CN114186435A - 一种基于Volterra级数和极点-留数操作的非线性动力响应预测方法 - Google Patents

一种基于Volterra级数和极点-留数操作的非线性动力响应预测方法 Download PDF

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Abstract

本发明属于土木工程和海洋工程领域，一种基于Volterra级数和极点‑留数操作的非线性结构动力响应预测方法，利用输入和输出响应信号识别非线性结构的多阶核函数，采用正交拉盖尔多项式对其时间解耦并重构，采用极点‑留数方法求得了非线性响应的解析表达式。本方法针对任意不规则载荷作用下的弱非线性结构，具有普适性，有效实现了未知结构特性的结构多阶核函数的估计，并在保持精度的基础上，采用极点‑留数方法提升了非线性动力响应的计算效率，实现了结构响应的实时精准预报，为其它类型结构的非线性动力响应分析提供参考和指导意见。此外，从非线性响应解析表达式中可以分离出结构瞬态响应和激励引起的稳态响应，且清晰地看到和频响应和差频响应。

Description

一种基于Volterra级数和极点-留数操作的非线性动力响应 预测方法
技术领域
本发明涉及土木工程领域和海洋工程领域，具体涉及一种基于Volterra级数和极点-留数操作的非线性结构动力响应预测方法。
背景技术
我国正努力实现从海洋大国到海洋强国的历史性转变。作为开发利用海洋的重要工程设施，海洋结构物在建设海洋强国中发挥着重要的作用。然而，深海环境复杂恶劣，海洋结构物需面临强风、大浪等非线性载荷的强烈作用。此时，水面结构物和其系泊系统之间的耦合作用显著，系泊结构物系统将呈现复杂的非线性运动状态，其间的力学机理和响应特性较为复杂。若对其认识不清，会在结构的设计、运行和维护过程中造成安全隐患，导致结构倾覆、破坏等灾难性事件发生。结构物的安全设计、运行和维护成为人类一直关注的焦点问题。为降低海洋结构的风险，保障其可靠性和安全性，有必要深入探究结构物的非线性动力响应特性，发展稳定高效的非线性动力响应预测方法。现有海洋结构的非线性动力响应预测方法主要为时域分析方法。该方法需构建系泊结构的整体耦合运动方程，采用数值方法离散求解。时域分析方法可以很好地处理瞬态响应问题，以及系统或/和激励中存在的非线性问题。但其计算过程繁杂，单个时间步内需多次迭代计算，数值稳定性差，不能在已知环境载荷时，实时快速预报结构响应，并发出预警，从而降低结构及其工作人员的风险。本发明旨在有效解决这一技术难题，发展稳定高效的结构非线性动力响应预测方法。同时，本发明提出的方法可以适用于土木工程、机械工程等领域中非线性结构动力响应的高效预测。
发明内容
本发明目的在于建立一种基于Volterra级数和极点-留数操作的非线性结构动力响应预测方法。该方法存在两个显著优点，一是无需提前知晓系泊结构的运动方程，以解决实际工程中结构运动方程往往未知的情况；二是无需计算作用在结构上的非线性波浪力/风力，通过直接建立波面/风速和结构响应之间的非线性关系，即可高效预报海洋结构的非线性动力响应，从而大大减小海洋工程结构和工作人员的风险，提高作业的安全性和可靠性。从数据分析的角度出发，利用输入和输出响应信号识别非线性海洋结构的多阶核函数即广义脉冲响应函数，建立了由多阶核函数构建的非线性结构的系统动力模型。高阶核函数存在时间耦合，为进行核函数解耦，采用正交拉盖尔多项式对核函数进行重构，从而构建时间结构的高阶核函数。当响应表达式中时间项被解耦，采用极点-留数方法求得了非线性响应的解析表达式。
为了达到上述目的，本发明采用的技术方案为：
一种基于Volterra级数和极点-留数操作的非线性结构响应预测方法，包括步骤如下：
第一步，获取结构的输入-输出信号；
确定所研究结构的输入激励类型、输出结构响应类型以及各自的自由度，使用合适的仪器进行测量和记录结构的输入激励信号f(t)和结构响应信号y(t)；保障同步测量输入激励信号f(t)和结构响应信号y(t)，且引起结构响应的源头唯一；若所研究激励类型为波浪，观测对象为结构纵荡位移，则采用波高仪或遥感系统对波面时程进行记录，同时采用位移计或加速度计等响应测量系统对结构纵荡响应信号进行测量记录。如果测量仪器是加速度计，需将仪器所测加速度进行二次积分或滤波，获得结构位移信号。
第二步，核函数识别；
S2.1建立系泊结构基于Volterra级数的非线性结构响应积分表达式为：
Figure BDA0003420032840000031
其中，hn(τ1,…,τn)为第n阶核函数，N为Volterra级数的阶次；根据结构动力响应的非线性程度选择Volterra级数的阶次N，核函数记忆长度的选取随结构自身阻尼变大相应变短；
S2.2利用输入激励信号f(t)和结构响应信号y(t)构建方程组，利用最小二乘法识别出各阶核函数hn(τ1,…,τn)，此时核函数为离散时间耦合函数；
第三步，采用拉盖尔多项式解耦核函数；
S3.1选取具有正交特性的拉盖尔多项式
Figure BDA0003420032840000032
Figure BDA0003420032840000033
其中，pi表示第pi阶拉盖尔多项式，ai是对应的衰减率参数；
S3.2利用
Figure BDA0003420032840000034
解耦S2.2中的核函数hn(t1,…,tn)，即
Figure BDA0003420032840000035
其中核函数和拉盖尔多项式为已知量，系数
Figure BDA0003420032840000036
为待求量；根据拉盖尔多项式的正交特性，系数
Figure BDA0003420032840000037
通过以下公式求得：
Figure BDA0003420032840000038
将求得的系数代回核函数表达式，核函数变为时间项解耦的函数；
第四步，重组结构非线性响应解析表达式；
将采用拉盖尔多项式解耦的核函数hn(t1,…,tn)代入S2.1中基于Volterra级数的非线性结构响应积分表达式，并按照时间进行分离，得到包含多个独立时间积分乘积的表达式：
Figure BDA0003420032840000039
其中独立时间积分项为：
Figure BDA0003420032840000041
每个独立时间积分形式相同，均为拉盖尔多项式和激励的卷积；
第五步，计算独立时间积分项xi(t)的解析解；
S5.1对xi(t)执行拉普拉斯变换得到
Figure BDA0003420032840000042
S5.2对拉盖尔多项式进行拉普拉斯变换，得到极点-留数形式的
Figure BDA0003420032840000043
其中，
Figure BDA0003420032840000044
为包含pi和ai的函数；s为拉普拉斯变量；
S5.3选取复指数信号分解方法-Prony-SS将探测到的输入激励信号f(t)重构出极点-留数形式
Figure BDA0003420032840000045
具体步骤为：采用激励时程信号f(t)构建Hankel 矩阵；采用奇异值分解方法和正交奇异值图确定Hankel矩阵截断奇异值的阶数；进行截断奇异值分解，得到激励时程信号的奇异值矩阵、左奇异矩阵和右奇异矩阵，利用上述三个矩阵构建状态矩阵；将状态矩阵进行特征值分解处理，求得激励时程信号的极点λj和留数αj；将激励时程信号在时域及拉普拉斯域分别表示成极点-留数形式
Figure BDA0003420032840000046
和
Figure BDA0003420032840000047
S5.4将极点-留数形式的拉盖尔多项式
Figure BDA0003420032840000048
和激励时程信号在拉普拉斯域的极点-留数形式f(s)代入到S5.1的xi(s)中，并将其展开成部分分式形式即极点- 留数形式
Figure BDA0003420032840000049
其中结构响应的极点包含激励的极点-ai和结构的极点λj；利用极限定理，确定对应每个极点的留数
Figure BDA00034200328400000410
和
Figure BDA00034200328400000411
S5.5对xi(s)执行拉普拉斯逆变换得到极点-留数形式的
Figure BDA00034200328400000412
第六步，计算非线性结构响应y(t)的解析解；
将极点-留数形式的xi(t)代入基于Volterra级数的响应表达式，得其近似的显式解析表达式：
Figure BDA0003420032840000051
该响应表达式分离成三部分，即结构极点控制的结构固有响应、激励极点控制的结构稳态响应以及二者共同控制的交互响应；
第七步，预测结构响应：
按照S5.3将目标环境激励写成极点-留数形式，并将其代入第六步的结构响应解析表达式，预测该环境激励下结构的非线性响应。
所述S2.1中结构为海洋工程结构时，选取前两阶核函数即可很好地表征结构的输入输出关系。核函数的记忆长度由结构本身特性决定，如果结构自身阻尼较大，选取较短的核函数记忆长度；如果结构自身阻尼较小，选取较长的记忆长度。
本发明的有益效果是：实际结构，特别是海洋浮式结构，包含多种非线性因素，其真实的结构特性往往未知。针对任意载荷作用下的非线性结构，建立了具有普适性的基于Volterra级数和极点-留数操作的非线性动力响应计算方法，有效实现了未知结构特性的结构的多阶核函数的估计，并在保持精度的基础上，大幅度提升了非线性动力响应的计算效率，实现了结构响应的实时精准预报，为其它类型结构的非线性动力响应分析提供参考和指导意见。此外，从非线性响应解析表达式中可以分离出系统固有响应和激励引起的稳态响应，且可以清晰地看到和频响应和差频响应。
附图说明
图1为本发明设计方法流程图。
图2为用于识别核函数的输入-输出信号：(a)激励；(b)位移。
图3为一阶核函数。
图4为二阶核函数。
图5为一阶拉盖尔多项式系数
Figure BDA0003420032840000061
图6为二阶拉盖尔多项式系数
Figure BDA0003420032840000062
图7为待预测输入信号。
图8为预测的响应信号。
图9为一阶瞬态响应和稳态响应。
图10为二阶瞬态响应、稳态响应和交互响应。
具体实施方式
以下结合具体实施案例和附图对本发明做进一步说明。
为验证提出方法的有效性，本发明以已知运动方程的非线性结构为例进行说明，利用精确的非线性结构响应验证提出方法的精确性。图1为本发明的预测方法流程图，具体步骤如下：
第一步，获取结构的输入-输出信号；
1.1)给出已知的系泊浮式平台的运动方程
Figure BDA0003420032840000063
其中归一化的系统质量m＝1，阻尼c＝1N·s/m/kg，线性刚度k1＝10N/m/kg，二次非线性刚度k2＝20N/m2/kg，三次非线性刚度k3＝20N/m3/kg。需注意，此处采用的是质量归一化方法，因此上述m为无量纲的1。
1.2)选取白噪声谱S0＝0.001N2·s/rad，采用谐波叠加法产生输入白噪声信号 f1(t)(见附图2(a))。
1.3)利用传统数值积分方法——四阶龙格库塔，计算1.2)中输入信号作用下平台位移响应x1(t)(见附图2(b))。
第二步，核函数识别；
2.1)选择核函数的阶数N＝2，选取各阶核函数记忆长度20s。
2.2)利用1.2)中的f1(t)和1.3)中的x1(t)构建方程组，为使矩阵有唯一解，矩阵行的数量要大于列的数量，此处选择矩阵行数为2000。采用最小二乘法识别出一阶核函数(见附图3)和二阶核函数(见附图4)。
第三步，采用拉盖尔多项式解耦核函数；
选取拉盖尔多项式的阶数R1＝R2＝24，衰减率参数a1＝a2＝2，基于拉盖尔多项式，并根据拉盖尔多项式的正交性，求得一阶拉盖尔多项式的系数
Figure BDA0003420032840000071
(见附图5)和二阶多项式系数
Figure BDA0003420032840000072
(见附图6)。此时，二阶核函数变成时间解耦函数。
第四步，计算独立时间积分项xi(t)的解析解并预测非线性响应时程；
4.1)对拉盖尔多项式进行拉普拉斯变换，得到前25阶拉盖尔多项式的极点和广义留数，其中这25个极点均为-2。
4.2)选择将要预测的输入信号f2(t)＝0.3cos(Ωnt+θn)(见附图7)，其中Ωn是间隔为1rad/s，范围为0rad/s～40rad/s的频率成分，相位角θn为0到2π之间的随机数。采用复指数信号分解方法Prony-SS将输入信号构建Hankel矩阵，进行奇异值分解，选取秩为82。求得输入信号的82个极点和对应的留数。
4.3)根据拉盖尔多项式的极点和留数，待预测输入信号的极点和留数，可得到响应的极点；利用极限定理，确定对应每个极点的留数
Figure BDA0003420032840000073
和
Figure BDA0003420032840000074
4.4)根据S5.5中xi(t)的公式，即可求得xi(t)的解析解。
4.5)将xi(t)的结果代入y(t)的公式，即可求得预测的非线性响应(见附图8)，该图中还绘制了作为验证的真实解，验证了提出方法计算的前两阶响应可以很好地预测响应。但真实工程中，响应真实解未知，提出方法可以很好预测响应。
4.6)此外，该方法计算过程中可以分离出一阶瞬态响应和稳态响应(见附图9)，二阶瞬态响应、稳态响应和交互响应(见附图10)，可以用于研究结构特性。
以上所述实施例仅表达本发明的实施方式，但并不能因此而理解为对本发明专利的范围的限制，应当指出，对于本领域的技术人员来说，在不脱离本发明构思的前提下，还可以做出若干变形和改进，这些均属于本发明的保护范围。

Claims (2)

1.一种基于Volterra级数和极点-留数操作的非线性结构响应预测方法，其特征在于，包括步骤如下：
第一步，获取结构的输入-输出信号；
确定所研究结构的输入激励类型、输出结构响应类型以及各自的自由度，进行测量和记录结构的输入激励信号f(t)和结构响应信号y(t)；保障同步测量输入激励信号f(t)和结构响应信号y(t)，且引起结构响应的源头唯一；
第二步，核函数识别；
S2.1建立结构基于Volterra级数的非线性结构响应积分表达式为：
Figure FDA0003420032830000011
其中，hn(τ1,…,τn)为第n阶核函数，N为Volterra级数的阶次；根据结构动力响应的非线性程度选择Volterra级数的阶次N，核函数记忆长度的选取随结构自身阻尼变大相应变短；
S2.2利用输入激励信号f(t)和结构响应信号y(t)构建方程组，利用最小二乘法识别出各阶核函数hn(τ1,…,τn)，此时核函数为离散时间耦合函数；
第三步，采用拉盖尔多项式解耦核函数；
S3.1选取具有正交特性的拉盖尔多项式
Figure FDA0003420032830000012
Figure FDA0003420032830000013
其中，pi表示第pi阶拉盖尔多项式，ai是对应的衰减率参数；
S3.2利用
Figure FDA0003420032830000014
解耦S2.2中的核函数hn(t1,…,tn)，即
Figure FDA0003420032830000015
其中核函数和拉盖尔多项式为已知量，系数
Figure FDA0003420032830000016
为待求量；根据拉盖尔多项式的正交特性，系数
Figure FDA0003420032830000017
通过以下公式求得：
Figure FDA0003420032830000021
将求得的系数代回核函数表达式，核函数变为时间项解耦的函数；
第四步，重组结构非线性响应解析表达式；
将采用拉盖尔多项式解耦的核函数hn(t1,…,tn)代入S2.1中基于Volterra级数的非线性结构响应积分表达式，并按照时间进行分离，得到包含多个独立时间积分乘积的表达式：
Figure FDA0003420032830000022
其中独立时间积分项为：
Figure FDA0003420032830000023
每个独立时间积分形式相同，均为拉盖尔多项式和激励的卷积；
第五步，计算独立时间积分项xi(t)的解析解；
S5.1对xi(t)执行拉普拉斯变换得到
Figure FDA0003420032830000024
S5.2对拉盖尔多项式进行拉普拉斯变换，得到极点-留数形式的
Figure FDA0003420032830000025
其中，
Figure FDA0003420032830000026
为包含pi和ai的函数；s为拉普拉斯变量；
S5.3选取复指数信号分解方法-Prony-SS将探测到的输入激励信号f(t)重构出极点-留数形式
Figure FDA0003420032830000027
具体步骤为：采用激励时程信号f(t)构建Hankel矩阵；采用奇异值分解方法和正交奇异值图确定Hankel矩阵截断奇异值的阶数；进行截断奇异值分解，得到激励时程信号的奇异值矩阵、左奇异矩阵和右奇异矩阵，利用上述三个矩阵构建状态矩阵；将状态矩阵进行特征值分解处理，求得激励时程信号的极点λj和留数αj；将激励时程信号在时域及拉普拉斯域分别表示成极点-留数形式
Figure FDA0003420032830000028
和
Figure FDA0003420032830000029
S5.4将极点-留数形式的拉盖尔多项式
Figure FDA00034200328300000210
和激励时程信号在拉普拉斯域的极点-留数形式f(s)代入到S5.1的xi(s)中，并将其展开成部分分式形式即极点-留数形式
Figure FDA0003420032830000031
其中结构响应的极点包含激励的极点-ai和结构的极点λj；利用极限定理，确定对应每个极点的留数
Figure FDA0003420032830000032
和
Figure FDA0003420032830000033
S5.5对xi(s)执行拉普拉斯逆变换得到极点-留数形式的
Figure FDA0003420032830000034
第六步，计算非线性结构响应y(t)的解析解；
将极点-留数形式的xi(t)代入基于Volterra级数的响应表达式，得其显式解析表达式：
Figure FDA0003420032830000035
该响应表达式分离成三部分，即结构极点控制的结构固有响应、激励极点控制的结构稳态响应以及二者共同控制的交互响应；
第七步，预测结构响应：
按照S5.3将目标环境激励写成极点-留数形式，并将其代入第六步的结构响应解析表达式，预测该环境激励下结构的非线性响应。
2.根据权利要求1所述的基于Volterra级数和极点-留数操作的结构非线性结构响应预测方法，其特征在于，所述S2.1中结构为海洋系泊浮式结构时，选取前两阶核函数。
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