CN105892296A - 一种工业加热炉系统的分数阶动态矩阵控制方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种工业加热炉系统的分数阶动态矩阵控制方法。本发明首先采用Oustaloup近似方法将分数阶模型近似为整数阶高阶模型，基于近似高阶模型实施阶跃响应实验，采集阶跃响应数据，获取模型向量，然后将整数阶动态矩阵控制方法扩展到分数阶动态矩阵控制方法中，将分数阶微积分算子引入目标函数，进而基于阶跃响应模型和选取的目标函数设计了分数阶动态矩阵控制器。本发明运用于分数阶模型描述的实际过程对象，改善了整数阶DMC方法控制分数阶系统的不足之处，同时增加了调节控制器参数的自由度，获得了良好的控制性能，并能很好地满足实际工业过程的需要。

Description

一种工业加热炉系统的分数阶动态矩阵控制方法

技术领域

本发明属于自动化技术领域，涉及一种工业加热炉系统的分数阶动态矩阵控制(FDMC)方法。

背景技术

在实际工业控制过程中，随着对产品的控制精度和安全操作的要求越来越高，许多复杂的对象是整数阶微分方程无法精确描述的，用分数阶微分方程能更精确地描述对象特征和评估产品性能。动态矩阵控制(DMC)方法作为先进控制方法的一种，具有对模型要求低，鲁棒性强，处理延时的方法简单易行等特点，在实际过程控制中获得大量成功的应用。针对一类单输入单输出分数阶系统，传统PID控制方法和整数阶DMC方法对这类对象的控制效果并不是很好，这就需要研究具备良好控制性能的控制器来控制这类用分数阶模型描述的实际被控对象。如果将整数阶DMC方法扩展到分数阶DMC方法中，那将能有效的弥补整数阶DMC方法在控制分数阶系统的不足，并能获得更好的控制效果，同时也能促进DMC在分数阶系统中的运用。

发明内容

本发明的目的是针对分数阶模型描述的加热炉温度对象，提供一种工业加热炉系统的FDMC方法，以维持分数阶系统的稳定性并保障良好的控制性能。该方法首先采用Oustaloup近似方法将分数阶模型近似为整数阶高阶模型，基于近似高阶模型实施阶跃响应实验，采集阶跃响应数据，获取模型向量，然后将整数阶动态矩阵控制方法扩展到分数阶动态矩阵控制中，将分数阶微积分算子引入目标函数，进而基于阶跃响应模型和选取的目标函数设计了分数阶动态矩阵控制器。

该方法可以很好地运用于分数阶模型描述的实际过程对象，改善了整数阶DMC方法控制分数阶系统的不足之处，同时增加了控制器参数调节的自由度，获得了良好的控制性能，并能很好地满足实际工业过程的需要。

本发明的技术方案是通过数据采集、模型建立、预测机理、优化等手段，确立了一种工业加热炉系统的FDMC方法，该方法可有效提高系统的控制性能。

本发明方法的步骤包括：

步骤1、建立加热炉中温度对象的分数阶阶跃响应模型，具体方法是：

1.1采集实际过程对象的实时输入输出数据，利用该数据建立被控对象在t时刻的分数阶微分方程模型，形式如下：

$c_2{y}^{\left({\mathrm{\α}}_2\right)}\left(t\right)+c_1{y}^{\left({\mathrm{\α}}_1\right)}\left(t\right)+c_{0}y\left(t\right)=u\left(t\right)$

其中，α₁,α₂为微分阶次，c₀,c₁,c₂为相应的系数，y(t),u(t)分别为过程的输出和输入。

1.2根据分数阶微积分定义，对步骤1.1中的模型进行拉氏变换，得到被控对象的传递函数形式如下：

$G\left(s\right)=\frac{1}{c_2{s}^{{\mathrm{\α}}_2}+c_1{s}^{{\mathrm{\α}}_1}+c_0}$

其中s为拉普拉斯变换算子。

1.3由Oustaloup近似方法得到微分算子s^α的近似表达形式如下：

$s^{\mathrm{\α}}\≈K\underset{n=1}{\overset{N}{\Π}}\frac{s+w_n^{\′}}{s+w_n}$

其中，α为分数阶微分阶次，0<α<1，N为选定的近似阶次， w_b和w_h分别为选定的拟合频率的下限和上限。

1.4根据步骤1.3中的方法，将步骤1.2中的分数阶系统近似为整数阶高阶系统，给所得高阶模型一个阶跃输入信号，记录高阶模型的阶跃响应曲线。

1.5将步骤1.4得到的阶跃响应曲线进行滤波处理，然后拟合成一条光滑曲线，记录光滑曲线上的每个采样时刻对应的阶跃响应数据，第一个采样时刻为T_s，相邻两个采样时刻间隔的时间为T_s，采样时刻顺序为T_s、2T_s、3T_s……；高阶模型的阶跃响应将在某一个时刻t_N＝NT_s后趋于平稳，当a_t(t>N)与a_N的误差和测量误差有相同的数量级时，即可认为a_N近似等于阶跃响应的稳态值。建立高阶模型的模型向量a：

a＝[a₁,a₂,…,a_N]^T

其中T为矩阵的转置符号,N为建模时域。

步骤2、设计被控对象的分数阶动态矩阵控制器,具体方法如下：

2.1利用步骤1获得的模型向量a建立被控对象的动态矩阵，其形式如下：

其中，A是被控对象的P×M阶动态矩阵，a_i是阶跃响应的数据，P、M分别为动态矩阵控制算法的优化时域和控制时域，M<P<N。

2.2求取被控对象当前k时刻的模型预测初始响应值y_M(k)

首先，在k-1时刻加入控制增量Δu(k-1)后得到模型预测值y_P(k-1)：

y_P(k-1)＝y_M(k-1)+A₀Δu(k-1)

其中，

y_P(k-1)＝[y₁(k|k-1),y₁(k+1|k-1),…,y₁(k+N-1|k-1)]^T

y_M(k-1)＝[y₀(k|k-1),y₀(k+1|k-1),…,y₀(k+N-1|k-1)]^T

A₀＝[a₁,a₂,…,a_N]^T

y₁(k|k-1),y₁(k+1|k-1),…,y₁(k+N-1|k-1)分别表示被控对象在k-1时刻对k,k+1,…,k+N-1时刻的模型预测值，y₀(k|k-1),y₀(k+1|k-1),…,y_i,0(k+N-1|k-1)表示k-1时刻对k,k+1,…,k+N-1时刻的初始预测值，A₀为阶跃响应数据建立的矩阵，Δu(k-1)为k-1时刻的输入控制量；

然后，可以得到k时刻被控对象的模型预测误差值e(k)：

e(k)＝y(k)-y₁(k|k-1)

其中y(k)表示k时刻测得的被控对象的实际输出值；

进一步得到k时刻修正后的模型输出值y_cor(k)：

y_cor(k)＝y_M(k-1)+h*e(k)

其中，

y_cor(k)＝[y_cor(k|k),y_cor(k+1|k),…,y_cor(k+N-1|k)]^T

h＝[1,α,…,α]^T

y_cor(k|k),y_cor(k+1|k),…,y_cor(k+N-1|k)分别表示被控对象在k时刻模型的修正值，h为误差补偿的权矩阵，α为误差校正系数；

最后得到k时刻的模型预测的初始响应值y_M(k)：

y_M(k)＝Sy_cor(k)

其中，S为N×N阶的状态转移矩阵，

2.3计算被控对象在M个连续的控制增量Δu(k),Δu(k+1),…,Δu(k+M-1)下的预测输出值y_PM，具体方法是：

y_PM(k)＝y_P0(k)+AΔu_M(k)

其中，

y_PM(k)＝[y_M(k+1|k),y_M(k+2|k),…,y_M(k+P|k)]^T

y_P0(k)＝[y₀(k+1|k),y₀(k+2|k),…,y₀(k+P|k)]^T

Δu_M(k)＝[Δu(k),Δu(k+1),…,Δu(k+M-1)]^T

y_P0(k)是y_M(k)的前P项，y_M(k+1|k),y_M(k+2|k),…,y_M(k+P|k)为k时刻对k+1,k+2,…,k+P时刻的模型预测输出值。

2.4选取被控对象的参考轨迹和动态矩阵控制方法的目标函数J_FDMC，其形式如下：

y_r(k+i)＝λⁱy_P(k)+(1-λⁱ)c(k)

$\begin{array}{c}{\tilde{J}}_{FDMC}=I_{T_S}^{{\mathrm{PT}}_S}{}_{{\mathrm{\&gamma;}}_1}{\&lsqb;y_r\left(t\right)-y_M\left(t\right)\&rsqb;}^2+I_{T_S}^{{\mathrm{MT}}_S}{}_{{\mathrm{\&gamma;}}_2}\mathrm{\&Delta;}u{(t-1)}^2\\ ={\&Integral;}_{T_S}^{{\mathrm{PT}}_S}{D}^{1-{\mathrm{\&gamma;}}_1}{\&lsqb;y_1\left(t\right)-y_M\left(t\right)\&rsqb;}^{2}dt+{\&Integral;}_{T_S}^{{\mathrm{MT}}_S}{D}^{1-{\mathrm{\&gamma;}}_2}\mathrm{\&Delta;}u{(t-1)}^{2}dt\end{array}$

其中，γ₁,γ₂为任意实数，表示函数f(t)在[t₁,t₂]上的γ次积分，D为微分符号。

依据Grünwald-Letnikov分数阶微积分定义，对上述目标函数在采样时间T_s进行离散化，得到：

${\tilde{J}}_{FDMC}\&cong;{\&lsqb;Y_r\left(k\right)-y_{PM}\left(k\right)\&rsqb;}^T\mathrm{\&Lambda;}({\mathrm{\&gamma;}}_1,T_s)\&lsqb;Y_r\left(k\right)-y_{PM}\left(k\right)\&rsqb;+{\mathrm{\&Delta;u}}_M{\left(k\right)}^T\mathrm{\&Lambda;}({\mathrm{\&gamma;}}_2,T_s){\mathrm{\&Delta;u}}_M\left(k\right)$

其中，

Y_r(k)＝[y_r(k+1),y_r(k+2),…,y_r(k+P)]^T

$\mathrm{\&Lambda;}({\mathrm{\&gamma;}}_{\mathrm{\&epsiv;}},T_s)=T_s^{{\mathrm{\&gamma;}}_{\mathrm{\&epsiv;}}}diag(w_{P-1},w_{P-2},...,w_1,w_0)$

$w_q={\mathrm{\&omega;}}_q^{\left({\mathrm{\&gamma;}}_{\mathrm{\&epsiv;}}\right)}-{\mathrm{\&omega;}}_{q-(P-1)}^{\left({\mathrm{\&gamma;}}_{\mathrm{\&epsiv;}}\right)}$

时，对q＜0，ε＝1，2。

在上式中进一步引入误差加权系数Q＝diag(q₁,q₂,…,q_P)和控制加权系数R＝diag(r₁,r₂,…,r_P)，所得目标函数为

J_FDMC＝[Y_r(k)-y_PM(k)]^TΛ(γ₁,T_s)Q[Y_r(k)-y_PM(k)]+ΔU^TΛ(γ₂,T_s)RΔU

2.5依据步骤2.4中的目标函数求解得到控制量，形式如下：

Δu_M(k)＝(A^TΛ(γ₁,T_s)QA+Λ(γ₂,T_s)R)^-1A^TΛ(γ₁,T_s)Q(Y_r(k)-y_P0(k))

Δu(k)＝[1,0,…,0]Δu_M(k)

u(k)＝u(k-1)+Δu(k)

2.6在k+l时刻，l＝1,2,3，…，依照2.1到2.5中的步骤依次循环求解分数阶动态矩阵控制器的控制量u(k+l)，再将其作用于被控对象。

本发明提出了一种工业加热炉系统的分数阶动态矩阵控制方法，该方法建立了被控对象的分数阶阶跃响应模型，将微分算子引入控制器增加了控制器参数调节的自由度，有效弥补了整数阶动态矩阵控制对分数阶系统控制的不足之处，提高了系统的控制性能，同时促进了动态矩阵控制方法在分数阶系统中的应用。

具体实施方式

以实际过程中加热炉的温度过程控制为例：

由加热炉的实时温度数据得到分数阶模型，温度控制系统的调节手段是控制阀门开度。

步骤1、建立加热炉中温度对象的分数阶阶跃响应模型，具体方法是：

1.1采集加热炉温度对象的实时输入输出数据，利用该温度数据建立加热炉温度对象在t时刻的分数阶微分方程模型，形式如下：

$c_2{y}^{\left({\mathrm{\&alpha;}}_2\right)}\left(t\right)+c_1{y}^{\left({\mathrm{\&alpha;}}_1\right)}\left(t\right)+c_{0}y\left(t\right)=u\left(t\right)$

其中，α₁,α₂为微分阶次，c₀,c₁,c₂为相应的系数，y(t),u(t)分别为加热炉温度对象的温度输出和阀门开度。

1.2根据分数阶微积分定义，对步骤1.1中的模型进行拉氏变换，得到温度对象的传递函数形式如下：

$G\left(s\right)=\frac{1}{c_2{s}^{{\mathrm{\&alpha;}}_2}+c_1{s}^{{\mathrm{\&alpha;}}_1}+c_0}$

其中s为拉普拉斯变换算子。

1.3由Oustaloup近似方法得到微分算子s^α的近似表达形式如下：

$s^{\mathrm{\&alpha;}}\&ap;K\underset{n=1}{\overset{N}{\&Pi;}}\frac{s+w_n^{\&prime;}}{s+w_n}$

其中，α为分数阶微分阶次，0<α<1，N为选定的近似阶次， w_b和w_h分别为选定的拟合频率的下限和上限。

1.4根据步骤1.3中的方法，将步骤1.2中的分数阶系统近似为整数阶高阶系统模型，给所得高阶模型一个阶跃输入信号，记录高阶模型的阶跃响应曲线。

1.5将步骤1.4得到的阶跃响应曲线进行滤波处理，然后拟合成一条光滑曲线，记录光滑曲线上的每个采样时刻对应的阶跃响应数据，第一个采样时刻为T_s，相邻两个采样时刻间隔的时间为T_s，采样时刻顺序为T_s、2T_s、3T_s……；高阶模型的阶跃响应将在某一个时刻t_N＝NT_s后趋于平稳，当a_t(t>N)与a_N的误差和测量误差有相同的数量级时，即可认为a_N近似等于阶跃响应的稳态值。建立高阶模型的模型向量a：

a＝[a₁,a₂,…,a_N]^T

其中T为矩阵的转置符号,N为建模时域。

步骤2、设计加热炉温度对象的分数阶动态矩阵控制器,具体方法如下：

2.1利用步骤1获得的模型向量a建立加热炉温度对象的动态矩阵，其形式如下：

其中，A是温度对象的P×M阶动态矩阵，a_i是阶跃响应的数据，P、M分别为动态矩阵控制算法的优化时域和控制时域，M<P<N。

2.2求取加热炉温度对象当前k时刻的模型预测初始响应值y_M(k)

首先，在k-1时刻加入阀门开度增量Δu(k-1)后得到模型预测值y_P(k-1)：

y_P(k-1)＝y_M(k-1)+A₀Δu(k-1)

其中，

y_P(k-1)＝[y₁(k|k-1),y₁(k+1|k-1),…,y₁(k+N-1|k-1)]^T

y_M(k-1)＝[y₀(k|k-1),y₀(k+1|k-1),…,y₀(k+N-1|k-1)]^T

A₀＝[a₁,a₂,…,a_N]^T

y₁(k|k-1),y₁(k+1|k-1),…,y₁(k+N-1|k-1)分别表示温度对象在k-1时刻对k,k+1,…,k+N-1时刻的模型预测值，y₀(k|k-1),y₀(k+1|k-1),…,y_i,0(k+N-1|k-1)表示k-1时刻对k,k+1,…,k+N-1时刻的初始预测值，A₀为阶跃响应数据建立的矩阵，Δu(k-1)为k-1时刻的阀门开度增量；

然后，可以得到k时刻加热炉温度对象的模型预测误差值e(k)：

e(k)＝y(k)-y₁(k|k-1)

其中y(k)表示k时刻测得的加热炉温度对象的实际输出值；

进一步得到k时刻修正后的模型输出值y_cor(k)：

y_cor(k)＝y_M(k-1)+h*e(k)

其中，

y_cor(k)＝[y_cor(k|k),y_cor(k+1|k),…,y_cor(k+N-1|k)]^T

h＝[1,α,…,α]^T

y_cor(k|k),y_cor(k+1|k),…,y_cor(k+N-1|k)分别表示加热炉温度对象在k时刻模型的修正值，h为误差补偿的权矩阵，α为误差校正系数；

最后得到k时刻的模型预测的初始响应值y_M(k)：

y_M(k)＝Sy_cor(k)

其中，S为N×N阶的状态转移矩阵，

2.3计算温度过程在M个连续的阀门开度增量Δu(k),Δu(k+1),…,Δu(k+M-1)下的预测输出值y_PM，具体方法是：

y_PM(k)＝y_P0(k)+AΔu_M(k)

其中，

y_PM(k)＝[y_M(k+1|k),y_M(k+2|k),…,y_M(k+P|k)]^T

y_P0(k)＝[y₀(k+1|k),y₀(k+2|k),…,y₀(k+P|k)]^T

Δu_M(k)＝[Δu(k),Δu(k+1),…,Δu(k+M-1)]^T

y_P0(k)是y_M(k)的前P项，y_M(k+1|k),y_M(k+2|k),…,y_M(k+P|k)为k时刻对k+1,k+2,…,k+P时刻的模型预测输出值。

2.4选取温度对象的参考轨迹和动态矩阵控制方法的目标函数J_FDMC，其形式如下：

y_r(k+i)＝λⁱy_P(k)+(1-λⁱ)c(k)

$\begin{array}{c}{\tilde{J}}_{FDMC}=I_{T_S}^{{\mathrm{PT}}_S}{}_{{\mathrm{\&gamma;}}_1}{\&lsqb;y_r\left(t\right)-y_M\left(t\right)\&rsqb;}^2+I_{T_S}^{{\mathrm{MT}}_S}{}_{{\mathrm{\&gamma;}}_2}\mathrm{\&Delta;}u{(t-1)}^2\\ ={\&Integral;}_{T_S}^{{\mathrm{PT}}_S}{D}^{1-{\mathrm{\&gamma;}}_1}{\&lsqb;y_1\left(t\right)-y_M\left(t\right)\&rsqb;}^{2}dt+{\&Integral;}_{T_S}^{{\mathrm{MT}}_S}{D}^{1-{\mathrm{\&gamma;}}_2}\mathrm{\&Delta;}u{(t-1)}^{2}dt\end{array}$

其中，γ₁,γ₂为任意实数，表示函数f(t)在[t₁,t₂]上的γ次积分，D为微分符号。

依据Grünwald-Letnikov分数阶微积分定义，在采样时间T_s下对上述目标函数进行离散化，得到：

${\tilde{J}}_{FDMC}\&cong;{\&lsqb;Y_r\left(k\right)-y_{PM}\left(k\right)\&rsqb;}^T\mathrm{\&Lambda;}({\mathrm{\&gamma;}}_1,T_s)\&lsqb;Y_r\left(k\right)-y_{PM}\left(k\right)\&rsqb;+{\mathrm{\&Delta;u}}_M{\left(k\right)}^T\mathrm{\&Lambda;}({\mathrm{\&gamma;}}_2,T_s){\mathrm{\&Delta;u}}_M\left(k\right)$

其中，

Y_r(k)＝[y_r(k+1),y_r(k+2),…,y_r(k+P)]^T

$\mathrm{\&Lambda;}({\mathrm{\&gamma;}}_{\mathrm{\&epsiv;}},T_s)=T_s^{{\mathrm{\&gamma;}}_{\mathrm{\&epsiv;}}}diag(w_{P-1},w_{P-2},...,w_1,w_0)$

$w_q={\mathrm{\&omega;}}_q^{\left({\mathrm{\&gamma;}}_{\mathrm{\&epsiv;}}\right)}-{\mathrm{\&omega;}}_{q-(P-1)}^{\left({\mathrm{\&gamma;}}_{\mathrm{\&epsiv;}}\right)}$

时，对q＜0，ε＝1，2。

在上式中进一步引入误差加权系数Q＝diag(q₁,q₂,…,q_P)和控制加权系数R＝diag(r₁,r₂,…,r_P)，所得目标函数为

J_FDMC＝[Y_r(k)-y_PM(k)]^TΛ(γ₁,T_s)Q[Y_r(k)-y_PM(k)]+ΔU^TΛ(γ₂,T_s)RΔU

2.5依据步骤2.4中的目标函数求解得到阀门开度增量，形式如下：

Δu_M(k)＝(A^TΛ(γ₁,T_s)QA+Λ(γ₂,T_s)R)^-1A^TΛ(γ₁,T_s)Q(Y_r(k)-y_P0(k))

Δu(k)＝[1,0,…,0]Δu_M(k)

u(k)＝u(k-1)+Δu(k)

2.6在k+l时刻，l＝1,2,3，…，依照2.1到2.5中的步骤依次循环求解分数阶动态矩阵控制方法的阀门开度u(k+l)，再将其作用于加热炉温度对象。

Claims (1)

1.一种工业加热炉系统的分数阶动态矩阵控制方法，其特征在于该方法包括以下步骤；

步骤1、建立加热炉中温度对象的分数阶阶跃响应模型，具体是：

1.1采集实际过程对象的实时输入输出数据，利用该数据建立被控对象在t时刻的分数阶微分方程模型，形式如下：

$c_2{y}^{\left({\mathrm{\&alpha;}}_2\right)}\left(t\right)+c_1{y}^{\left({\mathrm{\&alpha;}}_1\right)}\left(t\right)+c_{0}y\left(t\right)=u\left(t\right)$

其中，α₁,α₂为微分阶次，c₀,c₁,c₂为相应的系数，y(t),u(t)分别为过程的输出和输入；

1.2根据分数阶微积分定义，对步骤1.1中的模型进行拉氏变换，得到被控对象的传递函数形式如下：

$G\left(s\right)=\frac{1}{c_2{s}^{{\mathrm{\&alpha;}}_2}+c_1{s}^{{\mathrm{\&alpha;}}_1}+c_0}$

其中s为拉普拉斯变换算子；

1.3由Oustaloup近似方法得到微分算子s^α的近似表达形式如下：

$s^{\mathrm{\&alpha;}}\&ap;K\underset{n=1}{\overset{N}{\&Pi;}}\frac{s+w_n^{\&prime;}}{s+w_n}$

其中，α为分数阶微分阶次，0<α<1，N为选定的近似阶次，w_b和w_h分别为选定的拟合频率的下限和上限；

1.4根据步骤1.3中的方法，将步骤1.2中的分数阶系统近似为整数阶高阶系统，给所得高阶模型一个阶跃输入信号，记录高阶模型的阶跃响应曲线；

1.5将步骤1.4得到的阶跃响应曲线进行滤波处理，然后拟合成一条光滑曲线，记录光滑曲线上的每个采样时刻对应的阶跃响应数据，第一个采样时刻为T_s，相邻两个采样时刻间隔的时间为T_s，采样时刻顺序为T_s、2T_s、3T_s……；高阶模型的阶跃响应将在某一个时刻t_N＝NT_s后趋于平稳，当a_t(t>N)与a_N的误差和测量误差有相同的数量级时，即可认为a_N近似等于阶跃响应的稳态值；建立高阶模型的模型向量a：

a＝[a₁,a₂,…,a_N]^T

其中T为矩阵的转置符号,N为建模时域；

步骤2、设计被控对象的分数阶动态矩阵控制器,具体如下：

2.1利用步骤1获得的模型向量a建立被控对象的动态矩阵，其形式如下：

其中，A是被控对象的P×M阶动态矩阵，a_i是阶跃响应的数据，P、M分别为动态矩阵控制算法的优化时域和控制时域，M<P<N；

2.2求取被控对象当前k时刻的模型预测初始响应值y_M(k)

首先，在k-1时刻加入控制增量Δu(k-1)后得到模型预测值y_P(k-1)：

y_P(k-1)＝y_M(k-1)+A₀Δu(k-1)

其中，

y_P(k-1)＝[y₁(k|k-1),y₁(k+1|k-1),…,y₁(k+N-1|k-1)]^T

y_M(k-1)＝[y₀(k|k-1),y₀(k+1|k-1),…,y₀(k+N-1|k-1)]^T

A₀＝[a₁,a₂,…,a_N]^T

y₁(k|k-1),y₁(k+1|k-1),…,y₁(k+N-1|k-1)分别表示被控对象在k-1时刻对k,k+1,…,k+N-1时刻的模型预测值，y₀(k|k-1),y₀(k+1|k-1),…,y_i,0(k+N-1|k-1)表示k-1时刻对k,k+1,…,k+N-1时刻的初始预测值，A₀为阶跃响应数据建立的矩阵，Δu(k-1)为k-1时刻的输入控制量；

然后，得到k时刻被控对象的模型预测误差值e(k)：

e(k)＝y(k)-y₁(k|k-1)

其中y(k)表示k时刻测得的被控对象的实际输出值；

进一步得到k时刻修正后的模型输出值y_cor(k)：

y_cor(k)＝y_M(k-1)+h*e(k)

其中，

y_cor(k)＝[y_cor(k|k),y_cor(k+1|k),…,y_cor(k+N-1|k)]^T

h＝[1,α,…,α]^T

y_cor(k|k),y_cor(k+1|k),…,y_cor(k+N-1|k)分别表示被控对象在k时刻模型的修正值，h为误差补偿的权矩阵，α为误差校正系数；

最后得到k时刻的模型预测的初始响应值y_M(k)：

y_M(k)＝Sy_cor(k)

其中，S为N×N阶的状态转移矩阵，

2.3计算被控对象在M个连续的控制增量Δu(k),Δu(k+1),…,Δu(k+M-1)下的预测输出值y_PM，具体是：

y_PM(k)＝y_P0(k)+AΔu_M(k)

其中，

y_PM(k)＝[y_M(k+1|k),y_M(k+2|k),…,y_M(k+P|k)]^T

y_P0(k)＝[y₀(k+1|k),y₀(k+2|k),…,y₀(k+P|k)]^T

Δu_M(k)＝[Δu(k),Δu(k+1),…,Δu(k+M-1)]^T

y_P0(k)是y_M(k)的前P项，y_M(k+1|k),y_M(k+2|k),…,y_M(k+P|k)为k时刻对k+1,k+2,…,k+P时刻的模型预测输出值；

2.4选取被控对象的参考轨迹和动态矩阵控制方法的目标函数J_FDMC，其形式如下：

y_r(k+i)＝λⁱy_P(k)+(1-λⁱ)c(k)

其中，γ₁,γ₂为任意实数，表示函数f(t)在[t₁,t₂]上的γ次积分，D为微分符号；

依据Grünwald-Letnikov分数阶微积分定义，对上述目标函数在采样时间T_s进行离散化，得到：

${\tilde{J}}_{FDMC}\&cong;{\&lsqb;Y_r\left(k\right)-y_{PM}\left(k\right)\&rsqb;}^T\mathrm{\&Lambda;}({\mathrm{\&gamma;}}_1,T_s)\&lsqb;Y_r\left(k\right)-y_{PM}\left(k\right)\&rsqb;+{\mathrm{\&Delta;u}}_M{\left(k\right)}^T\mathrm{\&Lambda;}({\mathrm{\&gamma;}}_2,T_s){\mathrm{\&Delta;u}}_M\left(k\right)$

其中，

Y_r(k)＝[y_r(k+1),y_r(k+2),…,y_r(k+P)]^T

$\mathrm{\&Lambda;}({\mathrm{\&gamma;}}_{\mathrm{\&epsiv;}},T_s)=T_s^{{\mathrm{\&gamma;}}_{\mathrm{\&epsiv;}}}diag(w_{P-1},w_{P-2},...,w_1,w_0)$

$w_q={\mathrm{\&omega;}}_q^{\left({\mathrm{\&gamma;}}_{\mathrm{\&epsiv;}}\right)}-{\mathrm{\&omega;}}_{q-(P-1)}^{\left({\mathrm{\&gamma;}}_{\mathrm{\&epsiv;}}\right)}$

时，对q<0，ε＝1,2；

在上式中进一步引入误差加权系数Q＝diag(q₁,q₂,…,q_P)和控制加权系数R＝diag(r₁,r₂,…,r_P)，所得目标函数为

J_FDMC＝[Y_r(k)-y_PM(k)]^TΛ(γ₁,T_s)Q[Y_r(k)-y_PM(k)]+ΔU^TΛ(γ₂,T_s)RΔU

2.5依据步骤2.4中的目标函数求解得到控制量，形式如下：

Δu_M(k)＝(A^TΛ(γ₁,T_s)QA+Λ(γ₂,T_s)R)^-1A^TΛ(γ₁,T_s)Q(Y_r(k)-y_P0(k))

Δu(k)＝[1,0,…,0]Δu_M(k)

u(k)＝u(k-1)+Δu(k)

2.6在k+l时刻，l＝1,2,3，…，依照2.1到2.5中的步骤依次循环求解分数阶动态矩阵控制器的控制量u(k+l)，再将其作用于被控对象。