CN105955350A - 遗传算法优化加热炉温度的分数阶预测函数控制方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种遗传算法优化加热炉温度的分数阶预测函数控制方法。本发明首先采用Oustaloup近似方法将分数阶系统近似为整数阶系统，基于Oustaloup近似模型建立预测输出模型，然后将整数阶预测函数控制方法扩展到分数阶预测函数控制方法中，将分数阶微分算子引入目标函数，并采用遗传算法来优化微分算子，从而使经优化后获得更加合理的控制效果。本发明方法可有效提高系统的控制性能。

Description

遗传算法优化加热炉温度的分数阶预测函数控制方法

技术领域

本发明属于自动化技术领域，涉及一种遗传算法优化加热炉温度的分数阶预测函数控制方法。

背景技术

化工过程是我国流程工业过程的重要组成部分，其要求是供给合格的工业产品，以满足我国工业的需要。对于许多复杂的对象使用整数阶微分方程无法精确描述，用分数阶微分方程能更精确地描述对象特征和评估产品性能。预测函数(PFC)作为先进控制方法的一种，具有计算量小、鲁棒性强、控制性能好等特点，在实际过程控制中获得了大量成功的应用。对于分数阶系统，传统PID控制方法和整数阶预测函数控制方法对这类对象的控制效果并不是很好，这就需要我们研究具备良好控制性能的控制器来控制这类用分数阶模型描述的实际被控对象。虽然分数阶预测函数方法增加自由度，但对于调整参数也增加了难度，针对这类问题提出了采用遗传算法来优化这些参数，从而使经优化后获得更加合理的控制效果，保证了跟踪精度。

发明内容

本发明的目的是针对分数阶系统描述的加热炉温度过程，提供一种遗传算法优化加热炉温度的分数阶预测函数控制方法，以保证分数阶系统跟踪性能并保障良好的控制效果。

本发明方法首先采用Oustaloup近似方法将分数阶系统近似为整数阶系统，基于Oustaloup近似模型建立预测输出模型，然后将整数阶预测函数控制方法扩展到分数阶预测函数控制方法中，将分数阶微分算子引入目标函数，并采用遗传算法来优化微分算子，从而使经优化后获得更加合理的控制效果。

本发明方法的步骤包括：

步骤1、建立工业加热炉对象的分数阶线性模型，具体方法是：

1.1采集加热炉实际过程的实时输入输出数据，利用该数据建立被控对象在时刻t的分数阶微分方程模型，形式如下：

$c_2{y}^{\left({\mathrm{\α}}_2\right)}\left(t\right)+c_1{y}^{\left({\mathrm{\α}}_1\right)}\left(t\right)+c_{0}y\left(t\right)=u\left(t\right)$

其中，α₁,α₂为微分阶次，c₀,c₁,c₂为相应的系数，y(t),u(t)分别为过程的输出和输入。

1.2根据分数阶微积分定义，对步骤1.1中的模型进行拉氏变换，得到被控对象的传递函数形式如下：

$G\left(s\right)=\frac{1}{c_2{s}^{{\mathrm{\α}}_2}+c_1{s}^{{\mathrm{\α}}_1}+c_0}$

其中，s为复变量。

1.3由Oustaloup近似方法得到微分算子s^α的近似表达形式如下：

$s^{\mathrm{\α}}\≈K\underset{n=1}{\overset{N}{\Π}}\frac{s+w_n^{\′}}{s+w_n}$

其中，α为分数阶微分阶次，0＜α＜1，N为选定的近似阶次， w_b和w_h分别为选定的拟合频率的下限和上限。

1.4根据步骤1.3中的方法，将步骤1.2中的分数阶系统近似为整数阶高阶系统模型，对得到的高阶模型在采样时间T_s下加零阶保持器离散化，得到如下形式的模型：

$\begin{array}{c}y\left(k\right)=-F_{1}y(k-1)-F_{2}y(k-2)-\mathrm{...}-F_{L_s}y(k-L_s)\\ +H_{1}u(k-1)+H_{2}u(k-2)+H_{L_s}u(k-L_s)\end{array}$

其中，F_j,H_j(j＝1,2,…L_s)均为离散近似后得到的系数，L_s为离散模型的长度。

步骤2、设计加热炉对象的分数阶预测函数控制器，具体方法如下：

2.1计算被控对象在预测函数控制下的i步预测输出，形式如下：

$\begin{array}{c}y(k+1)=-F_{1}y\left(k\right)-F_{2}y(k-1)-\mathrm{...}-F_{L_s}y(k-L_s+1)+H_{1}u\left(k\right)+H_{2}u(k-1)+\mathrm{...}{H}_{L_s}u(k-L_s+1)\\ y(k+2)=-F_{1}y(k+1)-F_{2}y\left(k\right)-\mathrm{...}-F_{L_s}y(k-L_s+2)+H_{1}u(k+1)+H_{2}u\left(k\right)+\mathrm{...}{H}_{L_s}u(k-L_s+2)\\ .\\ .\\ .\\ y(k+P)=-F_{1}y(k+P-1)-F_{2}y(k+P-2)-\mathrm{...}-F_{L_s}y(k+P-L_s)+H_{1}u(k+P-1)+H_{2}u(k+P-2)\\ +\mathrm{...}{H}_{L_s}u(k+P-L_s)\end{array}$

其中，P为预测时域，y(k+i)为k+i时刻过程的预测模型输出，i＝1,2,…P。

2.2对步骤2.1中的式子进行整理变换，得到如下模型：

AY＝BY_past+Cu(k)+DU_past

其中，

Y＝[y(k+1),y(k+2),…,y(k+P)]^T

Y_past＝[y(k),y(k-1),…,y(k-L_s+1)]^T

U_past＝[u(k-1),u(k-2),…,u(k-L_s+1)]^T

其中，T为转置符号；结合上述式子，得到被控对象的预测输出模型为：

$Y=\stackrel{\‾}{B}{Y}_{past}+\stackrel{\‾}{C}u\left(k\right)+\stackrel{\‾}{D}{U}_{past}$

其中，

2.3修正当前时刻被控对象的预测输出模型，得到修正后的对象模型，形式如下：

$\tilde{Y}=Y+E=\stackrel{\‾}{B}{Y}_{past}+\stackrel{\‾}{C}u\left(k\right)+\stackrel{\‾}{D}{U}_{past}+E$

E＝[e(k+1),e(k+2),…,e(k+P)]^T

e(k+i)＝y_p(k)-y(k),i＝1,2,…P

其中，y_p(k)是k时刻被控对象的实际输出值，e(k+i)为k+i时刻被控对象的实际输出值与模型预测输出的差值；

2.4选取预测函数控制方法的参考轨迹y_r(k+i)和目标函数J_FPFC，其形式如下：

y_r(k+i)＝λⁱy_p(k)+(1-λⁱ)c(k),i＝0,1,…P

$\begin{array}{c}{J}_{FPFC}=I_{T_S}^{{\mathrm{PT}}_S}{}_{\mathrm{\γ}}{\[y_r\left(t\right)-y\left(t\right)-e\left(t\right)\]}^2\\ ={\∫}_{T_S}^{{\mathrm{PT}}_S}{D}^{1-\mathrm{\λ}}{\[y_r\left(t\right)-y\left(t\right)-e\left(t\right)\]}^{2}dt\end{array}$

其中，y_r(k+i)为k+i时刻的参考轨迹，λ为参考轨迹的柔化系数，c(k)为k时刻的设定值，表示函数f(t)在[t₁,t₂]上的γ次积分，D为微分符号；

依据分数阶微积分定义，对上述目标函数在采样时间T_S进行离散化，得到：

$J_{FPFC}\≈{(Y_r-\tilde{Y})}^T\mathrm{\Λ}(T_S,\mathrm{\γ})(Y_r-\tilde{Y})$

其中，

Y_r＝[y_r(k+1),y_r(k+2),…y_r(k+P)]^T

Λ(T_S,γ)＝T_Sdiag(m_P-1,m_P-2,…,m₁,m₀)

$m_q={\mathrm{\ω}}_q^{\left(\mathrm{\γ}\right)}-{\mathrm{\ω}}_{q-(P-1)}^{\left(\mathrm{\γ}\right)}$

时，对q＜0,

2.5依据步骤2.4中的目标函数求解过程输入的最优值，即最优控制律，形式如下：

$u\left(k\right)={\left({\stackrel{\‾}{C}}^T\mathrm{\Λ}\right(T_S,\mathrm{\γ}\left)\stackrel{\‾}{C}\right)}^{-1}{\stackrel{\‾}{C}}^T\mathrm{\Λ}(T_S,\mathrm{\γ})(Y_r-\stackrel{\‾}{B}{Y}_{past}-\stackrel{\‾}{D}{U}_{past}-E)$

2.6在k+L时刻，L＝1,2,3,…,依照步骤2.1到步骤2.5中的步骤依次循环求解分数阶预测函数控制器的控制量u(k+1)，再将其作用于被控对象。

步骤3、基于遗传算法优化最优控制律中的λ，具体步骤是：

3.1首先使用四位二进制进行二进制编码，得到第一代染色体。

3.2选取遗传算法的适应度函数，并计算个体的适应度值，形式如下：

$F=-{\∫}_0^{t}t\left|e\right|dt$

其中，F是个体的适应度函数。当适应度函数值大于适应度预设值f_z时，遗传算法终止。

3.3利用轮转法来确定选择算子，形式如下：

$P\left(C_l\right)=\frac{f\left(C_l\right)}{\underset{l=1}{\overset{N}{\Σ}}f\left(C_l\right)}$

其中，P(C_l)是个体C_l的选择概率，f(C_l)是个体C_l的适应度。

3.4利用步骤3.3中的选择算子将染色体适应度较高的个体选择出来以交叉概率p_c进行交叉操作，产生下一代个体。

3.5选取合适的变异算子，形式如下：

$p_m=a_0+\frac{b_0}{1+e^{a(g-g_0)}}$

其中，a₀表示变异概率p_m的初始值，b₀是变异概率的程度，g式进化的代数，g₀是变异概率改变很大的进化代数，a是变异速率。

3.6在个体数目大于种群规模N时，得到剪接算子，形式如下：

${\mathrm{Af}}_i={\mathrm{\ρe}}^{-||x-c_i||}\frac{{\mathrm{\φ}}_i\left(x\right)}{\underset{i=1}{\overset{n}{\Σ}}{\mathrm{\φ}}_i\left(x\right)},(i=1,2,...,n_r)$

其中，ρ取正数。

3.7依照步骤3.2计算每个个体的适应度值，并判断是否满足终止条件，如果满足，则为参数的最优解，进行下一步操作，如果不满足，则执行步骤3.2到步骤3.6，直到找到满足终止条件为止。

3.8对染色体进行解码，形式如下：

$\begin{array}{cc}{c}_{ij}=x_{j,min}+\frac{Q}{4^L-1}(x_{j,max}-x_{j,min})& 1\≤i\≤n_r,1\≤j\≤n\end{array}$

${\mathrm{\σ}}_j=\frac{Q}{4^L-1}{w}_{max}$

其中，Q是长度为L的二进制解码产生的整数，x_j,min和x_j,max分别为输入变量的最小值和最大值，w_max是高斯函数的基宽的最大值。

通过步骤3优化后带入步骤2中调整微分算子参数，在下一时刻依照步骤1到步骤3的步骤继续对实际过程进行控制，依次循环。

本发明的有益效果：本发明的技术方案是通过数据采集、模型建立、预测机理、优化等手段，确立了一种工业加热炉系统的分数阶预测函数控制优化方法，该方法可有效提高系统的控制性能。

具体实施方式

下面以工业加热炉温度控制过程为例，对本发明作进一步说明。

在工业加热炉温度控制过程中，为评估模型的性能，由工业生产的实际应用系统得到温度的实时数据。

遗传算法优化工业加热炉系统的分数阶预测函数控制方法的具体步骤包括：

步骤1、建立实际过程中被控对象的分数阶线性模型，具体方法是：

1.1采集实际过程对象的实时输入输出数据，利用该数据建立被控对象在时刻t的分数阶微分方程模型，形式如下：

$c_2{y}^{\left({\mathrm{\α}}_2\right)}\left(t\right)+c_1{y}^{\left({\mathrm{\α}}_1\right)}\left(t\right)+c_{0}y\left(t\right)=u\left(t\right)$

其中，α₁,α₂为微分阶次，c₀,c₁,c₂为相应的系数，y(t),u(t)分别为过程的输出和输入。

1.2根据分数阶微积分定义，对步骤1.1中的模型进行拉氏变换，得到被控对象的传递函数形式如下：

$G\left(s\right)=\frac{1}{c_2{s}^{{\mathrm{\α}}_2}+c_1{s}^{{\mathrm{\α}}_1}+c_0}$

其中，s为复变量。

1.3由Oustaloup近似方法得到微分算子s^α的近似表达形式如下：

$s^{\mathrm{\α}}\≈K\underset{n=1}{\overset{N}{\Π}}\frac{s+w_n^{\′}}{s+w_n}$

其中，α为分数阶微分阶次，0＜α＜1，N为选定的近似阶次， w_b和w_h分别为选定的拟合频率的下限和上限。

1.4根据步骤1.3中的方法，将步骤1.2中的分数阶系统近似为整数阶高阶系统模型，对得到的高阶模型在采样时间T_s下加零阶保持器离散化，得到如下形式的模型：

$\begin{array}{c}y\left(k\right)=-F_{1}y(k-1)-F_{2}y(k-2)-\mathrm{...}-F_{L_s}y(k-L_s)\\ +H_{1}u(k-1)+H_{2}u(k-2)+H_{L_s}u(k-L_s)\end{array}$

其中，F_j,H_j(j＝1,2,…L_s)均为离散近似后得到的系数，L_s为离散模型的长度。

步骤2、设计被控对象的分数阶预测函数控制器，具体方法如下：

2.1计算被控对象在预测函数控制下的i步预测输出，形式如下：

$\begin{array}{c}y(k+1)=-F_{1}y\left(k\right)-F_{2}y(k-1)-\mathrm{...}-F_{L_s}y(k-L_s+1)+H_{1}u\left(k\right)+H_{2}u(k-1)+\mathrm{...}{H}_{L_s}u(k-L_s+1)\\ y(k+2)=-F_{1}y(k+1)-F_{2}y\left(k\right)-\mathrm{...}-F_{L_s}y(k-L_s+2)+H_{1}u(k+1)+H_{2}u\left(k\right)+\mathrm{...}{H}_{L_s}u(k-L_s+2)\\ .\\ .\\ .\\ y(k+P)=-F_{1}y(k+P-1)-F_{2}y(k+P-2)-\mathrm{...}-F_{L_s}y(k+P-L_s)+H_{1}u(k+P-1)+H_{2}u(k+P-2)\\ +\mathrm{...}{H}_{L_s}u(k+P-L_s)\end{array}$

其中，P为预测时域，y(k+i)为k+i时刻过程的预测模型输出，i＝1,2,…P。

2.2对步骤2.1中的式子进行整理变换，得到如下模型：

AY＝BY_past+Cu(k)+DU_past

其中，

Y＝[y(k+1),y(k+2),…,y(k+P)]^T

Y_past＝[y(k),y(k-1),…,y(k-L_s+1)]^T

U_past＝[u(k-1),u(k-2),…,u(k-L_s+1)]^T

其中，T为转置符号；结合上述式子，得到被控对象的预测输出模型为：

$Y=\stackrel{\‾}{B}{Y}_{past}+\stackrel{\‾}{C}u\left(k\right)+\stackrel{\‾}{D}{U}_{past}$

其中，

2.3修正当前时刻被控对象的预测输出模型，得到修正后的对象模型，形式如下：

$\tilde{Y}=Y+E=\stackrel{\‾}{B}{Y}_{past}+\stackrel{\‾}{C}u\left(k\right)+\stackrel{\‾}{D}{U}_{past}+E$

E＝[e(k+1),e(k+2),…,e(k+P)]^T

e(k+i)＝y_p(k)-y(k),i＝1,2,…P

其中，y_p(k)是k时刻被控对象的实际输出值，e(k+i)为k+i时刻被控对象的实际输出值与模型预测输出的差值；

2.4选取预测函数控制方法的参考轨迹y_r(k+i)和目标函数J_FPFC，其形式如下：

y_r(k+i)＝λⁱy_p(k)+(1-λⁱ)c(k),i＝0,1,…P

$\begin{array}{c}{J}_{FPFC}=I_{T_S}^{{\mathrm{PT}}_S}{}_{\mathrm{\γ}}{\[y_r\left(t\right)-y\left(t\right)-e\left(t\right)\]}^2\\ ={\∫}_{T_S}^{{\mathrm{PT}}_S}{D}^{1-\mathrm{\λ}}{\[y_r\left(t\right)-y\left(t\right)-e\left(t\right)\]}^{2}dt\end{array}$

其中，y_r(k+i)为k+i时刻的参考轨迹，λ为参考轨迹的柔化系数，c(k)为k时刻的设定值，表示函数f(t)在[t₁,t₂]上的γ次积分，D为微分符号；

依据分数阶微积分定义，对上述目标函数在采样时间T_S进行离散化，得到：

$J_{FPFC}\≈{(Y_r-\tilde{Y})}^T\mathrm{\Λ}(T_S,\mathrm{\γ})(Y_r-\tilde{Y})$

其中，

Y_r＝[y_r(k+1),y_r(k+2),…y_r(k+P)]^T

Λ(T_S,γ)＝T_Sdiag(m_P-1,m_P-2,…,m₁,m₀)

$m_q={\mathrm{\ω}}_q^{\left(\mathrm{\γ}\right)}-{\mathrm{\ω}}_{q-(P-1)}^{\left(\mathrm{\γ}\right)}$

时，对q＜0,

2.5依据步骤2.4中的目标函数求解过程输入的最优值，即最优控制律，形式如下：

$u\left(k\right)={\left({\stackrel{\‾}{C}}^T\mathrm{\Λ}\right(T_S,\mathrm{\γ}\left)\stackrel{\‾}{C}\right)}^{-1}{\stackrel{\‾}{C}}^T\mathrm{\Λ}(T_S,\mathrm{\γ})(Y_r-\stackrel{\‾}{B}{Y}_{past}-\stackrel{\‾}{D}{U}_{past}-E)$

2.6在k+L时刻，L＝1,2,3,…,依照步骤2.1到步骤2.5中的步骤依次循环求解分数阶预测函数控制器的控制量u(k+1)，再将其作用于被控对象。

步骤3、利用遗传算法优化最优控制律中的λ，具体步骤是：

3.1首先使用四位二进制进行二进制编码，得到第一代染色体。

3.2选取遗传算法的适应度函数，并计算个体的适应度值，形式如下：

$F=-{\∫}_0^{t}t\left|e\right|dt$

其中，F是个体的适应度函数。当适应度函数值大于适应度预设值f_z时，遗传算法终止。

3.3利用轮转法来确定选择算子，形式如下：

$P\left(C_l\right)=\frac{f\left(C_l\right)}{\underset{l=1}{\overset{N}{\Σ}}f\left(C_l\right)}$

其中，P(C_l)是个体C_l的选择概率，f(C_l)是个体C_l的适应度。

3.4利用步骤3.3中的选择算子将染色体适应度较高的个体选择出来以交叉概率p_c进行交叉操作，产生下一代个体。

3.5选取合适的变异算子，形式如下：

$p_m=a_0+\frac{b_0}{1+e^{a(g-g_0)}}$

其中，a₀表示变异概率p_m的初始值，b₀是变异概率的程度，g式进化的代数，g₀是变异概率改变很大的进化代数，a是变异速率。

3.6在个体数目大于种群规模N时，得到剪接算子，形式如下：

${\mathrm{Af}}_i={\mathrm{\ρe}}^{-||x-c_i||}\frac{{\mathrm{\φ}}_i\left(x\right)}{\underset{i=1}{\overset{n}{\Σ}}{\mathrm{\φ}}_i\left(x\right)},(i=1,2,...,n_r)$

其中，ρ取正数。

3.7依照步骤3.2计算每个个体的适应度值，并判断是否满足终止条件，如果满足，则为参数的最优解，进行下一步操作，如果不满足，则执行步骤3.2到步骤3.6，直到找到满足终止条件为止。

3.8对染色体进行解码，形式如下：

$\begin{array}{cc}{c}_{ij}=x_{j,min}+\frac{Q}{4^L-1}(x_{j,max}-x_{j,min})& 1\≤i\≤n_r,1\≤j\≤n\end{array}$

${\mathrm{\σ}}_j=\frac{Q}{4^L-1}{w}_{max}$

其中，Q是长度为L的二进制解码产生的整数，x_j,min和x_j,max分别为输入变量的最小值和最大值，w_max是高斯函数的基宽的最大值。

通过步骤3优化后带入步骤2中调整微分算子参数，在下一时刻依照步骤1到步骤3的步骤继续对实际过程进行控制，依次循环。

Claims (1)

1.遗传算法优化加热炉温度的分数阶预测函数控制方法，其特征在于该方法包括以下步骤：

步骤1、建立工业加热炉对象的分数阶线性模型，具体是：

步骤1.1采集加热炉实际过程的实时输入输出数据，利用该数据建立被控对象在时刻t的分数阶微分方程模型，形式如下：

$c_2{y}^{\left({\mathrm{\α}}_2\right)}\left(t\right)+c_1{y}^{\left({\mathrm{\α}}_1\right)}\left(t\right)+c_{0}y\left(t\right)=u\left(t\right)$

其中，α₁,α₂为微分阶次，c₀,c₁,c₂为相应的系数，y(t),u(t)分别为过程的输出和输入；

步骤1.2根据分数阶微积分定义，对步骤1.1中的模型进行拉氏变换，得到被控对象的传递函数形式如下：

$G\left(s\right)=\frac{1}{c_2{s}^{{\mathrm{\α}}_2}+c_1{s}^{{\mathrm{\α}}_1}+c_0}$

其中，s为复变量；

步骤1.3由Oustaloup近似方法得到微分算子s^α的近似表达形式如下：

$s^{\mathrm{\α}}\≈K\underset{n=1}{\overset{N}{\Π}}\frac{s+w_n^{\′}}{s+w_n}$

其中，α为分数阶微分阶次，0<α<1，N为选定的近似阶次，w_b和w_h分别为选定的拟合频率的下限和上限；

步骤1.4根据步骤1.3中的方法，将步骤1.2中的分数阶系统近似为整数阶高阶系统模型，对得到的高阶模型在采样时间T_s下加零阶保持器离散化，得到如下形式的模型：

$\begin{array}{c}y\left(k\right)=-F_{1}y(k-1)-F_{2}y(k-2)-...-F_{L_s}y(k-L_s)\\ +H_{1}u(k-1)+H_{2}u(k-2)+H_{L_s}u(k-L_s)\end{array}$

其中，F_j,H_j(j＝1,2,…L_s)均为离散近似后得到的系数，L_s为离散模型的长度；

步骤2、设计加热炉对象的分数阶预测函数控制器，具体如下：

步骤2.1计算被控对象在预测函数控制下的i步预测输出，形式如下：

$\begin{array}{c}y(k+1)=-F_{1}y\left(k\right)-F_{2}y(k-1)-...-F_{L_s}y(k-L_s+1)+H_{1}u\left(k\right)+H_{2}u(k-1)+...H_{L_s}u(k-L_s+1)\\ y(k+2)=-F_{1}y(k+1)-F_{2}y\left(k\right)-...-F_{L_s}y(k-L_s+2)+H_{1}u(k+1)+H_{2}u\left(k\right)+...H_{L_s}u(k-L_s+2)\\ \&CenterDot;\\ \&CenterDot;\\ \&CenterDot;\\ y(k+P)=-F_{1}y(k+P-1)-F_{2}y(k+P-2)-...-F_{L_s}y(k+P-L_s)+H_{1}u(k+P-1)+H_{2}u(k+P-2)\\ +...H_{L_s}u(k-P-L_s)\end{array}$

其中，P为预测时域，y(k+i)为k+i时刻过程的预测模型输出，i＝1,2,…P；

步骤2.2对步骤2.1中的式子进行整理变换，得到如下模型：

AY＝BY_past+Cu(k)+DU_past

其中，

Y＝[y(k+1),y(k+2),…,y(k+P)]^T

Y_past＝[y(k),y(k-1),…,y(k-L_s+1)]^T

U_past＝[u(k-1),u(k-2),…,u(k-L_s+1)]^T

其中，T为转置符号；结合上述式子，得到被控对象的预测输出模型为：

$Y=\stackrel{\&OverBar;}{B}{Y}_{past}+\stackrel{\&OverBar;}{C}u\left(k\right)+\stackrel{\&OverBar;}{D}{U}_{past}$

其中，

步骤2.3修正当前时刻被控对象的预测输出模型，得到修正后的对象模型，形式如下：

$\tilde{Y}=Y+E=\stackrel{\&OverBar;}{B}{Y}_{past}+\stackrel{\&OverBar;}{C}u\left(k\right)+\stackrel{\&OverBar;}{D}{U}_{past}+E$

E＝[e(k+1),e(k+2),…,e(k+P)]^T

e(k+i)＝y_p(k)-y(k),i＝1,2,…P

其中，y_p(k)是k时刻被控对象的实际输出值，e(k+i)为k+i时刻被控对象的实际输出值与模型预测输出的差值；

步骤2.4选取预测函数控制方法的参考轨迹y_r(k+i)和目标函数J_FPFC，其形式如下：

y_r(k+i)＝λⁱy_p(k)+(1-λⁱ)c(k),i＝0,1,…P

其中，y_r(k+i)为k+i时刻的参考轨迹，λ为参考轨迹的柔化系数，c(k)为k时刻的设定值，表示函数f(t)在[t₁,t₂]上的γ次积分，D为微分符号；

依据-Letnikov分数阶微积分定义，对上述目标函数在采样时间T_S进行离散化，得到：

$J_{FPFC}\&ap;{(Y_r-\tilde{Y})}^T\mathrm{\&Lambda;}(T_S,\mathrm{\&gamma;})(Y_r-\tilde{Y})$

其中，

Y_r＝[y_r(k+1),y_r(k+2),…y_r(k+P)]^T

Λ(T_S,γ)＝T_Sdiag(m_P-1,m_P-2,…,m₁,m₀)

$m_q={\mathrm{\&omega;}}_q^{\left(\mathrm{\&gamma;}\right)}-{\mathrm{\&omega;}}_{q-(P-1)}^{\left(\mathrm{\&gamma;}\right)}$

时，对q<0,

步骤2.5依据步骤2.4中的目标函数求解过程输入的最优值，即最优控制律，形式如下：

$u\left(k\right)={\left({\stackrel{\&OverBar;}{C}}^T\mathrm{\&Lambda;}\right(T_S,\mathrm{\&gamma;}\left)\stackrel{\&OverBar;}{C}\right)}^{-1}{\stackrel{\&OverBar;}{C}}^T\mathrm{\&Lambda;}(T_S,\mathrm{\&gamma;})(Y_r-\stackrel{\&OverBar;}{B}{Y}_{past}-\stackrel{\&OverBar;}{D}{U}_{past}-E)$

步骤2.6在k+L时刻，L＝1,2,3,…,依照步骤2.1到步骤2.5中的步骤依次循环求解分数阶预测函数控制器的控制量u(k+1)，再将其作用于被控对象；

步骤3、基于遗传算法优化最优控制律中的λ，具体是：

步骤3.1首先使用四位二进制进行二进制编码，得到第一代染色体；

步骤3.2选取遗传算法的适应度函数，并计算个体的适应度值，形式如下：

$F=-{\&Integral;}_0^{t}t\left|e\right|dt$

其中，F是个体的适应度函数；当适应度函数值大于适应度预设值f_z时，遗传算法终止；

步骤3.3利用轮转法来确定选择算子，形式如下：

$P\left(C_l\right)=\frac{f\left(C_l\right)}{\underset{l=1}{\overset{N}{\&Sigma;}}f\left(C_l\right)}$

其中，P(C_l)是个体C_l的选择概率，f(C_l)是个体C_l的适应度；

步骤3.4利用步骤3.3中的选择算子将染色体适应度较高的个体选择出来以交叉概率p_c进行交叉操作，产生下一代个体；

步骤3.5选取合适的变异算子，形式如下：

$p_m=a_0+\frac{b_0}{1+e^{a(g-g_0)}}$

其中，a₀表示变异概率p_m的初始值，b₀是变异概率的程度，g式进化的代数，g₀是变异概率改变很大的进化代数，a是变异速率；

步骤3.6在个体数目大于种群规模N时，得到剪接算子，形式如下：

${\mathrm{Af}}_i={\mathrm{\&rho;e}}^{-\left|\right|x-c_i\left|\right|}\frac{{\mathrm{\&phi;}}_i\left(x\right)}{\underset{i=1}{\overset{n_r}{\&Sigma;}}{\mathrm{\&phi;}}_i\left(x\right)},(i=1,2,...,n_r)$

其中，ρ取正数；

步骤3.7依照步骤3.2计算每个个体的适应度值，并判断是否满足终止条件，如果满足，则为参数的最优解，进行下一步操作，如果不满足，则执行步骤3.2到步骤3.6，直到找到满足终止条件为止；

步骤3.8对染色体进行解码，形式如下：

$c_{ij}=x_{j,min}+\frac{Q}{4^L-1}(x_{j,max}-x_{j,min}),1\&le;i\&le;n_r,1\&le;j\&le;n$

${\mathrm{\&sigma;}}_j=\frac{Q}{4^L-1}{w}_{max}$

其中，Q是长度为L的二进制解码产生的整数，x_j,min和x_j,max分别为输入变量的最小值和最大值，w_max是高斯函数的基宽的最大值；

通过步骤3优化后带入步骤2中调整微分算子参数，在下一时刻依照步骤1到步骤3的步骤继续对实际过程进行控制，依次循环。