CN104978491A - 一种基于经验模态分解和支持向量机的钟差预测方法 - Google Patents

Abstract

一种基于经验模态分解和支持向量机的钟差预测方法，原子钟的钟差预测是计算原子时标的重要过程，为提高氢原子钟差的预测准确度，根据氢原子钟差序列随时间呈现不平稳变化的特征，本方法提出了一种基于经验模态分解和支持向量机的钟差预测算法。该算法首先对钟差序列进行经验模态分解，分离出钟差序列的各频率分量，然后利用支持向量机对这些分量分别预测结果，最后将分别预测结果进行叠加得以最终预测结果。本预测算法与一元线性预测算法和单一的支持向量机的预测算法进行了比较，研究结果表明，比一元线性预测算法和单一的支持向量机预测算法预测误差都小，相对预测误差从0.4327％降为0.2371％,预测误差离散型也小，具有实用价值。

Description

一种基于经验模态分解和支持向量机的钟差预测方法

技术领域

本发明涉及原子钟数据处理领域，主要是一种基于经验模态分解和支持向量机的组合预测方法。

背景技术

钟差预测是指运用一种或多种算法通过对原子钟的历史钟差数据进行分析学习后，算出下一刻或下一段时间内的钟差数据。原子钟钟差预测是原子钟权重分配、预测原子钟的运行状态和对原子钟进行预调节、系统驾驭的重要依据。因此，精准的原子钟钟差预测对提高原子时时标精度和原子钟系统驾驭精度有着重要作用。

目前，对钟差的预测算法主要是用在卫星钟(铷原子钟)上，，用于优化导航电文的钟差参数、满足实时动态精密单点定位的需求和提供卫星自主导航所需的先验信息。而针对地面氢原子钟钟差的预测算法较少，主要有一次线性回归算法，基于支持向量机(SVM)预测算法和人工神经网络法。其中一次线性回归预测算法主要是拟合出钟差的变化趋势，算法简单，容易实现，但预测精度比较低。人工神经网络法具有记忆不稳定，学习速度慢的缺点，使用不当时，预测结果与真实背离较远。SVM预测算法的预测精度较高，但是该方法在预测时很大程度上依赖于支持向量机核函数和参数的选择，而钟差序列是非线性非平稳序列，固定的核函数和参数难以满足所有频率分量，因此单一的预测算法难以满足要求。

发明内容

为进一步提高对原子钟钟差数据的预测精度，为提高原子时时标精度和原子钟驾驭精度提供依据，本文根据氢原子钟钟差特性、地面原子钟钟差数据与卫星钟钟差数据以及与日长数据的相似性，针对已有的预测方法的不足，提出了一种基于经验模态分解(EMD)和支持向量机(SVM)的钟差组合预测模型。

该算法首先对钟差序列进行经验模态分解，分离出钟差序列中的各频率分量部分即固有模态函数,则原始钟差序列被分解为其中x(t)为钟差序列，c_i(t)为固有模态函数，N为固有模态个数，r(t)为剩余分量。然后利用支持向量机对各分量进行预测，因为钟差是非线性了，先由内积函数定义的非线性变换将输入空间变换到高维空间，然后在这个高维空间中确定输入变量和输出变量之间的非线性关系。定义给定的训练集为{(x_1i(t₀),y_1i(t₀)),(x_1i(t₀+τ),y_1i(t₀+τ)),…(x_1i(t₀+m·τ),y_1i(t₀+m·τ))}，其中x_1i,y_1i∈R。支持向量机的拟合函数为：

y＝f(x)＝ω·φ(x)+b  (1)

其中ω表示权重，b表示偏差，φ(·)是非线性映射函数，它可以用核函数代替。

为了确定式(1)的平坦，必须找出最小的ω。这个问题可以表示为凸优化问题即：

约束条件为：

其中ε是损失函数，为了确定ω和b，需要引入两个松弛变量ξ_i，同时，式(2)转换为：

其中c是个正常数，c的值越大，数据的拟合程度越高。

最后，通过引入拉格朗日乘子，式(1)转换为：

那么，凸优化问题可以简化为二次型系数为α_i和的最大化二次型问题，即：

理论上，边界上的点可以确定唯一的预测误差从稳定度考虑，可以采用对边界上的所有值的平均来得到b。

最后对各预测分量进行叠加得到预测结果。并与一元线性预测算法和单一的支持向量机的预测算法进行了比较，并用相对预测误差E_MAPE和哈德玛方差σ_Hz ²(δ)来对数据进行分析

其中y_i表示预测值表示真实值；

其中，τ为时间间隔，z为数据点。对结果进行分析。研究结果表明，比一元线性预测算法和单一的支持向量机预测算法预测误差都小，相对预测误差从0.4327％降为0.2371％,预测误差离散型也小，具有实用价值。

本发明的特征如下：

(1)能够对钟差数据进行经验模态分解，提取出各个频率分量。

(2)能够根据每个分量的特征动态选择最佳的核函数和参数。

(3)对氢原子钟差预测中，首次将经验模态分解和支持向量机进行组合，同时经验模态分解为后续的去噪工作提供了基础。

与现有技术相比，本发明具有以下有益效果：

本发明提出了一种基于EMD和SVM的组合预测模型，该方法与现行的SVM预测算法和一次线性回归预测算法相比，其氢钟钟差预测误差更小，数据更加平稳，为提高氢原子钟的原子时标和驾驭精度提供了更高的依据。

附图说明

图1经验模态分解流程图；

图2经验模态分解和支持向量机组合预测流程图；

图3-1经验模态分解图；

图3-2对imf1预测结果图；图3-3对imf2预测结果图；

图3-4对imf3预测结果图；图3-5对imf4预测结果图；

图3-6三种方法预测结果对比图；图3-7三种方法预测结果误差图；

具体实施方式

如图1～3-7所示，一种基于经验模态分解和支持向量机的钟差预测方法，该方法实现步骤如下，

(1)找出原始钟差数据的x(t)的所有极大值，并用三次样条插值函数拟合形成原始数据的上包络线e_m(t)。

(2)找出原始钟差数据的x(t)的所有极小值，并用三次样条插值函数拟合形成原始数据的下包络线e_n(t)。

(3)计算上下包络的平均值m(t)＝(e_m(t)+e_n(t))/2。

(4)令h(t)＝x(t)-m(t),判断h(t)是否是IMF分量，如果是，则c₁(t)＝h(t)如果不是，则h(t)视为新的信号x(t)重复第一步。

(5)从原始数据分离出IMF分量c₁(t),x(t)-c₁(t)得到剩余分量r(t)，判断是否满足停止准则，若满足，则停止分解，若不满足，则将剩余分量当做原始信号重复进行第一步，这样原始信号就分解为了IMF分量和剩余分量。即

其中，IMF分量满足的条件是①在整个时间范围内，局部极值点和过零点的数据必须相等，或者最多差一个。②在任意时刻点，局部最大值的包络和局部最小值的包络平均值为0.

本文使用的停止准则为：剩余分量是固有模态函数时，或者剩余分量不是固有模态函数，但其标准偏差系数大于限定值(本文使用的限定值为0.1)。

(6)对每一个固有模态函数采用不同的核函数和参数进行试验，对每一组分解出的IMF分量得到训练模型。

(7)用每一组的训练模型对每一个IMF分量进行预测，根据其误差大小来选择合适的核函数和对应的最佳参数。在对本文的钟差数据经过EMD分解得到四个分量，每一个分量的核函数和对应的参数如下表所示。

表1SVM预测模型参数

数据序列	c	g	e	t
					IMF1	4	0.005	0.0005	RBF函数
IMF2	1	0.050	0.0010	RBF函数
					IMF3	4	0.003	0.0010	RBF函数
IMF4	4	0.003	0.0003	RBF函数

t表示核函数的类型，c,g,e为当前的核函数对应的参数。

(8)利用已经训练好的模型对每一个IMF分量进行预测。

(9)对每一个分量的预测结果叠加，得到最终的钟差预测结果。

Claims (2)

1.一种基于经验模态分解和支持向量机的钟差预测方法，其特征在于：该方法首先对钟差序列进行经验模态分解，分离出钟差序列中的各频率分量部分即固有模态函数,则原始钟差序列被分解为

$x\left(t\right)=\underset{i=1}{\overset{N}{\Σ}}{c}_i\left(t\right)+r\left(t\right)---\left(1\right)$

其中x(t)为钟差序列，c_i(t)为固有模态函数，N为固有模态个数，r(t)为剩余分量；然后利用支持向量机对各分量进行预测，因为钟差是非线性了，先由内积函数定义的非线性变换将输入空间变换到高维空间，然后在这个高维空间中确定输入变量和输出变量之间的非线性关系；定义给定的训练集为

{(x_1i(t₀),y_1i(t₀)),(x_1i(t₀+τ),y_1i(t₀+τ)),…(x_1i(t₀+m·τ),y_1i(t₀+m·τ))}，其中x_1i,y_1i∈R；支持向量机的拟合函数为：

y＝f(x)＝ω·φ(x)+b   (2)

其中ω表示权重，b表示偏差，φ(·)是非线性映射函数，它可以用核函数代替；

为了确定式(2)的平坦，必须找出最小的ω；这个问题可以表示为凸优化问题即：

$min\frac{1}{2}\left|\right|\mathrm{\ω}|{|}^2---\left(3\right)$

约束条件为：

$\left\{\begin{array}{c}{y}_{1i}(t_0+j\·\mathrm{\τ})-\mathrm{\ω}\·x_{1i}(t_0+j\·\mathrm{\τ})-b\≤\mathrm{\ϵ}\\ \mathrm{\ω}\·x_{1i}(t_0+j\·\mathrm{\τ})+b-y_{1i}(t_0+j\·\mathrm{\τ})\≤\mathrm{\ϵ}\end{array}\right.---\left(4\right)$

其中ε是损失函数，为了确定ω和b，需要引入两个松弛变量ξ_i，同时，式(3)转换为：

$min\frac{1}{2}\left|\right|\mathrm{\ω}|{|}^2+c\underset{j=1}{\overset{n}{\Σ}}({\mathrm{\ξ}}_j+{\mathrm{\ξ}}_j^{*})---\left(5\right)$

其中c是个正常数，c的值越大，数据的拟合程度越高。

最后，通过引入拉格朗日乘子，式(1)转换为：

$f(x,{\mathrm{\α}}_j,{\mathrm{\α}}_j^{*})=\underset{j=1}{\overset{m}{\Σ}}({\mathrm{\α}}_j-{\mathrm{\α}}_j^{*})K(x,x_{1i}(t_0+j\·\mathrm{\τ}\left)\right)+b---\left(6\right)$

那么，凸优化问题可以简化为二次型系数为α_i和的最大化二次型问题，即：

$\begin{array}{c}R({\mathrm{\α}}_j,{\mathrm{\α}}_j^{*})=-\mathrm{\ϵ}\underset{j=1}{\overset{m}{\Σ}}({\mathrm{\α}}_j+{\mathrm{\α}}_j^{*})+\underset{j=1}{\overset{m}{\Σ}}{y}_{1i}(t_0+j\·\mathrm{\τ})({\mathrm{\α}}_j^{*}-{\mathrm{\α}}_j)\\ -\frac{1}{2}\underset{j,k=1}{\overset{m}{\Σ}}({\mathrm{\α}}_j^{*}-{\mathrm{\α}}_j)({\mathrm{\α}}_k^{*}-{\mathrm{\α}}_k)K\left(x_{1i}\right(t_0+j\·\mathrm{\τ}),x_{1i}(t_0+k\·\mathrm{\τ}\left)\right)\end{array}---\left(7\right)$

理论上，边界上的点可以确定唯一的预测误差从稳定度考虑，可以采用对边界上的所有值的平均来得到b。

$b=average\{{\mathrm{\δ}}_k+y_{1i}(t_0+k\·\mathrm{\τ})-\underset{j}{\Σ}({\mathrm{\α}}_j-{\mathrm{\α}}_j^{*})K\left(x_{1i}\right(t_0+j\·\mathrm{\τ}),x_{1i}(t_0+k\·\mathrm{\τ}\left)\right)\}---\left(8\right)$

最后对各预测分量进行叠加得到预测结果。并与一元线性预测算法和单一的支持向量机的预测算法进行了比较，并用相对预测误差E_MAPE和哈德玛方差σ_Hz ²(δ)来对数据进行分析

$E_{MAPE}=\frac{1}{N}\underset{i=1}{\overset{N}{\Σ}}\left|\frac{y_i-{\hat{y}}_i}{{\hat{y}}_i}\right|,---\left(9\right)$

其中y_i表示预测值表示真实值；

$\begin{array}{c}{{\mathrm{\σ}}_{Hz}}^2\left(\mathrm{\δ}\right)=\frac{{\mathrm{\τ}}^2}{6}E{(z_{i+1}-z_i)}^2\\ =\frac{{\mathrm{\τ}}^2}{6(N-3)}\underset{i=1}{\overset{N-3}{\Σ}}{(z_{i+1}-z_i)}^2\end{array}---\left(10\right)$

其中，τ为时间间隔，z为数据点。

2.根据权利要求1所述的一种基于经验模态分解和支持向量机的钟差预测方法，其特征在于：

(1)能够对钟差数据进行经验模态分解，提取出各个频率分量；

(2)能够根据每个分量的特征动态选择最佳的核函数和参数；

(3)对氢原子钟差预测中，首次将经验模态分解和支持向量机进行组合，同时经验模态分解为后续的去噪工作提供了基础；

(1)找出原始钟差数据的x(t)的所有极大值，并用三次样条插值函数拟合形成原始数据的上包络线e_m(t)；

(2)找出原始钟差数据的x(t)的所有极小值，并用三次样条插值函数拟合形成原始数据的下包络线e_n(t)；

(3)计算上下包络的平均值m(t)＝(e_m(t)+e_n(t))/2；

(4)令h(t)＝x(t)-m(t),判断h(t)是否是IMF分量，如果是，则c₁(t)＝h(t)如果不是，则h(t)视为新的信号x(t)重复第一步；

(5)从原始数据分离出IMF分量c₁(t),x(t)-c₁(t)得到剩余分量r(t)，判断是否满足停止准则，若满足，则停止分解，若不满足，则将剩余分量当做原始信号重复进行第一步，这样原始信号就分解为了IMF分量和剩余分量；即

$x\left(t\right)=\underset{i=1}{\overset{N}{\Σ}}{c}_i\left(t\right)+r\left(t\right)---\left(11\right)$

其中，IMF分量满足的条件是①在整个时间范围内，局部极值点和过零点的数据必须相等，或者最多差一个；②在任意时刻点，局部最大值的包络和局部最小值的包络平均值为0；

本方法使用的停止准则为：剩余分量是固有模态函数时，或者剩余分量不是固有模态函数，但其标准偏差系数大于限定值，本文使用的限定值为0.1；

(6)对每一个固有模态函数采用不同的核函数和参数进行试验，对每一组分解出的IMF分量得到训练模型；

(7)用每一组的训练模型对每一个IMF分量进行预测，根据其误差大小来选择合适的核函数和对应的最佳参数；在对本文的钟差数据经过EMD分解得到四个分量，每一个分量的核函数和对应的参数如下表所示；

表1 SVM预测模型参数

数据序列 c g e t IMF1 4 0.005 0.0005 RBF函数 IMF2 1 0.050 0.0010 RBF函数 IMF3 4 0.003 0.0010 RBF函数 IMF4 4 0.003 0.0003 RBF函数

t表示核函数的类型，c,g,e为当前的核函数对应的参数；

(8)利用已经训练好的模型对每一个IMF分量进行预测；

(9)对每一个分量的预测结果叠加，得到最终的钟差预测结果。