CN101435857A - 一种核磁共振波谱仪的柱面匀场线圈及设计方法 - Google Patents

Abstract

本发明涉及一种用于核磁共振波谱仪的柱面匀场线圈及其设计方法，适用于具有圆柱形磁体腔和横向磁场的Halbach磁体。本发明的匀场线圈由多组相互对称的鞍型线圈组成，将其绕制在Halbach磁体内与磁体同心的圆柱面上，施加电流可以产生特定的磁场。设计时鞍型线圈被简化为无限长直导线或圆弧导线，根据导线磁场泰勒展开式的各阶导数的表达式构造方程，计算出导线的位置参数，依照这些位置参数绕制导线构成匀场线圈。将多项匀场线圈产生的磁场叠加在一起，可以抵消磁场的不均匀，解决了Halbach磁体圆柱空腔内横向磁场的主动匀场问题，而且线圈结构简单，容易进行计算机仿真和线圈制作。

Description

一种核磁共振波谱仪的柱面匀场线圈及设计方法

技术领域

本发明涉及一种核磁共振设备的主动匀场方法，更具体的说是一种核磁共振波谱仪的柱面匀场线圈及其设计方法，适用于具有圆柱形磁体腔和横向磁场的Halbach磁体。

背景技术

核磁共振波谱仪(Nuclear Magnetic Resonance Spectrometer)在化学、食品、医学、生物学等学科领域得到广泛应用。永磁台式核磁共振谱仪不需要超导磁体的低温系统，具有便携、价格低廉等优势，然而因其场强较低，只能用于低档产品。近年来，随着永磁材料和磁体设计技术的迅速发展，永磁磁体的场强不断提高，如Halbach磁体最高可以达到4特斯拉的场强。将高场强的Halbach磁体作为永磁台式NMR波谱仪的磁源可以大大提高波谱仪的性能。但由于磁体的装配过程中造成的误差，而且结构上没有可以均化永磁块磁性能的铁极面，Halbach磁体内磁场均匀度不高。这一问题阻碍了Halbach磁体在永磁NMR中的应用。被动匀场方法和磁体的优化设计虽然可以得到较高的均匀度，然而要达到高分辨NMR波谱仪要求的高度均匀，必须通过匀场线圈对样品区进行主动匀场。目前的匀场线圈分为应用在超导NMR系统中的柱面匀场线圈和应用在永磁、电磁NMR系统中的双平面匀场线圈两种。柱面匀场线圈的特点如下：

(1)分布在与磁体同心的圆柱面上，由多组线圈组成；

(2)针对圆柱空腔内的轴向磁场进行主动匀场。

双平面匀场线圈的特点如下：

(1)分布在与磁体极面平行的双平面上，由多组线圈组成；

(2)针对与极面垂直方向的磁场进行主动匀场；

(3)线圈平面的直径要远大于样品区的直径。

永磁Halbach磁体的特点是具有圆柱形磁体空腔，并且在空腔内有较强的横向磁场。根据上述特点，柱面线圈的磁场方向为圆柱的轴向，不适用于Halbach磁体的横向主磁场，而永磁体中使用的双平面匀场线圈无法应用在一个狭窄的圆柱空腔内。因此，这两种匀场线圈都不能满足Halbach磁体的要求。

发明内容

本发明的目的是针对现有匀场线圈不适用于Halbach磁体的问题而提供一种能够对Halbach磁体的横向磁场进行补偿的柱面匀场线圈。

本发明的一种核磁共振波谱仪的柱面匀场线圈，每一项匀场线圈由多组相互对称的鞍型线圈组成，将其绕制在Halbach磁体内并与磁体同心的圆柱面上，施加电流可以产生特定的磁场，这些特定磁场的方向为圆柱横向。将多项匀场线圈产生的磁场叠加在一起，可以抵消Halbach磁体磁场的不均匀。设计时要根据核磁共振波谱仪的要求和磁场球谐函数展开式，确定需要设计的每项匀场线圈的磁场表达式；其次将鞍型线圈简化为无限长直导线或圆弧导线，根据需要设计的匀场线圈的磁场表达式，判断哪种导线作为产生磁场的主要部分；再次根据导线磁场在原点处的泰勒展开式中的各阶导数表达式构造方程，计算出这些导线的位置参数；最后取Halbach磁体内与磁体同心的圆柱面，按照位置参数将导线绕制在柱面上构成匀场线圈。如果将无限长直导线作为产生磁场的主要部分，则利用其磁场泰勒展开式中的各阶导数表达式构造方程，设计X、ZX和Z²-X²项匀场线圈。如果将圆弧导线作为产生磁场的主要部分，则利用其磁场泰勒展开式中的各阶导数表达式构造方程，设计Z、Y、XY、ZY、z²-Y²和Y(Y²-3Z²)项匀场线圈。

本发明的设计原理如下：在直角坐标系中，Halbach磁体的横向主磁场方向设为Z(附图2)，磁场分量B_z在原点的球谐函数展开式为：

$B_z(x,y,z)=A_1^0+2A_2^{0}Z+3A_2^{1}X+3B_2^{1}Y+\frac{3}{2}{A}_3^0(2Z^2-X^2-Y^2)+12A_3^1\mathrm{ZX}+12B_3^1\mathrm{ZY}$

$+15A_3^2(X^2-Y^2)+15B_3^2\left(2\mathrm{XY}\right)+2A_4^{0}Z[2Z^2-3(X^2+Y^2)]+15A_4^{1}X[4Z^2-(X^2+Y^2)]/2$

$+15B_4^{1}Y[4Z^2-(X^2+Y^2)]/2+90A_4^{2}Z(X^2-Y^2)+90B_4^{2}Z\left(2\mathrm{XY}\right)$

$+105A_4^{3}X(Y^2-3X^2)+105B_4^{3}Y(3X^2-Y^2)$

其中

和为待定系数。消除常数项

之后的项就可以得到均匀的磁场，因此，设计一组匀场线圈能产生磁场球谐函数展开式中的项，就可以抵消磁场的不均匀。这些线圈具有正交性、可以独立调节，调节它们的电流值可以使磁场达到十分精确的程度。为达到高度均匀，需要使样品管绕Y轴旋转，将展开式中含有X和Z的奇次幂的项均匀掉。那么理想情况下，线圈设计只需要考虑抵消以下几项： $3A_3^0(2Z^2-X^2-Y^2)/2,$ $15A_3^2(X^2-Y^2),$ $15B_4^{1}Y[4Z^2-(X^2+Y^2)]/2,$ $105B_4^{3}Y(3X^2-Y^2)$ 等。但实际情况下，为使旋转边带下降到可以忽略的程度，也需要对较大的径向分量进行补偿，如 $2A_2^{0}Z,3A_2^{1}X,12A_3^1\mathrm{ZX},12B_3^1\mathrm{ZY},15B_3^2\left(2\mathrm{XY}\right).$ 其中

和

可以简化为Z²-X²和Z²-Y²，同样

和可以简化为Y(Y²-3Z²)。因此，至少需要设计X、Y、Z、XY、XZ、YZ、Z²-X²、Z²-Y²和Y(Y²-3Z²)这九项匀场线圈，才能使磁场达到较高的均匀度。

柱面上的线圈电流产生的磁感应强度为：

$B=\frac{{\mathrm{\μ}}_0}{4\mathrm{\π}}{\∫}_v\frac{d\stackrel{\→}{I}\×\stackrel{\→}{R}}{R^3}=\frac{{\mathrm{\μ}}_0}{4\mathrm{\π}}{\∫}_v\frac{1}{{|\stackrel{\→}{r}-\stackrel{\→}{r}\′|}^3}(j_x\stackrel{\→}{i}+j_y\stackrel{\→}{j}+j_z\stackrel{\→}{k})\×[(x-x\′)\stackrel{\→}{i}+(y-y\′)\stackrel{\→}{j}+(z-z\′)\stackrel{\→}{k}]\mathrm{dv}\′$

∴ $B_z=\frac{{\mathrm{\μ}}_0}{4\mathrm{\π}}\∫\∫\∫\frac{1}{{|\stackrel{\→}{r}-\stackrel{\→}{r}\′|}^3}[j_x(y-y\′)-j_y(x-x\′)]\mathrm{dx}\′\mathrm{dy}\′\mathrm{dz}\′$

根据上式在原点处的各阶导数表达式，推导出以下几种电流对称性关系：

(1)j_x和j_y关于XY平面对称并且电流相等，即j_x(x′，y′，-z′)＝j_x(x′，y′，z′)，j_y(x′，y′，-z′)＝j_y(x′，y′，z′)时，则B_z、

和

均为单电流产生的2倍，而 $\frac{{\∂}^n{B}_z}{\∂z^n}{|}_{z=0}=0,$ n为奇数。

(2)j_x和j_y关于XY平面对称并且电流相反，即j_x(x′，y′，-z′)＝-j_x(x′，y′，z′)，j_y(x′，y′，-z′)＝-j_y(x′，y′，z′)时，则B_z，

均为0，而 $\frac{{\∂}^n{B}_z}{\∂z^n}{|}_{z=0}=0,$ n为偶数。

(3)电流密度函数关于XZ，YZ平面对称，又电流形成回路 $\▿\·J=0,$ 所以对于J_z＝0的电流密度函数有 $\frac{\∂J}{\∂x}=-\frac{\∂J}{\∂y}.$

a)j_x(-x′，y′，z′)＝-j_x(x′，y′，z′)，j_y(-x′，y′，z′)＝j_y(x′，y′，z′)，那么x＝0时，B_z＝0， $\frac{{\∂}^n{B}_z}{\∂y^n}=\frac{{\∂}^n{B}_z}{\∂z^n}=0;$ $\frac{{\∂}^n{B}_z}{\∂x^n}=0,$ n为偶数。

b)j_x(-x′，y′，z′)＝j_x(x′，y′，z′)，j_y(-x′，y′，z′)＝-j_y(x′，y′，z′)，只有 $\frac{{\∂}^n{B}_z}{\∂x^n}=0,$ n为奇数。

c)j_x(x′，-y′，z′)＝j_x(x′，y′，z′)，j_y(x′，-y′，z′)＝-j_y(x′，y′，z′)，那么y＝0时，B_z＝0， $\frac{{\∂}^n{B}_z}{\∂y^n}=\frac{{\∂}^n{B}_z}{\∂z^n}=0;$ $\frac{{\∂}^n{B}_z}{\∂y^n}=0,$ n为偶数。

d)j_x(x′，-y′，z′)＝-j_x(x′，y′，z′)，j_y(x′，-y′，z′)＝j_y(x′，y′，z′)，只有 $\frac{{\∂}^n{B}_z}{\∂y^n}=0,$ n为奇数。

导线产生的磁场B_z在原点处的泰勒展开式为：

$B_z=B_{z\left(\mathrm{0,0,0}\right)}+{(\frac{\∂B_z}{\∂x}x-\frac{\∂B_z}{\∂y}y+\frac{\∂B_z}{\∂z}z)}_{000}+\frac{1}{2!}[\frac{{\∂}^2{B}_z}{{\∂x}^2}{x}^2+\frac{{\∂}^2{B}_z}{{\∂y}^2}{y}^2+\frac{{\∂}^2{B}_z}{{\∂z}^2}{z}^2+2\frac{{\∂}^2{B}_z}{\∂x\∂y}\mathrm{xy}$

${+2\frac{{\∂}^2{B}_z}{\∂x\∂y}\mathrm{xz}+2\frac{{\∂}^2{B}_z}{\∂y\∂x}\mathrm{yz}]}_{000}+\frac{1}{3!}[\frac{{\∂}^3{B}_z}{{\∂x}^3}{x}^3+\frac{{\∂}^3{B}_z}{{\∂y}^3}{y}^3+\frac{{\∂}^3{B}_z}{{\∂z}^3}{z}^3+3\frac{{\∂}^3{B}_z}{{\∂x}^2\∂y}{x}^{2}y+3\frac{{\∂}^3{B}_z}{{\∂x}^2\∂z}{x}^{2}z$

${+3\frac{{\∂}^3{B}_z}{{\∂y}^2\∂z}{y}^{2}z+3\frac{{\∂}^3{B}_z}{{\∂y}^2\∂x}{y}^{2}x+3\frac{{\∂}^3{B}_z}{{\∂z}^2\∂x}{z}^{2}x+3\frac{{\∂}^3{B}_z}{{\∂z}^2\∂y}{z}^{2}y+6\frac{{\∂}^3{B}_z}{\∂x\∂y\∂z}\mathrm{xyz}]}_{000}$

$\·\·\·\·\·\·$

鞍型线圈简化为无限长直导线或圆弧导线，根据电流对称性关系布置直导线和圆弧导线，可以使导线磁场B_z泰勒展开式中的一些项相互抵消。为将剩余的项进行线性组合得到球谐函数展开式中需要抵消的某一项，需要根据上述泰勒展开式中的各阶导数表达式构造方程，计算出导线的位置参数。依照位置参数在圆柱表面布置直导线和圆弧导线构成鞍型线圈，从而得到一项匀场线圈。

有益效果

本发明解决了Halbach磁体的圆柱空腔内横向磁场的主动匀场问题，设计了九组柱面匀场线圈。该设计方法的计算过程简单，得到的位置参数是一种比例关系，所以适用于各种尺寸的磁体，而且鞍型线圈结构简单、容易进行计算机仿真和线圈制作。

附图说明

图1是本发明一种柱面匀场线圈设计方法的永磁核磁共振波谱仪系统，Halbach磁体1的圆柱空腔2中心的样品区域3内放置了射频线圈，射频线圈和匀场线圈4之间有射频屏蔽层5隔绝射频信号。

图2是本发明一种柱面匀场线圈设计方法的Halbach磁体1中匀场线圈4的整体结构示意图，其中标明了直角坐标系中横向主磁场B0的方向。

图3是本发明一种柱面匀场线圈设计方法的Y项匀场线圈，6、7、8、9四段圆弧导线是产生Y项磁场的关键部分，是按照电流对称性关系和导线位置参数布置的。

图4是本发明一种柱面匀场线圈设计方法的XY项匀场线圈，10、11、12、13、14、15、16、17这八段圆弧导线是产生XY项磁场的关键部分，是按照电流对称性关系和导线位置参数布置的。

图5是本发明一种柱面匀场线圈设计方法的z项匀场线圈，18、19、20、21四段圆弧导线是产生z项磁场的关键部分，是按照电流对称性关系和导线位置参数布置的。

图6是本发明一种柱面匀场线圈设计方法的Z²-Y²项匀场线圈，22、23、24、25四段圆弧导线是产生Z²-Y²项磁场的关键部分，是按照电流对称性关系和导线位置参数布置的。

图7是本发明一种柱面匀场线圈设计方法的Y(Y²-3Z²)项匀场线圈，26、27、28、29、30、31、32、33这八段圆弧导线是产生Y(Y²-3Z²)项磁场的关键部分，是按照电流对称性关系和导线位置参数布置的。

图8是本发明一种柱面匀场线圈设计方法的X项匀场线圈，34、35、36、37、38、39、40、41这八段直导线是产生X项磁场的关键部分，是按照电流对称性关系和导线位置参数布置的。

图9是本发明一种柱面匀场线圈设计方法的Z²-X²项匀场线圈，42、43、44、45、46、47、48、49这八段直导线是产生Z²-X²项磁场的关键部分，是按照电流对称性关系和导线位置参数布置的。

具体实施方法

为了更好地说明本发明的设计方法，下面结合附图和设计中用到的计算公式对本发明作进一步的详细描述。

方法一  将圆弧导线作为产生磁场的主要部分，则利用其磁场泰勒展开式中的各阶导数表达式构造方程，设计Z、Y、XY、ZY、Z²-Y²和Y(Y²-3Z²)项匀场线圈。

圆柱面上圆弧导线的电流在任意点产生的磁场Z分量的表达式为：

${\mathrm{dl}}_z=d\stackrel{\→}{l}\·\stackrel{\→}{k}=-a\sin \mathrm{\αd\α},{\mathrm{dl}}_x=d\stackrel{\→}{l}\·\stackrel{\→}{i}=a\cos \mathrm{\αd\α},{\mathrm{dl}}_y=0,$

$R={[a^2+x^2+{(y+y_0)}^2+{z\′}^2-2a(z\cos \mathrm{\α}+x\sin \mathrm{\α})]}^{0.5}$

$B_z=-\frac{{\mathrm{\μ}}_0\mathrm{Ia}}{4\mathrm{\π}}{\∫}_{{\mathrm{\θ}}_1}^{{\mathrm{\θ}}_2}\frac{y+y_0}{{[x^2+{(y+y_0)}^2+z^2+a^2-2a(z\cos \mathrm{\α}+x\sin \mathrm{\α})]}^{3/2}}\cos \mathrm{\α}\·\mathrm{d\α}---\left(1\right)$

圆柱的中心为坐标原点，a是圆柱面的半径，y₀是圆弧导线所在平面与原点的距离，θ₁和θ₂分别是圆弧两端与Z轴的夹角，I是圆弧中的电流。上式的各阶导数为：

$\frac{\∂B_z}{\∂y}=\frac{{\mathrm{\μ}}_0\mathrm{Ia}}{4\mathrm{\π}}\frac{3(a^2-2y_0^2)}{{(a^2+y_0^2)}^{5/2}}(\sin {\mathrm{\θ}}_2-\sin {\mathrm{\θ}}_1)---\left(2\right)$

$\frac{{\∂}^3{B}_z}{{\∂y}^3}=\frac{{\mathrm{\μ}}_0\mathrm{Ia}}{4\mathrm{\π}}\frac{3}{{(a^2+y_0^2)}^{5/2}}(\frac{-35y_0^4}{{(a^2+y_0^2)}^2}+\frac{27y_0^2-3a^2}{a^2+y_0^2})(\sin {\mathrm{\θ}}_2-\sin {\mathrm{\θ}}_1)---\left(3\right)$

$\frac{{\∂}^2{B}_z}{\∂z\∂y}=\frac{{\mathrm{\μ}}_0\mathrm{Ia}}{4\mathrm{\π}}\frac{-3a}{{(a^2+y_0^2)}^{5/2}}(\frac{5y_0^2}{a^2+y_0^2}-1)[\frac{1}{2}({\mathrm{\θ}}_2-{\mathrm{\θ}}_1)+\frac{1}{4}(\sin 2{\mathrm{\θ}}_2-\sin 2{\mathrm{\θ}}_1)]---\left(4\right)$

$\frac{{\∂}^4{B}_z}{\∂y^3\∂z}=\frac{{\mathrm{\μ}}_0\mathrm{Ia}}{4\mathrm{\π}}\frac{a}{{(a^2+y_0^2)}^{7/2}}(\frac{945y_0^2}{{\left(a^2+y_0^2\right)}^2}-\frac{630y_0^2}{a^2+y_0^2}+45)[\frac{1}{2}({\mathrm{\θ}}_2-{\mathrm{\θ}}_1)+\frac{1}{4}(\sin 2{\mathrm{\θ}}_2-\sin 2{\mathrm{\θ}}_1)]---\left(5\right)$

$\frac{{\∂}^2{B}_z}{\∂x\∂y}=\frac{{\mathrm{\μ}}_0\mathrm{Ia}}{4\mathrm{\π}}\frac{-3a}{{(a^2+y_0^2)}^{5/2}}(\frac{5y_0^2}{a^2+y_0^2}-1)\·\frac{1}{2}({\sin }^2{\mathrm{\θ}}_2-{\sin }^2{\mathrm{\θ}}_1)---\left(6\right)$

$\frac{{\∂}^4{B}_z}{\∂y^3\∂z}=\frac{{\mathrm{\μ}}_0\mathrm{Ia}}{4\mathrm{\π}}\frac{a}{{(a^2+y_0^2)}^{7/2}}(\frac{945y_0^4}{{\left(a^2+y_0^2\right)}^2}-\frac{630y_0^2}{a^2+y_0^2}+45)\frac{1}{2}({\sin }^2{\mathrm{\θ}}_2-{\sin }^2{\mathrm{\θ}}_1)---\left(7\right)$

$\frac{\∂B_z}{\∂z}=\frac{{\mathrm{\μ}}_0\mathrm{Ia}}{4\mathrm{\π}}\frac{3a{y}_0}{{(a^2+y_0^2)}^{5/2}}[\frac{1}{2}({\mathrm{\θ}}_2-{\mathrm{\θ}}_1)+\frac{1}{4}(\sin 2{\mathrm{\θ}}_2-\sin 2{\mathrm{\θ}}_1)]---\left(8\right)$

$\frac{{\∂}^3{B}_z}{{\∂z}^3}=\frac{{\mathrm{\μ}}_0\mathrm{Ia}}{4\mathrm{\π}}\frac{15a{y}_0}{{(a^2+y_0^2)}^{7/2}}\{\frac{7a^2}{a^2+y_0^2}[\frac{3}{8}({\mathrm{\θ}}_2-{\mathrm{\θ}}_1)+\frac{1}{32}(\sin 4{\mathrm{\θ}}_2-\sin 4{\mathrm{\θ}}_1)$

$+\frac{1}{4}(\sin 2{\mathrm{\θ}}_2-\sin 2{\mathrm{\θ}}_1)]-3[\frac{1}{2}({\mathrm{\θ}}_2-{\mathrm{\θ}}_1)+\frac{1}{4}(\sin 2{\mathrm{\θ}}_2-\sin 2{\mathrm{\θ}}_1)]\}---\left(9\right)$

$\frac{{\∂}^2{B}_z}{{\∂y}^2}=\frac{{\mathrm{\μ}}_0\mathrm{Ia}}{4\mathrm{\π}}\frac{3y_0}{{(a^2+y_0^2)}^{5/2}}(\frac{5y_0^2}{a^2+y_0^2}-3)(\sin {\mathrm{\θ}}_2-\sin {\mathrm{\θ}}_1)---\left(10\right)$

$\frac{{\∂}^4{B}_z}{\∂y^4}=\frac{{\mathrm{\μ}}_0\mathrm{Ia}}{4\mathrm{\π}}\frac{a}{{(a^2+y_0^2)}^{7/2}}[\frac{945y_0^4}{{\left(a^2+y_0^2\right)}^2}-\frac{1050y_0^4}{a^2+y_0^2}+225](\sin {\mathrm{\θ}}_2-\sin {\mathrm{\θ}}_1)---\left(11\right)$

$\frac{{\∂}^2{B}_z}{{\∂z}^2}=\frac{{\mathrm{\μ}}_0\mathrm{Ia}}{4\mathrm{\π}}\frac{3y_0}{{(a^2+y_0^2)}^{5/2}}\{\frac{5a^2}{a^2+y_0^2}[({\sin \mathrm{\θ}}_2-{\sin \mathrm{\θ}}_1)-\frac{1}{3}({\sin }^3{\mathrm{\θ}}_2-{\sin }^3{\mathrm{\θ}}_1)]-(\sin {\mathrm{\θ}}_2-\sin {\mathrm{\θ}}_1)\}---\left(12\right)$

$\frac{{\∂}^4{B}_z}{{\∂z}^4}=\frac{{\mathrm{\μ}}_0\mathrm{Ia}}{4\mathrm{\π}}\frac{y_0}{{(a^2+y_0^2)}^{7/2}}\{\frac{945a^4}{{(a^2+y_0^2)}^2}[(\sin {\mathrm{\θ}}_2-\sin {\mathrm{\θ}}_1)-\frac{2}{3}({\sin }^3{\mathrm{\θ}}_2-{\sin }^3{\mathrm{\θ}}_1)+\frac{1}{5}({\sin }^5{\mathrm{\θ}}_2-{\sin }^5{\mathrm{\θ}}_1)]$

$-\frac{630a^2}{a^2+y_0^2}[(\sin {\mathrm{\θ}}_2-\sin {\mathrm{\θ}}_1)-\frac{1}{3}({\sin }^3{\mathrm{\θ}}_2-{\sin }^3{\mathrm{\θ}}_1)]+45(\sin {\mathrm{\θ}}_2-\sin {\mathrm{\θ}}_1)\}---\left(13\right)$

$\frac{{\∂}^3{B}_z}{\∂y\∂z^2}=\frac{{\mathrm{\μ}}_0\mathrm{Ia}}{4\mathrm{\π}}\·\{\frac{3}{{(a^2+y_0^2)}^{5/2}}(\frac{5a^4-30y_0^2{a}^2}{{(a^2+y_0^2)}^2}[(\sin {\mathrm{\θ}}_2-\sin {\mathrm{\θ}}_1)-\frac{1}{3}({\sin }^3{\mathrm{\θ}}_2-{\sin }^3{\mathrm{\θ}}_1)]$

$+\frac{4y_0^2-a^2}{a^2+y_0^2}(\sin {\mathrm{\θ}}_2-\sin {\mathrm{\θ}}_1)\}---\left(14\right)$

$\frac{{\∂}^5{B}_z}{{\∂y}^3{\∂z}^2}=\frac{{\mathrm{\μ}}_0\mathrm{Ia}}{4\mathrm{\π}}\{\frac{1}{{(a^2+y_0^2)}^{7/2}}(\frac{945y_0^4}{{(a^2+y_0^2)}^2}-\frac{630y_0^2}{a^2+y_0^2}+45)(\sin {\mathrm{\θ}}_2-\sin {\mathrm{\θ}}_1)---\left(15\right)$

$-\frac{a^2}{{(a^2+y_0^2)}^{7/2}}(5040y_0^4+5040y_0^2{a}^2-315a^4)[(\sin {\mathrm{\θ}}_2-\sin {\mathrm{\θ}}_1)-\frac{1}{3}({\sin }^3{\mathrm{\θ}}_2-{\sin }^3{\mathrm{\θ}}_1)]\}$

圆柱面上的有限长直导线在任意点产生的磁场Z向分量为：

$B_z=\frac{{\mathrm{\μ}}_{0}I}{4\mathrm{\π}}{\∫}_{y_0}^{y_0+1}\frac{x-a\sin \mathrm{\θ}}{{[a^2+x^2+z^2+{(y-y\′)}^2-2a(z\cos \mathrm{\θ}+x\sin \mathrm{\θ})]}^{3/2}}\mathrm{dy}\′,---\left(16\right)$

其中dl＝dy′， $\stackrel{\→}{R}=\stackrel{\→}{r}-\stackrel{\→}{r}\′=(x-a\sin \mathrm{\θ})\stackrel{\→}{i}+(y-y\′)\stackrel{\→}{j}+(z-a\cos \mathrm{\θ})\stackrel{\→}{k},$ 其中a是圆柱面的半径，θ是直导线与Z轴的夹角，1是直导线的长度。

按照电流对称性关系j_x(-z′)＝j_x(z′)，j_x(-y′)＝j_x(y′)，即可以产生

n为奇数的各阶项组成的磁场。因此，为得到Y项匀场线圈，需要使圆弧导线磁场各阶导数中的

项(式3)为零，解方程并取对

影响较大的解y₀/a＝±0.362。和两项的表达式中都含sinθ，而且有限长直导线所产生的磁场Bz(式16)不能忽略，所以需要通过有限元软件辅助设计来确定参数θ，此处θ为130°。由上述计算出的坐标关系，在YZ平面的四个象限在y₀处分别放置四段圆弧导线，如附图2中圆弧6、7、8、9，它们的电流大小和方向都相同。还需加入4段有限长直导线，并在远端布置4段对磁场影响可被忽略的圆弧导线构成附图2中的鞍型线圈。以样品区域4的直径为20mm为例，Y项匀场线圈圆柱半径a＝22mm，y₀＝8.688mm，θ为130°，Y方向梯度最大可达到51.25Gs/m。实际制作匀场线圈时，首先根据上述参数确定线圈位置，在一个塑料圆筒表面洗槽，将直径1mm的漆包线固定于槽中，而后用双绞线引出与恒流源相接。其余各项匀场线圈的制作同上所述，绕制在同一个塑料圆筒表面，每组单独用双绞线引出与恒流源相接。而且从磁体引出的导线还需要加入滤波器，以避免电磁干扰。

ZY项匀场线圈与Y项类似，而电流的对称性关系应该表示为j_x(-z′)＝-j_x(z′)，j_x(-y′)＝j_x(y′)。

之后不为零的项是

因此令圆弧导线展开式中

(式5)为零，解方程并取对

影响较大的解y₀/a＝±0.298。上述两项的表达式中都含有(θ₂-θ₁)/2+(sin2θ₂-sin2θ₁)/4，因此在有限元软件的仿真模型中调整参数θ，当θ＝96°时可以得到较好的场型。

XY项匀场线圈的电流对称性表示为j_x(-x′)＝-j_x(x′)，j_x(-y′)＝j_x(y′)。

之后不为零的项是(式7)，令

为零，取较佳解y₀/a＝±0.298。考虑到圆弧导线的对称性，并且上述两项都含sin²θ₂-sin²θ₁，所以θ₂-θ₁<90°且θ₂≠θ₁，有限元分析软件分析结果θ₂＝75°，θ₁＝20°。按上述推导的结果，在XY平面的四个象限分别放置圆弧导线10、11、12、13、14、15、16、17，共采用8个对称的鞍型线圈构成附图3所示的匀场线圈。

z项匀场线圈的j_x和j_y应关于Z＝0的平面对称并且电流相反，即j_x(-z′)＝-j_x(z′)，j_y(-z′)＝-j_y(z′)此时只有n为奇数的Z的各阶导数不为零。令

(式9)为零，圆弧的弧度为θ₂＝π，θ₁＝0时，解得y₀/a＝±0.866。实际的线圈需要采用两段角度略小于π的圆弧，如附图4中18、19、20、21所示。

Z²-Y²项匀场线圈的对称性为j_x(-z′)＝j_x(z′)，j_x(-y′)＝-j_x(y′)，可以使n为奇数时Z和Y的各阶导数均为零。令

(式11)为零，解得y₀/a＝±0.639，±2.428，取对

的影响较大的解y₀/a＝±0.639。圆弧电流关于Z轴对称，令θ₂＝-θ₁，k＝(y₀/a)²，当k＝5(1-sin²θ₂)-1时

取得最大值，代入 ${\&PartialD;}^4{B}_z/{\&PartialD;y}^4=0$ (式13)可以得到合理解y₀/a＝±0.649，θ₂＝57.7790。按照计算得到的位置参数，在YZ平面的每个象限中分别布置2根圆弧导线，其电流关系为：

$\frac{I_{z^2}}{I_{y^2}}=\frac{2k-3}{5(1-\frac{1}{3}{\sin }^2\mathrm{\&theta;})-k-1}\&ap;0.904$

由于两段圆弧电流的参数y₀几乎相等，实际设计中可以采用一段圆弧导线代替，如附图5中的22、23、24、25应该注意的是这组线圈产生的磁场中X的各阶导数仍然存在，无法抵消，需要通过调节其它线圈的电流值来消除。

为产生Y(Y²-3Z²)项匀场磁场，电流对称性的布置应该能够抵消Y的各偶数阶导数，并且

项不为零，那么对称性应该表示为j_x(-z′)＝j_x(z′)，j_x(-y′)＝j_x(y′)。为得到那么应使

(式2)中的 $a^2-2y_0^2=0,$ 其解为y₀/a＝±0.707。令圆弧导线的参数θ₂＝-θ₁，k＝(y₀/a)²，当sin²θ₂＝(4k²-27k+4)/(5-30k)时

取得最大值。

之后不为零的项是

将上述θ与k的关系代入 ${\&PartialD;}^5{B}_z/{\&PartialD;y}^3{\&PartialD;z}^2=0$ (式15)，得到的合理解为k＝0.063，sin²θ₂＝0.744，所以y₀/a＝±0.251，θ₂＝59.6050。在YZ平面的每个象限中分别布置圆弧导线26、27、28、29、30、31、32、33，并且加入有限长直导线构成附图6的8个鞍型线圈。

方法二  将无限长直导线作为产生磁场的主要部分，则利用其磁场泰勒展开式中的各阶导数表达式构造方程，设计X、ZX和Z²-X²项匀场线圈。

一根平行于Y轴的无限长载流直导线对磁场Z分量的贡献为：

$B_z=\frac{{\mathrm{\&mu;}}_0}{4\mathrm{\&pi;}}{\&Integral;}_{x_0-\mathrm{\&epsiv;}/2}^{x_0+\mathrm{\&epsiv;}/2}(x-x\&prime;)\mathrm{dx}\&prime;{\&Integral;}_{-y_0}^{y_0}\frac{J_y\mathrm{dy}\&prime;}{{[{(x-x\&prime;)}^2+{(y-y\&prime;)}^2+{(z-z\&prime;)}^2]}^{3/2}}---\left(17\right)$

电流密度函数为J_y，宽度为x₀-ε/2≤x′≤x₀+ε/2。当y₀→∞，令I_y＝εJ_y，上式近似为：

$B_z=\frac{{\mathrm{\&mu;}}_0{I}_y(x-x_0)}{2\mathrm{\&pi;}[{(x-x_0)}^2+{(z-z_0)}^2]}---\left(18\right)$

其各阶导数表达式为：

$\frac{\&PartialD;B_z}{\&PartialD;x}=\frac{{\mathrm{\&mu;}}_0{I}_y}{2\mathrm{\&pi;}}\frac{z_0^2-x_0^2}{{(z_0^2+x_0^2)}^2}---\left(19\right)$

$\frac{{\&PartialD;}^3{B}_z}{{\&PartialD;x}^3}=-\frac{{\&PartialD;}^3{B}_z}{\&PartialD;x{\&PartialD;z}^2}=\frac{{\mathrm{\&mu;}}_0{I}_y}{2\mathrm{\&pi;}}\frac{-3!(z_0^4-6x_0^2{z}_0^2+x_0^4)}{{(z_0^2+x_0^2)}^4}---\left(20\right)$

$\frac{{\&PartialD;B}_z}{\&PartialD;x\&PartialD;z}=\frac{{\mathrm{\&mu;}}_0{I}_y}{2\mathrm{\&pi;}}\frac{2z_0^2(z_0^2-3x_0^2)}{{(z_0^2+x_0^2)}^3}---\left(21\right)$

$\frac{{\&PartialD;}^4{B}_z}{{\&PartialD;x}^3\&PartialD;z}=\frac{{\mathrm{\&mu;}}_0{I}_y}{2\mathrm{\&pi;}}\frac{24z_0(5x_0^4-10x_0^2{z}_0^2+z_0^2)}{{(z_0^2+x_0^2)}^5}---\left(22\right)$

$\frac{{\&PartialD;}^3{B}_z}{{\&PartialD;z}^3}=-\frac{{\&PartialD;}^3{B}_z}{{\&PartialD;x}^2\&PartialD;z}=\frac{{\mathrm{\&mu;}}_0{I}_y}{2\mathrm{\&pi;}}\frac{-4!z_0{x}_0(z_0^2-x_0^2)}{{(z_0^2+x_0^2)}^4}---\left(23\right)$

$\frac{{\&PartialD;}^2{B}_z}{{\&PartialD;x}^2}=-\frac{{\&PartialD;}^2{B}_z}{{\&PartialD;z}^2}=\frac{{\mathrm{\&mu;}}_0{I}_y}{2\mathrm{\&pi;}}\frac{2x_0(x_0^2-3z_0^2)}{{(z_0^2+x_0^2)}^3}---\left(24\right)$

$\frac{{\&PartialD;}^4{B}_z}{{\&PartialD;x}^4}=\frac{{\&PartialD;}^4{B}_z}{{\&PartialD;z}^4}=\frac{{\mathrm{\&mu;}}_0{I}_y}{2\mathrm{\&pi;}}\frac{24x_0(x_0^4-10x_0^2{z}_0^2+5z_0^2)}{{(z_0^2+x_0^2)}^5}---\left(25\right)$

X项匀场线圈的对称性应为j_y(-z′)＝j_y(z′)，j_y(-x′)＝j_y(x′)，即得到X的各奇数阶导数组成的磁场。令无限长直导线的展开式中 ${\&PartialD;}^3{B}_z/{\&PartialD;x}^3=0$ (式20)，解得z₀/x₀＝±2.414或±0.414，并且 $z_0^2+x_0^2=a^2,$ 求解这个方程即可得到无限长直导线在圆柱面上的8个坐标(x₀，z₀)。按照计算出的坐标和对称性关系，需在XZ平面的每个象限中布置直导线34、35、36、37、38、39、40、41，并在距离均匀区域很远的地方加入圆弧导线构成附图7中的4个鞍型线圈。ZX项匀场线圈与X项匀场线圈类似，但电流的对称性应变为j_y(-z′)＝-j_y(z′)，j_y(-x′)＝j_y(x′)。

之后不为零的项是

因此令 ${\&PartialD;}^4{B}_z/{\&PartialD;x}^3\&PartialD;z=0$ (式22)，得到z₀/x₀＝±0.325或±1.376，并且 $z_0^2+x_0^2=a^2.$ 按照计算出的位置参数放置直导线和圆弧导线构成4个鞍型线圈。

Z²-X²项匀场线圈的对称性j_y(-z′)＝j_y(z′)，j_y(-x′)＝-j_y(x′)，使得Y和Z的各奇数阶导数为零。令 ${\&PartialD;}^4{B}_z/\&PartialD;z^4=0$ (式25)，得到x₀/z₀＝±3.078，±0.727，并且线圈在圆柱面上 $z_0^2+x_0^2=a^2,$ 求解这个方程即可得到无限长直导线在圆柱面上的8个坐标(x₀，z₀)。按照计算出的坐标和对称性关系，需在XZ平面的第一象限中布置直导线42、43，它们的电流之比为-1。直导线44、45、46、47、48、49构成附图9中的鞍型线圈都关于Z轴对称，因此，该组在产生Z²-X²项磁场的同时还会产生一个常数项，但不影响磁场均匀度的调整。

综上所述，本发明设计出能够对Halbach磁体的横向磁场进行补偿的柱面匀场线圈，解决了Halbach磁体的主动匀场问题。其中，每项线圈都由鞍型线圈组成，产生的磁场对应磁场球谐函数展开式中的项。鞍型线圈被简化为无限长直导线或圆弧导线，通过构造方程计算出这些位置参数，并依照它们布置导线。该方法的计算过程简单，得到的位置参数是一种比例关系，所以适用于各种尺寸的磁体，而且鞍型线圈结构简单，容易进行计算机仿真和线圈制作。

Claims (5)

1、一种核磁共振波谱仪的柱面匀场线圈，每一项匀场线圈由多组相互对称的鞍型线圈组成，将多项匀场线圈产生的磁场叠加在一起，可以抵消磁场的不均匀，使其达到核磁共振波谱仪的要求；其特征在于：将其绕制在Halbach磁体内并与磁体同心的圆柱面上，施加电流可以产生特定的磁场。

2、根据权利要求1的核磁共振波谱仪的柱面匀场线圈，在磁体中心附近的磁场球谐函数展开式中，每一项表达式代表了匀场线圈需要产生的特定的磁场，其特征在于：Halbach磁体主磁场方向为圆柱横向。

3、一种核磁共振波谱仪的柱面匀场线圈的设计方法，根据核磁共振波谱仪的要求和磁场球谐函数展开式，确定需要设计的每项匀场线圈的磁场表达式，将多项匀场线圈产生的磁场叠加在一起，可以抵消磁场的不均匀，其中每一项匀场线圈都由几个对称的鞍型线圈组成，其特征在于：首先将鞍型线圈简化为无限长直导线或圆弧导线，根据需要设计的匀场线圈的磁场表达式，判断哪种导线作为产生磁场的主要部分；然后根据导线磁场在原点处的泰勒展开式中的各阶导数表达式构造方程，计算出这些导线的位置参数；最后取Halbach磁体内与磁体同心的圆柱面，按照位置参数将导线绕制在柱面上构成匀场线圈。

4、根据权利要求3所述一种核磁共振波谱仪的柱面匀场线圈的设计方法，其特征在于：如果将无限长直导线作为产生磁场的主要部分，则利用其磁场泰勒展开式中的各阶导数表达式构造方程，设计X、ZX和Z²-X²项匀场线圈。

5、根据权利要求3的所述一种核磁共振波谱仪的柱面匀场线圈的设计方法，其特征在于：如果将圆弧导线作为产生磁场的主要部分，则利用其磁场泰勒展开式中的各阶导数表达式构造方程，设计Z、Y、XY、zY、Z²-Y²和Y(Y₂-3Z₂)项匀场线圈。

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