精度仿真方法

技术领域

本发明属于数值粗化的技术领域，尤其涉及一种基于曲线/曲面桥接节点的异质结构高精度仿真方法。

背景技术

异质结构是指在其内部中具有不同材料分布的结构。它们存在于各种自然物体中，如人体骨骼或器官，或工程产品中，如纤维增强飞机和汽车部件。特别地，快速发展的增量制造技术会产生各种异质结构，如多孔结构、合金、纤维增强材料、超材料、多材料复合结构。通过工程分析对这种异质结构的物理性能进行数值预测是工程设计中永恒且基本的问题，但是在合理平衡仿真精度和效率的关键要求方面仍然非常具有挑战性。

使用直接的数值分析方法(如有限元分析)进行异质结构分析是一种简单的方法，有望产生高精度的分析结果。它主要面临两个挑战：第一个来自于网格要求，其中不同材料成分之间的界面必须明确区分，以便每个网格元素都具有均匀的材料属性，这可能会引起额外的几何问题，并导致非常精细的详细网格；第二个挑战是计算量，高精细网格必然会产生一个巨大自由度的分析问题，甚至高达数十亿，即使现代高性能计算设备的计算能力不断增强，这个问题也很难处理。

因此，研究人员提出了多尺度方法来加速异质结构仿真分析。基本思路是划分细网格或粗网格；及二者之间的过渡量。数值均匀化是最普遍的多尺度分析方法，它用等效的各向异性的宏观材料特性代替每个微观结构，通常是通过计算一组d(d+1)/2,d＝2,3的谐波位移来获得的。然而，该方法仅局限于线弹性模型且会造成巨大的精度损失。数值均匀化是建立在尺度分离的假设上，以便将均匀化的材料性质或能量传递到宏观结构分析，用填充了各向异性材料的均质网格单元代替不均质的粗网格单元。该替换虽然大大加快了仿真速度，但难免会失去准确性。此外，仿真是在单个宏观尺度上进行的，没有考虑粗单元内的变形或局部信息，因此难以描述局部结构行为，如应力集中。

另一种方法是在粗网格上构造新的形函数来精确描述局部特征形变，而不是有效的均匀化材料，没有尺度分离假设。形状函数通常是作为典型载荷条件下一组调和解的函数而获得的。但是由于形函数不能完全反映所研究的粗单元的边界条件，对于高材料对比度或大变形的情况，仿真精度仍然会降低。

发明内容

在没有尺度分离的情况下，数值预测异质结构的性能是满足计算可扩展性和效率的关键要求的一个重大挑战——采用足够精细的网格来充分考虑小尺度的异质会产生非常昂贵的计算成本，而简单地忽略这些精细的异质会极大地过度强化结构的刚性。针对现有技术的不足，本发明提供一种基于曲线/曲面桥接节点的异质结构高精度仿真方法。特别地从细网格边界自适应地选择自由度的数量，即本发明中的曲线/曲面桥接节点，以满足特定的分析精度。本发明方法并非将形函数的推导公式化为求解一个非线性优化问题，而是构建一个从曲线/曲面桥接节点到内部节点的映射，通过高阶插值算子和边界-内部映射算子，最终将形函数以显式矩阵形式给出。基于曲线/曲面桥接节点的形函数为仿真分析提供了更大的灵活性，适用于线性及非线性的结构分析问题；克服了单元间刚度和粗单元间界面位移不连续的重要挑战性问题，将分析精度提高到了数量级；而且还满足形函数的基本几何属性，避免了错误的物理分析结果。

本发明采用的技术方案如下：

一种基于曲线/曲面桥接节点的异质结构高精度仿真方法，包括如下步骤：

1)构造曲线/曲面桥接节点，根据精度要求或用户自定义，在细网格边界选择一定数量的节点作为桥接节点，插入控制点后，将桥接节点和控制点作为粗网格仿真自由度；

2)构造高阶曲线/曲面插值算子，建立粗网格桥接节点与细网格边界节点的映射关系，根据给定的曲线/曲面桥接节点，构造高阶曲线/曲面，提高最终形函数的表达能力及整体解的精度；

3)构造边界-内部映射算子，建立细网格边界节点与内部节点的映射关系，基于有限元分析理论，建立二者位移的关系，提高形函数对细网格异质材料变化的敏感度；

4)构造基于曲线/曲面桥接节点的形函数，基于上述建立的映射关系，得到粗网格桥接节点与细网格所有节点的关系，对每个粗网格单元构造局部的基于曲线/曲面桥接节点的形函数，同时能够保持全局解的光滑性，且该形函数满足所需的基本几何属性。

上述技术方案中，所述的步骤1)构造曲线/曲面桥接节点，具体如下：

采用多边形或多面体对设计区域进行有限元划分，获得M个粗网格有限单元Ω_α，对每一个粗网格单元Ω_α，同样进行有限元划分得到m个细网格有限单元ω_e；选取部分细网格上边界节点作为桥接节点，每两个桥接节点插入额外的控制点，将桥接节点和控制点作为新的粗网格仿真计算的自由度，称为曲线/曲面桥接节点，作为粗网格仿真自由度。

所述的步骤2)构造高阶曲线/曲面插值算子，具体如下：

根据前述步骤得到的粗网格的曲线/曲面桥接节点，对细网格边界节点采用高阶曲线或曲面进行表示，将细网格边界节点的位移向量q_b用曲线/曲面桥接节点的位移向量来表示Q^α，

q_b＝ΨQ^α

其中Ψ为当前粗网格的插值变换算子，χ_b为所有细网格边界节点，

矩阵Ψ由每条边或面的高阶基底ψ_E装配而成，t(x)将根据点x在当前边或面E的位置对应参数化为0-1的值。矩阵Ψ能够保持全局解的光滑性。

所述的步骤3)构造边界-内部映射算子，具体如下：

对于分布在粗网格单元Ω_α上的细网格，令k为细网格上的总刚度矩阵，将细网格上所有节点的自由度划分内部和边界，且下标对应为i，b，根据有限元分析理论可得，

其中k_b，k_bi，k_ib，k_i分别为刚度矩阵k的子矩阵，其行列按照下标i，b对应于总刚度矩阵k的相应自由度，q_b，q_i为边界节点和内部节点的位移向量，f_b为边界节点上的外力向量。

进一步递推可得，

q_i＝M^αq_b

其中M^α为

所述的步骤4)构造基于曲线/曲面桥接节点的形函数，具体如下：

经过前述步骤可得到粗网格曲线/曲面桥接节点的位移向量Q^α与细网格所有节点的位移向量q的映射关系，

其中

其中I_2b为2b×2b的单位矩阵。

根据细网格单元上的双线性插值函数N_e(x)，装配得到整个细网格的插值函数N^ω(x)，

可以得到当前粗网格单元任意点x的位移u(x)

最后得到新的基于曲线/曲面桥接节点的形函数

所得的基于曲线/曲面桥接节点的形函数可以按照有限元基础理论在粗网格上进行物理仿真，且该形函数仍然满足基本形函数所需的节点插值属性，1分割性，及旋转不变性。

本发明的有益效果是：

1)构造了新的材料感知的形函数，用于对异质结构仿真分析，且满足经典有限元形函数的性质，包括节点插值属性、1分割性和旋转不变量。

2)可控制不同的分析精度适用可用的计算能力，自适应地选择每个粗网格单元的曲线/曲面桥接节点的数量。

3)提出了一种使用高阶曲线或曲面的插值算子，既保证了相邻粗网格单元解之间的平滑过渡，又提高了仿真精度。

4)提供了一种针对异质结构的数值仿真技术，绕过了以前基于子结构的方法在涉及稠密刚度矩阵方面的固有限制，且大大提高了计算效率。

5)所提出的方法在经典的有限元框架中运行，因此完全适用于经典的基于位移的弹性有限元公式，灵活适用于线性及非线性问题。

附图说明

图1是本发明方法的仿真实例示意图；其中：(a)给定异质结构，(b)离散为粗网格；

图2是采用多种方法对图1实例进行仿真结果示意图，其中：(a)基准形变结果，(b)均质化方法形变结果以及与基准的误差，(c)FE²方法形变结果以及与基准的误差，(d)CMCM方法形变结果以及与基准的误差，(e)采用本发明方法但凡将贝塞尔基底换为普通线性基底的形变结果以及与基准的误差，(f)本发明方法形变结果以及与基准的误差。

具体实施方式

下面结合附图和具体实施例对本发明做进一步说明。

本发明的一种基于曲线/曲面桥接节点的异质结构高精度仿真方法，是从细网格边界自适应地选择自由度的数量，即获得曲线/曲面桥接节点，以满足特定的分析精度，构造了一组新的材料感知的形(基)函数。并非将形函数的推导公式化为求解一个非线性优化问题，而是构建一个从曲线/曲面桥接节点到内部节点的映射，通过高阶插值算子和边界-内部映射算子，最终将形函数以显式矩阵形式给出。基于曲线/曲面桥接节点的形函数为仿真分析提供了更大的灵活性，适用于线性及非线性的结构分析问题；克服了单元间刚度和粗单元间界面位移不连续的重要挑战性问题，将分析精度提高到了数量级；它们还满足形函数的基本几何属性，避免了错误的物理分析结果。具体可包括如下步骤：

1)构造曲线/曲面桥接节点，根据精度要求或用户自定义，在细网格边界选择一定数量的节点作为桥接节点，插入控制点后，作为粗网格仿真自由度

采用多边形或多面体对设计区域进行有限元划分，获得M个粗网格有限单元Ω_α，对每一个粗网格单元Ω_α，同样进行有限元划分得到m个细网格有限单元ω_e；选取部分细网格上边界节点作为桥接节点，每两个桥接节点插入额外的控制点，将桥接节点和控制点作为新的粗网格仿真计算的自由度，称为曲线/曲面桥接节点，作为粗网格仿真自由度。

2)构造高阶曲线/曲面插值算子，建立粗网格曲线/曲面桥接节点与细网格边界节点的映射关系

将当前边界边或面E的曲线/曲面桥接节点的位移向量Q_E视为控制点，采用三阶贝塞尔曲线或3×3贝塞尔曲面进行插值，具体地，t(x)将点x参数化为t，t∈[0，1]，ψ₀(t)是基本的三阶贝塞尔基底

其中I_d为d×d的单位矩阵。对于二维问题，即采用三阶贝塞尔曲线，则当前边的贝塞尔基底ψ_E(t(x))为

ψ_E(t)＝ψ₀(t)

如果扩展至三维问题，则当前面的贝塞尔基底ψ_E(t(x))为

ψ_E(t)＝ψ₁(t_u)ψ₂(t_v)

其中t_u和t_v将点x参数化为t

可得到当前边界边或面任意点x的位移u_b(x)

将细网格边界节点的位移向量q_b用曲线/曲面桥接节点的位移向量来表示Q^α，

q_b＝ΨQ^α

其中Ψ为当前粗网格的贝塞尔插值变换矩阵，χ_b为所有细网格边界节点，

矩阵Ψ由每条边或面的贝塞尔基底ψ_E装配而成，t(x)将根据点x在当前边或面E的位置对应参数化为0-1的值。矩阵Ψ能够保持全局解的光滑性。本实例中仅采用贝塞尔曲线/曲面进行说明，实际本发明方法可以采用任意的高阶曲线/曲面实现。

3)构造边界-内部映射算子，建立细网格边界节点与内部节点的映射关系

对于分布在粗网格单元Ω_α上的细网格，令k为细网格上的总刚度矩阵，将细网格上所有节点的自由度划分内部和边界，且下标对应为i，b，根据有限元分析理论可得，

其中k_b，k_bi，k_ib，k_i分别为刚度矩阵k的子矩阵，其行列按照下标i，b对应于总刚度矩阵k的相应自由度，q_b，q_i为边界节点和内部节点的位移向量，f_b为边界节点上的外力向量。

进一步递推可得，

q_i＝M^αq_b

其中M^α为边界-内部变换矩阵M^α包含了细网格的材料分布信息

4)构造基于曲线/曲面桥接节点的形函数

经过前述步骤可得到粗网格曲线/曲面桥接节点的位移向量Q^α与细网格所有节点的位移向量q的映射关系，

其中

其中I_2b为2b×2b的单位矩阵。

根据细网格单元上的双线性插值函数N_e(x)，装配得到整个细网格的插值函数N^ω(x)，

可以得到当前粗网格单元任意点x的位移u(x)

最后得到新的基于曲线/曲面桥接节点的形函数

所得的基于曲线/曲面桥接节点的形函数可以按照有限元基础理论在粗网格上进行物理仿真，且该形函数仍然满足基本形函数所需的节点插值属性，1分割性，及旋转不变性。

以下为采用本发明方法进行的一项具体求解案例：

图1(a)是一个二维的一半MBB梁案例，求解域被离散为2×4的粗网格(b)，每个粗网格离散为10×10的细网格，左端受到一个向下压的力，右端的下端点被固定在地上。基准方法以及各仿真方法的最终形变结果如图2所示，其中基准方法采用了基于细网格的基本有限元仿真，各对比仿真方法包括：均质化(a)、FE²(b)、CMCM(c)、采用本发明方法并将贝塞尔基底换为普通线性基底(d)、本发明方法(e)。其中r_e，r_u分别代表能量和位移与基准结果的误差。通过误差以及形变结果，我们能看到相比于基准结果，本发明方法的仿真精度最高。本发明的方法平衡了整体解的精度与仿真的计算代价，而且保证全局解的连续性。

此外，本发明方法通过大量的数值例子，包括数十亿自由度的三维工业例子，也进行了测试，其可以有效保证计算效率和精度。

Claims (2)

1.一种基于曲线/曲面桥接节点的异质结构高精度仿真方法，其特征在于，包括如下步骤：

1)构造曲线/曲面桥接节点，根据精度要求或用户自定义，在细网格边界选择一定数量的节点作为桥接节点，插入控制点后，将桥接节点及控制点作为粗网格仿真自由度；

2)构造高阶曲线/曲面插值算子，建立粗网格曲线/曲面桥接节点与细网格边界节点的映射关系；具体如下：

根据前述步骤得到的粗网格的曲线/曲面桥接节点，对细网格边界节点采用高阶曲线或曲面进行表示，则有：

q_b＝ΨQ^α

其中，q_b为细网格边界节点的位移向量，Q^α为曲线/曲面桥接节点的位移向量，Ψ为当前粗网格的插值变换算子，χ_b为所有细网格边界节点，

矩阵Ψ由每条边或面的高阶基底ψ_E装配而成，t(x)将根据点x在当前边或面E的位置对应参数化为0-1的值；

3)构造边界-内部映射算子，建立细网格边界节点与内部节点的映射关系，基于有限元分析理论，建立二者位移的关系；具体如下：

对于分布在粗网格单元Ω_α上的细网格，令k为细网格上的总刚度矩阵，将细网格上所有节点划分为内部和边界，下标分别对应为i,b，根据有限元分析理论可得，

其中k_b,k_bi,k_ib,k_i分别为刚度矩阵k的子矩阵，其行列按照下标i,b对应于总刚度矩阵k的相应自由度，q_b,q_i为边界节点和内部节点的位移向量，f_b为边界节点上的外力向量；

进一步递推可得，

q_i＝M^αq_b

其中边界-内部插值算子M^α为

4)构造基于曲线/曲面桥接节点的形函数，基于上述建立的映射关系，得到粗网格曲线/曲面桥接节点与细网格所有节点的关系，对每个粗网格单元构造局部的基于曲线/曲面桥接节点的形函数，具体如下：

经过前述步骤可得到粗网格曲线/曲面桥接节点的位移向量Q^α与细网格所有节点的位移向量q的映射关系，

其中

I_2b为2b×2b的单位矩阵；

根据细网格单元上的双线性插值函数N_e(x)，装配得到整个细网格的插值函数N^ω(x)，

得到当前粗网格单元任意点x的位移u(x)，

最后得到新的基于曲线/曲面桥接节点的形函数

所得的基于曲线/曲面桥接节点的形函数可按照有限元基础理论在粗网格上进行物理仿真，且该形函数仍然满足基本形函数所需的节点插值属性，1分割性，及旋转不变性。

2.根据权利要求1所述的基于曲线/曲面桥接节点的异质结构高精度仿真方法，其特征在于，所述的步骤1)具体如下：

采用多边形或多面体对设计区域进行有限元划分，获得M个粗网格有限单元Ω_α，对每一个粗网格单元Ω_α，同样进行有限元划分得到m个细网格有限单元ω_e；选取部分细网格上边界节点作为桥接节点，每两个桥接节点插入额外的控制点，将桥接节点和控制点作为新的粗网格仿真计算的自由度，称为曲线/曲面桥接节点，作为粗网格仿真自由度。