CN105051527A - 疲劳破坏预测和结构完整性评定的无损检测的嵌入式缺陷的概率建模和尺寸测定 - Google Patents

Abstract

提供考虑到来自无损检查(NDE)数据和疲劳模型参数的不确定性而使用无损测试数据的概率性疲劳生命预测的方法。该方法利用关于探测、尺寸测定、疲劳模型参数和输入的不确定性量化模型。基于耦合实际缺陷尺寸与无损检查(NDE)报告尺寸的对数线性模型开发探测概率模型。通过使用概率性建模和贝叶斯定理对于没有缺陷指示的NDE数据和具有缺陷指示的NDE数据二者推导实际缺陷尺寸的分布。呈现具有真实世界NDE检测数据的涡轮机转子示例以演示整个方法。

Description

疲劳破坏预测和结构完整性评定的无损检测的嵌入式缺陷的概率建模和尺寸测定

相关申请的交叉引用

本申请根据35U.S.C.§119(e)要求题目“PROBABILISTICMODELINGANDQUANTIFICATIONOFEMBEDDEDFLAWSINULTRASONICNON-DESTRUCTIVEINSPECTIONANDITSAPPLICATION”、于2013年1月4日提交的美国临时申请No.61/748,846的权益，其全部以引用的方式并入本文，并且本申请要求其优先权的权益。

技术领域

本专利申请涉及依据无损检查(NDE)数据和疲劳模型参数考虑不确定性的概率性疲劳寿命预测的方法。

背景技术

钢铁和合金结构是民用、航空、船舶和发电系统的基本部分。自从20世纪70年代早期，无损检查(在下文中，“NDE”)和无损(在下文中，“NDT”)技术已经是有效的量度，以评估那些结构和系统的制造质量和运行完整性。很多NDT和NDE技术包括超声检测、磁颗粒检测、电磁检测、射线检测、渗透检测、声发射和视觉检测。具体地，现有技术超声NDE技术提供在不需要破坏结构的情况下，获取关于结构的内部缺陷(诸如空隙和裂纹之类)的信息的机会。这个信息可以与机械和材料性质整合，以允许疲劳寿命预测和风险管理。

安排的NDE有时对于经历依赖时间的退化的结构是强制的。在线或者现场检测在制造阶段时比检测更难，并且缺陷识别和尺寸测定的不确定性由于对于测试的更复杂条件可能大得多。NDE的质量依赖与很多不确定因素，包括检测仪器的敏感度、正被检测的目标结构的服务条件、材料性质的可变性、操作过程和人员等。将可期望具有这些不确定性的科学量化，以产生可靠的并且多信息的检测结果。典型地，不确定性的确定性处理包括安全性因素的使用。然而，安全性因素的确定基本依赖于体验和专家判断，这对于诸如不具有强的领域知识的工程师之类的检测人员不是轻松任务。

发明内容

公开依据无损检查(NDE)数据和疲劳模型参数考虑不确定性的概率性疲劳寿命预测的方法。该方法包括提供探测概率模型和初始裂纹尺寸概率密度函数(PDF)。该方法还包括提供模型参数的概率性识别并且提供模型参数PDF。接着，基于初始裂纹尺寸、模型参数PDF和材料/负荷因数提供裂纹增长模型。另外，该方法还包括确定不确定性传播并且基于不确定传播和裂纹增长模型提供疲劳寿命预测。

具体地，该方法利用关于探测、尺寸测定、疲劳模型参数和输入的不确定性量化模型。基于耦合实际缺陷尺寸与无损检查(NDE)报告尺寸的对数线性模型开发探测概率模型。通过使用概率性建模和贝叶斯定理对于没有缺陷指示的NDE数据和具有缺陷指示的NDE数据二者推导实际缺陷尺寸的分布。

附图说明

图1描绘根据本发明的利用无损检查(NDE)检测数据的概率性疲劳寿命预测的方法。

图2A描绘实际缺陷尺寸和超声NDE检测报告尺寸的尺寸测定信息。

图2B描绘通过使用阈值0.5mm、1.0mm和1.5mm的尺寸测定信息获得的探测概率(POD)曲线。

图3A描绘嵌入式椭圆形裂纹几何形状的图。

图3B描绘嵌入式椭圆形缺陷的椭圆形区域等于报告反射物区域的接受的假设。

图4A描绘来自不同温度的铬-钼-钒材料的疲劳测试数据。

图4B描绘其中示出均值和95％边界预测的估计的拟合性能。

图5A、图5B和图5C分别描绘探测阈值0.5mm的实际缺陷尺寸分布、疲劳寿命分布和故障概率(“PoF”)结果。

图6A、图6B和图6C分别描绘探测阈值1.0mm的实际缺陷尺寸分布、疲劳寿命分布和PoF结果。

图7A、图7B和图7C分别描绘探测阈值1.5mm的实际缺陷尺寸分布、疲劳寿命分布和PoF结果。

图8描绘一年服务寿命之后执行的NDE数据中发现的缺陷指示。

图9A、图9B和图9C分别描绘缺陷尺寸、疲劳寿命预测和PoF估算的概率密度函数。

图10A-10B描绘PoF的中值和95％CI估计，其中图10A在阈值1.0的情况下在超声NDE数据中没有发现指示的情况，并且图10B描绘具有1.8mm指示的情况。

图11是根据本发明的实施例的用于实现使用超声NDE数据的概率性疲劳寿命预测的方法的示例性计算机系统的框图。

具体实施方式

本文描述的本发明的示例性实施例总的来说包括依据无损检查(在下文中“NDE”)检测和疲劳寿命参数考虑不确定性的概率性寿命预测的系统方法。虽然本发明允许各种修改和替代形式，但是其特定实施例仅通过附图中的示例示出并且将在本文详细描述。然而，应该理解，不意图限制本发明于公开的特定形式，而是相反，本发明要覆盖落入本发明的精神和范围内的所有修改、等效物和替代。此外，美国专利公开No.2013/0268214、申请No.13/855,130，题目“PROBABILISTICFATIGUELIFEPREDICTIONUSINGULTRASONICINSPECTIONDATACONSIDERINGEIFSUNCERTAINTY”的公开通过引用的方式被全部并入本文。

1.0概括

概率性方法提供用于不确定性管理和量化的合理途径。下面的描述被如下组织。开始，使用经典对数线性尺寸测定模型以耦合超声NDE报告缺陷尺寸和实际缺陷尺寸，来呈现探测概率(在下文中为“POD”)建模。接着，开发用于实际缺陷尺寸的概率性模型。以后，描述概率性疲劳寿命预测的整体过程。呈现具有超声NDE数据的真实世界汽轮机转子应用，以演示缺陷尺寸、疲劳寿命和故障概率(在下文中为“PoF”)的估算。此外，描述超声NDE系统的探测阈值和其对评定结果的影响。也提供评定结果的解释和误差分析。

2.探测概率建模

总的来说两种途径可用于POD建模。一种途径使用仅记录是否探测到缺陷的命中/未命中数据。这种类型的数据用于诸如渗透测试或者磁颗粒测试之类的一些NDE方法。在其他NDE检测系统中，附加信息可用在测试数据中。例如，超声NDE信号的信号幅度和时间索引以及电磁响应的电压幅度和位置信息。在那些情况下，缺陷尺寸或者缺陷严重性与信号响应紧密相关，由此NDE数据也称为信号响应数据。信号响应数据通常是连续的并且表示为。查询的变量通常表示为a。例如，a可以是缺陷的实际尺寸，并且是基于超声NDE信号的报告尺寸。本发明考虑信号响应数据。已经在很多研究中公开了和lna通常线性地相关。见Berens,A.P.,“NDEReliabilityDataAnalysis”,ASMHandbook,卷17,1989年,第689-701页(在下文中，“Berens”)和Schneider,C,Rudlin,J.,“ReviewofStatisticalMethodsUsedinQuantifyingNDTReliability”,Insight-Non-DestructiveTestingandConditionMonitoring,2004年2月1日,卷46,第2号,第77-79页，二者以引用的方式被全部并入本文。相关性可以表达为

$\ln \hat{a}=\mathrm{\α}+\mathrm{\β}\ln a+\mathrm{\ϵ},---\left(1\right)$

其中，ε是具有零均值和标准偏差σ_ε的正态随机变量。α和β二者是拟合参数。根据测量设备的测量噪声和物理极限假设预定义阈值 也可以由制造准则和标准规定。例如，供应商可以考虑指示小于1.00mm是安全的以被忽略。如果超过的阈值值则缺陷视为被识别出，并且尺寸a的探测概率可以被表达为：

$POD\left(a\right)=\mathrm{Pr}(\ln \hat{a}>\ln {\hat{a}}_{th}),---\left(2\right)$

其中，Pr(·)表示事件(·)的概率。使用公式(1)，POD函数被改写为

$POD\left(a\right)=\mathrm{Pr}(\mathrm{\α}+\mathrm{\β}\ln a+\mathrm{\ϵ}>ln{\hat{a}}_{th})=\mathrm{\Φ}\left(\frac{\ln a-(ln{\hat{a}}_{th}-\mathrm{\α})/\mathrm{\β}}{{\mathrm{\σ}}_{\mathrm{\ϵ}}/\mathrm{\β}}\right),---\left(3\right)$

其中Φ(·)是标准正态累积分布函数(在下文中，“CDF”)。如果变量ε遵循与标准正态分布不同的另一概率分布，则应该使用ε的对应CDF。

由于其相对简单的模型结构和缺陷尺寸a被确保是正标量的性质，对数线性模型是最广泛使用模型之一。诸如线性模型或者其他基于物理的模型之类的其他模型可以用于耦合报告缺陷尺寸和实际缺陷尺寸。从所有可用模型格式选取特定模型格式依赖于诸如应用、数据特性和检测系统之类的因素。从模型性能的观点看，考虑模型复杂性、通用性和其预测能力，贝叶斯方法提供用于基于贝叶斯因数的概念选取模型的概率性度量。见Kass,R.,Raftery,A.,“BayesFactors”,JournaloftheAmericanStatisticalAssociation,1995年，卷90,第430号,第773-795页和Guan,X.,Jha,R.,Liu,Y.,“ModelSelection,Updating,andAveragingforProbabilisticFatigueDamagePrognosis”,StructuralSafety,2011年五月,卷33,第3期,第242-249页，二者通过引用的方式被全部并入本文。可替代地，可以通过应用公式(2)进行的假设并且利用蒙特卡洛方法以数值地确定POD来使用和估算任何分布。另外，已经确定揭露NDE信号和真实缺陷尺寸之间的相关性的原始数据也可以用于数值地确定POD。见Kern,T.,Ewald,J.,Maile,K.,“EvaluationofNDT-SignalsforUseintheFractureMechanicsSafetyAnalysis”,MaterialsatHighTemperatures,1998年；15(2):107-110(在下文中为“Kern”)。

3.根据POD的概率性缺陷尺寸建模

按照约定，使用大写字母(例如，)表示随机变量，并且使用小写字母(例如，)表示对应值。假定使用NDE探测缺陷，并且报告缺陷尺寸的值是a′，其中a′是正实标量。为了方便，使用变量替代分别通过函数 $p\left(\ln \hat{A}\right)=f_{\ln \hat{A}}\left(ln\hat{a}\right),p\left(\ln A\right)=f_{\ln A}\left(\ln a\right)$ 和p(E)＝f_E(ε)表示命题 $\ln \hat{A}\∈(\ln \hat{a},ln\hat{a}+$ $d\ln \hat{a}),$ lnA∈(lna,lna+d(lna)和E∈(ε,ε+dε)的概率分布。对实际缺陷尺寸的概率分布p(lnA)感兴趣，并且下面呈现其推导。

表示D为识别出缺陷的事件并且是没有识别出缺陷的事件。联合概率分布可以用于获得p(lnA|D)作为

$p\left(\ln A\right|D)=\∫\∫p(\ln A,\ln \hat{A},E|D)\mathrm{dl}n\hat{A}dE---\left(4\right)$

事件D的物理含义表示从NDE探测数据识别出缺陷的指示并且作为结果的报告缺陷尺寸是a′的事实。其在和E无关的条件下可以另外表示为

$p\left(\ln A\right|D)=\∫\∫p\left(\ln A\right|ln\hat{A},E,D)p\left(ln\hat{A}\right|D)p\left(E\right|D)dln\hat{A}dE---\left(5\right)$

因为 $ln\hat{a}=\mathrm{\α}+\mathrm{\β}\ln a+\mathrm{\ϵ},$ 所以

$p\left(\ln A\right|ln\hat{A},E,D)=\mathrm{\δ}(ln\hat{a}-\mathrm{\α}-\mathrm{\β}\ln a-\mathrm{\ϵ})---\left(6\right)$

其中δ(·)是狄克拉delta函数。将公式(6)代入公式(5)以获得

$p\left(\ln A\right|D)={\∫}_R{f}_{ln\hat{A}}\left(\ln \hat{a}\right)f_E(\ln \hat{a}-\mathrm{\α}-\mathrm{\β}\ln a)d\ln \hat{a}---\left(7\right)$

现在如下应用公式(7)的结果。

3.1确定性转换模型。

表示原始信号特征(诸如超声NDE中的最大回声幅度)为x，并且通过数学模型m(x)进行转换。清楚的是，如果模型是完美的，则这导致

$f_{\ln \hat{A}}\left(ln\hat{a}\right)=\mathrm{\δ}(ln\hat{a}-m(x\left)\right)---\left(8\right)$

将公式(8)代入公式(7)产生(回忆m(x)的实际值现在是lna′)

$p\left(\ln A\right|D)={\∫}_R\mathrm{\δ}(\ln \hat{a}-m(x\left)\right)f_E(ln\hat{a}-\mathrm{\α}-\mathrm{\β}\ln a)d\ln \hat{a}=f_E({\mathrm{lna}}^{\′}-\mathrm{\α}-\mathrm{\β}\ln a)---\left(9\right)$

回忆f_E(·)是具有零均值和标准偏差σ_ε的正态概率性强度函数(在下文中“PDF”)。其是对称的并且α+βlna-lna′也遵循具有零均值和标准偏差σ_ε的正态分布。认识到lnA遵循具有均值(lna′-α)/β和标准偏差σ_ε/β的正态PDF，由此A是对数正态变量。变量A的PDF是

$p\left(A\right|D)=f_{A|D}\left(a\right)=\frac{1}{a({\mathrm{\σ}}_{\mathrm{\ϵ}}/\mathrm{\β})}\mathrm{\φ}\left(\frac{\ln a-({\mathrm{lna}}^{\′}-\mathrm{\α})/\mathrm{\β}}{{\mathrm{\σ}}_{\mathrm{\ϵ}}/\mathrm{\β}}\right)---\left(10\right)$

其中φ(·)是标准正态PDF。

3.2概率性转换模型

如果转换模型是不确定的并且模型输出m(x)和估计的尺寸Ln之间的差是随机量e，则

$ln\hat{a}=m\left(x\right)+e---\left(11\right)$

表示随机变量为E，并且表示E的概率分布函数为f_E(e)。作出E是具有零均值和标准偏差σ_e的正态变量的假设是非常普遍的。

$p\left(\ln \hat{A}\right|D)=\∫p(\ln \hat{A},E|D)p\left(E\right|D)dE---\left(12\right)$

因为 $ln\hat{a}=m\left(x\right)+e,$ 所以

$p(ln\hat{A},E|D)=\mathrm{\δ}(ln\hat{a}-m(x)-e)---\left(13\right)$

并且

$p\left(ln\hat{A}\right|D)=f_{ln\hat{A}}\left(ln\hat{a}\right)={\∫}_R\mathrm{\δ}(ln\hat{a}-m(x)-e)f_E\left(e\right)de=f_E(ln\hat{a}-m(x\left)\right)---\left(14\right)$

将公式(14)代入公式(7)(其中m(x)的实际值＝lna′)以获得

$p\left(\ln A\right|D)={\∫}_R{f}_E(ln\hat{a}-{\ln a}^{\′})f_E(ln\hat{a}-\mathrm{\α}-\mathrm{\β}\ln a)d\ln \hat{a}---\left(15\right)$

辨识公式(15)是两个正态概率分布的卷积，公知该结果是具有均值(lna′-α)/β和标准偏差的另一正态分布。同样，lnA是正态变量，并且A是具有以下PDF的对数正态变量，

$p\left(A\right|D)=f_{A|D}\left(a\right)=\frac{1}{a\left(\sqrt{{\mathrm{\σ}}_e^2+{\mathrm{\σ}}_{\mathrm{\ϵ}}^2}/\mathrm{\β}\right)}\mathrm{\φ}\left(\frac{\ln a-({\mathrm{lna}}^{\′}-\mathrm{\α})/\mathrm{\β}}{\sqrt{{\mathrm{\σ}}_e^2+{\mathrm{\σ}}_{\mathrm{\ϵ}}^2}/\mathrm{\β}}\right)---\left(16\right)$

可以看到，如果与转换模型相关联的不确定性程度逼近零，即，δ_e→0，则公式(16)减小至公式(10)。此外，如果变量E的不确定性逼近零，即δ_ε→0，则lna＝(lna′-α)/β。

3.3没有在NDE数据中发现指示

清洁NDE检查数据由于固有不确定性和探测阈值引起的不指示目标结构完全无缺陷。可以容易使用贝叶斯定理将A的分布表达为

$p\left(A\right|\stackrel{\‾}{D})=\frac{p(A,\stackrel{\‾}{D})}{p\left(\stackrel{\‾}{D}\right)}=\frac{p\left(\stackrel{\‾}{D}\right|A)p\left(A\right)}{p\left(\stackrel{\‾}{D}\right)},---\left(17\right)$

其中p(A)是缺陷尺寸的先验概率分布，并且是当缺陷实际存在时没有发现指示的事件的概率。应该注意，这通常要求先验检测的某一种类的NDE数据基，以具有关于舰船(fleet)的缺陷分布的信息。将A的先验PDF表示为f_A(a)。使用POD的概念和公式(3)，缺陷的的尺寸不大于以清洁NDE数据为条件的给定值a的事件的概率是

$\mathrm{Pr}(A\≤a|\stackrel{\‾}{D})=\frac{{\∫}_0^a\[1-POD\left(a\right)\]f_A\left(a\right)da}{{\∫}_0^{\mathrm{\∞}}\[1-POD\left(a\right)\]f_A\left(a\right)da}---\left(18\right)$

具有以清洁NDE数据为条件的尺寸a的缺陷的概率分布是

$p\left(A\right|\stackrel{\‾}{D})=f_{A|\stackrel{\‾}{D}}\left(a\right)=\frac{\∂\[\mathrm{Pr}(A\≤a|\stackrel{\‾}{D})\]}{\∂a}=\frac{\[1-POD\left(a\right)\]f_A\left(a\right)}{{\∫}_0^{\mathrm{\∞}}\[1-POD\left(a\right)\]f_A\left(a\right)da},---\left(19\right)$

其中POD(a)在公式(3)中给出，并且f_A(a)是实际缺陷尺寸的先验PDF。应该注意，上面的方法用于超声NDE应用。然而，本发明可以直接用于其它类型的检测，诸如涡流检测、磁颗粒检测等。

4.利用NDE检测数据的概率性疲劳寿命预测

疲劳寿命预测依赖于疲劳裂纹传播机制的分析模型。疲劳裂纹增长模型的重要元素是初始裂纹尺寸。之前已经描述基于NDE数据的初始缺陷尺寸估计。因为，存在检测处理中固有的误差和不确定性，所以应该基于检测技术中的分析预测、检测数据和不确定性以及寿命周期成本作出维护计划。

由于材料性质、几何形状、负荷以及NDE检测引起的不确定性必须小心地在疲劳寿命预测中包括并量化。总的来说，来自材料性质和几何形状的不确定性通过疲劳模型参数影响最终结果。典型地依据疲劳裂纹增长测试数据估计疲劳模型参数，例如，已知Paris公式中的C和m(见将在下文中描述的公式(21)。通常使用诸如最大似然性估计(在下文中“MLE”)方法、最小平方拟合和贝叶斯参数估计之类的方法。疲劳裂纹增长测试通常对于多个样本进行。因此，来自材料性质和样本几何形状的不确定性以试验数据上回归的模型参数的概率分布统计地编码。疲劳负荷的不确定性建模依赖于不同应用。例如，发电机转子的疲劳负荷是热应力、剩余应力(来自制造)和由旋转引入的离心应力的组合。操作计划不明显改变并且由开机和关机形成的疲劳负荷周期具有相对小的变化。然而，例如，桥梁的疲劳负荷可能由于随机交通流很复杂。在NDE检测数据中没有找到疲劳指示的情况下，仍存在一些缺陷存在于该结构中的可能性。这是由于NDE检测的固有不确定性和探测阈值。不确定性通过疲劳裂纹增长模型(例如，Paris公式)传播。诸如蒙特卡洛(在下文中“MC”)仿真之类的、基于仿真的方法可以用于获得概率性寿命预测结果。处理是明确的。开始，生成用于模型参数、初始缺陷尺寸和所有其它涉及的不确定变量的随机实例的大集合。然后，计算使用每个随机实例的疲劳寿命。利用大量的随机实例，确保疲劳寿命实例的分布以收敛到其理论分布。分析方法也可用于在不使用仿真的情况下获得概率性寿命预测结果。见Guan,X.,He,J.,Jha,R.,Liu,Y.,“AnEfficientAnalyticalBayesianMethodforReliaBilityandSystemResponseUpdatingBasedonLaplaceandInverseFirst-OrderReliabilityComputations”,ReliabilityEngineering&SystemSafety,2012年,卷97,第1期,第1-13页，其公开通过引用的方式并入这里。

使用疲劳裂纹增长测试数据(即，裂纹增长率vs.应力强度因数范围(da/dNvs.ΔK))获得疲劳模型参数的PDF。基于裂纹增长模型，可以使用裂纹增长测试数据上的线性或者非线性回归，以获得模型参数的PDF。见Guan,X.,Giffin,A.,Jha,R.,Liu,Y.,“MaximumRelativeEntropy-BasedProbabilisticInferenceinFatigueCrackDamagePrognostics”,ProbabilisticEngineeringMechanics,2012年7月,卷29,第157-166页。

在图1中示出根据本发明的利用NDE检测数据的概率性疲劳寿命预测的方法10。将结合本专利申请称作“应用示例”的第5节中阐述的现实世界示例描述方法10。方法10包括利用NDE尺寸测定数据12和NDE检测数据14来在步骤16处开发POD模型，如公式(3)中阐述，其中使用公式(1)估计参数α、β和ε。然后，在步骤18，如果没有发现缺陷指示，则使用按照公式(10)的确定性转换模型或者按照公式(16)的概率性转换模型获得初始裂纹尺寸PDF。如果没有发现缺陷指示，则使用公式(19)。

方法10还包括在步骤24利用材料数据20和疲劳负荷数据22，以获得材料/负荷因数。具体地，负荷指代将描述的公式22中的应力项σ。本发明考虑由于材料因数引起的不确定性。例如，在一个实施例中，方法10包括使用将描述的已知Paris公式(公式21)，以提供疲劳裂纹增长模型26。如果使用不同的疲劳裂纹增长模型，则诸如杨氏模量之类的材料性质可以是模型的项。如果使用概率分布描述杨氏模量，则其不确定性可以包括在计算中。

方法10还包括基于疲劳测试数据40在步骤28的模型参数的概率性识别。在这个步骤中，贝叶斯参数估计方法用于估计Paris公式(公式21)的模型参数(lnC,m)。然后，根据公式23在步骤30生成模型参数PDF。然后，来自步骤28的初始裂纹尺寸PDF、来自步骤24的材料/负荷因数和来自30的模型参数被用于在步骤26确定裂纹增长模型。根据本发明，通过Paris公式(公式21)给出裂纹增长模型。因为裂纹增长模型是半经验的，所以注意，可以使用其他裂纹增长模型替代Paris公式。

此外，方法10包括不确定性传播步骤32，其指代使用分析方法或者基于模拟的方法，以使用将描述的第5.4节中阐述的公式21的疲劳裂纹增长模型计算疲劳寿命和PoF。在步骤34，在给定疲劳裂纹增长模型(公式21)、步骤18中获得的初始裂纹尺寸和将在第5.4节中描述的临界裂纹尺寸(公式24)的情况下，通过计算疲劳寿命获得疲劳寿命预测。然后，在步骤36执行关于维护计划的判定作出。在这个步骤中，基于要求/准则38、检测结果和寿命预测分析由涡轮机制造商确定维护计划。然后，维护计划提供给发电厂操作员。然后，发电厂操作员基于由制造商提供的结果，判定行动过程(诸如修理，替换损坏部分)。

5.应用示例

汽轮机转子对于疲劳寿命预测和结构整体性评定感兴趣。作为固体转子的转子由铬-钼-钒(在下文中“Cr-Mo-V”)材料制成并且经受疲劳负荷。执行超声NDE检测以识别内部缺陷用于疲劳寿命估算。由于华氏800度的操作温度，在这个示例中不考虑蠕变裂纹增长。

5.1超声NDE和POD的不确定性量化

为了例示目的，在Schwant,R.,Timo,D.,“LifeAssessmentofGeneralElectricLargeSteamTurbineRotors”,在LifeAssessmentandImprovementofTurbo-GeneratorRotorsforFossilPlants,PergamonPress,纽约,1985年,第1-8页,(在下文中，“Schwant”)(其内容通过引用的方式被全部并入本文)中公开的历史超声NDE尺寸测定信息，用于表示超声检测的实际探测特征。理解可以使用其他尺寸测定信息。

参考图2A，在Schwant中公开的实际缺陷尺寸和超声NDE检测报告尺寸的尺寸测定信息以对数尺度示出。X轴是在分割转子以暴露内部缺陷之后测量的实际缺陷尺寸(例如，缺陷反射物的直径)。Y轴是分割转子之前的超声检测报告缺陷尺寸(例如，等效反射物的直径)。由于超声检测的不确定性，单个物理缺陷的报告缺陷尺寸与实际缺陷尺寸不同。使用图2A中所示的对数尺度数据和线性回归。公式(1)中的系数和截距分别被估计为β＝0.658，α＝0.381。ε的标准偏差被估计为σ_ε＝0.616。均值和95％边界预测结果在图2A中分别示出为实线和虚线。为了调查目的，将三个值0.5mm、1.0mm和1.5mm视为阈值值。三个值也分别近似等于所有报告尺寸值的99％、90％、85％下边界(即，0.01、0.1、0.15分位点值)。可替代地，阈值也可以基于建立的技术估计(见之前引用的Berens)。POD模型表达为以下公式：

$POD\left(a\right)=\left\{\begin{array}{cc}\mathrm{\Φ}\left(\frac{\ln a+1.6334}{0.9368}\right)& {\hat{a}}_{th}=0.5mm\\ \mathrm{\Φ}\left(\frac{\ln a+0.5793}{0.9368}\right)& {\hat{a}}_{th}=1.0mm\\ \mathrm{\Φ}\left(\frac{\ln a-0.0374}{0.9368}\right)& {\hat{a}}_{th}=1.5mm\end{array}\right.---\left(20\right)$

图2B描绘通过使用阈值值0.5mm、1.0mm和1.5mm的尺寸测定数据获取的POD曲线。可以从图2B看到，不同阈值值的选择导致不同POD曲线。由此，阈值值是重要因数并且应该被小心选择或者计算。

5.2基于超声NDE报告尺寸的初始裂纹尺寸假设。

当使用已知为距离增益尺寸(在下文中“DGS”)的方法作为转换模型以转变原始数据为缺陷尺寸时，超声NDE报告尺寸被解释为等效反射物(平的底部洞或者侧钻孔)尺寸，即孔的直径。DGS方法意味着反射物是平滑的、平坦的且垂直于超声束轴，并且完全包含在超声束内。不能使用DGS方法推断实际形状和方位，这是因为该方法实质上基于回声幅度。可以使用诸如合成孔径聚焦技术(SAFT)之类的其他尺寸测定方法，以识别小缺陷的方位和程度。疲劳裂纹传播计算采用选取的裂纹几何形状的裂纹尺寸。对于由超声NDE数据识别并且使用DGS方法测定尺寸的嵌入式缺陷，假设该缺陷为嵌入式椭圆形缺陷。

图3A描绘嵌入式椭圆形裂纹几何形状的图，其中a是初始裂纹尺寸(即，短轴长度)。因为实际缺陷形状和方位不是已知的，所以作出将NDE报告尺寸(反射物的直径)转变为嵌入式椭圆形裂纹的长度的假设。参考图3B，“a”是超声报告等效反射物尺寸的直径。接受的假设基于嵌入式椭圆形缺陷的椭圆形面积等于报告反射物面积的构思(见之前提及的Kern)。例如，给定具有3mm和a/c＝0.2的等效反射物尺寸的缺陷，疲劳分析的等效裂纹尺寸根据π(3mm)²/4＝πac计算并且近似地是0.67mm。

5.3疲劳模型参数的不确定性量化

使用Cr-Mo-V材料的疲劳测试数据量化模型参数不确定性。在下面的描述中使用Shih,T.,Clarke,G.,“EffectsofTemperatureandFrequencyontheFatigueCrackGrowthRatePropertiesofa1950VintageCrMoVRotorMaterial”,FractureMechanics:ProceedingsoftheEleventhNationalSymposiumonFractureMechanics,卷700,ASTMInternational,1979,第125页，(在下文中“Shih”)(其内容通过引用的方式被全部并入本文)中公开的Cr-Mo-V材料的疲劳测试数据。参考图4A，示出不同温度的来自Shih的用于Cr-Mo-V材料的疲劳测试数据。根据恒定负荷的华氏800度的裂纹增长用于执行使用嵌入式椭圆形裂纹几何形状的Paris公式的贝叶斯参数估计。在以下公式中给出Paris公式：

da/dN＝C(ΔK)^m(21)

其中a是裂纹尺寸，N是负荷周期的次数，C和m是需要从疲劳测试数据识别出的模型参数，而ΔK是在一个负荷周期期间的应力强度因数范围。对于图3A中示出的嵌入式椭圆形裂纹，通过以下给出关于施加的张应力σ的方向的以角度λ定位的点的应力强度因数：

$K=\mathrm{\σ}\sqrt{\mathrm{\π}aM}/Q{\[{\sin }^2\mathrm{\λ}+{(a/c)}^2{\cos }^2\mathrm{\λ}\]}^{1/4}---\left(22\right)$

其中M是位置因数，a是也是半椭圆的短轴长度的之前定义的裂纹尺寸，并且c是半椭圆的长轴长度。项Q是定义为的形状因数。对于嵌入式裂纹几何形状，M＝1.0。注意，最临界比率值依赖于若干因数，并且不能容易地被预测。为了在工程应用中保守的目的，a/c采用0.4，并且K在λ＝π/2处具有最大值。可以在Guan,X.,Zhang,J.,Kadau,K.,Zhou,S.K.,“ProbabilisticFatigueLifePredictionUsingUltrasonicInspectionDataConsideringEquivalentInitialFlawSizeUncertainty”,Thompson,D.O.,Chimenti,D.E.,editors,AIPConferenceProceedings,卷1511,AIP,2013,第620-627页(其内容以引用的方式并入这里)中找到具有马尔科夫链蒙特卡洛(在下文中，“MCMC”)的贝叶斯参数估计的方面。使用200，000个MCMC样本估计(lnC，m)的联合分布，考虑这两个参数遵循多变量正态分布(在下文中，“MVN”)：

f(lnC，m)～MVN(μ_(lnC，m)，Σ_(lnC，m))(23)

均值矢量是μ_(lnC，m)＝[-22.23，2.151]，并且协方差矩阵是 ${\mathrm{\Σ}}_{(\ln C,m)}=\left[\begin{array}{cc}1.2143& -0.17465\\ -0.17465& 0.02513\end{array}\right].$ 在图4B中描绘估计的拟合性能，其中示出均值和95％边界预测。

5.4使用NDE数据的疲劳寿命预测——没有缺陷指示

转子的开机和相继关机形成疲劳负荷周期。在开机和关机之间，以恒定速度旋转转子。来自离心应力、热应力和剩余应力的组合负荷效果一般是恒定的。因为旋转速度和温度对于每个这种周期具有最小变化，所以疲劳负荷可以被安全地视为恒定幅度负荷。在这个示例中，开机和关机之间的平均时间段是150小时，并且疲劳负荷周期的最大应力和最小应力分别是600MPa和60MPa。在华氏800度时Cr-Mo-V材料的临界应力强度因数(模型Ⅰ断裂韧性)是 $K_{Ic}=4865MPa\sqrt{mm}\left(140KSI\sqrt{in}\right).$ 见Hudak,S.,Swaminathan,V.,Leverant,G.,Sexena,A.,Adefris,N..“SteamTurbineRotorLifeandExtension:EvaluationOfRetiredRotors”,卷2:MechanicalPropertiesofService-ExposedRotors,Tech.Rep.,ElectricPowerResearchInstitute,PaloAlto,CA,1994。通过在负荷条件下使临界应力强度因数与应力强度因数等同，可以获得临界裂纹尺寸为a_c＝27.7mm。在第一个15年服务之后执行第一次安排的超声NDE测试，并且没有根据NDE测试数据报告的指示。NDE不可见缺陷的尺寸的PDF被表达为

$f_{A|\stackrel{\‾}{D}}\left(a\right)=\frac{\[1-POD\left(a\right)\]f_A\left(a\right)}{{\∫}_0^{\mathrm{\∞}}\[1-POD\left(a\right)\]f_A\left(a\right)da}---\left(24\right)$

其中f_A(a)是缺陷尺寸的先验PDF，并且POD(a)在公式(20)中给出。如果没有关于f_A(a)的信息可用，则可以使用无知先验(即，确定范围上的均匀分布)。在该情况下，f_A(a)是常量值，并且当估算公式(24)时将被抵消。对于演示目的，在应用示例中使用f_A(a)的这个处理。使用公式(21)和4×10⁸MC仿真进行疲劳寿命预测。分别根据公式(23)和公式(24)拟定模型参数和实际缺陷尺寸的随机实例。对于每个随机实例，通过从初始裂纹尺寸到临界裂纹尺寸的公式(21)的周期积分获得疲劳寿命。定义周期次数N的故障事件，以使得裂纹尺寸大于临界裂纹尺寸。现在描述不同的设置和对应的结果。

情况1：探测阈值

使用数值积分法，对于获得公式(24)的归一化常数(分母)作为0.606。通过给出实际缺陷尺寸。实际缺陷尺寸分布、疲劳寿命分布和PoF结果分别在图5A、图5B和图5C中示出。

情况2：探测阈值

对于归于化常数计算为0.869，并且实际缺陷尺寸的分布是关于这个情况的实际缺陷尺寸分布、疲劳寿命分布和PoF结果分别在图6A、图6B和图6C中示出。

情况3：探测阈值

对于归于化常数计算为1.073，并且实际缺陷尺寸的分布是关于这个情况的实际缺陷尺寸分布、疲劳寿命分布和PoF结果分别在图7A、图7B和图7C中示出。

如果这个检测到的锻件的故障的最大故障风险是10^-6次故障/年，并且其他锻件处于良好状态，则在给定探测阈值的情况下，转子可以等效地使用大约2970个周期或者50.9(2970×150/24/365)年。对于和这个数目分别减少为1510个周期(25.8年)和1364个周期(23.4年)。第一个15年服务NDE检测结果建议转子处于良好服务状态。下一NDE测试应该在第二个15年服务之后执行。

5.5使用NDE数据的疲劳寿命预测——具有缺陷指示

在30年服务之后执行第二次超声NDE测试，并且在NDE数据中找到一个指示，如图8中所示。使用DGS方法指示的报告尺寸是a′＝1.8mm。具有指示的缺陷尺寸的PDF是

$f_{A|D}\left(a\right)=\frac{1}{0.9368a}\mathrm{\φ}\left(\frac{\ln a-\left(ln1.8-0.381\right)/0.658}{0.9368}\right)---\left(25\right)$

注意，在给定报告指示尺寸的情况下实际缺陷分布与探测阈值无关。执行4×10⁸次MC仿真。使用MC仿真的疲劳寿命预测遵循本说明书的第5.4节的相同过程。在图9A中示出缺陷尺寸的分布。分别在图9B和图9C中呈现疲劳寿命预测和PoF估算。注意，即使从NDE检测数据识别出缺陷，除了探测到的缺陷之外，仍还可以有NDE不可见缺陷。缺陷的疲劳寿命预测遵循第5.4节并且不在这里重复。总的来说，NDE不可见缺陷比NDE数据中识别出的那些风险更小。在由NDE检测识别出缺陷的情况下，可以对于寿命估算安全地忽略NDE不可见缺陷，除非在服务期间NDE识别出的缺陷处于具有很低应力作用的非临界区域(uncriticalregion)中。

5.6风险分析和误差估计

风险分析依赖于安全性参数的解释。例如，美国核管理委员会(在下文中“NRC”)已经批准核发电厂在有利配置下转子轮盘破裂的10^-4次故障/年和在不利配置下转子轮盘破裂的10^-5次故障/年的风险等级。有利配置指代当压力容器和核燃料棒不在涡轮机侧的情况。此外，由NRC批准的风险等级负责整个转子轮盘。当考虑多个锻件时，应该考虑将全部风险均匀地分配给每个部件。例如，如果在10^-4次故障/年的整个风险等级下考虑10个锻件时，分配给10个部件的每个的风险是10^-5次故障/年。这个构成风险可以用于估算用于包含缺陷的部件的剩余可使用寿命。当仅估算最重要的转子时对转子组件的数目的风险的均匀分布，可以被视为保守的，因为整个转子的总风险接近单个风险的总和(低风险逼近)。更精确的估算将是总转子风险的计算和其与每年10^-4的可接受风险极限的比较。见StandardReviewPlanfortheReviewofSafetyAnalysisReportsforNuclearPowerPlants,华盛顿特区，美国核管理委员会,核反应堆管理办公室,LWRed.,1987年。基于转子的不同推荐故障率，可以构建更详细的表用于进行判定，如表1中所示。例如，考虑在整个转子中仅发现一个缺陷的情况。使用分配给具有1.8mm的缺陷的锻件的推荐故障率10^-5，转子仍可以安全地使用大约13.2年并且可以在另一10年服务之后安排另一NDE测试。然而，使用分配给具有1.8mm的缺陷的锻件的推荐故障率5×10^-6，转子仅可以使用大约1.8年，转子组件可能在估算之后需要替换是可能的。

在使用时，不频繁执行开机和关机操作。例如，在开机和相继关机之间的平均持续时间对于现代发电厂是大约100-150小时或者甚至更长。这意味着一个疲劳负荷周期的平均持续时间是大约100-150小时。虽然预测寿命通常按年表示，但是对应周期数仅是几千个负荷周期。估计的误差分析依赖于MC仿真方法的基本性质。

表1：基于不同故障率要求的疲劳寿命。每个周期的持续时间被视为150个小时。

考虑转子故障为在没有指示或者小指示的情况下的稀有事件(即，PoF大约是10^-8～10^-5)。必须小心地选取MC仿真的数目，以获得PoF的可靠估计。使用N个随机样本的PoF的MC估计是

其中，1是在使用第i个随机样本的计算产生故障事件的情况下取值1并且否则取值0的函数。估计量的方差被估计为

公知MC估计量的相对误差表达为

例如，为了获得PoF＝10^-6的5％的相对误差，N＝4×10^-8MC仿真需要基于公式(28)。此外，依据已知中心极限定理，可以对于阈值1-2ξ定义置信区间CI＝[PoF^-，PoF⁺]。这使得并且CI可以表达为

其中z_ξ＝Φ^-1(1-ξ)并且Φ^-1(·)是标准正态变量的逆CDF。例如，如果阈值被选取为95％，则ξ＝2.5％并且z_ξ≈1.96。图10A-10B描绘PoF的中值和95％CI估计。具体地，图10A描绘没有在超声NDE数据中发现指示并且的情况，并且图10B描绘具有1.8mm指示的情况。这样，图10A-10B图示使用概率性结果(即，95％边界预测)量化PoF预测的不确定性。95％边界预测提供度量，以帮助理解对于预测POF的发散的程度。例如，如果边界相对宽，则预测POF的不确定性大。如果边界窄，则PoF预测结果更可靠。

三个阈值值用于演示选取或者估计判定极限可以显著地影响最终结果。此外，考虑是嵌入式缺陷到表面缺陷的过渡。如果嵌入式缺陷靠近表面，则能够传播并且变成表面缺陷。在该情况下，缺陷不再处理为嵌入式椭圆形缺陷。计算应该使用不同几何形状校正并且计算新裂纹尺寸用于在新几何形状配置下的计算。

6.结论

本发明提供考虑来自NDE检测和疲劳模型参数的不确定性的概率性疲劳生命预测的系统方法和过程。使用耦合实际缺陷尺寸和NDE报告尺寸的经典对数线性模型建立POD建模。考虑NDE数据的三种类型场景推导实际裂纹尺寸的PDF：1)没有指示，2)具有缺陷指示和转换NDE信号为缺陷尺寸的确定性模型，以及3)具有缺陷指示和概率性转换模型。利用超声NDE检测数据的汽轮机转子完整性评定的应用来演示整个方法。本发明通过开发用于NDE检测、尺寸测定和模型参数的不确定性量化模型阐述概率性疲劳寿命预测的一般方法的公式化。此外，基于概率性建模和贝叶斯定理开发在不同NDE数据场景下的实际缺陷尺寸的概率分布。推导和结果是一般的，并且可以容易地适配于不同NDE应用。另外，呈现利用超声NDE数据的汽轮机转子的真实世界应用示例，以演示整个方法。风险参数的解释和准则遵循工业应用的NRC推荐。

应该理解，本发明可以以各种形式的硬件、软件、固件、专用处理或者其组合实现。在一个实施例中，本发明可以以软件实现为计算机可读程序存储设备上有形地包含的应用程序。应用程序可以上载至包括任何适当架构的机器并且由该机器执行。

图11是实现根据本发明的实施例的使用超声NDE数据的概率性疲劳寿命预测的方法的示例性计算机系统的框图。现在参考图11，用于实现本发明的计算机系统81尤其可以包括中央处理器(CPU)82、存储器83和输入/输出(I/O)接口84。计算机系统81一般通过I/O接口84耦合到显示器85和诸如鼠标和键盘之类的各种输入设备86。支持电路可以包括诸如高速缓冲存储器之类的电路、电源、时钟电路和通信总线。存储器83可以包括随机存取存储器(RAM)、只读存储器(ROM)、磁盘驱动器、磁带驱动器等或者其组合。本发明可以实现为存储在存储器83中并且由CPU82执行以处理来自信号源88的信号的例程87。这样，计算机系统81可以是当执行本发明的例程87时变成专用计算机系统的通用计算机系统。

计算机系统81也可以包括操作系统和微指令代码。本文描述的各种处理和功能可以是经由操作系统执行的微指令代码的一部分或者应用程序的一部分(或者其组合)。此外，各种其他外围设备可以连接到诸如附加数据存储设备和打印设备之类的计算机平台。

还理解，因为可以以软件实现所附附图中描绘的一些构成系统组件和方法步骤，所以系统组件之间的实际连接可能依赖于本发明被编程的方式而不同。在给出文本提供的本发明的教导的情况下，本领域的技术人员将能够预期本发明的这些和类似实现方式或者配置。

虽然已经参考示例性实施例详细描述本发明，但是本领域的技术人员将认识可以在不脱离所附权利要求中阐述的本发明的精神和范围的情况下对其进行各种修改和替代。

Claims (20)

1.一种用于概率性疲劳寿命预测的方法，包括：

提供探测概率模型；

提供初始裂纹尺寸概率密度函数(PDF)；

提供模型参数的概率性识别；

提供模型参数PDF；

基于初始裂纹尺寸、模型参数PDF和材料/负荷因数提供裂纹增长模型；

确定不确定性传播；以及

基于不确定传播和裂纹增长模型提供疲劳寿命预测。

2.如权利要求1所述的方法，其中，在探测概率模型中使用无损检查(NDE)数据和NDE尺寸测定数据。

3.如权利要求1所述的方法，其中，疲劳测试数据用于提供模型参数的概率性识别。

4.如权利要求1所述的方法，还包括关于要实现的维护计划的判定作出。

5.如权利要求1所述的方法，其中，探测概率模型是：

$POD\left(a\right)=\mathrm{Pr}(\mathrm{\α}+\mathrm{\β}\ln a+\mathrm{\ϵ}>ln{\hat{a}}_{th})=\mathrm{\Φ}\left(\frac{\ln a-(\ln {\hat{a}}_{th}-\mathrm{\α})/\mathrm{\β}}{{\mathrm{\σ}}_{\mathrm{\ϵ}}/\mathrm{\β}}\right)$

其中，a是缺陷的实际尺寸，α和β是拟合参数，ε是具有零均值和标准偏差σ_ε的正态随机变量，是预定义阈值并且Φ(·)是标准正态累积分布函数。

6.如权利要求5所述的方法，其中，参数α、β和ε使用以下来估计：

$ln\hat{a}=\mathrm{\α}+\mathrm{\β}\ln a+\mathrm{\ϵ}$

其中，是基于超声NDE信号的报告缺陷尺寸，a是缺陷的实际尺寸，α和β是拟合参数，ε是具有零均值和标准偏差σ_ε的正态随机变量。

7.如权利要求1所述的方法，其中，初始裂纹尺寸PDF由以下确定：

$p\left(A\right|D)=f_{A|D}\left(a\right)=\frac{1}{a({\mathrm{\σ}}_{\mathrm{\ϵ}}/\mathrm{\β})}\mathrm{\φ}\left(\frac{\ln a-({\mathrm{lna}}^{\′}-\mathrm{\α})/\mathrm{\β}}{{\mathrm{\σ}}_{\mathrm{\ϵ}}/\mathrm{\β}}\right)$

其中，a是缺陷的实际尺寸，α和β是拟合参数，σ_ε是标准偏差，a′是报告缺陷尺寸的值，并且Φ(·)是标准正态概率密度函数。

8.如权利要求1所述的方法，其中，初始裂纹尺寸PDF由以下确定：

$p\left(A\right|D)=f_{A|D}\left(a\right)=\frac{1}{a\left(\sqrt{{\mathrm{\σ}}_e^2+{\mathrm{\σ}}_{\mathrm{\ϵ}}^2}/\mathrm{\β}\right)}\mathrm{\φ}\left(\frac{\ln a-({\mathrm{lna}}^{\′}-\mathrm{\α})/\mathrm{\β}}{\sqrt{{\mathrm{\σ}}_e^2+{\mathrm{\σ}}_{\mathrm{\ϵ}}^2}/\mathrm{\β}}\right)$

其中，a是缺陷的实际尺寸，α和β是拟合参数，σ_ε是标准偏差，a′是报告缺陷尺寸的值，并且Φ(·)是标准正态概率密度函数。

9.如权利要求1所述的方法，其中，初始裂纹尺寸PDF由以下确定：

$p\left(A\right|\stackrel{\‾}{D})=f_{A|\stackrel{\‾}{D}}\left(a\right)=\frac{\∂\[\mathrm{Pr}(A\≤a|\stackrel{\‾}{D})\]}{\∂a}=\frac{\[1-POD\left(a\right)\]f_A\left(a\right)}{{\∫}_0^{\mathrm{\∞}}\[1-POD\left(a\right)\]f_A\left(a\right)da}$

其中a是缺陷的实际尺寸，A是对数正态变量，并且是缺陷没有被识别的事件。

10.如权利要求1所述的方法，其中，材料/负荷因数包括由以下给出的应力强度因数：

$K=\mathrm{\σ}\sqrt{\mathrm{\π}aM}/Q{\[{\sin }^2\mathrm{\λ}+{(a/c)}^2{\cos }^2\mathrm{\λ}\]}^{1/4}$

其中，K是定位于关于施加的张应力σ的方向的角度λ的点的应力强度因数，M是位置因数，a是同样作为半椭圆短轴长度的嵌入式椭圆裂纹的初始裂纹尺寸，c是半椭圆的长轴长度并且Q是形状因数。

11.如权利要求1所述的方法，其中，模型参数PDF由如下给出：

f(lnC，m)～MVN(μ_(lnC，m)，Σ_(lnC，m))

其中，MVN是多变量正态分布，μ_(lnC,m)是均值矢量，并且∑_(lnC,m)是协方差矩阵。

12.如权利要求1所述的方法，其中，裂纹增长模型由以下给出：

da/dN＝C(ΔK)^m

其中a是裂纹尺寸，N是负荷周期的次数，C和m是从疲劳测试数据识别出的模型参数，并且ΔK是一个负荷周期的应力强度因数范围。

13.一种可由计算机读取的非暂时程序存储设备，其有形地包含由计算机执行的指令的程序，以执行概率性疲劳寿命预测的方法，该方法包括以下步骤：

提供探测概率模型；

提供初始裂纹尺寸概率密度函数(PDF)；

提供模型参数的概率性识别；

提供模型参数PDF；

基于初始裂纹尺寸、模型参数PDF和材料/负荷因数提供裂纹增长模型；

确定不确定性传播；以及

基于不确定传播和裂纹增长模型提供疲劳寿命预测。

14.如权利要求13所述的计算机可读程序存储设备，其中，在探测概率模型中使用无损检查(NDE)数据和NDE尺寸测定数据。

15.如权利要求13所述的计算机可读程序存储设备，其中，疲劳测试数据用于提供模型参数的概率性识别。

16.如权利要求13所述的计算机可读程序存储设备，该方法还包括关于要实现的维护计划的判定作出。

17.如权利要求13所述的计算机可读程序存储设备，其中，探测概率模型是：

$POD\left(a\right)=\mathrm{Pr}(\mathrm{\α}+\mathrm{\β}\ln a+\mathrm{\ϵ}>ln{\hat{a}}_{th})=\mathrm{\Φ}\left(\frac{\ln a-(\ln {\hat{a}}_{th}-\mathrm{\α})/\mathrm{\β}}{{\mathrm{\σ}}_{\mathrm{\ϵ}}/\mathrm{\β}}\right)$

其中，a是缺陷的实际尺寸，α和β是拟合参数，ε是具有零均值和标准偏差σ_ε的正态随机变量，是预定义阈值并且Φ(·)是标准正态累积分布函数。

18.如权利要求17所述的计算机可读程序存储设备，其中，参数α、β和ε使用以下来估计：

$ln\hat{a}=\mathrm{\α}+\mathrm{\β}\ln a+\mathrm{\ϵ}$

其中，是基于超声NDE信号的报告缺陷尺寸，a是缺陷的实际尺寸，α和β是拟合参数，ε是具有零均值和标准偏差σ_ε的正态随机变量。

19.如权利要求13所述的计算机可读程序存储设备，其中，初始裂纹尺寸PDF由以下确定：

$p\left(A\right|D)=f_{A|D}\left(a\right)=\frac{1}{a({\mathrm{\σ}}_{\mathrm{\ϵ}}/\mathrm{\β})}\mathrm{\φ}\left(\frac{\ln a-({\mathrm{lna}}^{\′}-\mathrm{\α})/\mathrm{\β}}{{\mathrm{\σ}}_{\mathrm{\ϵ}}/\mathrm{\β}}\right)$

其中，a是缺陷的实际尺寸，α和β是拟合参数，σ_ε是标准偏差，a′是报告缺陷尺寸的值，并且Φ(·)是标准正态概率密度函数。

20.如权利要求13所述的计算机可读程序存储设备，其中，初始裂纹尺寸PDF由以下确定：

$p\left(A\right|D)=f_{A|D}\left(a\right)=\frac{1}{a\left(\sqrt{{\mathrm{\σ}}_e^2+{\mathrm{\σ}}_{\mathrm{\ϵ}}^2}/\mathrm{\β}\right)}\mathrm{\φ}\left(\frac{\ln a-({\mathrm{lna}}^{\′}-\mathrm{\α})/\mathrm{\β}}{\sqrt{{\mathrm{\σ}}_e^2+{\mathrm{\σ}}_{\mathrm{\ϵ}}^2}/\mathrm{\β}}\right)$

其中，a是缺陷的实际尺寸，α和β是拟合参数，σ_ε是标准偏差，a′是报告缺陷尺寸的值，并且Φ(·)是标准正态概率密度函数。