CN104778151B - 基于矩量法和抛物线方程的含腔目标电磁散射分析方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种基于矩量法和抛物线方程的含腔目标电磁散射分析方法。首先将含腔目标的腔体填充为实心的金属，并建立离散模型，确定抛物线的轴向方向为x轴，采用网格对目标沿抛物线的轴向方向进行离散；在x轴方向使用CN差分格式获取相邻两个切面间的关系，在y轴、z轴方向分别采用RPIM构造形函数及空间导数，构造出矩阵方程；依次对各个切面上的节点电场值进行递推求解；将目标中腔体部分单独用快速多级子进行求解，运用电场积分方程求解出腔体表面的电流，并求出腔体开口面上抛物线方程所需各个离散点的电场场值；对最后一个切面上的电场进行后处理求解雷达散射截面积。本发明将无网格抛物线与快速多极子加速的矩量法相结合，具有高效、可靠的优点。

Description

基于矩量法和抛物线方程的含腔目标电磁散射分析方法

技术领域

本发明属于目标电磁散射特性数值计算技术领域，特别是一种基于矩量法和抛物线方程的含腔目标电磁散射分析方法。

背景技术

近十几年来，电大尺寸复杂腔体的电磁散射特性分析引起了人们广泛的研究兴趣。在飞行器等复杂目标电磁散射特性研究中，对于常用雷达频段，以进气道、座舱为典型代表的电大尺寸复杂腔体是整机目标的主要散射源之一，因此这类腔体的电磁散射特性分析是飞行器的隐身、反隐身及目标特征分析技术的重要基础。在电磁兼容研究领域，电子设备机箱、舰艇舱室等都可以看作为复杂的腔体结构，其电磁环境和电磁干扰的准确的仿真分析，对于解决机箱内各电路元器件之间和舱室内各设备之间的电磁干扰问题，提高电磁兼容性能具有重要意义。另外，复杂结构腔体的电磁特性分析对某些微波器件与电路的设计也具有参考价值。这类复杂腔体的电尺寸往往很大，难以应用单纯的低频方法或高频方法对其电磁特性进行分析。而抛物线方程方法在处理电大复杂金属目标有很大的优势。

抛物线方程方法初期主要用来处理比较复杂的声波的传播问题和光学等方面的问题。该方法首先是由Lenontovich在1946年提出。随后，Malyuzhiners将PE方法和几何光学法结合，提出了一种关于障碍物绕射的理论；Hardin提出了分裂步傅立叶方法，用来解决水下声波的传播问题；Claerbout引入了有限差分，将PE方法应用于地球物理学，它对长距离声波在海洋中的传播和地震波传播的计算和研究提供了一种有效、准确的方法。近年来，国内外学者开始将抛物线方程方法应用于处理电磁散射问题.该算法把波动方程简化为抛物线方程，将散射目标等效为一系列的面元或线元，然后通过散射体上的边界条件和场的空间递推方式求解抛物线方程，把三维问题转化为一系列的二维问题来计算，通过近场——远场转换得到远区散射场，进而计算目标的双站RCS。

由上可知，传统无网格抛物线解决电大含腔物体的散射时存在着困难，而PE方法可以快速计算电大尺寸金属问题的散射问题，因而无网格抛物线结合快速多极子分析含腔物体很好的解决了含腔目标的电磁散射问题。

发明内容

本发明的目的在于提供一种高效、可靠的基于矩量法和抛物线方程的含腔目标电磁散射分析方法，该方法不依赖于金属目标的规则化网格剖分，腔体部分运用快速多级子进行求解，能够快速得到电磁散射特性参数。

实现本发明目的的技术解决方案为：一种基于矩量法和抛物线方程的含腔目标电磁散射分析方法，步骤如下：

步骤1、将含腔目标的腔体部分填充为实心的金属，建立填充后目标的离散模型，确定抛物线的轴向方向作为x轴，采用网格对物体沿抛物线的轴向方向进行离散处理，形成垂直于x轴的若干个切面，通过求解剖分的三角形网格与切面交点确定每个切面所切目标的边界点，再通过四面体网格判断所有节点的位置；

步骤2、构造矩阵方程，在x轴方向使用CN差分格式获取相邻两个切面间的关系，在y轴、z轴方向分别采用RPIM构造形函数及空间导数，并且引入散射体表面总场切向分量为0以及散射场散度为0的边界条件，构造出矩阵方程；

步骤3、令x轴方向为待求的散射方向，依次对各个切面上的节点电场值进行递推求解，通过不断更新边界点的信息以及方程的右边向量来求解下一个切面上各个离散节点处的电场值；

步骤4、对最后一个切面的电场值进行修正，求解最后一个切面的矩阵方程，得到离散节点处的电场值，将其电场进行相位的修正；

步骤5、将目标中腔体部分单独用快速多级子进行求解，将腔体表面离散得到的子散射体分组，根据任意两个子散射体所在组的位置关系采用不同的方法计算阻抗矩阵元素，运用电场积分方程求解出腔体表面的电流；

步骤6、由含腔目标腔体表面电流求出腔体开口面上抛物线方程所需各个离散点的电场场值；

步骤7、对最后一个切面上的电场进行后处理，将步骤6所得的腔体开口面上的电场替换掉步骤4所得的原目标腔体开口处的电场，对所得的近场电场值进行近远场转换求解雷达散射截面积。

本发明与现有技术相比，其显著优点为：（1）建立模型简单：在垂直于抛物线轴向的切面上，不需要再建立类似于FDTD的等间距规则网格，只要确定一些离散点的信息即可。（2）方程形成简单：将一个三维问题转化为一系列的二维问题进行求解，通过形函数构造矩阵方程，矩阵形成快捷简便。（3）形成矩阵方程性态较好：由于各个离散的节点场值只跟其支撑域内的节点场值有关，所以形成的矩阵是一个稀疏矩阵，内存消耗较小，矩阵性态较好易于求解。

下面结合附图对本发明作进一步详细描述。

附图说明

图1是本发明某一切面上未知量分布的示意图。

图2是本发明能量沿抛物线轴向传播示意图。

图3是本发明离散节点支撑域的示意图。

图4是本发明前后两个切面边界点有交差情况处理的示意图。

图5是本发明入射场方向与矢量抛物线轴向方向示意图。

图6是本发明实施例中金属含腔目标在不同频率下观察点处RCS曲线图。

图7是本发明实施例中金属含腔目标在320MHz下后向散射曲线图。

具体实施方式

下面结合附图及具体实施例对本发明作进一步详细描述。

结合附图1～5，本发明基于矩量法和抛物线方程的含腔目标电磁散射分析方法，步骤如下：

步骤1、将含腔目标的腔体部分填充为实心的金属，建立填充后目标的离散模型，确定抛物线的轴向方向作为x轴，采用网格对物体沿抛物线的轴向方向进行离散处理，形成垂直于x轴的若干个切面，通过求解剖分的三角形网格与切面交点确定每个切面所切目标的边界点，再通过四面体网格判断所有节点的位置，具体步骤如下：

步骤1.1、确定目标分别在x轴、y轴、z轴方向的最小坐标值以及最大坐标值；

步骤1.2、确定x轴方向上的离散间隔为delx，且delx小于十分之一的电波长，垂直于x轴的切面方程为：x=n*delx，且n=0,1,2,...[(max_x－min_x)/delx]，其中max_x代表x轴方向最大坐标值，min_x代表x轴方向最小坐标值，[]代表向下取整数，目标与x轴方向离散出来的一系列的切面相切，之后通过点与面之间的几何关系求解出各个切面上目标的边界点；

步骤1.3、根据目标的几何关系，确定处于目标内部的离散节点、处于目标边界上的离散节点、空气层的离散节点以及PML层对应的离散节点。

首先，在每个(y-z)切面上选取一些分布均匀的参考点，这些参考点用作于两个切面间的插值以及构造形函数时使用。参考点之间的距离根据需要进行设定,一般情况下选定定为十分之一个波长。用三角形面元对目标进行面剖分，获取物体表面的一些离散的节点信息。垂直于x轴即为抛物线轴向，形成很多切面，这些切面与三角形相交，通过节点的几何信息求解出与切面的交点，将这些交点作为散射体在当前切面的边界点。同时对散射体进行四面体的体剖分，对每个切面上的参考点进行循环判断，看该点是否处于某个四面体的内部，如果该点处于四面体的内部则认为该点为散射体的内部点，否则认为该点处在空气层。认为离空气盒边界一定距离的点为PML层内的参考点。

通过上面的方法可得到各个切面上物体边界的节点，结合每个面上散射体外的参考点，构成了一个切面上总的未知量，各个切面的未知量分别由每个面上散射体外部固有的离散参考点和边界点相加得到。某个切面上未知量的分布示意图如图1所示，根据各个点的几何位置关系以及坐标关系确定出点所在的位置的属性，具体判断准则如下所示：

第1：离切面的上下左右边缘1个波长的节点都设置为PML的性质；

第2：由上述方法找到的交点即为物体的边界点，由边界点连成的轮廓线内的所有节点为物体的内部节点，这些参考点不作为当前面的未知量；

第3：其余的节点即为空气层的离散节点。

以上即可完成目标的建模，为下面的矩阵构造以及求解奠定了基础。

步骤2、构造矩阵方程，在x轴方向使用CN差分格式获取相邻两个切面间的关系，在y轴、z轴方向分别采用RPIM构造形函数及空间导数，并且引入散射体表面总场切向分量为0以及散射场散度为0的边界条件，构造出矩阵方程，具体步骤如下：

首先，我们给出三维标量波动方程：

其中，E代表电场分量，n为煤质折射系数，在自由空间中n=1，k为波数。取x轴方向为抛物线的轴方向，定义沿x轴方向传播的波函数，如图2所示：

u(x,y,z)=e^-ikxE(x,y,z) (2)

将式（2）带入式（1），可得：

将式（3）分解为：

其中微分算子Q为：

我们只取前向抛物线形式，并利用Q的泰勒展开式，可得小角度抛物线方程：

在三维情况下，标准矢量抛物线方程可表示为：

其中，、、分别为波函数在x轴、y轴、z轴方向的分量，分别为电场在x轴、y轴、z轴方向的分量，k为波数，i为虚数。对x轴方向的求导由CN差分获得：

其中，Δx代表前后两个切面的间距；

对y轴、z轴方向的求导采用RPIM构造形函数及其空间导数，电场u(x,y,z)通过形函数u(x,y,z)＝Φ(x,y,z)U_S(x,y,z)展开，如下式所示：

u(x,y,z)＝Φ(x,y,z)U_S(x,y,z) （9）

式中，U_S(x,y,z)为待求的电场系数，Φ(x,y,z)＝[Φ₁(x,y,z),Φ₂(x,y,z),...,Φ_N(x,y,z)]为形函数，N为支撑域内离散节点的个数；如图3所示N为支撑域内离散节点的个数，对u(x,y,z)关于y和z的求导可以通过对Φ(x,y,z)求导实现，上式可离散成如下形式：

其中，Δx代表前后两个切面的间距，在PML媒质中，相应的矢量抛物线方程表示为：

式中，σ()代表电损耗的函数，σ₀代表电损耗的系数，δ代表趋肤深度的系数。对x轴方向的求导由CN差分获得：

对y轴、z轴方向的求导采用RPIM构造形函数及其空间导数，电场u(x,y,z)通过形函数u(x,y,z)＝Φ(x,y,z)U_S(x,y,z)展开，U_S(x,y,z)为待求的电场系数,Φ(x,y,z)＝[Φ₁(x,y,z),Φ₂(x,y,z),...,Φ_N(x,y,z)]为形函数，N为支撑域内离散节点的个数，对u(x,y,z)关于y和z的求导可以通过对Φ(x,y,z)求导实现，上式可离散成如下形式：

通过式（13）即可构造前后两个切面上电场值U_S,x(x,y,z),U_S,y(x,y,z),U_S,z(x,y,z)与U_S,x(x+Δx,y,z),U_S,y(x+Δx,y,z),U_S,z(x+Δx,y,z)的关系的矩阵方程。

矩阵方程边界添加以及递推求解，具体步骤如下：

对于目标边界点，假设P为散射体表面上的点，n=(n_x,n_y,n_z)为P点的法向方向，在完全纯导体的表面上n×E=0，即

n(P)×E^s(P)=-n(P)×Eⁱ(P) （14）

式中，Eⁱ代表入射电场；由上式可得对应的三个方程：

将式（15）变换为：

式中，分别代表入射电场在x轴、y轴、z轴方向上的分量。电场u(x,y,z)通过形函数u(x,y,z)＝Φ(x,y,z)U_S(x,y,z)展开，U_S(x,y,z)为待求的电场系数,Φ(x,y,z)＝[Φ₁(x,y,z),Φ₂(x,y,z),...,Φ_N(x,y,z)]为形函数，N为支撑域内离散节点的个数，上式可表示成如下形式：

上面的三个方程并不是相互独立的，其系数矩阵的秩为2，没有定解，只有加上Maxwell的散度方程，才可构成系数矩阵秩为3的线性方程组，解具有唯一性。

将对应的抛物线方程代入，P点的三维坐标下的散度方程变换为：

对电场u_x(x,y,z)、u_y(x,y,z)以及u_z(x,y,z)采用RPIM构造形函数及其空间导数，电场u(x,y,z)通过形函数u(x,y,z)＝Φ(x,y,z)U_S(x,y,z)展开，U_S(x,y,z)为待求的电场系数,Φ(x,y,z)＝[Φ₁(x,y,z),Φ₂(x,y,z),...,Φ_N(x,y,z)]为形函数，N为支撑域内离散节点的个数，对u(x,y,z)关于y轴和z轴的求导通过对Φ(x,y,z)求导实现，上式可离散成如下形式：

将式（17）与式（19）联立，构造系数矩阵秩为3的线性方程组，将耦合关系填入到矩阵方程中，即可完成非其次边界条件的添加，构造最终矩阵方程：

步骤3、令x轴方向为待求的散射方向，依次对各个切面上的节点电场值进行递推求解，通过不断更新边界点的信息以及方程的右边向量来求解下一个切面上各个离散节点处的电场值；具体如下：

步骤3.1、将前一个切面各个离散的节点的电场值作为当前切面求解时的右边向量；

步骤3.2、在当前切面所确定的边界点处，加入切向分量为0以及散度为0的边界条件，处于物体内部的节点电场值赋值为0，形成当前切面更新后的矩阵方程；

步骤3.3、求解步骤3.2中更新后的矩阵方程，方程的解即为当前切面各个离散的节点的电场值。

每个切面的未知量的个数是基底离散点的个数加上本切面边界点的个数，根据处于不同的位置，带入不同的离散方程，由前一个面的电场值求得下一个面的电场值，不断递推得到最后一个切面的电场值。

对于前后两个切面如果有重叠型区域的出现，如图4所示。对于同时处于两个切面的边界轮廓外的参考点直接将参考点上的场值赋值给下一个面的参考点；对于处于前一个切面边界轮廓内同时处于当前切面边界轮廓外的参考点视其为边界点使用阻抗边界条件进行处理；对于处于前一个切面边界轮廓外同时处于当前切面边界轮廓内的参考点则不视为未知量；对于当前面的边界点直接填入阻抗边界条件的方程。

步骤4、对最后一个切面的电场值进行修正，求解最后一个切面的矩阵方程，得到离散节点处的电场值，将其电场进行相位的修正；具体步骤如下：

抛物线方程方法的入射电场相对于快速多级子的入射电场相差一个相位，所以最后求得的散射场的电场也将相差一个相位，将这个相位进行补偿，将由快速多级子方法确定的电场乘以作为最终抛物线方程方法所需要的电场值，其中θ为入射波与x轴夹角，为入射波与y轴夹角。

步骤5、将目标中腔体部分单独用快速多级子进行求解，将腔体表面离散得到的子散射体分组，根据任意两个子散射体所在组的位置关系采用不同的方法计算阻抗矩阵元素，运用电场积分方程求解出腔体表面的电流，具体过程如下：

步骤5.1、将腔体的表面用三角形进行剖分，得到每个三角形单元的编号、点的坐标、法相向量；

步骤5.2、运用电场积分方程，作伽辽金测试，并用快速多级子技术加速求解过程，求出腔体表面电流。

将物体中腔体部分单独用快速多级子进行求解，具体步骤如下：

理想导体表面电场积分方程：

式中，为理想导体表面电流密度，为自由空间的电场并矢格林函数：

其中，是自由空间中的波数，ω为角频率，为单位张量，是自由空间中的标量格林函数

把散射电场用磁矢量位和电标量位来表示：

其中

因此，理想导体表面的电场积分方程可以表示为

对电场积分方程（26）式进行伽辽金测试，并运用快速多极子技术加速矩阵矢量乘，求解出含腔结构的表面电流。

步骤6、由含腔目标腔体表面电流求出腔体开口面上抛物线方程所需各个离散点的电场场值；具体步骤如下：

步骤6.1、将腔体开口面进行等间隔离散，离散尺寸不大于0.1个入射波波长，求出每个离散点的坐标值；

步骤6.2、求解开口面上每个离散点的电场。

假设空间内一个已知的电流源分布在一个边界为S的金属体V上，则空间内任意一点产生的散射电场可由并矢格林函数简洁地表示为：

将腔开口处的面进行等间隔离散，得出每个点的坐标，将坐标信息代入格林函数积分公式中，求解出腔开口处每个离散点处的电场值。

步骤7、对最后一个切面上的电场进行后处理，将步骤6所得的腔体开口面上的电场替换掉步骤4所得的原目标腔体开口处的电场，对所得的近场电场值进行近远场转换求解雷达散射截面积，具体步骤如下：

步骤7.1、将步骤6求出的腔体开口面上的电场乘以e^-ikx，替换由无网格抛物线所得的腔体开口处的电场；

步骤7.2、对处理后的最后一个切面上的电场由近场推出远场，根据远场的电场值确定雷达散射截面积。

三维坐标系下，在(θ,φ)方向的双站RCS为：

其中E^s和Eⁱ分别表示散射场和入射场的电场分量，π为圆周率。

矢量抛物线方法充分考虑了极化的影响，将对波动方程的求解转换成对抛物线方程的求解，结合适当的边界条件，利用小角度矢量抛物线的形式，每个矢量抛物线方程计算出沿抛物线轴向方向大小不超过15°的锥形范围内的散射场。如图5所示，通过旋转抛物线的轴向方向来计算各个方向的散射场，然后通过近场远推获得远区的散射场，从而计算得到目标的双站RCS。

实施例1

本实施例进行了具有金属含腔目标电磁散射的典型仿真，仿真在主频2.83GHz、内存3.5GB的个人计算机上实现，以金属立方体边长为6m，腔部分边长为4m立方体为例，平面波正对着腔开口处入射，观察不同频率下，腔开口面上中心点处的RCS，入射波的方向θ=0°，x轴方向上的离散间隔为0.1个波长，为了验证本发明方法的正确性，以矩量法仿真结果作为参照。图6为本发明方法在各个频率下后向散射点处的RCS值与矩量法的对比结果，从图中的曲线可以看出本文方法的正确性。图7为该算例在320MHz的频率下双站RCS的结果，可看出本发明方法比原来传统的抛物线方法提高了精度，说明本方法能够快速分析复杂外形金属含腔目标的电磁散射特性。

综上所述，本发明解决了传统无网格抛物线方法无法精确计算含腔结构的缺陷，腔部分用快速多级子进行计算，剩下的部分当作实心的金属用无网格抛物线进行求解，其实现过程灵活自由，具有很强的实际工程应用价值。

Claims (8)

1.一种基于矩量法和抛物线方程的含腔目标电磁散射分析方法，其特征在于，步骤如下：

步骤1、将含腔目标的腔体部分填充为实心的金属，建立填充后目标的离散模型，确定抛物线的轴向方向作为x轴，采用网格对物体沿抛物线的轴向方向进行离散处理，形成垂直于x轴的若干个切面，通过求解剖分的三角形网格与切面交点确定每个切面所切目标的边界点，再通过四面体网格判断所有节点的位置；

步骤2、构造矩阵方程，在x轴方向使用CN差分格式获取相邻两个切面间的关系，在y轴、z轴方向分别采用RPIM构造形函数及空间导数，并且引入散射体表面总场切向分量为0以及散射场散度为0的边界条件，构造出矩阵方程；

步骤3、令x轴方向为待求的散射方向，依次对各个切面上的节点电场值进行递推求解，通过不断更新边界点的信息以及方程的右边向量来求解下一个切面上各个离散节点处的电场值；

步骤4、对最后一个切面的电场值进行修正，求解最后一个切面的矩阵方程，得到离散节点处的电场值，将其电场进行相位的修正；

步骤5、将目标中腔体部分单独用快速多级子进行求解，将腔体表面离散得到的子散射体分组，根据任意两个子散射体所在组的位置关系采用不同的方法计算阻抗矩阵元素，运用电场积分方程求解出腔体表面的电流；

步骤6、由含腔目标腔体表面电流求出腔体开口面上抛物线方程所需各个离散点的电场场值；

步骤7、对最后一个切面上的电场进行后处理，将步骤6所得的腔体开口面上的电场替换掉步骤4所得的原目标腔体开口处的电场，对所得的近场电场值进行近远场转换求解雷达散射截面积。

2.根据权利要求1所述的基于矩量法和抛物线方程的含腔目标电磁散射分析方法，其特征在于，步骤1中所述建立填充后目标的离散模型，具体包括以下步骤：

步骤1.1、确定目标分别在x轴、y轴、z轴方向的最小坐标值以及最大坐标值；

步骤1.2、确定x轴方向上的离散间隔为delx，且delx小于十分之一的电波长，垂直于x轴的切面方程为：x＝n*delx，且n＝0,1,2,...[(max_x－min_x)/delx]，其中max_x代表x轴方向最大坐标值，min_x代表x轴方向最小坐标值，[]代表向下取整数，目标与x轴方向离散出来的一系列的切面相切，之后通过点与面之间的几何关系求解出各个切面上目标的边界点；

步骤1.3、根据目标的几何关系，确定处于目标内部的离散节点、处于目标边界上的离散节点、空气层的离散节点以及PML层对应的离散节点。

3.根据权利要求1所述的基于矩量法和抛物线方程的含腔目标电磁散射分析方法，其特征在于，步骤2中所述构造矩阵方程具体包括以下步骤：

步骤2.1、在三维情况下，标准矢量抛物线方程表示为：

<mrow> <mfenced open = "{" close = ""> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <mfrac> <mrow> <msup> <mo>&amp;part;</mo> <mn>2</mn> </msup> <msubsup> <mi>u</mi> <mi>x</mi> <mi>s</mi> </msubsup> </mrow> <mrow> <mo>&amp;part;</mo> <msup> <mi>y</mi> <mn>2</mn> </msup> </mrow> </mfrac> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mi>x</mi> <mo>,</mo> <mi>y</mi> <mo>,</mo> <mi>z</mi> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mo>+</mo> <mfrac> <mrow> <msup> <mo>&amp;part;</mo> <mn>2</mn> </msup> <msubsup> <mi>u</mi> <mi>x</mi> <mi>s</mi> </msubsup> </mrow> <mrow> <mo>&amp;part;</mo> <msup> <mi>z</mi> <mn>2</mn> </msup> </mrow> </mfrac> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mi>x</mi> <mo>,</mo> <mi>y</mi> <mo>,</mo> <mi>z</mi> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mo>+</mo> <mn>2</mn> <mi>i</mi> <mi>k</mi> <mfrac> <mrow> <mo>&amp;part;</mo> <msubsup> <mi>u</mi> <mi>x</mi> <mi>s</mi> </msubsup> </mrow> <mrow> <mo>&amp;part;</mo> <mi>x</mi> </mrow> </mfrac> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mi>x</mi> <mo>,</mo> <mi>y</mi> <mo>,</mo> <mi>z</mi> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <mn>0</mn> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mfrac> <mrow> <msup> <mo>&amp;part;</mo> <mn>2</mn> </msup> <msubsup> <mi>u</mi> <mi>y</mi> <mi>s</mi> </msubsup> </mrow> <mrow> <mo>&amp;part;</mo> <msup> <mi>y</mi> <mn>2</mn> </msup> </mrow> </mfrac> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mi>x</mi> <mo>,</mo> <mi>y</mi> <mo>,</mo> <mi>z</mi> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mo>+</mo> <mfrac> <mrow> <msup> <mo>&amp;part;</mo> <mn>2</mn> </msup> <msubsup> <mi>u</mi> <mi>y</mi> <mi>s</mi> </msubsup> </mrow> <mrow> <mo>&amp;part;</mo> <msup> <mi>z</mi> <mn>2</mn> </msup> </mrow> </mfrac> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mi>x</mi> <mo>,</mo> <mi>y</mi> <mo>,</mo> <mi>z</mi> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mo>+</mo> <mn>2</mn> <mi>i</mi> <mi>k</mi> <mfrac> <mrow> <mo>&amp;part;</mo> <msubsup> <mi>u</mi> <mi>y</mi> <mi>s</mi> </msubsup> </mrow> <mrow> <mo>&amp;part;</mo> <mi>x</mi> </mrow> </mfrac> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mi>x</mi> <mo>,</mo> <mi>y</mi> <mo>,</mo> <mi>z</mi> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <mn>0</mn> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mfrac> <mrow> <msup> <mo>&amp;part;</mo> <mn>2</mn> </msup> <msubsup> <mi>u</mi> <mi>z</mi> <mi>s</mi> </msubsup> </mrow> <mrow> <mo>&amp;part;</mo> <msup> <mi>y</mi> <mn>2</mn> </msup> </mrow> </mfrac> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mi>x</mi> <mo>,</mo> <mi>y</mi> <mo>,</mo> <mi>z</mi> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mo>+</mo> <mfrac> <mrow> <msup> <mo>&amp;part;</mo> <mn>2</mn> </msup> <msubsup> <mi>u</mi> <mi>z</mi> <mi>s</mi> </msubsup> </mrow> <mrow> <mo>&amp;part;</mo> <msup> <mi>z</mi> <mn>2</mn> </msup> </mrow> </mfrac> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mi>x</mi> <mo>,</mo> <mi>y</mi> <mo>,</mo> <mi>z</mi> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mo>+</mo> <mn>2</mn> <mi>i</mi> <mi>k</mi> <mfrac> <mrow> <mo>&amp;part;</mo> <msubsup> <mi>u</mi> <mi>z</mi> <mi>s</mi> </msubsup> </mrow> <mrow> <mo>&amp;part;</mo> <mi>x</mi> </mrow> </mfrac> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mi>x</mi> <mo>,</mo> <mi>y</mi> <mo>,</mo> <mi>z</mi> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <mn>0</mn> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>1</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>

式中，分别为波函数在x轴、y轴、z轴方向的分量，分别为电场在x轴、y轴、z轴方向的分量，k为波数，i为虚数；

对x轴方向的求导由CN差分得：

<mrow> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mi>u</mi> <mi>x</mi> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mi>x</mi> <mo>+</mo> <mi>&amp;Delta;</mi> <mi>x</mi> <mo>,</mo> <mi>y</mi> <mo>,</mo> <mi>z</mi> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mo>-</mo> <mfrac> <mrow> <mi>i</mi> <mi>&amp;Delta;</mi> <mi>x</mi> </mrow> <mrow> <mn>2</mn> <mi>k</mi> </mrow> </mfrac> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mfrac> <msup> <mo>&amp;part;</mo> <mn>2</mn> </msup> <mrow> <mo>&amp;part;</mo> <msup> <mi>y</mi> <mn>2</mn> </msup> </mrow> </mfrac> <mo>+</mo> <mfrac> <msup> <mo>&amp;part;</mo> <mn>2</mn> </msup> <mrow> <mo>&amp;part;</mo> <msup> <mi>z</mi> <mn>2</mn> </msup> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <msub> <mi>u</mi> <mi>x</mi> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mi>x</mi> <mo>+</mo> <mi>&amp;Delta;</mi> <mi>x</mi> <mo>,</mo> <mi>y</mi> <mo>,</mo> <mi>z</mi> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <msub> <mi>u</mi> <mi>x</mi> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mi>x</mi> <mo>,</mo> <mi>y</mi> <mo>,</mo> <mi>z</mi> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mi>u</mi> <mi>y</mi> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mi>x</mi> <mo>+</mo> <mi>&amp;Delta;</mi> <mi>x</mi> <mo>,</mo> <mi>y</mi> <mo>,</mo> <mi>z</mi> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mo>-</mo> <mfrac> <mrow> <mi>i</mi> <mi>&amp;Delta;</mi> <mi>x</mi> </mrow> <mrow> <mn>2</mn> <mi>k</mi> </mrow> </mfrac> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mfrac> <msup> <mo>&amp;part;</mo> <mn>2</mn> </msup> <mrow> <mo>&amp;part;</mo> <msup> <mi>y</mi> <mn>2</mn> </msup> </mrow> </mfrac> <mo>+</mo> <mfrac> <msup> <mo>&amp;part;</mo> <mn>2</mn> </msup> <mrow> <mo>&amp;part;</mo> <msup> <mi>z</mi> <mn>2</mn> </msup> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <msub> <mi>u</mi> <mi>y</mi> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mi>x</mi> <mo>+</mo> <mi>&amp;Delta;</mi> <mi>x</mi> <mo>,</mo> <mi>y</mi> <mo>,</mo> <mi>z</mi> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <msub> <mi>u</mi> <mi>y</mi> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mi>x</mi> <mo>,</mo> <mi>y</mi> <mo>,</mo> <mi>z</mi> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mi>u</mi> <mi>z</mi> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mi>x</mi> <mo>+</mo> <mi>&amp;Delta;</mi> <mi>x</mi> <mo>,</mo> <mi>y</mi> <mo>,</mo> <mi>z</mi> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mo>-</mo> <mfrac> <mrow> <mi>i</mi> <mi>&amp;Delta;</mi> <mi>x</mi> </mrow> <mrow> <mn>2</mn> <mi>k</mi> </mrow> </mfrac> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mfrac> <msup> <mo>&amp;part;</mo> <mn>2</mn> </msup> <mrow> <mo>&amp;part;</mo> <msup> <mi>y</mi> <mn>2</mn> </msup> </mrow> </mfrac> <mo>+</mo> <mfrac> <msup> <mo>&amp;part;</mo> <mn>2</mn> </msup> <mrow> <mo>&amp;part;</mo> <msup> <mi>z</mi> <mn>2</mn> </msup> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <msub> <mi>u</mi> <mi>z</mi> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mi>x</mi> <mo>+</mo> <mi>&amp;Delta;</mi> <mi>x</mi> <mo>,</mo> <mi>y</mi> <mo>,</mo> <mi>z</mi> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <msub> <mi>u</mi> <mi>z</mi> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mi>x</mi> <mo>,</mo> <mi>y</mi> <mo>,</mo> <mi>z</mi> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>2</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>

其中，Δx代表前后两个切面的间距，对y轴、z轴方向的求导采用RPIM构造形函数及空间导数，电场u(x,y,z)通过形函数展开，如下式所示：

u(x,y,z)＝Φ(x,y,z)U_S(x,y,z) (3)

式中，U_S(x,y,z)为待求的电场系数，Φ(x,y,z)＝[Φ₁(x,y,z),Φ₂(x,y,z),...,Φ_N(x,y,z)]为形函数，N为支撑域内离散节点的个数，对u(x,y,z)的求导通过对Φ(x,y,z)求导实现；

步骤2.2、在PML媒质中，矢量抛物线方程表示为：

<mrow> <mfenced open = "{" close = ""> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <mfrac> <mn>1</mn> <mrow> <mn>1</mn> <mo>-</mo> <mi>i</mi> <mi>&amp;sigma;</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>y</mi> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mfrac> <mo>)</mo> </mrow> <mn>2</mn> </msup> <mfrac> <mrow> <msup> <mo>&amp;part;</mo> <mn>2</mn> </msup> <msubsup> <mi>u</mi> <mi>x</mi> <mi>s</mi> </msubsup> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mi>x</mi> <mo>,</mo> <mi>y</mi> <mo>,</mo> <mi>z</mi> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> <mrow> <mo>&amp;part;</mo> <msup> <mi>y</mi> <mn>2</mn> </msup> </mrow> </mfrac> <mo>+</mo> <mfrac> <mrow> <mn>2</mn> <msub> <mi>i&amp;sigma;</mi> <mn>0</mn> </msub> <mi>y</mi> </mrow> <mrow> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mn>1</mn> <mo>-</mo> <mi>i</mi> <mi>&amp;sigma;</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>y</mi> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mn>3</mn> </msup> <msup> <mi>&amp;delta;</mi> <mn>2</mn> </msup> </mrow> </mfrac> <mfrac> <mrow> <mo>&amp;part;</mo> <msubsup> <mi>u</mi> <mi>x</mi> <mi>s</mi> </msubsup> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mi>x</mi> <mo>,</mo> <mi>y</mi> <mo>,</mo> <mi>z</mi> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> <mrow> <mo>&amp;part;</mo> <mi>y</mi> </mrow> </mfrac> <mo>+</mo> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <mfrac> <mn>1</mn> <mrow> <mn>1</mn> <mo>-</mo> <mi>i</mi> <mi>&amp;sigma;</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>z</mi> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mfrac> <mo>)</mo> </mrow> <mn>2</mn> </msup> <mfrac> <mrow> <msup> <mo>&amp;part;</mo> <mn>2</mn> </msup> <msubsup> <mi>u</mi> <mi>x</mi> <mi>s</mi> </msubsup> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mi>x</mi> <mo>,</mo> <mi>y</mi> <mo>,</mo> <mi>z</mi> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> <mrow> <mo>&amp;part;</mo> <msup> <mi>z</mi> <mn>2</mn> </msup> </mrow> </mfrac> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mo>+</mo> <mfrac> <mrow> <mn>2</mn> <msub> <mi>i&amp;sigma;</mi> <mn>0</mn> </msub> <mi>z</mi> </mrow> <mrow> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mn>1</mn> <mo>-</mo> <mi>i</mi> <mi>&amp;sigma;</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>z</mi> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mn>3</mn> </msup> <msup> <mi>&amp;delta;</mi> <mn>2</mn> </msup> </mrow> </mfrac> <mfrac> <mrow> <mo>&amp;part;</mo> <msubsup> <mi>u</mi> <mi>x</mi> <mi>s</mi> </msubsup> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mi>x</mi> <mo>,</mo> <mi>y</mi> <mo>,</mo> <mi>z</mi> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> <mrow> <mo>&amp;part;</mo> <mi>z</mi> </mrow> </mfrac> <mo>+</mo> <mn>2</mn> <mi>i</mi> <mi>k</mi> <mfrac> <mrow> <mo>&amp;part;</mo> <msubsup> <mi>u</mi> <mi>x</mi> <mi>s</mi> </msubsup> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mi>x</mi> <mo>,</mo> <mi>y</mi> <mo>,</mo> <mi>z</mi> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> <mrow> <mo>&amp;part;</mo> <mi>x</mi> </mrow> </mfrac> <mo>=</mo> <mn>0</mn> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <mfrac> <mn>1</mn> <mrow> <mn>1</mn> <mo>-</mo> <mi>i</mi> <mi>&amp;sigma;</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>y</mi> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mfrac> <mo>)</mo> </mrow> <mn>2</mn> </msup> <mfrac> <mrow> <msup> <mo>&amp;part;</mo> <mn>2</mn> </msup> <msubsup> <mi>u</mi> <mi>y</mi> <mi>s</mi> </msubsup> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mi>x</mi> <mo>,</mo> <mi>y</mi> <mo>,</mo> <mi>z</mi> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> <mrow> <mo>&amp;part;</mo> <msup> <mi>y</mi> <mn>2</mn> </msup> </mrow> </mfrac> <mo>+</mo> <mfrac> <mrow> <mn>2</mn> <msub> <mi>i&amp;sigma;</mi> <mn>0</mn> </msub> <mi>y</mi> </mrow> <mrow> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mn>1</mn> <mo>-</mo> <mi>i</mi> <mi>&amp;sigma;</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>y</mi> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mn>3</mn> </msup> <msup> <mi>&amp;delta;</mi> <mn>2</mn> </msup> </mrow> </mfrac> <mfrac> <mrow> <mo>&amp;part;</mo> <msubsup> <mi>u</mi> <mi>y</mi> <mi>s</mi> </msubsup> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mi>x</mi> <mo>,</mo> <mi>y</mi> <mo>,</mo> <mi>z</mi> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> <mrow> <mo>&amp;part;</mo> <mi>y</mi> </mrow> </mfrac> <mo>+</mo> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <mfrac> <mn>1</mn> <mrow> <mn>1</mn> <mo>-</mo> <mi>i</mi> <mi>&amp;sigma;</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>z</mi> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mfrac> <mo>)</mo> </mrow> <mn>2</mn> </msup> <mfrac> <mrow> <msup> <mo>&amp;part;</mo> <mn>2</mn> </msup> <msubsup> <mi>u</mi> <mi>y</mi> <mi>s</mi> </msubsup> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mi>x</mi> <mo>,</mo> <mi>y</mi> <mo>,</mo> <mi>z</mi> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> <mrow> <mo>&amp;part;</mo> <msup> <mi>z</mi> <mn>2</mn> </msup> </mrow> </mfrac> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mo>+</mo> <mfrac> <mrow> <mn>2</mn> <msub> <mi>i&amp;sigma;</mi> <mn>0</mn> </msub> <mi>z</mi> </mrow> <mrow> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mn>1</mn> <mo>-</mo> <mi>i</mi> <mi>&amp;sigma;</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>z</mi> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mn>3</mn> </msup> <msup> <mi>&amp;delta;</mi> <mn>2</mn> </msup> </mrow> </mfrac> <mfrac> <mrow> <mo>&amp;part;</mo> <msubsup> <mi>u</mi> <mi>y</mi> <mi>s</mi> </msubsup> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mi>x</mi> <mo>,</mo> <mi>y</mi> <mo>,</mo> <mi>z</mi> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> <mrow> <mo>&amp;part;</mo> <mi>z</mi> </mrow> </mfrac> <mo>+</mo> <mn>2</mn> <mi>i</mi> <mi>k</mi> <mfrac> <mrow> <mo>&amp;part;</mo> <msubsup> <mi>u</mi> <mi>y</mi> <mi>s</mi> </msubsup> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mi>x</mi> <mo>,</mo> <mi>y</mi> <mo>,</mo> <mi>z</mi> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> <mrow> <mo>&amp;part;</mo> <mi>x</mi> </mrow> </mfrac> <mo>=</mo> <mn>0</mn> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <mfrac> <mn>1</mn> <mrow> <mn>1</mn> <mo>-</mo> <mi>i</mi> <mi>&amp;sigma;</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>y</mi> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mfrac> <mo>)</mo> </mrow> <mn>2</mn> </msup> <mfrac> <mrow> <msup> <mo>&amp;part;</mo> <mn>2</mn> </msup> <msubsup> <mi>u</mi> <mi>z</mi> <mi>s</mi> </msubsup> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mi>x</mi> <mo>,</mo> <mi>y</mi> <mo>,</mo> <mi>z</mi> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> <mrow> <mo>&amp;part;</mo> <msup> <mi>y</mi> <mn>2</mn> </msup> </mrow> </mfrac> <mo>+</mo> <mfrac> <mrow> <mn>2</mn> <msub> <mi>i&amp;sigma;</mi> <mn>0</mn> </msub> <mi>y</mi> </mrow> <mrow> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mn>1</mn> <mo>-</mo> <mi>i</mi> <mi>&amp;sigma;</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>y</mi> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mn>3</mn> </msup> <msup> <mi>&amp;delta;</mi> <mn>2</mn> </msup> </mrow> </mfrac> <mfrac> <mrow> <mo>&amp;part;</mo> <msubsup> <mi>u</mi> <mi>z</mi> <mi>s</mi> </msubsup> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mi>x</mi> <mo>,</mo> <mi>y</mi> <mo>,</mo> <mi>z</mi> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> <mrow> <mo>&amp;part;</mo> <mi>y</mi> </mrow> </mfrac> <mo>+</mo> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <mfrac> <mn>1</mn> <mrow> <mn>1</mn> <mo>-</mo> <mi>i</mi> <mi>&amp;sigma;</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>z</mi> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mfrac> <mo>)</mo> </mrow> <mn>2</mn> </msup> <mfrac> <mrow> <msup> <mo>&amp;part;</mo> <mn>2</mn> </msup> <msubsup> <mi>u</mi> <mi>z</mi> <mi>s</mi> </msubsup> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mi>x</mi> <mo>,</mo> <mi>y</mi> <mo>,</mo> <mi>z</mi> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> <mrow> <mo>&amp;part;</mo> <msup> <mi>z</mi> <mn>2</mn> </msup> </mrow> </mfrac> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mo>+</mo> <mfrac> <mrow> <mn>2</mn> <msub> <mi>i&amp;sigma;</mi> <mn>0</mn> </msub> <mi>z</mi> </mrow> <mrow> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mn>1</mn> <mo>-</mo> <mi>i</mi> <mi>&amp;sigma;</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>z</mi> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mn>3</mn> </msup> <msup> <mi>&amp;delta;</mi> <mn>2</mn> </msup> </mrow> </mfrac> <mfrac> <mrow> <mo>&amp;part;</mo> <msubsup> <mi>u</mi> <mi>z</mi> <mi>s</mi> </msubsup> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mi>x</mi> <mo>,</mo> <mi>y</mi> <mo>,</mo> <mi>z</mi> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> <mrow> <mo>&amp;part;</mo> <mi>z</mi> </mrow> </mfrac> <mo>+</mo> <mn>2</mn> <mi>i</mi> <mi>k</mi> <mfrac> <mrow> <mo>&amp;part;</mo> <msubsup> <mi>u</mi> <mi>z</mi> <mi>s</mi> </msubsup> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mi>x</mi> <mo>,</mo> <mi>y</mi> <mo>,</mo> <mi>z</mi> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> <mrow> <mo>&amp;part;</mo> <mi>x</mi> </mrow> </mfrac> <mo>=</mo> <mn>0</mn> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>4</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>

式中，σ()代表电损耗的函数，σ₀代表电损耗的系数，δ代表趋肤深度的系数；

对x轴方向的求导由CN差分得：

<mrow> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mi>u</mi> <mi>x</mi> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mi>x</mi> <mo>+</mo> <mi>&amp;Delta;</mi> <mi>x</mi> <mo>,</mo> <mi>y</mi> <mo>,</mo> <mi>z</mi> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mo>-</mo> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <mfrac> <mn>1</mn> <mrow> <mn>1</mn> <mo>-</mo> <mi>i</mi> <mi>&amp;sigma;</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>y</mi> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mfrac> <mo>)</mo> </mrow> <mn>2</mn> </msup> <mfrac> <msup> <mo>&amp;part;</mo> <mn>2</mn> </msup> <mrow> <mo>&amp;part;</mo> <msup> <mi>y</mi> <mn>2</mn> </msup> </mrow> </mfrac> <msub> <mi>u</mi> <mi>x</mi> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mi>x</mi> <mo>+</mo> <mi>&amp;Delta;</mi> <mi>x</mi> <mo>,</mo> <mi>y</mi> <mo>,</mo> <mi>z</mi> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mo>-</mo> <mfrac> <mrow> <mn>2</mn> <msub> <mi>i&amp;sigma;</mi> <mn>0</mn> </msub> <mi>y</mi> </mrow> <mrow> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mn>1</mn> <mo>-</mo> <mi>i</mi> <mi>&amp;sigma;</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>y</mi> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mn>3</mn> </msup> <msup> <mi>&amp;delta;</mi> <mn>2</mn> </msup> </mrow> </mfrac> <mfrac> <mo>&amp;part;</mo> <mrow> <mo>&amp;part;</mo> <mi>y</mi> </mrow> </mfrac> <msub> <mi>u</mi> <mi>x</mi> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mi>x</mi> <mo>+</mo> <mi>&amp;Delta;</mi> <mi>x</mi> <mo>,</mo> <mi>y</mi> <mo>,</mo> <mi>z</mi> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mo>-</mo> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <mfrac> <mn>1</mn> <mrow> <mn>1</mn> <mo>-</mo> <mi>i</mi> <mi>&amp;sigma;</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>z</mi> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mfrac> <mo>)</mo> </mrow> <mn>2</mn> </msup> <mfrac> <msup> <mo>&amp;part;</mo> <mn>2</mn> </msup> <mrow> <mo>&amp;part;</mo> <msup> <mi>z</mi> <mn>2</mn> </msup> </mrow> </mfrac> <msub> <mi>u</mi> <mi>x</mi> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mi>x</mi> <mo>+</mo> <mi>&amp;Delta;</mi> <mi>x</mi> <mo>,</mo> <mi>y</mi> <mo>,</mo> <mi>z</mi> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mo>-</mo> <mfrac> <mrow> <mn>2</mn> <msub> <mi>i&amp;sigma;</mi> <mn>0</mn> </msub> <mi>z</mi> </mrow> <mrow> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mn>1</mn> <mo>-</mo> <mi>i</mi> <mi>&amp;sigma;</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>z</mi> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mn>3</mn> </msup> <msup> <mi>&amp;delta;</mi> <mn>2</mn> </msup> </mrow> </mfrac> <mfrac> <mo>&amp;part;</mo> <mrow> <mo>&amp;part;</mo> <mi>z</mi> </mrow> </mfrac> <msub> <mi>u</mi> <mi>x</mi> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mi>x</mi> <mo>+</mo> <mi>&amp;Delta;</mi> <mi>x</mi> <mo>,</mo> <mi>y</mi> <mo>,</mo> <mi>z</mi> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <msub> <mi>u</mi> <mi>x</mi> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mi>x</mi> <mo>,</mo> <mi>y</mi> <mo>,</mo> <mi>z</mi> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mi>u</mi> <mi>y</mi> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mi>x</mi> <mo>+</mo> <mi>&amp;Delta;</mi> <mi>x</mi> <mo>,</mo> <mi>y</mi> <mo>,</mo> <mi>z</mi> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mo>-</mo> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <mfrac> <mn>1</mn> <mrow> <mn>1</mn> <mo>-</mo> <mi>i</mi> <mi>&amp;sigma;</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>y</mi> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mfrac> <mo>)</mo> </mrow> <mn>2</mn> </msup> <mfrac> <msup> <mo>&amp;part;</mo> <mn>2</mn> </msup> <mrow> <mo>&amp;part;</mo> <msup> <mi>y</mi> <mn>2</mn> </msup> </mrow> </mfrac> <msub> <mi>u</mi> <mi>y</mi> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mi>x</mi> <mo>+</mo> <mi>&amp;Delta;</mi> <mi>x</mi> <mo>,</mo> <mi>y</mi> <mo>,</mo> <mi>z</mi> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mo>-</mo> <mfrac> <mrow> <mn>2</mn> <msub> <mi>i&amp;sigma;</mi> <mn>0</mn> </msub> <mi>y</mi> </mrow> <mrow> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mn>1</mn> <mo>-</mo> <mi>i</mi> <mi>&amp;sigma;</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>y</mi> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mn>3</mn> </msup> <msup> <mi>&amp;delta;</mi> <mn>2</mn> </msup> </mrow> </mfrac> <mfrac> <mo>&amp;part;</mo> <mrow> <mo>&amp;part;</mo> <mi>y</mi> </mrow> </mfrac> <msub> <mi>u</mi> <mi>y</mi> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mi>x</mi> <mo>+</mo> <mi>&amp;Delta;</mi> <mi>x</mi> <mo>,</mo> <mi>y</mi> <mo>,</mo> <mi>z</mi> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mo>-</mo> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <mfrac> <mn>1</mn> <mrow> <mn>1</mn> <mo>-</mo> <mi>i</mi> <mi>&amp;sigma;</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>z</mi> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mfrac> <mo>)</mo> </mrow> <mn>2</mn> </msup> <mfrac> <msup> <mo>&amp;part;</mo> <mn>2</mn> </msup> <mrow> <mo>&amp;part;</mo> <msup> <mi>z</mi> <mn>2</mn> </msup> </mrow> </mfrac> <msub> <mi>u</mi> <mi>y</mi> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mi>x</mi> <mo>+</mo> <mi>&amp;Delta;</mi> <mi>x</mi> <mo>,</mo> <mi>y</mi> <mo>,</mo> <mi>z</mi> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mo>-</mo> <mfrac> <mrow> <mn>2</mn> <msub> <mi>i&amp;sigma;</mi> <mn>0</mn> </msub> <mi>z</mi> </mrow> <mrow> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mn>1</mn> <mo>-</mo> <mi>i</mi> <mi>&amp;sigma;</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>z</mi> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mn>3</mn> </msup> <msup> <mi>&amp;delta;</mi> <mn>2</mn> </msup> </mrow> </mfrac> <mfrac> <mo>&amp;part;</mo> <mrow> <mo>&amp;part;</mo> <mi>z</mi> </mrow> </mfrac> <msub> <mi>u</mi> <mi>y</mi> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mi>x</mi> <mo>+</mo> <mi>&amp;Delta;</mi> <mi>x</mi> <mo>,</mo> <mi>y</mi> <mo>,</mo> <mi>z</mi> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <msub> <mi>u</mi> <mi>y</mi> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mi>x</mi> <mo>,</mo> <mi>y</mi> <mo>,</mo> <mi>z</mi> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mi>u</mi> <mi>z</mi> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mi>x</mi> <mo>+</mo> <mi>&amp;Delta;</mi> <mi>x</mi> <mo>,</mo> <mi>y</mi> <mo>,</mo> <mi>z</mi> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mo>-</mo> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <mfrac> <mn>1</mn> <mrow> <mn>1</mn> <mo>-</mo> <mi>i</mi> <mi>&amp;sigma;</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>y</mi> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mfrac> <mo>)</mo> </mrow> <mn>2</mn> </msup> <mfrac> <msup> <mo>&amp;part;</mo> <mn>2</mn> </msup> <mrow> <mo>&amp;part;</mo> <msup> <mi>y</mi> <mn>2</mn> </msup> </mrow> </mfrac> <msub> <mi>u</mi> <mi>z</mi> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mi>x</mi> <mo>+</mo> <mi>&amp;Delta;</mi> <mi>x</mi> <mo>,</mo> <mi>y</mi> <mo>,</mo> <mi>z</mi> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mo>-</mo> <mfrac> <mrow> <mn>2</mn> <msub> <mi>i&amp;sigma;</mi> <mn>0</mn> </msub> <mi>y</mi> </mrow> <mrow> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mn>1</mn> <mo>-</mo> <mi>i</mi> <mi>&amp;sigma;</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>y</mi> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mn>3</mn> </msup> <msup> <mi>&amp;delta;</mi> <mn>2</mn> </msup> </mrow> </mfrac> <mfrac> <mo>&amp;part;</mo> <mrow> <mo>&amp;part;</mo> <mi>y</mi> </mrow> </mfrac> <msub> <mi>u</mi> <mi>z</mi> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mi>x</mi> <mo>+</mo> <mi>&amp;Delta;</mi> <mi>x</mi> <mo>,</mo> <mi>y</mi> <mo>,</mo> <mi>z</mi> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mo>-</mo> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <mfrac> <mn>1</mn> <mrow> <mn>1</mn> <mo>-</mo> <mi>i</mi> <mi>&amp;sigma;</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>z</mi> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mfrac> <mo>)</mo> </mrow> <mn>2</mn> </msup> <mfrac> <msup> <mo>&amp;part;</mo> <mn>2</mn> </msup> <mrow> <mo>&amp;part;</mo> <msup> <mi>z</mi> <mn>2</mn> </msup> </mrow> </mfrac> <msub> <mi>u</mi> <mi>z</mi> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mi>x</mi> <mo>+</mo> <mi>&amp;Delta;</mi> <mi>x</mi> <mo>,</mo> <mi>y</mi> <mo>,</mo> <mi>z</mi> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mo>-</mo> <mfrac> <mrow> <mn>2</mn> <msub> <mi>i&amp;sigma;</mi> <mn>0</mn> </msub> <mi>z</mi> </mrow> <mrow> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mn>1</mn> <mo>-</mo> <mi>i</mi> <mi>&amp;sigma;</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>z</mi> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mn>3</mn> </msup> <msup> <mi>&amp;delta;</mi> <mn>2</mn> </msup> </mrow> </mfrac> <mfrac> <mo>&amp;part;</mo> <mrow> <mo>&amp;part;</mo> <mi>z</mi> </mrow> </mfrac> <msub> <mi>u</mi> <mi>z</mi> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mi>x</mi> <mo>+</mo> <mi>&amp;Delta;</mi> <mi>x</mi> <mo>,</mo> <mi>y</mi> <mo>,</mo> <mi>z</mi> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <msub> <mi>u</mi> <mi>z</mi> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mi>x</mi> <mo>,</mo> <mi>y</mi> <mo>,</mo> <mi>z</mi> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>5</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>

对y轴、z轴方向的求导采用RPIM构造形函数及其空间导数；

步骤2.3、对于目标边界点，假设P为散射体表面上的点，n＝(n_x,n_y,n_z)为P点的法向方向，在完全纯导体的表面上n×E＝0，即

n(P)×E^s(P)＝-n(P)×Eⁱ(P) (6)

式中，Eⁱ代表入射电场，Eⁱ代表散射电场；由上式得对应的三个方程：

<mrow> <mfenced open = "{" close = ""> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mi>n</mi> <mi>x</mi> </msub> <msub> <mi>E</mi> <mi>y</mi> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mi>P</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>-</mo> <msub> <mi>n</mi> <mi>y</mi> </msub> <msub> <mi>E</mi> <mi>x</mi> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mi>P</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <mn>0</mn> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mi>n</mi> <mi>x</mi> </msub> <msub> <mi>E</mi> <mi>z</mi> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mi>P</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>-</mo> <msub> <mi>n</mi> <mi>z</mi> </msub> <msub> <mi>E</mi> <mi>x</mi> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mi>P</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <mn>0</mn> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mi>n</mi> <mi>y</mi> </msub> <msub> <mi>E</mi> <mi>z</mi> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mi>P</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>-</mo> <msub> <mi>n</mi> <mi>z</mi> </msub> <msub> <mi>E</mi> <mi>y</mi> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mi>P</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <mn>0</mn> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>7</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>

式中，E代表电场分量，E_x、E_y、E_z分别代表电场在x轴、y轴、z轴方向上的分量；

将式(7)变换为：

<mrow> <mfenced open = "{" close = ""> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mi>n</mi> <mi>x</mi> </msub> <msubsup> <mi>u</mi> <mi>y</mi> <mi>s</mi> </msubsup> <mrow> <mo>(</mo> <mi>p</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>-</mo> <msub> <mi>n</mi> <mi>y</mi> </msub> <msubsup> <mi>u</mi> <mi>x</mi> <mi>s</mi> </msubsup> <mrow> <mo>(</mo> <mi>p</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <mo>-</mo> <msup> <mi>e</mi> <mrow> <mo>-</mo> <mi>i</mi> <mi>k</mi> <mi>x</mi> </mrow> </msup> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <msub> <mi>n</mi> <mi>x</mi> </msub> <msubsup> <mi>E</mi> <mi>y</mi> <mi>i</mi> </msubsup> <mrow> <mo>(</mo> <mi>p</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>-</mo> <msub> <mi>n</mi> <mi>y</mi> </msub> <msubsup> <mi>E</mi> <mi>x</mi> <mi>i</mi> </msubsup> <mrow> <mo>(</mo> <mi>p</mi> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mi>n</mi> <mi>x</mi> </msub> <msubsup> <mi>u</mi> <mi>z</mi> <mi>s</mi> </msubsup> <mrow> <mo>(</mo> <mi>p</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>-</mo> <msub> <mi>n</mi> <mi>z</mi> </msub> <msubsup> <mi>u</mi> <mi>x</mi> <mi>s</mi> </msubsup> <mrow> <mo>(</mo> <mi>p</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <mo>-</mo> <msup> <mi>e</mi> <mrow> <mo>-</mo> <mi>i</mi> <mi>k</mi> <mi>x</mi> </mrow> </msup> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <msub> <mi>n</mi> <mi>x</mi> </msub> <msubsup> <mi>E</mi> <mi>z</mi> <mi>i</mi> </msubsup> <mrow> <mo>(</mo> <mi>p</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>-</mo> <msub> <mi>n</mi> <mi>z</mi> </msub> <msubsup> <mi>E</mi> <mi>x</mi> <mi>i</mi> </msubsup> <mrow> <mo>(</mo> <mi>p</mi> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mi>n</mi> <mi>y</mi> </msub> <msubsup> <mi>u</mi> <mi>z</mi> <mi>s</mi> </msubsup> <mrow> <mo>(</mo> <mi>p</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>-</mo> <msub> <mi>n</mi> <mi>z</mi> </msub> <msubsup> <mi>u</mi> <mi>y</mi> <mi>s</mi> </msubsup> <mrow> <mo>(</mo> <mi>p</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <mo>-</mo> <msup> <mi>e</mi> <mrow> <mo>-</mo> <mi>i</mi> <mi>k</mi> <mi>x</mi> </mrow> </msup> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <msub> <mi>n</mi> <mi>y</mi> </msub> <msubsup> <mi>E</mi> <mi>z</mi> <mi>i</mi> </msubsup> <mrow> <mo>(</mo> <mi>p</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>-</mo> <msub> <mi>n</mi> <mi>z</mi> </msub> <msubsup> <mi>E</mi> <mi>y</mi> <mi>i</mi> </msubsup> <mrow> <mo>(</mo> <mi>p</mi> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>8</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>

式中，分别代表入射电场在x轴、y轴、z轴方向上的分量，将对应的抛物线方程代入，P点的三维坐标下的散度方程变换为：

<mrow> <mfrac> <mi>i</mi> <mrow> <mn>2</mn> <mi>k</mi> </mrow> </mfrac> <mrow> <mo>(</mo> <mfrac> <mrow> <msup> <mo>&amp;part;</mo> <mn>2</mn> </msup> <msubsup> <mi>u</mi> <mi>x</mi> <mi>s</mi> </msubsup> </mrow> <mrow> <mo>&amp;part;</mo> <msup> <mi>y</mi> <mn>2</mn> </msup> </mrow> </mfrac> <mo>(</mo> <mi>P</mi> <mo>)</mo> <mo>+</mo> <mfrac> <mrow> <msup> <mo>&amp;part;</mo> <mn>2</mn> </msup> <msubsup> <mi>u</mi> <mi>x</mi> <mi>s</mi> </msubsup> </mrow> <mrow> <mo>&amp;part;</mo> <msup> <mi>z</mi> <mn>2</mn> </msup> </mrow> </mfrac> <mo>(</mo> <mi>P</mi> <mo>)</mo> <mo>)</mo> </mrow> <mo>+</mo> <msubsup> <mi>iku</mi> <mi>x</mi> <mi>s</mi> </msubsup> <mrow> <mo>(</mo> <mi>P</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>+</mo> <mfrac> <mrow> <mo>&amp;part;</mo> <msubsup> <mi>u</mi> <mi>y</mi> <mi>s</mi> </msubsup> </mrow> <mrow> <mo>&amp;part;</mo> <mi>y</mi> </mrow> </mfrac> <mrow> <mo>(</mo> <mi>P</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>+</mo> <mfrac> <mrow> <mo>&amp;part;</mo> <msubsup> <mi>u</mi> <mi>z</mi> <mi>s</mi> </msubsup> </mrow> <mrow> <mo>&amp;part;</mo> <mi>z</mi> </mrow> </mfrac> <mrow> <mo>(</mo> <mi>P</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <mn>0</mn> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>9</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>

对电场u_x(x,y,z)、u_y(x,y,z)以及u_z(x,y,z)采用RPIM构造形函数及其空间导数；

综上所述，构造最终矩阵方程：

<mrow> <mfenced open = "{" close = ""> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mi>u</mi> <mi>x</mi> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mi>x</mi> <mo>+</mo> <mi>&amp;Delta;</mi> <mi>x</mi> <mo>,</mo> <mi>y</mi> <mo>,</mo> <mi>z</mi> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mo>-</mo> <mfrac> <mrow> <mi>i</mi> <mi>&amp;Delta;</mi> <mi>x</mi> </mrow> <mrow> <mn>2</mn> <mi>k</mi> </mrow> </mfrac> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mfrac> <msup> <mo>&amp;part;</mo> <mn>2</mn> </msup> <mrow> <mo>&amp;part;</mo> <msup> <mi>y</mi> <mn>2</mn> </msup> </mrow> </mfrac> <mo>+</mo> <mfrac> <msup> <mo>&amp;part;</mo> <mn>2</mn> </msup> <mrow> <mo>&amp;part;</mo> <msup> <mi>z</mi> <mn>2</mn> </msup> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <msub> <mi>u</mi> <mi>x</mi> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mi>x</mi> <mo>+</mo> <mi>&amp;Delta;</mi> <mi>x</mi> <mo>,</mo> <mi>y</mi> <mo>,</mo> <mi>z</mi> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <msub> <mi>u</mi> <mi>x</mi> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mi>x</mi> <mo>,</mo> <mi>y</mi> <mo>,</mo> <mi>z</mi> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mi>u</mi> <mi>y</mi> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mi>x</mi> <mo>+</mo> <mi>&amp;Delta;</mi> <mi>x</mi> <mo>,</mo> <mi>y</mi> <mo>,</mo> <mi>z</mi> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mo>-</mo> <mfrac> <mrow> <mi>i</mi> <mi>&amp;Delta;</mi> <mi>x</mi> </mrow> <mrow> <mn>2</mn> <mi>k</mi> </mrow> </mfrac> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mfrac> <msup> <mo>&amp;part;</mo> <mn>2</mn> </msup> <mrow> <mo>&amp;part;</mo> <msup> <mi>y</mi> <mn>2</mn> </msup> </mrow> </mfrac> <mo>+</mo> <mfrac> <msup> <mo>&amp;part;</mo> <mn>2</mn> </msup> <mrow> <mo>&amp;part;</mo> <msup> <mi>z</mi> <mn>2</mn> </msup> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <msub> <mi>u</mi> <mi>y</mi> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mi>x</mi> <mo>+</mo> <mi>&amp;Delta;</mi> <mi>x</mi> <mo>,</mo> <mi>y</mi> <mo>,</mo> <mi>z</mi> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <msub> <mi>u</mi> <mi>y</mi> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mi>x</mi> <mo>,</mo> <mi>y</mi> <mo>,</mo> <mi>z</mi> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mi>u</mi> <mi>z</mi> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mi>x</mi> <mo>+</mo> <mi>&amp;Delta;</mi> <mi>x</mi> <mo>,</mo> <mi>y</mi> <mo>,</mo> <mi>z</mi> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mo>-</mo> <mfrac> <mrow> <mi>i</mi> <mi>&amp;Delta;</mi> <mi>x</mi> </mrow> <mrow> <mn>2</mn> <mi>k</mi> </mrow> </mfrac> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mfrac> <msup> <mo>&amp;part;</mo> <mn>2</mn> </msup> <mrow> <mo>&amp;part;</mo> <msup> <mi>y</mi> <mn>2</mn> </msup> </mrow> </mfrac> <mo>+</mo> <mfrac> <msup> <mo>&amp;part;</mo> <mn>2</mn> </msup> <mrow> <mo>&amp;part;</mo> <msup> <mi>z</mi> <mn>2</mn> </msup> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <msub> <mi>u</mi> <mi>z</mi> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mi>x</mi> <mo>+</mo> <mi>&amp;Delta;</mi> <mi>x</mi> <mo>,</mo> <mi>y</mi> <mo>,</mo> <mi>z</mi> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <msub> <mi>u</mi> <mi>z</mi> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mi>x</mi> <mo>,</mo> <mi>y</mi> <mo>,</mo> <mi>z</mi> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mi>n</mi> <mi>x</mi> </msub> <msubsup> <mi>u</mi> <mi>y</mi> <mi>s</mi> </msubsup> <mrow> <mo>(</mo> <mi>p</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>-</mo> <msub> <mi>n</mi> <mi>y</mi> </msub> <msubsup> <mi>u</mi> <mi>x</mi> <mi>s</mi> </msubsup> <mrow> <mo>(</mo> <mi>p</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <mo>-</mo> <msup> <mi>e</mi> <mrow> <mo>-</mo> <mi>i</mi> <mi>k</mi> <mi>x</mi> </mrow> </msup> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <msub> <mi>n</mi> <mi>x</mi> </msub> <msubsup> <mi>E</mi> <mi>y</mi> <mi>i</mi> </msubsup> <mrow> <mo>(</mo> <mi>p</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>-</mo> <msub> <mi>n</mi> <mi>y</mi> </msub> <msubsup> <mi>E</mi> <mi>x</mi> <mi>i</mi> </msubsup> <mrow> <mo>(</mo> <mi>p</mi> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mi>n</mi> <mi>x</mi> </msub> <msubsup> <mi>u</mi> <mi>z</mi> <mi>s</mi> </msubsup> <mrow> <mo>(</mo> <mi>p</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>-</mo> <msub> <mi>n</mi> <mi>z</mi> </msub> <msubsup> <mi>u</mi> <mi>x</mi> <mi>s</mi> </msubsup> <mrow> <mo>(</mo> <mi>p</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <mo>-</mo> <msup> <mi>e</mi> <mrow> <mo>-</mo> <mi>i</mi> <mi>k</mi> <mi>x</mi> </mrow> </msup> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <msub> <mi>n</mi> <mi>x</mi> </msub> <msubsup> <mi>E</mi> <mi>z</mi> <mi>i</mi> </msubsup> <mrow> <mo>(</mo> <mi>p</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>-</mo> <msub> <mi>n</mi> <mi>z</mi> </msub> <msubsup> <mi>E</mi> <mi>x</mi> <mi>i</mi> </msubsup> <mrow> <mo>(</mo> <mi>p</mi> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mi>n</mi> <mi>y</mi> </msub> <msubsup> <mi>u</mi> <mi>z</mi> <mi>s</mi> </msubsup> <mrow> <mo>(</mo> <mi>p</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>-</mo> <msub> <mi>n</mi> <mi>z</mi> </msub> <msubsup> <mi>u</mi> <mi>y</mi> <mi>s</mi> </msubsup> <mrow> <mo>(</mo> <mi>p</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <mo>-</mo> <msup> <mi>e</mi> <mrow> <mo>-</mo> <mi>i</mi> <mi>k</mi> <mi>x</mi> </mrow> </msup> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <msub> <mi>n</mi> <mi>y</mi> </msub> <msubsup> <mi>E</mi> <mi>z</mi> <mi>i</mi> </msubsup> <mrow> <mo>(</mo> <mi>p</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>-</mo> <msub> <mi>n</mi> <mi>z</mi> </msub> <msubsup> <mi>E</mi> <mi>y</mi> <mi>i</mi> </msubsup> <mrow> <mo>(</mo> <mi>p</mi> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mfrac> <mi>i</mi> <mrow> <mn>2</mn> <mi>k</mi> </mrow> </mfrac> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mfrac> <mrow> <msup> <mo>&amp;part;</mo> <mn>2</mn> </msup> <msubsup> <mi>u</mi> <mi>x</mi> <mi>s</mi> </msubsup> </mrow> <mrow> <mo>&amp;part;</mo> <msup> <mi>y</mi> <mn>2</mn> </msup> </mrow> </mfrac> <mrow> <mo>(</mo> <mi>P</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>+</mo> <mfrac> <mrow> <msup> <mo>&amp;part;</mo> <mn>2</mn> </msup> <msubsup> <mi>u</mi> <mi>x</mi> <mi>s</mi> </msubsup> </mrow> <mrow> <mo>&amp;part;</mo> <msup> <mi>z</mi> <mn>2</mn> </msup> </mrow> </mfrac> <mrow> <mo>(</mo> <mi>P</mi> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mo>+</mo> <msubsup> <mi>iku</mi> <mi>x</mi> <mi>s</mi> </msubsup> <mrow> <mo>(</mo> <mi>P</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>+</mo> <mfrac> <mrow> <mo>&amp;part;</mo> <msubsup> <mi>u</mi> <mi>y</mi> <mi>s</mi> </msubsup> </mrow> <mrow> <mo>&amp;part;</mo> <mi>y</mi> </mrow> </mfrac> <mrow> <mo>(</mo> <mi>P</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>+</mo> <mfrac> <mrow> <mo>&amp;part;</mo> <msubsup> <mi>u</mi> <mi>z</mi> <mi>s</mi> </msubsup> </mrow> <mrow> <mo>&amp;part;</mo> <mi>z</mi> </mrow> </mfrac> <mrow> <mo>(</mo> <mi>P</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <mn>0</mn> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>10</mn> <mo>)</mo> </mrow> <mo>.</mo> </mrow>

4.根据权利要求1所述的基于矩量法和抛物线方程的含腔目标电磁散射分析方法，其特征在于，步骤3中所述依次对各个切面上的节点电场值进行递推求解，具体如下：

步骤3.1、将前一个切面各个离散的节点的电场值作为当前切面求解时的右边向量；

步骤3.2、在当前切面所确定的边界点处，加入切向分量为0以及散度为0的边界条件，处于物体内部的节点电场值赋值为0，形成当前切面更新后的矩阵方程；

步骤3.3、求解步骤3.2中更新后的矩阵方程，方程的解即为当前切面各个离散的节点的电场值。

5.根据权利要求1所述的基于矩量法和抛物线方程的含腔目标电磁散射分析方法，其特征在于，步骤4中所述对最后一个切面的电场值进行修正，具体过程如下：

抛物线方程方法的入射电场相对于快速多级子的入射电场相差一个相位，所以最后求得的散射场的电场也将相差一个相位，将这个相位进行补偿，将由快速多级子方法确定的电场乘以作为最终抛物线方程方法所需要的电场值，其中θ为入射波与x轴夹角，为入射波与y轴夹角。

6.根据权利要求1所述的基于矩量法和抛物线方程的含腔目标电磁散射分析方法，其特征在于，步骤5所述运用电场积分方程求解出腔体表面的电流，具体过程如下：

步骤5.1、将腔体的表面用三角形进行剖分，得到每个三角形单元的编号、点的坐标、法相向量；

步骤5.2、运用电场积分方程，作伽辽金测试，并用快速多级子技术加速求解过程，求出腔体表面电流。

7.根据权利要求1所述的基于矩量法和抛物线方程的含腔目标电磁散射分析方法，其特征在于，步骤6所述由含腔目标腔体表面电流求出腔体开口面上抛物线方程所需各个离散点的电场场值，具体步骤如下：

步骤6.1、将腔体开口面进行等间隔离散，离散尺寸不大于0.1个入射波波长，求出每个离散点的坐标值；

步骤6.2、求解开口面上每个离散点的电场。

8.根据权利要求1所述的基于矩量法和抛物线方程的含腔目标电磁散射分析方法，其特征在于，步骤7所述对所得的近场电场值进行近远场转换求解雷达散射截面积，步骤如下：

步骤7.1、将腔体开口面上的电场乘以e^-ikx，替换由无网格抛物线所得的腔体开口处的电场；

步骤7.2、对处理后的最后一个切面上的电场由近场推出远场，根据远场的电场值确定雷达散射截面积。