CN113221273A - 一种用于分析椭圆薄板构件的固有频率特性数值研究方法 - Google Patents

一种用于分析椭圆薄板构件的固有频率特性数值研究方法 Download PDF

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CN113221273A CN202110512245.2A CN202110512245A CN113221273A CN 113221273 A CN113221273 A CN 113221273A CN 202110512245 A CN202110512245 A CN 202110512245A CN 113221273 A CN113221273 A CN 113221273A
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赵明达
崔朝凯
蔡庆义
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Abstract

本发明的目的在于提供一种用于分析椭圆薄板构件的固有频率特性数值研究方法，本发明可以有效地将椭圆板振动问题转化为圆板振动问题去处理。保角变换是在复平面下进行，具体思想是：首先将某物理平面内复杂形状的薄板区域，通过对应的唯一特定解析函数，映射成位于象平面中心的简单易解的规则域；其次在象平面内即可结合常规形状板材的振动研究过程得出结果；最后将这些结果返回原物理平面就得到实际问题的结果。通过运行一具体算例，观察得出的固有频率和振型并与使用有限元法得出的结果进行比较，证明本发明方法是准确、可行的。

Description

一种用于分析椭圆薄板构件的固有频率特性数值研究方法
技术领域
本发明涉及的是一种噪声与振动控制方法，具体地说是薄板构件的固有频率的研究方法。
背景技术
分析薄板类构件的固有频率特性在该领域是不可缺少的一环。目前这一分析流程多依据基尔霍夫弹性薄板理论。即做如下基本假设：在受力分析时忽略横向剪切变形、挤压变形以及转动惯量的影响。这种假设对于相对厚度很小的薄板来说可以足够精确，且其数学处理较便捷。
虽然工程上常见的薄板类构件形状大多都是矩形或圆。但是，在实际加工圆形薄板的过程中，有时加工系统会存在偏心质量伴随着机床振动致使机床刀具与被加工件受力不均从而可能加工成类似椭圆或盘形等较复杂或不规则形状的板材。另外，工程实际中还可能存在空间限位等制约因素或为设计美观等目标，某些系统构件必须使用椭圆薄板结构。所以有必要对椭圆板结构也进行各种随机振动的建模的研究。
现阶段对薄板结构的振动固有频率特性分析方法大多集中在能量法、有限元法、有限差分法、边界元法、微分容积法等。特别是有限元法，通过运行各种有限元软件，即可方便地算出结果，因此具有相对普适性，理论上能够适应所有简单或复杂结构。但由于其分析步骤比较简单，大多用于为工作需要而编制技术文件，而若要用于纯粹的学术交流，上述方法大多只适用于为验证收敛精度而作辅助对比。相反，使用像能量法这样的数值研究方法会产生大量但必要的公式推导，故作为主要方法贯穿于其研究始末则更为常见。能量法主要体现为瑞利-里兹能量法，是典型的数值解法，其优势在于：在选择位移函数时只需考虑其几何边界条件，而对于力的边界效应可以忽略。从而使该方法整体性能较好，求解效率高。但位移函数的选取又具有多样性，且适用范围有所不同。目前发展较完善的、易于编程的位移函数有二维多项式、双重傅里叶三角级数和傅里叶-贝塞尔级数等。二维多项式只适用于直角坐标系中，且收敛速度偏慢。双重傅里叶三角级数也只适用于在直角坐标系中研究梁或矩形板；而傅里叶-贝塞尔级数专用于极坐标系中，但也多研究圆板或扇形板等。
对于椭圆板，马修函数
Figure BDA0003060739610000021
Figure BDA0003060739610000022
是研究其振动固有频率的位移函数，其应用于如图1所示的椭圆坐标系中。虽然该函数在近几年的研究有较广泛的扩展，但其弊端在于研究者均用了非常大量的精力投入于马修函数的实现上，这主要是由于马修函数的计算尚没有通用的、可直接使用的程序包，由此限制了此种方法的推广。
发明内容
本发明的目的在于提供将椭圆板的问题转化为圆板的问题来解决的一种用于分析椭圆薄板构件的固有频率特性数值研究方法。
本发明的目的是这样实现的：
本发明一种用于分析椭圆薄板构件的固有频率特性数值研究方法，其特征是：
(1)将经典板壳力学的弯矩和等效剪力公式用复变量替换：
Figure BDA0003060739610000023
Figure BDA0003060739610000024
Figure BDA0003060739610000025
Figure BDA0003060739610000026
Figure BDA0003060739610000027
Mxx、Myy和Mxy分别代表沿x轴、y轴方向的正应力以及在xOy平面内的剪应力所产生的弯矩，Qx和Qy分别代表沿x轴、y轴方向的剪力，D为薄板结构的抗弯刚度，
Figure BDA0003060739610000028
E为板结构所用材料的杨氏模量，h为板厚度，μ为泊松比，w为薄板振动总位移，w(x,y,t)＝W(x,y)e±iωt，W(x,y)为薄板振动最大位移方程；
将亥姆霍兹方程的求解过程在复平面实现，得出的方程的解：
Figure BDA0003060739610000031
Figure BDA0003060739610000032
为经过复变量转换后的亥姆霍兹方程的解，z＝x+yi，
Figure BDA0003060739610000033
AnJn(k|z|)表示第一类汉克函数，表示第二类汉克函数，An和Bn均表示待定系数，k为与薄板各阶固有频率Ω有关的量，k与Ω的关系满足
Figure BDA0003060739610000034
ρ为薄板密度；
(2)保角变换函数为z＝ω(η)，分别代入
Figure BDA0003060739610000035
Figure BDA0003060739610000036
Figure BDA0003060739610000037
和
Figure BDA0003060739610000038
Figure BDA0003060739610000039
Figure BDA00030607396100000310
得到经过变换后的弯矩和等效剪力公式以及亥姆霍兹方程的解：
Figure BDA00030607396100000311
Figure BDA0003060739610000041
Figure BDA0003060739610000042
Figure BDA0003060739610000043
Qr为沿极坐标径向的剪力，Vr为弯矩Mrθ和剪力Qr按基尔霍夫理论组合成的等效剪力；
(3)将经过变换后亥姆霍兹方程的解代入经过变换后的弯矩和等效剪力公式，得到：
Figure BDA0003060739610000044
其中，
Figure BDA0003060739610000045
Figure BDA0003060739610000051
Figure BDA0003060739610000052
Figure BDA0003060739610000053
Figure BDA0003060739610000054
和
Figure BDA0003060739610000055
分别代表Mrr和Vr的计算公式中以k和z＝ω(η)为自变量的二元函数，右下角n代表第n个这样的函数，右上角m指代汉克函数类别，m＝1时为第一类汉克函数，m＝2时为第二类汉克函数；
(4)进行自由边界条件下固有频率的求解。自由边界条件如方程
Figure BDA0003060739610000061
所示，代入步骤(3)公式，然后转化成矩阵形式，得方程
Figure BDA0003060739610000062
其中，
Figure BDA0003060739610000063
Φmm由每个
Figure BDA0003060739610000064
或
Figure BDA0003060739610000065
组成的1*n行向量，m＝1,2
；
(5)方程
Figure BDA0003060739610000066
是非线性的，通过傅里叶变换将其线性化，得到方程，
Figure BDA0003060739610000067
其中，
Figure BDA0003060739610000068
Figure BDA0003060739610000069
由于系数An、Bn不全为零，故有方程
Figure BDA00030607396100000610
成立，此方程是只关于ki的线性方程组，并且满足
Figure BDA00030607396100000611
Θmm为将Φmm进行傅里叶线性变换后所得到的n*n矩阵；
由此解得自由边界条件下椭圆板的各阶固有频率Ωi。
本发明的优势在于：本发明可以有效地将椭圆板振动问题转化为圆板振动问题去处理。观察得出的固有频率和振型并与使用有限元法得出的结果进行比较，证明该方法是准确、可行的。
附图说明
图1为椭圆坐标系；
图2为保角变换过程原物理平面与像平面映射示意图；
图3为椭圆板模型；
图4a为使用保角变换方法与有限元法得出的前6阶振型图谱对比图(第一阶)，图4b为使用保角变换方法与有限元法得出的前6阶振型图谱对比图(第二阶)，图4c为使用保角变换方法与有限元法得出的前6阶振型图谱对比图(第三阶)，图4d为使用保角变换方法与有限元法得出的前6阶振型图谱对比图(第四阶)，图4e为使用保角变换方法与有限元法得出的前6阶振型图谱对比图(第五阶)，图4f为使用保角变换方法与有限元法得出的前6阶振型图谱对比图(第六阶)；
图5为自由边界条件下椭圆板前6阶固有频率。
具体实施方式
下面结合附图举例对本发明做更详细地描述：
结合图1-5，保角变换方法原应用于解决无限大薄板结构中椭圆孔口应力集中的波动问题。而关于弹性体的振动与波动问题，实际可以看做是相同的物理问题的两种不同表现形式。波动主要是针对无限大的环境场合，譬如针对在某一空间内无限大的含有多个孔洞的薄板结构，研究其孔洞处的波动问题。而到了有限大的区域，亦即这块区域可以度量的时候，譬如对于有限大的薄板结构，就是研究其各种类型的振动问题了。因此，就研究方法而言，二者具有高度一致性，亦即保角变换同样适用于有限大的椭圆板的振动问题。
保角变换是在复平面中进行的，总体过程如图2所示。其基本思想是：将某物理平面内复杂形状的薄板区域，通过对应的唯一特定解析函数，映射成位于象平面中心的单位圆区域抑或如半无限平面等简单易解的规则域。在象平面内即可结合常规形状板材的振动研究过程得出结果，之后将这些结果返回原物理平面就得到实际问题的结果。
具体实施步骤如下：
步骤1：
将经典板壳力学的弯矩和等效剪力公式用复变量替换，得到的公式如公式2所示；
将亥姆霍兹方程(薄板自由振动的微分方程)的求解过程在复平面实现，得出的方程的解(即傅里叶-贝塞尔级数)如公式3所示。
步骤2：
保角变换函数为z＝ω(η)，分别代入公式2和3，得到经过变换后的弯矩和等效剪力公式以及亥姆霍兹方程的解分别如公式4和5所示。
步骤3：
将经过变换后亥姆霍兹方程的解(即公式5)代入经过变换后的弯矩和等效剪力公式(即公式4)，得到公式6。
步骤4：
进行自由边界条件下固有频率的求解。自由边界条件如方程7所示，代入公式6，然后转化成矩阵形式，可得方程8。
步骤5：
由于方程8是非线性的，需要通过傅里叶变换将其线性化，得到方程9。由于系数An、Bn不全为零，故有方程10成立。方程10是只关于ki的线性方程组，并且满足
Figure BDA0003060739610000081
由此就解得自由边界条件下椭圆板的各阶固有频率Ωi了，同时还可以输出对应的各阶振型。
以上所有步骤均在MATLAB软件中通过相关编程来实现。
椭圆的保角变换公式为
Figure BDA0003060739610000082
其中，
Figure BDA0003060739610000083
a为椭圆短半轴长，b为椭圆长半轴长。
本算例所用椭圆板模型见图3。图3中，以椭圆的左焦点F1为极坐标的极点，向量F1F2为极轴的正方向，建立极坐标系。
椭圆板材料为Q235(属于各向同性材料)，其结构及材料参数如下：厚度h＝0.002m，材料密度ρ＝7850kg/m3，杨氏模量E＝206GPa，泊松比μ＝0.3，长宽比b/a＝1.2。
按上面的数据，该算例算出的前6阶固有频率数值如图5所示。图5中还列出了使用有限元分析软件ANSYS Workbench算出的前6阶固有频率并做误差分析。算出的前6阶振型图谱如图4a-4f所示。图4a-4f还展示了使用ANSYS Workbench得出的前6阶振型图谱并与本方法对比。
通过对比分析，发现这一保角变换方法与有限元法分析的结果相比，相对误差均在5％以内，收敛精度很好。同时，该方法所得到的所有振型图谱与使用有限元法分析得到的基本一致，可见本方法对自由边界条件是准确、可行的。
Figure BDA0003060739610000091
Figure BDA0003060739610000092
Figure BDA0003060739610000093
Figure BDA0003060739610000094
Figure BDA0003060739610000095
公式2用复变量替换后的板壳力学弯矩与等效剪力计算公式
Figure BDA0003060739610000096
公式3用复变量替换后的亥姆霍兹方程的解
Figure BDA0003060739610000097
Figure BDA0003060739610000098
Figure BDA0003060739610000101
公式4保角变换后的板壳力学弯矩与等效剪力计算公式(其中Vr表示等效剪力)
Figure BDA0003060739610000102
公式5保角变换后的亥姆霍兹方程的解
Figure BDA0003060739610000103
其中，
Figure BDA0003060739610000104
Figure BDA0003060739610000111
Figure BDA0003060739610000112
Figure BDA0003060739610000113
公式6代入附加公式5后的弯矩与等效剪力计算公式
Figure BDA0003060739610000114
方程7自由边界条件方程
Figure BDA0003060739610000121
其中，
Figure BDA0003060739610000122
Figure BDA0003060739610000123
Figure BDA0003060739610000124
Figure BDA0003060739610000125
Figure BDA0003060739610000126
方程8用矩阵表达的自由边界条件方程
Figure BDA0003060739610000127
其中，
Figure BDA0003060739610000128
Figure BDA0003060739610000129
Figure BDA00030607396100001210
Figure BDA00030607396100001211
方程9经傅里叶变换后的线性自由边界条件方程
Figure BDA00030607396100001212
方程10固有频率(特征值)求解方程
cem和sem——分别代表与本征值相应的马修函数；Cem和Sem——分别代表与本征值相应的变型的马修函数；Cm、Cm *、Sm和Sm *——均与边界条件有关的待定系数；ξ和η——前者代表椭圆离心率，后者代表椭圆坐标系中所显示双曲线渐近线的倾斜角(与后面保角变换定义式中的η不同)；Mxx、Myy和Mxy——分别代表沿x轴、y轴方向的正应力以及在xOy平面内的剪应力所产生的弯矩；Qx和Qy——分别代表沿x轴、y轴方向的剪力；D——薄板结构的抗弯刚度，满足
Figure BDA0003060739610000131
其中，E为板结构所用材料的杨氏模量(本发明只研究各向同性材料，故E为定值)，h为板厚度，μ为泊松比；w[即w(x,y,t)]——薄板振动总位移。在工程上，人们对结构振动问题最多起步于稳态问题上，即可简单假设薄板做频率为ω的简谐振动。因此将板的振动总位移方程设为w(x,y，t)＝W(x,y)e±iωt，其中，W(x,y)为薄板振动最大位移方程。W[即
Figure BDA0003060739610000132
]——经过复变量转换后的亥姆霍兹方程的解，复变量替换法则为z＝x+yi,
Figure BDA0003060739610000133
AnJn(k|z|)和BnIn(k|z|)——前者表示第一类(实宗量)汉克函数，后者表示第二类(虚宗量)汉克函数(每类汉克函数均由贝塞尔函数和诺依曼函数组成，但对于实心薄板，不含诺依曼函数)。其中，An和Bn均表示待定系数(常数)，代入各种边界条件方程即可求得。k——与薄板各阶固有频率Ω有关的量，其量纲为m-1。k与Ω的关系满足
Figure BDA0003060739610000134
其中，h为薄板厚度，ρ为薄板密度(本发明只研究各向同性均匀材料，故ρ为定值)，D为薄板结构的抗弯刚度；Mrr和Mrθ——分别代表沿极坐标径向的正应力以及在极坐标平面内的剪应力产生的弯矩；Qr——沿极坐标径向的剪力；Vr——弯矩Mrθ和剪力Qr按基尔霍夫理论组合成的等效剪力；
Figure BDA0003060739610000135
和
Figure BDA0003060739610000136
[即
Figure BDA0003060739610000137
和
Figure BDA0003060739610000138
]——分别代表Mrr和Vr的计算公式中以k和z＝ω(η)为自变量的二元函数。右下角n代表第n个这样的函数，右上角m指代汉克函数类别，m＝1时为第一类(实宗量)汉克函数，m＝2时为第二类(虚宗量)汉克函数；Φmm——由每个
Figure BDA0003060739610000139
或
Figure BDA00030607396100001310
组成的1*n行向量，m＝1,2；Θmm——将Φmm进行傅里叶线性变换后所得到的n*n矩阵，m＝1,2。

Claims (1)

1.一种用于分析椭圆薄板构件的固有频率特性数值研究方法，其特征是：
(1)将经典板壳力学的弯矩和等效剪力公式用复变量替换：
Figure FDA0003060739600000011
Mxx、Myy和Mxy分别代表沿x轴、y轴方向的正应力以及在xOy平面内的剪应力所产生的弯矩，Qx和Qy分别代表沿x轴、y轴方向的剪力，D为薄板结构的抗弯刚度，
Figure FDA0003060739600000012
E为板结构所用材料的杨氏模量，h为板厚度，μ为泊松比，w为薄板振动总位移，w(x,y,t)＝W(x,y)e±iωt，W(x,y)为薄板振动最大位移方程；
将亥姆霍兹方程的求解过程在复平面实现，得出的方程的解：
Figure FDA0003060739600000013
Figure FDA0003060739600000014
为经过复变量转换后的亥姆霍兹方程的解，
Figure FDA0003060739600000015
AnJn(k|z|)表示第一类汉克函数，表示第二类汉克函数，An和Bn均表示待定系数，k为与薄板各阶固有频率Ω有关的量，k与Ω的关系满足
Figure FDA0003060739600000016
ρ为薄板密度；
(2)保角变换函数为z＝ω(η)，分别代入
Figure FDA0003060739600000021
和
Figure FDA0003060739600000022
得到经过变换后的弯矩和等效剪力公式以及亥姆霍兹方程的解：
Figure FDA0003060739600000023
Figure FDA0003060739600000024
Figure FDA0003060739600000031
Figure FDA0003060739600000032
Qr为沿极坐标径向的剪力，Vr为弯矩Mrθ和剪力Qr按基尔霍夫理论组合成的等效剪力；
(3)将经过变换后亥姆霍兹方程的解代入经过变换后的弯矩和等效剪力公式，得到：
Figure FDA0003060739600000033
其中，
Figure FDA0003060739600000034
Figure FDA0003060739600000041
Figure FDA0003060739600000042
Figure FDA0003060739600000043
Figure FDA0003060739600000044
和
Figure FDA0003060739600000045
分别代表Mrr和Vr的计算公式中以k和z＝ω(η)为自变量的二元函数，右下角n代表第n个这样的函数，右上角m指代汉克函数类别，m＝1时为第一类汉克函数，m＝2时为第二类汉克函数；
(4)进行自由边界条件下固有频率的求解。自由边界条件如方程
Figure FDA0003060739600000051
所示，代入步骤(3)公式，然后转
化成矩阵形式，得方程
Figure FDA0003060739600000052
其中，
Figure FDA0003060739600000053
Φmm由每个
Figure FDA0003060739600000054
或
Figure FDA0003060739600000055
组成的1*n行向量，m＝1,2；
(5)方程
Figure FDA0003060739600000056
是非线性的，通过傅里叶变换将其线性化，得到方程，
Figure FDA0003060739600000057
其中，
Figure FDA0003060739600000058
Figure FDA0003060739600000059
由于系数An、Bn不全为零，故有方程
Figure FDA00030607396000000510
成立，此方程是只关于ki的线性方程组，并且满足
Figure FDA00030607396000000511
Θmm为将Φmm进行傅里叶线性变换后所得到的n*n矩阵；
由此解得自由边界条件下椭圆板的各阶固有频率Ωi。
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