CN107150260A - 一种直角切削颤振解析建模方法 - Google Patents

一种直角切削颤振解析建模方法 Download PDF

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Abstract

本发明涉及一种直角切削颤振解析建模方法，包括以下步骤：步骤1，建立直角切削颤振的动力学模型；步骤2，计算动态切削力和切削力系数；步骤3，计算直角切削过程的稳定性SLD图，本发明将动态切削过程看作是在每一时刻的准静态切削过程，将工件材料特性、刀具几何、切削参数作为输入参数，其中动态切削力可通过等效变换的切削参数计算，进而理论推导出动态切削力系数的表达式，通过代数方程整理，得出动态切削力系数，避免了实验标定的繁琐性，并提高了准确度，另外，机床系统切削颤振的动态模型可以用时滞微分方程表达，通过进行切削稳定性分析，由时域半离散法获得直角切削颤振稳定性SLD图，提供一个比较真实的颤振稳定性预测。

Description

一种直角切削颤振解析建模方法
技术领域
本发明涉及金属材料切削加工技术领域，尤其涉及一种直角切削颤振解析建模方法。
背景技术
切削颤振是由于切削力的变化以及加工系统的柔性而产生的切屑再生现象，属于自激振动的一种形式。当不加以控制时，其会对加工工件表面质量，材料去除率，表面尺寸精度，以及刀具与机床的寿命产生破坏性影响。因此，建立有效的颤振模型是预测与避免切削颤振发生的有效措施。
迄今为止，已经形成了很多加工颤振模型，其采用的方法主要有三种：解析法、数值法及实验法，其中切削力系数通常是通过实验方法确定的常数。很明显，对于给定范围的切削参数，获得可靠的实验数据是非常耗时的。此外，切削力系数在实际切削过程中是变化的，经验常数的假设将产生不准确的结果。除此之外，这些模型在缺乏切削参数(工件材料特性、刀具几何)对切削颤振影响的直观描述，且仍依赖于经验或实验的方法。
针对现有技术方案提出的建模方法的技术问题，本发明提出了一种直角切削颤振的解析建模方法，该方法从金属切削的机理入手，将工件材料特性、刀具几何及切削参数作为输入参数，通过对切削参数的等效变换将动态切削过程看作是在每一时刻的准静态切削过程，动态切削力系数可通过等效变换来解析标定，避免了实验标定的繁琐性。
发明内容
针对上述现有技术的现状，本发明所要解决的技术问题在于提供一种直角切削颤振解析建模方法，该方法可以克服切削力系数由实验标定的准确度太低太繁琐的问题，避免了实验标定的繁琐性，提高了切削力系数的准确度，提供一个比较真实的切削颤振稳定性的预测。
本发明解决上述技术问题所采用的技术方案为：一种直角切削颤振解析建模方法，包括以下步骤：
步骤1，建立直角切削颤振的动态模型
确定刀具几何参数：前角α，单位为deg，后角γ，单位为deg；选定切削参数，切削速度V，单位为m/min，进给量ft，单位为mm/r、切削宽度b，单位为mm；在金属切削过程中，切削厚度的变化会导致切削力的波动，切削力和切削厚度是按照特定的周期发生变化的，并形成一个闭环反馈系统，通过公式(1)计算出动态切削厚度h(t)；
h(t)＝h0-[y(t)-y(t-T)] (1)
其中，h0为名义切削厚度，单位为mm，数值上等于刀具的进给量ft；y(t) 和y(t-T)分别表示y方向的当前和前一周期的振动幅值，单位为mm，也称为内调制和外调制，[y(t)-y(t-T)]表示在t时刻由于刀具振动产生的切削厚度差， T为当前时刻与前一时刻的延迟，即主轴旋转周期；
在工件被认为是刚性的而刀具是柔性的情况下，机床系统切削颤振的动态模型为在进给方向的单自由度系统，进给方向即y方向，该系统的振动方程由公式(2)表示；
其中，m表示系统的等效质量，单位为kg，c表示系统的阻尼，单位为 Ns/m，k表示系统的等效刚度，单位为N/m，Fy(t)为在进给方向由动态切削厚度h(t)引起的动态切削力；
步骤2，计算动态切削力和切削力系数
动态切削力由公式(3)表示；
Fx(t)＝kx(t)bh(t),Fy(t)＝ky(t)bh(t) (3)
其中，kx(t),ky(t)分别表示x，y方向的动态切削力系数，表示为名义切削速度V与刀具振动速度的函数，分别由公式(4)和公式(5)表示；
其中，cxi，cyi，i＝0,1,2是名义切削速度V的函数，通过给定范围内的切削参数几何标定；
将切屑的形成过程看作一个准静态的过程，其切削波纹面的斜率ξ即为准静态方向与有效瞬时切削方向之间的方位角，准静态方向为x方向，有效瞬时切削方向为x′方向，斜率ξ由公式(6)表示；
其中，V为名义切削速度，单位为m/min，为y方向的刀具振动速度，单位为m/min，ξ的正负号与的一致；
然后，t时刻的有效前角α′，单位为deg，有效后角γ′，单位为deg,，有效切削厚度h′(t)，单位为mm，通过准静态切削和动态切削之间的变化关系得到，由公式(7)和公式(8)表示；
α′＝α-ξ，γ′＝γ+ξ (7)
其中，名义前角α和名义后角γ分别对应于准静态切削过程的前角和后角，单位为deg；
瞬时剪切角φ′、有效切削速度V′与有效切屑速度V′c分别由公式(9)和公式(10)计算；
其中，为动态摩擦角，单位为deg，该动态摩擦角由公式(11)计算：
其中，为名义摩擦系数，p为指数参数，V'c为有效切屑速度，单位为 m/min；
通过以上公式的换算，得到瞬时剪切角φ′的最终表达公式(12)；
其中，A1，A2为材料特性参数，无量纲单位，瞬时剪切角φ′依赖于名义切削速度V和刀具振动速度通过Newton-Raphson迭代算法求解；
有效平均流动剪切应力由切削材料的Johnson-Cook本构模型确定，有效剪切力Fs′，x，y方向的切削力分别由公式(13)和公式(14)计算；
在每一时刻的准静态，计算出切削波纹面的斜率ξ、有效前角α′、有效后角γ′和有效切削厚度h′(t)、有效切削速度V′、有效切屑速度V′c、瞬时剪切角φ′，进而通过代数方程整理，得出x、y方向的动态切削力系数kx(t),ky(t)；
步骤3，计算直角切削过程的稳定性SLD图
首先，结合公式(2)和公式(5)，并在平衡位置处引入微小振动量u(t)，得到机床系统切削颤振的动态模型整理后的表达公式(15)；
然后通过在公式(15)所示的平衡位置处引入微小振动量通过忽略公式(15)右端的非线性部分的影响，进行颤振的线性分析，得到公式(16)；
令整理得到公式(15)的状态空间方程公式(17)；
其中，
通过数值求解公式(17)，将时间周期T离散为n个等分小区间，即T＝nτ，在每一个区间[iτ,(i+1)τ](i＝0,...,n-1)的中间矩阵Φ通过使用连续的离散映射Di，构造公式(18)如下；
yn＝Φy0＝Dn-1Dn-2…D1D0y0 (18)
其中，Di为离散映射矩阵，yi为2(n+1)列向量；
然后根据Floquet理论，即具有周期系数的线性常微分方程，通过约化成为一个常系数的常微分方程，判别颤振系统的稳定性，当矩阵Φ的所有特征值的模量小于单位1，则系统是稳定的，否则是不稳定的，进而计算出切削速度与切削宽度的关系图，即为切削颤振系统的稳定性SLD图。
与现有技术相比，本发明的优点在于：本发明将动态切削过程看作是在每一时刻的准静态切削过程，将工件材料特性、刀具几何、切削参数作为输入参数，其中动态切削力可通过等效变换的切削参数计算，进而理论推导出动态切削力系数的表达式，通过代数方程整理，得出动态切削力系数，避免了实验标定的繁琐性，并提高了准确度，另外，机床系统切削颤振的动态模型可以用时滞微分方程表达，通过进行切削稳定性分析，由时域半离散法获得直角切削颤振稳定性SLD图，提供一个比较真实的颤振稳定性预测。
附图说明
图1是本发明实施例中直角切削颤振模型示意图；
图2是本发明实施例中直角切削颤振原理图；
图3是本发明实施例中等效参数变换图；
图4是本发明实施例中直角颤振SLD对比图。
具体实施方式
下面结合附图并通过实施例对本发明作进一步的详细说明，以下实施例是对本发明的解释而本发明并不局限于以下实施例。
如图1～3所示，一种直角切削颤振解析建模方法，包括以下步骤：
步骤1，建立直角切削颤振的动态模型
确定刀具几何参数，前角α，单位为deg，后角γ，单位为deg；选定切削参数，切削速度V，单位为m/min，进给量ft，单位为mm/r、切削宽度b，单位为mm；在金属切削过程中，切削厚度的变化会导致切削力的波动，切削力和切削厚度是按照特定的周期发生变化的，并形成一个闭环反馈系统，通过公式(1)计算出动态切削厚度h(t)；
h(t)＝h0-[y(t)-y(t-T)] (1)
其中，h0为名义切削厚度，单位为mm，数值上等于刀具的进给量ft；y(t) 和y(t-T)分别表示y方向的当前和前一周期的振动幅值，单位为mm，也称为内调制和外调制，[y(t)-y(t-T)]表示在t时刻由于刀具振动产生的切削厚度差， T为当前时刻与前一时刻的延迟，即主轴旋转周期；
在工件被认为是刚性的而刀具是柔性的情况下，机床系统切削颤振的动态模型为在进给方向的单自由度系统，进给方向即y方向，该系统的振动方程由公式(2)表示；
其中，m表示系统的等效质量，单位为kg，c表示系统的阻尼，单位为 Ns/m，k表示系统的等效刚度，单位为N/m，Fy(t)为在进给方向由动态切削厚度h(t)引起的动态切削力；
步骤2，计算动态切削力和切削力系数
动态切削力由公式(3)表示；
Fx(t)＝kx(t)bh(t),Fy(t)＝ky(t)bh(t) (3)
其中，kx(t),ky(t)分别表示x，y方向的动态切削力系数，表示为名义切削速度V与刀具振动速度的函数，分别由公式(4)和公式(5)表示；
其中，O表示高阶无穷小，cxi，cyi，i＝0,1,2是名义切削速度V的函数，通过给定范围内的切削参数几何标定；
将切屑的形成过程看作一个准静态的过程，其切削波纹面的斜率ξ即为准静态方向与有效瞬时切削方向之间的方位角，准静态方向为x方向，有效瞬时切削方向为x′方向，斜率ξ由公式(6)表示；
其中，V为名义切削速度，单位为m/min，为y方向的刀具振动速度，单位为m/min，ξ的正负号与的一致；
然后，t时刻的有效前角α′，单位为deg，有效后角γ′，单位为deg,，有效切削厚度h′(t)，单位为mm，通过准静态切削和动态切削之间的变化关系得到，由公式(7)和公式(8)表示；
α′＝α-ξ，γ′＝γ+ξ (7)
其中，名义前角α和名义后角γ分别对应于准静态切削过程的前角和后角，单位为deg；
瞬时剪切角φ′、有效切削速度V′与有效切屑速度V′c分别由公式(9)和公式(10)计算；
其中，为动态摩擦角，单位为deg，该动态摩擦角由公式(11)计算：
其中，为名义摩擦系数，p为指数参数，V'c为有效切屑速度，单位为 m/min；
通过以上公式的换算，得到瞬时剪切角φ′的最终表达公式(12)；
其中，A1，A2为材料特性参数，无量纲单位，瞬时剪切角φ′依赖于名义切削速度V和刀具振动速度通过Newton-Raphson迭代算法求解；
有效平均流动剪切应力由切削材料的Johnson-Cook本构模型确定，有效剪切力Fs′，x，y方向的切削力分别由公式(13)和公式(14)计算；
在每一时刻的准静态，计算出切削波纹面的斜率ξ、有效前角α′、有效后角γ′和有效切削厚度h′(t)、有效切削速度V′、有效切屑速度V′c、瞬时剪切角φ′，进而通过代数方程整理，得出x、y方向的动态切削力系数kx(t),ky(t)；
步骤3，计算直角切削过程的稳定性SLD图
首先，结合公式(2)和公式(5)，并在平衡位置处引入微小振动量u(t)，得到机床系统切削颤振的动态模型整理后的表达公式(15)；
然后通过在公式(15)所示的平衡位置处引入微小振动量通过忽略公式(15)右端的非线性部分的影响，进行颤振的线性分析，得到公式(16)；
令整理得到公式(15)的状态空间方程公式(17)；
其中，
通过数值求解公式(17)，将时间周期T离散为n个等分小区间，即T＝nτ，在每一个区间[iτ,(i+1)τ](i＝0,...,n-1)的中间矩阵Φ通过使用连续的离散映射Di，构造公式(18)如下；
yn＝Φy0＝Dn-1Dn-2…D1D0y0 (18)
其中，Di为离散映射矩阵，yi为2(n+1)列向量；
然后根据Floquet理论，即具有周期系数的线性常微分方程，通过约化成为一个常系数的常微分方程，判别颤振系统的稳定性，当矩阵Φ的所有特征值的模量小于单位1，则系统是稳定的，否则是不稳定的，进而计算出切削速度与切削宽度的关系图，即为切削颤振系统的稳定性SLD图。
下面结合一个具体实施例来更为清晰地解释本发明的解析建模过程。
工件材料的流动剪切应力由Johnson-Cook本构模型计算，直角切削过程中的机床系统切削颤振的动态模型为在进给方向的单自由度系统，另外，每一次切削过程都采用新刀片，本实施例选用的参数如表1所示：
表1解析模型所采用的参数
如图4所示，根据表1给出的同一参数数据，由提出的解析模型与传统颤振模型分别计算出颤振SLD图，可以看到，这两个模型计算的结果在高切削速度区具有很好的一致性，而在低切削速度区具有很大的偏差，然而，传统颤振模型在切削速度区与实验结果和有限元仿真结果不一致，而本发明提出的解析模型的这种低速高稳定性现象是由于动态切削力引入了部分过程阻尼，导致了颤振稳定性的增加，因此，本发明提出的解析模型很显然地反映这种低速稳定性现象，提供一个比较真实的颤振稳定性预测，能够精确地预测加工过程的稳定性，解决了传统颤振模型不能直观解释实际切削过程中的热力特性以及切削力系数由实验标定的准确度太低的问题。
显然，本领域的技术人员可以对本发明进行各种改动和变型而不脱离本发明的精神和范围，倘若本发明的这些修改和变型属于本发明权利要求及其等同技术的范围之内，则本发明包含这些改动和变型在内，本说明书中未作详细描述的内容属于本领域专业技术人员公知的现有技术。

Claims (1)

1.一种直角切削颤振解析建模方法，其特征在于，包括以下步骤：
步骤1，建立直角切削颤振的动态模型
确定刀具几何参数：前角α，单位为deg，后角γ，单位为deg；选定切削参数，切削速度V，单位为m/min，进给量ft，单位为mm/r、切削宽度b，单位为mm；在金属切削过程中，切削厚度的变化会导致切削力的波动，切削力和切削厚度是按照特定的周期发生变化的，并形成一个闭环反馈系统，通过公式(1)计算出动态切削厚度h(t)；
h(t)＝h0-[y(t)-y(t-T)] (1)
其中，h0为名义切削厚度，单位为mm，数值上等于刀具的进给量ft；y(t)和y(t-T)分别表示y方向的当前和前一周期的振动幅值，单位为mm，也称为内调制和外调制，[y(t)-y(t-T)]表示在t时刻由于刀具振动产生的切削厚度差，T为当前时刻与前一时刻的延迟，即主轴旋转周期；
在工件被认为是刚性的而刀具是柔性的情况下，机床系统切削颤振的动态模型为在进给方向的单自由度系统，进给方向即y方向，该系统的振动方程由公式(2)表示；
<mrow> <mi>m</mi> <mover> <mi>y</mi> <mo>&amp;CenterDot;&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mrow> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>+</mo> <mi>c</mi> <mover> <mi>y</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mrow> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>+</mo> <mi>k</mi> <mi>y</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <msub> <mi>F</mi> <mi>y</mi> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>2</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
其中，m表示系统的等效质量，单位为kg，c表示系统的阻尼，单位为Ns/m，k表示系统的等效刚度，单位为N/m，Fy(t)为在进给方向由动态切削厚度h(t)引起的动态切削力；
步骤2，计算动态切削力和切削力系数
动态切削力由公式(3)表示；
Fx(t)＝kx(t)bh(t),Fy(t)＝ky(t)bh(t) (3)
其中，kx(t),ky(t)分别表示x，y方向的动态切削力系数，表示为名义切削速度V与刀具振动速度的函数，分别由公式(4)和公式(5)表示；
<mrow> <msub> <mi>k</mi> <mi>x</mi> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <msub> <mi>c</mi> <mrow> <mi>x</mi> <mn>0</mn> </mrow> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mi>V</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>+</mo> <msub> <mi>c</mi> <mrow> <mi>x</mi> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mi>V</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mover> <mi>y</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mrow> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>+</mo> <msub> <mi>c</mi> <mrow> <mi>x</mi> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mi>V</mi> <mo>)</mo> </mrow> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <mover> <mi>y</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>)</mo> <mo>)</mo> </mrow> <mn>2</mn> </msup> <mo>+</mo> <mi>O</mi> <mrow> <mo>(</mo> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mover> <mi>y</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mrow> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mn>3</mn> </msup> <mo>)</mo> </mrow> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>4</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
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其中，cxi，cyi，i＝0,1,2是名义切削速度V的函数，通过给定范围内的切削参数几何标定；
将切屑的形成过程看作一个准静态的过程，其切削波纹面的斜率ξ即为准静态方向与有效瞬时切削方向之间的方位角，准静态方向为x方向，有效瞬时切削方向为x′方向，斜率ξ由公式(6)表示；
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其中，V为名义切削速度，单位为m/min，为y方向的刀具振动速度，单位为m/min，ξ的正负号与的一致；
然后，t时刻的有效前角α′，单位为deg，有效后角γ′，单位为deg,，有效切削厚度h′(t)，单位为mm，通过准静态切削和动态切削之间的变化关系得到，由公式(7)和公式(8)表示；
α′＝α-ξ，γ′＝γ+ξ (7)
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其中，名义前角α和名义后角γ分别对应于准静态切削过程的前角和后角，单位为deg；
瞬时剪切角φ′、有效切削速度V′与有效切屑速度Vc′分别由公式(9)和公式(10)计算；
<mrow> <msup> <mi>&amp;phi;</mi> <mo>&amp;prime;</mo> </msup> <mo>=</mo> <msub> <mi>A</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>A</mi> <mn>2</mn> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <msup> <mi>&amp;alpha;</mi> <mo>&amp;prime;</mo> </msup> <mo>-</mo> <msup> <mover> <mi>&amp;beta;</mi> <mo>&amp;OverBar;</mo> </mover> <mo>&amp;prime;</mo> </msup> <mo>)</mo> </mrow> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>9</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
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其中，为动态摩擦角，单位为deg，该动态摩擦角由公式(11)计算：
<mrow> <msup> <mover> <mi>&amp;beta;</mi> <mo>&amp;OverBar;</mo> </mover> <mo>&amp;prime;</mo> </msup> <mo>=</mo> <mi>arctan</mi> <msup> <mover> <mi>&amp;mu;</mi> <mo>&amp;OverBar;</mo> </mover> <mo>&amp;prime;</mo> </msup> <mo>=</mo> <mi>arctan</mi> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mover> <mi>&amp;mu;</mi> <mo>&amp;OverBar;</mo> </mover> <mn>0</mn> </msub> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <msubsup> <mi>V</mi> <mi>c</mi> <mo>&amp;prime;</mo> </msubsup> <mo>)</mo> </mrow> <mi>p</mi> </msup> <mo>)</mo> </mrow> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>11</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
其中，为名义摩擦系数，p为指数参数，Vc'为有效切屑速度，单位为m/min；
通过以上公式的换算，得到瞬时剪切角φ′的最终表达公式(12)；
<mrow> <msup> <mi>&amp;phi;</mi> <mo>&amp;prime;</mo> </msup> <mo>+</mo> <msub> <mi>A</mi> <mn>2</mn> </msub> <mi>arctan</mi> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mover> <mi>&amp;mu;</mi> <mo>&amp;OverBar;</mo> </mover> <mn>0</mn> </msub> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mi>V</mi> <mfrac> <mrow> <msup> <mi>sin&amp;phi;</mi> <mo>&amp;prime;</mo> </msup> </mrow> <mrow> <mi>c</mi> <mi>o</mi> <mi>s</mi> <mi>&amp;xi;</mi> <mi>c</mi> <mi>o</mi> <mi>s</mi> <mrow> <mo>(</mo> <msup> <mi>&amp;phi;</mi> <mo>&amp;prime;</mo> </msup> <mo>-</mo> <mi>&amp;alpha;</mi> <mo>+</mo> <mi>&amp;xi;</mi> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mi>p</mi> </msup> <mo>)</mo> </mrow> <mo>-</mo> <msub> <mi>A</mi> <mn>2</mn> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mi>&amp;alpha;</mi> <mo>-</mo> <mi>&amp;xi;</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>-</mo> <msub> <mi>A</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>=</mo> <mn>0</mn> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>12</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
其中，A1，A2为材料特性参数，无量纲单位，瞬时剪切角φ′依赖于名义切削速度V和刀具振动速度通过Newton-Raphson迭代算法求解；
有效平均流动剪切应力由切削材料的Johnson-Cook本构模型确定，有效剪切力Fs′，x，y方向的切削力分别由公式(13)和公式(14)计算；
<mrow> <msubsup> <mi>F</mi> <mi>s</mi> <mo>&amp;prime;</mo> </msubsup> <mo>=</mo> <msubsup> <mover> <mi>&amp;tau;</mi> <mo>&amp;OverBar;</mo> </mover> <mi>s</mi> <mo>&amp;prime;</mo> </msubsup> <msubsup> <mi>A</mi> <mi>s</mi> <mo>&amp;prime;</mo> </msubsup> <mo>=</mo> <msubsup> <mover> <mi>&amp;tau;</mi> <mo>&amp;OverBar;</mo> </mover> <mi>s</mi> <mo>&amp;prime;</mo> </msubsup> <mfrac> <mrow> <msup> <mi>bh</mi> <mo>&amp;prime;</mo> </msup> <mrow> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> <mrow> <msup> <mi>sin&amp;phi;</mi> <mo>&amp;prime;</mo> </msup> </mrow> </mfrac> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>13</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
<mrow> <mfenced open = "[" close = "]"> <mtable> <mtr> <mtd> <msub> <mi>F</mi> <mi>x</mi> </msub> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <msub> <mi>F</mi> <mi>y</mi> </msub> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> <mo>=</mo> <mfenced open = "[" close = "]"> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <mi>c</mi> <mi>o</mi> <mi>s</mi> <mi>&amp;xi;</mi> </mrow> </mtd> <mtd> <mrow> <mo>-</mo> <mi>s</mi> <mi>i</mi> <mi>n</mi> <mi>&amp;xi;</mi> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mi>s</mi> <mi>i</mi> <mi>n</mi> <mi>&amp;xi;</mi> </mrow> </mtd> <mtd> <mrow> <mi>cos</mi> <mi>&amp;xi;</mi> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> <mfenced open = "[" close = "]"> <mtable> <mtr> <mtd> <mfrac> <mrow> <msubsup> <mi>F</mi> <mi>s</mi> <mo>&amp;prime;</mo> </msubsup> <mi>c</mi> <mi>o</mi> <mi>s</mi> <mrow> <mo>(</mo> <msup> <mover> <mi>&amp;beta;</mi> <mo>&amp;OverBar;</mo> </mover> <mo>&amp;prime;</mo> </msup> <mo>-</mo> <msup> <mi>&amp;alpha;</mi> <mo>&amp;prime;</mo> </msup> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> <mrow> <mi>cos</mi> <mrow> <mo>(</mo> <msup> <mi>&amp;phi;</mi> <mo>&amp;prime;</mo> </msup> <mo>+</mo> <msup> <mover> <mi>&amp;beta;</mi> <mo>&amp;OverBar;</mo> </mover> <mo>&amp;prime;</mo> </msup> <mo>-</mo> <msup> <mi>&amp;alpha;</mi> <mo>&amp;prime;</mo> </msup> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mfrac> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mfrac> <mrow> <msubsup> <mi>F</mi> <mi>s</mi> <mo>&amp;prime;</mo> </msubsup> <mi>sin</mi> <mrow> <mo>(</mo> <msup> <mover> <mi>&amp;beta;</mi> <mo>&amp;OverBar;</mo> </mover> <mo>&amp;prime;</mo> </msup> <mo>-</mo> <msup> <mi>&amp;alpha;</mi> <mo>&amp;prime;</mo> </msup> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> <mrow> <mi>cos</mi> <mrow> <mo>(</mo> <msup> <mi>&amp;phi;</mi> <mo>&amp;prime;</mo> </msup> <mo>+</mo> <msup> <mover> <mi>&amp;beta;</mi> <mo>&amp;OverBar;</mo> </mover> <mo>&amp;prime;</mo> </msup> <mo>-</mo> <msup> <mi>&amp;alpha;</mi> <mo>&amp;prime;</mo> </msup> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mfrac> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>14</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
在每一时刻的准静态，计算出切削波纹面的斜率ξ、有效前角α′、有效后角γ′和有效切削厚度h′(t)、有效切削速度V′、有效切屑速度Vc′、瞬时剪切角φ′，进而通过代数方程整理，得出x、y方向的动态切削力系数kx(t),ky(t)；
步骤3，计算直角切削过程的稳定性SLD图
首先，结合公式(2)和公式(5)，并在平衡位置处引入微小振动量u(t)，得到机床系统切削颤振的动态模型整理后的表达公式(15)；
<mrow> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <mi>m</mi> <mover> <mi>u</mi> <mo>&amp;CenterDot;&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mrow> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>+</mo> <mo>{</mo> <mi>c</mi> <mo>-</mo> <msub> <mi>bh</mi> <mn>0</mn> </msub> <msub> <mi>c</mi> <mrow> <mi>y</mi> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mi>V</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>}</mo> <mover> <mi>u</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mrow> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>+</mo> <mo>{</mo> <mi>k</mi> <mo>+</mo> <msub> <mi>bc</mi> <mrow> <mi>y</mi> <mn>0</mn> </mrow> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mi>V</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>}</mo> <mi>u</mi> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>)</mo> <mo>-</mo> <msub> <mi>bc</mi> <mrow> <mi>y</mi> <mn>0</mn> </mrow> </msub> <mo>(</mo> <mi>V</mi> <mo>)</mo> <mi>u</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>-</mo> <mi>T</mi> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mo>=</mo> <msub> <mi>bh</mi> <mn>0</mn> </msub> <msub> <mi>c</mi> <mrow> <mi>y</mi> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mi>V</mi> <mo>)</mo> </mrow> <msup> <mover> <mi>u</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mn>2</mn> </msup> <mrow> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>+</mo> <mi>b</mi> <mrow> <mo>&amp;lsqb;</mo> <mrow> <msub> <mi>c</mi> <mrow> <mi>y</mi> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mi>V</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mover> <mi>u</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mrow> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>+</mo> <msub> <mi>c</mi> <mrow> <mi>y</mi> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mi>V</mi> <mo>)</mo> </mrow> <msup> <mover> <mi>u</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mn>2</mn> </msup> <mrow> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> <mo>&amp;rsqb;</mo> </mrow> <mrow> <mo>&amp;lsqb;</mo> <mrow> <mo>-</mo> <mi>u</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>+</mo> <mi>u</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mi>t</mi> <mo>-</mo> <mi>T</mi> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> <mo>&amp;rsqb;</mo> </mrow> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>15</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
然后通过在公式(15)所示的平衡位置处引入微小振动量通过忽略公式(15)右端的非线性部分的影响，进行颤振的线性分析，得到公式(16)；
<mrow> <mi>m</mi> <mover> <mi>u</mi> <mo>&amp;CenterDot;&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mrow> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>+</mo> <mo>{</mo> <mi>c</mi> <mo>-</mo> <msub> <mi>bh</mi> <mn>0</mn> </msub> <msub> <mi>c</mi> <mrow> <mi>y</mi> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mi>V</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>}</mo> <mover> <mi>u</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mrow> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>+</mo> <mo>{</mo> <mi>k</mi> <mo>+</mo> <msub> <mi>bc</mi> <mrow> <mi>y</mi> <mn>0</mn> </mrow> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mi>V</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>}</mo> <mi>u</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>-</mo> <msub> <mi>bc</mi> <mrow> <mi>y</mi> <mn>0</mn> </mrow> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mi>V</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mi>u</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>-</mo> <mi>T</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <mn>0</mn> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>16</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
令整理得到公式(15)的状态空间方程公式(17)；
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其中，
通过数值求解公式(17)，将时间周期T离散为n个等分小区间，即T＝nτ，在每一个区间[iτ,(i+1)τ](i＝0,...,n-1)的中间矩阵Φ通过使用连续的离散映射Di，构造公式(18)如下；
yn＝Φy0＝Dn-1Dn-2…D1D0y0 (18)
其中，Di为离散映射矩阵，yi为2(n+1)列向量；
然后根据Floquet理论，即具有周期系数的线性常微分方程，通过约化成为一个常系数的常微分方程，判别颤振系统的稳定性，当矩阵Φ的所有特征值的模量小于单位1，则系统是稳定的，否则是不稳定的，进而计算出切削速度与切削宽度的关系图，即为切削颤振系统的稳定性SLD图。
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