CN110427716A - 基于统计矩的高层结构无模型损伤识别方法 - Google Patents

Abstract

本发明属于建筑结构损伤识别技术领域，具体涉及基于统计矩的高层结构无模型损伤识别方法。本发明优点：1、该方法直接利用结构相邻两层统计矩的比值随楼层位置的变化曲线来判别结构的健康状况，对于曲线光滑的情况，出现η及η₁变化较明显，造成曲线不光滑的点对应的楼层，即为可能的结构损伤楼层，或者结构刚度突变的楼层，再综合分析η及η₁随楼层位置的变化情况，则可判断出具体的楼层；2、对于实测结构，由于存在复杂的环境噪音等因素的影响，可能引起曲线不光滑，这时，出现η及η₁值均突变的点及其相邻的点对应的楼层为可能的结构损伤或结构刚度突变的楼层，再通过这些楼层对应的具体的统计矩的值做进一步判断；3、该方法无需测量结构在无损状态下的响应数据。

Description

基于统计矩的高层结构无模型损伤识别方法

技术领域

本发明属于建筑结构损伤识别技术领域，具体涉及基于统计矩的高层结构无模型损伤识别方法。

背景技术

地震、强风等自然灾害以及各类人为灾害，可能引起高层结构局部损伤甚至造成整体倒塌。如果未能及时地对高层结构的健康状况做出评估及维护，随着时间的增长，高层结构的损伤程度将越来越严重，如此造成的后果将不堪设想。故及时发现和评估高层结构内部损伤的位置和程度，预测高层结构的性能变化具有极其重大的意义。

高层结构的损伤识别方法目前按照是否需要建立原始模型可分为有模型的损伤识别和无模型的损伤识别。有模型的损伤识别方法主要有基于残余力向量的结构损伤识别方法、特征对灵度法、应变能量法，基于有模型的损伤识别方法能准确识别出结构的损伤位置及损伤程度，但需要建立基准的有限元模型，对实际结构建立有限元模型将会产生较大误差；无模型的损伤识别方法主要有频率改变法、振型改变法、柔度矩阵改变法等，无模型的损伤检测方法无需建立原始的有限元模型，避免了有限元模型的精度对结构损伤检测的影响，且能较快速的识别出结构有无损伤及损伤位置。但目前的无模型和有模型损伤识别方法均需要考虑基准数据进行对比分析，即需要进行两次以上的现场测试相互对比以后给予结果，对于无设计资料或仅提供一次测试机会的工程结构检测损伤识别存在现实困难。

发明内容

针对现有技术中存在的上述不足之处，本发明提供了基于统计矩的高层结构无模型损伤识别方法，无需测量结构在无损状态下的响应数据，仅通过现场一次测试数据进行损伤评估，特别适用于结构发生地震等自然灾害后的现场快速的损伤检测，具有较高的工程适用价值。

为了解决上述技术问题，本发明采用了如下技术方案：

基于统计矩的高层结构无模型损伤识别方法，对于多自由度的高层结构，高层结构在外部激励作用下的运动方程可以表示为：

其中：M、C、K分别表示结构质量、阻尼、刚度矩阵；X(t)分别为结构的加速度、速度以及位移的时程响应；F(t)表示外部激励向量

当外部激励服从高斯分布且均值为零时，其功率谱密度函数为常数S₀

瑞雷阻尼假设下，将公式(1)中的位移时程响应变换为振型表达的形式如下：

根据式(1)及式(2)，利用振型的正交性并通过解耦得到结构振型反应的运动方程如下：

公式(2)～(4)中，q_i(t)为第i阶振型对应的广义坐标；ξ_i、ω_i、分别为结构的i阶阻尼比、自振圆频率以及标准模态；p_i(t)为i阶模态对应的广义力，为结构第k个单元对应的i阶振型，将式(3)进行傅里叶变换，并利用振型叠加法，可得到结构第i层的位移时程响应的频域表达式：

由于结构水平刚度的变化直接会引起结构层间位移的改变，所以我们用层间相对位移来计算统计矩，过程如下：

其中ΔX_i(ω)与ΔX_i(ω)^*互为共轭复数

可以看出,在时域内，结构在不同形式的激励下，第j测点的响应为x_j＝[x_1j,x_2j,...x_Nsj]，其中下角N_s表示采样点的数量，其统计矩为(i＝2,4,6,8)，可以根据数理统计相关理论可以得到

对于线弹性结构，如果受到平稳的高斯随机分布过程的激励，那么结构的响应也服从高斯随机过程分布，根据统计矩关系，可以得到4阶矩、6阶矩和8阶矩公式：

由式(10)～(12)可知，当结构出现损伤时，刚度会产生变化，同时，也会导致结构动力时程响应的变化，因此，可以直接通过统计矩的变化判别结构的损伤

鉴于多自由度下的统计矩对刚度的求导计算，暂时无法量化分析，考虑与单自由度相同的变化规律，利用单自由度的统计矩与刚度的变化，得到如下关系：

其中：dk为刚度的微分；dM_i,a为第i阶加速度统计矩的微分

可见，高阶统计矩比低阶统计矩对结构的响应更加敏感，当结构出现损伤时，其刚度会下降，加速度统计矩会随之减小，考虑噪音影响，综合对比分析后，文中选用加速度八阶矩作为损伤识别的指标。

根据前述统计矩理论的推导可知，结构的刚度与结构响应统计矩之间存在密切联系，且加速度八阶矩对结构刚度的变化极为敏感，对于平面及竖向规则的高层结构，其侧向刚度沿高度是均匀变化的，那么结构响应统计矩沿竖向高度也应是均匀变化的，因此，可根据统计矩沿结构高度的变化对规则的高层结构直接进行损伤检测，其具体步骤如下：

①在结构每层的同一竖向位置布置水平加速度传感器；

②在自然激励作用下，采集结构测点位置的加速度时程响应，并将采集的加速度时程响应进行傅里叶变换，求得结构的一阶频率，然后可对加速度信号滤波，提取结构与一阶频率对应的加速度信号；

③利用步骤2中经过处理的加速度信号求得结构响应统计矩M，再分别求出相邻两层间结构响应统计矩的比值η_i及η_1,i,表达式如下：

④绘出相邻两层结构响应统计矩比值随楼层位置的变化曲线，曲线中出现突变的点即为结构刚度偏低或者偏高的楼层。

本发明与现有技术相比，具有如下诸多有益效果：

1、该方法直接利用结构相邻两层统计矩的比值随楼层位置的变化曲线来判别结构的健康状况，对于曲线光滑的情况，出现η及η₁变化较明显，造成曲线不光滑的点对应的楼层，即为可能的结构损伤楼层，或者结构刚度偏高的楼层，再综合分析η及η₁随楼层位置的变化情况，则可判断出具体的楼层；

2、对于实测结构，由于存在复杂的环境噪音等因素的影响，可能引起曲线不光滑，这时，出现η及η₁值相互验证，均突变的点及其相邻的点对应的楼层为可能的结构损伤或结构刚度偏高的楼层，再通过这些楼层对应的具体的统计矩的值做进一步判断；

3、该方法无需测量结构在无损状态下的响应数据，仅通过现场一次测试数据进行损伤评估，特别适用于结构发生地震等自然灾害后的现场快速的损伤检测，具有较高的工程适用价值。

附图说明

图1为本发明基于统计矩的高层结构无模型损伤识别方法实施例中21层框架剪力墙结构模型图；

图2为本发明基于统计矩的高层结构无模型损伤识别方法实施例中工况1无噪音利用下层比上层统计矩的损伤检测结果图；

图3为本发明基于统计矩的高层结构无模型损伤识别方法实施例中工况2无噪音利用下层比上层统计矩的损伤检测结果图；

图4为本发明基于统计矩的高层结构无模型损伤识别方法实施例中工况3至工况6无噪音利用下层比上层统计矩的损伤检测结果图；

图5为本发明基于统计矩的高层结构无模型损伤识别方法实施例中工况7无噪音利用下层比上层统计矩的损伤检测结果图；

图6为本发明基于统计矩的高层结构无模型损伤识别方法实施例中工况1无噪音利用上层比下层统计矩的损伤检测结果图；

图7为本发明基于统计矩的高层结构无模型损伤识别方法实施例中工况2无噪音利用上层比下层统计矩的损伤检测结果图；

图8为本发明基于统计矩的高层结构无模型损伤识别方法实施例中工况3至工况6无噪音利用上层比下层统计矩的损伤检测结果图；

图9为本发明基于统计矩的高层结构无模型损伤识别方法实施例中工况7无噪音利用上层比下层统计矩的损伤检测结果图；

图10为本发明基于统计矩的高层结构无模型损伤识别方法实施例中工况130dB利用下层比上层统计矩的损伤检测结果图；

图11为本发明基于统计矩的高层结构无模型损伤识别方法实施例中工况230dB利用下层比上层统计矩的损伤检测结果图；

图12为本发明基于统计矩的高层结构无模型损伤识别方法实施例中工况3至工况630dB利用下层比上层统计矩的损伤检测结果图；

图13为本发明基于统计矩的高层结构无模型损伤识别方法实施例中工况730dB利用下层比上层统计矩的损伤检测结果图；

图14为本发明基于统计矩的高层结构无模型损伤识别方法实施例中工况130dB利用上层比下层统计矩的损伤检测结果图；

图15为本发明基于统计矩的高层结构无模型损伤识别方法实施例中工况230dB利用上层比下层统计矩的损伤检测结果图；

图16为本发明基于统计矩的高层结构无模型损伤识别方法实施例中工况3至工况630dB利用上层比下层统计矩的损伤检测结果图；

图17为本发明基于统计矩的高层结构无模型损伤识别方法实施例中工况730dB利用上层比下层统计矩的损伤检测结果图；

图18为本发明基于统计矩的高层结构无模型损伤识别方法实施例中模型分区立面图；

图19为本发明基于统计矩的高层结构无模型损伤识别方法实施例中巨型框架体系图；

图20为本发明基于统计矩的高层结构无模型损伤识别方法实施例中典型加强层组成结构图；

图21为本发明基于统计矩的高层结构无模型损伤识别方法实施例中利用下层比上层统计矩的检测结果图；

图22为本发明基于统计矩的高层结构无模型损伤识别方法实施例中利用上层比下层统计矩的检测结果图；

图23为本发明基于统计矩的高层结构无模型损伤识别方法实施例中利用下层比上层统计矩的检测结果图；

图24为本发明基于统计矩的高层结构无模型损伤识别方法实施例中利用上层比下层统计矩的检测结果图；

图25为本发明基于统计矩的高层结构无模型损伤识别方法实施例中利用下层比上层统计矩的试验检测结果图；

图26为本发明基于统计矩的高层结构无模型损伤识别方法实施例中利用上层比下层统计矩的试验检测结果图(-2层到30层的结果)；

图27为本发明基于统计矩的高层结构无模型损伤识别方法实施例中利用上层比下层统计矩的试验检测结果图(-2层到18层的结果)。

具体实施方式

为了使本领域的技术人员可以更好地理解本发明，下面结合附图和实施例对本发明技术方案进一步说明。

1理论分析

对于多自由度的高层结构，高层结构在外部激励作用下的运动方程可以表示为：

其中：M、C、K分别表示结构质量、阻尼、刚度矩阵；X(t)分别为结构的加速度、速度以及位移的时程响应；F(t)表示外部激励向量。

当外部激励服从高斯分布且均值为零时，其功率谱密度函数为常数S₀。

瑞雷阻尼假设下，将公式(1)中的位移时程响应变换为振型表达的形式如下：

根据式(1)及式(2)，利用振型的正交性并通过解耦得到结构振型反应的运动方程如下：

公式(2)～(4)中，q_i(t)为第i阶振型对应的广义坐标；ξ_i、ω_i、分别为结构的i阶阻尼比、自振圆频率以及标准模态；p_i(t)为i阶模态对应的广义力，为结构第k个单元对应的i阶振型。将式(3)进行傅里叶变换，并利用振型叠加法，可得到结构第i层的位移时程响应的频域表达式：

由于结构水平刚度的变化直接会引起结构层间位移的改变，所以我们用层间相对位移来计算统计矩，过程如下：

其中ΔX_i(ω)与ΔX_i(ω)^*互为共轭复数。

可以看出,在时域内，结构在不同形式的激励下，第j测点的响应为x_j＝[x_1j,x_2j,...x_Nsj]，其中下角N_s表示采样点的数量，其统计矩为(i＝2,4,6,8)，可以根据数理统计相关理论可以得到。

对于线弹性结构，如果受到平稳的高斯随机分布过程的激励，那么结构的响应也服从高斯随机过程分布。根据统计矩关系，可以得到4阶矩、6阶矩和8阶矩公式：

由式(10)～(12)可知，当结构出现损伤时，刚度会产生变化。同时，也会导致结构动力时程响应的变化。因此，可以直接通过统计矩的变化判别结构的损伤。

鉴于多自由度下的统计矩对刚度的求导计算，暂时无法量化分析，考虑与单自由度相同的变化规律，利用单自由度的统计矩与刚度的变化，得到如下关系：

其中：dk为刚度的微分；dM_i,a为第i阶加速度统计矩的微分。

可见，高阶统计矩比低阶统计矩对结构的响应更加敏感。当结构出现损伤时，其刚度会下降，加速度统计矩会随之减小。考虑噪音影响，综合对比分析后，文中选用加速度八阶矩作为损伤识别的指标。

根据前述统计矩理论的推导可知，结构的刚度与结构响应统计矩之间存在密切联系，且加速度八阶矩对结构刚度的变化极为敏感，对于平面及竖向规则的高层结构，其侧向刚度沿高度是均匀变化的，那么结构响应统计矩沿竖向高度也应是均匀变化的，因此，可根据统计矩沿结构高度的变化对规则的高层结构直接进行损伤检测。其具体步骤如下：

①在结构每层的同一竖向位置布置水平加速度传感器；

②在自然激励作用下，采集结构测点位置的加速度时程响应，并将采集的加速度时程响应进行傅里叶变换，求得结构的一阶频率，然后可对加速度信号滤波，提取结构与一阶频率对应的加速度信号；

③利用步骤2中经过处理的加速度信号求得结构响应统计矩M，再分别求出相邻两层间结构响应统计矩的比值η_i及η_1,i,表达式如下：

④绘出相邻两层结构响应统计矩比值随楼层位置的变化曲线，曲线中均出现突变的点即为结构刚度偏低或者偏高的楼层。

同时采用如式(17)所示的两种相邻两层间结构响应统计矩的比值计算在于结构刚度突变楼层对其上部楼层及下部楼层区域都有变化，便于综合判断结构楼层突变区域，找寻损伤区域，减少噪音等因素引起的误判行为。

2数值模拟分析

2.121层框架剪力墙结构的数值模拟分析

该模型共21层，首层层高6米，其余各层层高均为3米，左侧为剪力墙，右侧为框架柱，通过连杆连接，为框剪铰接体系。剪力墙截面尺寸为0.25×4.2m，连杆跨度为4.2m。剪力墙，框架柱以及连杆弹性模量均为7.751×10⁹N/m²，阻尼比为ξ_i＝0.05(i＝1,2)，连杆线密度为框架柱的线密度为其中，剪力墙采用考虑了剪切变形的铁木辛柯梁模拟，沿竖向每1米为一个单元，首层划分6个单元，其余各层均为3个单元，连杆和框架柱则采用欧拉梁来模拟，每层为一个单元。采用MATLAB建模，并使用SAP2000模型进行了核对，其平面模型如图1所示：

该模型采用高斯白噪声激励进行数值模拟，结构的损伤通过定义结构单元的弹性模量或者是结构单元截面尺寸的折减进行模拟，结构单元的质量保持不变。本发明采用结构单元弹性模量的折减，具体工况见表1：

表1七种损伤工况下的损伤单元及损伤程度

无噪声情况下，利用下一层与上一层的统计矩比值进行损伤检测的结果如图2、图3、图4和图5所示，上一层与下一层的统计矩比值进行损伤检测的结果如图6、图7、图8和图9所示，在图2中曲线比较光滑，并无突变点，说明该工况下结构无损，与定义的损伤工况一致。图3中，单元19、20位置处曲线发生了突变，说明单元20位置处加速度八阶矩出现不规则变化，即该处发生损伤，与定义的损伤工况一致。图4中，单元19、20以及单元44、45位置处曲线发生了突变，说明单元20、45位置处的加速度八阶矩出现不规则变化，即单元20、45发生了损伤，与定义的损伤工况一致，且随着损伤程度的增加，曲线突变程度变大。图5中，单元28、29、30以及单元44、45位置处曲线发生了突变，说明单元29、30及单元45位置处的加速度八阶矩出现不规则变化，即单元29、30、45发生了损伤，与定义的损伤工况一致。从图6、图7、图8和图9中上一层与下一层的统计矩比值结果可以看出，各工况的曲线与图2、图3、图4和图5对应工况的曲线也在相同的单元位置发生了反方向的突变，进一步验证了各工况所设置单元的损伤。

当信噪比为30dB时，利用下层与上层加速度八阶矩比值及上层与下层加速度八阶矩比值进行损伤检测的结果分别如图10、图11、图12、图13及图14、图15、图16、图17所示，从图中可知，有噪声与无噪声情况下的损伤检测结果并无明显区别，依旧能正确检测出结构的损伤位置，说明该方法抗噪性较好。

2.2超高层建筑结构Benchmark模型分析验证

该模型共有128层，无地下室，结构总高度为606.1m，标高±0.000m处即为结构的嵌固端。从下往上共分为9个区域，1～11层为1区，12～25层为2区，26～40层为3区，41～55层为4区，56～71层为5区，72～87层为6区，88～104层为7区，105～121层为8区，122～128层为9区，其立面图见图18所示。

本结构采用巨型框架-核心筒-伸臂桁架钢-混凝土混合结构体系，其结构组成见图19所示。其中巨型框架柱由8根主柱与4根角柱组成，巨柱之间采用环带桁架相连，8根主柱与核心筒之间采用伸臂桁架相连。8根主柱在第8个加强区终止，4根角柱在第5个加强区终止。环带桁架高为两层(高11m)，共设置8道，分别位于1～8区每个区的顶部，环带桁架所在的楼层作为结构的加强层与转换层。

结构共在6个区域设置了伸臂桁架，分别布置在2、4、5、6、7、8区，这些伸臂桁架在核心筒与外部巨型框架之间形成了有效的抗弯连接。

典型加强层如图20所示。加强层高度为两层(11m)，包含三个楼层平面，伸臂桁架与环带桁架都位于每个区的加强层内。

方形核心筒底部边长为30m，被腹墙分为3×3个小空间。底部核心筒翼墙厚度为1.2m，腹墙厚度为0.9m；顶部墙肢厚度为0.5m。1区剪力墙采用内置钢板钢筋混凝土组合剪力墙。从5区开始，核心筒从四角开始逐渐削减，变化为十字形，直至顶部。结构的材料特性见表2所示。

表2结构材料

对该结构的基底输入20s的白噪声激励，提取每一层核心筒角部的加速度信号，且在每一层提取的点基本保持同一竖向位置。对所有输出点进行处理，得到每一楼层相邻的下一层与上一层统计矩的比值η，如图21所示。从图中可以看出曲线分别在第8～11层，22～25层，37～40层，52～55层，68～71层，84～87层，101～104层，118～121层发生了突变，即在楼层9～11，23～25，38～40，53～55，69～71，85～87，102～104，119～121位置处结构加速度响应八阶矩出现了不规则变化，这些楼层位置处正位于结构第1～8区的顶部加强区位置，即检测出了结构的加强区或者转换层等刚度偏高的部位。每一楼层相邻的上一层与下一层统计矩的比值η₁的结果如图22所示，与图21的曲线在相同的突变楼层发生了反方向的突变，进一步验证了该结果的可靠性。

如图23和图24，在原超高层建筑结构Benchmark模型的基础上通过去除第17层部分横向梁来设置损伤，通过分别利用上层统计矩比下层统计矩和下层统计矩比上层统计矩的比值作图可以看出，在第17层出现了相反的突变，识别出了第17层的损伤。

3现场试验分析验证

该模型共34层，地下3层，为地下车库，地上31层，1～4层为局部商业区，5～32层为住宅。结构总高度为106.8m，从第2层到顶层均为标准层，标准层层高为2.9m，建筑总面积为24083.11m²，为平面及竖向布置规则的超高层建筑结构，该结构主体已施工完毕，正在进行装饰装修工程施工，经检测单位检测发现该楼的15、16、21层部分构件混凝土强度不达标，因此对该楼层的部分构件进行了置换，做置换处理的剪力墙包括15层3片剪力墙、16层1片剪力墙、21层7片剪力墙，共11片剪力墙，该结构的混凝土强度等级如表3所示。

表3混凝土强度等级

试验采用了两个水平加速度传感器，型号为BY-S07。传感器的灵敏度为0.3116V·s²/m，频率范围为0.2～80Hz。同时用到了4个通道的数据采集仪，数据采集卡，大容量的移动电源以及笔记电脑。进行试验的时间在夜晚0点到2点之间，尽量避免了周围施工等环境噪音的干扰。传感器的布置位置选择在了每一层接近质心的位置，将其中一个传感器放在结构的底部-2层位置，另一个传感器从32层逐层测量直到-2层，保持两个传感器开始测量的时间一致，每一层测50s，采样频率为200Hz。将采集的各层加速度响应信号通过数据采集卡读入到笔记本电脑中。

将测量的信号进行分析处理得到各楼层对应的η及η₁值如图25及图26、图27所示，从图25可以看出，第15层及21层的η值突然增大，因此，第15、16层以及第21、22层为可能的加速度八阶矩变化不规则的点，从图26、图27进一步验证了第15及21层加速度八阶矩偏大，从表4可以看出，第16层及22层加速度八阶矩无明显变化，第15层及21层加速度八阶矩变化较明显，而实际为15层及21层的多个剪力墙构件进行了置换处理，和实际较为接近，由于16层置换构件较少，以及由于试验过程中存在部分噪音影响，未检测出第16层结构的刚度偏高情况。因此认为正确检测出了结构刚度变化明显的楼层，该检测方法是可行的。

表4试验数据

4结论

本发明提出了无模型的高层结构损伤检测方法，对该方法采用21层框架剪力墙进行数值模拟分析，并有效地检测出了各工况下结构的损伤位置，同时对660米的超高层建筑结构Benchmark模型以及超高层结构的实测数据进行了分析，均得到了较好的效果，总结出了以下结论：

1、该方法直接利用结构相邻两层统计矩的比值随楼层位置的变化曲线来判别结构的健康状况，对于曲线光滑的情况，出现η及η₁变化较明显，造成曲线不光滑的点对应的楼层，即为可能的结构损伤楼层，或者结构刚度偏高的楼层，再综合分析η及η₁随楼层位置的变化情况，则可判断出具体的楼层；

2、对于实测结构，由于存在复杂的环境噪音等因素的影响，可能引起曲线不光滑，这时，出现η及η₁值均突变的点及其相邻的点对应的楼层为可能的结构损伤或结构刚度偏高的楼层，再通过这些楼层对应的具体的统计矩的值做进一步判断；

3、该方法无需测量结构在无损状态下的响应数据，仅通过现场一次测试数据进行损伤评估，特别适用于结构发生地震等自然灾害后的现场快速的损伤检测，具有较高的工程适用价值。

最后说明的是，以上实施例仅用以说明本发明的技术方案而非限制，尽管参照较佳实施例对本发明进行了详细说明，本领域的普通技术人员应当理解，可以对本发明的技术方案进行修改或者等同替换，而不脱离本发明技术方案的宗旨和范围，其均应涵盖在本发明的权利要求范围当中。

Claims (1)

1.基于统计矩的高层结构无模型损伤识别方法，其特征在于：

对于多自由度的高层结构，高层结构在外部激励作用下的运动方程可以表示为：

其中：M、C、K分别表示结构质量、阻尼、刚度矩阵；X(t)分别为结构的加速度、速度以及位移的时程响应；F(t)表示外部激励向量

当外部激励服从高斯分布且均值为零时，其功率谱密度函数为常数S₀

瑞雷阻尼假设下，将公式(1)中的位移时程响应变换为振型表达的形式如下：

根据式(1)及式(2)，利用振型的正交性并通过解耦得到结构振型反应的运动方程如下：

公式(2)～(4)中，q_i(t)为第i阶振型对应的广义坐标；ξ_i、ω_i、分别为结构的i阶阻尼比、自振圆频率以及标准模态；p_i(t)为i阶模态对应的广义力，为结构第k个单元对应的i阶振型，将式(3)进行傅里叶变换，并利用振型叠加法，可得到结构第i层的位移时程响应的频域表达式：

由于结构水平刚度的变化直接会引起结构层间位移的改变，所以我们用层间相对位移来计算统计矩，过程如下：

其中ΔX_i(ω)与ΔX_i(ω)^*互为共轭复数

可以看出,在时域内，结构在不同形式的激励下，第j测点的响应为其中下角N_s表示采样点的数量，其统计矩为可以根据数理统计相关理论可以得到

对于线弹性结构，如果受到平稳的高斯随机分布过程的激励，那么结构的响应也服从高斯随机过程分布，根据统计矩关系，可以得到4阶矩、6阶矩和8阶矩公式：

由式(10)～(12)可知，当结构出现损伤时，刚度会产生变化，同时，也会导致结构动力时程响应的变化，因此，可以直接通过统计矩的变化判别结构的损伤

鉴于多自由度下的统计矩对刚度的求导计算，暂时无法量化分析，考虑与单自由度相同的变化规律，利用单自由度的统计矩与刚度的变化，得到如下关系：

其中：dk为刚度的微分；dM_i,a为第i阶加速度统计矩的微分

可见，高阶统计矩比低阶统计矩对结构的响应更加敏感，当结构出现损伤时，其刚度会下降，加速度统计矩会随之减小，考虑噪音影响，综合对比分析后，文中选用加速度八阶矩作为损伤识别的指标

根据前述统计矩理论的推导可知，结构的刚度与结构响应统计矩之间存在密切联系，且加速度八阶矩对结构刚度的变化极为敏感，对于平面及竖向规则的高层结构，其侧向刚度沿高度是均匀变化的，那么结构响应统计矩沿竖向高度也应是均匀变化的，因此，可根据统计矩沿结构高度的变化对规则的高层结构直接进行损伤检测，其具体步骤如下：

①在结构每层的同一竖向位置布置水平加速度传感器；

②在自然激励作用下，采集结构测点位置的加速度时程响应，并将采集的加速度时程响应进行傅里叶变换，求得结构的一阶频率，然后可对加速度信号滤波，提取结构与一阶频率对应的加速度信号；

③利用步骤2中经过处理的加速度信号求得结构响应统计矩M，再分别求出相邻两层间结构响应统计矩的比值η_i及η_1,i,表达式如下：

④绘出相邻两层结构响应统计矩比值随楼层位置的变化曲线，曲线中均出现突变的点即为结构刚度偏低或者偏高的楼层。