CN108256273B - 一种旋转超声钻削横向振颤稳定域预测方法 - Google Patents

Abstract

本发明提出一种旋转超声钻削横向振颤稳定域预测方法，首先基于旋转超声钻削钻头运动学分析，获得静态钻削厚度中轴向进给及超声振动部分的表达式，结合动态钻削厚度建立瞬态钻削厚度模型；其次，采用钻削厚度指数函数法建立动态钻削力关系式；再次，根据非线性周期函数的线性理论，建立该加工方式下横向振颤解析模型；接着通过频域求解法求解以上模型，得到临界钻削深度及对应转速的表达式；最终，使用MATLAB软件编程绘制旋转超声钻削横向振颤稳定性曲线，实现稳定域预测。

Description

一种旋转超声钻削横向振颤稳定域预测方法

技术领域

本发明属于旋转超声钻削加工技术领域，特别是一种旋转超声钻削横向振颤稳定域预测方法。

背景技术

在现代制造业(如军用飞机、航天飞机、船舶、汽车)的零件加工过程中，需要在零件主体材料上钻削大量的孔用于后期装配。据统计约60％的零件失效是由制孔缺陷引起的。因此孔加工质量对产品的使用性能和使用寿命有至关重要的作用。然而，制孔时钻头的横向振颤严重影响孔的圆度、孔径偏差和表面质量，而且横向振颤会加速刀具磨损并产生很大的噪声。因此，通过稳定域预测实现振颤抑制对改善孔加工质量有着至关重要的意义。现有研究表明，旋转超声钻削技术具有减小轴向力、降低钻削温度的作用，因而该技术已被引入到难加工材料的钻孔工艺中。截止目前，旋转超声钻削横向振颤稳定域预测的研究还未见报道。

为了实现控制横向振颤的目的，必然要获取旋转超声钻削横向振颤稳定域预测方法。目前已有的基于理论分析的旋转超声加工稳定域的求解方法，例如文献Gao Y,Sun R,Leopold J.Analysis of Cutting Stability in Vibration Assisted Machining UsingAnanalytical Predictive Force Model[J].Procedia CIRP,2015,31:515-520.发表了一种基于切削力解析模型的超声振动辅助车削稳定性分析方法，考虑到了超声振动参数、加工参数和刀具结构对加工稳定性的影响，但是该模型只适用于超声振动车削的条件下，并不能用于旋转超声钻削稳定域的预测。因此，对旋转超声钻削横向振颤稳定域方面的研究还存在不足，还没有适用的预测方法。

发明内容

本发明的目的旨在解决现有稳定性分析中，还没有适用于旋转超声钻削的预测模型的问题，提出了一种旋转超声钻削横向振颤稳定域预测方法，能够实现稳定域的预测。

实现本发明目的的技术解决方案为：一种旋转超声钻削横向振颤稳定域预测方法，包括以下步骤：

步骤1、建立旋转超声钻削瞬态钻削厚度模型：根据旋转超声钻削钻头运动学特点，将瞬态钻削厚度划分为静态钻削厚度和动态钻削厚度。其中，静态钻削厚度在该加工方式下又包含轴向进给和超声振动两部分。分别建立轴向进给和超声振动的关系式从而得到静态钻削厚度模型，再根据前后刀齿的轨迹差表征动态钻削厚度，最终建立瞬态钻削厚度模型；

步骤2、建立动态钻削力模型：通过比较钻削力线性模型与指数模型，选取指数模型建立径向钻削力F_r和轴向钻削力F_t表达式。根据径向与切向钻削力在坐标轴的投影关系，建立x和y向钻削力F_x和F_y模型；

步骤3、构建旋转超声钻削横向振颤解析模型：基于指数型动态钻削力模型，采用非线性周期函数线性理论将以上钻削力模型线性化。通过周期函数的傅里叶展开式，对动态钻削力模型化简，得到含有方向矩阵的钻削力模型。将旋转超声钻削系统简化为两自由度的振动系统，将处理后的动态钻削力模型代入，建立旋转超声钻削横向振颤解析模型；

步骤4、应用频域解析法求解旋转超声钻削稳定域：首先构建刀具-工件接触区域之间的传递函数矩阵，确定刀尖位置的频率响应关系；接着，根据Budak方法建立钻削过程中的再生振颤位移表达式，将该式代入动态钻削力公式得到闭环动态钻削系统的特征方程；最后，通过求解特征方程获得临界切深及相应转速的函数式；

步骤5、绘制旋转超声钻削横向振颤稳定性曲线：根据步骤4求解步骤及结果，使用MATLAB软件编程绘制旋转超声钻削横向振颤稳定性曲线，实现稳定域预测；

本发明与现有技术相比，其显著优点有：

(1)本方法实现了旋转超声钻削横向振颤稳定域预测，解决了没有适用于旋转超声钻削稳定域求解方法的问题；

(2)通过非线性周期函数线性理论，提出了指数型动态钻削力的线性化方法；

(3)提出了更加符合实际的动态钻削力的计算方法；

(4)提出了更加符合实际的旋转超声钻削瞬态钻削厚度计算方法。

本发明的计算过程更加符合实际加工状况，实现了旋转超声钻削横向振颤稳定域预测。

除了上面所描述的目的、特征和优点之外，本发明还有其它的目的、特征和优点。下面将参照附图，对本发明作进一步详细的说明。

附图说明

图1为本发明稳定域预测方法的流程图。

图2为旋转超声钻削钻头运动学分析示意图。

图3为瞬态钻削厚度分析图。

图4为切削刃受力分析图。

图5为旋转超声钻削动力学模型图。

图6为旋转超声钻削稳定性曲线图。

具体实施方式

为了更好的了解本发明的技术内容，特举具体实施例并配合所附图说明如下。

结合图1，其为本发明的预测方法的流程图；本发明的一种旋转超声钻削横向振颤稳定域预测方法，具体包括以下步骤：

步骤1、建立旋转超声钻削瞬态钻削厚度模型：根据旋转超声钻削钻头运动学特点，将瞬态钻削厚度划分为静态钻削厚度和动态钻削厚度。其中，静态钻削厚度在该加工方式下又包含轴向进给和超声振动两部分。分别建立轴向进给和超声振动的关系式从而得到静态钻削厚度模型，再根据前后刀齿的轨迹差表征动态钻削厚度，最终建立瞬态钻削厚度模型；

步骤1.1、分别建立轴向进给和超声振动的关系式：如图2所示，旋转超声钻削中钻头的运动由轴向进给、周向旋转和超声振动运动复合而成。其中，周向旋转不会引起钻削厚度的变化。轴向进给对静态钻削厚度h_s的影响可以用每齿进给量f_z来表示：

其中，f_r为每转进给量(mm)，N_f为钻头齿数。

结合图2，在超声振动作用下发生的钻削厚度z(t)可以表达为：

z(t)＝Asin(2πFt) (2)

其中A为超声振动振幅(μm)，F为超声振动频率(Hz)，t为时间(s)。

从而得到静态钻削厚度模型为：

步骤1.2、表征动态钻削厚度、建立瞬态钻削厚度模型：如图3所示，由横向振颤导致的动态钻削厚度在一个切削刃上增大dh₁的同时，在另一个切削刃上减小dh₂。dh₁和dh₂可以用下式表达：

其中，Ω为钻头转动的角速度，κ_t为钻头的半锋角，dx和dy分别为由横向振颤引起的x向和y向的位移。以钻头投影中心为原点建立坐标系，水平方向为x向，竖直方向为y向。

因此，动态钻削厚度h_d可以表达为：

综合静态钻削厚度和动态钻削厚度得到总的瞬态钻削厚度h：

步骤2、建立动态钻削力模型：通过比较钻削力线性模型与指数模型，选取指数模型建立径向钻削力F_r和轴向钻削力F_t表达式。根据径向与切向钻削力在坐标轴的投影关系，建立x和y向钻削力F_x和F_y模型。

步骤2.1、建立径向钻削力F_r和轴向钻削力F_t表达式：相比于线性动态钻削力模型，指数模型可以用来分析进给速度对稳定性的影响，具有更广阔的应用价值。如图4所示，切削刃受力可以被分解为径向钻削力F_r和轴向钻削力F_t，根据指数钻削力模型，F_r和F_t可以表达为：

其中，k_tc,k_rc分别为切向剪切削力系数和径向剪切力系数，k_te,k_re分别为切向犁耕力系数和径向犁耕力系数，b为钻削宽度，h为瞬态钻削厚度，q为指数常量。

步骤2.2：建立x和y向钻削力F_x和F_y模型：以钻头投影中心为原点、水平方向为x向、竖直方向为y向建立坐标系，如图4。根据径向与切向钻削力在坐标轴的投影关系，建立x和y向钻削力F_x和F_y模型：

其中，s,c分别代表正弦函数和余弦函数。

步骤3、构建旋转超声钻削横向振颤解析模型：基于指数型动态钻削力模型，采用非线性周期函数线性理论将以上钻削力模型线性化。通过周期函数的傅里叶展开式，对动态钻削力模型化简，得到含有方向矩阵的钻削力模型。将旋转超声钻削系统简化为两自由度的振动系统，将处理后的动态钻削力模型代入，建立旋转超声钻削横向振颤解析模型。

步骤3.1、将指数型动态钻削力模型线性化：根据非线性周期函数线性理论，可以认为当(x＝0,y＝0)时，系统不发生振颤。此时，有

F＝F(x＝0,y＝0)+ΔF (9)

ΔF＝F-F(x＝0,y＝0) (10)

其中，F为动态钻削力，F(x＝0,y＝0)为不发生振颤的钻削力，ΔF即为去除稳定部分(不发生振颤)的钻削力。ΔF可表示为：

其中，随时间变化的周期函数矩阵[A(t)]为：

步骤3.2、化简动态钻削力模型得到含有方向矩阵的钻削力模型：根据周期函数的傅里叶展开式展开[A(t)]得到：

其中，[A₀]在切入角φ_st和切出角φ_ex区间内才有效，φ为刀具旋转角度；T为函数的周期，

因此上式可表达为：

其中，

[A₀]可以进一步简化为：

其中，[A_red]为方向矩阵。代入动态切削力公式(11)，得到含有方向矩阵的钻削力模型：

步骤3.3、建立旋转超声钻削横向振颤解析模型：结合图5，将旋转超声钻削系统简化为x和y向两自由度的振动系统。该两自由度振动系统的振动微分方程可以表示为：

其中，其中，

为钻头横向振颤的位移量，

为其一阶导数，

为其二阶导数，[m]，[c]和[k]分别为等效质量、等效阻尼和等效刚度矩阵。

将处理后的动态钻削力模型代入，建立旋转超声钻削横向振颤解析模型：

步骤4、应用频域解析法求解旋转超声钻削稳定域：首先构建刀具-工件接触区域之间的传递函数矩阵，确定刀尖位置的频率响应关系；接着，根据Budak方法建立钻削过程中的再生振颤位移表达式，将该式代入动态钻削力公式得到闭环动态钻削系统的特征方程；最后，通过求解特征方程获得临界切深及相应转速的函数式。

步骤4.1、构建刀具-工件接触区域之间的传递函数矩阵：刀具-工件接触区域之间的传递函数矩阵G(iω)可以表达为公式(20),G_xx(iω)和G_yy(iω)为钻削系统的直接传递函数，G_xy(iω)和G_yx(iω)为钻削系统的交叉传递函数。

G_xx(iω)和G_yy(iω)可以通过以下公式求解：

其中，ω_nx,k_x,ζ_x和ω_ny,k_y,ζ_y分别表示系统x向和y向的固有频率、模态刚度和阻尼比；

步骤4.2、得到闭环动态钻削系统的特征方程：根据Budak方法，当再生位移出现在振颤频率ω_c处，钻削系统处于临界稳定状态，即：

其中，{Δr}为横向振颤的位移量，

ω_cT是连续两个刀齿之间的再生相位延迟，i和e分别为虚数和自然常数的数学符号，

将式(21)代入动态钻削力公式(17)可得：

上式有非零解的条件为其行列式为0，即得到闭环动态钻削系统的特征方程：

其中，[I]为单位矩阵，det为求特征值的行列式的数学符号，

步骤4.3、通过求解特征方程获得临界切深及相应转速的函数式：定义G₀(iω)为定向传递函数，G₀(iω)的表达式为：

其中，α_xx,α_xy,α_yx,α_yy的定义如步骤3.2.

该特征方程的一个特征值可以表示为：

式中，Λ_R和Λ_I分别为此特征值的实部和虚部，

最终特征方程可以简化为：

det{[I]+Λ[G₀(iω_c)]}＝0 (27)

令G_xy和G_yx等于零，将特征方程化为二次方程：

a₀Λ²+a₁Λ+1＝0 (28)

其中，a₀＝α_xxα_yyG_xxG_yy-α_xyα_yxG_xxG_yy；a₁＝α_xxG_xx+α_yyG_yy，

可以求得以上二次方程的两个根为：

临界稳定切削深度b_lim和相应的转速n由Budak和Altintas方法解得：

其中，κ为特征值虚部和实部的比值，ε为连续两个刀齿的相位差。

步骤5、绘制旋转超声钻削横向振颤稳定性曲线：根据步骤4求解步骤及结果，使用MATLAB软件编程绘制旋转超声钻削横向振颤稳定性曲线，实现稳定域预测。稳定性曲线的绘制具体流程：

(1)给定旋转超声钻削系统动力学参数ω_n、k、ζ及钻削力系数k_tc、k_rc、k_re k_te和指数常量q；

(2)给定每转进给量f_r、超声振动振幅A、超声振动频率F和刀具齿数N_f，并计算切入角φ_st及切出角φ_ex；

(3)在主模态附近选择颤振频率ω_c，并且解特征方程(29)；

(4)根据式(30)计算出临界稳定切削深度b_lim，再计算b_lim相对应的主轴转速n；

(5)以主轴转速n为横坐标，极限轴向切深b_lim为纵坐标，绘制旋转超声钻削稳定性叶瓣图曲线；

(6)在系统固有频率ω_n附近扫描颤振频率，重复(3)～(5)步骤。

实施例1：

由旋转超声钻削铝合金实验计算钻削力系数，结果如表1所示。通过模态参数识别实验获得旋转超声钻削系统动力学参数如表2所示。取每转进给量f_r为0.01mm、超声振动振幅A为0/10/20μm、超声振动频率F为20KHz和刀具齿数N_f为2。

表1钻削力系数

表2旋转超声钻削系统模态参数

通过以上所述预测方法，计算并绘制了超声振动振幅A分别为0/10/20μm的三条稳定性曲线。根据稳定性曲线的定义，曲线下方即为该系统的稳定域。可以发现，旋转超声振动的加入实现了钻削稳定域的扩展(振幅为0时视为没有旋转超声加入)。振幅越大，稳定域范围也就越大，但当振幅过大时，稳定域扩展作用随之减弱。

以上所述仅为本发明的优选实施例而已，并不用于限制本发明，对于本领域的技术人员来说，本发明可以有各种更改和变化。凡在本发明的精神和原则之内，所作的任何修改、等同替换、改进等，均应包含在本发明的保护范围之内。

Claims (1)

1.一种旋转超声钻削横向振颤稳定域预测方法，其特征在于包括以下步骤：

步骤1、建立旋转超声钻削瞬态钻削厚度模型：根据旋转超声钻削钻头运动学特点，将瞬态钻削厚度划分为静态钻削厚度和动态钻削厚度，其中，静态钻削厚度包含轴向进给和超声振动两部分，分别建立轴向进给和超声振动的关系式从而得到静态钻削厚度模型，再根据前后刀齿的轨迹差表征动态钻削厚度，最终建立瞬态钻削厚度模型，具体包括：

步骤1.1、分别建立轴向进给和超声振动的关系式，旋转超声钻削中钻头的运动由轴向进给、周向旋转和超声振动运动复合而成，其中，周向旋转不会引起钻削厚度的变化，轴向进给对静态钻削厚度h_s的影响可以用每齿进给量f_z来表示：

其中，f_r为每转进给量，单位为mm，N_f为钻头齿数，

在超声振动作用下发生的钻削厚度z(t)可以表达为：

z(t)＝Asin(2πFt) (2)

其中A为超声振动振幅，单位为μm，F为超声振动频率，单位为Hz，t为时间，单位为s，

从而得到静态钻削厚度模型为：

步骤1.2、表征动态钻削厚度、建立瞬态钻削厚度模型，由横向振颤导致的动态钻削厚度在一个切削刃上增大dh₁的同时，在另一个切削刃上减小dh₂，dh₁和dh₂可以用下式表达：

其中，Ω为钻头转动的角速度，κ_t为钻头的半锋角，dx和dy分别为由横向振颤引起的x向和y向的位移，以钻头投影中心为原点建立坐标系，水平方向为x向，竖直方向为y向；

因此，动态钻削厚度h_d可以表达为：

综合静态钻削厚度和动态钻削厚度得到总的瞬态钻削厚度h：

步骤2、建立动态钻削力模型：通过比较钻削力线性模型与指数模型，选取指数模型建立径向钻削力F_r和轴向钻削力F_t表达式，根据径向与切向钻削力在坐标轴的投影关系，建立x和y向钻削力F_x和F_y模型，具体包括：

步骤2.1、建立径向钻削力F_r和轴向钻削力F_t表达式，切削刃受力可以被分解为径向钻削力F_r和轴向钻削力F_t，根据指数钻削力模型，F_r和F_t可以表达为：

其中，k_tc,k_rc分别为切向剪切削力系数和径向剪切力系数，k_te,k_re分别为切向犁耕力系数和径向犁耕力系数，b为钻削宽度，h为瞬态钻削厚度，q为指数常量；

步骤2.2：建立x和y向钻削力F_x和F_y模型：以钻头投影中心为原点、水平方向为x向、竖直方向为y向建立坐标系，根据径向与切向钻削力在坐标轴的投影关系，建立x和y向钻削力F_x和F_y模型：

其中，s,c分别代表正弦函数和余弦函数；

步骤3、构建旋转超声钻削横向振颤解析模型：基于指数型动态钻削力模型，采用非线性周期函数线性理论将以上钻削力模型线性化，通过周期函数的傅里叶展开式，对动态钻削力模型化简，得到含有方向矩阵的钻削力模型，将旋转超声钻削系统简化为两自由度的振动系统，将处理后的动态钻削力模型代入，建立旋转超声钻削横向振颤解析模型，具体包括：

步骤3.1、将指数型动态钻削力模型线性化：根据非线性周期函数线性理论，当x＝0、y＝0时，系统不发生振颤，此时，有

F＝F(x＝0,y＝0)+ΔF (9)

ΔF＝F-F(x＝0,y＝0) (10)

其中，F为动态钻削力，F(x＝0,y＝0)为不发生振颤的钻削力，ΔF即为去除稳定部分的钻削力，所述稳定部分为不发生振颤的部分，ΔF表示为：

其中，随时间变化的周期函数矩阵[A(t)]为：

步骤3.2、化简动态钻削力模型得到含有方向矩阵的钻削力模型：根据周期函数的傅里叶展开式展开[A(t)]得到：

其中，[A₀]在切入角φ_st和切出角φ_ex区间内才有效，φ为刀具旋转角度；T为函数的周期，

因此上式可表达为：

其中，

[A₀]进一步简化为：

其中，[A_red]为方向矩阵，代入动态切削力公式(11)，得到含有方向矩阵的钻削力模型：

步骤3.3、建立旋转超声钻削横向振颤解析模型，将旋转超声钻削系统简化为x和y向两自由度的振动系统，该两自由度振动系统的振动微分方程可以表示为：

其中，

为钻头横向振颤的位移量，

为其一阶导数，

为其二阶导数，[m]，[c]和[k]分别为等效质量、等效阻尼和等效刚度矩阵，将处理后的动态钻削力模型代入，建立旋转超声钻削横向振颤解析模型：

步骤4、应用频域解析法求解旋转超声钻削稳定域：首先构建刀具-工件接触区域之间的传递函数矩阵，确定刀尖位置的频率响应关系；接着，根据Budak方法建立钻削过程中的再生振颤位移表达式，将该式代入动态钻削力公式得到闭环动态钻削系统的特征方程；最后，通过求解特征方程获得临界切深及相应转速的函数式，具体包括：

步骤4.1、构建刀具-工件接触区域之间的传递函数矩阵：刀具-工件接触区域之间的传递函数矩阵G(iω)表达为公式(20),G_xx(iω)和G_yy(iω)为钻削系统的直接传递函数，G_xy(iω)和G_yx(iω)为钻削系统的交叉传递函数：

其中，ω为动态切削力的频率，

G_xx(iω)和G_yy(iω)可以通过以下公式求解：

其中，ω_nx,k_x,ζ_x和ω_ny,k_y,ζ_y分别表示系统x向和y向的固有频率、模态刚度和阻尼比；

步骤4.2、得到闭环动态钻削系统的特征方程：根据Budak方法，当再生振颤位移出现在振颤频率ω_c处，钻削系统处于临界稳定状态，即：

其中，{Δr}为横向振颤的位移量，

ω_cT是连续两个刀齿之间的再生相位延迟，i和e分别为虚数和自然常数的数学符号，

将式(22)代入动态钻削力公式(17)可得：

上式有非零解的条件为其行列式为0，即得到闭环动态钻削系统的特征方程：

其中，[I]为单位矩阵，det为求特征值的行列式的数学符号，

步骤4.3、通过求解特征方程获得临界切深及相应转速的函数式：定义G₀(iω)为定向传递函数，G₀(iω)的表达式为：

该特征方程的一个特征值以表示为：

式中，Λ_R和Λ_I分别为此特征值的实部和虚部，

最终特征方程可以简化为：

det{[I]+Λ[G₀(iω_c)]}＝0 (27)

令G_xy和G_yx等于零，将特征方程化为二次方程：

a₀Λ²+a₁Λ+1＝0 (28)

其中，a₀＝α_xxα_yyG_xxG_yy-α_xyα_yxG_xxG_yy；a₁＝α_xxG_xx+α_yyG_yy，

可以求得以上二次方程的两个根为：

临界稳定切削深度b_lim和相应的转速n由Budak和Altintas方法解得：

其中，κ为特征值虚部和实部的比值，ε为连续两个刀齿的相位差；

步骤5、绘制旋转超声钻削横向振颤稳定性曲线：根据步骤4求解步骤及结果，使用MATLAB软件编程绘制旋转超声钻削横向振颤稳定性曲线，实现稳定域预测。

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