CN105447223A - 一种磁屏蔽环境下的高均匀区磁场线圈设计方法 - Google Patents

Abstract

本发明涉及一种高均匀磁场线圈设计方法，特别是一种在磁屏蔽环境下的高均匀磁场线圈设计方法。该方法将毕奥沙法尔定律在自由边界条件下计算的磁场和有限元法建立磁屏蔽边界模型条件下计算的磁场的比值设为磁屏蔽边界对线圈磁场系数放大作用的等效增益系数，采用场路结合的方法，以线圈磁场变化率最小为目标对线圈参数进行优化设计，与现有的完全采用有限元方法进行设计的磁屏蔽边界下线圈设计方法相比，该方法可以得到均匀性更高的线圈结构参数，且该方法计算效率高，可行性高。

Description

一种磁屏蔽环境下的高均匀区磁场线圈设计方法

技术领域

本发明涉及一种高均匀磁场线圈设计方法，特别是一种在磁屏蔽环境下的高均匀磁场线圈设计方法。

背景技术

核磁共振陀螺为下一代陀螺技术的主要发展方向之一。磁线圈与磁屏蔽层是核磁共振陀螺中磁场操控的主要执行元件，磁线圈所产生磁场的均匀性直接影响核自旋系综的精密操控能力，是决定陀螺精度的核心之一。随着核磁共振陀螺体积尺寸的降低，磁屏蔽层、磁场线圈等元件随之减小，不仅要求微小尺寸的线圈仍具有较大均匀区，而且要求线圈与磁屏蔽层紧密贴合设计，以减少空间浪费。由于线圈均匀区与线圈体积成正比，当线圈结构形式不变而尺寸减小时，其产生磁场的均匀区会随之减小；同时，若仍采用常规磁线圈结构及设计方法，磁屏蔽边界会减小线圈磁路中磁阻的大小，从而改变磁通路径，导致线圈磁场均匀性大幅减小。在磁屏蔽边界下进行高均匀性磁场线圈设计时，磁屏蔽边界对线圈磁场的影响无法定量的用解析法求解，只能通过有限元进行仿真计算，这就无法得到线圈磁场的解析模型，使得线圈优化时计算量大大增加，甚至无法得到最优值。

发明内容

本发明的目的在于克服现有设计技术不足，提供一种磁屏蔽边界下的高均匀磁场线圈设计方法。

为了达到上述目的，本发明采用以下技术方案：

本发明一种磁屏蔽边界下的高均匀磁场线圈设计方法，包括以下步骤：

步骤一、确定磁场增益系数

(1)利用毕奥沙法尔定律在自由边界条件下，分别计算分段式线圈绕制位置x_i处，单匝线圈在线圈均匀区内的中间位置和两端处的磁场，其中i为大于等于0的常数；

(2)利用有限元法建立磁屏蔽边界模型，分别计算磁屏蔽边界条件下，分段式线圈绕制位置x_i处，单匝线圈在线圈均匀区内的中间位置和两端处的磁场，其中i为大于等于0的常数；

(3)将步骤(1)和步骤(2)两种边界条件下得到的磁场的比值设为磁屏蔽边界对线圈磁场系数放大作用的等效增益系数，则可得到线圈绕制位置处，单匝线圈在线圈均匀区内的中间位置和两端处的磁场增益系数，磁场增益系数记为α_i，其中i为大于等于0的常数；

步骤二、用磁场增益系数来等效磁屏蔽边界对线圈磁场产生的影响，假设线圈不同绕制位置x_i处线圈匝数为N_i，则利用步骤一中的增益系数可得到线圈均匀区中间位置和线圈均匀区的两端处的各线圈N_i产生的合磁场，线圈均匀区中间位置和线圈均匀区的两端处的合磁场分别记为B₀和B_lc，其中i为大于等于0的常数，则：

$B_0=\underset{i=0}{\overset{n}{\Σ}}\frac{{\mathrm{\μ}}_0{\mathrm{\α}}_i}{2}\frac{N_i{R}^{2}I}{{(R^2+{x_i}^2)}^{3/2}}$

$B_{lc}=\underset{i=0}{\overset{n}{\Σ}}\frac{{\mathrm{\μ}}_0{\mathrm{\α}}_i}{2}\frac{N_i{R}^{2}I}{{(R^2+{\left(x_i-\frac{l_c}{2}\right)}^2)}^{3/2}}$

式中：n为大于0的正常数；μ₀为空气的磁导率，μ₀＝4π×10^-7H/m；α_i为磁场增益系数记，无量纲；N_i为x_i位置处线圈匝数；R为线圈绕制半径，单位m；x_i为第i分段处线圈沿轴向距离中心点的距离，单位m；I为电流强度，单位A；l_c为线圈均匀区沿轴向的长度，单位m；

步骤三、定义磁场变化率则可构造以β值最小为目标，以x_i和N_i为自变量的优化模型，对步骤二中B₀和B_lc的解析式进行优化求解计算，则可得到磁场均匀性最高的线圈参数。

分段式线圈沿绕芯轴向对称布置，且处于对称位置上的线圈匝数相同。

在磁屏蔽桶尺寸已知的情况，对于磁屏蔽桶内部线圈采用五段式进行绕制时，磁屏蔽桶内部线圈的结构参数线圈半径R，单位m，线圈均匀区沿轴向的长度l_c，单位m，各分段线圈距离中心段的距离x₀、x₁和x₂，单位m，五段线圈的匝数分别为N1、N2、N3、N2和N1；

步骤一、确定磁场增益系数；

(1)利用毕奥沙法尔定律分别计算自由边界条件下，线圈中间位置(线圈0位)、x₁和x₂处，单匝线圈在线圈均匀区内线圈均匀区中间位置(0位)和线圈均匀区的两端处(lc/2位)的磁场，分别记为B_{z_0_1}、B_{z_0_2}、B_{z_x1_1}、B_{z_x1_2}、B_{z_x2_1}、B_{z_x2_2}；

(2)采用有限元法建立磁屏蔽边界模型，分别计算磁屏蔽边界条件下，线圈中间位置(线圈0位)、x₁和x₂处，单匝线圈在线圈均匀区内线圈均匀区中间位置(0位)和线圈均匀区的两端处(lc/2位)的磁场，分别记为B_{p_0_1}、B_{p_0_2}、B_{p_x1_1}、B_{p_x1_2}、B_{p_x2_1}、B_{p_x2_2}；

(3)将步骤(1)和步骤(2)两种边界条件下得到的磁场的比值设为磁屏蔽边界对线圈磁场系数放大作用的等效增益系数，则可得到线圈中间位置(线圈0位)、x₁和x₂处，单匝线圈在线圈均匀区内线圈均匀区中间位置(0位)和线圈均匀区的两端处(lc/2位)的磁场增益系数，分别记为α_{0_1}、α_{0_2}、α_{x1_1}、α_{x1_2}、α_{x2_1}、α_{x2_2}，具体如公式(2)至公式(7)所示：

${\mathrm{\α}}_{0\_1}=\frac{B_{p\_0\_1}}{B_{z\_0\_1}}---\left(2\right)$

${\mathrm{\α}}_{0\_2}=\frac{B_{p\_0\_2}}{B_{z\_0\_2}}---\left(3\right)$

${\mathrm{\α}}_{x1\_1}=\frac{B_{p\_x1\_1}}{B_{z\_x1\_1}}---\left(4\right)$

${\mathrm{\α}}_{x1\_2}=\frac{B_{p\_x1\_2}}{B_{z\_x1\_2}}---\left(5\right)$

${\mathrm{\α}}_{x2\_1}=\frac{B_{p\_x2\_1}}{B_{z\_x2\_1}}---\left(6\right)$

${\mathrm{\α}}_{x2\_2}=\frac{B_{p\_x2\_2}}{B_{z\_x2\_2}}---\left(7\right)$

步骤二、利用步骤一中得到的磁场增益系数来等效磁屏蔽边界对线圈磁场产生的影响，假设五段式绕制线圈的中间位置(线圈0位)、x₁和x₂处线圈匝数分别为N3、N2、N1，利用等效增益系数则可得到线圈均匀区中间位置(0位)和线圈均匀区的两端处(lc/2位)的各线圈产生的合磁场为：

$B_0=\frac{{\mathrm{\μ}}_0{\mathrm{\α}}_{0\_1}}{2}\frac{N_3{R}^{2}I}{{\left(R^2\right)}^{3/2}}+\frac{{\mathrm{\μ}}_0{\mathrm{\α}}_{x1\_1}}{2}\frac{N_2{R}^{2}I}{{(R^2+x_1^2)}^{3/2}}+\frac{{\mathrm{\μ}}_0{\mathrm{\α}}_{x2\_1}}{2}\frac{N_1{R}^{2}I}{{(R^2+x_2^2)}^{3/2}}---\left(8\right)$

$B_{lc}=\frac{{\mathrm{\μ}}_0{\mathrm{\α}}_{0\_2}}{2}\frac{N_3{R}^{2}I}{{(R^2+{\left(\frac{l_c}{2}\right)}^2)}^{3/2}}+\frac{{\mathrm{\μ}}_0{\mathrm{\α}}_{x1\_2}}{2}\frac{N_2{R}^{2}I}{{(R^2+{\left(x_1-\frac{l_c}{2}\right)}^2)}^{3/2}}+\frac{{\mathrm{\μ}}_0{\mathrm{\α}}_{x2\_2}}{2}\frac{N_1{R}^{2}I}{{(R^2+{\left(x_2-\frac{l_c}{2}\right)}^2)}^{3/2}}$ $\left(9\right);$

式中：μ₀为空气的磁导率，μ₀＝4π×10^-7H/m；N₁、N₂、N₃为线圈匝数；R为线圈绕制半径，单位m；x₁、x₂为线圈沿轴向距离中心点的距离，单位m；I为电流强度，单位A；l_c为线圈均匀区沿轴向的长度，单位m；

步骤三、定义磁场变化率则可构造以β值最小为目标，以x₁、x₂以及N1、N2、N3为自变量的优化模型，对公式(8)和(9)进行优化求解计算，则可得到使线圈磁场变化率最小即磁场均匀性最高的线圈参数。

本发明实施例提供的技术方案带来的有益效果是：

本发明一种磁屏蔽边界下的高均匀磁场线圈设计方法，利用等效增益系数来描述磁屏蔽边界对线圈磁场的作用，使磁屏蔽边界下线圈的设计由完全依赖有限元求解转变为可利用解析模型进行优化，因此可以得到均匀性更高的线圈结构参数，且该方法计算效率高，可行性高。

附图说明

图1是本发明一种磁屏蔽边界下的高均匀磁场线圈设计方法；

图2是本发明实施例设计线圈结构示意图。

具体实施方式

下面结合附图和具体实施方式对本发明一种磁屏蔽边界下的高均匀磁场线圈设计方法作详细说明。

如图1和图2所示，本发明一种磁屏蔽环境下的高均匀区磁场线圈设计方法，下面以采用五段式绕制线圈为例，对本发明进行说明，但本发明并不限于采用五段式绕制线圈，本发明可用于圆柱形、方形等各类线圈在磁屏蔽边界下的设计。

在磁屏蔽桶尺寸已知的情况，对于磁屏蔽桶内部线圈采用五段式进行绕制时，磁屏蔽桶内部线圈的结构参数主要包括线圈半径R，单位m，线圈均匀区沿轴向的长度l_c，单位m，各分段线圈距离中心段的距离x₁和x₂，单位m，五段线圈的匝数分别为N1、N2、N3、N2和N1；

步骤一、确定磁场增益系数；

(1)利用毕奥沙法尔定律分别计算自由边界条件下，线圈中间位置(线圈0位)、x₁和x₂处，单匝线圈在线圈均匀区内线圈均匀区中间位置(0位)和线圈均匀区的两端处(lc/2位)的磁场，分别记为B_{z_0_1}、B_{z_0_2}、B_{z_x1_1}、B_{z_x1_2}、B_{z_x2_1}、B_{z_x2_2}；

通电线圈在其周围产生磁场作用，当线圈置于自由空间时，其轴线上产生磁场的大小可根据毕奥萨法尔定律求得，毕奥萨法尔定律解析表达式如公式(1)所示：

$B=\frac{{\mathrm{\μ}}_0}{2}\frac{{\mathrm{NR}}^{2}I}{{(R^2+x^2)}^{3/2}}---\left(1\right)$

式中：B为磁感强度，单位T；μ₀为空气的磁导率，μ₀＝4π×10^-7H/m，N为线圈匝数；R为线圈半径，单位m；x为线圈轴线上任一点与线圈面的距离，单位m；I为电流强度，单位A。

在自由空间下构造均匀磁场时，可设定多匝线圈分布于所需均匀磁场两侧，通过改变线圈匝数、距离等参数进行优化；而将线圈置于磁屏蔽环境下时，磁屏蔽边界会减小线圈磁路中磁阻的大小，从而改变磁通路径，导致各匝线圈在所需均匀区位置的磁场大小发生变化，则各匝线圈磁场和的均匀性发生变化。

但磁屏蔽边界对磁场的上述影响无法通过解析式直接求解，只能采用有限元进行仿真求解。

(2)采用有限元法建立磁屏蔽边界模型，分别计算磁屏蔽边界条件下，线圈中间位置(线圈0位)、x₁和x₂处，单匝线圈在线圈均匀区内线圈均匀区中间位置(0位)和线圈均匀区的两端处(lc/2位)的磁场，分别记为B_{p_0_1}、B_{p_0_2}、B_{p_x1_1}、B_{p_x1_2}、B_{p_x2_1}、B_{p_x2_2}；

(3)将步骤(1)和步骤(2)两种边界条件下得到的磁场的比值设为磁屏蔽边界对线圈磁场系数放大作用的等效增益系数，则可得到线圈中间位置(线圈0位)、x₁和x₂处，单匝线圈在线圈均匀区内线圈均匀区中间位置(0位)和线圈均匀区的两端处(lc/2位)的磁场增益系数，分别记为α_{0_1}、α_{0_2}、α_{x1_1}、α_{x1_2}、α_{x2_1}、α_{x2_2}，具体如公式(2)至公式(7)所示：

${\mathrm{\α}}_{0\_1}=\frac{B_{p\_0\_1}}{B_{z\_0\_1}}---\left(2\right)$

${\mathrm{\α}}_{0\_2}=\frac{B_{p\_0\_2}}{B_{z\_0\_2}}---\left(3\right)$

${\mathrm{\α}}_{x1\_1}=\frac{B_{p\_x1\_1}}{B_{z\_x1\_1}}---\left(4\right)$

${\mathrm{\α}}_{x1\_2}=\frac{B_{p\_x1\_2}}{B_{z\_x1\_2}}---\left(5\right)$

${\mathrm{\α}}_{x2\_1}=\frac{B_{p\_x2\_1}}{B_{z\_x2\_1}}---\left(6\right)$

${\mathrm{\α}}_{x2\_2}=\frac{B_{p\_x2\_2}}{B_{z\_x2\_2}}---\left(7\right)$

步骤二、利用步骤一中得到的磁场增益系数来等效磁屏蔽边界对线圈磁场产生的影响，假设五段式绕制线圈的中间位置(线圈0位)、x₁和x₂处线圈匝数分别为N3、N2、N1，利用等效增益系数则可得到线圈均匀区中间位置(0位)和线圈均匀区的两端处(lc/2位)的各线圈产生的合磁场为：

$B_0=\frac{{\mathrm{\μ}}_0{\mathrm{\α}}_{0\_1}}{2}\frac{N_3{R}^{2}I}{{\left(R^2\right)}^{3/2}}+\frac{{\mathrm{\μ}}_0{\mathrm{\α}}_{x1\_1}}{2}\frac{N_2{R}^{2}I}{{(R^2+x_1^2)}^{3/2}}+\frac{{\mathrm{\μ}}_0{\mathrm{\α}}_{x2\_1}}{2}\frac{N_1{R}^{2}I}{{(R^2+x_2^2)}^{3/2}}---\left(8\right)$

$B_{lc}=\frac{{\mathrm{\μ}}_0{\mathrm{\α}}_{0\_2}}{2}\frac{N_3{R}^{2}I}{{(R^2+{\left(\frac{l_c}{2}\right)}^2)}^{3/2}}+\frac{{\mathrm{\μ}}_0{\mathrm{\α}}_{x1\_2}}{2}\frac{N_2{R}^{2}I}{{(R^2+{\left(x_1-\frac{l_c}{2}\right)}^2)}^{3/2}}+\frac{{\mathrm{\μ}}_0{\mathrm{\α}}_{x2\_2}}{2}\frac{N_1{R}^{2}I}{{(R^2+{\left(x_2-\frac{l_c}{2}\right)}^2)}^{3/2}}---\left(9\right)$

步骤三、定义磁场变化率则可构造以β值最小为目标，以x₁、x₂以及N1、N2、N3为自变量的优化模型，对公式(8)和(9)进行优化求解计算，则可得到使线圈磁场变化率最小即磁场均匀性最高的线圈参数。

假设根据结构设计需求，图2所示的磁屏蔽筒内径为35mm，轴向长度为100mm，筒壁厚度为4mm，为满足加工装配需求，取其内部线圈半径R为33mm，线圈均匀区沿轴向长度lc为18mm。

在线圈中心及距离中心x₁＝20mm、x₂＝42mm处分别设计线圈，则根据毕奥萨法尔定律及有限元法分别可以得到自由边界下0、20mm、42mm处单匝线圈在线圈均匀区内的0及9mm两个点处的磁场大小，将两种边界条件下得到的磁场大小比值设为磁屏蔽边界对线圈磁场系数放大作用的等效增益系数，则可得到0、20mm、42mm处单匝线圈在线圈均匀区内的0及9mm两个点处的磁场增益系数分别为1.23、1.34、1.41。

根据式(8)和式(9)可得到在线圈均匀区内的0及9mm两个点处的磁场B₁、B₂关于x₁、x₂及N1，N2，N3的函数表达式；

以磁场变化率最小为优化目标，以x₁、x₂以及N1、N2、N3为自变量进行函数优化，得到最优的线圈参数，至此完成线圈设计。

Claims (3)

1.一种磁屏蔽环境下的高均匀区磁场线圈设计方法，其特征在于：该方法包括以下步骤：

步骤一、确定磁场增益系数

(1)利用毕奥沙法尔定律在自由边界条件下，分别计算分段式线圈绕制位置x_i处，单匝线圈在线圈均匀区内的中间位置和两端处的磁场，其中i为大于等于0的常数；

(2)利用有限元法建立磁屏蔽边界模型，分别计算磁屏蔽边界条件下，分段式线圈绕制位置x_i处，单匝线圈在线圈均匀区内的中间位置和两端处的磁场，其中i为大于等于0的常数；

(3)将步骤(1)和步骤(2)两种边界条件下得到的磁场的比值设为磁屏蔽边界对线圈磁场系数放大作用的等效增益系数，则可得到线圈绕制位置处，单匝线圈在线圈均匀区内的中间位置和两端处的磁场增益系数，磁场增益系数记为α_i，其中i为大于等于0的常数；

步骤二、用磁场增益系数来等效磁屏蔽边界对线圈磁场产生的影响，假设线圈不同绕制位置x_i处线圈匝数为N_i，则利用步骤一中的增益系数可得到线圈均匀区中间位置和线圈均匀区的两端处的各线圈N_i产生的合磁场，线圈均匀区中间位置和线圈均匀区的两端处的合磁场分别记为B₀和B_lc，其中i为大于等于0的常数，则：

$B_0=\underset{i=0}{\overset{n}{\Σ}}\frac{{\mathrm{\μ}}_0{\mathrm{\α}}_i}{2}\frac{N_i{R}^{2}I}{{(R^2+{x_i}^2)}^{3/2}}$

$B_{lc}=\underset{i=0}{\overset{n}{\Σ}}\frac{{\mathrm{\μ}}_0{\mathrm{\α}}_i}{2}\frac{N_i{R}^{2}I}{{(R^2+{\left(x_i-\frac{l_c}{2}\right)}^2)}^{3/2}}$

式中：n为大于0的正常数；μ₀为空气的磁导率，μ₀＝4π×10^-7H/m；α_i为磁场增益系数记，无量纲；N_i为x_i位置处线圈匝数；R为线圈绕制半径，单位m；x_i为第i分段处线圈沿轴向距离中心点的距离，单位m；I为电流强度，单位A；l_c为线圈均匀区沿轴向的长度，单位m；

步骤三、定义磁场变化率则可构造以β值最小为目标，以x_i和N_i为自变量的优化模型，对步骤二中B₀和B_lc的解析式进行优化求解计算，则可得到磁场均匀性最高的线圈参数。

2.根据权利要求1所述的磁屏蔽环境下的高均匀区磁场线圈设计方法，其特征在于：分段式线圈沿绕芯轴向对称布置，且处于对称位置上的线圈匝数相同。

3.根据权利要求2所述的磁屏蔽环境下的高均匀区磁场线圈设计方法，其特征在于：在磁屏蔽桶尺寸已知的情况，对于磁屏蔽桶内部线圈采用五段式进行绕制时，磁屏蔽桶内部线圈的结构参数线圈半径R，单位m，线圈均匀区沿轴向的长度l_c，单位m，各分段线圈距离中心段的距离x₀、x₁和x₂，单位m，五段线圈的匝数分别为N1、N2、N3、N2和N1；

步骤一、确定磁场增益系数；

(1)利用毕奥沙法尔定律分别计算自由边界条件下，线圈中间位置(线圈0位)、x₁和x₂处，单匝线圈在线圈均匀区内线圈均匀区中间位置(0位)和线圈均匀区的两端处(lc/2位)的磁场，分别记为B_{z_0_1}、B_{z_0_2}、B_{z_x1_1}、B_{z_x1_2}、B_{z_x2_1}、B_{z_x2_2}；

(2)采用有限元法建立磁屏蔽边界模型，分别计算磁屏蔽边界条件下，线圈中间位置(线圈0位)、x₁和x₂处，单匝线圈在线圈均匀区内线圈均匀区中间位置(0位)和线圈均匀区的两端处(lc/2位)的磁场，分别记为B_{p_0_1}、B_{p_0_2}、B_{p_x1_1}、B_{p_x1_2}、B_{p_x2_1}、B_{p_x2_2}；

(3)将步骤(1)和步骤(2)两种边界条件下得到的磁场的比值设为磁屏蔽边界对线圈磁场系数放大作用的等效增益系数，则可得到线圈中间位置(线圈0位)、x₁和x₂处，单匝线圈在线圈均匀区内线圈均匀区中间位置(0位)和线圈均匀区的两端处(lc/2位)的磁场增益系数，分别记为α_{0_1}、α_{0_2}、α_{x1_1}、α_{x1_2}、α_{x2_1}、α_{x2_2}，具体如公式(2)至公式(7)所示：

${\mathrm{\α}}_{0\_1}=\frac{B_{p\_0\_1}}{B_{z\_0\_1}}---\left(2\right)$

${\mathrm{\α}}_{0\_2}=\frac{B_{p\_0\_2}}{B_{z\_0\_2}}---\left(3\right)$

${\mathrm{\α}}_{x1\_1}=\frac{B_{p\_x1\_1}}{B_{z\_x1\_1}}---\left(4\right)$

${\mathrm{\α}}_{x1\_2}=\frac{B_{p\_x1\_2}}{B_{z\_x1\_2}}---\left(5\right)$

${\mathrm{\α}}_{x2\_1}=\frac{B_{p\_x2\_1}}{B_{z\_x2\_1}}---\left(6\right)$

${\mathrm{\α}}_{x2\_2}=\frac{B_{p\_x2\_2}}{B_{z\_x2\_2}}---\left(7\right)$

步骤二、利用步骤一中得到的磁场增益系数来等效磁屏蔽边界对线圈磁场产生的影响，假设五段式绕制线圈的中间位置(线圈0位)、x₁和x₂处线圈匝数分别为N3、N2、N1，利用等效增益系数则可得到线圈均匀区中间位置(0位)和线圈均匀区的两端处(lc/2位)的各线圈产生的合磁场为：

$B_0=\frac{{\mathrm{\μ}}_0{\mathrm{\α}}_{0\_1}}{2}\frac{N_3{R}^{2}I}{{\left(R^2\right)}^{3/2}}+\frac{{\mathrm{\μ}}_0{\mathrm{\α}}_{x1\_1}}{2}\frac{N_2{R}^{2}I}{{(R^2+x_1^2)}^{3/2}}+\frac{{\mathrm{\μ}}_0{\mathrm{\α}}_{x2\_1}}{2}\frac{N_1{R}^{2}I}{{(R^2+x_2^2)}^{3/2}}---\left(8\right)$

$B_{lc}=\frac{{\mathrm{\μ}}_0{\mathrm{\α}}_{0\_2}}{2}\frac{N_3{R}^{2}I}{{(R^2+{\left(\frac{l_c}{2}\right)}^2)}^{3/2}}+\frac{{\mathrm{\μ}}_0{\mathrm{\α}}_{x1\_2}}{2}\frac{N_2{R}^{2}I}{{(R^2+{\left(x_1-\frac{l_c}{2}\right)}^2)}^{3/2}}+\frac{{\mathrm{\μ}}_0{\mathrm{\α}}_{x2\_2}}{2}\frac{N_1{R}^{2}I}{{(R^2+{\left(x_2-\frac{l_c}{2}\right)}^2)}^{3/2}}---\left(9\right);$

式中：μ₀为空气的磁导率，μ₀＝4π×10^-7H/m；N₁、N₂、N₃为线圈匝数；R为线圈绕制半径，单位m；x₁、x₂为线圈沿轴向距离中心点的距离，单位m；I为电流强度，单位A；l_c为线圈均匀区沿轴向的长度，单位m；

步骤三、定义磁场变化率则可构造以β值最小为目标，以x₁、x₂以及N1、N2、N3为自变量的优化模型，对公式(8)和(9)进行优化求解计算，则可得到使线圈磁场变化率最小即磁场均匀性最高的线圈参数。