CN109241596A - 一种三维层合结构动力学分析方法 - Google Patents

Abstract

本发明提供了一种三维层合结构动力学分析方法，属于结构动力学技术领域。本发明的分析方法核心为在三维弹性理论的基础上，将混合正交多项式级数引状态空间方法中，由于边界特征函数的存在，可以有效克服边界条件的限制，实现有效灵活处理多边界条件。本发明基于三维弹性理论，充分考虑横向变形和层间连续条件，建立了适用于多边界条件的高精度数学模型；在处理边界过程中，仅需要调整边界特性函数参数就可以实现不同边界的有效处理，不需要重新建模和编程，实现统一化处理，大幅节省计算成本，提高计算效率。

Description

一种三维层合结构动力学分析方法

技术领域

本发明属于结构动力学技术领域，尤其涉及一种三维层合结构的动力学分析方法。

背景技术

复合材料层合结构因其具有高比强度和比刚度、可设计性强等优势广泛应用于航空航天、船舶工程以及车辆工程等诸多领域。不同的应用领域和工作环境对这类结构各方面性能要求有所不同，深入研究这类结构的动力学特性以及参数影响规律对于结构的设计和优化具有重要的理论价值和指导意义。

目前，对于复合材料层合结构动力学的研究主要基于等效单层理论。这一理论是传统单层板壳理论对多层复合结构的直接推广应用，尽管降低了计算难度，却难以有效计算结构内部横向变形以及层间连续条件。因而，当结构具有较大厚度比或者各铺层之间材料性质差异明显时，其计算偏差急剧增大。相对于等效单层理论，三维弹性理论可以提供较高精度的解，但现存的求解策略仍存在较大局限性。有限元法是工程领域应用最广泛的数值方法之一，可以用来求解三维层合结构动力学问题。但当铺层较多且各铺层材料性质差异较大时，为了能够精准确描述位移场分布，必然要求在厚度方向划分更多的单元，导致计算效率降低。此外，还存在计算结果继承性弱、参数分析难度大等缺点。与数值方法相比，解析方法具有高精度和高效率的优点，但受限于边界条件和铺层方式，难以满足工程需要。例如，传统的状态空间法仅能处理简支边界条件，尽管通过引入微分求积法等数值方法对状态空间法进行改进，但在处理不同边界条件上仍存在重新编程处理。因此，研究和建立一种适用于多种边界条件的三维层合结构动力学分析方法依然是重点研究方向，且具有重要研究意义。

发明内容

有鉴于此，本发明的目的在于提供一种三维层合结构动力学分析方法，本发明提供的分析方法仅需要调整边界特性函数参数就可以实现不同边界的有效处理，不需要重新建模和编程，实现统一化处理，大幅节省计算成本，提高计算效率。

为了实现上述发明目的，本发明提供以下技术方案：

本发明提供了一种三维层合结构的动力学分析方法，包括以下步骤：

(1)提取三维层合结构各子层几何参数、材料参数和边界参数；

(2)利用三维弹性理论，根据所述步骤(1)提取到的参数构建子层几何方程、物理方程和运动方程；

(3)根据所述步骤(2)得到的子层几何方程、物理方程和运动方程，构建厚度方向的子层状态方程；

(4)采用混合正交多项式级数对所述步骤(3)得到的子层状态方程中的状态变量进行面内展开，得到级数展开式；

(5)将所述步骤(4)得到的级数展开式带入到所述步骤(3)中的子层状态方程，得到含有级数展开式待定系数的子层状态方程；

(6)基于层间位移和应力连续条件，对所述步骤(5)得到的含有级数展开式待定系数的子层状态方程求解，得到三维层合结构整体特征方程；

(7)基于层合结构上下表面应力自由，对所述步骤(6)得到的三维层合结构整体特征方程求解，得到结构固有频率。

优选地，所述步骤(1)中几何参数包括各子层的长、宽和高；所述材料参数包括各子层的密度、弹性模量、泊松比和铺层角度；所述边界参数包括固支、简支或自由。

优选地，所述步骤(2)中子层几何方程为应变-位移关系的几何方程；子层物理方程为应力-应变关系的物理方程。

优选地，所述步骤(3)中子层状态方程为：

式(1)中，上角标k表示第k层子层；D^k＝[u₁,u₂,u₃,σ_γ,σ_αγ,σ_βγ]^T为状态变量向量；α，β和γ分别表示长、宽和厚度方向的坐标；N^k为线性算子，其具体形式由子层几何方程、子层物理方程和子层运动方程决定。

优选地，所述步骤(4)中的级数展开式为：

式(2)中，A_ij为待定系数；P_s(s＝i,j)为一维s阶切比雪夫多项式；F(ζ,η)为边界条件特征函数，表达式为：

F(ξ,η)＝(1-a₁ξ²)(1-a₂η²)式(3)；

式(3)中，参数a₁和a₂由边界条件决定：当边界条件为固支时，边界位移为零，此时a₁和a₂的取值为1；当边界为自由时，边界位移无约束，此时a₁和a₂的取值为0；当边界为简支时，边界位移不全为零，此时a₁和a₂的取为0和1的混合取值。

优选地，所述步骤(5)中级数展开式待定系数的子层状态方程为：

式(4)中，V^k由状态标量级数展开式中的待定系数组成；P^k由状态方程的N^k结合混合正交多项式级数求得，P^k包括固有频率信息。

优选地，所述步骤(6)中三维层合结构整体特征方程为：

式(5)中，T表示层合结构的整体传递矩阵，由子层传递矩阵累乘得到。

本发明提供了一种三维层合结构动力学分析方法，其核心为在三维弹性理论的基础上，将混合正交多项式级数引状态空间方法中，由于边界特征函数的存在，可以有效克服边界条件的限制，实现有效灵活处理多边界条件。本发明基于三维弹性理论，充分考虑横向变形和层间连续条件，建立了适用于多边界条件的高精度数学模型；在处理边界过程中，仅需要调整边界特性函数参数就可以实现不同边界的有效处理，不需要重新建模和编程，实现统一化处理，大幅节省计算成本，提高计算效率。

附图说明

图1为依据三明治复合层合结构建立的坐标体系。

具体实施方式

下面结合附图1详细解释本发明分析方法的实施步骤。

本发明提供了一种三维层合结构的动力学分析方法，包括以下步骤：

(1)提取三维层合结构各子层几何参数、材料参数和边界参数；

(2)利用三维弹性理论，根据所述步骤(1)提取到的参数构建子层几何方程、物理方程和运动方程；

(3)根据所述步骤(2)得到的子层几何方程、物理方程和运动方程，构建厚度方向的子层状态方程；

(4)采用混合正交多项式级数对所述步骤(3)得到的子层状态方程中的状态变量进行面内展开，得到级数展开式；

(5)将所述步骤(4)得到的级数展开式带入到所述步骤(3)中的子层状态方程，得到含有级数展开式待定系数的子层状态方程；

(6)基于层间位移和应力连续条件，对所述步骤(5)得到的含有级数展开式待定系数的子层状态方程求解，得到三维层合结构整体特征方程；

(7)基于层合结构上下表面应力自由，对所述步骤(6)得到的三维层合结构整体特征方程求解，得到结构固有频率。

首先如图1所示，建立三维层合结构的直角坐标系(x，y，z)，其中x，y和z分别表示矩形板长、宽和厚度方向坐标。本发明提取三维层合结构各子层几何参数、材料参数和边界参数。

在本发明中，对于第k(k＝1，2，3)层子层而言，其上下面坐标为z_k和z_k-1。在本发明中，所述子层几何参数包括各子层的长、宽、高。在本发明中，所述子层材料参数包括各子层的密度、弹性模量、泊松比和铺层角度。在本发明中，所述子层的边界参数包括简支、固支或自由。本发明对三维层合结构的层数没有特殊的限定，本领域技术人员根据三维层合结构的结构和厚度进行划分即可。在本发明中，所述子层的厚度优选为h_k＝z_k-z_k-1。

得到子层几何参数、材料参数和边界参数后，本发明利用三维弹性理论，根据上述几何参数、材料参数和边界参数构建子层几何方程、物理方程和运动方程。在本发明中，所述子层几何方程优选为应变-位移关系的几何方程。在本发明中，所述子层应变-位移关系的几何方程优选为：

式中，u，v和w表示第k层子层上沿x，y和z方向上的位移；分别表示第k层子层的应变。

在本发明中，所述子层物理方程优选为应力-应变关系的物理方程。在本发明中，所述子层应力-应变关系的物理方程优选为：

式中，分别表示第k层子层的应力；表示第k层子层弹性常数。

在本发明中，所述子层运动方程优选通过力学平衡关系得到。在本发明中，所述子层运动方程优选为：

式中，u^(k)，v^(k)和w^(k)表示第k层子层上沿x，y和z方向上的位移；分别表示第k层子层的应力；ρ^(k)表示第k层子层的密度；t为时间。

得到子层几何方程、物理方程和运动方程后，本发明构建厚度方向的子层状态方程。在本发明中，所述子层状态方程优选为：

式(1)中，上角标k表示第k层子层；为状态变量向量；x，y和z分别表示长、宽和厚度方向的坐标；N^k为线性算子，其具体形式由子层几何方程、子层物理方程和子层运动方程决定。

在本发明中，所述N^k线性算子优选为：

式中，N₁₂优选为：

N₂₁优选为：

导出应力变量优选为：

得到子层状态方程后，本发明采用混合正交多项式级数对子层状态方程中的状态变量进行面内展开，得到级数展开式。

在本发明中，在采用混合正交多项式级数进行展开前，优选对坐标进行线性转化，即将坐标x∈[0,a]和y∈[0,b]转化为ξ∈[-1,1]和η∈[-1,1]。

在本发明中，得到的级数展开式优选为：

和

式中，A_ij，B_ij，C_ij，D_ij，E_ij，F_ij为级数展开式的待定系数；A(z)，B(z)，C(z)，D(z)，E(z)，F(z)分别为上述特定待定系数组成的列向量；U(ξ,η)，V(ξ,η)，W(ξ,η)，∑_zz(ξ,η)，∑_xz(ξ,η)，∑_yz(ξ,η)为混合正交多项式组成的行向量；F(ξ,η)为边界特征函数，P_s(s＝i,j)是一维s阶切比雪夫多项式。

在本发明中，所述P_s的表达式优选为：

P_i(ξ)＝cos[(i-1)arccos(ξ)],P_j(η)＝cos[(j-1)arccos(η)]；

在本发明中，所述F(ξ,η)的表达式优选为：

F(ξ,η)＝(1-a₁ξ²)(1-a₂η²)式(3)；

在本发明中，所述F(ζ,η)为边界条件特征参数，其构造原则为：(1)在整个求解域中连续可导；(2)满足边界条件，以释放边界条件对位移容许函数的限制。为计算方便，采用简单多项式构造特征边界条件：对于固支边界条件而言，边界位移均为零，其形式为F(ξ,η)＝(1-ξ²)(1-η²)；对于自由边界条件而言，对边界无约束，其形式为F(ξ,η)＝1；对于简支边界条件而言，其仅约束了边界上某一个或几个方向上的位移，其形式为固支和自由边界对应形式的混合。

因此，给出F(ζ,η)边界特征函数的统一有效形式如下：

F(ξ,η)＝(1-a₁ξ²)(1-a₂η²)；

式中，参数a₁和a₂由边界条件决定：当边界条件为固支时，边界位移为零，此时a₁和a₂的取值为1；当边界为自由时，边界位移无约束，此时a₁和a₂的取值为0；当边界为简支时，边界位移不全为零，此时a₁和a₂的取为0和1的混合取值。

得到级数展开式后，本发明将级数展开式带入到子层状态方程中，得到含有级数展开式待定系数的子层状态方程。

在本发明中，所述含有级数展开式待定系数的子层状态方程优选为：

式(4)中，V^k由状态标量级数展开式中的待定系数组成；P^k由子层状态方程的N^k结合混合正交多项式级数求得，P^k中包括固有频率信息。

在本发明中，所述P^k的表达式优选为：

式中，P₁₂优选为：

P₂₁优选为：

式中，I_u，I_v，I_w，I_∑zz，I_∑xz，I_∑yz表示向量U(ξ,η)，V(ξ,η)，W(ξ,η)，∑_zz(ξ,η)，∑_xz(ξ,η)，∑_yz(ξ,η)的对角矩阵形式。

本发明优选对含有级数展开式待定系数的子层状态方程求解，得到的结果为：

式中，下角标t和b分别表示第k层子层的上下面；S^k＝exp(P^k)为子层的传递矩阵。

得到含有级数展开式待定系数的子层状态方程后，本发明基于层间位移和应力连续条件，对所述含有级数展开式待定系数的子层状态方程求解，得到三维层合结构整体特征方程。

在本发明中，所述三维层合结构整体特征方程优选为：

式(5)中，T表示层合结构的整体传递矩阵，由子层传递矩阵累乘可得；由于P^k中含有个子层的频率信息，因此整体传递矩阵T中也含有三维层合板的整体频率信息。

得到三维层合结构整体特征方程后，本发明基于层合结构上下表面应力自由，对所述三维层合结构整体特征方程求解，得到结构固有频率。

本发明优选采用数值插值法寻求传递矩阵行列式为零的解，得到结构固有频率。

本发明通过获取结构的固有频率对三维层合结构的动力学进行了分析，由于边界特征函数的存在，可以有效克服边界条件的限制，实现有效灵活处理多边界条件。

下面结合实施例对本发明提供的三维层合结构的动力学分析方法进行详细的说明，但是不能把它们理解为对本发明保护范围的限定。

实施例1

以三维层合结构为例；

上述材料结构的动力学分析方法，包括以下步骤：

(1)提取三维层合结构各子层几何参数、材料参数和边界参数：所述几何参数包括各子层的长、宽和高；所述材料参数包括各子层的密度、弹性模量、泊松比和铺层角度；所述边界参数包括固支、简支或自由；

(2)利用三维弹性理论，根据所述步骤(1)提取到的参数构建子层几何方程、物理方程和运动方程：所述子层几何方程为应变-位移关系的几何方程；子层物理方程为应力-应变关系的物理方程；

(3)根据所述步骤(2)得到的子层几何方程、物理方程和运动方程，构建厚度方向的子层状态方程；所述子层状态方程为

(4)采用混合正交多项式级数对所述步骤(3)得到的子层状态方程中的状态变量进行面内展开，得到级数展开式；所述级数展开式为：

(5)将所述步骤(4)得到的级数展开式带入到所述步骤(3)中的子层状态方程，得到含有级数展开式待定系数的子层状态方程；所述含有级数展开式待定系数的子层状态方程为：

(6)基于层间位移和应力连续条件，对所述步骤(5)得到的含有级数展开式待定系数的子层状态方程求解，得到三维层合结构整体特征方程；所述三维层合结构整体特征方程为：

(7)基于层合结构上下表面应力自由，对所述步骤(6)得到的三维层合结构整体特征方程求解，得到结构固有频率。

以上所述仅是本发明的优选实施方式，应当指出，对于本技术领域的普通技术人员来说，在不脱离本发明原理的前提下，还可以做出若干改进和润饰，这些改进和润饰也应视为本发明的保护范围。

Claims (7)

1.一种三维层合结构的动力学分析方法，包括以下步骤：

(1)提取三维层合结构各子层几何参数、材料参数和边界参数；

(2)利用三维弹性理论，根据所述步骤(1)提取到的参数构建子层几何方程、物理方程和运动方程；

(3)根据所述步骤(2)得到的子层几何方程、物理方程和运动方程，构建厚度方向的子层状态方程；

(4)采用混合正交多项式级数对所述步骤(3)得到的子层状态方程中的状态变量进行面内展开，得到级数展开式；

(5)将所述步骤(4)得到的级数展开式带入到所述步骤(3)中的子层状态方程，得到含有级数展开式待定系数的子层状态方程；

(6)基于层间位移和应力连续条件，对所述步骤(5)得到的含有级数展开式待定系数的子层状态方程求解，得到三维层合结构整体特征方程；

(7)基于层合结构上下表面应力自由，对所述步骤(6)得到的三维层合结构整体特征方程求解，得到结构固有频率。

2.根据权利要求1所述的三维层合结构动力学分析方法，其特征在于，所述步骤(1)的几何参数包括各子层的长、宽和高；所述材料参数包括各子层的密度、弹性模量、泊松比和铺层角度；所述边界参数包括固支、简支或自由。

3.根据权利要求1所述的三维层合结构动力学分析方法，其特征在于，所述步骤(2)中子层几何方程为应变-位移关系的几何方程；子层物理方程为应力-应变关系的物理方程。

4.根据权利要求3所述的三维层合结构动力学分析方法，其特征在于，所述步骤(3)中子层状态方程为：

式(1)中，上角标k表示第k层子层；D^k＝[u₁,u₂,u₃,σ_γ,σ_αγ,σ_βγ]^T为状态变量向量；α，β和γ分别表示长、宽和厚度方向的坐标；N^k为线性算子，其具体形式由子层几何方程、子层物理方程和子层运动方程决定。

5.根据权利要求1所述的三维层合结构动力学分析方法，其特征在于，所述步骤(4)中的级数展开式为：

式(2)中，A_ij为待定系数；P_s(s＝i,j)为一维s阶切比雪夫多项式；F(ζ,η)为边界条件特征函数，表达式为：

F(ξ,η)＝(1-a₁ξ²)(1-a₂η²) 式(3)；

式(3)中，参数a₁和a₂由边界条件决定：当边界条件为固支时，边界位移为零，此时a₁和a₂的取值为1；当边界为自由时，边界位移无约束，此时a₁和a₂的取值为0；当边界为简支时，边界位移不全为零，此时a₁和a₂的取为0和1的混合取值。

6.根据权利要求1所述的三维层合结构动力学分析方法，其特征在于，所述步骤(5)中级数展开式待定系数的子层状态方程为：

式(4)中，V^k由状态标量级数展开式中的待定系数组成；P^k由状态方程的N^k结合混合正交多项式级数求得，P^k中包括固有频率信息。

7.根据权利要求1所述的三维层合结构动力学分析方法，其特征在于，所述步骤(6)中三维层合结构整体特征方程为：

式(5)中，T表示层合结构的整体传递矩阵，由子层传递矩阵累乘得到。