CN109558635A - 一种基于单元模态应变能灵敏度的结构区间不确定性损伤识别方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种基于单元模态应变能灵敏度的结构区间不确定性损伤识别方法。该方法首先在有限元框架下，建立了一种基于单元模态应变能灵敏度的结构损伤识别方法。然后，基于区间数学理论构建了不确定性损伤识别方程。最后，提出用配点法对不确定性损伤识别方程进行分析计算，并利用截断奇异值分解方法求解病态方程。通过对简支梁的算例验证，说明了方法的有效性。本发明考虑了结构模型的未知但有界不确定性对结构损伤识别的影响，通过所给出的损伤指标，可以为结构损伤定位和损伤程度的表征提供有效手段。

Description

一种基于单元模态应变能灵敏度的结构区间不确定性损伤识 别方法

技术领域

本发明涉及不确定性结构损伤识别技术领域，特别涉及一种基于单元模态应变能灵敏度的结构区间不确定性损伤识别方法，

背景技术

随着经济水平和科学技术的不断发展，各种土木建筑设施、交通运输工具等工程结构的数量急剧增长。同时，随着产品功能要求的提升、制造水平的提高等因素，结构的复杂程度也是越来越大。在这样的形势下，结构的使用一方面为生活提供了诸多方便，但在另一方面又为结构安全性的保证带来了极大的考验。由于环境、使用条件等各种因素，工程结构在役过程中可能会出现材料性能的退化、结构损伤等问题。针对结构损伤识别的问题已有大量文献，现有的结构损伤识别方法可以大致分为传统型方法和现代型方法。传统型方法是指仅通过力学特征进行损伤识别的方法，如通过自然频率、阻尼性质、能量特性或振型等的识别方法。这种方法通常需要实验模态测量或传递函数分析。现代型方法是指基于在役结构的在线响应信号的损伤识别方法，如基于小波变换、神经网络的损伤识别方法。尽管已有很多结构损伤识别方法，但是这些方法大都是基于确定性模型，与广泛存在不确定性的真实模型还有差距。

在实际工程领域中，由于理论近似、技术限制、客观认知局限等原因，存在很多不确定性因素，很难真实地描述问题。而这些不确定性往往会对结果产生影响，甚至使结果完全偏离真实情况，因此有必要对工程中的不确定性因素进行考察。目前，针对损伤识别中的不确定性问题的研究还很少，出现了一些基于概率方法、非概率方法的不确定性损伤识别方法，其中以概率方法居多。在使用概率方法时，不确定参数的概率分布应该是已知的。但是，当没有较多的数据对参数的概率分布函数进行验证时，由概率方法难以得到满足设计精度要求的可靠结果。而这恰恰是工程实践中时常碰到的问题。因为在一些情况下，由于时间、经济等因素无法针对研究对象进行大量的试验，无法获得较多的数据以较好地确定变量的概率密度函数。针对这一问题，本发明考虑模型的区间不确定性，将有限元模型中的不确定性参数视为区间数来量化不确定性，只需要不确定性参数的边界值而不需要大量的统计数据，降低对数据量的要求，更符合工程实际。

发明内容

本发明要解决的技术问题是：克服现有技术的不足，提供一种基于单元模态应变能灵敏度的结构区间不确定性损伤识别方法。通过将有限元模型中的不确定性参数视为区间数来量化不确定性，只需要不确定性参数的边界值而不需要大量的统计数据，即能求解出单元损伤指标的区间范围，为损伤识别提供依据，在难以获得大量试验数据的工程实际中有较大的应用优势。

本发明考虑实际工程中结构的不确定性，构建了基于结构单元模态应变能灵敏度的不确定性损伤识别方程，基于区间分析将不确定变量视为区间数，并采用配点法计算参数不确定性在损伤方程中的传播。通过该方法计算得到的单元损伤指标，能够为结构在不确定性参数作用下的损伤定位和损伤定量提供理论方法。

本发明采用的技术方案为：一种基于单元模态应变能灵敏度的结构区间不确定性损伤识别方法，该方法可以为结构在不确定性参数作用下的损伤定位和定量提供方法，可以为结构损伤定位和损伤程度的表征提供有效手段，其实现步骤如下：

步骤一：对于所研究连续或离散体结构(下面简称“结构”)，将结构在有限元框架下划分为一m单元、n自由度的有限元模型，有限元模型包含弹性模量和密度等模型参数，分析得到结构动力特征方程和单元模态应变能的一阶灵敏度公式；

步骤二：基于有限元分析和单元模态应变能一阶灵敏度公式，构建结构确定性的损伤识别方程；

步骤三：对由步骤二得到的系数矩阵S进行奇异值分解，并通过截断奇异值分解方法求解得到确定性条件下的单元损伤指标向量；

步骤四：针对得到的损伤识别方程中的模型参数，考虑模型弹性模量和密度的不确定性，将有限元模型的弹性模量和密度视为区间数，并合写为不确定向量X：

X＝[E,ρ]^T

其中，

符号E,ρ分别表示弹性模量和密度，E,分别表示弹性模量的下、上界，ρ,分别表示密度的下、上界；

步骤五：将步骤四中的区间数代入结构确定性的损伤识别方程，建立了不确定性损伤识别方程S(X)a(X)＝R(X)，基于区间不确定性传播分析方法求解得到单元损伤指标的上下界：

即

其中，a^I表示得到的单元损伤指标的区间界值，用于损伤情况的判断，a,分别表示单元损伤指标a的下界和上界。

其中，所述步骤一中采用有限元方法得到了结构单元特性矩阵和结构动力特征方程如下：

并通过矩阵运算(直接代数法)得到单元模态应变能的一阶灵敏度公式如下：

上式中，K,M分别为初始结构总体刚度矩阵和总体质量矩阵，K_i表示第i个单元刚度矩阵，λ_i,λ_k分别表示结构第i,k阶特征值，分别表示结构第i,k阶特征向量，表示的转置，MSE_ik为结构第i个单元在第k阶模态下的单元模态应变能，分别表示MSE_ik,K,K_i关于参数θ的偏导数。

其中，所述步骤二中构建了结构的确定性损伤识别方程如下：

Sa＝R

上式中，S,a,R分别表示损伤识别方程的系数矩阵、单元损伤指标向量、方程系数列向量。损伤方程中的S,R由下式确定：

上式中，S_it表示矩阵S第i行、t列的元素，表示与S_it对应的量(下标一致)，K_t表示结构第t个单元的单元刚度矩阵，K_i,M_i分别为结构的第i个单元刚度矩阵和单元质量矩阵，为实测得的损伤后的k阶振型，向量a＝{a_i}是用于损伤定位和表征损伤程度的单元损伤指标；

其中，所述步骤三中对系数矩阵S进行奇异值分解如下：

通过截断奇异值的方法求解病态损伤方程，得到损伤指标如下：

上式中，h表示所取奇异值项数，是通过正则化参数的L-curve法确定的。

其中，所述步骤五建立了不确定性损伤识别方程，基于不确定性传播分析理论，用配点法将不确定性变量在变化区间内进行配点，并通过正交函数系逼近结构有限元模型系统，进而通过对逼近(近似)函数求导得到不确定变量的极值点，最终求解得到单元损伤指标的上下界。

本发明与现有技术相比的优点在于：

本发明提供了一种基于单元模态应变能灵敏度的结构区间不确定性损伤识别方法。在考虑实际工程结构不确定性的基础上，结合区间分析的思想构建了结构不确定性损伤识别方程，利用配点法得到了结构单元损伤指标的上下界。针对损伤方程的不适定性，利用奇异值截断方法对病态方程进行处理。本发明克服了传统结构损伤识别方法只适用于确定性结构的局限性，同时克服了传统概率不确定性损伤识别中对样本数量要求高的困难。本发明对不确定参数的样本数量要求低，通过将有限元模型中的不确定性参数视为区间数来量化不确定性，只需要不确定性参数的边界值而不需要大量的统计数据，即可求解出单元损伤指标的区间范围。区间分析方法相较于传统概率方法更保守且计算更简单，所求解的损伤指标上下界能够为不确定性条件下的健康诊断提供数据支撑，在难以获得大量试验数据的工程实际中有较大的应用优势。

附图说明

图1是本发明计算有界不确定性结构单元损伤指标的流程图；

图2是本发明计算单元损伤指标实施例的模型示意图。

具体实施方式

下面结合附图以及具体实施例进一步说明本发明。

本发明一种基于单元模态应变能灵敏度的结构区间不确定性损伤识别方法，该方法针对含有未知但有界不确定性参数的结构损伤识别问题，构建了考虑结构模型参数不确定性的损伤识别方法，通过求解单元损伤指标，能够识别结构损伤的位置并表征损伤程度。本发明在有限元模型框架下分析了结构的单元模态应变能的表达式及其对参数的一阶灵敏度公式，基于此建立了一种基于单元模态应变能灵敏度的损伤识别方法。然后，利用区间数学中的区间数描述结构模型不确定性参数，构建了不确定性损伤识别方程。最后，提出用配点法对不确定性损伤识别方程进行分析计算。针对损伤识别中出现的病态方程，利用截断奇异值分解方法进行了求解。通过对简支梁的算例验证，说明了该方法的有效性。数值结果表明，求得的单元损伤指标能够体现结构的损伤位置和损伤程度。本发明考虑了结构模型的不确定性对结构损伤识别的影响，通过所给出的损伤指标，可以为结构损伤定位和损伤程度的表征提供有效手段。

如图1所示，本发明提出了一种基于单元模态应变能灵敏度的结构区间不确定性损伤识别方法，包括以下步骤：

(1)对于连续或离散体结构，将连续或离散体结构在有限元框架下划分为一m单元、n自由度的有限元模型，有限元模型包含弹性模量和密度等模型参数，得到结构动力特征方程：

设K,M分别为结构总体刚度矩阵和总体质量矩阵，λ_i,分别表示结构第i阶特征值和特征向量；上标(·)^d表示损伤后对应于(·)的物理量。

损伤前的总体刚度矩阵和总体质量矩阵由结构单元刚度、质量矩阵组装形成如下：

其中，K_i,M_i(i＝1,L,m)分别为结构单元刚度矩阵和单元质量矩阵。同样地，损伤后的总体刚度矩阵和总体质量矩阵由扩阶的损伤后单元刚度、质量矩阵组装得到如下：

将质量分布看作是不变的，考虑结构刚度的变化。于是，损伤前后结构总体刚度矩阵的变化为：

如果将损坏前、后的对应部分的刚度性质通过系数θ_i联系为：

K_i ^d＝θ_iK_i(0≤θ_i≤1,i＝1,L,m) (5)

其中，θ_i(i＝1,L,m)称为刚度参数。

则有：

记：

a_i＝1-θ_i∈[0,1] (7)

则a_i的物理意义是清楚的：a_i越大，损伤程度越大，并且有：

由式(8)，a_i(i＝1,L,m)可以完成损伤的定位和程度判定，故将其作为损伤识别特征指标。

(2)对于前述m单元、n自由度的系统，有m个单元刚度参数θ_i(i＝1,L,m)。

有限元框架下，第i个单元在第k阶模态下的单元模态应变能的一阶灵敏度公式为：

其中，K,M分别为结构总体刚度矩阵和总体质量矩阵，K_i表示第i个单元刚度矩阵，λ_i,λ_k分别表示结构第i,k阶特征值，分别表示结构第i,k阶特征向量，表示的转置，MSE_ik为结构第i个单元在第k阶模态下的单元模态应变能，分别表示MSE_ik,K,K_i关于参数θ的偏导数。

设损伤前后第i个单元在第k阶模态下的单元模态应变能MSE_ik的改变量为：

ΔMSE_ik＝MSE_ik-MSE_ik ^d (9)

其中，MSE_ik ^d为损伤后的单元模态应变能。

一方面，将ΔMSE_ik在未损伤状态进行1阶Taylor展开，并略去高阶项，有：

将单元模态应变能的灵敏度公式代入式(10)，有：

又考虑到：

将上式代入式(11)，得到基于一阶Taylor展开式的单元模态应变能增量如下：

其中，

另一方面，由单元模态应变能的定义可知，损伤前后单元模态应变能的变化为：

其中，为实测得的损伤后的单元模态应变能。

由于K_i ^d难以获得，将式(5)和(7)代入(14)有：

综合式(13)和式(15)，认为两式在数值上相等，可得：

合并系数，得：

进一步整理上式，可以得到基于单元模态应变能一阶灵敏度的结构确定性的损伤识别方程：

Sa＝R (18)

其中，S,a,R分别表示损伤识别方程的方程系数矩阵、单元损伤指标向量、方程系数列向量。损伤方程中的S,R由下式确定：

其中，S_it表示矩阵S第i行、t列的元素，表示与S_it对应的量(下标一致)，K_t表示结构第t个单元的单元刚度矩阵，K_i,M_i分别为结构的第i个单元刚度矩阵和单元质量矩阵，为实测得的损伤后的k阶振型，向量a＝{a_i}是用于损伤定位和表征损伤程度的单元损伤指标，研究表明一阶振型可以较好的用于本损伤识别方法，故取k＝1；

(3)对系数矩阵S进行奇异值分解

由于较小的奇异值将会使病态方程的解误差严重放大，故给定截断项，通过截断奇异值方法求解得到确定性条件下的单元损伤指标：

其中，h表示所取奇异值项数，通过正则化参数求解的L-curve方法确定；

(4)考虑模型弹性模量和密度的不确定性，将初始有限元模型的弹性模量和密度视为区间数，并合写为不确定向量h：

h＝[E,ρ]^T

其中，

符号E,ρ分别表示弹性模量和密度，E,分别表示弹性模量的下、上界，ρ,分别表示密度的下、上界；

记区间变量的“中值”和“半径”分别为：

那么，不确定参数E,ρ可以表示为：

其中，e∈Π，Π表示所有元素值包含在[-1,1]内的向量集合。定义向量运算“×”表示两向量对应元素相乘，乘积仍为一个向量。

因此，不确定向量h可以表示为：

(5)由于初始有限元模型含区间变量h，矩阵S,R均为的区间变量h的函数，基于结构确定性的损伤识别方程，建立了不确定性损伤识别方程：

S(h)a(h)＝R(h) (25)

对于2维不确定变量h＝h₀+e×Δh，设向量e中的第s(s＝1,2)个元素为变量，记为x，有x∈[-1,1]，而向量e中的其它元素为0，并记：

X^s＝[0,L,x,L,0]^T (26)

其中，x位于向量h中的第s个位置。则有：

h^s＝h₀+X^s×Δh (27)

式中，除了X^s,h^s的第s个元素为x，其余元素为常值。上角标s表示对第s(s＝1,2)个不确定性变量进行分析。

为寻找损伤指标向量a(h)在集合Π内的近似界值，首先寻找a(h^s)在区间[-1,1]上的r阶最佳平方逼近多项式再根据关于x的导函数在闭区间[-1,1]上寻找最大值点和最小值点分别对2个不确定性变量求出最值点，可据此得到指标向量a(h)区间界值的近似估计。

下面在不致产生混淆的情况下，将省略上角标s。引入第一类Chebyshev多项式：

T_n(x)＝cos(narccosx),-1≤x≤1 (28)

其中n为非负整数，设求积节点为x_k,k＝1,2,L,q，记a^k＝a(h₀+X^k×Δh)，则a的逼近多项式为：

记：

并记：

则a的逼近多项式可以写为：

利用式(32)的导函数可求出逼近函数的极值点集G＝{G₁,L,G_n}^T，将G带入(32)，联合P_r(-1),P_r(1)，根据连续函数在闭区间上的最值定理，可得到估计值a函数的下界和上界，分别为：

其中，分别表示P_r(x)的最小、最大值，和分别代表只有第s个不确定性变量变化时逼近(近似)函数的最小值点向量和最大值点向量。

重复上面过程，使得s取1和2，这样可得到2个最小值点向量和最大值点向量，分别记为：

进而有：

这里h_min,h_max均为2×m阶的矩阵，每一行代表2个不确定变量的一个组合，对于维数为m的函数a(h)，共有m组不确定变量的组合。这样可以通过计算下式得到a(h)的界值向量：

由此完成了单元损伤指标的估计。

本发明中的连续体结构包括梁、板壳结构等，离散体结构包括桁架结构、杆系结构等。是一种专业文献中的术语，但未见严格定义。

实施例：

为了更充分地了解该发明的特点及其对工程实际的适用性，本发明针对如图2所示的简支梁进行单元损伤指标计算，其计算流程如图1所示。图2表示一根横截面积恒定的简支梁，且视其为欧拉-伯努利梁，其具体物理参数为：长度为6米，密度为2500kg/m³，横截面积为0.005m²，惯性矩为1.67e-4m⁴，弹性模量为3.2e10Pa。图2中的简支梁被划分为10个有限单元，各单元的编号如图2中的数字所示。

对于这一简支梁(连续体结构)，采用有限单元法，建立计算模型：将简支梁均匀地分为十个单元，单元、节点、自由度数分别为10、11、20。考虑简支梁有限元模型弹性模型和密度的不确定性，分别取2％的不确定度，即有E∈[3.136,3.264]e10Pa,ρ∈[2.45,2.55]e3kg/m³。并设定损伤工况如表1所示：

表1简支梁损伤工况

通过本发明提出的不确定性损伤识别方法，按照如图1所示的流程进行计算。

步骤一：对简支梁进行有限元分析，划分为10个单元，并求解特征矩阵(质量矩阵和刚度矩阵)，进行单元模态应变能灵敏度分析。

步骤二：建立确定性的损伤识别方程。

步骤三：利用截断奇异值分解算法求解确定性损伤识别方程，得到确定性条件下，工况T1、T2的单元损伤指标如表2所示。

表2两种工况下各单元损伤指标值

步骤四：考虑有限元模型的弹性模量和密度的不确定性，将弹性模量和密度取为区间数，即有E∈[3.136,3.264]e10Pa,ρ∈[2.45,2.55]e3kg/m³。

步骤五：将步骤四中的区间数代入结构确定性的损伤识别方程，建立了不确定性损伤识别方程，利用求解损伤方程，得到T1、T2工况下的单元损伤指标结果如表3所示。

表3两种工况下各单元损伤指标界值

可以看到，对于单损伤和多损伤情形，本发明均可较好地识别出损伤位置和损伤程度，具有实际应用的价值。

总之，本发明考虑结构模型参数的有界不确定性，基于确定性结构损伤识别方程，利用区间分析思想构建不确定性损伤识别方程，并采用配点法求得不确定性损伤识别方程中损伤指标的上下界。结构单元损伤指标可以为结构在不确定性参数作用下的损伤定位和定量提供理论方法。

以上仅是本发明的具体步骤，对本发明的保护范围不构成任何限制；其可扩展应用于不确定性结构损伤识别领域，凡采用等同变换或者等效替换而形成的技术方案，均落在本发明权利保护范围之内。

本发明未详细阐述部分属于本领域技术人员的公知技术。

Claims (4)

1.一种基于单元模态应变能灵敏度的结构区间不确定性损伤识别方法，其特征在于，包括以下步骤：

步骤一：将连续或离散体结构在有限元框架下划分为一个m单元、n自由度的有限元模型，有限元模型包含弹性模量、密度的模型参数，再通过有限元分析得到所述连续或离散体结构的动力特征方程如下：

以及单元模态应变能的一阶灵敏度公式如下：

其中，K,M分别为结构总体刚度矩阵和总体质量矩阵，K_i表示第i个单元刚度矩阵，λ_i,λ_k分别表示结构第i,k阶特征值，分别表示结构第i,k阶特征向量，表示的转置，MSE_ik为结构第i个单元在第k阶模态下的单元模态应变能，分别表示MSE_ik,K,K_i关于参数θ的偏导数；

步骤二：基于单元模态应变能一阶灵敏度，构建结构确定性的损伤识别方程；

Sa＝R

其中，S,a,R分别表示损伤识别方程的系数矩阵、单元损伤指标向量、方程系数列向量，损伤方程中的S,R由下式确定：

其中，S_it表示S的第i行、t列的元素，表示与S_it对应的量下标一致，K_t表示结构第t个单元的单元刚度矩阵，K_i,M_i分别为结构的第i个单元刚度矩阵和单元质量矩阵，为实测得的损伤后的k阶振型，向量a＝{a_i}是用于损伤定位和表征损伤程度的单元损伤指标；

步骤三：对由步骤二得到的系数矩阵S进行奇异值分解，通过截断奇异值分解方法求解得到确定性条件下的单元损伤指标向量如下：

其中，h表示所取奇异值项数；

步骤四：针对得到的损伤识别方程中的模型参数，考虑模型弹性模量和密度的不确定性，将有限元模型的弹性模量和密度视为区间数，并合写为不确定向量X：

X＝[E,ρ]^T

其中，

符号E,ρ分别表示弹性模量和密度，E,分别表示弹性模量的下、上界，ρ,分别表示密度的下、上界；

步骤五：将步骤四中的区间数代入结构确定性的损伤识别方程，建立不确定性损伤识别方程S(X)a(X)＝R(X)，利用配点法将不确定性变量在变化区间内进行配点，求解得到单元损伤指标的上下界：

即

其中，a^I表示得到的单元损伤指标的区间界值，用于损伤情况的判断，a,分别表示单元损伤指标a的下界和上界，即最终求解得到单元损伤指标的上下界。

2.根据权利要求1所述的一种基于单元模态应变能灵敏度的结构区间不确定性损伤识别方法，其特征在于：所述步骤一中单元模态应变能的一阶灵敏度公式是通过矩阵运算，即直接代数法得到。

3.根据权利要求1所述的一种基于单元模态应变能灵敏度的结构区间不确定性损伤识别方法，其特征在于：所述步骤三中通过截断奇异值方法求解病态损伤方程，截断项数h通过正则化参数的L-curve法确定的。

4.根据权利要求1所述的一种基于单元模态应变能灵敏度的结构区间不确定性损伤识别方法，其特征在于：所述步骤五建立不确定性损伤识别方程，利用配点法将不确定性变量在变化区间内进行配点，并通过正交函数系逼近结构有限元模型系统，进而通过对逼近，即近似函数求导得到不确定变量的极值点，最终求解得到单元损伤指标的上下界。