CN105184060B - 一种基于空间配面与改进傅里叶级数的层合结构振动分析方法 - Google Patents

Abstract

本发明涉及的是一种应用于工程力学和振动工程领域的基于空间配面与改进傅里叶级数的层合结构振动分析方法。本发明包括：提取层合结构的几何和材料参数并设置结构位移；对结构每一层沿厚度方向配置J个非均匀分布的计算平面；应用改进傅里叶级数对每个计算平面上结构位移进行全域展开得到结构位移；计算在第l层第j计算平面上结构的面内方向应变；设置虚拟弹簧边界并获取边界条件能量；对其中的未知变量求偏导并令其结果为零。通过空间配面把结构分解成多个空间计算平面，一方面降低结构维度，从而提高计算速度，节约计算成本，另一方面把结构化整为零，便于并行计算，从而提高计算效率。

Description

一种基于空间配面与改进傅里叶级数的层合结构振动分析 方法

技术领域

本发明涉及的是一种应用于工程力学和振动工程领域的基于空间配面与改进傅里叶级数的层合结构振动分析方法。

背景技术

复合材料层合结构是一类新型的工程结构。由于它具有质量轻、比刚度高、比强度大，隔热，隔音和优良的减振降噪性能而被广泛应用于航空航天、军事装备、和科技建筑等领域。复合材料层合结构动力学分析一直是很多学者关注和探讨的重点。与常规结构相比，复合材料层合结构的组成材料复杂、铺层方式多样，因此其动力学行为更为复杂。目前，国内外的绝大部分研究都还是把三维的复合材料层合结构通过ESL方法简化成一维或者二维的经典各向异性结构来处理。这种处理降低了研究难度，对比较薄的层合结构来说其计算结果的精度是可以接受。但是这种方法忽略了结构内部铺层之间在厚度方向上的正应力和剪切应力的不连续性，因而当结构的厚度比比较高或者不同铺层之间材料属性差异较大时，其计算结果相差甚远。目前，针对三维复合材料层合结构的动力学建模分析方法主要有有限元法，但缺点是对应的系统方程维数通常较高且计算量大，精度低。因此研究和建立一种能够适用任意厚度、任意边界条件复合材料层合结构的振动分析方法具有十分重要的意义。

本发明提供了一种基于空间配面与改进傅里叶级数的层合结构振动分析方法。这种方法具有适用任意边界条件和任意厚度、精度高、收敛快、计算成本低、计算方法简单等特点。

发明内容

本发明的目的在于提供一种用以求解任意厚度层合结构在任意边界条件下的振动问题的基于空间配面与改进傅里叶级数的层合结构振动分析方法。

本发明的目的是这样实现的：

(1)提取层合结构的几何和材料参数并设置结构位移为u_il(α,β,z)，其中α，β和z为结构空间坐标系坐标，i＝1,2,3代表结构位移在α，β和z方向上的分量，l指的是第l层；

(2)对结构每一层沿厚度方向配置J个非均匀分布的计算平面，且第1个和第J个计算平面分别选取为该层的下表面和上表面，其它计算平面在厚度上的分布位置为

其中,h_l为第l层厚度和分别为该层的下表面和上表面；同时，将计算平面上的结构位移设定为并将结构的任意位置结构位移设定为如下形式：

(3)应用改进傅里叶级数对每个计算平面上结构位移进行全域展开得到结构位移表达式为其中：

而λ_m＝mπ/L_α和λ_n＝nπ/L_β，L_α和L_β分别为层合结构在α和β方向的结构几何尺寸，M，N为截断级数；补充函和的引入是为了消除结构位移展开成传统傅里叶cosine级数时其本身及导数在边界处的不连续性，从而加速求解的收敛速度，补充函数具体形式设置为：

(4)由步骤(2)和(3)计算在第l层第j计算平面上结构的面内方向应变和横向应变和横向剪切应变和分别为：

(5)由步骤(2)和(4)求得结构在第l层任意位置的应变和应力表达式为

σ_l＝Cε_l；σ_l＝[σ_lα,σ_lβ,σ_lz,τ_lαβ,τ_lαz,τ_lβz]^T；ε_l＝[ε_lα,ε_lβ,ε_lz,γ_lαβ,γ_lαz,γ_lβz]^T

其中C为结构材料系数矩阵；

(6)根据步骤(5)建立结构能量泛函(U，T)；同时，设置虚拟弹簧边界并获取边界条件能量表达式(U_s)

(7)在步骤(6)基础上建立结构拉格朗日能量泛函L＝U+U_s-T，然后对其中的未知变量求偏导并令其结果为零，即得到结构的特征方程：

(K-ω²M)＝0

其中ω为圆频率；

(8)应用Arnoldi算法建立MATLAB求解器输出结构的振动特征数据如固有频率、模态，并判定计算精度，若满足精度要求则输出振动特征数据，不满足则继续优化空间配面数量和增加面内位移展开式级数截取量。

本发明的有益效果在于：通过空间配面把结构分解成多个空间计算平面，一方面降低结构维度，从而提高计算速度，节约计算成本，另一方面把结构化整为零，便于并行计算，从而提高计算效率。相比较现有分析方法只适用于经典边界条件，本发明的方法可以用于解决各种复杂边界条件包含各种经典边界、一般弹性边界和非一致约束边界条件下任意厚度层合结构的振动问题。而且，本发明的方法只需要通过改变边界弹簧的刚度来满足结构的不同边界条件要求，而不需要对程序结构做任何修改。总的来说本发明的方法具有适用任意边界条件和任意厚度、精度高、收敛快、计算成本低等特点。

附图说明

图1是本发明的流程图；

图2是层合梁结构及其空间配面示意图。

具体实施方式

下面结合附图对本发明做进一步描述：

本发明提供了一种基于改进傅里叶级数与空间配面的层合结构振动分析方法。该方法具体步骤如下：提取结构的几何、材料和边界条件参数并设置结构位移；对结构每一层沿厚度方向进行空间配面，并应用改进傅里叶级数对每个计算平面进行结构位移全域展开；根据结构特征选取结构理论和设置虚拟弹簧边界，建立结构能量泛函和边界能量表达式，得到结构特征方程；应用Arnoldi算法建立MATLAB求解器输出结构振动特征数据并判定计算精度。本发明既可用于层合结构振动分析，又可用于其静力学问题求解。与现有方法相比，本发明具有适用任意厚度和任意边界条件、精度高、收敛快、计算成本低等特点。

本发明包括：

(1)在结构的每一层沿厚度方向均配置了J个非均匀分布的计算平面，并且第1个和第J个计算平面分别选取为该层的下表面和上表面。第2到J-1个计算平面的配置采用Shifted ChebyshevPolynomials零点分布，即：

其中，l指的是层合结构的第l层，h_l为该层厚度。

(2)每个计算平面上都设置了相应的结构位移，并在面内方向将其展开成改进傅里叶级数形式。例如,在第l层第j个计算平面的结构位移设置为并在面内展开成改进傅里叶级数形式。其中α，β和z为结构空间坐标系坐标，i＝1,2,3分别为结构位移在α，β和z方向上的分量。

(3)每个计算平面上结构的面内方向应变ε_lα，ε_lβ和γ_lαβ由所在计算平面设置的结构位移直接对独立变量α和β求导得到。而横向应变和横向剪切应变ε_lz，γ_lαz和γ_lβz则由所在层所有计算平面上的位移加权得到。

(4)结构每一层任意位置的应变由所在层所有计算平面上应变经拉格朗日插值得到。

(5)结构的边界条件通过虚拟弹簧边界实现，即结构的任一边界均假设分布着三组线弹簧(k_1u,k_2u,k_3u)与刚性壁面相连接。在计算中只需将边界弹簧的刚度取一定值即可获得相应的边界条件。

本发明的具体为：

(1)提取层合结构的几何和材料参数并设置结构位移为u_il(α,β,z)，其中α，β和z为结构空间坐标系坐标，i＝1,2,3代表结构位移在α，β和z方向上的分量，l指的是第l层。

(2)对结构每一层沿厚度方向配置J个非均匀分布的计算平面，且第1个和第J个计算平面分别选取为该层的下表面和上表面，其它计算平面在厚度上的分布位置为

其中,h_l为第l层厚度和分别为该层的下表面和上表面。同时，将计算平面上的结构位移设定为并将结构的任意位置结构位移设定为如下形式：

(3)应用改进傅里叶级数对每个计算平面上结构位移进行全域展开得到结构位移表达式为其中：

而λ_m＝mπ/L_α和λ_n＝nπ/L_β(L_α和L_β分别为层合结构在α和β方向的结构几何尺寸)，M，N为截断级数。补充函和的引入是为了消除结构位移展开成传统傅里叶cosine级数时其本身及导数在边界处的不连续性，从而加速求解的收敛速度，补充函数具体形式设置为：

(4)由步骤(2)和(3)计算在第l层第j计算平面上结构的面内方向应变和横向应变和横向剪切应变和分别为：

(5)由步骤(2)和(4)求得结构在第l层任意位置的应变和应力表达式为

σ_l＝Cε_l；σ_l＝[σ_lα,σ_lβ,σ_lz,τ_lαβ,τ_lαz,τ_lβz]^T；ε_l＝[ε_lα,ε_lβ,ε_lz,γ_lαβ,γ_lαz,γ_lβz]^T

其中C为结构材料系数矩阵。

(6)根据步骤(5)建立结构能量泛函(U，T)。同时，设置虚拟弹簧边界并获取边界条件能量表达式(U_s)

(7)在步骤(6)基础上建立结构拉格朗日能量泛函L＝U+U_s-T，然后对其中的未知变量求偏导并令其结果为零，即得到结构的特征方程：

(K-ω²M)＝0

其中ω为圆频率。

(8)应用Arnoldi算法建立MATLAB求解器输出结构的振动特征数据(固有频率，模态等)并判定计算精度，若满足精度要求则输出振动特征数据，不满足则继续优化空间配面数量和增加面内位移展开式级数截取量。

下面结合图2，以计算下述层合梁结构边界条件为两端固支(C-C)和一端固支一端自由(C-F)时的无量纲固有频率为实例，进行方法说明。

层合梁长L＝0.381m，宽b＝0.0254m，总厚度H＝0.0254m,铺层形式为[0°/90°/90°/0°]且各层厚度和材料均相等。材料参数如下：杨氏模量E₁＝145GPa，E₂＝E₃＝9.6GPa，剪切模量为G₁₂＝4.1GPa,G₁₃＝G₁₂，G₂₃＝G₁₂，泊松比为μ₁₂＝μ₁₃＝μ₂₃＝0.3，密度为ρ＝1570kg/m³。具体步骤如下：

(1)提取结构参数并根据梁结构特征选择以下参数：α＝x。同时，设置结构的面内和横向位移为u₁(x,z)和u₃(x,z)。

(2)对结构的每一层沿厚度方向配置J个非均匀分布的计算平面，且第1个和第J个计算平面分别选取为该层的下表面和上表面，其它计算平面在厚度上的分布位置为

第一层：

第二层：

第三层：

第四层：

同时，将第l层第j个计算平面的结构位移设定为并将结构第l层任意位置的结构位移设定为如下形式：

(3)应用改进傅里叶级数对每个计算平面进行结构位移全域展开得到结构位移表达式为其中：

(4)根据结构特征由步骤(2)和(3)计算在第l层第j计算平面上结构的法向应变横向应变和横向剪切应变和分别为：

(5)由步骤(2)和(4)求得结构第l层任意位置的应变和应力表达式为

σ_l＝Cε_l；σ_l＝[σ_lx,σ_lz,τ_lxz]^T；ε_l＝[ε_lx,ε_lz,γ_lxz]^T

(6)根据步骤(5)建立结构能量泛函(U，T)，同时，设置虚拟弹簧边界并获取边界条件能量表达式(U_s)。当结构两端固支时，边界虚拟弹簧刚度应为无穷大，实际计算中取当结构一端固支一端自由时，固支端虚拟边界弹簧刚度为自由端虚拟边界弹簧刚度取为0.

(7)在步骤(6)的基础上建立结构的拉格朗日能量泛函：L＝U+U_s-T，然后对该泛函中的未知变量逐个求偏导并令其结果为零，即

得到结构的特征方程：(K-ω²M)＝0。

(8)应用Arnoldi算法建立MATLAB求解器输出层合梁结构的固有频率。

计算所得结果如下表所示。从表中我们可以看出本发明的方法具有很好的收敛性和计算精度。

Claims (1)

1.一种基于空间配面与改进傅里叶级数的层合结构振动分析方法，其特征在于，包括如下步骤：

(1)提取层合结构的几何和材料参数并设置结构位移为u_il(α,β,z)，其中α，β和z为结构空间坐标系坐标，i＝1,2,3代表结构位移在α，β和z方向上的分量，l指的是第l层；

(2)对结构每一层沿厚度方向配置J个非均匀分布的计算平面，且第1个和第J个计算平面分别选取为该层的下表面和上表面，其它计算平面在厚度上的分布位置为

其中,h_l为第l层厚度，和分别为该层的下表面和上表面；同时，将计算平面上的结构位移设定为并将结构的任意位置结构位移设定为如下形式：

(3)应用改进傅里叶级数对每个计算平面上结构位移进行全域展开得到结构位移表达式为其中：

其中，M、N为截断级数，λ_m＝mπ/L_α和λ_n＝nπ/L_β，L_α和L_β分别为层合结构在α和β方向的结构几何尺寸；补充函数和的引入是为了消除结构位移展开成传统傅里叶cosine级数时其本身及导数在边界处的不连续性，从而加速求解的收敛速度，补充函数具体形式设置为：

(4)由步骤(2)和(3)计算在第l层第j计算平面上结构的面内方向应变和横向应变和横向剪切应变和分别为：

当j≠i时：而当j＝i时：

(5)由步骤(2)和(4)求得结构在第l层任意位置的应变和应力表达式为

σ_l＝Cε_l；σ_l＝[σ_lα,σ_lβ,σ_lz,τ_lαβ,τ_lαz,τ_lβz]^T；ε_l＝[ε_lα,ε_lβ,ε_lz,γ_lαβ,γ_lαz,γ_lβz]^T

其中C为结构材料系数矩阵；

(6)根据步骤(5)建立结构能量泛函(U，T)；同时，设置虚拟弹簧边界并获取边界条件能量表达式

(7)在步骤(6)基础上建立结构拉格朗日能量泛函L＝U+U_s-T，然后对求偏导并令其结果为零，即得到结构的特征方程：

(K-ω²M)＝0

其中ω为圆频率；

(8)应用Arnoldi算法建立MATLAB求解器输出结构的固有频率并判定计算精度，若满足精度要求则输出振动特征数据，不满足则继续优化空间配面数量和增加面内位移展开式级数截取量。