CN103616815A - 动态矩阵控制优化的废塑料炼油裂解炉炉膛温度控制方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了动态矩阵控制优化的废塑料炼油裂解炉炉膛温度控制方法。本发明方法首先基于废塑料裂解炉炉膛温度对象的阶跃响应数据建立炉膛温度对象的模型，挖掘出基本的对象特性；然后依据动态矩阵控制的特性去整定相应PID控制器的参数；最后对废塑料裂解炉炉膛温度对象实施PID控制。本发明提出了一种基于动态矩阵控制优化的废塑料裂解炉炉膛温度PID控制方法,结合了PID控制和动态矩阵控制的良好的控制性能,有效地提高了传统控制方法的不足,同时也促进了先进控制算法的发展与应用。

Description

动态矩阵控制优化的废塑料炼油裂解炉炉膛温度控制方法

技术领域

本发明属于自动化技术领域，涉及一种基于动态矩阵控制(DMC)优化的废塑料裂解炉炉膛温度比例积分微分(PID)控制方法。

背景技术

随着自动化技术的不断发展，先进过程控制技术对提高生产效率起着越来越重要的作用，但由于硬件、成本、实施难度等方面的原因，目前占据主流的仍然是PID控制。目前废塑料裂解炉炉膛温度的控制通常采用比例积分微分(PID)控制。动态矩阵控制作为先进控制方法的一种，对模型要求低，控制性能好，如果能将动态矩阵控制算法和PID技术结合，将动态矩阵控制的性能赋给PID控制，那将更加有利于生产效率的提高，同时也能够推动先进控制的发展。

发明内容

本发明的目的是针对现有先进控制方法的应用不足之处，提供一种基于动态矩阵控制优化的废塑料裂解炉炉膛温度PID控制方法，以获得更好的实际控制性能。该方法通过结合动态矩阵控制和PID控制，得到了一种带有动态矩阵控制性能的PID控制方法。该方法不仅继承了动态矩阵控制的优良性能，同时形式简单并能满足实际工业过程的需要。

本发明方法首先基于废塑料裂解炉炉膛温度对象的阶跃响应数据建立炉膛温度对象的模型，挖掘出基本的对象特性；然后依据动态矩阵控制的特性去整定相应PID控制器的参数；最后对废塑料裂解炉炉膛温度对象实施PID控制。

本发明的技术方案是通过数据采集、建立动态矩阵、建立预测模型、预测机理、优化等手段，确立了一种基于动态矩阵控制优化的PID控制方法，利用该方法可有效提高控制的精度与稳定性。

本发明方法的步骤包括：

步骤(1).通过过程对象的实时阶跃响应数据建立被控对象的模型，具体方法是：

a.给被控对象一个阶跃输入信号，记录被控对象的阶跃响应曲线。

b.将a步骤得到的阶跃响应曲线进行滤波处理，然后拟合成一条光滑曲线，记录光滑曲线上每个采样时刻对应的阶跃响应数据，第一个采样时刻为T_s，相邻两个采样时刻间隔的时间为T_s，采样时刻顺序为T_s、2T_s、3T_s……；被控对象的阶跃响应将在某一个时刻t_N＝NT后趋于平稳，当a_i(i＞N)与a_N的误差和测量误差有相同的数量级时，即可认为a_N近似等于阶跃响应的稳态值。建立对象的模型向量a：

a＝[a₁,a₂,…a_N]^Τ

其中Τ为矩阵的转置符号，N为建模时域。

步骤(2).设计被控对象的PID控制器，具体方法是：

a.利用上面获得的模型向量a建立被控对象的动态矩阵，其形式如下：

$A=\left(\begin{array}{cccc}{a}_1& 0& \·\·\·& 0\\ a_2& a_1& ...& 0\\ .& .& .& .\\ .& .& .& .\\ .& .& .& .\\ a_P& a_{P-1}& ...& a_{P-M+1}\end{array}\right)$

其中，A是被控对象的P×M阶动态矩阵，a_i是阶跃响应的数据，P为动态矩阵控制算法的优化时域，M为动态矩阵控制算法的控制时域，M＜P＜N。

b.建立被控对象当前k时刻的模型预测初始响应值y_M(k)

先得到k-1时刻加入控制增量Δu(k-1)后的模型预测值y_p(k-1)：

y_P(k-1)＝y_M(k-1)+A₀Δu(k-1)

其中，

$y_P(k-1)=\left[\begin{array}{c}{y}_1\left(k\right|k-1)\\ y_1(k+1|k-1)\\ .\\ .\\ .\\ y_1(k+N-1|k-1)\end{array}\right],$ $A_0=\left[\begin{array}{c}{a}_1\\ a_2\\ .\\ .\\ .\\ a_N\end{array}\right],$ $y_M\left(k\right)=\left[\begin{array}{c}{y}_0\left(k\right|k-1)\\ y_0(k+1|k-1)\\ .\\ .\\ .\\ y_0(k+N-1|k-1)\end{array}\right]$

y₁(k|k-1),y₁(k+1|k-1),…,y₁(k+N-1|k-1)分别表示被控对象在k-1时刻对k,k+1,…,k+N-1时刻加入控制增量Δu(k-1)后模型预测值，y₀(k|k-1),y₀(k|k-1),…y₀(k+N-1|k-1)表示k-1时刻对k,k+1,…,k+N-1时刻的初始预测值，A₀为阶跃响应数据建立的矩阵，Δu(k-1)为k-1时刻的输入控制增量。

接着得到k时刻被控对象的模型预测误差值e(k)：

e(k)＝y(k)-y₁(k|k-1)

其中，y(k)表示k时刻测得的被控对象的实际输出值。

进一步得到k时刻模型输出的修正值y_cor(k):

y_cor(k)＝y_M(k-1)+h*e(k)

其中，

$y_{\mathrm{cor}}\left(k\right)=\left[\begin{array}{c}{y}_{\mathrm{cor}}\left(k\right|k)\\ y_{\mathrm{cor}}(k+1|k)\\ .\\ .\\ .\\ y_{\mathrm{cor}}(k+N-1|k)\end{array}\right],$ $h=\left[\begin{array}{c}1\\ \mathrm{\α}\\ .\\ .\\ .\\ \mathrm{\α}\end{array}\right]$

y_cor(k|k),y_cor(k+1|k),…y_cor(k+N-1|k)分别表示被控对象在k时刻模型的修正值，h为误差补偿的权矩阵，α为误差校正系数。

最后的得到k时刻的模型预测的初始响应值y_M(k)：

y_M(k)＝Sy_cor(k)

其中，S为N×N阶的状态转移矩阵，

c.计算被控对象在M个连续的控制增量Δu(k),…,Δu(k+M-1)下的预测输出值y_PM，具体方法是：

y_PM(k)＝y_p0(k)+AΔu_M(k)

$y_{\mathrm{PM}}\left(k\right)=\left[\begin{array}{c}{y}_M(k+1|k)\\ y_M(k+2|k)\\ .\\ .\\ .\\ y_M(k+P|k)\end{array}\right],$ $y_{P0}\left(k\right)\text{=}\left[\begin{array}{c}{y}_0(k+1|k)\\ y_0(k+2|k)\\ .\\ .\\ .\\ y_0(k+P|k)\end{array}\right],$ ${\mathrm{\Δu}}_M\left(k\right)=\left[\begin{array}{c}\mathrm{\Δu}\left(k\right)\\ \mathrm{\Δu}(k+1)\\ .\\ .\\ .\\ \mathrm{\Δu}(k+M-1)\end{array}\right]$

其中，y_P0(k)是y_M(k)的前P项，y_M(k+1|k),y_M(k+2|k),…,y_M(k+P|k)为k时刻对k+1,k+2,…,k+P时刻的模型预测输出值

d.令被控对象的控制时域M=1，选取被控对象的目标函数J(k)，J(k)形式如下：

min J(k)＝Q(ref(k)-y_PM(k))²+rΔu²(k)=Q(ref(k)-y_P0(k)-AΔu(k))²+rΔu²(k)

ref(k)＝[ref₁(k),ref₂(k),…,ref_P(k)]^Τ

ref_i(k)＝βⁱy(k)+(1-βⁱ)c(k),Q＝diag(q₁,q₂,…,q_P)

其中，Q为误差加权矩阵，q₁,q₂,…,q_P为加权矩阵的参数值；β为柔化系数，c(k)为设定值；r＝diag(r₁,r₂,…r_M)为控制加权矩阵，r₁,r₂,…r_M为控制加权矩阵的参数，ref(k)为系统的参考轨迹，ref_i(k)为参考轨迹中第i个参考点的值。

e.将控制量u(k)进行变换：

u(k)＝u(k-1)+K_p(k)(e₁(k)-e₁(k-1))+K_i(k)e₁(k)+K_d(k)(e₁(k)-2e₁(k-1)+e₁(k-2))

e(k)＝c(k)-y(k)

将u(k)代入到步骤d中的目标函数求解PID控制器中的参数得：

u(k)＝u(k-1)+w(k)^ΤE(k)

w(k)＝[w₁(k),w₂(k),w₃(k)]^Τ

w₁(k)＝K_p(k)+K_i(k)+K_d(k)，w₂(k)＝-K_p(k)-2K_d(k),w₃(k)＝K_d(k)

E(k)＝[e₁(k),e₁(k-1),e₁(k-2)]^Τ

其中，Kp(k)、K_i(k)、K_d(k)分别为k时刻PID控制器的比例、微分、积分参数，e₁(k)为k时刻参考轨迹值与实际输出值之间的误差，Τ为矩阵的转置符号。

综合上述式子，可得：

$w\left(k\right)=\frac{{(\mathrm{ref}\left(k\right)-y_{P0}\left(k\right))}^T\mathrm{QAE}}{(A^T\mathrm{QA}+r)E^{T}E}$

进一步可以得到：

K_p(k)＝-w₂(k)-2K_d(k)

K_i(k)＝w₁(k)-K_P(k)-K_d(k)

K_d(k)＝w₃(k)

f.得到PID控制器的参数K_p、K_i、K_d以后构成控制量u(k)作用于被控对象，u(k)＝u(k-1)+K_p(k)(e₁(k)-e₁(k-1))+K_i(k)e₁(k)+K_d(k)(e₁(k)-2e₁(k-1)+e₁(k-2))。

h.在下一时刻，依照b到f中的步骤继续求解PID控制器新的参数k_P(k+1)、k_i(k+1)、k_d(k+1)的值，依次循环。

本发明提出了一种基于动态矩阵控制优化的废塑料裂解炉炉膛温度PID控制方法,结合了PID控制和动态矩阵控制的良好的控制性能,有效地提高了传统控制方法的不足,同时也促进了先进控制算法的发展与应用。

具体实施方式

以废塑料裂解炉炉膛温度过程控制为例：

裂解炉炉膛温度对象为带滞后的过程，调节手段采用燃烧火嘴开度。

步骤(1).通过废塑料裂解炉炉膛温度对象的实时阶跃响应数据建立被控对象的模型，具体方法是：

a.给废塑料裂解炉炉膛一个阶跃输入信号，记录其阶跃响应曲线。

b.将对应的阶跃响应曲线进行滤波处理，然后拟合成一条光滑曲线，记录光滑曲线上每个采样时刻对应的阶跃响应数据，第一个采样时刻为T_s，相邻两个采样时刻间隔的时间为T_s，采样时刻顺序为T_s、2T_s、3T_s……；响应将在某一个时刻t_N＝NT后趋于平稳，当a_i(i＞N)与a_N的误差和测量误差有相同的数量级时，即可认为a_N近似等于阶跃响应的稳态值。建立对象的模型向量a：

a＝[a₁,a₂,…a_N]^Τ

其中Τ为矩阵的转置符号，N为建模时域。

步骤(2).设计废塑料裂解炉炉膛温度的PID控制器，具体方法是：

a.利用上面获得的模型向量a建立废塑料裂解炉炉膛温度的动态矩阵，其形式如下：

$A=\left(\begin{array}{cccc}{a}_1& 0& ...& 0\\ a_2& a_1& ...& 0\\ .& .& .& .\\ .& .& .& .\\ .& .& .& .\\ a_P& a_{P-1}& ...& a_{P-M+1}\end{array}\right)$

其中，A是废塑料裂解炉炉膛温度的P×M阶动态矩阵，a_i是废塑料裂解炉炉膛温度的阶跃响应的数据，P为动态矩阵控制算法的优化时域，M为动态矩阵控制算法的控制时域，M＜P＜N。

b.建立废塑料裂解炉炉膛温度当前k时刻的初始模型预测值y_M(k)

先得到k-1时刻加入控制增量Δu(k-1)后的模型预测值y_p(k-1):

y_P(k-1)＝y_M(k-1)+A₀Δu(k-1)

其中，

$y_P(k-1)=\left[\begin{array}{c}{y}_1\left(k\right|k-1)\\ y_1(k+1|k-1)\\ .\\ .\\ .\\ y_1(k+N-1|k-1)\end{array}\right],$ $A_0=\left[\begin{array}{c}{a}_1\\ a_2\\ .\\ .\\ .\\ a_N\end{array}\right],$ $y_M\left(k\right)=\left[\begin{array}{c}{y}_0\left(k\right|k-1)\\ y_0\left(k\right|k-1)\\ .\\ .\\ .\\ y_0(k+N-1|k-1)\end{array}\right]$

y₁(k|k-1),y₁(k+1|k-1),…,y₁(k+N-1|k-1)分别表示废塑料裂解炉炉膛温度在k-1时刻对k,k+1,…，k+N-1时刻加入Δu(k-1)后的模型预测值，y₀(k|k-1),y₀(k|k-1),…y₀(k+N-1|k-1)表示k-1时刻对k,k+1,…,k+N-1时刻的废塑料裂解炉炉膛温度的初始预测值，A₀为由废塑料裂解炉炉膛温度阶跃响应数据建立的矩阵，Δu(k-1)为k-1时刻的废塑料裂解炉温度的输入控制增量。

接着得到k时刻废塑料裂解炉温度的模型预测误差值e(k):

e(k)＝y(k)-y₁(k|k-1)

其中，y(k)表示k时刻测得的废塑料裂解炉温度的实际输出值。

进一步得到k时刻废塑料裂解炉温度的模型输出的修正值y_cor(k):

y_cor(k)＝y_M(k-1)+h*e(k)

其中，

$y_{\mathrm{cor}}\left(k\right)=\left[\begin{array}{c}{y}_{\mathrm{cor}}\left(k\right|k)\\ y_{\mathrm{cor}}(k+1|k)\\ .\\ .\\ .\\ y_{\mathrm{cor}}(k+N-1|k)\end{array}\right],$ $h=\left[\begin{array}{c}1\\ \mathrm{\α}\\ .\\ .\\ .\\ \mathrm{\α}\end{array}\right]$

y_cor(k|k),y_cor(k+1|k),…y_cor(k+N-1|k)分别表示废塑料裂解炉炉膛温度在k时刻模型的修正值，h为误差补偿的权矩阵，α为误差校正系数。

最后的得到废塑料裂解炉温度炉膛温度在k时刻模型的初始预测值y_M(k)：

y_M(k)＝Sy_cor(k)

其中，S为N×N阶的状态转移矩阵，

c.计算废塑料裂解炉炉膛温度在M个连续的控制增量Δu(k),…,Δu(k+M-1)下的预测输出值y_PM，具体方法是：

y_PM(k)＝y_P0(k)+AΔu_M(k)

其中,

$y_{\mathrm{PM}}\left(k\right)=\left[\begin{array}{c}{y}_M(k+1|k)\\ y_M(k+2|k)\\ .\\ .\\ .\\ y_M(k+P|k)\end{array}\right],$ $y_{P0}\left(k\right)=\left[\begin{array}{c}{y}_0(k+1|k)\\ y_0(k+2|k)\\ .\\ .\\ .\\ y_0(k+P|k)\end{array}\right],$ ${\mathrm{\Δu}}_M\left(k\right)=\left[\begin{array}{c}\mathrm{\Δu}\left(k\right)\\ \mathrm{\Δu}(k+1)\\ .\\ .\\ .\\ \mathrm{\Δu}(k+M-1)\end{array}\right]$

y_P0(k)是y_M(k)的前P项，y_M(k+1|k),y_M(k+2|k),…,y_M(k+P|k)为废塑料裂解炉炉膛温度在k时刻对k+1,k+2,…,k+P时刻的模型预测输出值。

d.令控制时域M＝1,并选取废塑料裂解炉炉膛温度的目标函数J(k)，J(k)形式如下：

min J(k)＝Q(ref(k)-y_PM(k))²+rΔu²(k)=Q(ref(k)-y_P0(k)-AΔu(k))²+rΔu²(k)

ref(k)＝[ref₁(k),ref₂(k),…,ref_P(k)]^Τ

ref_i(k)＝βⁱy(k)+(1-βⁱ)c(k),Q＝diag(q₁,q₂,…,q_P)

其中，Q为误差加权矩阵，q₁,q₂,…,q_P为误差加权矩阵的参数值；β为柔化系数，c(k)为设定值；r＝diag(r₁,r₂,…r_M)为控制加权矩阵，r₁,r₂,…r_M为控制加权矩阵的参数，ref(k)为废塑料裂解炉炉膛温度的参考轨迹，ref_i(k)为参考轨迹中第i个参考点的值。

e.将废塑料裂解炉炉膛温度的控制量u(k)进行变换：

u(k)＝u(k-1)+K_p(k)(e₁(k)-e₁(k-1))+K_i(k)e₁(k)+K_d(k)(e₁(k)-2e₁(k-1)+e₁(k-2))

e(k)＝c(k)-y(k)

并将u(k)代入到步骤d中的目标函数求解废塑料裂解炉炉膛温度的PID控制器中的参数，可求得：

u(k)＝u(k-1)+w(k)^ΤE(k)

w(k)＝[w₁(k),w₂(k),w₃(k)]^Τ

w₁(k)＝K_p(k)+K_i(k)+K_d(k)，w₂(k)＝-K_p(k)-2K_d(k),w₃(k)＝K_d(k)

E(k)＝[e₁(k),e₁(k-1),e₁(k-2)]^Τ

其中，K_p(k)、K_i(k)、K_d(k)分别为PID控制器的比例、微分、积分参数，e₁(k)为k时刻参考轨迹值与实际输出值之间的误差，Τ为矩阵的转置符号。

综合上述式子，可得：

$w\left(k\right)=\frac{{(\mathrm{ref}\left(k\right)-y_{P0}\left(k\right))}^T\mathrm{QAE}}{(A^T\mathrm{QA}+r)E^{T}E}$

进一步可以得到：

K_p(k)＝-w₂(k)-2K_d(k)

K_i(k)＝w₁(k)-K_P(k)-K_d(k)

K_d(k)＝w₃(k)

f.得到PID控制器的参数K_p(k)、K_i(k)、K_d(k)以后构成控制量u(k)作用于废塑料裂解炉炉膛

u(k)＝u(k-1)+K_p(k)(e₁(k)-e₁(k-1))+K_i(k)e₁(k)+K_d(k)(e₁(k)-2e₁(k-1)+e₁(k-2))。

g.在下一时刻，依照b到f中的步骤继续求解PID控制器新的参数K_p(k+1)、K_i(k+1)和K_d(k+1)，并依次循环。

Claims (1)

1.动态矩阵控制优化的废塑料炼油裂解炉炉膛温度控制方法，其特征在于该方法的具体步骤是：

步骤(1).通过过程对象的实时阶跃响应数据建立被控对象的模型，具体方法是：

1-a.给被控对象一个阶跃输入信号，记录被控对象的阶跃响应曲线；

1-b.将步骤1-a得到的阶跃响应曲线进行滤波处理，然后拟合成一条光滑曲线，记录光滑曲线上每个采样时刻对应的阶跃响应数据，第一个采样时刻为T_s，相邻两个采样时刻间隔的时间为T_s，采样时刻顺序为T_s、2T_s、3T_s……；被控对象的阶跃响应将在某一个时刻t_N＝NT后趋于平稳，当a_i，i＞N与a_N的误差和测量误差有相同的数量级时，即可认为a_N近似等于阶跃响应的稳态值；建立对象的模型向量a：

a＝[a₁,a₂,…a_N]^Τ

其中Τ为矩阵的转置符号，N为建模时域；

步骤(2).设计被控对象的PID控制器，具体方法是：

2-a.利用上面获得的模型向量a建立被控对象的动态矩阵，其形式如下：

$A=\left(\begin{array}{cccc}{a}_1& 0& ...& 0\\ a_2& a_1& ...& 0\\ .& .& .& .\\ .& .& .& .\\ .& .& .& .\\ a_P& a_{P-1}& ...& a_{P-M+1}\end{array}\right)$

其中，A是被控对象的P×M阶动态矩阵，a_i是阶跃响应的数据，P为动态矩阵控制算法的优化时域，M为动态矩阵控制算法的控制时域，M＜P＜N；

2-b.建立被控对象当前k时刻的模型预测初始响应值y_M(k)

先得到k-1时刻加入控制增量Δu(k-1)后的模型预测值y_p(k-1)：

y_P(k-1)＝y_M(k-1)+A₀Δu(k-1)

其中，

$y_P(k-1)=\left[\begin{array}{c}{y}_1\left(k\right|k-1)\\ y_1(k+1|k-1)\\ .\\ .\\ .\\ y_1(k+N-1|k-1)\end{array}\right],$ $A_0=\left[\begin{array}{c}{a}_1\\ a_2\\ .\\ .\\ .\\ a_N\end{array}\right],$ $y_M\left(k\right)=\left[\begin{array}{c}{y}_0\left(k\right|k-1)\\ y_0(k+1|k-1)\\ .\\ .\\ .\\ y_0(k+N-1|k-1)\end{array}\right],$

y₁(k|k-1),y₁(k+1|k-1),…,y₁(k+N-1|k-1)分别表示被控对象在k-1时刻对k,k+1,…,k+N-1时刻加入控制增量Δu(k-1)后模型预测值，y₀(k|k-1),y₀(k|k-1),…y₀(k+N-1|k-1)表示k-1时刻对k,k+1,…,k+N-1时刻的初始预测值，A₀为阶跃响应数据建立的矩阵，Δu(k-1)为k-1时刻的输入控制增量；

接着得到k时刻被控对象的模型预测误差值e(k)：

e(k)＝y(k)-y₁(k|k-1)

其中，y(k)表示k时刻测得的被控对象的实际输出值；

进一步得到k时刻模型输出的修正值y_cor(k)：

y_cor(k)＝y_M(k-1)+h*e(k)

其中，

$y_{\mathrm{cor}}\left(k\right)=\left[\begin{array}{c}{y}_{\mathrm{cor}}\left(k\right|k)\\ y_{\mathrm{cor}}(k+1|k)\\ .\\ .\\ .\\ y_{\mathrm{cor}}(k+N-1|k)\end{array}\right],$ $h=\left[\begin{array}{c}1\\ \mathrm{\α}\\ .\\ .\\ .\\ \mathrm{\α}\end{array}\right]$

y_cor(k|k),y_cor(k+1|k),…y_cor(k+N-1|k)分别表示被控对象在k时刻模型的修正值，h为误差补偿的权矩阵，α为误差校正系数；

最后的得到k时刻的模型预测的初始响应值y_M(k)：

y_M(k)＝Sy_cor(k)

其中，S为N×N阶的状态转移矩阵，

2-c.计算被控对象在M个连续的控制增量Δu(k),…,Δu(k+M-1)下的预测输出值y_PM，具体方法是：

y_PM(k)＝y_p0(k)+AΔu_M(k)

$y_{\mathrm{PM}}\left(k\right)=\left[\begin{array}{c}{y}_M(k+1|k)\\ y_M(k+2|k)\\ .\\ .\\ .\\ y_M(k+P|k)\end{array}\right],$ $y_{P0}\left(k\right)=\left[\begin{array}{c}{y}_0(k+1|k)\\ y_0(k+2|k)\\ .\\ .\\ .\\ y_0(k+P|k)\end{array}\right],$ ${\mathrm{\Δu}}_M\left(k\right)=\left[\begin{array}{c}\mathrm{\Δu}\left(k\right)\\ \mathrm{\Δu}(k+1)\\ .\\ .\\ .\\ \mathrm{\Δu}(k+M-1)\end{array}\right]$

其中，y_P0(k)是y_M(k)的前P项，y_M(k+1|k),y_M(k+2|k),…,y_M(k+P|k)为k时刻对k+1,k+2,…,k+P时刻的模型预测输出值

2-d.令被控对象的控制时域M=1，选取被控对象的目标函数J(k)，形式如下：

min J(k)＝Q(ref(k)-y_PM(k))²+rΔu²(k)=Q(ref(k)-y_P0(k)-AΔu(k))²+rΔu²(k)

ref(k)＝[ref₁(k),ref₂(k),…,ref_P(k)]^Τ

ref_i(k)＝βⁱy(k)+(1-βⁱ)c(k),Q＝diag(q₁,q₂,…,q_P)

其中，Q为误差加权矩阵，q₁,q₂,…,q_P为加权矩阵的参数值；β为柔化系数，c(k)为设定值；r＝diag(r₁,r₂,…r_M)为控制加权矩阵，r₁,r₂,…r_M为控制加权矩阵的参数，ref(k)为系统的参考轨迹，ref_i(k)为参考轨迹中第i个参考点的值；

2-e.将控制量u(k)进行变换：

u(k)＝u(k-1)+K_p(k)(e₁(k)-e₁(k-1))+K_i(k)e₁(k)+K_d(k)(e₁(k)-2e₁(k-1)+e₁(k-2))

e(k)＝c(k)-y(k)

将u(k)代入到步骤d中的目标函数求解PID控制器中的参数得：

u(k)＝u(k-1)+w(k)^ΤE(k)

w(k)＝[w₁(k),w₂(k),w₃(k)]^Τ

w₁(k)＝K_p(k)+K_i(k)+K_d(k)，w₂(k)＝-K_p(k)-2K_d(k),w₃(k)＝K_d(k)

E(k)＝[e₁(k),e₁(k-1),e₁(k-2)]^Τ

其中，Kp(k)、K_i(k)、K_d(k)分别为k时刻PID控制器的比例、微分、积分参数，e₁(k)为k时刻参考轨迹值与实际输出值之间的误差，Τ为矩阵的转置符号；

综合上述式子，可得：

$w\left(k\right)=\frac{{(\mathrm{ref}\left(k\right)-y_{P0}\left(k\right))}^T\mathrm{QAE}}{(A^T\mathrm{QA}+r)E^{T}E}$

进一步可以得到：

K_p(k)＝-w₂(k)-2K_d(k)

K_i(k)＝w₁(k)-K_P(k)-K_d(k)

K_d(k)＝w₃(k)

2-f.得到PID控制器的参数K_p、K_i、K_d以后构成控制量u(k)作用于被控对象：

u(k)＝u(k-1)+K_p(k)(e₁(k)-e₁(k-1))+K_i(k)e₁(k)+K_d(k)(e₁(k)-2e₁(k-1)+e₁(k-2))；

2-h.在下一时刻，依照2-b到2-f中的步骤继续求解PID控制器新的参数k_P(k+1)、k_i(k+1)、k_d(k+1)的值，依次循环。