CN105095578A - 一种等径变螺距螺旋叶片的下料计算方法 - Google Patents

Abstract

本发明涉及叶片机械加工技术领域，尤其涉及一种等径变螺距螺旋叶片的下料计算方法，采用本发明方法设计的螺旋线，能按给定的函数关系变化，能得到螺距在每一点连续变化的螺旋线，并能计算出叶片螺旋线上任意点对应的下料图形的点，使得到螺旋叶片更为光顺，提高叶片的加工质量和加工效率，进而提高搅拌性能。

Description

一种等径变螺距螺旋叶片的下料计算方法

技术领域

本发明涉及叶片机械加工技术领域，尤其涉及一种等径变螺距螺旋叶片的下料计算方法。

背景技术

螺旋叶片的现有加工技术基于3.5轴(四根轴不能任意进行全联动运行的系统。但在某些功能上，在受限制的范围内，可以四轴联动加工；这种受限制的四轴联动，称3.5轴加工)数控铣床加工变螺距螺旋叶片，采用先车内孔再加工螺纹的工艺路线，内孔在普通车床加工，然后螺纹切削深度至螺旋叶片内孔半径处；但这种方法相对于轧制钢板浪费材料、螺旋叶片厚度很小，车削难以保证加工稳定性；力学性能不够轧制钢板，难以满足技术要求。故现有的螺旋叶片加工方法大多采用钢板下料再冷拉成型。虽然参考文献“变径变螺距螺旋叶片的展开”(出自：轻工机械，2001，03，P27-29)提到了等径变螺距螺旋叶片下料的计算方法，但只涉及了螺旋线长的计算公式，并没有涉及下料曲线具体曲率半径数值的计算，不能解决螺旋叶片精确制造的问题。

发明内容

本发明所要解决的技术问题在于克服现有技术之不足，提供一种等径变螺距螺旋叶片的下料计算方法，解决现有技术中等径变螺距螺旋叶片的精确下料计算的缺口，提高变螺距螺旋叶片加工质量与加工效率。

本发明是通过以下技术方案实现的。

一种等径变螺距螺旋叶片的下料计算方法，包括以下步骤：

a、建立正确的等径变螺距螺旋曲线，等径变螺距螺旋曲线方程为：当S为变量，并随t作线性变化时，S可表达为：

$S\left(t\right)=\frac{S_{min}-S_{max}}{2\mathrm{\π}n}t+S_{max}---\left(I\right)$

式中，S为螺距，t为螺旋线角度参数，S_max为最大螺距，S_min为最小螺距，n为螺旋叶片匝数；

则螺旋线上升高度z为：

$z=\underset{0}{\overset{t}{\∫}}\frac{S\left(t\right)}{2\mathrm{\π}}dt,(t_0=0,z_0=0)---\left(II\right)$

则在直角坐标系下的叶片根部和叶片顶部的等径变螺距螺旋曲线方程分别为： $\left\{\begin{array}{c}x=r\cos t\\ y=r\sin t\\ z=\frac{S_{min}-S_{max}}{8{\mathrm{\π}}^{2}n}{t}^2+\frac{S_{max}}{2\mathrm{\π}}t\end{array}\right.---\left(III\right)\left\{\begin{array}{c}{x}_1=R\cos t\\ y_1=R\sin t\\ z_1=\frac{S_{\min }-S_{max}}{8{\mathrm{\π}}^{2}n}{t}^2+\frac{S_{max}}{2\mathrm{\π}}t\end{array}\right.---\left(IV\right)$

通过曲线拟合，得到曲率连续的叶片根部螺旋线和叶片顶部螺旋线；

式中，r为内圈螺旋半径，R为外圈螺旋半径，x、y、z为叶片根部螺旋线坐标，x₁、y₁、z₁为叶片顶部螺旋线坐标；

b、利用等弧长法计算等径变螺距螺旋叶片的下料尺寸：

使叶片根部螺旋线弧长等于下料图形内圈曲线长，叶片顶部螺旋线弧长等于下料图形外圈曲线长，

由圆柱螺旋线弧长公式和极坐标下平面曲线弧长公式 $S1={\∫}_{\mathrm{\α}}^{\mathrm{\β}}\sqrt{r^2\left(\mathrm{\θ}\right)+r^{\′2}\left(\mathrm{\θ}\right)}d\mathrm{\θ}$

得： $s=\underset{0}{\overset{t}{\∫}}\sqrt{r^2+z^{\′2}}dt=\underset{0}{\overset{\mathrm{\α}}{\∫}}\sqrt{{\mathrm{\ρ}}^2+{\left(\frac{d\mathrm{\ρ}}{d\mathrm{\α}}\right)}^2}d\mathrm{\α}---\left(1\right)$

$l=\underset{0}{\overset{t}{\∫}}\sqrt{R^2+z^{\′2}}dt=\underset{0}{\overset{\mathrm{\α}}{\∫}}\sqrt{{(\mathrm{\ρ}+B)}^2+{\left(\frac{d\mathrm{\ρ}}{d\mathrm{\α}}\right)}^2}d\mathrm{\α}---\left(2\right)$

式中，s为叶片根部螺旋线弧长，l为叶片顶部螺旋线弧长，α为下料图形角度参数，ρ为下料内圈半径，B为叶片宽度且B＝R-r；ρ+B为下料外圈半径， $z^{\′}=\frac{S\left(t\right)}{2\mathrm{\π}}$

螺旋叶片在水平面上的投影面积与螺旋叶片展开面积之比是螺旋升角的余弦值： $dA=\frac{{\mathrm{dA}}_1}{\cos \mathrm{\θ}}---\left(3\right)$

其中， $\begin{array}{cc}A=\underset{0}{\overset{\mathrm{\α}}{\∫}}\frac{1}{2}\[{(\mathrm{\ρ}+B)}^2-{\mathrm{\ρ}}^2\]d\mathrm{\α}& A_1=\underset{0}{\overset{t}{\∫}}\frac{1}{2}(R^2-r^2)dt\end{array}$

$\begin{array}{cc}\mathrm{\θ}=arctan\frac{S}{2{\mathrm{\πr}}_1}& r_1=\frac{R+r}{2}\end{array}$

式中，A为螺旋叶片展开面积，A₁为螺旋叶片在水平面上的投影面积，θ为螺旋升角，r₁为螺旋叶片中径；

c、解(1)、(2)、(3)构成的方程组，得出等径变螺距螺旋叶片下料图形内圈的曲率半径ρ及与其对应的图形角度参数α值，即完成等径变螺距螺旋叶片的下料计算方法。

本发明的有益效果在于：

采用本发明方法设计的螺旋线，能按给定的函数关系变化，能得到螺距在每一点连续变化的螺旋线，并能计算出叶片螺旋线上任意点对应的下料图形的点，使得到螺旋叶片更为光顺，提高叶片的加工质量和加工效率，进而提高搅拌性能。

附图说明

图1为本发明等弧长法原理图。

图2为图1的P处的放大图。

图3为本发明等弧长法下料图。

图4为本发明Matlab模拟螺旋线图。

图5为本发明Matlab模拟等弧长法第一圈螺旋内圈下料曲线图。

具体实施方式

下面结合实施例对本发明作进一步的说明。

参见图1至图3，本实施例取r＝20，R＝30，S_max＝63，S_min＝21，n＝13，t＝0～2π。

本实施例的等径变螺距螺旋叶片的下料计算方法，包括以下步骤：

a、建立正确的等径变螺距螺旋曲线，等径变螺距螺旋型线方程为：当S为变量，并随t作线性变化时，S可表达为：

$S\left(t\right)=\frac{S_{min}-S_{max}}{2\mathrm{\π}n}t+S_{max}---\left(I\right)$

则螺旋线上升高度z为：

$z=\underset{0}{\overset{t}{\∫}}\frac{S\left(t\right)}{2\mathrm{\π}}dt,(t_0=0,z_0=0)---\left(II\right)$

则在直角坐标系下的叶片根部和叶片顶部的等径变螺距螺旋线方程分别为：

$\left\{\begin{array}{c}x=r\cos t\\ y=r\sin t\\ z=\frac{S_{min}-S_{max}}{8{\mathrm{\π}}^{2}n}{t}^2+\frac{S_{max}}{2\mathrm{\π}}t\end{array}\right.---\left(III\right)\left\{\begin{array}{c}{x}_1=R\cos t\\ y_1=R\sin t\\ z_1=\frac{S_{\min }-S_{max}}{8{\mathrm{\π}}^{2}n}{t}^2+\frac{S_{max}}{2\mathrm{\π}}t\end{array}\right.---\left(IV\right)$

通过曲线拟合，得到曲率连续的叶片根部螺旋线和叶片顶部螺旋线；

式中，r为内圈螺旋半径，R为外圈螺旋半径，x、y、z为叶片根部螺旋线坐标，x₁、y₁、z₁为叶片顶部螺旋线坐标；

将r＝20，R＝30，S_max＝63，S_min＝21，n＝13，t＝0～2π和叶片根部和叶片顶部的等径变螺距螺旋线方程代入MATLAB模拟，程序代码如下：

functionluoxuan

t＝0：pi/50：24*pi；

r＝20；

R＝30；

S_max＝63；

S_min＝21；

n＝13；

k＝(Smin-Smax)/(2*pi*n)；

plot3(r*sin(t)，r*cos(t)，k/(4*pi)*t.^2+Smax/(2*pi)*t)

holdon

plot3(R*sin(t)，R*cos(t)，k/(4*pi)*t.^2+Smax/(2*pi)*t)

axissquare；gridon

得到曲率连续的叶片根部螺旋线和叶片顶部螺旋线(如图4)

b、利用等弧长法计算等径变螺距螺旋叶片的下料尺寸：

使叶片根部螺旋线弧长等于下料图形内圈曲线长，叶片顶部螺旋线弧长等于下料图形外圈曲线长，

由圆柱螺旋线弧长公式和极坐标下平面曲线弧长公式 $S1={\∫}_{\mathrm{\α}}^{\mathrm{\β}}\sqrt{r^2\left(\mathrm{\θ}\right)+r^{\′2}\left(\mathrm{\θ}\right)}d\mathrm{\θ}$

得：

$s=\underset{0}{\overset{t}{\∫}}\sqrt{r^2+z^{\′2}}dt=\underset{0}{\overset{\mathrm{\α}}{\∫}}\sqrt{{\mathrm{\ρ}}^2+{\left(\frac{d\mathrm{\ρ}}{d\mathrm{\α}}\right)}^2}d\mathrm{\α}---\left(1\right)$

$l=\underset{0}{\overset{t}{\∫}}\sqrt{R^2+z^{\′2}}dt=\underset{0}{\overset{\mathrm{\α}}{\∫}}\sqrt{{(\mathrm{\ρ}+B)}^2+{\left(\frac{d\mathrm{\ρ}}{d\mathrm{\α}}\right)}^2}d\mathrm{\α}---\left(2\right)$

式中，s为叶片根部螺旋线弧长，l为叶片顶部螺旋线弧长，α为下料图形角度参数，ρ为下料内圈半径，B为叶片宽度且B＝R-r；ρ+B为下料外圈半径， $z^{\′}=\frac{S\left(t\right)}{2\mathrm{\π}},$

螺旋叶片在水平面上的投影面积与螺旋叶片展开面积之比是螺旋升角的余弦值： $dA=\frac{{\mathrm{dA}}_1}{\cos \mathrm{\θ}}---\left(3\right)$

其中， $\begin{array}{cc}A=\underset{0}{\overset{\mathrm{\α}}{\∫}}\frac{1}{2}\[{(\mathrm{\ρ}+B)}^2-{\mathrm{\ρ}}^2\]d\mathrm{\α}& A_1=\underset{0}{\overset{t}{\∫}}\frac{1}{2}(R^2-r^2)dt\end{array}$

$\begin{array}{cc}\mathrm{\θ}=arctan\frac{S}{2{\mathrm{\πr}}_1}& r_1=\frac{R+r}{2}\end{array}$

式中，A为螺旋叶片展开面积，A₁为螺旋叶片在水平面上的投影面积，θ为螺旋升角，r₁为螺旋叶片中径；

c、解(1)、(2)、(3)构成的方程组，得出等径变螺距螺旋叶片下料图形内圈的曲率半径ρ及与其对应的图形角度参数α值。

将r＝20，R＝30，S_max＝63，S_min＝21，n＝13，t＝0～2π和(1)、(2)、(3)构成的方程组代入MATLAB模拟，程序代码如下：

主程序：

子程序：

functionf＝myfun(x，y，L，B，a2)

p＝x(1)；

P＝x(2)；

A2＝x(3)；

f(1)＝sqrt(p^2+P^2)*A2-y；

f(2)＝sqrt((p+B)^2+P^2)*A2-L；

f(3)＝(0.5)*((p+B)^2-p^2)*A2-a2；

得到第一圈螺旋叶片下料图形曲线(如图5)，数据分析得第一圈下料曲线是随着α增大，曲率半径越来越小，但是内圈曲率半径始终大于20，外圈曲率半径始终大于30，总角度SUM_α为6.5195的平面螺旋线。内圈曲率半径最大值为20.5951，外圈曲率半径最大值为30.5951。

本说明书中未做详细描述的内容属于本领域专业技术人员公知的现有技术。

以上所述实施方式，只是本发明的较佳实施方式，并非来限制本发明实施范围，故凡依本发明申请专利范围所述的构造、特征及原理所做的等效变化或修饰，均应包括本发明专利申请范围内。

Claims (1)

1.一种等径变螺距螺旋叶片的下料计算方法，其特征在于，包括以下步骤：

a、建立正确的等径变螺距螺旋曲线，等径变螺距螺旋曲线方程为：当S为变量，并随t作线性变化时，S可表达为：

$S\left(t\right)=\frac{S_{\min }-S_{max}}{2\mathrm{\π}n}t+S_{max}---\left(I\right)$

式中，S为螺距，t为螺旋线角度参数，S_max为最大螺距，S_min为最小螺距，n为螺旋叶片匝数；

则螺旋线上升高度z为：

$\begin{array}{cc}z=\underset{0}{\overset{t}{\∫}}\frac{S\left(t\right)}{2\mathrm{\π}}dt& (t_0=0,z_0=0)\end{array}---\left(II\right)$

则在直角坐标系下的叶片根部和叶片顶部的等径变螺距螺旋线方程分别为：

$\left\{\begin{array}{c}x=r\cos t\\ y=r\sin t\\ z=\frac{S_{\min }-S_{\max }}{8{\mathrm{\π}}^{2}n}{t}^2+\frac{S_{\max }}{2\mathrm{\π}}\end{array}\right.---\left(III\right),\left\{\begin{array}{c}{x}_1=R\cos t\\ y_1=R\sin t\\ z_1=\frac{S_{min}-S_{max}}{8{\mathrm{\π}}^{2}n}{t}^2+\frac{S_{max}}{2\mathrm{\π}}t\end{array}\right.---\left(IV\right)$

式中，r为内圈螺旋半径，R为外圈螺旋半径，x、y、z为叶片根部螺旋线坐标，x₁、y₁、z₁为叶片顶部螺旋线坐标；

通过曲线拟合，得到曲率连续的叶片根部螺旋线和叶片顶部螺旋线；

b、利用等弧长法计算等径变螺距螺旋叶片的下料尺寸：

使叶片根部螺旋线弧长等于下料图形内圈曲线长，叶片顶部螺旋线弧长等于下料图形外圈曲线长，

由圆柱螺旋线弧长公式和极坐标下平面曲线弧长公式

$S1={\∫}_{\mathrm{\α}}^{\mathrm{\β}}\sqrt{r^2\left(\mathrm{\θ}\right)+r^{\′2}\left(\mathrm{\θ}\right)}d\mathrm{\θ}$

得：

$s=\underset{0}{\overset{t}{\∫}}\sqrt{r^2+z^{\′2}}dt=\underset{0}{\overset{\mathrm{\α}}{\∫}}\sqrt{{\mathrm{\ρ}}^2+{\left(\frac{d\mathrm{\ρ}}{d\mathrm{\α}}\right)}^2}d\mathrm{\α}---\left(1\right)$

$l=\underset{0}{\overset{t}{\∫}}\sqrt{R^2+z^{\′2}}dt=\underset{0}{\overset{\mathrm{\α}}{\∫}}\sqrt{{(\mathrm{\ρ}+B)}^2+{\left(\frac{d\mathrm{\ρ}}{d\mathrm{\α}}\right)}^2}d\mathrm{\α}---\left(2\right)$

式中，s为叶片根部螺旋线弧长，l为叶片顶部螺旋线弧长，α为下料图形角度参数，ρ为下料内圈半径，B为叶片宽度且B＝R-r；ρ+B为下料外圈半径， $z^{\′=\frac{S\left(t\right)}{2\mathrm{\π}}}$

螺旋叶片在水平面上的投影面积与螺旋叶片展开面积之比是螺旋升角的余弦值： $dA=\frac{{\mathrm{dA}}_1}{\cos \mathrm{\θ}}---\left(3\right)$

其中， $\begin{array}{cc}A=\underset{0}{\overset{\mathrm{\α}}{\∫}}\frac{1}{2}\[{(\mathrm{\ρ}+B)}^2-{\mathrm{\ρ}}^2\]d\mathrm{\α}& A_1=\underset{0}{\overset{t}{\∫}}\frac{1}{2}(R^2-r^2)dt\end{array}$

$\begin{array}{cc}\mathrm{\θ}=arctan\frac{S}{2{\mathrm{\πr}}_1}& r_1=\frac{R+r}{2}\end{array}$

式中，A为螺旋叶片展开面积，A₁为螺旋叶片在水平面上的投影面积，θ为螺旋升角，r₁为螺旋叶片中径；

c、解(1)、(2)、(3)构成的方程组，得出等径变螺距螺旋叶片下料图形内圈的曲率半径ρ及与其对应的图形角度参数α值，即完成等径变螺距螺旋叶片的下料计算方法。