CN109948180B - 一种正交各向异性对边简支矩形薄板振动分析方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种正交各向异性对边简支矩形薄板振动分析方法。该方法基于正交各向异性矩形薄板的自由振动方程，首先建立了振型微分方程，完成了哈密顿正则方程的构建；其次，按照辛几何方法，利用分离变量法求解，推导了特征方程相应的特征值的表达式，分析了两组特征值的取值情况；构建了含待定常数的振型函数通解形式，结合对边简支边界条件，推导了本征值及其本征向量表达式，并证明了本征向量系的辛正交性和完备性；采用辛本征向量展开，得到了状态向量的表达式，进而获得了振型函数的通解；最后，针对对边简支的六种常见边界条件，分别推导了相应的频率方程，从而实现了自由振动频率的精确求解，能够为开展其动力学分析及相关应用奠定基础。

Description

一种正交各向异性对边简支矩形薄板振动分析方法

技术领域

本发明属于板自由振动分析与求解技术领域，特别涉及一种正交各向异性对边简支矩形薄板振动分析方法，其在哈密顿系统下采用辛几何方法实现正交各向异性对边简支矩形薄板自由振动频率的理性推导与准确求解，为进而开展矩形薄板的动力学分析与性能评估、故障诊断、减振降噪等应用提供了理论参考依据。

背景技术

振动问题是工程中常见的物理现象，在航空航天、土木建筑等领域中广泛存在。振动问题已引发导致了多起飞机、桥梁事故，飞行器起飞、着陆及整个飞行过程中也存在着振动现象。因此，合理分析并准确求解振动问题具有重要工程意义。

矩形薄板是工程中常用的结构形式，其振动一直受到广泛关注。矩形薄板自由振动的核心问题就是求解板的固有振动频率问题。矩形板经典解法是Navier的重三角级数解和Levy的单三角级数解，但它们只能处理特定边界条件，后来单三角级数叠加法、双重傅立叶级数法等解析方法成为解决复杂边界问题的主要方法。这些通用的解析方法均属于半逆解法，虽然能求得解析解，但在求解过程中需要事先人为假定试函数，这使得找到的解受到很多限制。半逆法是在一类变量范围内进行的，属于拉格朗日体系，本质上是一种凑合解法，不具有一般性。虽然叠加法有助于解决这一难题，但由于它还是在半逆法的基础上求解，在处理一些复杂的矩形板问题时，各叠加项的选取无规律可循，常常让人无所适从。

多年来，不少学者采用瑞利-利兹法、有限元法、微分求积法等数值方法直接求解，虽然不用事先假设，但是存在计算误差，高精度要求下往往要以惊人计算量为代价。也有学者直接对振型函数变量分离，虽然也得到了准确结果，但并没有从数学角度证明其合理性，这种分离变量法会受到自共扼算子谱的限制，本征函数的正交性和完备性在理论上不能保证。

1990年，钟万勰院士将辛几何的概念和哈密顿系统理沦引入到弹性力学问题中，建立了弹性力学辛求解体系，改变了以往求解过程中大量运用的逆解法和半逆解法，将问题导向了更理性的直接求解方法。哈密顿系统辛求解体系在二类变量范围内求解，不需要任何人为选定解析形式，是完全理性的直接求解方法，突破了半逆解法的限制，已经应用于各向同性材料矩形薄板的自由振动分析中，显示出良好的优越性。

正交各向异性材料由于具有重量轻、强度高的特点，而且呈现各向异性性能，广泛用于航空航天、船舶结构、土木工程等各个领域。随着科技的不断进步，对正交各向异性材料结构的需求越来越突出，理性分析并准确求解正交各向异性矩形薄板自由振动问题更为必要。

因此，如何将理性分析求解的哈密顿系统辛求解体系应用于正交各向异性矩形薄板自由振动问题中，从而更合理准确地获得自由振动频率是正交各向异性矩形薄板自由振动的挑战性问题。本发明将重点探究哈密顿系统下正交各向异性对边简支矩形薄板自由振动频率的求解问题，为进一步开展矩形薄板的动力学分析与性能评估、故障诊断、减振降噪等应用提供技术基础保障。

发明内容

本发明要解决的技术问题是：克服现有技术的不足，考虑工程中常见的振动现象，提供一种正交各向异性对边简支矩形薄板振动分析方法，以薄板的基本方程为起点，以哈密顿系统的辛几何方法作为自由振动频率方程表达式解析推导的指导策略，频率方程推导过程完全理性合理、所得频率结果计算准确有效、符合真实情况，工程指导意义更强。

本发明采用的技术方案为：一种正交各向异性对边简支矩形薄板振动分析方法，该方法实现步骤如下：

第一步：考虑正交各向异性矩形薄板的自由振动方程：

其中，x和y分别是矩形薄板长为a和b的边所在坐标轴，w,h和ρ分别是薄板的挠度、厚度和体密度，D₁,D₂和D₃分别是薄板的弯曲刚度参数，由下式确定：

其中，E₁和E₂分别是两个相互垂直的材料主方向上的弹性模量，ν₁₂和ν₂₁分别是对应方向的泊松比，G₁₂是剪切模量。

薄板的简谐主振动为：

w(x,y,t)＝W(x,y)e^iωt

其中，W(x,y)是薄板的振型函数，ω是薄板的固有振动角频率，i²＝-1。

因此，正交各向异性矩形薄板振型微分方程为：

第二步：基于第一步建立的正交各向异性矩形薄板振型微分方程，由绕y轴和x轴的力矩平衡条件：

其中，M_x,M_xy和Q_x分别是在x为常量的横截面上所受到的单位长度的弯矩、扭矩和横向剪力，M_y和Q_y分别是在y为常量的横截面上所受到的单位长度的弯矩和横向剪力，M_x,M_y和M_xy的表达式为：

薄板振型微分方程可以写为：

横截面上所受到的总剪力为横向剪力与扭矩的等效剪力之和，即：

其中，V_x,V_y分别是在x,y为常量的横截面上所受到的总剪力。

令：

利用M_y的表达式可得：

由薄板振型微分方程和Q_x,Q_y,M_x,M_y,M_xy,V_x,V_y的表达式，可得：

令T＝-V_y，上述四式可以写为矩阵形式如下：

其中，

Z＝[W,θ,T,M_y]^T是薄板的状态向量。由于矩阵H满足(JH)^T＝JH，其中

是辛矩阵，I₂是二阶单位矩阵，矩阵H是哈密顿算子矩阵。上式即为正交各向异性矩形薄板自由振动问题的哈密顿正则方程。

第三步：基于第二步建立的正交各向异性矩形薄板自由振动问题的哈密顿正则方程，按照辛几何方法，利用分离变量法求解，即：

Z(x,y)＝X(x)Y(y)

其中

X(x)＝[W(x),θ(x),T(x),M_y(x)]^T

将分离变量式代入哈密顿正则方程，可得：

其中是μ待求本征值，X(x)为相应的本征向量。

上式第二式是本征方程，相应的特征方程为：

其中λ是其特征值。

展开特征方程可得：

D₂μ⁴+2D₃μ²λ²+D₁λ⁴-ρhω²＝0

从而可以求得特征值：

λ_1,2＝±α₁i,λ_3,4＝±α₂

其中：

第四步：基于第三步求得的特征方程的特征值的表达式，如果两组特征值都为0，即λ_i＝0(i＝1,2,3,4)，从而可得μ＝ω＝0，显然频率为0不是自由振动的正确解。如果λ_1,2＝0而λ_3,4≠0，可得：

其中

上式成立的条件为ω＜0，对于自由振动频率而言不成立。

如果λ_1,2≠0而λ_3,4＝0，可得：

振型函数的通解形式可以写为：

其中：A',B',C',F'为待定常数。

对于在边x＝0和边x＝a简支的矩形薄板，边界条件为：

W(x)|_x＝0,a＝0,M_x(x)|_x＝0,a＝0

将振型函数的通解形式代入边界条件，可得：

A'＝C'＝0

以及方程：

要使方程有非零解，令其系数矩阵行列式为0，得到：

进而可以得到自由振动频率为：

这种情况下，无论在边y＝0和边y＝b的边界条件如何，自由振动频率都保持不变。同时，B',F'也无法求得，振型函数也就无法确定，显然不符合实际物理意义。

因此，第三步求得的特征方程的两组特征值应均不为0。

第五步：基于第四步求得的特征方程的两组特征值均不为0的情况，振型函数的通解形式可以写为：

W(x)＝Acos(α₁x)+Bsin(α₁x)+Ccosh(α₂x)+Fsinh(α₂x)

其中：A,B,C,F为待定常数。

由对边简支边界条件，可得：

A＝C＝0

以及方程：

令其系数矩阵行列式为0，得：

sin(α₁a)sinh(α₂a)＝0

其根为：

由第三步表征的α₁,α₂表达式，可得本征值：

其中

与本征值

对应的本征向量为：

与本征值

对应的本征向量为：

同样，可以分别得到与本征值

对应的本征向量：

第六步：基于第五步求得的本征向量表达式，由于满足：

其中<·,·>表示辛内积，以向量P,Q为例即为：

哈密顿算子矩阵H的本征向量系

是辛正交的。

在Cauchy主值意义下由本征向量系

给出的辛Fourier展开式为：

其中：

通过计算可得：

辛Fourier展开式经过计算可以得到：

由于

是完备正交基

对f_k(x)(k＝1,2,3,4)相应的Fourier级数，所以本征向量系

在Cauchy主值意义下是完备的。

因此，状态向量Z的通解可写为如下辛本征向量展开形式：

其中系数a_±m,b_±m可由本征向量系的辛正交性计算得到。

第七步：基于第六步获得的状态向量的通解形式，代入哈密顿正则方程，可得：

其中T_mi(i＝1,2,3,4)是待定常数。

因此，状态向量Z的通解可以进一步写为：

状态向量Z的第一分量是振型函数W，则振型函数W的通解为：

基于

的表达式和以e为底的指数函数与三角函数的关系，振型函数W的通解可以表示为：

其中C_mi(i＝1,2,3,4)为待求常数，由薄板在边y＝0和边y＝b的边界条件确定。

第八步：基于第七步得到的正交各向异性对边简支矩形薄板振型函数的通解形式，考虑在边y＝0和边y＝b的不同常见边界条件(简支、固支和自由)的组合，共六种情况，分别进行分析计算。

①四边简支

边y＝0和边y＝b的边界条件为：

W|_y＝0,b＝0,M_y|_y＝0,b＝0

将通解形式代入上述边界条件，得到一组关于C_mi(i＝1,2,3,4)的联立方程组，要使其有非零解，令其系数矩阵行列式为0，得到下列频率方程：

简化后得到：

基于R的表达式，得到对边简支矩形薄板自由振动频率的解析解如下：

②对边简支另两边固支

边y＝0和边y＝b的边界条件为：

W|_y＝0,b＝0,θ|_y＝0,b＝0

将通解形式代入上述边界条件，令所得方程组的系数矩阵行列式为0，得到频率方程：

③三边简支一边固支

假设边y＝0简支、边y＝b固支，边界条件为：

W|_y＝0,b＝0,M_y|_y＝0＝0,θ_y＝b＝0

将通解形式代入上述边界条件，令所得方程组的系数矩阵行列式为0，得到频率方程：

④三边简支一边自由

假设边y＝0自由、边y＝b简支，边界条件为：

V_y|_y＝0＝0,W|_y＝b＝0,M_y|_y＝0,b＝0

将通解形式代入上述边界条件，令所得方程组的系数矩阵行列式为0，得到频率方程：

⑤对边简支另两边自由

边y＝0和边y＝b的边界条件为：

V_y|_y＝0,b＝0,M_y|_y＝0,b＝0

将通解形式代入上述边界条件，令所得方程组的系数矩阵行列式为0，得到频率方程：

⑥对边简支另两边一固支一自由

假设边y＝0自由、边y＝b固支，边界条件为：

V_y|_y＝0＝0,M_y|_y＝0＝0,W|_y＝b＝0,θ|_y＝b＝0

将通解形式代入上述边界条件，令所得方程组的系数矩阵行列式为0，得到频率方程：

针对每种边界条件都得到了一个频率方程，对于四边简支边界条件得到了频率的解析表达式，其他边界条件的频率通过求解相应的频率超越方程得到。

本发明与现有技术相比的优点在于：本发明提供了利用哈密顿系统辛几何方法求解正交各向异性对边简支矩形薄板的自由振动频率的新思路，弥补和完善了经典解法求解过程需要预先人为选取试函数的局限性，也突破了传统的分离变量法导致的自共轭算子谱的限制和欧几里得空间的限制。所提出的正交各向异性对边简支矩形薄板振动分析方法，与现有的方法相比，通过引入到哈密顿系统中利用辛几何方法，经过逐步的理性推导得到六种对边简支边界条件的解析频率方程，突破了半逆法的限制，为不同边界条件下不同厚度板的自由振动频率的理性推导和准确求解提供了理论支撑，从而为进一步开展板的动力学分析，并进而进行其性能评估、故障诊断、减振降噪等应用作出了积极贡献。

附图说明

图1是本发明针对正交各向异性对边简支矩形薄板振动分析流程图；

图2是本发明具体实施方式中正交各向异性矩形薄板示意图；

图3是本发明具体实施方式中正交各向异性矩形薄板内力正方向示意图。

具体实施方式

下面结合附图以及具体实施方式进一步说明本发明。

如图1所示，本发明提出了一种正交各向异性对边简支矩形薄板振动分析方法，包括以下步骤：

(1)考虑如图2所示的正交各向异性矩形薄板，其自由振动方程：

其中，x和y分别是矩形薄板长为a和b的边所在坐标轴，w,h和ρ分别是薄板的挠度、厚度和体密度，D₁,D₂和D₃分别是薄板的弯曲刚度参数，由下式确定：

其中，E₁和E₂分别是两个相互垂直的材料主方向上的弹性模量，ν₁₂和ν₂₁分别是对应方向的泊松比，G₁₂是剪切模量，满足：

薄板的简谐主振动为：

w(x,y,t)＝W(x,y)e^iωt

其中，W(x,y)是薄板的振型函数，ω是薄板的固有振动角频率，i²＝-1。

因此，正交各向异性矩形薄板振型微分方程为：

(2)基于第一步建立的正交各向异性矩形薄板振型微分方程，由绕y轴和x轴的力矩平衡条件：

其中，M_x,M_xy和Q_x分别是在x为常量的横截面上所受到的单位长度的弯矩、扭矩和横向剪力，M_y和Q_y分别是在y为常量的横截面上所受到的单位长度的弯矩和横向剪力，这些内力的正方向如图3所示，M_x,M_y和M_xy的表达式为：

薄板振型微分方程可以写为：

横截面上所受到的总剪力为横向剪力与扭矩的等效剪力之和，即：

其中，V_x,V_y分别是在x,y为常量的横截面上所受到的总剪力。

令：

利用M_y的表达式可得：

由薄板振型微分方程和Q_x,Q_y,M_x,M_y,M_xy,V_x,V_y的表达式，可得：

令T＝-V_y，上述四式可以写为矩阵形式如下：

其中，

Z＝[W,θ,T,M_y]^T是薄板的状态向量。由于矩阵H满足(JH)^T＝JH，其中

是辛矩阵，I₂是二阶单位矩阵，矩阵H是哈密顿算子矩阵。上式即为正交各向异性矩形薄板自由振动问题在哈密顿系统中的表示，即哈密顿正则方程。

(3)基于第二步建立的正交各向异性矩形薄板自由振动问题的哈密顿正则方程，按照辛几何方法，利用分离变量法求解，即：

Z(x,y)＝X(x)Y(y)

其中

X(x)＝[W(x),θ(x),T(x),M_y(x)]^T

将分离变量式代入哈密顿正则方程，可得：

其中是μ待求本征值，X(x)为相应的本征向量。

上式第二式是本征方程，相应的特征方程为：

其中λ是其特征值。

展开特征方程可得：

D₂μ⁴+2D₃μ²λ²+D₁λ⁴-ρhω²＝0

从而可以求得特征值：

λ_1,2＝±α₁i,λ_3,4＝±α₂

其中，

(4)基于第三步求得的特征方程的特征值的表达式，分析不同的取值情况。如果两组特征值都为0，即λ_i＝0(i＝1,2,3,4)，从而可得μ＝ω＝0，显然频率为0不是自由振动的正确解。如果λ_1,2＝0而λ_3,4≠0，可得：

其中

上式成立的条件为ω＜0，对于自由振动频率而言不成立。

如果λ_1,2≠0而λ_3,4＝0，可得：

由微分方程知识，振型函数的通解形式可以写为：

其中A',B',C',F'为待定常数。

对于在边x＝0和边x＝a简支的矩形薄板，边界条件为：

W(x)|_x＝0,a＝0,M_x(x)|_x＝0,a＝0

将振型函数的通解形式代入边界条件，可得：

A'＝C'＝0

以及方程：

要使方程有非零解，令其系数矩阵行列式为0，得到：

进而可以得到自由振动频率为：

这种情况下，无论在边y＝0和边y＝b的边界条件如何，自由振动频率都保持不变。同时，B',F'也无法求得，振型函数也就无法确定，显然不符合实际物理意义。

因此，第三步求得的特征方程的两组特征值应均不为0。

(5)基于第四步求得的特征方程的两组特征值均不为0的情况，由微分方程知识，振型函数的通解形式可以写为：

W(x)＝Acos(α₁x)+Bsin(α₁x)+Ccosh(α₂x)+Fsinh(α₂x)

其中A,B,C,F为待定常数。

由对边简支边界条件，可得：

A＝C＝0

以及方程：

令其系数矩阵行列式为0，得：

sin(α₁a)sinh(α₂a)＝0

其根为：

由第三步表征的α₁,α₂表达式，可得本征值：

其中

与本征值

对应的本征向量为：

与本征值

对应的本征向量为：

同样，可以分别得到与本征值

对应的本征向量：

(6)基于第五步求得的本征向量表达式，由于满足：

其中<·,·>表示辛内积，以向量P,Q为例即为：

哈密顿算子矩阵H的本征向量系

是辛正交的。

在Cauchy主值意义下由本征向量系

给出的辛Fourier展开式为：

其中，

通过计算可得：

辛Fourier展开式经过计算可以得到：

由于

是完备正交基

对f_k(x)(k＝1,2,3,4)相应的Fourier级数，所以本征向量系

在Cauchy主值意义下是完备的。

因此，状态向量Z的通解可写为如下辛本征向量展开形式：

其中系数a_±m,b_±m可由本征向量系的辛正交性计算得到。

(7)基于第六步获得的状态向量的通解形式，代入哈密顿正则方程，可得：

其中T_mi(i＝1,2,3,4)是待定常数。

因此，状态向量Z的通解可以进一步写为：

状态向量Z的第一分量是振型函数W，则振型函数W的通解为：

基于

的表达式和以e为底的指数函数与三角函数的关系，振型函数W的通解可以表示为：

其中C_mi(i＝1,2,3,4)为待求常数，由薄板在边y＝0和边y＝b的边界条件确定。

上式即为正交各向异性对边简支矩形薄板振型函数的通解形式。

(8)基于第七步得到的正交各向异性对边简支矩形薄板振型函数的通解形式，考虑在边y＝0和边y＝b的不同常见边界条件(简支、固支和自由)的组合，共六种情况，分别进行分析计算。

①四边简支

边y＝0和边y＝b的边界条件为：

W|_y＝0,b＝0,M_y|_y＝0,b＝0

将通解形式代入上述边界条件，得到一组关于C_mi(i＝1,2,3,4)的联立方程组，要使其有非零解，令其系数矩阵行列式为0，得到下列频率方程：

简化后得到：

基于R的表达式，得到对边简支矩形薄板自由振动频率的解析解如下：

②对边简支另两边固支

边y＝0和边y＝b的边界条件为：

W|_y＝0,b＝0,θ|_y＝0,b＝0

将通解形式代入上述边界条件，令所得方程组的系数矩阵行列式为0，得到频率方程：

③三边简支一边固支

假设边y＝0简支、边y＝b固支，边界条件为：

W|_y＝0,b＝0,M_y|_y＝0＝0,θ|_y＝b＝0

将通解形式代入上述边界条件，令所得方程组的系数矩阵行列式为0，得到频率方程：

边y＝0固支、边y＝b简支边界条件得到的频率方程与上式相同。

④三边简支一边自由

假设边y＝0自由、边y＝b简支，边界条件为：

V_y|_y＝0＝0,W|_y＝b＝0,M_y|_y＝0,b＝0

将通解形式代入上述边界条件，令所得方程组的系数矩阵行列式为0，得到频率方程：

边y＝0简支、边y＝b自由边界条件得到的频率方程与上式相同。

⑤对边简支另两边自由

边y＝0和边y＝b的边界条件为：

V_y|_y＝0,b＝0,M_y|_y＝0,b＝0

将通解形式代入上述边界条件，令所得方程组的系数矩阵行列式为0，得到频率方程：

⑥对边简支另两边一固支一自由

假设边y＝0自由、边y＝b固支，边界条件为：

V_y|_y＝0＝0,M_y|_y＝0＝0,W|_y＝b＝0,θ|_y＝b＝0

将通解形式代入上述边界条件，令所得方程组的系数矩阵行列式为0，得到频率方程：

边y＝0固支、边y＝b自由边界条件得到的频率方程与上式相同。

针对每种边界条件都得到了一个频率方程，对于四边简支边界条件得到了频率的解析表达式，其他边界条件的频率通过求解相应的频率超越方程得到。

综上，上述过程实现了正交各向异性对边简支矩形薄板自由振动频率的准确计算。

实施例：

为了更充分地了解该发明的特点及其对工程实际的适用性，本发明针对航空航天领域中常用的正交各向异性材料——石墨环氧树脂材料进行矩形薄板自由振动频率计算，材料属性如表1所示。矩形薄板尺寸参数为：长度a＝1.2m，宽度b＝1.0m，厚度h＝0.05m。边x＝0和边x＝a为简支边界条件。

表1

为了凸显本发明所提方法的优势，与常用有限元软件ANSYS的计算结果进行对比，网格尺寸为12mm×10mm，分析两者方法得到的对边简支另两边固支(SCSC)、三边简支一边自由(SFSS)和对边简支另两边一固支一自由(SFSC)三种边界条件下的前4阶自然频率

及其相对百分比误差e％，如表2所示。

表2

从结果中可以看出，ANSYS的计算结果与本发明所提方法计算结果之间存在一定误差，原因如下：ANSYS利用有限元离散进行求解，会产生包括有限元离散导致的误差、求解频率所选方法导致的误差等，同时受到软件计算精度的限制，是近似解法。而本发明所提方法直接对理性推导得到的频率方程进行求解，未加近似处理，是精确解法，从而本发明的优越性得以体现。以上实施例验证了本发明针对正交各向异性对边简支矩形薄板进行振动分析的可行性与工程适用性。

综上所述，本发明提出了一种正交各向异性对边简支矩形薄板振动分析方法。该方法将正交各向异性对边简支矩形薄板的自由振动问题导入哈密顿系统，采用辛几何方法中的分离变量法、辛本征向量展开法进行分析推导，考虑对边简支的不同边界条件，实现自由振动频率的准确求解。首先，由薄板的基本方程出发，建立哈密顿正则方程，对其变量分离，得到特征方法相应特征值的数学表达；进而，分析特征值的取值可行性，针对唯一具有物理意义的两组特征值均不为0的情况，建立振型函数的通解表达式；基于对边简支边界条件，完成本征值及其本征向量的数学推导，验证本征函数系的辛正交性和完备性；最后，利用辛本征向量展开法，考虑对边简支的六种边界条件，给出相应的自由振动频率方程。本发明所提出的方法推导过程中无需假定试函数，是完全理性的方法，计算结果准确，能够为进一步开展动力学分析以及性能评估、故障诊断、减振降噪等应用提供理论前提基础。

以上仅是本发明的具体步骤，对本发明的保护范围不构成任何限制；其可扩展应用于不同材料不同边界条件不同形状薄板、中厚板自由振动频率的分析求解领域，凡采用等同变换或者等效替换而形成的技术方案，均落在本发明权利保护范围之内。

本发明未详细阐述部分属于本领域技术人员的公知技术。

Claims (1)

1.一种正交各向异性对边简支矩形薄板振动分析方法，其特征在于，实现步骤如下：

第一步：考虑正交各向异性矩形薄板的自由振动方程：

其中，x和y分别是矩形薄板长为a和b的边所在坐标轴，w,h和ρ分别是薄板的挠度、厚度和体密度，D₁,D₂和D₃分别是薄板的弯曲刚度参数；

薄板的简谐主振动为：

w(x,y,t)＝W(x,y)e^iωt

其中，W(x,y)是薄板的振型函数，ω是薄板的固有振动角频率，i²＝-1；

因此，正交各向异性矩形薄板振型微分方程为：

第二步：基于第一步建立的正交各向异性矩形薄板振型微分方程，由绕y轴和x轴的力矩平衡条件：

其中，M_x,M_xy和Q_x分别是在x为常量的横截面上所受到的单位长度的弯矩、扭矩和横向剪力，M_y和Q_y分别是在y为常量的横截面上所受到的单位长度的弯矩和横向剪力，M_x,M_y和M_xy的表达式为：

薄板振型微分方程可以写为：

横截面上所受到的总剪力为横向剪力与扭矩的等效剪力之和，即：

其中，V_x,V_y分别是在x,y为常量的横截面上所受到的总剪力；

令：

利用M_y的表达式可得：

由薄板振型微分方程和Q_x,Q_y,M_x,M_y,M_xy,V_x,V_y的表达式，可得：

令T＝-V_y，上述四式可以写为矩阵形式如下：

其中，Z＝[W,θ,T,M_y]^T是薄板的状态向量；

上式即为正交各向异性矩形薄板自由振动问题的哈密顿正则方程；

第三步：基于第二步建立的正交各向异性矩形薄板自由振动问题的哈密顿正则方程，按照辛几何方法，利用分离变量法求解，即：

Z(x,y)＝X(x)Y(y)

其中

X(x)＝[W(x),θ(x),T(x),M_y(x)]^T

将分离变量式代入哈密顿正则方程，可得：

其中是μ待求本征值，X(x)为相应的本征向量；

上式第二式是本征方程，相应的特征方程为：

其中λ是其特征值；

展开特征方程可得：

D₂μ⁴+2D₃μ²λ²+D₁λ⁴-ρhω²＝0

从而可以求得特征值：

λ_1,2＝±α₁i,λ_3,4＝±α₂；

第四步：基于第三步求得的特征方程的特征值的表达式，如果两组特征值都为0，即λ_i＝0,i＝1,2,3,4，从而可得μ＝ω＝0，显然频率为0不是自由振动的正确解；如果λ_1,2＝0而λ_3，4≠0，可得：

其中

上式成立的条件为ω＜0，对于自由振动频率而言不成立；

如果λ_1,2≠0而λ_3,4＝0，可得：

振型函数的通解形式可以写为：

其中A',B',C',F'为待定常数；

将振型函数的通解形式代入边x＝0和边x＝a简支边界条件，可得：

A'＝C'＝0

以及方程：

要使方程有非零解，令其系数矩阵行列式为0，得到：

进而可以得到自由振动频率为：

这种情况下，无论在边y＝0和边y＝b的边界条件如何，自由振动频率都保持不变，不符合实际物理意义；

因此，第三步求得的特征方程的两组特征值应均不为0；

第五步：基于第四步求得的特征方程的两组特征值均不为0的情况，振型函数的通解形式可以写为：

W(x)＝A cos(α₁x)+B sin(α₁x)+C cosh(α₂x)+F sinh(α₂x)

其中A,B,C,F为待定常数；

由对边简支边界条件，可得：

A＝C＝0

以及方程：

令其系数矩阵行列式为0，得：

sin(α₁a)sinh(α₂a)＝0

其根为：

由第三步表征的α₁,α₂表达式，可得本征值：

与本征值

对应的本征向量为：

与本征值

对应的本征向量为：

同样，可以分别得到与本征值

和

对应的本征向量

和

第六步：基于第五步求得的本征向量表达式，由于满足：

哈密顿算子矩阵H的本征向量系

是辛正交的；

在Cauchy主值意义下由本征向量系

给出的辛Fourier展开式为：

其中：

通过计算可得a_±m,b_±m的表达式，辛Fourier展开式经过计算可以得到：

由于

是完备正交基

对f_k(x),k＝1,2,3,4相应的Fourier级数，所以本征向量系

在Cauchy主值意义下是完备的；

因此，状态向量Z的通解可写为如下辛本征向量展开形式：

其中系数a_±m,b_±m可由本征向量系的辛正交性计算得到；

第七步：基于第六步获得的状态向量的通解形式，可以进一步写为：

状态向量Z的第一分量是振型函数W，则振型函数W的通解为：

基于

的表达式和以e为底的指数函数与三角函数的关系，振型函数W的通解可以表示为：

其中C_mi,i＝1,2,3,4为待求常数，由薄板在边y＝0和边y＝b的边界条件确定；

第八步：基于第七步得到的正交各向异性对边简支矩形薄板振型函数的通解形式，考虑在边y＝0和边y＝b的不同常见边界条件简支、固支和自由的组合，分别将通解形式代入四边简支、对边简支另两边固支、三边简支一边固支、三边简支一边自由、对边简支另两边自由和对边简支另两边一固支一自由这六种边界条件，得到关于C_mi,i＝1,2,3,4的联立方程组，要使其有非零解，令所得方程组的系数矩阵行列式为0，分别得到频率方程；

对于四边简支边界条件得到了频率的解析表达式如下：

其他边界条件的频率通过求解相应的频率超越方程得到；

所述第一步中薄板的弯曲刚度参数D₁,D₂和D₃由下式确定：

其中，E₁和E₂分别是两个相互垂直的材料主方向上的弹性模量，ν₁₂和ν₂₁分别是对应方向的泊松比，G₁₂是剪切模量；

所述第二步中矩阵H表示如下：

由于矩阵H满足(JH)^T＝JH，其中

是辛矩阵，I₂是二阶单位矩阵，矩阵H是哈密顿算子矩阵；

所述第三步中特征值λ_1,2,λ_3,4中含有的α₁,α₂表达式如下：

所述第四步中矩形薄板边x＝0和边x＝a简支边界条件为：

W(x)|_x＝0,a＝0,M_x(x)|_x＝0,a＝0；

所述第五步中本征值

中含有的R表达式如下：

所述第六步中<·,·>表示辛内积，以向量P,Q为例即为：

所述第七步中状态向量的通解形式代入哈密顿正则方程，可得：

其中T_mi,i＝1,2,3,4是待定常数，从而实现状态向量通解形式的进一步表征；

所述第八步中求得的六种边界条件频率方程分别为：

①四边简支

②对边简支另两边固支

③三边简支一边固支

④三边简支一边自由

⑤对边简支另两边自由

⑥对边简支另两边一固支一自由

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