CN106560821A - 基于对合碟形弹簧的柔性体力触觉建模方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了基于对合碟形弹簧的柔性体力触觉建模方法，当检测到虚拟代理碰撞到虚拟柔性体表面上的任意点时，在给定虚拟接触压力作用下，虚拟代理与虚拟柔性体交互的局部区域内部填充对合碟形弹簧虚拟模型，在交互过程中，不断进行图形刷新和反馈输出利用对合碟形弹簧虚拟模型计算出来的在压力作用下柔性体实时变形仿真的力触觉信息，直至变形截止。本发明建模方法应用于虚拟手术研究中，提高了计算速度和精度，能动态实时逼真地模拟柔性体的变形过程，反馈给操作者的力触觉信息真实稳定，为柔性体实时变形仿真的研究提供了新思路，具有良好的应用前景。

Description

基于对合碟形弹簧的柔性体力触觉建模方法

技术领域

本发明涉及计算机建模技术领域，尤其涉及基于对合碟形弹簧的柔性体力触觉建模方法。

背景技术

随着虚拟现实计算的日益成熟，手术仿真成为医学领域一个新的研究方向。柔性体力触觉建模方法是手术仿真的基础，国内外学者在这方面已做了很多工作。

目前常用的柔性体力触觉建模方法中，有限元虽然精确，但计算量较大，尤其是碰到有数量较多的单元节点时，系统实时性难以保证。弹簧质点建模简单快捷，计算量小，但只经过试验获取合适的弹簧弹性系数比较困难，导致仿真度不稳定；层状菱形链连接计算速度快，变形效果逼真，力触觉感知真实，但边界中各个质点的变形量未进行深入分析；长单元在不需参数预计算或压缩的情况下，能求出弹性形变的静态解，计算量小，模型中参数求解方便，质感特性、实时性和交互性较好；基于球面调和函数的柔性体力触觉建模方法能够提高模型精度和实时性，更好地模拟物体的表面轮廓，但该模型所能表达几何复杂性存有一定限制；光滑粒子流具有计算简单，易实现，实时性高等优点，能够满足软组织大范围的形变，但存在真实度低、稳定性低、粘弹性差等问题。

因此，研究具有良好交互性和真实感的柔性体力触觉建模方法将直接关系到虚拟手术系统应用价值的提升。

发明内容

本发明针对现有技术的不足，提出基于对合碟形弹簧的柔性体力触觉建模方法，并将其用于虚拟人机交互的虚拟柔性体实时变形仿真过程中。该建模方法计算简单，能准确快速的计算变形量，实现对柔性体的实时变形仿真；且在交互过程中，操作者能实时自然地感知到仿真过程中的力触觉信息，提高了虚拟手术仿真过程中力触觉交互的逼真度。

为了解决上述技术问题，本发明采用如下技术方案：

基于对合碟形弹簧的柔性体力触觉建模方法，具体步骤如下：

步骤1，虚拟场景初始化；

步骤2，在给定虚拟接触压力F作用下，当虚拟代理碰撞到虚拟柔性体表面上的任意点时，在碰撞点处悬挂两片外径为D、内径为d、厚度为l、自由高度为H₀、被压平时的最大变形量为h₀的单片碟形弹簧，两片单片碟形弹簧对合设置构成对合碟形弹簧第一层；在对合碟形弹簧第一层下，对合设置两片如第一层放置的同规格单片碟形弹簧构成对合碟形弹簧第二层；在对合碟形弹簧第二层下，对合设置两片如第一层放置的同规格单片碟形弹簧构成对合碟形弹簧第三层；依此类推，在对合碟形弹簧第i层下，对合设置两片如第一层放置的同规格单片碟形弹簧构成对合碟形弹簧第i+1层；i＝1,2,3,…,N，N为自然数，对合碟形弹簧各层中的单片碟形弹簧的外径、内径、厚度、自由高度、被压平时的最大变形量均相同；

设定给定虚拟接触压力F的作用线和对合碟形弹簧中心线一致，且在给定虚拟接触压力F作用下，若柔性体中对合碟形弹簧共有M层产生变形，则第M层称为变形截止层；

若给定虚拟接触压力F使对合碟形弹簧第一层被压缩时产生的变形量f₁达到对合碟形弹簧第一层被压平时的最大变形量v₁，则对合碟形弹簧前M-1层中每层被压缩时产生的变形量均与对合碟形弹簧第一层被压平时的最大变形量v₁相同，对合碟形弹簧变形截止层第M层被压缩时产生的变形量不大于对合碟形弹簧第一层被压平时的最大变形量v₁，

其中，对合碟形弹簧第一层被压平时的最大变形量v₁为：

v₁＝2h₀

单片碟形弹簧被压平时的最大变形量h₀为：

h₀＝H₀-l

则，对合碟形弹簧第一层消耗的压力F₁为：

其中，α表示对合碟形弹簧第一层中的单片碟形弹簧的辅助量：

其中，C表示单片碟形弹簧的外径和内径之比：

μ、E分别表示单片碟形弹簧的泊松比、弹性模量，单片碟形弹簧的泊松比、弹性模量的具体数值与单片碟形弹簧的材料有关，

除对合碟形弹簧第一层和变形截止层第M层外，对合碟形弹簧其余各层消耗的压力F_j为：

j的取值范围是[2,M-1]；

λ₁表示除对合碟形弹簧第一层外，对合碟形弹簧其余各层中单片碟形弹簧的计算系数：

变形截止层第M层的变形量为：

k_M为对合碟形弹簧变形截止层第M层中的单片碟形弹簧的弹簧刚度：

步骤3，使给定虚拟接触压力F作用于虚拟柔性体碰撞点，对合碟形弹簧第i层被压缩，如果对合碟形弹簧前i层消耗的压力F_i之和小于给定虚拟接触压力F，且对合碟形弹簧前i层产生压缩变形总计需要的时延时间满足刷新频率1000Hz以上的要求，设共计经过时延T_i后，对合碟形弹簧第i层被压缩到被压平时的最大变形量v₁，只有当对合碟形弹簧第i层被压缩到被压平时的最大变形量v₁后，对合碟形弹簧第i+1层才开始被压缩，依此类推，直到对合碟形弹簧前M层消耗的压力之和不小于给定虚拟接触压力，或对合碟形弹簧第M层产生压缩变形总计需要的时延时间不满足刷新频率1000Hz以上的要求；

用t_i、T_i分别表示对合碟形弹簧第i层产生压缩变形需要的时延时间、对合碟形弹簧前i层产生压缩变形总计需要的时延时间，且对合碟形弹簧各层间的时延时间满足以对合碟形弹簧第一层产生压缩变形需要的时延时间t₁为首项、以q为公比的等比数列：

t_i＝q^i-1t₁

从虚拟代理碰撞接触到虚拟柔性体表面算起，对合碟形弹簧前i层产生压缩变形总计需要的时延时间T_i满足T_i<T，其中

T为力触觉再现刷新频率的倒数；

所述虚拟柔性体表面的变形量，也即对合碟形弹簧中各层的变形量之和h为：

其中，(M-1)v₁为对合碟形弹簧前M-1层被压平时的最大变形量。

本发明的有益效果：

(1)和以往常用的基于物理意义的柔性体力触觉建模方法相比，该建模方法中，对合碟形弹簧各层中的单片碟形弹簧的外径、内径、厚度、被压平时的最大变形量、自由高度均相同，从而简化了计算量，加快了变形计算的速度。

(2)任意对合碟形弹簧第i层均由两个单片碟形弹簧对合而成，通过对合碟形弹簧第一层最大变形量v₁与其对应的单片碟形弹簧被压平时的最大变形量h₀之间的关系求得任意对合碟形弹簧第i层被压平时的最大变形量ν_i，在相同的压力作用下，对合碟形弹簧的计算量进一步减少。

(3)可将其应用于远程医疗、军事、虚拟外科手术仿真、航空航天、深空探索等领域。

附图说明

图1是柔性体变形仿真流程图。

图2是基于对合碟形弹簧的柔性体力触觉建模方法流程图。

图3是基于对合碟形弹簧的柔性体力触觉建模方法中压力、变形层数与时延时间关系示意图。

图4是基于对合碟形弹簧的柔性体力触觉建模方法示意图；其中，图4(a)是原始状态，图4(b)是压缩下的状态。

具体实施方式：

下面结合附图所示流程对本发明提出的基于对合碟形弹簧的柔性体力触觉建模方法进行详细说明：

如图4所示的基于对合碟形弹簧的柔性体力触觉建模方法示意图。基于对合碟形弹簧的柔性体力触觉建模方法，其具体步骤如下：

步骤1，虚拟场景初始化；

步骤2，在给定虚拟接触压力F作用下，当虚拟代理碰撞到虚拟柔性体表面上的任意点时，在碰撞点处悬挂两片外径为D、内径为d、厚度为l、自由高度为H₀、被压平时的最大变形量为h₀的单片碟形弹簧，两片单片碟形弹簧对合设置构成对合碟形弹簧第一层；在对合碟形弹簧第一层下，对合设置两片如第一层放置的同规格单片碟形弹簧构成对合碟形弹簧第二层；在对合碟形弹簧第二层下，对合设置两片如第一层放置的同规格单片碟形弹簧构成对合碟形弹簧第三层；依此类推，在对合碟形弹簧第i层下，对合设置两片如第一层放置的同规格单片碟形弹簧构成对合碟形弹簧第i+1层；i＝1,2,3,…,N，N为自然数，对合碟形弹簧各层中的单片碟形弹簧的外径、内径、厚度、自由高度、被压平时的最大变形量均相同；

设定给定虚拟接触压力F的作用线和对合碟形弹簧中心线一致，且在给定虚拟接触压力F作用下，若柔性体中对合碟形弹簧共有M层产生变形，则第M层称为变形截止层；

若给定虚拟接触压力F使对合碟形弹簧第一层被压缩时产生的变形量f₁达到对合碟形弹簧第一层被压平时的最大变形量v₁，则对合碟形弹簧前M-1层中每层被压缩时产生的变形量均与对合碟形弹簧第一层被压平时的最大变形量v₁相同，对合碟形弹簧变形截止层第M层被压缩时产生的变形量不大于对合碟形弹簧第一层被压平时的最大变形量v₁，

其中，对合碟形弹簧第一层被压平时的最大变形量v₁为：

v₁＝2h₀

单片碟形弹簧被压平时的最大变形量h₀为：

h₀＝H₀-l

则，对合碟形弹簧第一层消耗的压力F₁为：

其中，α表示对合碟形弹簧第一层中的单片碟形弹簧的辅助量：

其中，C表示单片碟形弹簧的外径和内径之比：

μ、E分别表示单片碟形弹簧的泊松比、弹性模量，单片碟形弹簧的泊松比、弹性模量的具体数值与单片碟形弹簧的材料有关，

除对合碟形弹簧第一层和变形截止层第M层外，对合碟形弹簧其余各层消耗的压力F_j为：

j的取值范围是[2,M-1]；

λ₁表示除对合碟形弹簧第一层外，对合碟形弹簧其余各层中单片碟形弹簧的计算系数：

变形截止层第M层的变形量为：

k_M为对合碟形弹簧变形截止层第M层中的单片碟形弹簧的弹簧刚度：

步骤3，使给定虚拟接触压力F作用于虚拟柔性体碰撞点，对合碟形弹簧第i层被压缩，如果对合碟形弹簧前i层消耗的压力F_i之和小于给定虚拟接触压力F，且对合碟形弹簧前i层产生压缩变形总计需要的时延时间满足刷新频率1000Hz以上的要求，设共计经过时延T_i后，对合碟形弹簧第i层被压缩到被压平时的最大变形量v₁，只有当对合碟形弹簧第i层被压缩到被压平时的最大变形量v₁后，对合碟形弹簧第i+1层才开始被压缩，依此类推，直到对合碟形弹簧前M层消耗的压力之和不小于给定虚拟接触压力，或对合碟形弹簧第M层产生压缩变形总计需要的时延时间不满足刷新频率1000Hz以上的要求；

用t_i、T_i分别表示对合碟形弹簧第i层产生压缩变形需要的时延时间、对合碟形弹簧前i层产生压缩变形总计需要的时延时间，且对合碟形弹簧各层间的时延时间满足以对合碟形弹簧第一层产生压缩变形需要的时延时间t₁为首项、以q为公比的等比数列：

t_i＝q^i-1t₁

从虚拟代理碰撞接触到虚拟柔性体表面算起，对合碟形弹簧前i层产生压缩变形总计需要的时延时间T_i满足T_i<T，其中

T为力触觉再现刷新频率的倒数；

所述虚拟柔性体表面的变形量，也即对合碟形弹簧中各层的变形量之和h为：

其中，(M-1)v₁为对合碟形弹簧前M-1层被压平时的最大变形量。

下面以虚拟医用镊子和虚拟胃模型为例，列举本发明技术方案的具体实施方式。

本实例中所有虚拟医用镊子和虚拟胃模型都直接采用从3DS MAX 2016软件中导出的OBJ格式，以1888个质点，3771个三角网格构成的虚拟医用镊子和5783个质点，11196个三角网格构成的虚拟胃模型为例来进行变形仿真，实验过程中模型获取和修改非常方便；操作系统为Windows 2010，以3DS MAX 2016、OpenGL图形库为基础，在Microsoft Visual C++2015软件开发平台上进行仿真。

在给定虚拟接触压力F＝4.0N作用下，当检测到虚拟医用镊子碰撞到虚拟胃表面上的任意点时，虚拟医用镊子与虚拟胃交互的局部区域内部填充对合碟形弹簧模型，在交互过程中，输出反馈为采用对合碟形弹簧模型计算出来的反应在压力作用下虚拟胃实时变形仿真的力触觉信息的信号，如图1所示；

如图2和图4所示，在碰撞点处悬挂外径为D＝4×10^-4m、内径为d＝2.04×10^-4m、厚度为l＝2.25×10^-5m、自由高度为H₀＝3.15×10^-5m、被压平时的最大变形量为h₀＝H₀-l＝3.15×10^-5-2.25×10^-5＝9×10^-6m的单片碟形弹簧；

设定给定虚拟接触压力F的作用线和对合碟形弹簧中心线一致，且在给定虚拟接触压力F作用下，若柔性体中对合碟形弹簧共有M层产生变形，则第M层称为变形截止层；

计算的中间过程、最后的数据均按四舍五入法保留小数点后3位。

若给定虚拟接触压力F使对合碟形弹簧第一层被压缩时产生的变形量f₁达到对合碟形弹簧第一层被压平时的最大变形量v₁＝2h₀＝2×9×10^-6＝1.8×10^-5m，则对合碟形弹簧前M-1层中每层被压缩时产生的变形量均与对合碟形弹簧第一层被压平时的最大变形量v₁相同，对合碟形弹簧变形截止层第M层被压缩时产生的变形量不大于对合碟形弹簧第一层被压平时的最大变形量v₁；

单片碟形弹簧的外径和内径之比C为：

单片碟形弹簧的泊松比μ＝0.3、弹性模量E＝2.06×10⁵MPa取决于柔性体的材质，

对合碟形弹簧第一层中的单片碟形弹簧的辅助量α为：

除对合碟形弹簧第一层外，对合碟形弹簧其余各层中单片碟形弹簧的计算系数λ₁为：

用t_i、T_i分别表示对合碟形弹簧第i层产生压缩变形需要的时延时间、对合碟形弹簧前i层产生压缩变形总计需要的时延时间，且合碟形弹簧各层间的时延时间满足以对合碟形弹簧第一层产生压缩变形需要的时延时间t₁＝10^-5s为首项、以q＝1.3为公比的等比数列；

假定力触觉再现刷新频率为1500Hz，则力触觉再现刷新频率的倒数

若在给定虚拟接触压力F作用下，能使得对合碟形弹簧第一层达到被压平时的最大变形量ν₁，则对合碟形弹簧第一层消耗的压力F₁为：

F₁<F＝4.0N

对合碟形弹簧第一层产生压缩变形需要的时延时间T₁＝t₁＝10^-5s<T，满足刷新频率的要求；只有当对合碟形弹簧第一层被压缩到最大变形量ν₁后，对合碟形弹簧第二层才开始产生压缩变形。

若在给定虚拟接触压力F作用下，能使得对合碟形弹簧第二层达到被压平时的最大变形量ν₁，则对合碟形弹簧第二层消耗的压力F₂为：

对合碟形弹簧前二层共消耗的压力之和为：

F₁+F₂＝0.846+0.846＝1.692N<F＝4.0N

对合碟形弹簧前二层产生压缩变形总计需要的时延时间T₂＝t₁+t₂＝(1+q)t₁＝(1+1.3)×10^-5＝2.3×10^-5s<T，满足刷新频率的要求；只有当对合碟形弹簧第二层被压缩到最大变形量ν₁后，对合碟形弹簧第三层才开始产生压缩变形。

若在给定虚拟接触压力F作用下，能使得对合碟形弹簧第三层达到被压平时的最大变形量ν₁，则对合碟形弹簧第三层消耗的压力F₃为：

对合碟形弹簧前三层共消耗的压力之和为：

F₁+F₂+F₃＝0.846+0.846+0.846＝2.538N<F＝4.0N

对合碟形弹簧前三层产生压缩变形总计需要的时延时间T₃＝t₁+t₂+t₃＝(1+q+q²)t₁＝(1+1.3+1.3²)×10^-5＝3.99×10^-5s<T，满足刷新频率的要求；只有当对合碟形弹簧第三层被压缩到最大变形量ν₁后，对合碟形弹簧第四层才开始产生压缩变形。

若在给定虚拟接触压力F作用下，能使得对合碟形弹簧第四层达到被压平时的最大变形量ν₁，则对合碟形弹簧第四层消耗的压力F₄为：

对合碟形弹簧前四层共消耗的压力之和为：

F₁+F₂+F₃+F₄＝0.846+0.846+0.846+0.846＝3.384N<F＝4.0N

对合碟形弹簧前四层产生压缩变形总计需要的时延时间T₄＝t₁+t₂+t₃+t₄＝(1+q+q²+q³)t₁＝(1+1.3+1.3²+1.3³)×10^-5＝6.187×10^-5s<T，满足刷新频率的要求；只有当对合碟形弹簧第四层被压缩到最大变形量ν₁后，对合碟形弹簧第五层才开始产生压缩变形。

若在给定虚拟接触压力F作用下，能使得对合碟形弹簧第五层达到被压平时的最大变形量ν₁，则对合碟形弹簧第五层消耗的压力F₅为：

对合碟形弹簧前五层共消耗的压力之和为：

F₁+F₂+F₃+F₄+F₅＝0.846+0.846+0.846+0.846+0.846＝4.23N>F＝4.0N

因此，对合碟形弹簧前五层共消耗的压力之和不小于给定虚拟接触压力F，则第五层为变形截止层，不需要再判断是否满足刷新频率的要求；

对合碟形弹簧变形截止层第五层中的单片碟形弹簧的弹簧刚度k₅为：

变形截止层第五层的变形量h₅为：

所述虚拟柔性体表面的变形量，也即对合碟形弹簧前五层的变形量之和h为：

h＝(5-1)ν₁+h₅＝4×1.8×10^-5+1.311×10^-5＝8.511×10^-5m

注意：在采用基于对合碟形弹簧的柔性体力触觉建模方法来计算在给定压力作用下柔性体实时变形仿真的过程中，若C、l这些参数选取的过大，则基于对合碟形弹簧的柔性体力触觉建模方法中对合碟形弹簧的变形截止层数值就少，计算量小，实时性好，但变形仿真效果不佳；如果C、l这些参数选取的过小，则基于对合碟形弹簧的柔性体力触觉建模方法中对合碟形弹簧的变形截止层数值就大，计算量大，实时性不佳，但变形仿真效果较好；另外在设置t₁和t_i之间的关系时，要考虑到程序运行时计算机本身的硬件配置，故在调试整个程序的过程中，要折中选择这些参数，不断反复调试，从而使变形效果更加逼真。

为验证本发明的实施效果，操作者通过PHANTOM OMNI手控器端部的手柄来触摸、感知和控制虚拟医用镊子对虚拟胃进行按压的变形仿真，并将交互过程中产生的力触觉信息实时反馈给操作者。实验结果表明：该模型是有效的，在交互过程中，操作者可实时、真实地感知到变形仿真过程中虚拟医用镊子与虚拟胃之间的力触觉信息，感知效果真实。

Claims (1)

1.基于对合碟形弹簧的柔性体力触觉建模方法，其特征在于，所述方法具体步骤如下：

步骤1，虚拟场景初始化；

步骤2，在给定虚拟接触压力F作用下，当虚拟代理碰撞到虚拟柔性体表面上的任意点时，在碰撞点处悬挂两片外径为D、内径为d、厚度为l、自由高度为H₀、被压平时的最大变形量为h₀的单片碟形弹簧，两片单片碟形弹簧对合设置构成对合碟形弹簧第一层；在对合碟形弹簧第一层下，对合设置两片如第一层放置的同规格单片碟形弹簧构成对合碟形弹簧第二层；在对合碟形弹簧第二层下，对合设置两片如第一层放置的同规格单片碟形弹簧构成对合碟形弹簧第三层；依此类推，在对合碟形弹簧第i层下，对合设置两片如第一层放置的同规格单片碟形弹簧构成对合碟形弹簧第i+1层；i＝1,2,3,…,N，N为自然数，对合碟形弹簧各层中的单片碟形弹簧的外径、内径、厚度、自由高度、被压平时的最大变形量均相同；

设定给定虚拟接触压力F的作用线和对合碟形弹簧中心线一致，且在给定虚拟接触压力F作用下，若柔性体中对合碟形弹簧共有M层产生变形，则第M层称为变形截止层；

若给定虚拟接触压力F使对合碟形弹簧第一层被压缩时产生的变形量f₁达到对合碟形弹簧第一层被压平时的最大变形量v₁，则对合碟形弹簧前M-1层中每层被压缩时产生的变形量均与对合碟形弹簧第一层被压平时的最大变形量v₁相同，对合碟形弹簧变形截止层第M层被压缩时产生的变形量不大于对合碟形弹簧第一层被压平时的最大变形量v₁，

其中，对合碟形弹簧第一层被压平时的最大变形量v₁为：

v₁＝2h₀

单片碟形弹簧被压平时的最大变形量h₀为：

h₀＝H₀-l

则，对合碟形弹簧第一层消耗的压力F₁为：

其中，α表示对合碟形弹簧第一层中的单片碟形弹簧的辅助量：

$\mathrm{\&alpha;}=\frac{1}{\mathrm{\&pi;}}\frac{{\left(\frac{C-1}{C}\right)}^2}{\frac{C+1}{C-1}-\frac{2}{\ln C}}\frac{1-{\mathrm{\&mu;}}^2}{4E}$

其中，C表示单片碟形弹簧的外径和内径之比：

$C=\frac{D}{d}$

μ、E分别表示单片碟形弹簧的泊松比、弹性模量，单片碟形弹簧的泊松比、弹性模量的具体数值与单片碟形弹簧的材料有关，

除对合碟形弹簧第一层和变形截止层第M层外，对合碟形弹簧其余各层消耗的压力F_j为：

$F_j=\frac{4E}{1-{\mathrm{\&mu;}}^2}\frac{l^3{h}_0}{{\mathrm{\&lambda;}}_1{D}^2}$

j的取值范围是[2,M-1]；

λ₁表示除对合碟形弹簧第一层外，对合碟形弹簧其余各层中单片碟形弹簧的计算系数：

${\mathrm{\&lambda;}}_1=\frac{1}{\mathrm{\&pi;}}\frac{{\left(\frac{C-1}{C}\right)}^2}{\frac{C+1}{C-1}-\frac{2}{\ln C}}$

变形截止层第M层的变形量为：

$h_M=2\frac{F-\underset{i=1}{\overset{M-1}{\&Sigma;}}{F}_i}{k_M}$

k_M为对合碟形弹簧变形截止层第M层中的单片碟形弹簧的弹簧刚度：

$k_M=\frac{4E}{1-{\mathrm{\&mu;}}^2}\frac{l^3}{{\mathrm{\&lambda;}}_1{D}^2}$

步骤3，使给定虚拟接触压力F作用于虚拟柔性体碰撞点，对合碟形弹簧第i层被压缩，如果对合碟形弹簧前i层消耗的压力F_i之和小于给定虚拟接触压力F，且对合碟形弹簧前i层产生压缩变形总计需要的时延时间满足刷新频率1000Hz以上的要求，设共计经过时延T_i后，对合碟形弹簧第i层被压缩到被压平时的最大变形量v₁，只有当对合碟形弹簧第i层被压缩到被压平时的最大变形量v₁后，对合碟形弹簧第i+1层才开始被压缩，依此类推，直到对合碟形弹簧前M层消耗的压力之和不小于给定虚拟接触压力，或对合碟形弹簧第M层产生压缩变形总计需要的时延时间不满足刷新频率1000Hz以上的要求；

用t_i、T_i分别表示对合碟形弹簧第i层产生压缩变形需要的时延时间、对合碟形弹簧前i层产生压缩变形总计需要的时延时间，且对合碟形弹簧各层间的时延时间满足以对合碟形弹簧第一层产生压缩变形需要的时延时间t₁为首项、以q为公比的等比数列：

t_i＝q^i-1t₁

从虚拟代理碰撞接触到虚拟柔性体表面算起，对合碟形弹簧前i层产生压缩变形总计需要的时延时间T_i满足T_i<T，其中

$\begin{array}{c}{T}_i=t_1+t_2+t_3+...+t_i\\ =\frac{1-q^i}{1-q}\&CenterDot;t_1\end{array}$

T为力触觉再现刷新频率的倒数；

所述虚拟柔性体表面的变形量，也即对合碟形弹簧中各层的变形量之和h为：

其中，(M-1)v₁为对合碟形弹簧前M-1层被压平时的最大变形量。