CN104217258A - 一种电力负荷条件密度预测方法 - Google Patents

Abstract

一种电力负荷条件密度预测方法。其包括模型建立、模型求解、模型选择和条件密度预测等步骤。本发明效果：建立了电力负荷神经网络分位数回归模型，结合了神经网络模型与分位数回归模型两个方面的优势，能够准确刻画电力负荷的变动规律，表现出强大的功能。出了电力负荷神经网络分位数回归模型的标准梯度优化算法，在不影响模型估计精度的前提下，提升模型的计算速度。建立了电力负荷的神经网络分位数回归模型选择的AIC准则，有效地避免了模型过于复杂、陷入过度拟合的窘境。基于神经网络分位数回归，建立了电力负荷条件密度预测方法，不仅显著提升了模型预测精度，而且得到电力负荷整个概率密度预测结果，能够提供更多有用信息，便于科学决策。

Description

一种电力负荷条件密度预测方法

技术领域

本发明属于预测理论与方法在电力系统中应用技术领域，特别是涉及一种电力负荷条件密度预测方法。

背景技术

电力负荷预测是电力系统规划的一个重要组成部分，其能否准确进行预测关系到电力系统规划和经济运行的成败。电力负荷预测是依据电力负荷的过去变动规律，对未来的时间分布与空间分布特征进行推测，具有不确定性、条件性等特征。

电力负荷预测有其自身的复杂性，可以划分为确定性负荷预测方法和不确定性负荷预测方法两种。确定性负荷预测方法主要通过一个或一组方程来描述电力负荷变动规律，达到实现预测目的，电力负荷与变量之间有明确的一一对应关系，主要有：趋势分析法、技术预测法等。不确定性预测方法主要通过随机不确定性或模糊不确定性来描述电力负荷变动规律，达到预测目的，电力负荷与变量之间没有明确的一一对应关系，主要有：时间序列方法、模糊数学方法、灰色系统方法等。随着理论与实践发展，电力负荷预测技术发展迅速，一些先进的方法(如：人工神经网络、支持向量机、进化算法等)不断被引入，收到了良好的应用效果。

然而，以上这些方法都只能实现对电力负荷的点预测，即对电力负荷的平均取值水平进行预测，因此存在一定的局限。如果可以实现对电力负荷进行概率密度预测，则不仅能够得到电力负荷平均取值水平的预测结果，同时可以获得电力负荷在每一取值水平上的可能性，给出电力负荷完整分布特征的预测结果。从而，电力负荷条件密度预测能够提供更为丰富的有用信息，有利于实现合理的电力系统调度等科学决策。但目前尚未发现这样的方法。

发明内容

为了解决上述问题，本发明的目的在于提供一种电力负荷条件密度预测方法。

为了达到上述目的，本发明提供的电力负荷条件密度预测方法包括按顺序执行的下列步骤：

步骤1)模型建立：基于神经网络结构与分位数回归模型，建立电力负荷神经网络分位数回归模型；

步骤2)模型求解：使用Huber范数对上述电力负荷神经网络分位数回归模型中的非对称“对勾”函数进行修正，然后使用标准的梯度优化算法实现上述模型的求解；

步骤3)模型选择：在上述电力负荷神经网络分位数回归模型的经验损失函数中增加一个包含惩罚参数为λ和隐层节点数J的惩罚项，同时建立电力负荷神经网络分位数回归模型选择的赤驰信息准则，用于选择恰当的隐层节点数J和惩罚参数λ；

步骤4)条件密度预测：在建立的电力负荷神经网络分位数回归模型基础上，将影响因素或解释变量的取值代入，由此实现电力负荷在各个分位点的条件分位数预测，并将在不同分位点处的条件分位数预测结果使用核密度方法进行密度估计，由此实现电力负荷条件密度预测。

在步骤1)中，所述的建立电力负荷神经网络分位数回归模型的步骤如下：

考虑三层感知器神经网络，以影响因素或解释变量作为输入，以响应变量的分位数预测作为输出，包含一个有J个节点的隐层，在第τ分位点处，第一步，计算隐层第j个节点值：

$g_j\left(\mathrm{\τ}\right)=f^{\left(h\right)}(\underset{i=1}{\overset{p}{\mathrm{\Σ}}}{w}_{\mathrm{ij}}^{\left(h\right)}\left(\mathrm{\τ}\right)X_i+b_j^{\left(h\right)}\left(\mathrm{\τ}\right)),j=\mathrm{1,2},...,J---\left(1\right)$

式中，为第τ分位点处隐层权重向量；为第τ分位点处隐层偏移向量；f^(h)为隐层转换函数；第二步，计算输出层节点值：

${\hat{Q}}_{\mathrm{\τ}}\left(Y\right)=f^{\left(o\right)}(\underset{j=1}{\overset{J}{\mathrm{\Σ}}}{w}_j^{\left(o\right)}\left(\mathrm{\τ}\right)g_j\left(\mathrm{\τ}\right)+b^{\left(o\right)}\left(\mathrm{\τ}\right))---\left(2\right)$

式中，为第τ分位点处输出层权重向量；b^(o)(τ)为第τ分位点处输出层偏移；f^(o)为输出层转换函数，这样由式(1)和式(2)就组成了电力负荷神经网络分位数回归模型。

在步骤2)中，所述的模型求解方法是：

所述的Huber范数表示如下：

使用上述Huber范数对电力负荷神经网络分位数回归模型中的非对称“对勾”函数进行修正，得到修正后的非对称“对勾”函数：

然后基于修正后的非对称“对勾”函数对上述电力负荷神经网络分位数回归模型中期望的非对称损失函数式进行修正，得到：

${\mathrm{ALoss}}_{\mathrm{\τ}}^{\left(a\right)}\left(q\right)\≡E\left[{\mathrm{\ρ}}_{\mathrm{\τ}}^{\left(a\right)}(Y-q)\right]---\left(5\right)$

其样本对应为经验损失函数：

${\mathrm{ELoss}}_{\mathrm{\τ}}^{\left(a\right)}\left(q\right)=\frac{1}{T}\underset{t=1}{\overset{T}{\mathrm{\Σ}}}{\mathrm{\ρ}}_{\mathrm{\τ}}^{\left(a\right)}(Y_t-q)---\left(6\right)$

式中，Y_t为响应变量Y的时间序列取值，t＝1,2,…,T；最后取使用标准的梯度优化算法进行上述电力负荷神经网络分位数回归模型求解。

所述的使用标准的梯度优化算法进行上述电力负荷神经网络分位数回归模型求解的过程如下：①取权重向量w(τ)≡[w^(h)(τ)′,w^(o)(τ)′]′的初始值w⁽⁰⁾(τ)；②计算函数在点w^(j)(τ)处下降梯度方向作为搜索方向P^(j)(τ)；③寻找可变步长：以w^(j)(τ)为起点沿搜索方向P^(j)(τ)寻找适当步长t^(j)(τ)，使目标函数值具有某种意义的下降；④进行迭代计算，计算下一个解的位置：w^(j+1)(τ)＝w^(j)(τ)+t^(j)(τ)P^(j)(τ)；⑤令j+1＝j，重复上述步骤②～④，直至||w^(j+1)(τ)-w^(j)(τ)||≤ε。

在步骤3)中，所述的模型选择的方法是：

在上述经验损失函数中增加一个包含惩罚参数λ和隐层节点数J的惩罚项，得到：

${\mathrm{ELoss}}_{\mathrm{\τ}}^{\left(a\right)}\left(q\right)=\frac{1}{T}\underset{t=1}{\overset{T}{\mathrm{\Σ}}}{\mathrm{\ρ}}_{\mathrm{\τ}}^{\left(a\right)}(Y_t-q)+\mathrm{\λ}\frac{1}{\mathrm{pJ}}{\left|\right|w^{\left(h\right)}\left(\mathrm{\τ}\right)\left|\right|}_2^2---\left(7\right)$

式中，λ为惩罚参数，||V||₂为向量V的2-范数，J为隐层节点数；同时建立电力负荷神经网络分位数回归模型选择的AIC准则如下：

$\mathrm{AIC}(\mathrm{\λ},J)=\ln {\mathrm{ELoss}}_{\mathrm{\τ}}^{\left(a\right)}+\frac{1}{T}[(p+2)J+1]---\left(8\right)$

式中，[(p+2)J+1]为模型中待估计参数个数；之后通过网格搜索算法找到使得AIC准则AIC(λ,J)达到最小的惩罚参数λ与隐层节点数J的组合，由此选择出模型的结构。

在步骤4)中，所述的使用核密度方法进行密度估计的方法是：在得到条件分位数预测结果之后，基于关系式：P(Q_τ)＝dτ/dQ_τ得到条件密度预测结果：

$P\left(Q_{\mathrm{\τ}}\left(Y\right|X;\mathrm{\θ}\left(\mathrm{\τ}\right))\right)=\frac{2h}{Q_{\mathrm{\τ}+h}\left(Y\right|X;\mathrm{\θ}\left(\mathrm{\τ}\right))-Q_{\mathrm{\τ}-h}\left(Y\right|X;\mathrm{\θ}\left(\mathrm{\τ}\right))}---\left(9\right)$

式中，h为最优窗宽；P(Q_τ(Y|X；θ(τ)))为电力负荷Y在给定影响因素X时的条件密度函数。

本发明建立了电力负荷预测的神经网络分位数回归模型，结合了神经网络模型与分位数回归模型两个方面的优势，能够准确刻画电力负荷的变动规律，表现出强大的功能；建立了电力负荷预测的条件密度预测方法，通过核函数与窗宽选择，能够灵活地实现电力负荷条件密度预测曲线的平滑，具有较好的扩展性。神经网络分位数回归属于非参数方法，无需设定具体的非线性函数形式，而是通过神经网络结构模拟电力系统中的非线性关系，来准确把握电力负荷变动规律。基于神经网络分位数回归的电力负荷预测属于条件密度预测，能够得到电力负荷整个条件概率分布特征，从而提供比点预测更多有用信息，便于科学决策。

本发明的效果：

1.建立了电力负荷的神经网络分位数回归模型，结合了神经网络模型与分位数回归模型两个方面的优势，能够准确刻画电力负荷的变动规律，表现出强大的功能。

2.给出了电力负荷的神经网络分位数回归模型的标准梯度优化算法，在不影响模型估计精度的前提下，提升模型的计算速度。

3.建立了电力负荷的神经网络分位数回归模型选择的AIC准则，有效地避免了模型过于复杂、陷入过度拟合的窘境。

4.基于神经网络分位数回归，建立了电力负荷条件密度预测方法，不仅显著提升了模型预测精度，而且得到电力负荷整个概率密度预测结果，能够提供更多有用信息，便于科学决策。

附图说明

图1为本发明提供的电力负荷条件密度预测方法中电力负荷神经网络分位数回归模型结构。

图2为电力负荷神经网络分位数回归模型损失函数对比图。

图3为电力负荷条件密度预测结果图。

具体实施方式

下面结合附图和具体实施例对本发明提供的电力负荷条件密度预测方法进行详细说明。

本发明提供的电力负荷条件密度预测方法包括按顺序执行的下列步骤：

步骤1)模型建立：基于神经网络结构与分位数回归模型，建立电力负荷神经网络分位数回归模型；

步骤2)模型求解：在上述电力负荷神经网络分位数回归模型中，由于非对称“对勾”函数(check function)作为损失函数时会导致其在0点处不可微，从而给模型求解带来困难；本发明使用Huber范数对电力负荷神经网络分位数回归模型中的非对称“对勾”函数进行修正，解决了损失函数在0点处不可微的问题，然后使用标准的梯度优化算法实现上述模型的求解，极大地简化了神经网络分位数回归模型求解过程；

步骤3)模型选择：电力负荷神经网络分位数回归模型的复杂度由隐层节点数J来决定。为了避免模型过于复杂、陷入过度拟合的窘境，本发明在上述电力负荷神经网络分位数回归模型的经验损失函数中增加一个包含惩罚参数为λ和隐层节点数J的惩罚项，以限制连接权重的光滑度，同时建立电力负荷神经网络分位数回归模型选择的赤驰信息准则(Akaike information criterion，AIC)，用于选择恰当的隐层节点数J和惩罚参数λ；

步骤4)条件密度预测：在建立的电力负荷神经网络分位数回归模型基础上，将影响因素或解释变量的取值代入，由此实现电力负荷在各个分位点(如：0.01,0.02,…,0.98,0.99)的条件分位数预测，并将在不同分位点处的条件分位数预测结果使用核密度方法进行密度估计，由此实现电力负荷条件密度预测。

在步骤1)中，所述的建立电力负荷神经网络分位数回归模型的步骤如下：

考虑三层感知器神经网络，以影响因素或解释变量作为输入，以响应变量的分位数预测作为输出，包含一个有J个节点的隐层，如图1所示；在第τ分位点处，第一步，计算隐层第j个节点值：

$g_j\left(\mathrm{\τ}\right)=f^{\left(h\right)}(\underset{i=1}{\overset{p}{\mathrm{\Σ}}}{w}_{\mathrm{ij}}^{\left(h\right)}\left(\mathrm{\τ}\right)X_i+b_j^{\left(h\right)}\left(\mathrm{\τ}\right)),j=\mathrm{1,2},...,J---\left(1\right)$

式中，为第τ分位点处隐层权重向量；为第τ分位点处隐层偏移向量；f^(h)为隐层转换函数；第二步，计算输出层节点值：

${\hat{Q}}_{\mathrm{\τ}}\left(Y\right)=f^{\left(o\right)}(\underset{j=1}{\overset{J}{\mathrm{\Σ}}}{w}_j^{\left(o\right)}\left(\mathrm{\τ}\right)g_j\left(\mathrm{\τ}\right)+b^{\left(o\right)}\left(\mathrm{\τ}\right))---\left(2\right)$

式中，为第τ分位点处输出层权重向量；b^(o)(τ)为第τ分位点处输出层偏移；f^(o)为输出层转换函数，这样由式(1)和式(2)就组成了电力负荷神经网络分位数回归模型。

在步骤2)中，所述的模型求解方法是：

所述的Huber范数表示如下：

使用上述Huber范数对电力负荷神经网络分位数回归模型中的非对称“对勾”函数进行修正，结果见图2，得到修正后的非对称“对勾”函数：

然后基于修正后的非对称“对勾”函数对上述电力负荷神经网络分位数回归模型中期望的非对称损失函数式进行修正，得到：

${\mathrm{ALoss}}_{\mathrm{\τ}}^{\left(a\right)}\left(q\right)\≡E\left[{\mathrm{\ρ}}_{\mathrm{\τ}}^{\left(a\right)}(Y-q)\right]---\left(5\right)$

其样本对应为经验损失函数：

${\mathrm{ELoss}}_{\mathrm{\τ}}^{\left(a\right)}\left(q\right)=\frac{1}{T}\underset{t=1}{\overset{T}{\mathrm{\Σ}}}{\mathrm{\ρ}}_{\mathrm{\τ}}^{\left(a\right)}(Y_t-q)---\left(6\right)$

式中，Y_t为响应变量Y的时间序列取值，t＝1,2,…,T；最后取使用标准的梯度优化算法进行上述电力负荷神经网络分位数回归模型求解，求解过程如下：①取权重向量w(τ)≡[w^(h)(τ)′,w^(o)(τ)′]′的初始值w⁽⁰⁾(τ)；②计算函数在点w^(j)(τ)处下降梯度方向作为搜索方向P^(j)(τ)；③寻找可变步长：以w^(j)(τ)为起点沿搜索方向P^(j)(τ)寻找适当步长t^(j)(τ)，使目标函数值具有某种意义的下降；④进行迭代计算，计算下一个解的位置：w^(j+1)(τ)＝w^(j)(τ)+t^(j)(τ)P^(j)(τ)；⑤令j+1＝j，重复上述步骤②～④，直至||w^(j+1)(τ)-w^(j)(τ)||≤ε。

在步骤3)中，所述的模型选择的方法是：

在上述经验损失函数中增加一个包含惩罚参数λ和隐层节点数J的惩罚项，得到：

${\mathrm{ELoss}}_{\mathrm{\τ}}^{\left(a\right)}\left(q\right)=\frac{1}{T}\underset{t=1}{\overset{T}{\mathrm{\Σ}}}{\mathrm{\ρ}}_{\mathrm{\τ}}^{\left(a\right)}(Y_t-q)+\mathrm{\λ}\frac{1}{\mathrm{pJ}}{\left|\right|w^{\left(h\right)}\left(\mathrm{\τ}\right)\left|\right|}_2^2---\left(7\right)$

式中，λ为惩罚参数，取值越大，惩罚力度越强；||V||₂为向量V的2-范数，J为隐层节点数；同时建立电力负荷神经网络分位数回归模型选择的AIC准则如下：

$\mathrm{AIC}(\mathrm{\λ},J)=\ln {\mathrm{ELoss}}_{\mathrm{\τ}}^{\left(a\right)}+\frac{1}{T}[(p+2)J+1]---\left(8\right)$

式中，[(p+2)J+1]为模型中待估计参数个数；之后通过网格搜索算法找到使得AIC准则AIC(λ,J)达到最小的惩罚参数λ与隐层节点数J的组合，由此选择出模型的结构。

在步骤4)中，所述的使用核密度方法进行密度估计的方法是：在得到条件分位数预测结果之后，基于关系式：P(Q_τ)＝dτ/dQ_τ得到条件密度预测结果：

$P\left(Q_{\mathrm{\τ}}\left(Y\right|X;\mathrm{\θ}\left(\mathrm{\τ}\right))\right)=\frac{2h}{Q_{\mathrm{\τ}+h}\left(Y\right|X;\mathrm{\θ}\left(\mathrm{\τ}\right))-Q_{\mathrm{\τ}-h}\left(Y\right|X;\mathrm{\θ}\left(\mathrm{\τ}\right))}---\left(9\right)$

式中，h为最优窗宽；P(Q_τ(Y|X；θ(τ)))为电力负荷Y在给定影响因素X时的条件密度函数。

图3给出了我国某市某年12月9日在6个时段的电力负荷条件密度预测结果，不仅得到了未来负荷的完整概率分布预测，且真实值也出现在密度函数之中，显示出较好的精度。

本发明提供的电力负荷条件密度预测方法，其目的在于通过建立电力负荷神经网络分位数回归模型，实现电力负荷的条件密度预测，提供比点预测更多有用信息。

本发明建立了电力负荷神经网络分位数回归模型，一方面通过神经网络结构模拟电力系统中的非线性；另一方面，通过分位数回归刻画电力负荷整个条件分布的变动规律；本发明方法通过核函数与窗宽选择，能够灵活地实现电力负荷条件密度预测曲线的平滑，具有较好的扩展性。

Claims (6)

1.一种电力负荷条件密度预测方法，其特征在于：其包括按顺序执行的下列步骤：

步骤1)模型建立：基于神经网络结构与分位数回归模型，建立电力负荷神经网络分位数回归模型；

步骤2)模型求解：使用Huber范数对上述电力负荷神经网络分位数回归模型中的非对称“对勾”函数进行修正，然后使用标准的梯度优化算法实现上述模型的求解；

步骤3)模型选择：在上述电力负荷神经网络分位数回归模型的经验损失函数中增加一个包含惩罚参数为λ和隐层节点数J的惩罚项，同时建立电力负荷神经网络分位数回归模型选择的赤驰信息准则，用于选择恰当的隐层节点数J和惩罚参数λ；

步骤4)条件密度预测：在建立的电力负荷神经网络分位数回归模型基础上，将影响因素或解释变量的取值代入，由此实现电力负荷在各个分位点的条件分位数预测，并将在不同分位点处的条件分位数预测结果使用核密度方法进行密度估计，由此实现电力负荷条件密度预测。

2.根据权利要求1所述的电力负荷条件密度预测方法，其特征在于：在步骤1)中，所述的建立电力负荷神经网络分位数回归模型的步骤如下：

考虑三层感知器神经网络，以影响因素或解释变量作为输入，以响应变量的分位数预测作为输出，包含一个有J个节点的隐层，在第τ分位点处，第一步，计算隐层第j个节点值：

$g_j\left(\mathrm{\τ}\right)=f^{\left(h\right)}(\underset{i=1}{\overset{p}{\mathrm{\Σ}}}{w}_{\mathrm{ij}}^{\left(h\right)}\left(\mathrm{\τ}\right)X_i+b_j^{\left(h\right)}\left(\mathrm{\τ}\right)),j=\mathrm{1,2},...,J---\left(1\right)$

式中，为第τ分位点处隐层权重向量；为第τ分位点处隐层偏移向量；f^(h)为隐层转换函数；第二步，计算输出层节点值：

${\hat{Q}}_{\mathrm{\τ}}\left(Y\right)=f^{\left(o\right)}(\underset{j=1}{\overset{J}{\mathrm{\Σ}}}{w}_j^{\left(o\right)}\left(\mathrm{\τ}\right)g_j\left(\mathrm{\τ}\right)+b^{\left(o\right)}\left(\mathrm{\τ}\right))---\left(2\right)$

式中，为第τ分位点处输出层权重向量；b^(o)(τ)为第τ分位点处输出层偏移；f^(o)为输出层转换函数，这样由式(1)和式(2)就组成了电力负荷神经网络分位数回归模型。

3.根据权利要求1所述的电力负荷条件密度预测方法，其特征在于：在步骤2)中，所述的模型求解方法是：

所述的Huber范数表示如下：

使用上述Huber范数对电力负荷神经网络分位数回归模型中的非对称“对勾”函数进行修正，得到修正后的非对称“对勾”函数：

然后基于修正后的非对称“对勾”函数对上述电力负荷神经网络分位数回归模型中期望的非对称损失函数式进行修正，得到：

${\mathrm{ALoss}}_{\mathrm{\τ}}^{\left(a\right)}\left(q\right)\≡E\left[{\mathrm{\ρ}}_{\mathrm{\τ}}^{\left(a\right)}(Y-q)\right]---\left(5\right)$

其样本对应为经验损失函数：

${\mathrm{ELoss}}_{\mathrm{\τ}}^{\left(a\right)}\left(q\right)=\frac{1}{T}\underset{t=1}{\overset{T}{\mathrm{\Σ}}}{\mathrm{\ρ}}_{\mathrm{\τ}}^{\left(a\right)}(Y_t-q)---\left(6\right)$

式中，Y_t为响应变量Y的时间序列取值，t＝1,2,…,T；最后取使用标准的梯度优化算法进行上述电力负荷神经网络分位数回归模型求解。

4.根据权利要求3所述的电力负荷条件密度预测方法，其特征在于：所述的使用标准的梯度优化算法进行上述电力负荷神经网络分位数回归模型求解的过程如下：①取权重向量w(τ)≡[w^(h)(τ)′,w^(o)(τ)′]′的初始值w⁽⁰⁾(τ)；②计算函数在点w^(j)(τ)处下降梯度方向作为搜索方向P^(j)(τ)；③寻找可变步长：以w^(j)(τ)为起点沿搜索方向P^(j)(τ)寻找适当步长t^(j)(τ)，使目标函数值具有某种意义的下降；④进行迭代计算，计算下一个解的位置：w^(j+1)(τ)＝w^(j)(τ)+t^(j)(τ)P^(j)(τ)；⑤令j+1＝j，重复上述步骤②～④，直至||w^(j+1)(τ)-w^(j)(τ)||≤ε。

5.根据权利要求1所述的电力负荷条件密度预测方法，其特征在于：在步骤3)中，所述的模型选择的方法是：

在上述经验损失函数中增加一个包含惩罚参数λ和隐层节点数J的惩罚项，得到：

${\mathrm{ELoss}}_{\mathrm{\τ}}^{\left(a\right)}\left(q\right)=\frac{1}{T}\underset{t=1}{\overset{T}{\mathrm{\Σ}}}{\mathrm{\ρ}}_{\mathrm{\τ}}^{\left(a\right)}(Y_t-q)+\mathrm{\λ}\frac{1}{\mathrm{pJ}}{\left|\right|w^{\left(h\right)}\left(\mathrm{\τ}\right)\left|\right|}_2^2---\left(7\right)$

式中，λ为惩罚参数，||V||₂为向量V的2-范数，J为隐层节点数；同时建立电力负荷神经网络分位数回归模型选择的AIC准则如下：

$\mathrm{AIC}(\mathrm{\λ},J)=\ln {\mathrm{ELoss}}_{\mathrm{\τ}}^{\left(a\right)}+\frac{1}{T}[(p+2)J+1]---\left(8\right)$

式中，[(p+2)J+1]为模型中待估计参数个数；之后通过网格搜索算法找到使得AIC准则AIC(λ,J)达到最小的惩罚参数λ与隐层节点数J的组合，由此选择出模型的结构。

6.根据权利要求1所述的电力负荷条件密度预测方法，其特征在于：在步骤4)中，所述的使用核密度方法进行密度估计的方法是：在得到条件分位数预测结果之后，基于关系式：P(Q_τ)＝dτ/dQ_τ得到条件密度预测结果：

$P\left(Q_{\mathrm{\τ}}\left(Y\right|X;\mathrm{\θ}\left(\mathrm{\τ}\right))\right)=\frac{2h}{Q_{\mathrm{\τ}+h}\left(Y\right|X;\mathrm{\θ}\left(\mathrm{\τ}\right))-Q_{\mathrm{\τ}-h}\left(Y\right|X;\mathrm{\θ}\left(\mathrm{\τ}\right))}---\left(9\right)$

式中，h为最优窗宽；P(Q_τ(Y|X；θ(τ)))为电力负荷Y在给定影响因素X时的条件密度函数。