CN104699870B - 电大复杂有耗介质目标电磁散射抛物线快速仿真方法 - Google Patents

电大复杂有耗介质目标电磁散射抛物线快速仿真方法 Download PDF

Info

Publication number
CN104699870B
CN104699870B CN201310656182.3A CN201310656182A CN104699870B CN 104699870 B CN104699870 B CN 104699870B CN 201310656182 A CN201310656182 A CN 201310656182A CN 104699870 B CN104699870 B CN 104699870B
Authority
CN
China
Prior art keywords
mrow
msub
mfrac
msup
msubsup
Prior art date
Legal status (The legal status is an assumption and is not a legal conclusion. Google has not performed a legal analysis and makes no representation as to the accuracy of the status listed.)
Active
Application number
CN201310656182.3A
Other languages
English (en)
Other versions
CN104699870A (zh
Inventor
何姿
陈如山
樊振宏
丁大志
Current Assignee (The listed assignees may be inaccurate. Google has not performed a legal analysis and makes no representation or warranty as to the accuracy of the list.)
Nanjing University of Science and Technology
Original Assignee
Nanjing University of Science and Technology
Priority date (The priority date is an assumption and is not a legal conclusion. Google has not performed a legal analysis and makes no representation as to the accuracy of the date listed.)
Filing date
Publication date
Application filed by Nanjing University of Science and Technology filed Critical Nanjing University of Science and Technology
Priority to CN201310656182.3A priority Critical patent/CN104699870B/zh
Publication of CN104699870A publication Critical patent/CN104699870A/zh
Application granted granted Critical
Publication of CN104699870B publication Critical patent/CN104699870B/zh
Active legal-status Critical Current
Anticipated expiration legal-status Critical

Links

Landscapes

  • Management, Administration, Business Operations System, And Electronic Commerce (AREA)
  • Medicines Containing Antibodies Or Antigens For Use As Internal Diagnostic Agents (AREA)

Abstract

本发明公开了一种电大复杂有耗介质目标电磁散射抛物线快速仿真方法。抛物线方程（PE）方法可把三维问题转化为一系列的二维问题求解，提高了计算效率。抛物线方法的轴向方向即为待求的散射方向，对轴向方向采用网格进行离散，而垂直于轴向方向的一系列切平面采用无网格的方法进行求解。无网格的引入便于精确模拟复杂结构，自适应的选取影响域的大小控制消耗的内存。本发明不依赖于传统的抛物线方程方法的立方体网格剖分，并且相对于传统的有限差分方法、体面积分等方法，能快速分析电大有耗介质目标电磁散射特性，仅需知道目标表面离散节点的分布信息，便可对其进行快速的电磁散射仿真，其实现过程灵活自由，具有很强的实际工程应用价值。

Description

电大复杂有耗介质目标电磁散射抛物线快速仿真方法
技术领域
本发明属于目标电磁散射特性数值计算技术，特别是一种电大复杂有耗介质目标电磁散射抛物线快速仿真方法。
背景技术
电磁计算的数值方法如矩量法(MOM)，有限元法(FEM)，时域有限差分方法(FDTD)可以很好地解决电小尺寸物体的散射，但在计算电大介质物体的散射时，尤其是当介电常数很大时，对计算机的配置要求过高。近似方法如射线跟踪、物理光学等高频方法则只能求解规则形状的电大金属物体的散射，由于波在介质中传输的复杂性不能够准确的分析介质问题。迭代推进方法是用于求解目标散射问题的一种比较新型的方法，世界上许多国家主要在空间场的迭代递推、电流的迭代递推和时域场的迭代递推等方面做了大量的研究并取得一定的研究成果。抛物线方程(PE：Parabolic Equation)方法属于迭代推进方法，它是波动方程的一种近似形式，假设电磁波能量在沿着抛物线轴向的锥形区域内传播。抛物线方程方法为求解电磁散射提供了一种准确、高效的计算方法，它的主要缺陷是只能对抛物线方向近轴区域内的电磁散射进行快速、准确地计算，不过这种限制可以通过旋转抛物线轴向来克服，主要思想是抛物线的轴向不受入射场方向的限制，使抛物线的轴向围绕散射目标旋转来计算目标任意方向的散射场。抛物线方程方法已成功用于计算大型建筑物的散射和空中、海洋中大型目标的电磁计算，但是该方法需要使用正六面体对物体进行离散建模，所以不能够很好的对复杂物体进行外形的逼近。
抛物线方程方法初期主要用来处理比较复杂的声波的传播问题和光学等方面的问题。该方法首先是由Lenontovich在1946年提出。随后，Malyuzhiners将PE方法和几何光学法结合，提出了一种关于障碍物绕射的理论；Hardin提出了分裂步傅立叶方法，用来解决水下声波的传播问题；Claerbout引入了有限差分，将PE方法应用于地球物理学，它对长距离声波在海洋中的传播和地震波传播的计算和研究提供了一种有效、准确的方法。近年来，国内外学者开始将抛物线方程方法应用于处理电磁散射问题．该算法把波动方程简化为抛物线方程，将散射目标等效为一系列的面元或线元，然后通过散射体上的边界条件和场的空间递推方式求解抛物线方程，把三维问题转化为一系列的二维问题来计算，通过近场——远场转换得到远区散射场，进而计算目标的双站RCS。PE方法在数值方法和解析方法之间架起了一座桥梁。数值方法如矩量法(MOM)，FDTD给出了Mxawell方程的精确解；解析方法则基于射线理论或物理光学理论。
由上可知，精确的数值方法解决电大尺寸有耗介质物体的散射时存在着困难，而通过将阻抗边界条件引入到PE方法中，可以快速计算电大尺寸有耗介质问题的散射问题，同时将无网格方法来进行对复杂目标的建模。但是现有技术中尚无相关描述。
发明内容
本发明的目的在于提供一种电大复杂有耗介质目标电磁散射抛物线快速仿真方法，该方法不依赖于有耗介质目标的规则化网格剖分，同时高介电常数不影响未知量的增减，从而实现快速得到电磁散射特性参数的方法。
实现本发明目的的技术解决方案为：一种电大复杂有耗介质目标电磁散射抛物线快速仿真方法，步骤如下：
步骤1、建立散射体的离散模型，确定抛物线的轴向方向作为x轴，采用网格对散射体沿抛物线的轴向方向进行离散处理，形成垂直于x轴的若干个切面，通过求解剖分的三角形网格与切面交点确定每个切面所切散射体的边界点，再通过四面体网格来判断所有节点的位置；具体包括以下步骤：
步骤1-1、在每个切面上面选取等间距分布的参考点；
步骤1-2、对散射体进行三角面元的面剖分，确定x方向每个切面的方程，求解三角面元与切面的交点，并将交点标记为每个切面上散射体的边界点；
步骤1-3、对散射体进行四面体的体剖分，通过判别参考点是否处于四面体内部来区分参考点处于散射体内部或者散射体外部，并对这些不同位置的参考点进行标记。
步骤2、构造矩阵方程，在x方向使用CN差分格式获取相邻两个切面间的关系，在y、z方向采用RPIM构造形函数及其空间导数，并且在散射体表面引入阻抗边界条件以及散度方程，联立构造出矩阵方程；具体包括以下步骤：
步骤2-1、在三维情况下，标准矢量抛物线方程表示为：
式中，分别代表波函数在x,y,z方向的分量，分别代表电场在x,y,z方向的分量，k为波束，i为虚数，n为媒质折射系数；
对x方向的求导由CN差分可得：
其中，Δx代表前后两个切面的间距，对y、z方向的求导采用RPIM构造形函数及其空间导数，电场u(x,y,z)通过形函数展开，形式如下所示：
u(x,y,z)＝Φ(x,y,z)US(x,y,z) (3)
US(x,y,z)为待求的电场系数,Φ(x,y,z)＝[Φ1(x,y,z),Φ2(x,y,z),...,ΦN(x,y,z)]为形函数，N为支撑域内离散节点的个数，对u(x,y,z)的求导可以通过对Φ(x,y,z)求导实现；
步骤2-2、在PML媒质中，矢量抛物线方程表示为：
式中，σ()代表电损耗的函数，σ0代表电损耗的系数，δ代表趋肤深度的系数；
对x方向的求导由CN差分可得：
对y、z方向的求导采用RPIM构造形函数及其空间导数；
步骤2-3、对于物体边界点，假设P为散射体表面上的点，n=(nx,ny,nz)为P点的法向方向，在有耗介质的表面上，由阻抗边界条件可得：
n×E(P)＝Z(P)n×{n×H(P)} （6）
式中，Ei代表入射电场，其中则可得：
式中，σ为介质的电导率，对边界条件进行变形可得：
由上式可得对应的三个方程：
将关系式u＝e-jkxE带入，可得：
将带入上式，可得：
为了构造一个切面上的关系，将对x方向的偏导数替换为y、z方向的偏导数，即将抛物线方程（1）带入到（11）式中，整理可得：
上式为一个秩为2的方程组，不能唯一确定边界条件，引入散度方程来是方程组具有唯一的解，P点的三维坐标下的散度方程变为：
对电场ux(x,y,z)、uy(x,y,z)以及uz(x,y,z)采用RPIM构造形函数及其空间导数；
综上所述，构造方程，最终为：
步骤3、对各个面上的节点电场值进行递推求解，通过不断更新边界点的信息以及方程的右边向量来求解下一个切面上各个离散节点处的电场值；具体过程如下：
步骤3-1、对第一个切面，将边界点处设定为负的入射波的场值，作为当前切面的右边向量；
步骤3-2、将前一个切面各个离散的节点的电场值作为当前切面求解时的右边向量；
步骤3-3、在当前切面所确定的边界点处，加入阻抗边界条件，处于物体内部的节点则不视为未知量，形成当前切面更新后的矩阵方程；
步骤3-4、求解步骤3-3中更新后的矩阵方程，方程的解即为当前切面各个离散的节点的电场值，之后返回步骤3-2，依次递推求解各个切面的电场值，直至所有切面求解完毕为止。
步骤4、对最后一个切面的电场值进行后处理，具体为：求解最后一个切面的矩阵方程，得到离散节点处的电场值，根据近场的电场值确定雷达散射截面积。对最后一个切面的电场值进行后处理，具体是根据近场的电场值，进行近场与远场的转化，进而确定雷达散射截面积，所述雷达散射截面积的表达式为：
三维坐标系下，在(θ,φ)方向的双站RCS为：
其中Es和Ei分别表示散射场和入射场的电场分量，π为圆周率。
本发明与现有技术相比，其显著优点为：（1）本发明的方法建立模型的方法简单，在垂直于抛物线轴向的切面上，不需要再建立类似于FDTD的等间距规则网格，只要确定一些离散点的信息即可。（2）方程形成简单，本方法可以将一个三维问题转化为一系列的二维问题进行求解，通过形函数构造矩阵方程，矩阵形成快捷简便。（3）形成矩阵方程性态好，由于各个离散的节点场值只跟其支撑域内的节点场值有关，所以形成的矩阵是一个稀疏矩阵，内存消耗小，矩阵性态好易于求解。
下面结合附图对本发明作进一步详细描述。
附图说明
图1是本发明某一切面上未知量分布的示意图。
图2是本发明能量沿抛物线轴向传播示意图。
图3是本发明离散节点支撑域的示意图。
图4是本发明前后两个切面边界点有交差情况处理的示意图。
图5是本发明入射场方向与矢量抛物线轴向方向示意图。
图6是本发明实施例中有耗介质目标双站RCS曲线图。
具体实施方式
下面结合附图对本发明作进一步详细描述。
结合附图，本发明一种电大复杂有耗介质目标电磁散射抛物线快速仿真方法，步骤如下：
第一步，模型的建立，具体步骤如下：
首先，在每个(y-z)切面上选取一些分布均匀的参考点，这些参考点用作于两个切面间的插值以及构造形函数时使用。参考点之间的距离根据需要进行设定,一般情况下选定定为十分之一个波长。
用三角形面元对物体进行面剖分，获取物体表面的一些离散的节点信息。垂直于x轴即为抛物线轴向，形成很多切面，这些切面与三角形相交，通过节点的几何信息求解出与切面的交点，将这些交点作为散射体在当前切面的边界点。同时对散射体进行四面体的体剖分，对每个切面上的参考点进行循环判断，看该点是否处于某个四面体的内部，如果该点处于四面体的内部则认为该点为散射体的内部点，否则认为该点处在空气层。认为离空气盒边界一定距离的点为PML层内的参考点。
通过上面的方法可得到各个切面上物体边界的节点，结合每个面上散射体外的参考点，构成了一个切面上总的未知量,各个切面的未知量分别由每个面上散射体外部固有的离散参考点和边界点相加得到。某个切面上未知量的分布示意图如图1所示，根据各个点的几何位置关系以及坐标关系确定出点所在的位置的属性，具体判断准则如下所示：
第一：离切面的上下左右边缘1个波长的节点都设置为PML的性质；
第二：由上述方法找到的交点即为物体的边界点，由边界点连成的轮廓线内的所有节点为物体的内部节点，这些参考点不作为当前面的未知量；
第三：其余的节点即为空气层的离散节点。
以上即可完成目标的建模，为下面的矩阵构造以及求解奠定了基础。
第二步，构造矩阵方程，具体步骤如下：
首先，我们给出三维标量波动方程：
其中，E代表电场分量，n为煤质折射系数，k为波数。取x轴方向为抛物线的轴方向，定义沿x方向传播的波函数，如图2所示：
u(x,y,z)＝e-ikxE(x,y,z) （4）
将式(4)带入式(3)，可得：
可将其分解为：
其中微分算子Q为：
我们只取前向抛物线形式，并利用Q的泰勒展开式，可得小角度抛物线方程：
在三维情况下，标准矢量抛物线方程可表示为：
其中，分别代表波函数在x,y,z方向的分量，i为虚数。对x方向的求导由CN差分获得，对y、z方向的求导采用RPIM构造形函数及其空间导数，电场u(x,y,z)通过形函数u(x,y,z)＝Φ(x,y,z)US(x,y,z)展开，US(x,y,z)为待求的电场系数,Φ(x,y,z)＝[Φ1(x,y,z),Φ2(x,y,z),...,ΦN(x,y,z)]为形函数，N为支撑域内离散节点的个数（如图3所示），对u(x,y,z)关于y和z的求导可以通过对Φ(x,y,z)求导实现，上式可离散成如下形式：
其中，Δx代表前后两个切面的间距，在PML媒质中，相应的矢量抛物线方程可表示为：
式中，σ()代表电损耗的函数，σ0代表电损耗的系数，δ代表趋肤深度的系数。对x方向的求导由CN差分获得，对y、z方向的求导采用RPIM构造形函数及其空间导数，电场u(x,y,z)通过形函数u(x,y,z)＝Φ(x,y,z)US(x,y,z)展开，US(x,y,z)为待求的电场系数,Φ(x,y,z)＝[Φ1(x,y,z),Φ2(x,y,z),...,ΦN(x,y,z)]为形函数，N为支撑域内离散节点的个数，对u(x,y,z)关于y和z的求导可以通过对Φ(x,y,z)求导实现，上式可离散成如下形式：
通过（10）式即可构造前后两个切面上电场值US,x(x,y,z),US,y(x,y,z),US,z(x,y,z)与US,x(x+Δx,y,z),US,y(x+Δx,y,z),US,z(x+Δx,y,z)的关系的矩阵方程。
第三步，矩阵方程阻抗边界边界添加以及递推求解，具体步骤如下：
对于物体边界点，假设P为散射体表面上的点，n=(nx,ny,nz)为P点的法向方向，在有耗介质的表面上即：
将抛物线方程以及变换u＝e-jkxE带入，化简可得：
对上式三个方程的x方向采用CN差分，电场u(x,y,z)通过形函数u(x,y,z)＝Φ(x,y,z)US(x,y,z)展开，US(x,y,z)为待求的电场系数,Φ(x,y,z)＝[Φ1(x,y,z),Φ2(x,y,z),...,ΦN(x,y,z)]为形函数，N为支撑域内离散节点的个数，上式三个方程可表示成如下形式：
式中，分别代表入射电场在x,y,z方向上的分量。上面的三个方程并不是相互独立的，其系数矩阵的秩为2，没有定解，只有加上Maxwell的散度方程，才可构成系数矩阵秩为3的线性方程组，解具有唯一性。
将对应的抛物线方程代入，P点的三维坐标下的散度方程变为：
电场u(x,y,z)通过形函数u(x,y,z)＝Φ(x,y,z)US(x,y,z)展开，US(x,y,z)为待求的电场系数,Φ(x,y,z)＝[Φ1(x,y,z),Φ2(x,y,z),...,ΦN(x,y,z)]为形函数，N为支撑域内离散节点的个数，对u(x,y,z)关于y和z的求导可以通过对Φ(x,y,z)求导实现，上式可离散成如下形式：
将（15-17）式与（19）式联立，构造系数矩阵秩为3的线性方程组，将耦合关系填入到矩阵方程中，即可完成非其次边界条件的添加。
每个切面的未知量的个数是参考点的个数加上本切面边界点的个数，根据处于不同的位置，带入不同的离散方程，由前一个面的电场值求得下一个面的电场值，不断递推得到最后一个切面的电场值。
对于前后两个切面如果有重叠型区域的出现，如图4所示。对于同时处于两个切面的边界轮廓外的参考点直接将参考点上的场值赋值给下一个面的参考点；对于处于前一个切面边界轮廓内同时处于当前切面边界轮廓外的参考点视其为边界点使用阻抗边界条件进行处理；对于处于前一个切面边界轮廓外同时处于当前切面边界轮廓内的参考点则不视为未知量；对于当前面的边界点直接填入阻抗边界条件的方程。
第四步，电磁散射参数的计算，具体步骤如下：
三维情况下波函数可写为一下形式：
其中函数g(x,y,z)为抛物线方程中传播因子e-ikx(1-S)的傅立叶逆变换，S(p,q)定义为：
可得
其中
上式对x求偏微分，得
对于x0≤x，场为：
其中
在球坐标系下，进行近场到远场的转换：
其中，θ表示空间位置与x轴的夹角，φ表示空间位置与y轴的夹角。远场可表示为：
三维坐标系下，在(θ,φ)方向的双站RCS为：
其中Es和Ei分别表示散射场和入射场的电场分量。
若接收天线的极化方向为t，则
若入射平面波的振幅为1，则三维情况下目标的双站RCS为：
矢量抛物线方法充分考虑了极化的影响，将对波动方程的求解转换成对抛物线方程的求解，结合适当的边界条件，利用小角度矢量抛物线的形式，每个矢量抛物线方程计算出沿抛物线轴向方向大小不超过15°的锥形范围内的散射场。如图6所示，通过旋转抛物线的轴向方向来计算各个方向的散射场，然后通过近场远推获得远区的散射场，从而计算得到目标的双站RCS。
下面结合实施例对本发明做进一步详细的描述：
实施例1
为了验证本文方法的正确性与有效性，进行了具有有耗介质电磁散射的典型仿真，仿真在主频2.83GHz、内存3.5GB的个人计算机上实现，以边长为4m的有耗介质立方体为例，介电常数实部为1.0虚部为10.0，入射波频率为300MHz，入射波的方向θ＝0°，x方向上的离散间隔delx=0.1，为了验证本发明方法的正确性，以商业软件CST仿真结果作为参照。图6为两种电磁散射特性仿真的RCS曲线图，从图中的曲线可以看出，本文方法与正确的数值结果吻合，并且时间上面具有明显的优势，此方法只需要1分钟左右的时间，而CST计算时间大于五个小时，说明本文方法能够快速仿真分析有耗介质目标的电磁散射特性。
综上所述，本发明可将一个复杂的三维问题分解为很多个二维的问题进行求解，并且不依赖于网格的规范性，介电常数的增加对未知量没有直接的影响，便可对其进行快速的电磁散射仿真，其实现过程灵活自由，具有很强的实际工程应用价值。

Claims (5)

1.一种电大复杂有耗介质目标电磁散射抛物线快速仿真方法，其特征在于，步骤如下：
步骤1、建立散射体的离散模型，确定抛物线的轴向方向作为x轴，采用网格对散射体沿抛物线的轴向方向进行离散处理，形成垂直于x轴的若干个切面，通过求解剖分的三角形网格与切面交点确定每个切面所切散射体的边界点，再通过四面体网格来判断所有节点的位置；
步骤2、构造矩阵方程，在x方向使用CN差分格式获取相邻两个切面间的关系，在y、z方向采用RPIM构造形函数及其空间导数，并且在散射体表面引入阻抗边界条件以及散度方程，联立构造出矩阵方程；
步骤3、对各个面上的节点电场值进行递推求解，通过不断更新边界点的信息以及方程的右边向量来求解下一个切面上各个离散节点处的电场值；
步骤4、对最后一个切面的电场值进行后处理，具体为：求解最后一个切面的矩阵方程，得到离散节点处的电场值，根据近场的电场值确定雷达散射截面积。
2.根据权利要求1所述的电大复杂有耗介质目标电磁散射抛物线快速仿真方法，其特征在于，步骤1中确定每个切面所切物体的边界点具体包括以下步骤：
步骤1-1、在每个切面上面选取等间距分布的参考点；
步骤1-2、对散射体进行三角面元的面剖分，确定x方向每个切面的方程，求解三角面元与切面的交点，并将交点标记为每个切面上散射体的边界点；
步骤1-3、对散射体进行四面体的体剖分，通过判别参考点是否处于四面体内部来区分参考点处于散射体内部或者散射体外部，并对这些不同位置的参考点进行标记。
3.根据权利要求1所述的电大复杂有耗介质目标电磁散射抛物线快速仿真方法，其特征在于，步骤2中构造矩阵方程具体包括以下步骤：
步骤2-1、在三维情况下，标准矢量抛物线方程表示为：
<mrow> <mfenced open='{' close=''> <mtable> <mtr> <mtd> <mfrac> <msubsup> <mrow> <mo>&amp;PartialD;</mo> <mi>u</mi> </mrow> <mi>x</mi> <mi>s</mi> </msubsup> <mrow> <mo>&amp;PartialD;</mo> <mi>x</mi> </mrow> </mfrac> <mrow> <mo>(</mo> <mi>x</mi> <mo>,</mo> <mi>y</mi> <mo>,</mo> <mi>z</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <mfrac> <mi>i</mi> <mrow> <mn>2</mn> <mi>k</mi> </mrow> </mfrac> <mrow> <mo>(</mo> <mfrac> <mrow> <msup> <mo>&amp;PartialD;</mo> <mn>2</mn> </msup> <msubsup> <mi>u</mi> <mi>x</mi> <mi>s</mi> </msubsup> </mrow> <msup> <mrow> <mo>&amp;PartialD;</mo> <mi>y</mi> </mrow> <mn>2</mn> </msup> </mfrac> <mrow> <mo>(</mo> <mi>x</mi> <mo>,</mo> <mi>y</mi> <mo>,</mo> <mi>z</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>+</mo> <mfrac> <mrow> <msup> <mo>&amp;PartialD;</mo> <mn>2</mn> </msup> <msubsup> <mi>u</mi> <mi>x</mi> <mi>s</mi> </msubsup> </mrow> <msup> <mrow> <mo>&amp;PartialD;</mo> <mi>z</mi> </mrow> <mn>2</mn> </msup> </mfrac> <mrow> <mo>(</mo> <mi>x</mi> <mo>,</mo> <mi>y</mi> <mo>,</mo> <mi>z</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>+</mo> <msup> <mi>k</mi> <mn>2</mn> </msup> <mrow> <mo>(</mo> <msup> <mi>n</mi> <mn>2</mn> </msup> <mo>-</mo> <mn>1</mn> <mo>)</mo> </mrow> <msubsup> <mi>u</mi> <mi>x</mi> <mi>s</mi> </msubsup> <mo>)</mo> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mfrac> <msubsup> <mrow> <mo>&amp;PartialD;</mo> <mi>u</mi> </mrow> <mi>y</mi> <mi>s</mi> </msubsup> <mrow> <mo>&amp;PartialD;</mo> <mi>x</mi> </mrow> </mfrac> <mrow> <mo>(</mo> <mi>x</mi> <mo>,</mo> <mi>y</mi> <mo>,</mo> <mi>z</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <mfrac> <mi>i</mi> <mrow> <mn>2</mn> <mi>k</mi> </mrow> </mfrac> <mrow> <mo>(</mo> <mfrac> <mrow> <msup> <mo>&amp;PartialD;</mo> <mn>2</mn> </msup> <msubsup> <mi>u</mi> <mi>y</mi> <mi>s</mi> </msubsup> </mrow> <msup> <mrow> <mo>&amp;PartialD;</mo> <mi>y</mi> </mrow> <mn>2</mn> </msup> </mfrac> <mrow> <mo>(</mo> <mi>x</mi> <mo>,</mo> <mi>y</mi> <mo>,</mo> <mi>z</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>+</mo> <mfrac> <mrow> <msup> <mo>&amp;PartialD;</mo> <mn>2</mn> </msup> <msubsup> <mi>u</mi> <mi>y</mi> <mi>s</mi> </msubsup> </mrow> <msup> <mrow> <mo>&amp;PartialD;</mo> <mi>z</mi> </mrow> <mn>2</mn> </msup> </mfrac> <mrow> <mo>(</mo> <mi>x</mi> <mo>,</mo> <mi>y</mi> <mo>,</mo> <mi>z</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>+</mo> <msup> <mi>k</mi> <mn>2</mn> </msup> <mrow> <mo>(</mo> <msup> <mi>n</mi> <mn>2</mn> </msup> <mo>-</mo> <mn>1</mn> <mo>)</mo> </mrow> <msubsup> <mi>u</mi> <mi>y</mi> <mi>s</mi> </msubsup> <mo>)</mo> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mfrac> <msubsup> <mrow> <mo>&amp;PartialD;</mo> <mi>u</mi> </mrow> <mi>z</mi> <mi>s</mi> </msubsup> <mrow> <mo>&amp;PartialD;</mo> <mi>x</mi> </mrow> </mfrac> <mrow> <mo>(</mo> <mi>x</mi> <mo>,</mo> <mi>y</mi> <mo>,</mo> <mi>z</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <mfrac> <mi>i</mi> <mrow> <mn>2</mn> <mi>k</mi> </mrow> </mfrac> <mrow> <mo>(</mo> <mfrac> <mrow> <msup> <mo>&amp;PartialD;</mo> <mn>2</mn> </msup> <msubsup> <mi>u</mi> <mi>z</mi> <mi>s</mi> </msubsup> </mrow> <msup> <mrow> <mo>&amp;PartialD;</mo> <mi>y</mi> </mrow> <mn>2</mn> </msup> </mfrac> <mrow> <mo>(</mo> <mi>x</mi> <mo>,</mo> <mi>y</mi> <mo>,</mo> <mi>z</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>+</mo> <mfrac> <mrow> <msup> <mo>&amp;PartialD;</mo> <mn>2</mn> </msup> <msubsup> <mi>u</mi> <mi>z</mi> <mi>s</mi> </msubsup> </mrow> <msup> <mrow> <mo>&amp;PartialD;</mo> <mi>z</mi> </mrow> <mn>2</mn> </msup> </mfrac> <mrow> <mo>(</mo> <mi>x</mi> <mo>,</mo> <mi>y</mi> <mo>,</mo> <mi>z</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>+</mo> <msup> <mi>k</mi> <mn>2</mn> </msup> <mrow> <mo>(</mo> <msup> <mi>n</mi> <mn>2</mn> </msup> <mo>-</mo> <mn>1</mn> <mo>)</mo> </mrow> <msubsup> <mi>u</mi> <mi>z</mi> <mi>s</mi> </msubsup> <mo>)</mo> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>1</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
式中，分别代表波函数在x,y,z方向的分量，分别代表电场在x,y,z方向的分量，k为波束，i为虚数，n为媒质折射系数；
对x方向的求导由CN差分可得：
<mrow> <msub> <mi>u</mi> <mi>x</mi> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mi>x</mi> <mo>+</mo> <mi>&amp;Delta;x</mi> <mo>,</mo> <mi>y</mi> <mo>,</mo> <mi>z</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>-</mo> <mfrac> <mi>i&amp;Delta;x</mi> <mrow> <mn>2</mn> <mi>k</mi> </mrow> </mfrac> <mrow> <mo>(</mo> <mfrac> <msup> <mo>&amp;PartialD;</mo> <mn>2</mn> </msup> <msup> <mrow> <mo>&amp;PartialD;</mo> <mi>y</mi> </mrow> <mn>2</mn> </msup> </mfrac> <mo>+</mo> <mfrac> <msup> <mo>&amp;PartialD;</mo> <mn>2</mn> </msup> <msup> <mrow> <mo>&amp;PartialD;</mo> <mi>z</mi> </mrow> <mn>2</mn> </msup> </mfrac> <mo>+</mo> <msup> <mi>k</mi> <mn>2</mn> </msup> <mrow> <mo>(</mo> <msup> <mi>n</mi> <mn>2</mn> </msup> <mo>-</mo> <mn>1</mn> <mo>)</mo> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <msub> <mi>u</mi> <mi>x</mi> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mi>x</mi> <mo>+</mo> <mi>&amp;Delta;x</mi> <mo>,</mo> <mi>y</mi> <mo>,</mo> <mi>z</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <msub> <mi>u</mi> <mi>x</mi> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mi>x</mi> <mo>,</mo> <mi>y</mi> <mo>,</mo> <mi>z</mi> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
<mrow> <msub> <mi>u</mi> <mi>y</mi> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mi>x</mi> <mo>+</mo> <mi>&amp;Delta;x</mi> <mo>,</mo> <mi>y</mi> <mo>,</mo> <mi>z</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>-</mo> <mfrac> <mi>i&amp;Delta;x</mi> <mrow> <mn>2</mn> <mi>k</mi> </mrow> </mfrac> <mrow> <mo>(</mo> <mfrac> <msup> <mo>&amp;PartialD;</mo> <mn>2</mn> </msup> <msup> <mrow> <mo>&amp;PartialD;</mo> <mi>y</mi> </mrow> <mn>2</mn> </msup> </mfrac> <mo>+</mo> <mfrac> <msup> <mo>&amp;PartialD;</mo> <mn>2</mn> </msup> <msup> <mrow> <mo>&amp;PartialD;</mo> <mi>z</mi> </mrow> <mn>2</mn> </msup> </mfrac> <mo>+</mo> <msup> <mi>k</mi> <mn>2</mn> </msup> <mrow> <mo>(</mo> <msup> <mi>n</mi> <mn>2</mn> </msup> <mo>-</mo> <mn>1</mn> <mo>)</mo> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <msub> <mi>u</mi> <mi>y</mi> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mi>x</mi> <mo>+</mo> <mi>&amp;Delta;x</mi> <mo>,</mo> <mi>y</mi> <mo>,</mo> <mi>z</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <msub> <mi>u</mi> <mi>y</mi> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mi>x</mi> <mo>,</mo> <mi>y</mi> <mo>,</mo> <mi>z</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>2</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
<mrow> <msub> <mi>u</mi> <mi>z</mi> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mi>x</mi> <mo>+</mo> <mi>&amp;Delta;x</mi> <mo>,</mo> <mi>y</mi> <mo>,</mo> <mi>z</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>-</mo> <mfrac> <mi>i&amp;Delta;x</mi> <mrow> <mn>2</mn> <mi>k</mi> </mrow> </mfrac> <mrow> <mo>(</mo> <mfrac> <msup> <mo>&amp;PartialD;</mo> <mn>2</mn> </msup> <msup> <mrow> <mo>&amp;PartialD;</mo> <mi>y</mi> </mrow> <mn>2</mn> </msup> </mfrac> <mo>+</mo> <mfrac> <msup> <mo>&amp;PartialD;</mo> <mn>2</mn> </msup> <msup> <mrow> <mo>&amp;PartialD;</mo> <mi>z</mi> </mrow> <mn>2</mn> </msup> </mfrac> <mo>+</mo> <msup> <mi>k</mi> <mn>2</mn> </msup> <mrow> <mo>(</mo> <msup> <mi>n</mi> <mn>2</mn> </msup> <mo>-</mo> <mn>1</mn> <mo>)</mo> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <msub> <mi>u</mi> <mi>z</mi> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mi>x</mi> <mo>+</mo> <mi>&amp;Delta;x</mi> <mo>,</mo> <mi>y</mi> <mo>,</mo> <mi>z</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <msub> <mi>u</mi> <mi>z</mi> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mi>x</mi> <mo>,</mo> <mi>y</mi> <mo>,</mo> <mi>z</mi> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> 1
其中，Δx代表前后两个切面的间距，对y、z方向的求导采用RPIM构造形函数及其空间导数，电场u(x,y,z)通过形函数展开，形式如下所示：
u(x,y,z)＝Φ(x,y,z)US(x,y,z) (3)
US(x,y,z)为待求的电场系数,Φ(x,y,z)＝[Φ1(x,y,z),Φ2(x,y,z),...,ΦN(x,y,z)]为形函数，N为支撑域内离散节点的个数，对u(x,y,z)的求导可以通过对Φ(x,y,z)求导实现；
步骤2-2、在PML媒质中，矢量抛物线方程表示为：
<mrow> <mfenced open='{' close=''> <mtable> <mtr> <mtd> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <mfrac> <mn>1</mn> <mrow> <mn>1</mn> <mo>-</mo> <mi>i&amp;sigma;</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>y</mi> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mfrac> <mo>)</mo> </mrow> <mn>2</mn> </msup> <mfrac> <mrow> <msup> <mo>&amp;PartialD;</mo> <mn>2</mn> </msup> <msubsup> <mi>u</mi> <mi>x</mi> <mi>s</mi> </msubsup> <mrow> <mo>(</mo> <mi>x</mi> <mo>,</mo> <mi>y</mi> <mo>,</mo> <mi>z</mi> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> <msup> <mrow> <mo>&amp;PartialD;</mo> <mi>y</mi> </mrow> <mn>2</mn> </msup> </mfrac> <mo>+</mo> <mfrac> <mrow> <mn>2</mn> <mi>i</mi> <msub> <mi>&amp;sigma;</mi> <mn>0</mn> </msub> <mi>y</mi> </mrow> <mrow> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <mn>1</mn> <mo>-</mo> <mi>i&amp;sigma;</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>y</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mn>3</mn> </msup> <msup> <mi>&amp;delta;</mi> <mn>2</mn> </msup> </mrow> </mfrac> <mfrac> <mrow> <msubsup> <mrow> <mo>&amp;PartialD;</mo> <mi>u</mi> </mrow> <mi>x</mi> <mi>s</mi> </msubsup> <mrow> <mo>(</mo> <mi>x</mi> <mo>,</mo> <mi>y</mi> <mo>,</mo> <mi>z</mi> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> <mrow> <mo>&amp;PartialD;</mo> <mi>y</mi> </mrow> </mfrac> <mo>+</mo> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <mfrac> <mn>1</mn> <mrow> <mn>1</mn> <mo>-</mo> <mi>i&amp;sigma;</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>z</mi> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mfrac> <mo>)</mo> </mrow> <mn>2</mn> </msup> <mfrac> <mrow> <msup> <mo>&amp;PartialD;</mo> <mn>2</mn> </msup> <msubsup> <mi>u</mi> <mi>x</mi> <mi>s</mi> </msubsup> <mrow> <mo>(</mo> <mi>x</mi> <mo>,</mo> <mi>y</mi> <mo>,</mo> <mi>z</mi> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> <msup> <mrow> <mo>&amp;PartialD;</mo> <mi>z</mi> </mrow> <mn>2</mn> </msup> </mfrac> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mo>+</mo> <mfrac> <mrow> <mn>2</mn> <mi>i</mi> <msub> <mi>&amp;sigma;</mi> <mn>0</mn> </msub> <mi>z</mi> </mrow> <mrow> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <mn>1</mn> <mo>-</mo> <mi>i&amp;sigma;</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>z</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mn>3</mn> </msup> <msup> <mi>&amp;delta;</mi> <mn>2</mn> </msup> </mrow> </mfrac> <mfrac> <mrow> <msubsup> <mrow> <mo>&amp;PartialD;</mo> <mi>u</mi> </mrow> <mi>x</mi> <mi>s</mi> </msubsup> <mrow> <mo>(</mo> <mi>x</mi> <mo>,</mo> <mi>y</mi> <mo>,</mo> <mi>z</mi> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> <mrow> <mo>&amp;PartialD;</mo> <mi>z</mi> </mrow> </mfrac> <mo>+</mo> <mn>2</mn> <mi>ik</mi> <mfrac> <mrow> <msubsup> <mrow> <mo>&amp;PartialD;</mo> <mi>u</mi> </mrow> <mi>x</mi> <mi>s</mi> </msubsup> <mrow> <mo>(</mo> <mi>x</mi> <mo>,</mo> <mi>y</mi> <mo>,</mo> <mi>z</mi> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> <mrow> <mo>&amp;PartialD;</mo> <mi>x</mi> </mrow> </mfrac> <mo>=</mo> <mn>0</mn> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <mfrac> <mn>1</mn> <mrow> <mn>1</mn> <mo>-</mo> <mi>i&amp;sigma;</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>y</mi> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mfrac> <mo>)</mo> </mrow> <mn>2</mn> </msup> <mfrac> <mrow> <msup> <mo>&amp;PartialD;</mo> <mn>2</mn> </msup> <msubsup> <mi>u</mi> <mi>y</mi> <mi>s</mi> </msubsup> <mrow> <mo>(</mo> <mi>x</mi> <mo>,</mo> <mi>y</mi> <mo>,</mo> <mi>z</mi> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> <msup> <mrow> <mo>&amp;PartialD;</mo> <mi>y</mi> </mrow> <mn>2</mn> </msup> </mfrac> <mo>+</mo> <mfrac> <mrow> <mn>2</mn> <mi>i</mi> <msub> <mi>&amp;sigma;</mi> <mn>0</mn> </msub> <mi>y</mi> </mrow> <mrow> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <mn>1</mn> <mo>-</mo> <mi>i&amp;sigma;</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>y</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mn>3</mn> </msup> <msup> <mi>&amp;delta;</mi> <mn>2</mn> </msup> </mrow> </mfrac> <mfrac> <mrow> <msubsup> <mrow> <mo>&amp;PartialD;</mo> <mi>u</mi> </mrow> <mi>y</mi> <mi>s</mi> </msubsup> <mrow> <mo>(</mo> <mi>x</mi> <mo>,</mo> <mi>y</mi> <mo>,</mo> <mi>z</mi> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> <mrow> <mo>&amp;PartialD;</mo> <mi>y</mi> </mrow> </mfrac> <mo>+</mo> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <mfrac> <mn>1</mn> <mrow> <mn>1</mn> <mo>-</mo> <mi>i&amp;sigma;</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>z</mi> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mfrac> <mo>)</mo> </mrow> <mn>2</mn> </msup> <mfrac> <mrow> <msup> <mo>&amp;PartialD;</mo> <mn>2</mn> </msup> <msubsup> <mi>u</mi> <mi>y</mi> <mi>s</mi> </msubsup> <mrow> <mo>(</mo> <mi>x</mi> <mo>,</mo> <mi>y</mi> <mo>,</mo> <mi>z</mi> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> <msup> <mrow> <mo>&amp;PartialD;</mo> <mi>z</mi> </mrow> <mn>2</mn> </msup> </mfrac> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mo>+</mo> <mfrac> <mrow> <mn>2</mn> <mi>i</mi> <msub> <mi>&amp;sigma;</mi> <mn>0</mn> </msub> <mi>z</mi> </mrow> <mrow> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <mn>1</mn> <mo>-</mo> <mi>i&amp;sigma;</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>z</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mn>3</mn> </msup> <msup> <mi>&amp;delta;</mi> <mn>2</mn> </msup> </mrow> </mfrac> <mfrac> <mrow> <msubsup> <mrow> <mo>&amp;PartialD;</mo> <mi>u</mi> </mrow> <mi>y</mi> <mi>s</mi> </msubsup> <mrow> <mo>(</mo> <mi>x</mi> <mo>,</mo> <mi>y</mi> <mo>,</mo> <mi>z</mi> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> <mrow> <mo>&amp;PartialD;</mo> <mi>z</mi> </mrow> </mfrac> <mo>+</mo> <mn>2</mn> <mi>ik</mi> <mfrac> <mrow> <msubsup> <mrow> <mo>&amp;PartialD;</mo> <mi>u</mi> </mrow> <mi>y</mi> <mi>s</mi> </msubsup> <mrow> <mo>(</mo> <mi>x</mi> <mo>,</mo> <mi>y</mi> <mo>,</mo> <mi>z</mi> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> <mrow> <mo>&amp;PartialD;</mo> <mi>x</mi> </mrow> </mfrac> <mo>=</mo> <mn>0</mn> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <mfrac> <mn>1</mn> <mrow> <mn>1</mn> <mo>-</mo> <mi>i&amp;sigma;</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>y</mi> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mfrac> <mo>)</mo> </mrow> <mn>2</mn> </msup> <mfrac> <mrow> <msup> <mo>&amp;PartialD;</mo> <mn>2</mn> </msup> <msubsup> <mi>u</mi> <mi>z</mi> <mi>s</mi> </msubsup> <mrow> <mo>(</mo> <mi>x</mi> <mo>,</mo> <mi>y</mi> <mo>,</mo> <mi>z</mi> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> <msup> <mrow> <mo>&amp;PartialD;</mo> <mi>y</mi> </mrow> <mn>2</mn> </msup> </mfrac> <mo>+</mo> <mfrac> <mrow> <mn>2</mn> <mi>i</mi> <msub> <mi>&amp;sigma;</mi> <mn>0</mn> </msub> <mi>y</mi> </mrow> <mrow> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <mn>1</mn> <mo>-</mo> <mi>i&amp;sigma;</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>y</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mn>3</mn> </msup> <msup> <mi>&amp;delta;</mi> <mn>2</mn> </msup> </mrow> </mfrac> <mfrac> <mrow> <msubsup> <mrow> <mo>&amp;PartialD;</mo> <mi>u</mi> </mrow> <mi>z</mi> <mi>s</mi> </msubsup> <mrow> <mo>(</mo> <mi>x</mi> <mo>,</mo> <mi>y</mi> <mo>,</mo> <mi>z</mi> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> <mrow> <mo>&amp;PartialD;</mo> <mi>y</mi> </mrow> </mfrac> <mo>+</mo> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <mfrac> <mn>1</mn> <mrow> <mn>1</mn> <mo>-</mo> <mi>i&amp;sigma;</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>z</mi> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mfrac> <mo>)</mo> </mrow> <mn>2</mn> </msup> <mfrac> <mrow> <msup> <mo>&amp;PartialD;</mo> <mn>2</mn> </msup> <msubsup> <mi>u</mi> <mi>z</mi> <mi>s</mi> </msubsup> <mrow> <mo>(</mo> <mi>x</mi> <mo>,</mo> <mi>y</mi> <mo>,</mo> <mi>z</mi> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> <msup> <mrow> <mo>&amp;PartialD;</mo> <mi>z</mi> </mrow> <mn>2</mn> </msup> </mfrac> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mo>+</mo> <mfrac> <mrow> <mn>2</mn> <mi>i</mi> <msub> <mi>&amp;sigma;</mi> <mn>0</mn> </msub> <mi>z</mi> </mrow> <mrow> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <mn>1</mn> <mo>-</mo> <mi>i&amp;sigma;</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>z</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mn>3</mn> </msup> <msup> <mi>&amp;delta;</mi> <mn>2</mn> </msup> </mrow> </mfrac> <mfrac> <mrow> <msubsup> <mrow> <mo>&amp;PartialD;</mo> <mi>u</mi> </mrow> <mi>z</mi> <mi>s</mi> </msubsup> <mrow> <mo>(</mo> <mi>x</mi> <mo>,</mo> <mi>y</mi> <mo>,</mo> <mi>z</mi> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> <mrow> <mo>&amp;PartialD;</mo> <mi>z</mi> </mrow> </mfrac> <mo>+</mo> <mn>2</mn> <mi>ik</mi> <mfrac> <mrow> <msubsup> <mrow> <mo>&amp;PartialD;</mo> <mi>u</mi> </mrow> <mi>z</mi> <mi>s</mi> </msubsup> <mrow> <mo>(</mo> <mi>x</mi> <mo>,</mo> <mi>y</mi> <mo>,</mo> <mi>z</mi> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> <mrow> <mo>&amp;PartialD;</mo> <mi>x</mi> </mrow> </mfrac> <mo>=</mo> <mn>0</mn> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>4</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
式中，σ()代表电损耗的函数，σ0代表电损耗的系数，δ代表趋肤深度的系数；对x方向的求导由CN差分可得：
<mrow> <msub> <mi>u</mi> <mi>x</mi> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mi>x</mi> <mo>+</mo> <mi>&amp;Delta;x</mi> <mo>,</mo> <mi>y</mi> <mo>,</mo> <mi>z</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>-</mo> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <mfrac> <mn>1</mn> <mrow> <mn>1</mn> <mo>-</mo> <mi>i&amp;sigma;</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>y</mi> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mfrac> <mo>)</mo> </mrow> <mn>2</mn> </msup> <mfrac> <msup> <mo>&amp;PartialD;</mo> <mn>2</mn> </msup> <msup> <mrow> <mo>&amp;PartialD;</mo> <mi>y</mi> </mrow> <mn>2</mn> </msup> </mfrac> <msub> <mi>u</mi> <mi>x</mi> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mi>x</mi> <mo>+</mo> <mi>&amp;Delta;x</mi> <mo>,</mo> <mi>y</mi> <mo>,</mo> <mi>z</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>-</mo> <mfrac> <mrow> <mn>2</mn> <mi>i</mi> <msub> <mi>&amp;sigma;</mi> <mn>0</mn> </msub> <mi>y</mi> </mrow> <mrow> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <mn>1</mn> <mo>-</mo> <mi>i&amp;sigma;</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>y</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mn>3</mn> </msup> <msup> <mi>&amp;delta;</mi> <mn>2</mn> </msup> </mrow> </mfrac> <mfrac> <mo>&amp;PartialD;</mo> <mrow> <mo>&amp;PartialD;</mo> <mi>y</mi> </mrow> </mfrac> <msub> <mi>u</mi> <mi>x</mi> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mi>x</mi> <mo>+</mo> <mi>&amp;Delta;x</mi> <mo>,</mo> <mi>y</mi> <mo>,</mo> <mi>z</mi> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
<mrow> <mo>-</mo> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <mfrac> <mn>1</mn> <mrow> <mn>1</mn> <mo>-</mo> <mi>i&amp;sigma;</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>z</mi> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mfrac> <mo>)</mo> </mrow> <mn>2</mn> </msup> <mfrac> <msup> <mo>&amp;PartialD;</mo> <mn>2</mn> </msup> <msup> <mrow> <mo>&amp;PartialD;</mo> <mi>z</mi> </mrow> <mn>2</mn> </msup> </mfrac> <msub> <mi>u</mi> <mi>x</mi> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mi>x</mi> <mo>+</mo> <mi>&amp;Delta;x</mi> <mo>,</mo> <mi>y</mi> <mo>,</mo> <mi>z</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>-</mo> <mfrac> <mrow> <mn>2</mn> <mi>i</mi> <msub> <mi>&amp;sigma;</mi> <mn>0</mn> </msub> <mi>z</mi> </mrow> <mrow> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <mn>1</mn> <mo>-</mo> <mi>i&amp;sigma;</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>z</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mn>3</mn> </msup> <msup> <mi>&amp;delta;</mi> <mn>2</mn> </msup> </mrow> </mfrac> <mfrac> <mo>&amp;PartialD;</mo> <mrow> <mo>&amp;PartialD;</mo> <mi>z</mi> </mrow> </mfrac> <msub> <mi>u</mi> <mi>x</mi> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mi>x</mi> <mo>+</mo> <mi>&amp;Delta;x</mi> <mo>,</mo> <mi>y</mi> <mo>,</mo> <mi>z</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <msub> <mi>u</mi> <mi>x</mi> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mi>x</mi> <mo>,</mo> <mi>y</mi> <mo>,</mo> <mi>z</mi> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
<mrow> <msub> <mi>u</mi> <mi>y</mi> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mi>x</mi> <mo>+</mo> <mi>&amp;Delta;x</mi> <mo>,</mo> <mi>y</mi> <mo>,</mo> <mi>z</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>-</mo> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <mfrac> <mn>1</mn> <mrow> <mn>1</mn> <mo>-</mo> <mi>i&amp;sigma;</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>y</mi> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mfrac> <mo>)</mo> </mrow> <mn>2</mn> </msup> <mfrac> <msup> <mo>&amp;PartialD;</mo> <mn>2</mn> </msup> <msup> <mrow> <mo>&amp;PartialD;</mo> <mi>y</mi> </mrow> <mn>2</mn> </msup> </mfrac> <msub> <mi>u</mi> <mi>y</mi> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mi>x</mi> <mo>+</mo> <mi>&amp;Delta;x</mi> <mo>,</mo> <mi>y</mi> <mo>,</mo> <mi>z</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>-</mo> <mfrac> <mrow> <mn>2</mn> <mi>i</mi> <msub> <mi>&amp;sigma;</mi> <mn>0</mn> </msub> <mi>y</mi> </mrow> <mrow> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <mn>1</mn> <mo>-</mo> <mi>i&amp;sigma;</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>y</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mn>3</mn> </msup> <msup> <mi>&amp;delta;</mi> <mn>2</mn> </msup> </mrow> </mfrac> <mfrac> <mo>&amp;PartialD;</mo> <mrow> <mo>&amp;PartialD;</mo> <mi>y</mi> </mrow> </mfrac> <msub> <mi>u</mi> <mi>y</mi> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mi>x</mi> <mo>+</mo> <mi>&amp;Delta;x</mi> <mo>,</mo> <mi>y</mi> <mo>,</mo> <mi>z</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>5</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
<mrow> <mo>-</mo> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <mfrac> <mn>1</mn> <mrow> <mn>1</mn> <mo>-</mo> <mi>i&amp;sigma;</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>z</mi> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mfrac> <mo>)</mo> </mrow> <mn>2</mn> </msup> <mfrac> <msup> <mo>&amp;PartialD;</mo> <mn>2</mn> </msup> <msup> <mrow> <mo>&amp;PartialD;</mo> <mi>z</mi> </mrow> <mn>2</mn> </msup> </mfrac> <msub> <mi>u</mi> <mi>y</mi> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mi>x</mi> <mo>+</mo> <mi>&amp;Delta;x</mi> <mo>,</mo> <mi>y</mi> <mo>,</mo> <mi>z</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>-</mo> <mfrac> <mrow> <mn>2</mn> <mi>i</mi> <msub> <mi>&amp;sigma;</mi> <mn>0</mn> </msub> <mi>z</mi> </mrow> <mrow> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <mn>1</mn> <mo>-</mo> <mi>i&amp;sigma;</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>z</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mn>3</mn> </msup> <msup> <mi>&amp;delta;</mi> <mn>2</mn> </msup> </mrow> </mfrac> <mfrac> <mo>&amp;PartialD;</mo> <mrow> <mo>&amp;PartialD;</mo> <mi>z</mi> </mrow> </mfrac> <msub> <mi>u</mi> <mi>y</mi> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mi>x</mi> <mo>+</mo> <mi>&amp;Delta;x</mi> <mo>,</mo> <mi>y</mi> <mo>,</mo> <mi>z</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <msub> <mi>u</mi> <mi>y</mi> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mi>x</mi> <mo>,</mo> <mi>y</mi> <mo>,</mo> <mi>z</mi> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
<mrow> <msub> <mi>u</mi> <mi>z</mi> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mi>x</mi> <mo>+</mo> <mi>&amp;Delta;x</mi> <mo>,</mo> <mi>y</mi> <mo>,</mo> <mi>z</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>-</mo> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <mfrac> <mn>1</mn> <mrow> <mn>1</mn> <mo>-</mo> <mi>i&amp;sigma;</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>y</mi> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mfrac> <mo>)</mo> </mrow> <mn>2</mn> </msup> <mfrac> <msup> <mo>&amp;PartialD;</mo> <mn>2</mn> </msup> <msup> <mrow> <mo>&amp;PartialD;</mo> <mi>y</mi> </mrow> <mn>2</mn> </msup> </mfrac> <msub> <mi>u</mi> <mi>z</mi> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mi>x</mi> <mo>+</mo> <mi>&amp;Delta;x</mi> <mo>,</mo> <mi>y</mi> <mo>,</mo> <mi>z</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>-</mo> <mfrac> <mrow> <mn>2</mn> <mi>i</mi> <msub> <mi>&amp;sigma;</mi> <mn>0</mn> </msub> <mi>y</mi> </mrow> <mrow> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <mn>1</mn> <mo>-</mo> <mi>i&amp;sigma;</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>y</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mn>3</mn> </msup> <msup> <mi>&amp;delta;</mi> <mn>2</mn> </msup> </mrow> </mfrac> <mfrac> <mo>&amp;PartialD;</mo> <mrow> <mo>&amp;PartialD;</mo> <mi>y</mi> </mrow> </mfrac> <msub> <mi>u</mi> <mi>z</mi> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mi>x</mi> <mo>+</mo> <mi>&amp;Delta;x</mi> <mo>,</mo> <mi>y</mi> <mo>,</mo> <mi>z</mi> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
<mrow> <mo>-</mo> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <mfrac> <mn>1</mn> <mrow> <mn>1</mn> <mo>-</mo> <mi>i&amp;sigma;</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>z</mi> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mfrac> <mo>)</mo> </mrow> <mn>2</mn> </msup> <mfrac> <msup> <mo>&amp;PartialD;</mo> <mn>2</mn> </msup> <msup> <mrow> <mo>&amp;PartialD;</mo> <mi>z</mi> </mrow> <mn>2</mn> </msup> </mfrac> <msub> <mi>u</mi> <mi>z</mi> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mi>x</mi> <mo>+</mo> <mi>&amp;Delta;x</mi> <mo>,</mo> <mi>y</mi> <mo>,</mo> <mi>z</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>-</mo> <mfrac> <mrow> <mn>2</mn> <mi>i</mi> <msub> <mi>&amp;sigma;</mi> <mn>0</mn> </msub> <mi>z</mi> </mrow> <mrow> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <mn>1</mn> <mo>-</mo> <mi>i&amp;sigma;</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>z</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mn>3</mn> </msup> <msup> <mi>&amp;delta;</mi> <mn>2</mn> </msup> </mrow> </mfrac> <mfrac> <mo>&amp;PartialD;</mo> <mrow> <mo>&amp;PartialD;</mo> <mi>z</mi> </mrow> </mfrac> <msub> <mi>u</mi> <mi>z</mi> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mi>x</mi> <mo>+</mo> <mi>&amp;Delta;x</mi> <mo>,</mo> <mi>y</mi> <mo>,</mo> <mi>z</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <msub> <mi>u</mi> <mi>z</mi> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mi>x</mi> <mo>,</mo> <mi>y</mi> <mo>,</mo> <mi>z</mi> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
对y、z方向的求导采用RPIM构造形函数及其空间导数；
步骤2-3、对于物体边界点，假设P为散射体表面上的点，n=(nx,ny,nz)为P点的法向方向，在有耗介质的表面上，由阻抗边界条件可得：
n×E(P)＝Z(P)n×{n×H(P)} （6）
式中，Ei代表入射电场，其中则可得：
<mrow> <mfrac> <mi>Z</mi> <mi>i&amp;omega;&amp;mu;</mi> </mfrac> <mo>=</mo> <mfrac> <mn>1</mn> <mi>ik</mi> </mfrac> <msqrt> <mfrac> <mi>&amp;mu;</mi> <msub> <mi>&amp;mu;</mi> <mn>0</mn> </msub> </mfrac> </msqrt> <msqrt> <mfrac> <msub> <mi>&amp;epsiv;</mi> <mn>0</mn> </msub> <mi>&amp;eta;</mi> </mfrac> </msqrt> <mo>=</mo> <mfrac> <mn>1</mn> <mrow> <mi>ik</mi> <msqrt> <msub> <mi>&amp;eta;</mi> <mi>r</mi> </msub> </msqrt> </mrow> </mfrac> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>7</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
式中，σ为介质的电导率，对边界条件进行变形可得：
<mrow> <mi>n</mi> <mo>&amp;times;</mo> <mi>E</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>P</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <mfrac> <mn>1</mn> <mrow> <mi>ik</mi> <msqrt> <msub> <mi>&amp;eta;</mi> <mi>r</mi> </msub> </msqrt> </mrow> </mfrac> <mi>n</mi> <mo>&amp;times;</mo> <mo>{</mo> <mi>n</mi> <mo>&amp;times;</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mo>&amp;dtri;</mo> <mo>&amp;times;</mo> <mi>E</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>P</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mo>}</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>8</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
<mrow> <mo>=</mo> <mfrac> <mn>1</mn> <mrow> <mi>ik</mi> <msqrt> <msub> <mi>&amp;eta;</mi> <mi>r</mi> </msub> </msqrt> </mrow> </mfrac> <mo>{</mo> <mi>n</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mo>&amp;dtri;</mo> <mo>&amp;times;</mo> <mi>E</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>P</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mi>n</mi> <mo>-</mo> <mo>&amp;dtri;</mo> <mo>&amp;times;</mo> <mi>E</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>P</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>}</mo> </mrow>
由上式可得对应的三个方程：
<mrow> <mfenced open='{' close=''> <mtable> <mtr> <mtd> <msub> <mi>n</mi> <mi>y</mi> </msub> <msub> <mi>E</mi> <mi>z</mi> </msub> <mo>-</mo> <msub> <mi>n</mi> <mi>z</mi> </msub> <msub> <mi>E</mi> <mi>y</mi> </msub> <mo>=</mo> <mfrac> <mn>1</mn> <mrow> <mi>ik</mi> <msqrt> <msub> <mi>&amp;eta;</mi> <mi>r</mi> </msub> </msqrt> </mrow> </mfrac> <mo>{</mo> <mrow> <mo>(</mo> <msubsup> <mi>n</mi> <mi>x</mi> <mn>2</mn> </msubsup> <mo>-</mo> <mn>1</mn> <mo>)</mo> </mrow> <mrow> <mo>(</mo> <mfrac> <msub> <mrow> <mo>&amp;PartialD;</mo> <mi>E</mi> </mrow> <mi>z</mi> </msub> <mrow> <mo>&amp;PartialD;</mo> <mi>y</mi> </mrow> </mfrac> <mo>-</mo> <mfrac> <mrow> <mo>&amp;PartialD;</mo> <msub> <mi>E</mi> <mi>y</mi> </msub> </mrow> <mrow> <mo>&amp;PartialD;</mo> <mi>z</mi> </mrow> </mfrac> <mo>)</mo> </mrow> <mo>+</mo> <msub> <mi>n</mi> <mi>x</mi> </msub> <msub> <mi>n</mi> <mi>y</mi> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mfrac> <msub> <mrow> <mo>&amp;PartialD;</mo> <mi>E</mi> </mrow> <mi>x</mi> </msub> <mrow> <mo>&amp;PartialD;</mo> <mi>z</mi> </mrow> </mfrac> <mo>-</mo> <mfrac> <msub> <mrow> <mo>&amp;PartialD;</mo> <mi>E</mi> </mrow> <mi>z</mi> </msub> <mrow> <mo>&amp;PartialD;</mo> <mi>x</mi> </mrow> </mfrac> <mo>)</mo> </mrow> <mo>+</mo> <msub> <mi>n</mi> <mi>x</mi> </msub> <msub> <mi>n</mi> <mi>z</mi> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mfrac> <msub> <mrow> <mo>&amp;PartialD;</mo> <mi>E</mi> </mrow> <mi>y</mi> </msub> <mrow> <mo>&amp;PartialD;</mo> <mi>x</mi> </mrow> </mfrac> <mo>-</mo> <mfrac> <msub> <mrow> <mo>&amp;PartialD;</mo> <mi>E</mi> </mrow> <mi>x</mi> </msub> <mrow> <mo>&amp;PartialD;</mo> <mi>y</mi> </mrow> </mfrac> <mo>)</mo> </mrow> <mo>}</mo> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <msub> <mi>n</mi> <mi>z</mi> </msub> <msub> <mi>E</mi> <mi>x</mi> </msub> <mo>-</mo> <msub> <mi>n</mi> <mi>x</mi> </msub> <msub> <mi>E</mi> <mi>z</mi> </msub> <mo>=</mo> <mfrac> <mn>1</mn> <mrow> <mi>ik</mi> <msqrt> <msub> <mi>&amp;eta;</mi> <mi>r</mi> </msub> </msqrt> </mrow> </mfrac> <mo>{</mo> <msub> <mi>n</mi> <mi>x</mi> </msub> <msub> <mi>n</mi> <mi>y</mi> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mfrac> <msub> <mrow> <mo>&amp;PartialD;</mo> <mi>E</mi> </mrow> <mi>z</mi> </msub> <mrow> <mo>&amp;PartialD;</mo> <mi>y</mi> </mrow> </mfrac> <mo>-</mo> <mfrac> <msub> <mrow> <mo>&amp;PartialD;</mo> <mi>E</mi> </mrow> <mi>y</mi> </msub> <mrow> <mo>&amp;PartialD;</mo> <mi>z</mi> </mrow> </mfrac> <mo>)</mo> </mrow> <mo>+</mo> <mrow> <mo>(</mo> <msubsup> <mi>n</mi> <mi>y</mi> <mn>2</mn> </msubsup> <mo>-</mo> <mn>1</mn> <mo>)</mo> </mrow> <mrow> <mo>(</mo> <mfrac> <msub> <mrow> <mo>&amp;PartialD;</mo> <mi>E</mi> </mrow> <mi>x</mi> </msub> <mrow> <mo>&amp;PartialD;</mo> <mi>z</mi> </mrow> </mfrac> <mo>-</mo> <mfrac> <msub> <mrow> <mo>&amp;PartialD;</mo> <mi>E</mi> </mrow> <mi>z</mi> </msub> <mrow> <mo>&amp;PartialD;</mo> <mi>x</mi> </mrow> </mfrac> <mo>)</mo> </mrow> <mo>+</mo> <msub> <mi>n</mi> <mi>y</mi> </msub> <msub> <mi>n</mi> <mi>z</mi> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mfrac> <msub> <mrow> <mo>&amp;PartialD;</mo> <mi>E</mi> </mrow> <mi>y</mi> </msub> <mrow> <mo>&amp;PartialD;</mo> <mi>x</mi> </mrow> </mfrac> <mo>-</mo> <mfrac> <msub> <mrow> <mo>&amp;PartialD;</mo> <mi>E</mi> </mrow> <mi>x</mi> </msub> <mrow> <mo>&amp;PartialD;</mo> <mi>y</mi> </mrow> </mfrac> <mo>)</mo> </mrow> <mo>}</mo> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <msub> <mi>n</mi> <mi>x</mi> </msub> <msub> <mi>E</mi> <mi>y</mi> </msub> <mo>-</mo> <msub> <mi>n</mi> <mi>y</mi> </msub> <msub> <mi>E</mi> <mi>x</mi> </msub> <mo>=</mo> <mfrac> <mn>1</mn> <mrow> <mi>ik</mi> <msqrt> <msub> <mi>&amp;eta;</mi> <mi>r</mi> </msub> </msqrt> </mrow> </mfrac> <mo>{</mo> <msub> <mi>n</mi> <mi>x</mi> </msub> <msub> <mi>n</mi> <mi>z</mi> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mfrac> <msub> <mrow> <mo>&amp;PartialD;</mo> <mi>E</mi> </mrow> <mi>z</mi> </msub> <mrow> <mo>&amp;PartialD;</mo> <mi>y</mi> </mrow> </mfrac> <mo>-</mo> <mfrac> <msub> <mrow> <mo>&amp;PartialD;</mo> <mi>E</mi> </mrow> <mi>y</mi> </msub> <mrow> <mo>&amp;PartialD;</mo> <mi>z</mi> </mrow> </mfrac> <mo>)</mo> </mrow> <mo>+</mo> <msub> <mi>n</mi> <mi>y</mi> </msub> <msub> <mi>n</mi> <mi>z</mi> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mfrac> <msub> <mrow> <mo>&amp;PartialD;</mo> <mi>E</mi> </mrow> <mi>x</mi> </msub> <mrow> <mo>&amp;PartialD;</mo> <mi>z</mi> </mrow> </mfrac> <mo>-</mo> <mfrac> <msub> <mrow> <mo>&amp;PartialD;</mo> <mi>E</mi> </mrow> <mi>z</mi> </msub> <mrow> <mo>&amp;PartialD;</mo> <mi>x</mi> </mrow> </mfrac> <mo>)</mo> </mrow> <mo>+</mo> <mrow> <mo>(</mo> <msubsup> <mi>n</mi> <mi>z</mi> <mn>2</mn> </msubsup> <mo>-</mo> <mn>1</mn> <mo>)</mo> </mrow> <mrow> <mo>(</mo> <mfrac> <msub> <mrow> <mo>&amp;PartialD;</mo> <mi>E</mi> </mrow> <mi>y</mi> </msub> <mrow> <mo>&amp;PartialD;</mo> <mi>x</mi> </mrow> </mfrac> <mo>-</mo> <mfrac> <msub> <mrow> <mo>&amp;PartialD;</mo> <mi>E</mi> </mrow> <mi>x</mi> </msub> <mrow> <mo>&amp;PartialD;</mo> <mi>y</mi> </mrow> </mfrac> <mo>)</mo> </mrow> <mo>}</mo> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>9</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
将关系式u＝e-jkxE带入，可得：
<mrow> <mfenced open='{' close=''> <mtable> <mtr> <mtd> <msub> <mi>n</mi> <mi>y</mi> </msub> <msub> <mi>u</mi> <mi>z</mi> </msub> <mo>-</mo> <msub> <mi>n</mi> <mi>z</mi> </msub> <msub> <mi>u</mi> <mi>y</mi> </msub> <mo>=</mo> <mfrac> <mn>1</mn> <mrow> <mi>ik</mi> <msqrt> <msub> <mi>&amp;eta;</mi> <mi>r</mi> </msub> </msqrt> </mrow> </mfrac> <mo>{</mo> <mrow> <mo>(</mo> <msubsup> <mi>n</mi> <mi>x</mi> <mn>2</mn> </msubsup> <mo>-</mo> <mn>1</mn> <mo>)</mo> </mrow> <mrow> <mo>(</mo> <mfrac> <msub> <mrow> <mo>&amp;PartialD;</mo> <mi>u</mi> </mrow> <mi>z</mi> </msub> <mrow> <mo>&amp;PartialD;</mo> <mi>y</mi> </mrow> </mfrac> <mo>-</mo> <mfrac> <mrow> <mo>&amp;PartialD;</mo> <msub> <mi>u</mi> <mi>y</mi> </msub> </mrow> <mrow> <mo>&amp;PartialD;</mo> <mi>z</mi> </mrow> </mfrac> <mo>)</mo> </mrow> <mo>+</mo> <msub> <mi>n</mi> <mi>x</mi> </msub> <msub> <mi>n</mi> <mi>y</mi> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mfrac> <msub> <mrow> <mo>&amp;PartialD;</mo> <mi>u</mi> </mrow> <mi>x</mi> </msub> <mrow> <mo>&amp;PartialD;</mo> <mi>z</mi> </mrow> </mfrac> <mo>-</mo> <mfrac> <msub> <mrow> <mo>&amp;PartialD;</mo> <mi>u</mi> </mrow> <mi>z</mi> </msub> <mrow> <mo>&amp;PartialD;</mo> <mi>x</mi> </mrow> </mfrac> <mo>-</mo> <msub> <mi>jku</mi> <mi>z</mi> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mo>+</mo> <msub> <mi>n</mi> <mi>x</mi> </msub> <msub> <mi>n</mi> <mi>z</mi> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>jku</mi> <mi>y</mi> </msub> <mo>+</mo> <mfrac> <msub> <mrow> <mo>&amp;PartialD;</mo> <mi>u</mi> </mrow> <mi>y</mi> </msub> <mrow> <mo>&amp;PartialD;</mo> <mi>x</mi> </mrow> </mfrac> <mo>-</mo> <mfrac> <msub> <mrow> <mo>&amp;PartialD;</mo> <mi>u</mi> </mrow> <mi>x</mi> </msub> <mrow> <mo>&amp;PartialD;</mo> <mi>y</mi> </mrow> </mfrac> <mo>)</mo> </mrow> <mo>}</mo> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <msub> <mi>n</mi> <mi>z</mi> </msub> <msub> <mi>u</mi> <mi>x</mi> </msub> <mo>-</mo> <msub> <mi>n</mi> <mi>x</mi> </msub> <msub> <mi>u</mi> <mi>z</mi> </msub> <mo>=</mo> <mfrac> <mn>1</mn> <mrow> <mi>ik</mi> <msqrt> <msub> <mi>&amp;eta;</mi> <mi>r</mi> </msub> </msqrt> </mrow> </mfrac> <mo>{</mo> <msub> <mi>n</mi> <mi>x</mi> </msub> <msub> <mi>n</mi> <mi>y</mi> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mfrac> <msub> <mrow> <mo>&amp;PartialD;</mo> <mi>u</mi> </mrow> <mi>z</mi> </msub> <mrow> <mo>&amp;PartialD;</mo> <mi>y</mi> </mrow> </mfrac> <mo>-</mo> <mfrac> <msub> <mrow> <mo>&amp;PartialD;</mo> <mi>u</mi> </mrow> <mi>y</mi> </msub> <mrow> <mo>&amp;PartialD;</mo> <mi>z</mi> </mrow> </mfrac> <mo>)</mo> </mrow> <mo>+</mo> <mrow> <mo>(</mo> <msubsup> <mi>n</mi> <mi>y</mi> <mn>2</mn> </msubsup> <mo>-</mo> <mn>1</mn> <mo>)</mo> </mrow> <mrow> <mo>(</mo> <mfrac> <msub> <mrow> <mo>&amp;PartialD;</mo> <mi>u</mi> </mrow> <mi>x</mi> </msub> <mrow> <mo>&amp;PartialD;</mo> <mi>z</mi> </mrow> </mfrac> <mo>-</mo> <mfrac> <msub> <mrow> <mo>&amp;PartialD;</mo> <mi>u</mi> </mrow> <mi>z</mi> </msub> <mrow> <mo>&amp;PartialD;</mo> <mi>x</mi> </mrow> </mfrac> <mo>-</mo> <msub> <mi>jku</mi> <mi>z</mi> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mrow> <mo>+</mo> <msub> <mi>n</mi> <mi>y</mi> </msub> <msub> <mi>n</mi> <mi>z</mi> </msub> </mrow> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>jku</mi> <mi>y</mi> </msub> <mo>+</mo> <mfrac> <msub> <mrow> <mo>&amp;PartialD;</mo> <mi>u</mi> </mrow> <mi>y</mi> </msub> <mrow> <mo>&amp;PartialD;</mo> <mi>x</mi> </mrow> </mfrac> <mo>-</mo> <mfrac> <msub> <mrow> <mo>&amp;PartialD;</mo> <mi>u</mi> </mrow> <mi>x</mi> </msub> <mrow> <mo>&amp;PartialD;</mo> <mi>y</mi> </mrow> </mfrac> <mo>)</mo> </mrow> <mo>}</mo> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <msub> <mi>n</mi> <mi>x</mi> </msub> <msub> <mi>u</mi> <mi>y</mi> </msub> <mo>-</mo> <msub> <mi>n</mi> <mi>y</mi> </msub> <msub> <mi>u</mi> <mi>x</mi> </msub> <mo>=</mo> <mfrac> <mn>1</mn> <mrow> <mi>ik</mi> <msqrt> <msub> <mi>&amp;eta;</mi> <mi>r</mi> </msub> </msqrt> </mrow> </mfrac> <mo>{</mo> <msub> <mi>n</mi> <mi>x</mi> </msub> <msub> <mi>n</mi> <mi>z</mi> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mfrac> <msub> <mrow> <mo>&amp;PartialD;</mo> <mi>u</mi> </mrow> <mi>z</mi> </msub> <mrow> <mo>&amp;PartialD;</mo> <mi>y</mi> </mrow> </mfrac> <mo>-</mo> <mfrac> <msub> <mrow> <mo>&amp;PartialD;</mo> <mi>u</mi> </mrow> <mi>y</mi> </msub> <mrow> <mo>&amp;PartialD;</mo> <mi>z</mi> </mrow> </mfrac> <mo>)</mo> </mrow> <mo>+</mo> <msub> <mi>n</mi> <mi>y</mi> </msub> <msub> <mi>n</mi> <mi>z</mi> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mfrac> <msub> <mrow> <mo>&amp;PartialD;</mo> <mi>u</mi> </mrow> <mi>x</mi> </msub> <mrow> <mo>&amp;PartialD;</mo> <mi>z</mi> </mrow> </mfrac> <mo>-</mo> <mfrac> <msub> <mrow> <mo>&amp;PartialD;</mo> <mi>u</mi> </mrow> <mi>z</mi> </msub> <mrow> <mo>&amp;PartialD;</mo> <mi>x</mi> </mrow> </mfrac> <mo>-</mo> <msub> <mi>jku</mi> <mi>z</mi> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mo>+</mo> <mrow> <mo>(</mo> <msubsup> <mi>n</mi> <mi>z</mi> <mn>2</mn> </msubsup> <mo>-</mo> <mn>1</mn> <mo>)</mo> </mrow> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>jku</mi> <mi>y</mi> </msub> <mo>+</mo> <mfrac> <msub> <mrow> <mo>&amp;PartialD;</mo> <mi>u</mi> </mrow> <mi>y</mi> </msub> <mrow> <mo>&amp;PartialD;</mo> <mi>x</mi> </mrow> </mfrac> <mo>-</mo> <mfrac> <msub> <mrow> <mo>&amp;PartialD;</mo> <mi>u</mi> </mrow> <mi>x</mi> </msub> <mrow> <mo>&amp;PartialD;</mo> <mi>y</mi> </mrow> </mfrac> <mo>)</mo> </mrow> <mo>}</mo> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>10</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
将 <mfenced open='{' close=''> <mtable> <mtr> <mtd> <msub> <mi>u</mi> <mi>x</mi> </msub> <mo>=</mo> <msubsup> <mi>u</mi> <mi>x</mi> <mi>s</mi> </msubsup> <mo>+</mo> <msubsup> <mi>u</mi> <mi>x</mi> <mi>i</mi> </msubsup> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <msub> <mi>u</mi> <mi>y</mi> </msub> <mo>=</mo> <msubsup> <mi>u</mi> <mi>y</mi> <mi>s</mi> </msubsup> <mo>+</mo> <msubsup> <mi>u</mi> <mi>y</mi> <mi>i</mi> </msubsup> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <msub> <mi>u</mi> <mi>z</mi> </msub> <mo>=</mo> <msubsup> <mi>u</mi> <mi>z</mi> <mi>s</mi> </msubsup> <mo>+</mo> <msubsup> <mi>u</mi> <mi>z</mi> <mi>i</mi> </msubsup> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> 带入上式，可得： 3
<mrow> <mfenced open='{' close=''> <mtable> <mtr> <mtd> <mfrac> <mn>1</mn> <mrow> <mi>ik</mi> <msqrt> <msub> <mi>&amp;eta;</mi> <mi>r</mi> </msub> </msqrt> </mrow> </mfrac> <mo>{</mo> <mrow> <mo>(</mo> <msubsup> <mi>n</mi> <mi>x</mi> <mn>2</mn> </msubsup> <mo>-</mo> <mn>1</mn> <mo>)</mo> </mrow> <mrow> <mo>(</mo> <mfrac> <msubsup> <mrow> <mo>&amp;PartialD;</mo> <mi>u</mi> </mrow> <mi>z</mi> <mi>s</mi> </msubsup> <mrow> <mo>&amp;PartialD;</mo> <mi>y</mi> </mrow> </mfrac> <mo>-</mo> <mfrac> <msubsup> <mrow> <mo>&amp;PartialD;</mo> <mi>u</mi> </mrow> <mi>y</mi> <mi>s</mi> </msubsup> <mrow> <mo>&amp;PartialD;</mo> <mi>z</mi> </mrow> </mfrac> <mo>)</mo> </mrow> <mo>+</mo> <msub> <mi>n</mi> <mi>x</mi> </msub> <msub> <mi>n</mi> <mi>y</mi> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mfrac> <msubsup> <mrow> <mo>&amp;PartialD;</mo> <mi>u</mi> </mrow> <mi>x</mi> <mi>s</mi> </msubsup> <mrow> <mo>&amp;PartialD;</mo> <mi>z</mi> </mrow> </mfrac> <mo>-</mo> <mfrac> <msubsup> <mrow> <mo>&amp;PartialD;</mo> <mi>u</mi> </mrow> <mi>z</mi> <mi>s</mi> </msubsup> <mrow> <mo>&amp;PartialD;</mo> <mi>x</mi> </mrow> </mfrac> <mo>-</mo> <msubsup> <mi>jku</mi> <mi>z</mi> <mi>s</mi> </msubsup> <mo>)</mo> </mrow> <mo>+</mo> <msub> <mi>n</mi> <mi>x</mi> </msub> <msub> <mi>n</mi> <mi>z</mi> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <msubsup> <mi>jku</mi> <mi>y</mi> <mi>s</mi> </msubsup> <mo>+</mo> <mfrac> <msubsup> <mrow> <mo>&amp;PartialD;</mo> <mi>u</mi> </mrow> <mi>y</mi> <mi>s</mi> </msubsup> <mrow> <mo>&amp;PartialD;</mo> <mi>x</mi> </mrow> </mfrac> <mo>-</mo> <mfrac> <msubsup> <mrow> <mo>&amp;PartialD;</mo> <mi>u</mi> </mrow> <mi>x</mi> <mi>s</mi> </msubsup> <mrow> <mo>&amp;PartialD;</mo> <mi>y</mi> </mrow> </mfrac> <mo>)</mo> </mrow> <mo>}</mo> <mo>-</mo> <msub> <mi>n</mi> <mi>y</mi> </msub> <msubsup> <mi>u</mi> <mi>z</mi> <mi>s</mi> </msubsup> <mo>+</mo> <msub> <mi>n</mi> <mi>z</mi> </msub> <msubsup> <mi>u</mi> <mi>y</mi> <mi>s</mi> </msubsup> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mo>=</mo> <msub> <mi>n</mi> <mi>y</mi> </msub> <msubsup> <mi>u</mi> <mi>z</mi> <mi>i</mi> </msubsup> <mo>-</mo> <msub> <mi>n</mi> <mi>z</mi> </msub> <msubsup> <mi>u</mi> <mi>y</mi> <mi>i</mi> </msubsup> <mo>+</mo> <mfrac> <mrow> <msub> <mi>n</mi> <mi>x</mi> </msub> <msub> <mi>n</mi> <mi>y</mi> </msub> </mrow> <msqrt> <msub> <mi>&amp;eta;</mi> <mi>r</mi> </msub> </msqrt> </mfrac> <msubsup> <mi>u</mi> <mi>z</mi> <mi>i</mi> </msubsup> <mo>-</mo> <mfrac> <mrow> <msub> <mi>n</mi> <mi>x</mi> </msub> <msub> <mi>n</mi> <mi>z</mi> </msub> </mrow> <msqrt> <msub> <mi>&amp;eta;</mi> <mi>r</mi> </msub> </msqrt> </mfrac> <msubsup> <mi>u</mi> <mi>y</mi> <mi>i</mi> </msubsup> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mfrac> <mn>1</mn> <mrow> <mi>ik</mi> <msqrt> <msub> <mi>&amp;eta;</mi> <mi>r</mi> </msub> </msqrt> </mrow> </mfrac> <mo>{</mo> <msub> <mi>n</mi> <mi>x</mi> </msub> <msub> <mi>n</mi> <mi>y</mi> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mfrac> <msubsup> <mrow> <mo>&amp;PartialD;</mo> <mi>u</mi> </mrow> <mi>z</mi> <mi>s</mi> </msubsup> <mrow> <mo>&amp;PartialD;</mo> <mi>y</mi> </mrow> </mfrac> <mo>-</mo> <mfrac> <msubsup> <mrow> <mo>&amp;PartialD;</mo> <mi>u</mi> </mrow> <mi>y</mi> <mi>s</mi> </msubsup> <mrow> <mo>&amp;PartialD;</mo> <mi>z</mi> </mrow> </mfrac> <mo>)</mo> </mrow> <mo>+</mo> <mrow> <mo>(</mo> <msubsup> <mi>n</mi> <mi>y</mi> <mn>2</mn> </msubsup> <mo>-</mo> <mn>1</mn> <mo>)</mo> </mrow> <mrow> <mo>(</mo> <mfrac> <msubsup> <mrow> <mo>&amp;PartialD;</mo> <mi>u</mi> </mrow> <mi>x</mi> <mi>s</mi> </msubsup> <mrow> <mo>&amp;PartialD;</mo> <mi>z</mi> </mrow> </mfrac> <mo>-</mo> <mfrac> <msubsup> <mrow> <mo>&amp;PartialD;</mo> <mi>u</mi> </mrow> <mi>z</mi> <mi>s</mi> </msubsup> <mrow> <mo>&amp;PartialD;</mo> <mi>x</mi> </mrow> </mfrac> <mo>-</mo> <msubsup> <mi>jku</mi> <mi>z</mi> <mi>s</mi> </msubsup> <mo>)</mo> </mrow> <mo>+</mo> <msub> <mi>n</mi> <mi>y</mi> </msub> <msub> <mi>n</mi> <mi>z</mi> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <msubsup> <mi>jku</mi> <mi>y</mi> <mi>s</mi> </msubsup> <mo>+</mo> <mfrac> <msubsup> <mrow> <mo>&amp;PartialD;</mo> <mi>u</mi> </mrow> <mi>y</mi> <mi>s</mi> </msubsup> <mrow> <mo>&amp;PartialD;</mo> <mi>x</mi> </mrow> </mfrac> <mo>-</mo> <mfrac> <msubsup> <mrow> <mo>&amp;PartialD;</mo> <mi>u</mi> </mrow> <mi>x</mi> <mi>s</mi> </msubsup> <mrow> <mo>&amp;PartialD;</mo> <mi>y</mi> </mrow> </mfrac> <mo>)</mo> </mrow> <mo>}</mo> <mo>-</mo> <msub> <mi>n</mi> <mi>z</mi> </msub> <msubsup> <mi>u</mi> <mi>x</mi> <mi>s</mi> </msubsup> <mo>+</mo> <msub> <mi>n</mi> <mi>x</mi> </msub> <msubsup> <mi>u</mi> <mi>z</mi> <mi>s</mi> </msubsup> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mo>=</mo> <msub> <mi>n</mi> <mi>z</mi> </msub> <msubsup> <mi>u</mi> <mi>x</mi> <mi>i</mi> </msubsup> <mo>-</mo> <msub> <mi>n</mi> <mi>x</mi> </msub> <msubsup> <mi>u</mi> <mi>z</mi> <mi>i</mi> </msubsup> <mo>+</mo> <mfrac> <mrow> <msub> <mi>n</mi> <mi>y</mi> </msub> <msub> <mi>n</mi> <mi>y</mi> </msub> <mo>-</mo> <mn>1</mn> </mrow> <msqrt> <msub> <mi>&amp;eta;</mi> <mi>r</mi> </msub> </msqrt> </mfrac> <msubsup> <mi>u</mi> <mi>z</mi> <mi>i</mi> </msubsup> <mo>-</mo> <mfrac> <mrow> <msub> <mi>n</mi> <mi>y</mi> </msub> <msub> <mi>n</mi> <mi>z</mi> </msub> </mrow> <msqrt> <msub> <mi>&amp;eta;</mi> <mi>r</mi> </msub> </msqrt> </mfrac> <msubsup> <mi>u</mi> <mi>y</mi> <mi>i</mi> </msubsup> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mfrac> <mn>1</mn> <mrow> <mi>ik</mi> <msqrt> <msub> <mi>&amp;eta;</mi> <mi>r</mi> </msub> </msqrt> </mrow> </mfrac> <mo>{</mo> <msub> <mi>n</mi> <mi>x</mi> </msub> <msub> <mi>n</mi> <mi>z</mi> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mfrac> <msubsup> <mrow> <mo>&amp;PartialD;</mo> <mi>u</mi> </mrow> <mi>z</mi> <mi>s</mi> </msubsup> <mrow> <mo>&amp;PartialD;</mo> <mi>y</mi> </mrow> </mfrac> <mo>-</mo> <mfrac> <msubsup> <mrow> <mo>&amp;PartialD;</mo> <mi>u</mi> </mrow> <mi>y</mi> <mi>s</mi> </msubsup> <mrow> <mo>&amp;PartialD;</mo> <mi>z</mi> </mrow> </mfrac> <mo>)</mo> </mrow> <mo>+</mo> <msub> <mi>n</mi> <mi>y</mi> </msub> <msub> <mi>n</mi> <mi>z</mi> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mfrac> <msubsup> <mrow> <mo>&amp;PartialD;</mo> <mi>u</mi> </mrow> <mi>x</mi> <mi>s</mi> </msubsup> <mrow> <mo>&amp;PartialD;</mo> <mi>z</mi> </mrow> </mfrac> <mo>-</mo> <mfrac> <msubsup> <mrow> <mo>&amp;PartialD;</mo> <mi>u</mi> </mrow> <mi>z</mi> <mi>s</mi> </msubsup> <mrow> <mo>&amp;PartialD;</mo> <mi>x</mi> </mrow> </mfrac> <mo>-</mo> <msubsup> <mi>jku</mi> <mi>z</mi> <mi>s</mi> </msubsup> <mo>)</mo> </mrow> <mo>+</mo> <mrow> <mo>(</mo> <msubsup> <mi>n</mi> <mi>z</mi> <mn>2</mn> </msubsup> <mo>-</mo> <mn>1</mn> <mo>)</mo> </mrow> <mrow> <mo>(</mo> <msubsup> <mi>jku</mi> <mi>y</mi> <mi>s</mi> </msubsup> <mo>+</mo> <mfrac> <msubsup> <mrow> <mo>&amp;PartialD;</mo> <mi>u</mi> </mrow> <mi>y</mi> <mi>s</mi> </msubsup> <mrow> <mo>&amp;PartialD;</mo> <mi>x</mi> </mrow> </mfrac> <mo>-</mo> <mfrac> <msubsup> <mrow> <mo>&amp;PartialD;</mo> <mi>u</mi> </mrow> <mi>x</mi> <mi>s</mi> </msubsup> <mrow> <mo>&amp;PartialD;</mo> <mi>y</mi> </mrow> </mfrac> <mo>)</mo> </mrow> <mo>}</mo> <mo>-</mo> <msub> <mi>n</mi> <mi>x</mi> </msub> <msubsup> <mi>u</mi> <mi>y</mi> <mi>s</mi> </msubsup> <mo>+</mo> <msub> <mi>n</mi> <mi>y</mi> </msub> <msubsup> <mi>u</mi> <mi>x</mi> <mi>s</mi> </msubsup> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mo>=</mo> <msub> <mi>n</mi> <mi>x</mi> </msub> <msubsup> <mi>u</mi> <mi>y</mi> <mi>i</mi> </msubsup> <mo>-</mo> <msub> <mi>n</mi> <mi>y</mi> </msub> <msubsup> <mi>u</mi> <mi>x</mi> <mi>i</mi> </msubsup> <mo>+</mo> <mfrac> <mrow> <msub> <mi>n</mi> <mi>y</mi> </msub> <msub> <mi>n</mi> <mi>z</mi> </msub> </mrow> <msqrt> <msub> <mi>&amp;eta;</mi> <mi>r</mi> </msub> </msqrt> </mfrac> <msubsup> <mi>u</mi> <mi>z</mi> <mi>i</mi> </msubsup> <mo>-</mo> <mfrac> <mrow> <msub> <mi>n</mi> <mi>z</mi> </msub> <msub> <mi>n</mi> <mi>z</mi> </msub> <mo>-</mo> <mn>1</mn> </mrow> <msqrt> <msub> <mi>&amp;eta;</mi> <mi>r</mi> </msub> </msqrt> </mfrac> <msubsup> <mi>u</mi> <mi>y</mi> <mi>i</mi> </msubsup> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>11</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
为了构造一个切面上的关系，将对x方向的偏导数替换为y、z方向的偏导数，即将抛物线方程（1）带入到（11）式中，整理可得：
<mrow> <mfenced open='{' close=''> <mtable> <mtr> <mtd> <mfrac> <mrow> <msub> <mi>n</mi> <mi>x</mi> </msub> <msub> <mi>n</mi> <mi>z</mi> </msub> </mrow> <mrow> <msup> <mrow> <mn>2</mn> <mi>k</mi> </mrow> <mn>2</mn> </msup> <msqrt> <msub> <mi>&amp;eta;</mi> <mi>r</mi> </msub> </msqrt> </mrow> </mfrac> <mfrac> <mrow> <msup> <mo>&amp;PartialD;</mo> <mn>2</mn> </msup> <msubsup> <mi>u</mi> <mi>y</mi> <mi>s</mi> </msubsup> </mrow> <msup> <mrow> <mo>&amp;PartialD;</mo> <mi>y</mi> </mrow> <mn>2</mn> </msup> </mfrac> <mo>+</mo> <mfrac> <mrow> <msub> <mi>n</mi> <mi>x</mi> </msub> <msub> <mi>n</mi> <mi>z</mi> </msub> </mrow> <mrow> <msup> <mrow> <mn>2</mn> <mi>k</mi> </mrow> <mn>2</mn> </msup> <msqrt> <msub> <mi>&amp;eta;</mi> <mi>r</mi> </msub> </msqrt> </mrow> </mfrac> <mfrac> <mrow> <msup> <mo>&amp;PartialD;</mo> <mn>2</mn> </msup> <msubsup> <mi>u</mi> <mi>y</mi> <mi>s</mi> </msubsup> </mrow> <msup> <mrow> <mo>&amp;PartialD;</mo> <mi>z</mi> </mrow> <mn>2</mn> </msup> </mfrac> <mo>-</mo> <mfrac> <mrow> <msub> <mi>n</mi> <mi>x</mi> </msub> <msub> <mi>n</mi> <mi>y</mi> </msub> </mrow> <mrow> <msup> <mrow> <mn>2</mn> <mi>k</mi> </mrow> <mn>2</mn> </msup> <msqrt> <msub> <mi>&amp;eta;</mi> <mi>r</mi> </msub> </msqrt> </mrow> </mfrac> <mfrac> <mrow> <msup> <mo>&amp;PartialD;</mo> <mn>2</mn> </msup> <msubsup> <mi>u</mi> <mi>z</mi> <mi>s</mi> </msubsup> </mrow> <msup> <mrow> <mo>&amp;PartialD;</mo> <mi>y</mi> </mrow> <mn>2</mn> </msup> </mfrac> <mo>-</mo> <mfrac> <mrow> <msub> <mi>n</mi> <mi>x</mi> </msub> <msub> <mi>n</mi> <mi>y</mi> </msub> </mrow> <mrow> <msup> <mrow> <mn>2</mn> <mi>k</mi> </mrow> <mn>2</mn> </msup> <msqrt> <msub> <mi>&amp;eta;</mi> <mi>r</mi> </msub> </msqrt> </mrow> </mfrac> <mfrac> <mrow> <msup> <mo>&amp;PartialD;</mo> <mn>2</mn> </msup> <msubsup> <mi>u</mi> <mi>z</mi> <mi>s</mi> </msubsup> </mrow> <msup> <mrow> <mo>&amp;PartialD;</mo> <mi>z</mi> </mrow> <mn>2</mn> </msup> </mfrac> <mo>-</mo> <mfrac> <mrow> <msub> <mi>n</mi> <mi>x</mi> </msub> <msub> <mi>n</mi> <mi>z</mi> </msub> </mrow> <mrow> <mi>jk</mi> <msqrt> <msub> <mi>&amp;eta;</mi> <mi>r</mi> </msub> </msqrt> </mrow> </mfrac> <mfrac> <msubsup> <mrow> <mo>&amp;PartialD;</mo> <mi>u</mi> </mrow> <mi>x</mi> <mi>s</mi> </msubsup> <mrow> <mo>&amp;PartialD;</mo> <mi>y</mi> </mrow> </mfrac> <mo>+</mo> <mfrac> <mrow> <msub> <mi>n</mi> <mi>x</mi> </msub> <msub> <mi>n</mi> <mi>y</mi> </msub> </mrow> <mrow> <mi>jk</mi> <msqrt> <msub> <mi>&amp;eta;</mi> <mi>r</mi> </msub> </msqrt> </mrow> </mfrac> <mfrac> <msubsup> <mrow> <mo>&amp;PartialD;</mo> <mi>u</mi> </mrow> <mi>x</mi> <mi>s</mi> </msubsup> <mrow> <mo>&amp;PartialD;</mo> <mi>z</mi> </mrow> </mfrac> <mo>-</mo> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mfrac> <mrow> <msubsup> <mi>n</mi> <mi>x</mi> <mn>2</mn> </msubsup> <mo>-</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mrow> <mi>jk</mi> <msqrt> <msub> <mi>&amp;eta;</mi> <mi>r</mi> </msub> </msqrt> </mrow> </mfrac> <mfrac> <msubsup> <mrow> <mo>&amp;PartialD;</mo> <mi>u</mi> </mrow> <mi>y</mi> <mi>s</mi> </msubsup> <mrow> <mo>&amp;PartialD;</mo> <mi>z</mi> </mrow> </mfrac> <mo>+</mo> <mfrac> <mrow> <msubsup> <mi>n</mi> <mi>x</mi> <mn>2</mn> </msubsup> <mo>-</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mrow> <mi>jk</mi> <msqrt> <msub> <mi>&amp;eta;</mi> <mi>r</mi> </msub> </msqrt> </mrow> </mfrac> <mfrac> <msubsup> <mrow> <mo>&amp;PartialD;</mo> <mi>u</mi> </mrow> <mi>z</mi> <mi>s</mi> </msubsup> <mrow> <mo>&amp;PartialD;</mo> <mi>y</mi> </mrow> </mfrac> <mo>+</mo> <mo>[</mo> <mfrac> <mrow> <msub> <mi>n</mi> <mi>x</mi> </msub> <msub> <mi>n</mi> <mi>z</mi> </msub> </mrow> <msqrt> <msub> <mi>&amp;eta;</mi> <mi>r</mi> </msub> </msqrt> </mfrac> <mo>+</mo> <mfrac> <mrow> <msub> <mi>n</mi> <mi>x</mi> </msub> <msub> <mi>n</mi> <mi>z</mi> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <msup> <mi>n</mi> <mn>2</mn> </msup> <mo>-</mo> <mn>1</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> <mrow> <mn>2</mn> <msqrt> <msub> <mi>&amp;eta;</mi> <mi>r</mi> </msub> </msqrt> </mrow> </mfrac> <mo>+</mo> <msub> <mi>n</mi> <mi>z</mi> </msub> <mo>]</mo> <msubsup> <mi>u</mi> <mi>y</mi> <mi>s</mi> </msubsup> <mo>-</mo> <mo>[</mo> <mfrac> <mrow> <msub> <mi>n</mi> <mi>x</mi> </msub> <msub> <mi>n</mi> <mi>y</mi> </msub> </mrow> <msqrt> <msub> <mi>&amp;eta;</mi> <mi>r</mi> </msub> </msqrt> </mfrac> <mo>+</mo> <mfrac> <mrow> <msub> <mi>n</mi> <mi>x</mi> </msub> <msub> <mi>n</mi> <mi>y</mi> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <msup> <mi>n</mi> <mn>2</mn> </msup> <mo>-</mo> <mn>1</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> <mrow> <mn>2</mn> <msqrt> <msub> <mi>&amp;eta;</mi> <mi>r</mi> </msub> </msqrt> </mrow> </mfrac> <mo>+</mo> <msub> <mi>n</mi> <mi>y</mi> </msub> <mo>]</mo> <msubsup> <mi>u</mi> <mi>z</mi> <mi>s</mi> </msubsup> <mo>=</mo> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <msub> <mi>n</mi> <mi>y</mi> </msub> <msubsup> <mi>u</mi> <mi>z</mi> <mi>i</mi> </msubsup> <mo>-</mo> <msub> <mi>n</mi> <mi>z</mi> </msub> <msubsup> <mi>u</mi> <mi>y</mi> <mi>i</mi> </msubsup> <mo>+</mo> <mfrac> <mrow> <msub> <mi>n</mi> <mi>x</mi> </msub> <msub> <mi>n</mi> <mi>y</mi> </msub> </mrow> <msqrt> <msub> <mi>&amp;eta;</mi> <mi>r</mi> </msub> </msqrt> </mfrac> <msubsup> <mi>u</mi> <mi>z</mi> <mi>i</mi> </msubsup> <mo>-</mo> <mfrac> <mrow> <msub> <mi>n</mi> <mi>x</mi> </msub> <msub> <mi>n</mi> <mi>z</mi> </msub> </mrow> <msqrt> <msub> <mi>&amp;eta;</mi> <mi>r</mi> </msub> </msqrt> </mfrac> <msubsup> <mi>u</mi> <mi>y</mi> <mi>i</mi> </msubsup> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mfrac> <mrow> <msub> <mi>n</mi> <mi>y</mi> </msub> <msub> <mi>n</mi> <mi>z</mi> </msub> </mrow> <mrow> <msup> <mrow> <mn>2</mn> <mi>k</mi> </mrow> <mn>2</mn> </msup> <msqrt> <msub> <mi>&amp;eta;</mi> <mi>r</mi> </msub> </msqrt> </mrow> </mfrac> <mfrac> <mrow> <msup> <mo>&amp;PartialD;</mo> <mn>2</mn> </msup> <msubsup> <mi>u</mi> <mi>y</mi> <mi>s</mi> </msubsup> </mrow> <mrow> <mo>&amp;PartialD;</mo> <msup> <mi>y</mi> <mn>2</mn> </msup> </mrow> </mfrac> <mo>+</mo> <mfrac> <mrow> <msub> <mi>n</mi> <mi>y</mi> </msub> <msub> <mi>n</mi> <mi>z</mi> </msub> </mrow> <mrow> <msup> <mrow> <mn>2</mn> <mi>k</mi> </mrow> <mn>2</mn> </msup> <msqrt> <msub> <mi>&amp;eta;</mi> <mi>r</mi> </msub> </msqrt> </mrow> </mfrac> <mfrac> <msubsup> <mrow> <msup> <mo>&amp;PartialD;</mo> <mn>2</mn> </msup> <mi>u</mi> </mrow> <mi>y</mi> <mi>s</mi> </msubsup> <msup> <mrow> <mo>&amp;PartialD;</mo> <mi>z</mi> </mrow> <mn>2</mn> </msup> </mfrac> <mo>-</mo> <mfrac> <mrow> <msubsup> <mi>n</mi> <mi>y</mi> <mn>2</mn> </msubsup> <mo>-</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mrow> <msup> <mrow> <mn>2</mn> <mi>k</mi> </mrow> <mn>2</mn> </msup> <msqrt> <msub> <mi>&amp;eta;</mi> <mi>r</mi> </msub> </msqrt> </mrow> </mfrac> <mfrac> <mrow> <msup> <mo>&amp;PartialD;</mo> <mn>2</mn> </msup> <msubsup> <mi>u</mi> <mi>z</mi> <mi>s</mi> </msubsup> </mrow> <msup> <mrow> <mo>&amp;PartialD;</mo> <mi>y</mi> </mrow> <mn>2</mn> </msup> </mfrac> <mo>-</mo> <mfrac> <mrow> <msubsup> <mi>n</mi> <mi>y</mi> <mn>2</mn> </msubsup> <mo>-</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mrow> <msup> <mrow> <mn>2</mn> <mi>k</mi> </mrow> <mn>2</mn> </msup> <msqrt> <msub> <mi>&amp;eta;</mi> <mi>r</mi> </msub> </msqrt> </mrow> </mfrac> <mfrac> <mrow> <msup> <mo>&amp;PartialD;</mo> <mn>2</mn> </msup> <msubsup> <mi>u</mi> <mi>z</mi> <mi>s</mi> </msubsup> </mrow> <msup> <mrow> <mo>&amp;PartialD;</mo> <mi>z</mi> </mrow> <mn>2</mn> </msup> </mfrac> <mo>-</mo> <mfrac> <mrow> <msub> <mi>n</mi> <mi>y</mi> </msub> <msub> <mi>n</mi> <mi>z</mi> </msub> </mrow> <mrow> <mi>jk</mi> <msqrt> <msub> <mi>&amp;eta;</mi> <mi>r</mi> </msub> </msqrt> </mrow> </mfrac> <mfrac> <msubsup> <mrow> <mo>&amp;PartialD;</mo> <mi>u</mi> </mrow> <mi>x</mi> <mi>s</mi> </msubsup> <mrow> <mo>&amp;PartialD;</mo> <mi>y</mi> </mrow> </mfrac> <mo>+</mo> <mfrac> <mrow> <msubsup> <mi>n</mi> <mi>y</mi> <mn>2</mn> </msubsup> <mo>-</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mrow> <mi>jk</mi> <msqrt> <msub> <mi>&amp;eta;</mi> <mi>r</mi> </msub> </msqrt> </mrow> </mfrac> <mfrac> <msubsup> <mrow> <mo>&amp;PartialD;</mo> <mi>u</mi> </mrow> <mi>x</mi> <mi>s</mi> </msubsup> <mrow> <mo>&amp;PartialD;</mo> <mi>z</mi> </mrow> </mfrac> <mo>-</mo> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mfrac> <mrow> <msub> <mi>n</mi> <mi>x</mi> </msub> <msub> <mi>n</mi> <mi>y</mi> </msub> </mrow> <mrow> <mi>jk</mi> <msqrt> <msub> <mi>&amp;eta;</mi> <mi>r</mi> </msub> </msqrt> </mrow> </mfrac> <mfrac> <msubsup> <mrow> <mo>&amp;PartialD;</mo> <mi>u</mi> </mrow> <mi>y</mi> <mi>s</mi> </msubsup> <mrow> <mo>&amp;PartialD;</mo> <mi>z</mi> </mrow> </mfrac> <mo>+</mo> <mfrac> <mrow> <msub> <mi>n</mi> <mi>x</mi> </msub> <msub> <mi>n</mi> <mi>y</mi> </msub> </mrow> <mrow> <mi>jk</mi> <msqrt> <msub> <mi>&amp;eta;</mi> <mi>r</mi> </msub> </msqrt> </mrow> </mfrac> <mfrac> <msubsup> <mrow> <mo>&amp;PartialD;</mo> <mi>u</mi> </mrow> <mi>z</mi> <mi>s</mi> </msubsup> <mrow> <mo>&amp;PartialD;</mo> <mi>y</mi> </mrow> </mfrac> <mo>-</mo> <msub> <mi>n</mi> <mi>z</mi> </msub> <msubsup> <mi>u</mi> <mi>x</mi> <mi>s</mi> </msubsup> <mo>+</mo> <mo>[</mo> <mfrac> <mrow> <msub> <mi>n</mi> <mi>y</mi> </msub> <msub> <mi>n</mi> <mi>z</mi> </msub> </mrow> <msqrt> <msub> <mi>&amp;eta;</mi> <mi>r</mi> </msub> </msqrt> </mfrac> <mo>+</mo> <mfrac> <mrow> <msub> <mi>n</mi> <mi>y</mi> </msub> <msub> <mi>n</mi> <mi>z</mi> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <msup> <mi>n</mi> <mn>2</mn> </msup> <mo>-</mo> <mn>1</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> <mrow> <mn>2</mn> <msqrt> <msub> <mi>&amp;eta;</mi> <mi>r</mi> </msub> </msqrt> </mrow> </mfrac> <mo>]</mo> <msubsup> <mi>u</mi> <mi>y</mi> <mi>s</mi> </msubsup> <mo>+</mo> <mo>[</mo> <msub> <mi>n</mi> <mi>x</mi> </msub> <mo>-</mo> <mfrac> <mrow> <msubsup> <mi>n</mi> <mi>y</mi> <mn>2</mn> </msubsup> <mo>-</mo> <mn>1</mn> </mrow> <msqrt> <msub> <mi>&amp;eta;</mi> <mi>r</mi> </msub> </msqrt> </mfrac> <mo>-</mo> <mfrac> <mrow> <mrow> <mo>(</mo> <msubsup> <mi>n</mi> <mi>y</mi> <mn>2</mn> </msubsup> <mo>-</mo> <mn>1</mn> <mo>)</mo> </mrow> <mrow> <mo>(</mo> <msup> <mi>n</mi> <mn>2</mn> </msup> <mo>-</mo> <mn>1</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> <mrow> <mn>2</mn> <msqrt> <msub> <mi>&amp;eta;</mi> <mi>r</mi> </msub> </msqrt> </mrow> </mfrac> <mo>]</mo> <msubsup> <mi>u</mi> <mi>z</mi> <mi>s</mi> </msubsup> <mo>=</mo> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <msub> <mi>n</mi> <mi>z</mi> </msub> <msubsup> <mi>u</mi> <mi>x</mi> <mi>i</mi> </msubsup> <mo>-</mo> <msub> <mi>n</mi> <mi>x</mi> </msub> <msubsup> <mi>u</mi> <mi>z</mi> <mi>i</mi> </msubsup> <mo>+</mo> <mfrac> <mrow> <msub> <mi>n</mi> <mi>y</mi> </msub> <msub> <mi>n</mi> <mi>y</mi> </msub> <mo>-</mo> <mn>1</mn> </mrow> <msqrt> <msub> <mi>&amp;eta;</mi> <mi>r</mi> </msub> </msqrt> </mfrac> <msubsup> <mi>u</mi> <mi>z</mi> <mi>i</mi> </msubsup> <mo>-</mo> <mfrac> <mrow> <msub> <mi>n</mi> <mi>y</mi> </msub> <msub> <mi>n</mi> <mi>z</mi> </msub> </mrow> <msqrt> <msub> <mi>&amp;eta;</mi> <mi>r</mi> </msub> </msqrt> </mfrac> <msubsup> <mi>u</mi> <mi>y</mi> <mi>i</mi> </msubsup> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mfrac> <mrow> <msubsup> <mi>n</mi> <mi>z</mi> <mn>2</mn> </msubsup> <mo>-</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mrow> <mn>2</mn> <msup> <mi>k</mi> <mn>2</mn> </msup> <msqrt> <msub> <mi>&amp;eta;</mi> <mi>r</mi> </msub> </msqrt> </mrow> </mfrac> <mfrac> <mrow> <msup> <mo>&amp;PartialD;</mo> <mn>2</mn> </msup> <msubsup> <mi>u</mi> <mi>y</mi> <mi>s</mi> </msubsup> </mrow> <msup> <mrow> <mo>&amp;PartialD;</mo> <mi>y</mi> </mrow> <mn>2</mn> </msup> </mfrac> <mo>+</mo> <mfrac> <mrow> <msubsup> <mi>n</mi> <mi>z</mi> <mn>2</mn> </msubsup> <mo>-</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mrow> <msup> <mrow> <mn>2</mn> <mi>k</mi> </mrow> <mn>2</mn> </msup> <msqrt> <msub> <mi>&amp;eta;</mi> <mi>r</mi> </msub> </msqrt> </mrow> </mfrac> <mfrac> <mrow> <msup> <mo>&amp;PartialD;</mo> <mn>2</mn> </msup> <msubsup> <mi>u</mi> <mi>y</mi> <mi>s</mi> </msubsup> </mrow> <msup> <mrow> <mo>&amp;PartialD;</mo> <mi>z</mi> </mrow> <mn>2</mn> </msup> </mfrac> <mo>-</mo> <mfrac> <mrow> <msub> <mi>n</mi> <mi>y</mi> </msub> <msub> <mi>n</mi> <mi>z</mi> </msub> </mrow> <mrow> <msup> <mrow> <mn>2</mn> <mi>k</mi> </mrow> <mn>2</mn> </msup> <msqrt> <msub> <mi>&amp;eta;</mi> <mi>r</mi> </msub> </msqrt> </mrow> </mfrac> <mfrac> <mrow> <msup> <mo>&amp;PartialD;</mo> <mn>2</mn> </msup> <msubsup> <mi>u</mi> <mi>z</mi> <mi>s</mi> </msubsup> </mrow> <msup> <mrow> <mo>&amp;PartialD;</mo> <mi>y</mi> </mrow> <mn>2</mn> </msup> </mfrac> <mo>-</mo> <mfrac> <mrow> <msub> <mi>n</mi> <mi>y</mi> </msub> <msub> <mi>n</mi> <mi>z</mi> </msub> </mrow> <mrow> <msup> <mrow> <mn>2</mn> <mi>k</mi> </mrow> <mn>2</mn> </msup> <msqrt> <msub> <mi>&amp;eta;</mi> <mi>r</mi> </msub> </msqrt> </mrow> </mfrac> <mfrac> <mrow> <msup> <mo>&amp;PartialD;</mo> <mn>2</mn> </msup> <msubsup> <mi>u</mi> <mi>z</mi> <mi>s</mi> </msubsup> </mrow> <msup> <mrow> <mo>&amp;PartialD;</mo> <mi>z</mi> </mrow> <mn>2</mn> </msup> </mfrac> <mo>-</mo> <mfrac> <mrow> <msubsup> <mi>n</mi> <mi>z</mi> <mn>2</mn> </msubsup> <mo>-</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mrow> <mi>jk</mi> <msqrt> <msub> <mi>&amp;eta;</mi> <mi>r</mi> </msub> </msqrt> </mrow> </mfrac> <mfrac> <msubsup> <mrow> <mo>&amp;PartialD;</mo> <mi>u</mi> </mrow> <mi>x</mi> <mi>s</mi> </msubsup> <mrow> <mo>&amp;PartialD;</mo> <mi>y</mi> </mrow> </mfrac> <mo>+</mo> <mfrac> <mrow> <msub> <mi>n</mi> <mi>y</mi> </msub> <msub> <mi>n</mi> <mi>z</mi> </msub> </mrow> <mrow> <mi>jk</mi> <msqrt> <msub> <mi>&amp;eta;</mi> <mi>r</mi> </msub> </msqrt> </mrow> </mfrac> <mfrac> <msubsup> <mrow> <mo>&amp;PartialD;</mo> <mi>u</mi> </mrow> <mi>x</mi> <mi>s</mi> </msubsup> <mrow> <mo>&amp;PartialD;</mo> <mi>z</mi> </mrow> </mfrac> <mo>-</mo> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mfrac> <mrow> <msub> <mi>n</mi> <mi>x</mi> </msub> <msub> <mi>n</mi> <mi>z</mi> </msub> </mrow> <mrow> <mi>jk</mi> <msqrt> <msub> <mi>&amp;eta;</mi> <mi>r</mi> </msub> </msqrt> </mrow> </mfrac> <mfrac> <msubsup> <mrow> <mo>&amp;PartialD;</mo> <mi>u</mi> </mrow> <mi>y</mi> <mi>s</mi> </msubsup> <mrow> <mo>&amp;PartialD;</mo> <mi>z</mi> </mrow> </mfrac> <mo>+</mo> <mfrac> <mrow> <msub> <mi>n</mi> <mi>x</mi> </msub> <msub> <mi>n</mi> <mi>z</mi> </msub> </mrow> <mrow> <mi>jk</mi> <msqrt> <msub> <mi>&amp;eta;</mi> <mi>r</mi> </msub> </msqrt> </mrow> </mfrac> <mfrac> <msubsup> <mrow> <mo>&amp;PartialD;</mo> <mi>u</mi> </mrow> <mi>z</mi> <mi>s</mi> </msubsup> <mrow> <mo>&amp;PartialD;</mo> <mi>y</mi> </mrow> </mfrac> <mo>+</mo> <msub> <mi>n</mi> <mi>y</mi> </msub> <msubsup> <mi>u</mi> <mi>x</mi> <mi>s</mi> </msubsup> <mo>+</mo> <mo>[</mo> <mfrac> <mrow> <msubsup> <mi>n</mi> <mi>z</mi> <mn>2</mn> </msubsup> <mo>-</mo> <mn>1</mn> </mrow> <msqrt> <msub> <mi>&amp;eta;</mi> <mi>r</mi> </msub> </msqrt> </mfrac> <mo>+</mo> <mfrac> <mrow> <mrow> <mo>(</mo> <msubsup> <mi>n</mi> <mi>z</mi> <mn>2</mn> </msubsup> <mo>-</mo> <mn>1</mn> <mo>)</mo> </mrow> <mrow> <mo>(</mo> <msup> <mi>n</mi> <mn>2</mn> </msup> <mo>-</mo> <mn>1</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> <mrow> <mn>2</mn> <msqrt> <msub> <mi>&amp;eta;</mi> <mi>r</mi> </msub> </msqrt> </mrow> </mfrac> <mo>-</mo> <msub> <mi>n</mi> <mi>x</mi> </msub> <mo>]</mo> <msubsup> <mi>u</mi> <mi>y</mi> <mi>s</mi> </msubsup> <mo>+</mo> <mo>[</mo> <mo>-</mo> <mfrac> <mrow> <msub> <mi>n</mi> <mi>y</mi> </msub> <msub> <mi>n</mi> <mi>z</mi> </msub> </mrow> <msqrt> <msub> <mi>&amp;eta;</mi> <mi>r</mi> </msub> </msqrt> </mfrac> <mo>-</mo> <mfrac> <mrow> <msub> <mi>n</mi> <mi>y</mi> </msub> <msub> <mi>n</mi> <mi>z</mi> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <msup> <mi>n</mi> <mn>2</mn> </msup> <mo>-</mo> <mn>1</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> <mrow> <mn>2</mn> <msqrt> <msub> <mi>&amp;eta;</mi> <mi>r</mi> </msub> </msqrt> </mrow> </mfrac> <mo>]</mo> <msubsup> <mi>u</mi> <mi>z</mi> <mi>s</mi> </msubsup> <mo>=</mo> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <msub> <mi>n</mi> <mi>x</mi> </msub> <msubsup> <mi>u</mi> <mi>y</mi> <mi>i</mi> </msubsup> <mo>-</mo> <msub> <mi>n</mi> <mi>y</mi> </msub> <msubsup> <mi>u</mi> <mi>x</mi> <mi>i</mi> </msubsup> <mo>+</mo> <mfrac> <mrow> <msub> <mi>n</mi> <mi>y</mi> </msub> <msub> <mi>n</mi> <mi>z</mi> </msub> </mrow> <msqrt> <msub> <mi>&amp;eta;</mi> <mi>r</mi> </msub> </msqrt> </mfrac> <msubsup> <mi>u</mi> <mi>z</mi> <mi>i</mi> </msubsup> <mo>-</mo> <mfrac> <mrow> <msub> <mi>n</mi> <mi>z</mi> </msub> <msub> <mi>n</mi> <mi>z</mi> </msub> <mo>-</mo> <mn>1</mn> </mrow> <msqrt> <msub> <mi>&amp;eta;</mi> <mi>r</mi> </msub> </msqrt> </mfrac> <msubsup> <mi>u</mi> <mi>y</mi> <mi>i</mi> </msubsup> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>12</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
上式为一个秩为2的方程组，不能唯一确定边界条件，引入散度方程来是方程组具有唯一的解，P点的三维坐标下的散度方程变为：
<mrow> <mfrac> <mi>i</mi> <mrow> <mn>2</mn> <mi>k</mi> </mrow> </mfrac> <mrow> <mo>(</mo> <mfrac> <mrow> <msup> <mo>&amp;PartialD;</mo> <mn>2</mn> </msup> <msubsup> <mi>u</mi> <mi>x</mi> <mi>s</mi> </msubsup> </mrow> <msup> <mrow> <mo>&amp;PartialD;</mo> <mi>y</mi> </mrow> <mn>2</mn> </msup> </mfrac> <mrow> <mo>(</mo> <mi>P</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>+</mo> <mfrac> <mrow> <msup> <mo>&amp;PartialD;</mo> <mn>2</mn> </msup> <msubsup> <mi>u</mi> <mi>x</mi> <mi>s</mi> </msubsup> </mrow> <msup> <mrow> <mo>&amp;PartialD;</mo> <mi>z</mi> </mrow> <mn>2</mn> </msup> </mfrac> <mrow> <mo>(</mo> <mi>P</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mo>+</mo> <msubsup> <mi>iku</mi> <mi>x</mi> <mi>s</mi> </msubsup> <mrow> <mo>(</mo> <mi>P</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>+</mo> <mfrac> <msubsup> <mrow> <mo>&amp;PartialD;</mo> <mi>u</mi> </mrow> <mi>y</mi> <mi>s</mi> </msubsup> <mrow> <mo>&amp;PartialD;</mo> <mi>y</mi> </mrow> </mfrac> <mrow> <mo>(</mo> <mi>P</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>+</mo> <mfrac> <msubsup> <mrow> <mo>&amp;PartialD;</mo> <mi>u</mi> </mrow> <mi>z</mi> <mi>s</mi> </msubsup> <mrow> <mo>&amp;PartialD;</mo> <mi>z</mi> </mrow> </mfrac> <mrow> <mo>(</mo> <mi>P</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <mn>0</mn> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>13</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
对电场ux(x,y,z)、uy(x,y,z)以及uz(x,y,z)采用RPIM构造形函数及其空间导数；
综上所述，构造方程，最终为：
<mrow> <mfenced open='{' close=''> <mtable> <mtr> <mtd> <mfrac> <msubsup> <mrow> <mo>&amp;PartialD;</mo> <mi>u</mi> </mrow> <mi>x</mi> <mi>s</mi> </msubsup> <mrow> <mo>&amp;PartialD;</mo> <mi>x</mi> </mrow> </mfrac> <mrow> <mo>(</mo> <mi>x</mi> <mo>,</mo> <mi>y</mi> <mo>,</mo> <mi>z</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <mfrac> <mi>i</mi> <mrow> <mn>2</mn> <mi>k</mi> </mrow> </mfrac> <mrow> <mo>(</mo> <mfrac> <mrow> <msup> <mo>&amp;PartialD;</mo> <mn>2</mn> </msup> <msubsup> <mi>u</mi> <mi>x</mi> <mi>s</mi> </msubsup> </mrow> <msup> <mrow> <mo>&amp;PartialD;</mo> <mi>y</mi> </mrow> <mn>2</mn> </msup> </mfrac> <mrow> <mo>(</mo> <mi>x</mi> <mo>,</mo> <mi>y</mi> <mo>,</mo> <mi>z</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>+</mo> <mfrac> <mrow> <msup> <mo>&amp;PartialD;</mo> <mn>2</mn> </msup> <msubsup> <mi>u</mi> <mi>x</mi> <mi>s</mi> </msubsup> </mrow> <msup> <mrow> <mo>&amp;PartialD;</mo> <mi>z</mi> </mrow> <mn>2</mn> </msup> </mfrac> <mrow> <mo>(</mo> <mi>x</mi> <mo>,</mo> <mi>y</mi> <mo>,</mo> <mi>z</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>+</mo> <msup> <mi>k</mi> <mn>2</mn> </msup> <mrow> <mo>(</mo> <msup> <mi>n</mi> <mn>2</mn> </msup> <mo>-</mo> <mn>1</mn> <mo>)</mo> </mrow> <msubsup> <mi>u</mi> <mi>x</mi> <mi>s</mi> </msubsup> <mo>)</mo> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mfrac> <msubsup> <mrow> <mo>&amp;PartialD;</mo> <mi>u</mi> </mrow> <mi>y</mi> <mi>s</mi> </msubsup> <mrow> <mo>&amp;PartialD;</mo> <mi>x</mi> </mrow> </mfrac> <mrow> <mo>(</mo> <mi>x</mi> <mo>,</mo> <mi>y</mi> <mo>,</mo> <mi>z</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <mfrac> <mi>i</mi> <mrow> <mn>2</mn> <mi>k</mi> </mrow> </mfrac> <mrow> <mo>(</mo> <mfrac> <mrow> <msup> <mo>&amp;PartialD;</mo> <mn>2</mn> </msup> <msubsup> <mi>u</mi> <mi>y</mi> <mi>s</mi> </msubsup> </mrow> <msup> <mrow> <mo>&amp;PartialD;</mo> <mi>y</mi> </mrow> <mn>2</mn> </msup> </mfrac> <mrow> <mo>(</mo> <mi>x</mi> <mo>,</mo> <mi>y</mi> <mo>,</mo> <mi>z</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>+</mo> <mfrac> <mrow> <msup> <mo>&amp;PartialD;</mo> <mn>2</mn> </msup> <msubsup> <mi>u</mi> <mi>y</mi> <mi>s</mi> </msubsup> </mrow> <msup> <mrow> <mo>&amp;PartialD;</mo> <mi>z</mi> </mrow> <mn>2</mn> </msup> </mfrac> <mrow> <mo>(</mo> <mi>x</mi> <mo>,</mo> <mi>y</mi> <mo>,</mo> <mi>z</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>+</mo> <msup> <mi>k</mi> <mn>2</mn> </msup> <mrow> <mo>(</mo> <msup> <mi>n</mi> <mn>2</mn> </msup> <mo>-</mo> <mn>1</mn> <mo>)</mo> </mrow> <msubsup> <mi>u</mi> <mi>y</mi> <mi>s</mi> </msubsup> <mo>)</mo> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mfrac> <msubsup> <mrow> <mo>&amp;PartialD;</mo> <mi>u</mi> </mrow> <mi>z</mi> <mi>s</mi> </msubsup> <mrow> <mo>&amp;PartialD;</mo> <mi>x</mi> </mrow> </mfrac> <mrow> <mo>(</mo> <mi>x</mi> <mo>,</mo> <mi>y</mi> <mo>,</mo> <mi>z</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <mfrac> <mi>i</mi> <mrow> <mn>2</mn> <mi>k</mi> </mrow> </mfrac> <mrow> <mo>(</mo> <mfrac> <mrow> <msup> <mo>&amp;PartialD;</mo> <mn>2</mn> </msup> <msubsup> <mi>u</mi> <mi>z</mi> <mi>s</mi> </msubsup> </mrow> <msup> <mrow> <mo>&amp;PartialD;</mo> <mi>y</mi> </mrow> <mn>2</mn> </msup> </mfrac> <mrow> <mo>(</mo> <mi>x</mi> <mo>,</mo> <mi>y</mi> <mo>,</mo> <mi>z</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>+</mo> <mfrac> <mrow> <msup> <mo>&amp;PartialD;</mo> <mn>2</mn> </msup> <msubsup> <mi>u</mi> <mi>z</mi> <mi>s</mi> </msubsup> </mrow> <msup> <mrow> <mo>&amp;PartialD;</mo> <mi>z</mi> </mrow> <mn>2</mn> </msup> </mfrac> <mrow> <mo>(</mo> <mi>x</mi> <mo>,</mo> <mi>y</mi> <mo>,</mo> <mi>z</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>+</mo> <msup> <mi>k</mi> <mn>2</mn> </msup> <mrow> <mo>(</mo> <msup> <mi>n</mi> <mn>2</mn> </msup> <mo>-</mo> <mn>1</mn> <mo>)</mo> </mrow> <msubsup> <mi>u</mi> <mi>z</mi> <mi>s</mi> </msubsup> <mo>)</mo> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <msub> <mi>n</mi> <mi>y</mi> </msub> <msub> <mi>E</mi> <mi>z</mi> </msub> <mo>-</mo> <msub> <mi>n</mi> <mi>z</mi> </msub> <msub> <mi>E</mi> <mi>y</mi> </msub> <mo>=</mo> <mfrac> <mn>1</mn> <mrow> <mi>ik</mi> <msqrt> <msub> <mi>&amp;eta;</mi> <mi>r</mi> </msub> </msqrt> </mrow> </mfrac> <mo>{</mo> <mrow> <mo>(</mo> <msubsup> <mi>n</mi> <mi>x</mi> <mn>2</mn> </msubsup> <mo>-</mo> <mn>1</mn> <mo>)</mo> </mrow> <mrow> <mo>(</mo> <mfrac> <msub> <mrow> <mo>&amp;PartialD;</mo> <mi>E</mi> </mrow> <mi>z</mi> </msub> <mrow> <mo>&amp;PartialD;</mo> <mi>y</mi> </mrow> </mfrac> <mo>-</mo> <mfrac> <mrow> <mo>&amp;PartialD;</mo> <msub> <mi>E</mi> <mi>y</mi> </msub> </mrow> <mrow> <mo>&amp;PartialD;</mo> <mi>z</mi> </mrow> </mfrac> <mo>)</mo> </mrow> <mo>+</mo> <msub> <mi>n</mi> <mi>x</mi> </msub> <msub> <mi>n</mi> <mi>y</mi> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mfrac> <msub> <mrow> <mo>&amp;PartialD;</mo> <mi>E</mi> </mrow> <mi>x</mi> </msub> <mrow> <mo>&amp;PartialD;</mo> <mi>z</mi> </mrow> </mfrac> <mo>-</mo> <mfrac> <msub> <mrow> <mo>&amp;PartialD;</mo> <mi>E</mi> </mrow> <mi>z</mi> </msub> <mrow> <mo>&amp;PartialD;</mo> <mi>x</mi> </mrow> </mfrac> <mo>)</mo> </mrow> <mrow> <mo>+</mo> <msub> <mi>n</mi> <mi>x</mi> </msub> <msub> <mi>n</mi> <mi>z</mi> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mfrac> <msub> <mrow> <mo>&amp;PartialD;</mo> <mi>E</mi> </mrow> <mi>y</mi> </msub> <mrow> <mo>&amp;PartialD;</mo> <mi>x</mi> </mrow> </mfrac> <mo>-</mo> <mfrac> <msub> <mrow> <mo>&amp;PartialD;</mo> <mi>E</mi> </mrow> <mi>x</mi> </msub> <mrow> <mo>&amp;PartialD;</mo> <mi>y</mi> </mrow> </mfrac> <mo>)</mo> </mrow> <mo>}</mo> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <msub> <mi>n</mi> <mi>z</mi> </msub> <msub> <mi>E</mi> <mi>x</mi> </msub> <mo>-</mo> <msub> <mi>n</mi> <mi>x</mi> </msub> <msub> <mi>E</mi> <mi>z</mi> </msub> <mo>=</mo> <mfrac> <mn>1</mn> <mrow> <mi>ik</mi> <msqrt> <msub> <mi>&amp;eta;</mi> <mi>r</mi> </msub> </msqrt> </mrow> </mfrac> <mo>{</mo> <msub> <mi>n</mi> <mi>x</mi> </msub> <msub> <mi>n</mi> <mi>y</mi> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mfrac> <msub> <mrow> <mo>&amp;PartialD;</mo> <mi>E</mi> </mrow> <mi>z</mi> </msub> <mrow> <mo>&amp;PartialD;</mo> <mi>y</mi> </mrow> </mfrac> <mo>-</mo> <mfrac> <msub> <mrow> <mo>&amp;PartialD;</mo> <mi>E</mi> </mrow> <mi>y</mi> </msub> <mrow> <mo>&amp;PartialD;</mo> <mi>z</mi> </mrow> </mfrac> <mo>)</mo> </mrow> <mo>+</mo> <mrow> <mo>(</mo> <msubsup> <mi>n</mi> <mi>y</mi> <mn>2</mn> </msubsup> <mo>-</mo> <mn>1</mn> <mo>)</mo> </mrow> <mrow> <mo>(</mo> <mfrac> <msub> <mrow> <mo>&amp;PartialD;</mo> <mi>E</mi> </mrow> <mi>x</mi> </msub> <mrow> <mo>&amp;PartialD;</mo> <mi>z</mi> </mrow> </mfrac> <mo>-</mo> <mfrac> <msub> <mrow> <mo>&amp;PartialD;</mo> <mi>E</mi> </mrow> <mi>z</mi> </msub> <mrow> <mo>&amp;PartialD;</mo> <mi>x</mi> </mrow> </mfrac> <mo>)</mo> </mrow> <mo>+</mo> <msub> <mi>n</mi> <mi>y</mi> </msub> <msub> <mi>n</mi> <mi>z</mi> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mfrac> <msub> <mrow> <mo>&amp;PartialD;</mo> <mi>E</mi> </mrow> <mi>y</mi> </msub> <mrow> <mo>&amp;PartialD;</mo> <mi>x</mi> </mrow> </mfrac> <mo>-</mo> <mfrac> <msub> <mrow> <mo>&amp;PartialD;</mo> <mi>E</mi> </mrow> <mi>x</mi> </msub> <mrow> <mo>&amp;PartialD;</mo> <mi>y</mi> </mrow> </mfrac> <mo>)</mo> </mrow> <mo>}</mo> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <msub> <mi>n</mi> <mi>x</mi> </msub> <msub> <mi>E</mi> <mi>y</mi> </msub> <mo>-</mo> <msub> <mi>n</mi> <mi>y</mi> </msub> <msub> <mi>E</mi> <mi>x</mi> </msub> <mo>=</mo> <mfrac> <mn>1</mn> <mrow> <mi>ik</mi> <msqrt> <msub> <mi>&amp;eta;</mi> <mi>r</mi> </msub> </msqrt> </mrow> </mfrac> <mo>{</mo> <msub> <mi>n</mi> <mi>x</mi> </msub> <msub> <mi>n</mi> <mi>z</mi> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mfrac> <msub> <mrow> <mo>&amp;PartialD;</mo> <mi>E</mi> </mrow> <mi>z</mi> </msub> <mrow> <mo>&amp;PartialD;</mo> <mi>y</mi> </mrow> </mfrac> <mo>-</mo> <mfrac> <msub> <mrow> <mo>&amp;PartialD;</mo> <mi>E</mi> </mrow> <mi>y</mi> </msub> <mrow> <mo>&amp;PartialD;</mo> <mi>z</mi> </mrow> </mfrac> <mo>)</mo> </mrow> <mo>+</mo> <msub> <mi>n</mi> <mi>y</mi> </msub> <msub> <mi>n</mi> <mi>z</mi> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mfrac> <msub> <mrow> <mo>&amp;PartialD;</mo> <mi>E</mi> </mrow> <mi>x</mi> </msub> <mrow> <mo>&amp;PartialD;</mo> <mi>z</mi> </mrow> </mfrac> <mo>-</mo> <mfrac> <msub> <mrow> <mo>&amp;PartialD;</mo> <mi>E</mi> </mrow> <mi>z</mi> </msub> <mrow> <mo>&amp;PartialD;</mo> <mi>x</mi> </mrow> </mfrac> <mo>)</mo> </mrow> <mo>+</mo> <mrow> <mo>(</mo> <msubsup> <mi>n</mi> <mi>z</mi> <mn>2</mn> </msubsup> <mo>-</mo> <mn>1</mn> <mo>)</mo> </mrow> <mrow> <mo>(</mo> <mfrac> <msub> <mrow> <mo>&amp;PartialD;</mo> <mi>E</mi> </mrow> <mi>y</mi> </msub> <mrow> <mo>&amp;PartialD;</mo> <mi>x</mi> </mrow> </mfrac> <mo>-</mo> <mfrac> <msub> <mrow> <mo>&amp;PartialD;</mo> <mi>E</mi> </mrow> <mi>x</mi> </msub> <mrow> <mo>&amp;PartialD;</mo> <mi>y</mi> </mrow> </mfrac> <mo>)</mo> </mrow> <mo>}</mo> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mfrac> <mi>i</mi> <mrow> <mn>2</mn> <mi>k</mi> </mrow> </mfrac> <mrow> <mo>(</mo> <mfrac> <mrow> <msup> <mo>&amp;PartialD;</mo> <mn>2</mn> </msup> <msubsup> <mi>u</mi> <mi>x</mi> <mi>s</mi> </msubsup> </mrow> <msup> <mrow> <mo>&amp;PartialD;</mo> <mi>y</mi> </mrow> <mn>2</mn> </msup> </mfrac> <mrow> <mo>(</mo> <mi>P</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>+</mo> <mfrac> <mrow> <msup> <mo>&amp;PartialD;</mo> <mn>2</mn> </msup> <msubsup> <mi>u</mi> <mi>x</mi> <mi>s</mi> </msubsup> </mrow> <msup> <mrow> <mo>&amp;PartialD;</mo> <mi>z</mi> </mrow> <mn>2</mn> </msup> </mfrac> <mrow> <mo>(</mo> <mi>P</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mo>+</mo> <msubsup> <mi>iku</mi> <mi>x</mi> <mi>s</mi> </msubsup> <mrow> <mo>(</mo> <mi>P</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>+</mo> <mfrac> <msubsup> <mrow> <mo>&amp;PartialD;</mo> <mi>u</mi> </mrow> <mi>y</mi> <mi>s</mi> </msubsup> <mrow> <mo>&amp;PartialD;</mo> <mi>y</mi> </mrow> </mfrac> <mrow> <mo>(</mo> <mi>P</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>+</mo> <mfrac> <msubsup> <mrow> <mo>&amp;PartialD;</mo> <mi>u</mi> </mrow> <mi>z</mi> <mi>s</mi> </msubsup> <mrow> <mo>&amp;PartialD;</mo> <mi>z</mi> </mrow> </mfrac> <mrow> <mo>(</mo> <mi>P</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <mn>0</mn> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>14</mn> <mo>)</mo> </mrow> <mo>.</mo> </mrow>
4.根据权利要求3所述的电大复杂有耗介质目标电磁散射抛物线快速仿真方法，其特征在于，步骤3中所述对各个面上的节点电场值进行递推求解，具体过程如下：
步骤3-1、对第一个切面，将边界点处设定为负的入射波的场值，作为当前切面的右边向量；
步骤3-2、将前一个切面各个离散的节点的电场值作为当前切面求解时的右边向量；
步骤3-3、在当前切面所确定的边界点处，加入阻抗边界条件，处于物体内部的节点则不视为未知量，形成当前切面更新后的矩阵方程；
步骤3-4、求解步骤3-3中更新后的矩阵方程，方程的解即为当前切面各个离散的节点的电场值，之后返回步骤3-2，依次递推求解各个切面的电场值，直至所有切面求解完毕为止。
5.根据权利要求4所述的电大复杂有耗介质目标电磁散射抛物线快速仿真方法，其特征在于，步骤4对最后一个切面的电场值进行后处理，具体是根据近场的电场值，进行近场与远场的转化，进而确定雷达散射截面积，所述雷达散射截面积的表达式为：
三维坐标系下，在(θ,φ)方向的双站RCS为：
<mrow> <mi>&amp;sigma;</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>&amp;theta;</mi> <mo>,</mo> <mi>&amp;phi;</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <munder> <mi>lim</mi> <mrow> <mi>r</mi> <mo>&amp;RightArrow;</mo> <mo>&amp;infin;</mo> </mrow> </munder> <mn>4</mn> <mi>&amp;pi;</mi> <msup> <mi>r</mi> <mn>2</mn> </msup> <mfrac> <msup> <mrow> <mo>|</mo> <msup> <mi>E</mi> <mi>s</mi> </msup> <mrow> <mo>(</mo> <mi>x</mi> <mo>,</mo> <mi>y</mi> <mo>,</mo> <mi>z</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>|</mo> </mrow> <mn>2</mn> </msup> <msup> <mrow> <mo>|</mo> <msup> <mi>E</mi> <mi>i</mi> </msup> <mrow> <mo>(</mo> <mi>x</mi> <mo>,</mo> <mi>y</mi> <mo>,</mo> <mi>z</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>|</mo> </mrow> <mn>2</mn> </msup> </mfrac> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>15</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>
其中Es和Ei分别表示散射场和入射场的电场分量，π为圆周率。
CN201310656182.3A 2013-12-06 2013-12-06 电大复杂有耗介质目标电磁散射抛物线快速仿真方法 Active CN104699870B (zh)

Priority Applications (1)

Application Number Priority Date Filing Date Title
CN201310656182.3A CN104699870B (zh) 2013-12-06 2013-12-06 电大复杂有耗介质目标电磁散射抛物线快速仿真方法

Applications Claiming Priority (1)

Application Number Priority Date Filing Date Title
CN201310656182.3A CN104699870B (zh) 2013-12-06 2013-12-06 电大复杂有耗介质目标电磁散射抛物线快速仿真方法

Publications (2)

Publication Number Publication Date
CN104699870A CN104699870A (zh) 2015-06-10
CN104699870B true CN104699870B (zh) 2017-12-12

Family

ID=53346990

Family Applications (1)

Application Number Title Priority Date Filing Date
CN201310656182.3A Active CN104699870B (zh) 2013-12-06 2013-12-06 电大复杂有耗介质目标电磁散射抛物线快速仿真方法

Country Status (1)

Country Link
CN (1) CN104699870B (zh)

Families Citing this family (1)

* Cited by examiner, † Cited by third party
Publication number Priority date Publication date Assignee Title
CN106294920B (zh) * 2015-06-12 2020-02-11 南京理工大学 分析介质目标电磁散射特性的时域准显式方法

Citations (1)

* Cited by examiner, † Cited by third party
Publication number Priority date Publication date Assignee Title
CN103226644A (zh) * 2013-05-17 2013-07-31 南京理工大学 基于柱面等效源区域分解的电磁散射特性仿真方法

Family Cites Families (1)

* Cited by examiner, † Cited by third party
Publication number Priority date Publication date Assignee Title
US7149665B2 (en) * 2000-04-03 2006-12-12 Browzwear International Ltd System and method for simulation of virtual wear articles on virtual models

Patent Citations (1)

* Cited by examiner, † Cited by third party
Publication number Priority date Publication date Assignee Title
CN103226644A (zh) * 2013-05-17 2013-07-31 南京理工大学 基于柱面等效源区域分解的电磁散射特性仿真方法

Non-Patent Citations (1)

* Cited by examiner, † Cited by third party
Title
抛物线方程在电磁散射分析中的应用;黄汉卿;《中国优秀硕士学位论文全文数据库 基础科技辑》;20110215(第2期);论文第5-58页 *

Also Published As

Publication number Publication date
CN104699870A (zh) 2015-06-10

Similar Documents

Publication Publication Date Title
CN104778151B (zh) 基于矩量法和抛物线方程的含腔目标电磁散射分析方法
CN106886656A (zh) 一种基于改进mopso和凸优化算法的三维阵列天线方向图旁瓣抑制方法
CN103870654A (zh) 基于并行矩量法与物理光学混合的电磁散射仿真方法
CN111008466B (zh) 基于耦合方法的水下声音传播模拟方法
CN102081690B (zh) 复杂电路的矩阵分解结合新奇异值分解方法
CN104346488B (zh) 电大复杂外形金属目标混合建模及电磁散射快速仿真方法
CN102156764A (zh) 一种分析天线辐射和电磁散射的多分辨预条件方法
CN112949134A (zh) 基于非结构有限元方法的地-井瞬变电磁反演方法
CN104778286B (zh) 掠海飞行器电磁散射特性快速仿真方法
CN113158527A (zh) 一种基于隐式fvfd计算频域电磁场的方法
CN113376597A (zh) 基于数字高程地图和gpu的复杂地形电磁散射快速仿真方法
He et al. Two-way propagation modeling of expressway with vehicles by using the 3-D ADI-PE method
Li et al. Time-domain iterative physical optics method for analysis of EM scattering from the target half buried in rough surface: PEC case
CN112949121A (zh) 一种导波传播特性的求解方法及系统
CN104317984A (zh) 基于分域建模的船舶电磁散射预测方法及系统
CN104699870B (zh) 电大复杂有耗介质目标电磁散射抛物线快速仿真方法
CN104915326A (zh) 基于等效原理的区域分解阶数步进时域积分方法
CN104731996A (zh) 一种快速提取电大尺寸金属腔体目标瞬态散射信号的仿真方法
CN117406190A (zh) 基于雷达信号的无开挖拉棒腐蚀检测方法、装置及设备
Apaydin et al. Two-way split-step Fourier and finite element based parabolic equation propagation tools: Comparisons and calibration
CN104915324A (zh) 腔体含介质目标电磁散射混合分析方法
CN105205299A (zh) 电大目标电磁散射特性快速降维分析方法
CN106156394B (zh) 基于显式差分格式的电磁特性提取方法
CN102332055A (zh) 一种极低频电磁波的仿真计算方法
Choi et al. Scattering analysis of open-ended cavity with inner object

Legal Events

Date Code Title Description
C06 Publication
PB01 Publication
C10 Entry into substantive examination
SE01 Entry into force of request for substantive examination
GR01 Patent grant
GR01 Patent grant