CN113836741B - 基于多功能系统退化过程的重构和可靠性评估的方法 - Google Patents

Abstract

本发明提供一种基于多功能系统退化过程的重构和可靠性评估的方法，其包括以下步骤：S1确定多功能系统结构构成；S2利用失效率定义建立失效率矩阵与可靠度函数及其失效概率密度函数之间的关系；S3基于马尔科夫近似利用状态转移概率表示失效概率密度函数；S4根据系统状态与功能间的对应关系建立失效率和状态转移概率的对应关系；S5确定失效率矩阵；S6利用失效率矩阵与退化过程中相关参数之间的关系，重构退化系统和进行系统可靠性评估。本发明基于马尔科夫近似和失效率矩阵，通过失效率矩阵，利用可观测的单功能失效数据进行多功能系统退化过程重构和可靠性评估，能够大大降低对整个系统寿命测试数据的需求量。

Description

基于多功能系统退化过程的重构和可靠性评估的方法

技术领域

本发明涉及产品可靠性领域，尤其涉及一种基于多功能系统退化过程的重构和可靠性评估的方法。

背景技术

退化是物理、工程和生物学领域的一个十分常见过程。退化过程中的不确定性与可靠性密切相关，可靠性被定义为在规定的时间内完成规定功能的能力，也是一种确定性问题的概率度量。

可靠性评估的早期研究可以追溯到20世纪50年代。最早用失效寿命数据的统计分析来描述电子元件的寿命，这种方法对退化机理探究是十分有限的。根据大数定律，需要足够多的寿命数据才能准确估计其失效率。利用极大似然估计和矩量法等方法将寿命数据拟合为特定分布，得到了与该分布相关的失效率。在给定寿命数据的情况下，采用概率推理的方法构造寿命分布可得到相应的失效率函数。可推断得到最优分布和失效率函数的概率推断方法包括贝叶斯方法和基于熵的方法。对于许多寿命较长的高可靠性复杂系统，对系统进行直接建模得到失效率是十分困难的。首先，在短时间内统计得到充足的寿命数据是不现实的。虽然加速寿命试验可以用于减少寿命数据的依赖性，但这些措施通常是为测试部件和子系统而设计的，将其应用到一个高维的复杂物理系统中是不现实的。另一方面，将系统作为一个整体进行可靠性评估，对其中的部件和子系统之间的依赖关系的理解有限，难以给出系统可靠性薄弱环节的相关信息。因此，针对系统可靠性评估没有一个能够应用于物理系统的通用方法。失效率可在退化过程中很好的评估系统参数的时变性质，且马尔科夫退化过程在工程实际领域十分常见，因此本发明选择失效率和马尔科夫近似性质来作为构建系统级退化过程重构和可靠性评估的工具。

发明内容

为了克服现有技术的缺陷，本发明提供一种基于多功能系统退化过程的重构和可靠性评估的方法，该方法包括以下步骤：

步骤S1，确定多功能系统结构构成；

将需要进行可靠性评估的系统根据功能进行划分，形成由多个功能组成的系统，然后确定多功能系统中各个功能之间的相关性，规定当功能a的失效会导致功能b的失效，而功能b的失效对功能a没有影响时，将功能a和功能b的关系记为a＞b；

步骤S2，利用失效率定义建立失效率矩阵与可靠度函数及其失效概率密度函数之间的关系；

根据可靠性原理和多功能系统的功能结构构建失效率矩阵，得到系统失效率矩阵χ与可靠度函数R及其失效概率密度函数p之间的关系，即失效概率密度函数p可以由系统失效率矩阵χ中的阵元表示；

步骤S3，基于马尔科夫近似利用状态转移概率表示失效概率密度函数；

确定多功能系统的失效路径的集合，多功能系统的失效概率密度函数p由不同失效路径α下的失效概率密度函数p^α的集合表示，对于一个特定的功能i的失效概率密度函数由不同失效路径α下功能i的失效概率密度函数的集合表示；失效路径α下的失效概率密度函数p^α利用系统在失效路径α下的状态概率q表示，根据动力学方程可知状态概率q能够通过状态转移概率k_js进行表示，因此得到失效概率密度函数p与状态转移概率k_js的对应关系；

步骤S4，根据系统状态与功能间的对应关系建立失效率和状态转移概率的对应关系；

根据动力学方程，得到系统状态q的变化公式与状态转移矩阵k相关；同时因为多功能系统中状态是通过功能能否实现进行定义的，因此状态与功能的组合有确定的对应关系，即能够确定单个功能可靠度函数R_i与系统状态q的关系；由此得到系统中单个功能的可靠度函数R_i与转移矩阵k的关系；因为步骤S2中已经得到了系统中单个功能的可靠度函数R_i与系统失效率矩阵χ的关系，因此能得到系统失效率矩阵χ与状态转移矩阵k的关系；

步骤S5，确定失效率矩阵；

建立失效率矩阵χ方程组，通过不同失效路径的单功能失效概率密度函数和单功能可靠度函数确定失效率矩阵的解，具体包括以下步骤：

根据步骤S2-S4可知，在步骤S4中给出了失效率矩阵χ与状态转移矩阵k之间的关系，在步骤S3中给出了状态转移概率k_js与状态失效概率密度函数p之间的关系，因此可以得到失效率矩阵χ与失效概率密度函数p之间的关系，即失效概率密度函数p由失效率矩阵χ表示，此处称为第一组失效率矩阵χ方程；在步骤S2中已经根据失效率定义直接建立失效率矩阵χ与失效概率密度函数p之间的对应关系，建立了第二组失效率矩阵χ方程；第一组和第二组失效率矩阵χ方程一起组成了失效率矩阵χ方程组；根据步骤S2可知多功能系统的失效概率密度函数p由各个功能的失效概率密度函数p_i联合分布确定，而根据步骤S3可知对于一个特定的功能i的失效概率密度函数p_i可由不同失效路径α下功能i的失效概率密度函数的集合表示；将失效率矩阵χ方程组中的失效概率密度函数p替换为不同失效路径α下功能i的失效概率密度函数/>和第i个功能的可靠度函数R_i；因为失效路径α下功能i的失效概率密度函数/>和第i个功能的可靠度函数R_i是可获得的值，因此对失效率矩阵χ方程组进行求解，得到失效率矩阵χ的解，失效率矩阵χ的解和不同失效路径的单功能失效概率密度函数和单功能可靠度函数相关，单功能失效概率密度函数和单功能可靠度函数为已知值；

步骤S6，利用失效率矩阵与退化过程中相关参数之间的关系，重构退化系统和进行系统可靠性评估；

在步骤S2-S4中以失效率矩阵和状态转移概率为中心建立了系统退化过程中可靠度函数，失效概率密度函数，状态转移概率，系统联合失效概率分布相关描述系统退化过程的参数之间的对应关系，利用步骤S5中确定的失效率矩阵即可确定上述多个退化参数，实现对整个多功能系统的退化进行重构和可靠性评估。

优选的，所述步骤S2具体实现步骤为：

多功能系统具有n个功能，那么第i个功能的可靠度函数表示为R_i(t)，i＝a,b，…,n；多功能系统的失效概率密度函数p表示为：

其中，R为多功能系统的可靠度函数，χ为多功能系统的失效率矩阵，p为多功能系统的失效概率密度函数；此时R＝(R_a,R_b,…,R_n)^T表示一个n维矩阵，R_a,R_b,…,R_n分别表示第a,b，…,n个功能的可靠度函数；多功能系统的失效率矩阵χ表示为：

其中，χ_ii(i＝a,b,…,n)表示功能i本身的失效率，非对角元素χ_ij表示功能i和j之间的相互作用，i≠j；

根据公式(2)(3)可知，多功能系统中表示为：

根据公式(4)可知，系统中单个功能的可靠度函数R_i通过失效率矩阵阵元进行表示，根据p(t)＝-dR(t)/dt可知，各个功能的失效概率密度函数p_i通过失效率矩阵阵元进行表示，而多功能系统的失效概率密度函数p由各个功能的失效概率密度函数p_i联合分布确定。

优选的，所述步骤S3具体实现步骤为：

根据马尔可夫近似，退化轨迹(i₀,t₀；i₁,t₁；i₂,t₂；…)的条件概率表示为：

q(i_m+1,t_m+1∣i_m,t_m；i_m-1,t_m-1；…；i₀,t₀)＝q(i_m+1,t_m+1∣i_m,t_m)， (8)

其中，i₀,i₁,i₂,…序列表示系统状态序列；t₀,t₁,t₂…序列表示时间序列；(i₀,t₀；i₁,t₁；i₂,t₂；…)表示系统退化轨迹；q(i_m+1，t_m+1|i_m,t_m)表示系统在t_m时刻处于i_m状态的条件下，t_m+1时刻处于i_m+1状态的概率，系统在t_m+1时刻处于i_m+1状态的概率q只与该系统在t_m时刻处于i_m状态相关；

系统在t时刻处于j状态的概率q(j,t)对应的动力学方程为：

其中，k_js为状态s到状态j的状态转移概率，由k_js组成的矩阵称为状态转移矩阵k，q(s,t)为系统在t时刻处于s状态的概率，状态概率q(s,t)可以通过状态转移概率进行表示；

失效路径α的失效概率密度函数p^α可利用系统在失效路径α下的状态概率q表示，使用状态转移概率k_js对失效路径α下的状态概率q进行描述，失效概率密度函数p又由不同失效路径α的失效概率密度函数p^α的集合表示，因此最终得到状态转移概率k_js与失效概率密度函数p的关系。

优选的，所述多功能系统为三功能系统，三功能系统包括功能a,b,c，功能(a，b,c)之间的关系为a＞b＞c，所述三功能系统具有四种不同的状态。

优选的，所述步骤S2中，失效率矩阵χ具体化为：

所述步骤S5中失效率矩阵χ的解为：

其中，表示沿α失效路径失效的功能i的失效概率密度函数,R_i表示功能i的可靠度函数，p_c表示单功能c的失效概率密度函数。

与现有技术相比，本发明具有以下有益效果：

1、本发明基于马尔科夫近似和失效率矩阵，提供了一种利用可观测的单功能数失效数据进行系统退化过程重构和可靠性评估的通用的方法，能够大大降低对整个系统寿命测试数据的需求量。

2、实际工程系统间的相关性难以利用退化机理模型准确描述，而本发明则是将系统内部部件之间的相关性包含在失效率矩阵阵元中，通过外界可观测数据进行确定。

3、本发明的研究对象是由工程领域中感兴趣的功能所构成的系统，可根据实际工程需求进行系统构建，因为本发明方法在使用过程中具有灵活性和工程适用性。

附图说明

图1是基于多功能系统退化过程的重构和可靠性评估的方法的步骤流程图；

图2(a)是三功能系统实际失效率矩阵阵元比较；

图2(b)是三功能系统重构的失效率矩阵阵元；

图3是电力系统故障树；

图4是电力系统处于不同时间的状态概率。

具体实施方式

为了使本发明的目的、技术方案及优点更加清楚明白，以下结合附图及实施例，对本发明进行进一步详细说明。本发明利用现有的单功能失效数据的系统可靠性评估方法，给出了一种基于多功能系统退化过程的重构和可靠性评估的方法，该方法是要以失效率矩阵为桥梁基于外界可观测信息重构了内部系统退化过程及动态细节变化。将工程领域中的实际系统根据所需功能重构为多功能系统，在不考虑系统恢复情况下，系统失效率矩阵由多功能间的相关性和结构决定，其矩阵阵元的物理含义可利用失效概率密度函数进行探究。基于马尔科夫近似和失效率矩阵，提出了利用可观测的单功能失效数据进行基于多功能系统退化过程重构进行可靠性评估的通用的方法，能够大大降低对整个系统寿命测试数据的需求量。下面将通过实例并结合附图，对本发明进一步详细说明，但并不因此限制此发明。

下面将详细叙述本发明提出的基于多功能系统退化过程重构进行可靠性评估的方法的具体步骤，并利用一个三功能相关系统对本方法的每一个步骤进行详细说明，本领域技术人员都知道本方法可用于任意多功能系统，如图1所示，本发明提出的方法具体步骤如下：

步骤S1，确定多功能系统结构构成；

将需要进行可靠性评估的系统根据功能进行划分，形成由多个功能组成的系统，此系统被称为多功能系统，然后确定多功能系统中各个功能之间的相关性，即功能之间的关系，规定当功能a的失效会导致功能b的失效，而功能b的失效对功能a没有影响时，将功能a和功能b的关系记为a＞b。

本实施例选取三功能系统作为示例，三功能系统包括功能a,b,c，功能(a,b,c)之间的关系为a＞b＞c。该系统具有四种不同的状态，如表1所示。

表1三功能串联系统中的四种状态

步骤S2，利用失效率定义建立失效率矩阵与可靠度函数及其失效概率密度函数之间的关系；

根据可靠性原理和多功能系统的功能结构构建失效率矩阵，得到系统失效率矩阵χ与可靠度函数R及其失效概率密度函数p之间的关系，即失效概率密度函数p可以由系统失效率矩阵χ中的阵元表示；具体步骤如下：

对于单功能系统，可靠度函数可用关于时间t的函数表示，可靠度函数定义为R(t)＝Pr(T≥t)，t∈(0,+∞)，其中，t为规定的时间，T表示单功能系统的寿命，T具有不确定性，Pr表示在单功能系统寿命T内关于时间t的函数。在寿命T＝t时对应的失效概率密度函数表示为p(t)＝-dR(t)/dt。对于单功能系统的失效率函数x(t)可用可靠度函数R(t)及其失效概率密度函数p(t)表示为：

其中，x(t)为单功能系统的失效率函数，R(t)为可靠度函数，p(t)为失效概率密度函数。

将需要进行可靠性评估的系统建立为多功能系统，功能间的关系可以是相关的，也可以是相互独立的。假设多功能系统具有n个功能，那么第i(i＝a,b，…,n)个功能的可靠度函数表示为R_i(t)。将公式(1)中单功能系统的失效率函数推广到多功能系统中，得到多功能系统的失效概率密度函数p可表示为：

其中，R为多功能系统的可靠度函数，χ为多功能系统的失效率矩阵，p为多功能系统的失效概率密度函数。此时R＝(R_a,R_b,…,R_n)^T表示一个n维矩阵，R_a,R_b,…,R_n分别表示第a,b，…,n个功能的可靠度函数。多功能系统的失效率矩阵χ表示为：

其中，χ_ii(i＝a,b,…,n)表示功能i本身的失效率，非对角元素χ_ij(i≠j)表示功能i和j之间的相互作用。由于可靠度函数R_i(t)的非递增性质，失效率矩阵χ为上三角矩阵。

根据公式(2)(3)可知，多功能系统中可表示为：

根据公式(4)可知，系统中单个功能的可靠度函数R_i可通过失效率矩阵阵元进行表示，进一步，根据p(t)＝-dR(t)/dt可知，各个功能的失效概率密度函数p_i也可通过失效率矩阵阵元进行表示，而多功能系统的失效概率密度函数p由各个功能的失效概率密度函数p_i联合分布确定。

本实施例中，三功能系统的失效率矩阵根据公式(3)可知，如下表示：

根据公式(4)得到三功能系统中可表示为：

根据式(6)，在初始条件R_i(0)＝1的情况下进行公式变换(R_i(0)＝1表示功能i在初始时功能正常)，得到可靠度函数可表示为：

根据式(7)可知，功能a,b,c的可靠度函数R_a,R_b,R_c可以由失效率矩阵χ中的阵元表示，又因为失效概率密度函数可以通过p(t)＝-dR(t)/dt确定，即对可靠度函数R_a,R_b,R_c求导后的负数就是相应的失效概率密度函数p_a,p_b,p_c，也就是说每个功能的失效概率密度函数可以由失效率矩阵χ中的阵元表示。从而，构建了三功能系统中每个功能可靠度函数及其失效概率密度函数与失效率矩阵阵元之间的关系，多功能系统的失效概率密度函数p由各个功能的失效概率密度函数p_a,p_b,p_c联合分布确定。

步骤S3，基于马尔科夫近似利用状态转移概率表示失效概率密度函数；

确定多功能系统的失效路径的集合，多功能系统的失效概率密度函数p可由不同失效路径α下的失效概率密度函数p^α的集合表示，同理，对于一个特定的功能i的失效概率密度函数可由不同失效路径α下功能i的失效概率密度函数的集合表示。失效路径α下的失效概率密度函数p^α可以利用系统在失效路径a下的状态概率q表示，根据动力学方程可知状态概率q可以通过状态转移概率k_js进行表示，因此，可以得到失效概率密度函数p与状态转移概率k_js的对应关系。具体步骤如下：

失效路径的概率可利用描述系统状态变化的轨迹概率表示，将轨迹概率利用条件概率进行表示。由于本发明采用马尔科夫近似进行简化，条件概率可近似为仅受上一时刻状态影响。

马尔可夫近似，即未来状态的概率分布仅依赖于当前状态。因此，退化轨迹(i₀,t₀；i₁,t₁；i₂,t₂；…)的条件概率可表示为：

q(i_m+1,t_m+1∣i_m,t_m；i_m-1,t_m-1；…；i₀,t₀)＝q(i_m+1,t_m+1∣i_m,t_m)， (8)

其中，i₀,i₁,i₂,…序列表示系统状态序列；t₀,t₁,t₂…序列表示时间序列；(i₀,t₀；i₁,t₁；i₂,t₂；…)表示系统退化轨迹；q(i_m+1，t_m+1|i_m,t_m)表示系统在t_m时刻处于i_m状态的条件下，t_m+1时刻处于i_m+1状态的概率。系统在t_m+1时刻处于i_m+1状态的概率q本来与之前的退化轨迹(i₀,t₀；i₁,t₁；i₂,t₂；…)相关，但是根据马尔可夫近似，该系统在t_m+1时刻处于i_m+1状态的概率q只与该系统在t_m时刻处于i_m状态相关。

系统在t时刻处于j状态的概率q(j,t)对应的动力学方程为：

其中，k_js为状态s到状态j的状态转移概率，由k_js组成的矩阵称为状态转移矩阵k，q(s,t)为系统在t时刻处于s状态的概率。状态概率q(s,t)可以通过状态转移概率进行表示。

失效路径α的失效概率密度函数p^α可利用系统在失效路径α下的状态概率q表示，使用状态转移概率k_js对失效路径α下的状态概率q进行描述，失效概率密度函数p又由不同失效路径α的失效概率密度函数p^α的集合表示，因此最终得到状态转移概率k_js与失效概率密度函数p的关系。

本实施例中的三功能系统，根据表1所示的状态，系统可能的失效路径的集合可表示为α＝{(1234)，(134)，(124)，(14)}，失效路径(·)通过系统依次经过的状态来表示。三功能系统的失效概率密度函数可由不同失效路径下的联合失效概率密度函数的集合表示：

确定系统可能的失效路径的集合可表示为α，多功能系统的失效概率密度函数p可由不同失效路径下的失效概率密度函数的集合表示为:

其中，μ^(α)是失效路径α的概率。例如，μ⁽¹²³⁴⁾表示系统依次通过状态1、2、3和4的失效路径的概率。t_a,t_b,t_c表示三个功能的寿命，p^α(t_a,t_b,t_c)是系统在α失效路径下三个功能的失效概率密度函数。例如，p⁽¹²³⁴⁾(t_a,t_b,t_c)是三功能系统依次经过状态1、2、3、4时的失效概率密度函数。失效路径是通过h(·)和δ(·)进行描述，h(·)为阶跃函数，δ(·)为狄拉克函数。

阶跃函数h(·)表示为：

狄拉克函数δ(·)表示为：

对于一个特定的功能i，i∈(a,b,c)，该功能的失效概率密度函数在本例中可写为：

其中，表示沿失效路径α失效过程中功能i的失效概率密度函数。

某失效路径的失效概率密度函数可通过失效轨迹的概率表示，再进一步通过条件概率进行分解，基于公式(8)中的马尔科夫近似进行简化后，利用状态转移率k_js表示状态的转移。因此，可建立失效路径的概率密度函数用状态转移率k_js表示的等式。

例如，三功能系统在失效路径(1234)条件下的失效概率密度函数可表示为：

公式(14)中，取时间间隔Δt趋近于零，上述方程可利用泰勒展开进一步进行转化，即：

按照同样的方法可得到其他失效路径中状态转移概率k_js和相应失效路径条件下的失效概率密度函数的对应关系。

为清晰起见，省略变量(t_a,t_b,t_c)后4条失效路径中状态转移概率k_js和相应失效路径条件下的失效概率密度函数的对应关系可表示为：

基于公式(16)，可以得到基于马尔科夫近似下利用状态转移概率k_js表述不同失效路径的联合概率密度函数的表达式，即得到失效概率密度函数p与状态转移概率k的对应关系。

步骤S4，根据系统状态与功能间的对应关系建立失效率和状态转移概率的对应关系；

根据公式(9)动力学方程，可得到系统状态q的变化公式，系统状态q与状态转移矩阵k相关；同时因为多功能系统中状态是通过功能能否实现进行定义的，因此状态与功能的组合有确定的对应关系，即可以确定单个功能可靠度函数R_i与系统状态q的关系；由此得到系统中单个功能的可靠度函数R_i与转移矩阵k的关系；因为步骤S2中已经得到了系统中单个功能的可靠度函数R_i与系统失效率矩阵χ的关系，因此可以得到系统失效率矩阵χ与转移矩阵k的关系。

对于实施例中的三功能系统而言，利用功能可靠性与状态之间的对应关系确定失效率矩阵与状态转移率的对应关系，具体为：

功能a，b和c的可靠度与失效率矩阵χ的关系可见公式(6)，

根据公式(9)，三功能系统的状态变化可描述为：

其中，q_j是系统在t时刻处于状态j(j＝1,2,3,4)的概率，k_js是状态s到状态j的状态转移概率。由于系统不可修复，k_js＝0(s>j)。从表1可得：

将公式(18)两侧对t求导，并将公式(17)代入有

所有可能状态的概率和是归一的，即，

∑_jq_j＝1。 (20)

因此，

将公式(17)代入公式(21)得到

由于状态概率q_i不可能同时为0，因此为保证公式(22)成立则有：

∑_jk_js＝0(j,s＝1，2,3,4)。 (23)

结合公式(6)与公式(18)，并用公式(23)化简可得到失效率矩阵χ与转移矩阵k的关系如下：

步骤S5，确定失效率矩阵；

建立失效率矩阵χ方程组，通过不同失效路径的单功能失效概率密度函数和单功能可靠度函数确定失效率矩阵的解，具体包括以下步骤：

根据步骤S2-S4可知，在步骤S4中给出了失效率矩阵χ与状态转移矩阵k之间的关系，在步骤S3中给出了状态转移概率k_js与状态失效概率密度函数p之间的关系，因此可以得到失效率矩阵χ与失效概率密度函数p之间的关系，即失效概率密度函数p由失效率矩阵χ表示，此处称为第一组失效率矩阵χ方程；在多功能系统中，根据失效率定义可以直接建立失效率矩阵χ与失效概率密度函数p之间的对应关系，因此在步骤S2中建立了第二组失效率矩阵χ方程；第一组和第二组失效率矩阵χ方程一起组成了失效率矩阵χ方程组。根据步骤S2可知多功能系统的失效概率密度函数p由各个功能的失效概率密度函数p_i联合分布确定，而根据步骤S3可知对于一个特定的功能i的失效概率密度函数p_i可由不同失效路径a下功能i的失效概率密度函数的集合表示。将失效率矩阵χ方程组中的失效概率密度函数p替换为不同失效路径α下功能i的失效概率密度函数/>和第i个功能的可靠度函数R_i。因为失效路径α下功能i的失效概率密度函数/>和第i个功能的可靠度函数R_i是可获得的值，因此对失效率矩阵χ方程组进行求解，得到失效率矩阵χ的解，失效率矩阵χ的解和不同失效路径的单功能失效概率密度函数和单功能可靠度函数相关。

对于实施例中的三功能系统而言，根据步骤S4中式(24)，步骤S3中的式(10)和(16)，得到第一组失效率矩阵χ方程；步骤S2中对式(7)，根据失效概率密度函数p(t)＝-dR(t)/dt，得到第二组失效率矩阵χ方程；第一组和第二组失效率矩阵χ方程一起组成了失效率矩阵χ方程组。根据步骤S2可知多功能系统的失效概率密度函数p由各个功能的失效概率密度函数p_a,p_b,p_c联合分布确定，特定的功能i的失效概率密度函数p_i可根据步骤S3中的式(13)得到，对失效率矩阵χ方程组进行求解，得到失效率矩阵χ：

其中，表示沿α失效路径失效的功能i的失效概率密度函数,R_i表示功能i的可靠度函数，p_c表示单功能c的失效概率密度函数。

通过可测量的不同失效路径的单功能失效概率密度函数和单功能可靠度函数可得到系统退化过程中的失效率矩阵。

步骤S6，利用失效率矩阵与退化过程中相关参数之间的关系，重构退化系统和进行系统可靠性评估；

在步骤S2-S4中以失效率矩阵和状态转移概率为中心建立了系统退化过程中可靠度函数，失效概率密度函数，状态转移概率，系统联合失效概率分布等相关描述系统退化过程的参数之间的对应关系，利用步骤S5中确定的失效率矩阵即可确定上述多个退化参数，实现对整个多功能系统的退化进行重构和可靠性评估，具体为：

根据步骤S2～步骤S4中各退化参数之间的对应关系，可进一步推导得出工程领域所需的其他退化参数，进行系统重构。其中，根据公式(9)可确定多功能系统在t时刻处于j状态的概率q(j,t)，并以此进行多功能系统可靠性评估。

为证明本发明方法的有效性，下面对得到的公式(25)结果进行验证。首先，利用代表实际退化行为的状态转移矩阵k模拟系统退化过程；为了方便演示，假设实际退化行为中的状态转移矩阵k为：

给定公式(26)中的转移概率矩阵k，可根据公式(24)计算实际失效率矩阵χ；然后基于可观测寿命数据利用公式(25)推断得到失效率矩阵χ_*，可观测寿命数据包括不同失效路径的单功能失效概率密度函数和单功能可靠度函数。实际失效率矩阵χ和计算得到的χ_*的数值变化分别如图2(a)和图2(b)所示。通过对比可以看到实际失效率矩阵元素与估计失效率矩阵元素基本吻合，表明采用本方法得到的失效率矩阵是有效的。

为了进一步说明本方法在工程领域的应用，现将本发明所提出的方法具体应用到一个实际的电力系统中进行电力系统可靠性评估。

实际电力系统模型中使用故障树分析对实际系统进行建模方法的演示，简化的故障树模型如图3所示。功能a表示变电站工作，功能b₁和功能b₂分别表示发电机/负荷和线路正常工作。功能b₁可细分为两个功能c₁和c₂，分别表示发电机到线路和线路到负荷的传递路径能够正常工作。值得注意的是，功能b₁的状态可以由c₁和c₂的状态决定，因此，功能a,b₂,c₁和c₂能够决定整个电力系统的状态。电力系统为四功能系统总共有五种状态，如表2所示：

表2电力系统状态表

因此，电力系统的失效率矩阵可表示为：

在实际工程领域中，多种功能同时失效的概率趋近于零，因此电力系统的失效路径减少为α＝{(125),(135),(145)}，其中(·)表示电力系统的失效路径，其中的数字表示状态的顺序变化。

采用本发明方法，可以得到失效率矩阵阵元为：

其中，被定义为电力系统沿失效路径α退化时功能i的失效概率密度函数，根据功能i的失效概率密度函数可由不同失效路径α下功能i的失效概率密度函数/>的集合表示，得到功能i的失效概率密度函数为/>μ^α是系统沿失效路径α退化的概率。

本系统中失效率矩阵与转移概率矩阵的对应关系为：

在本电力系统中，根据失效数据的历史记录可得失效路径的概率分别为μ⁽¹²⁵⁾＝0.5，μ⁽¹³⁵⁾＝0.2和μ⁽¹⁴⁵⁾＝0.3。假设观察到的寿命服从威布尔分布，即假设第一个功能的失效概率密度函数为剩余功能的失效概率密度函数为/>i∈(a，b₂，c₁，c₂)。结合公式(28)，电力系统的退化过程可利用公式(9)和(29)重构。

进一步，基于公式(9)确定的状态的概率如图4所示。特别是图4中标注为“状态1”的结果表示整个系统正常工作的概率，即系统的可靠性。例如，额定寿命t＝0.5(单位时间)，电力系统的可靠性为0.7788，由于功能c₁、c₂和b₂导致功能a失效的概率分别为0.0518、0.0207和0.0311。

最后应说明的是：以上所述的各实施例仅用于说明本发明的技术方案，而非对其限制；尽管参照前述实施例对本发明进行了详细的说明，本领域的普通技术人员应当理解：其依然可以对前述实施例所记载的技术方案进行修改，或者对其中部分或全部技术特征进行等同替换；而这些修改或替换，并不使相应技术方案的本质脱离本发明各实施例技术方案的范围。

Claims (5)

1.一种基于多功能系统退化过程的重构和可靠性评估的方法，其特征在于：其包括以下步骤：

步骤S1，确定多功能系统结构构成；

将需要进行可靠性评估的系统根据功能进行划分，形成由多个功能组成的系统，然后确定多功能系统中各个功能之间的相关性，规定当功能a的失效会导致功能b的失效，而功能b的失效对功能a没有影响时，将功能a和功能b的关系记为a>b；

步骤S2，利用失效率定义建立失效率矩阵与可靠度函数及其失效概率密度函数之间的关系；

根据可靠性原理和多功能系统的功能结构构建失效率矩阵，得到系统失效率矩阵χ与可靠度函数R及其失效概率密度函数p之间的关系，即失效概率密度函数p由系统失效率矩阵χ中的阵元表示；

步骤S3，基于马尔科夫近似利用状态转移概率表示失效概率密度函数；

确定多功能系统的失效路径的集合，多功能系统的失效概率密度函数p由不同失效路径α下的失效概率密度函数p^α的集合表示，对于一个特定的功能i的失效概率密度函数由不同失效路径α下功能i的失效概率密度函数的集合表示；失效路径α下的失效概率密度函数p^α利用系统在失效路径α下的状态概率q表示，根据动力学方程知道状态概率q能够通过状态转移概率k_js进行表示，因此得到失效概率密度函数p与状态转移概率k_js的对应关系；

系统在t时刻处于j状态的概率q(j,t)对应的动力学方程为：

其中，k_js为状态s到状态j的状态转移概率，由k_js组成的矩阵称为状态转移矩阵k，q(s,t)为系统在t时刻处于s状态的概率；状态概率q(s,t)通过状态转移概率进行表示；

步骤S4，根据系统状态与功能间的对应关系建立失效率和状态转移概率的对应关系；

根据动力学方程，得到系统状态q的变化公式与状态转移矩阵k相关；同时因为多功能系统中状态是通过功能能否实现进行定义的，因此状态与功能的组合有确定的对应关系，即能够确定单个功能可靠度函数R_i与系统状态q的关系；由此得到系统中单个功能的可靠度函数R_i与转移矩阵k的关系；因为步骤S2中已经得到了系统中单个功能的可靠度函数R_i与系统失效率矩阵χ的关系，因此能得到系统失效率矩阵χ与状态转移矩阵k的关系；

步骤S5，确定失效率矩阵；

建立失效率矩阵χ方程组，通过不同失效路径的单功能失效概率密度函数和单功能可靠度函数确定失效率矩阵的解，具体包括以下步骤：

根据步骤S2-S4可知，在步骤S4中给出了失效率矩阵χ与状态转移矩阵k之间的关系，在步骤S3中给出了状态转移概率k_js与状态失效概率密度函数p之间的关系，因此得到失效率矩阵χ与失效概率密度函数p之间的关系，即失效概率密度函数p由失效率矩阵χ表示，此处称为第一组失效率矩阵χ方程；在步骤S2中已经根据失效率定义直接建立失效率矩阵χ与失效概率密度函数p之间的对应关系，建立了第二组失效率矩阵χ方程；第一组和第二组失效率矩阵χ方程一起组成了失效率矩阵χ方程组；根据步骤S2可知多功能系统的失效概率密度函数p由各个功能的失效概率密度函数p_i联合分布确定，而根据步骤S3可知对于一个特定的功能i的失效概率密度函数p_i由不同失效路径α下功能i的失效概率密度函数的集合表示；将失效率矩阵χ方程组中的失效概率密度函数p替换为不同失效路径α下功能i的失效概率密度函数/>和第i个功能的可靠度函数R_i；因为失效路径α下功能i的失效概率密度函数和第i个功能的可靠度函数R_i是可获得的值，因此对失效率矩阵χ方程组进行求解，得到失效率矩阵χ的解，失效率矩阵χ的解和不同失效路径的单功能失效概率密度函数和单功能可靠度函数相关，单功能失效概率密度函数和单功能可靠度函数为已知值；

步骤S6，利用失效率矩阵与退化过程中相关参数之间的关系，重构退化系统和进行系统可靠性评估；

在步骤S2-S4中以失效率矩阵和状态转移概率为中心建立了系统退化过程中可靠度函数，失效概率密度函数，状态转移概率，系统联合失效概率分布相关描述系统退化过程的参数之间的对应关系，利用步骤S5中确定的失效率矩阵即可确定上述多个退化参数，实现对整个多功能系统的退化进行重构和可靠性评估。

2.根据权利要求1所述的基于多功能系统退化过程的重构和可靠性评估的方法，其特征在于：所述步骤S2具体实现步骤为：

多功能系统具有n个功能，那么第i个功能的可靠度函数表示为R_i(t)，i＝a,b，…,n；

多功能系统的失效概率密度函数p表示为：

其中，R为多功能系统的可靠度函数，χ为多功能系统的失效率矩阵，p为多功能系统的失效概率密度函数；此时R＝(R_a,R_b,…,R_n)^T表示一个n维矩阵，R_a,R_b,…,R_n分别表示第a,b，…,n个功能的可靠度函数；多功能系统的失效率矩阵χ表示为：

其中，χ_ii(i＝a,b,…,n)表示功能i本身的失效率，非对角元素χ_ij表示功能i和j之间的相互作用，i≠j；

根据公式(2)(3)可知，多功能系统中表示为：

根据公式(4)可知，系统中单个功能的可靠度函数R_i通过失效率矩阵阵元进行表示，根据p(t)＝-dR(t)/dt可知，各个功能的失效概率密度函数p_i通过失效率矩阵阵元进行表示，而多功能系统的失效概率密度函数p由各个功能的失效概率密度函数p_i联合分布确定。

3.根据权利要求1所述的基于多功能系统退化过程的重构和可靠性评估的方法，其特征在于：所述步骤S3具体实现步骤为：

根据马尔可夫近似，退化轨迹(i₀,t₀；i₁,t₁；i₂,t₂；…)的条件概率表示为：

q(i_m+1,t_m+1∣i_m,t_m；i_m-1,t_m-1；…；i₀,t₀)＝q(i_m+1,t_m+1∣i_m,t_m)， (8)

其中，i₀,i₁,i₂,…序列表示系统状态序列；t₀,t₁,t₂…序列表示时间序列；(i₀,t₀；i₁,t₁；i₂,t₂；…)表示系统退化轨迹；q(i_m+1，t_m+1|i_m,t_m)表示系统在t_m时刻处于i_m状态的条件下，t_m+1时刻处于i_m+1状态的概率，系统在t_m+1时刻处于i_m+1状态的概率q只与该系统在t_m时刻处于i_m状态相关；

失效路径α的失效概率密度函数p^α可利用系统在失效路径α下的状态概率q表示，使用状态转移概率k_js对失效路径α下的状态概率q进行描述，失效概率密度函数p又由不同失效路径α的失效概率密度函数p^α的集合表示，因此最终得到状态转移概率k_js与失效概率密度函数p的关系。

4.根据权利要求1所述的基于多功能系统退化过程的重构和可靠性评估的方法，其特征在于：

所述多功能系统为三功能系统，三功能系统包括功能a,b,c，功能(a,b,c)之间的关系为a>b>c，所述三功能系统具有四种不同的状态。

5.根据权利要求4所述的基于多功能系统退化过程的重构和可靠性评估的方法，其特征在于：

所述步骤S2中，失效率矩阵χ具体化为：

所述步骤S5中失效率矩阵χ的解为：

其中，表示沿α失效路径失效的功能i的失效概率密度函数,R_i表示功能i的可靠度函数，p_c表示单功能c的失效概率密度函数。