CN102081690A - 复杂电路的矩阵分解结合新奇异值分解方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种能对复杂电路进行快速电磁仿真的方法，它是基于矩阵分解结合新的奇异值分解来对复杂电路进行高效仿真，利用三角形对模型进行精确模拟，还利用树形结构中远场组具有很好的低秩特性原理，对远场组进行低秩压缩，得到比较稀疏的矩阵表示形式，本发明所述分析方法不依赖于格林函数的展开形式，提出的基于MDA的新的奇异值压缩方法来减少内存和计算时间，是一种纯的数学方法，能够将计算复杂度降为O(NlogN)，将内存消耗降为O(NlogN)。特别适合用于对大规模复杂电路电磁的仿真分析。也可为格林函数比较复杂的电路结构的仿真提供了有效的条件。

Description

复杂电路的矩阵分解结合新奇异值分解方法

技术领域

本发明涉及一种电磁仿真技术，特别是一种基于矩阵分解结合新的奇异值分解方法，可为复杂集成电路的电磁特性分析提供重要的分析途径。

背景技术

随着科技的发展，现有集成电路工作频率在不断的迅速提高，集成度可以几年翻一倍，但随之而来，集成电路由于色散、不连续性和封装而产生的失真与时延，以及由于耦合而产生的串音噪声等问题也变得十分严重。传统的准静设计方法已经不能满足设计要求，但采用精确的电磁场全波仿真分析方法则能较好的解决这些问题，目前，对于微波集成电路、微带天线、微带散射体等复杂集成电路的全波分析，可以分为两类：一类是基于微分方程模型的分析方法，另一类是基于积分方程模型的分析方法。微分方程模型分析方法主要是基于体剖分，因此，该方法会导致未知量非常大，需要很大的计算资源，所以应用起来较为困难。基于积分方程模型的分析方法，现有文献中公开了多种采用积分方法用于分析复杂电路的结构，如W.C.Chew，J.M.Jin，E.Michielssen，and J.Song，Fast efficient algorithms in computational electromagnetics，Boston，MA：Artech House，2001公开了一种多层快速多极子算法(MLFMA)，该方法主要是采用加法定理对格林函数进行展开，其内存和计算复杂度都很低，但是此方法过分依赖格林函数的表达式，导致这种方法的应用在复杂电路问题时受到了很大的限制。文献Kapur，S.；Long，D.E.，“IES3：efficient electrostatic and electromagnetic simulation，”IEEE Computational Science &Engineering，Vol.5，pp.60-67，May 1998.和文献Fang-Shun Deng；Si-Yuan He；Hai-Tao Chen；Wei-Dong Hu；Wen-Xian Yu；Guo-Qiang Zhu，“Numerical Simulation of Vector WaveScattering From the Target and Rough Surface Composite Model With 3-D Multilevel UVMethod，”IEEE Trans.Antennas Propagat.，Vol.AP-58，pp.1625-16348，2010.提出了一种纯数学方法，这些方法跟格林函数的展开没有关系，它们较多层快速多极子算法其计算复杂度和存储量都有明显降低，但是内存和计算时间还是比较大，因此还是没有在根本上解决问题。

发明内容

本发明的目的在于提供一种计算速度快、内存消耗低、稳定性好的复杂电路的矩阵分解结合新的奇异值分解方法。

实现本发明目的的技术解决方案是：基于矩阵分解结合新的奇异值分解实现对复杂电路结构的分析，其实现过程包括以下步骤：

第一步，建立目标的几何模型，根据复杂电路的几何尺寸，用计算机辅助设计工具进行建模，采用基于Rao-Wilton-Glisson(以下简称RWG)基函数的三角形网格对电路模型进行剖分，每平方电波长内的剖分的三角形数目大于120，得到目标的几何信息；

第二步，根据第一步的网格信息在目标表面建立等效电流积分方程，再将选定的RWG基函数对未知等效流进行近似展开，然后代入积分方程，最后选择适当的加权函数，使在加权平均的意义下积分方程的余量为零，由此将连续的积分方程转换为矩阵方程；

第三步，采用八叉树结构对剖分后的目标模型进行分组，用一个立方体将目标体包围住，该立方体就定义为第零层的第一个且是最后一个组结点，把该立方体等分为八个子立方体结点形成第一层组结点，然后再对每个子立方体进行与上一步相同的细分，并以根据第一步的网格信息来判断最底层立方体的尺寸；

第四步，根据第三步的分组信息，将目标根据尺寸分为近场区和远场区，对近场区直接采用矩量法进行计算场源组间相互作用，对远场区的相互作用采用矩阵分解结合新的奇异值分解方法(以下简称MDA-Xin SVD方法)实现，具体步骤是：先利用矩阵分解对远场矩阵进行填充压缩，然后利用新的奇异值对矩阵分解后的子矩阵再进行一次压缩，得到一种稀疏的矩阵表达式；

第五步，根据第四步得到的稀疏矩阵表达式，采用迭代方法计算获得复杂电路模型表面电流分布参数，再通过计算得到模型的各种电磁特性参数，完成仿真分析全过程。

本发明与现有技术相比其显著效果是：该方法基于矩阵分解结合新的奇异值分解来对复杂电路进行高效仿真，它利用三角形对模型进行精确模拟，很好地拟合各种复杂的几何形状，保证了模型的精确性；利用八叉树结构对模型进行划分，先利用矩阵分解对远场矩阵进行填充压缩，然后利用新的奇异值对矩阵分解后的子矩阵再进行一次压缩，从而得到一种稀疏的矩阵表达形式。本发明所述分析方法不依赖于格林函数的展开形式，提出了基于MDA的新的奇异值压缩方法来减少内存和计算时间，是一种纯的数学方法，能够将计算复杂度降为O(NlogN)，将内存消耗降为O(NlogN)。特别适合用于对大规模复杂电路电磁的仿真分析。也可为格林函数比较复杂的电路结构的仿真提供了有效的条件。

附图说明

图1为30×30型频率FSS阵列结构示意图。

图2为图1所示30×30Y型频率FSS阵列结构俯视图。

图3是采用八叉树结构对目标模型进行三层剖分的剖分过程示意图。

图4是为多层MDA-Xin SVD方法的近场区和远场区示意图。

图5为Y型结构算例中MDA-Xin SVD方法的透射系数曲线图。

图6为Y型结构算例中MDA-Xin SVD方法的计算内存消耗曲线图。

图7为Y型结构算例中MDA-Xin SVD方法的计算时间消耗曲线图。

具体实施方式

下面结合图1和图2所示，以30×30Y型频率FSS阵列复杂电路模型的电磁仿真分析为例，对实现本发明的具体步骤作进一步详细描述：

第一步，建立被仿真目标的几何模型，根据该仿真目标的几何尺寸，用计算机辅助设计(HFSS)工具进行建模，采用基于RWG基函数的三角形网格对该仿真目标模型进行剖分，剖分得到的未知量数目为N＝100800，每平方电波长内的剖分的三角形数目为140，工作频率范围为2～15GHz；本目标几何信息如下：单元的长度和宽度分别是4mm和1mm，基底介电常数是2.85，介质厚度是0.5mm，单元尺寸T_x＝17mm，T_y＝14.5mm.入射波是TM极化波，入射角θⁱ＝30°，φⁱ＝0°，偏角是60度；

第二步，根据第一步的几何信息，在目标表面建立等效电流积分方程

再将选定的RWG基函数对未知等效流进行近似展开，然后代入积分方程，最后选择RWG基函数作为加权函数，使在加权平均的意义下积分方程的余量为零，由此将连续的积分方程转换为矩阵方程：ZI＝V；

第三步，采用八叉树结构对剖分后的目标模型进行分组，用一个立方体将目标体包围住，该立方体就定义为第零层的第一个且是最后一个组结点，把该立方体等分为八个子立方体结点形成第一层组结点，然后再对每个子立方体进行与上一步相同的细分，并以此类推直到最底层立方体的尺寸小于0.2个电波长，本例采用八叉树分层结构共有三层，最细层组的电尺寸为0.189个电波长。在小于0.189个电波长的区域采用矩量法直接计算，矩量法的计算复杂度是O(N²)；在大于0.189个电波长的区域，采用多层MDA-XinSVD方法计算，计算复杂度为O(N log N)；

第四步，将目标根据尺寸分为近场区和远场区，如图4所示，深色部分表示近场区，浅色部分表示远场区；对近场部分直接采用矩量法计算场源组间相互作用，得到近场作用阻抗矩阵元素，表达式如下：

$Z_{\mathrm{mn}}=\mathrm{jk}{\∫}_s{f}_m\left(r\right)\·{\∫}_{s\′}(I+\frac{1}{k^2}\▿\▿\′)G(r,r\′)\·f_n(r\′)\mathrm{dsds}\′$

其中：

$V_m=\frac{1}{\mathrm{\η}}{\∫}_s{f}_m\left(r\right)\·E^i\left(r\right)\mathrm{ds},G(r,r\′)=\frac{e^{-\mathrm{jk}|r-r\′|}}{4\mathrm{\π}|r-r\′|}$

G(r，r′)为自由空间格林函数，Eⁱ(r)为入射的平面波，r和r′分别对应场源点的位置，f_m(r)和f_n(r′)分别为基函数和测试函数，η和k分别为自由空间波阻抗和波数。

对在远场区采用多层MDA-Xin SVD方法计算，先利用矩阵分解对远场矩阵进行填充压缩，然后利用新的奇异值对矩阵分解后的子矩阵再进行一次压缩。它可以降低内存需求，提高计算效率。MDA-Xin SVD方法是基于在场源组分离远的情况下它们的相互作用矩阵是一个低秩的矩阵。一般来说，场组在源组近作用区，相互作用矩阵是满秩矩阵，场组在源组远作用区相互作用矩阵是低秩矩阵。当相互作用矩阵是满秩的情况，对矩阵采用直接计算和存储；当相互作用矩阵是低秩的情况，对矩阵采用MDA-Xin SVD方法处理，得到一种稀疏的矩阵表达式如下：

$\text{Z=}{Z}_N+\underset{l=3}{\overset{L}{\mathrm{\Σ}}}{R}_l{T}_l{F}_l$

式中Z_N为第l层的自作用和相邻作用的矩阵，T_l是维数小的矩阵，R_l和F_l都是块对角稀疏矩阵；T_l，R_l和F_l值可以通过以下步骤得到：

1)在最细层第L层，近场作用矩阵Z_N通过矩量法直接得到。对于第l层，每一个非空场组l(i)，Far(l(i))代表其远场作用组的个数。

2)在第l层，对于给定的场组l(i)，对所有属于l(i)的远场作用组的源组l(j)做循环，由MDA得到阻抗矩阵Z中相应的子矩阵Z_l(i)，l(j)，l(j)∈Far(l(i))。然后将所有的矩阵

连成一行得到矩阵A。对于给定的截断误差ε，使用截断的SVD分解技术对矩阵A进行压缩：

$A_{\mathrm{mp}}=U_{\mathrm{mk}}^{\′}{S}_{\mathrm{kk}}^{\′}{V}_{\mathrm{pk}}^{\′H},$ k＜min(p，m)

其中，m代表组l(i)中的基函数个数。P代表对于非空组l(i)，它与所有远场组Far(l(i))通过MDA形成的子矩阵Z_l(i)，l(j)(l(j)∈Far(l(i)))的秩r的和，k代表矩阵A的秩。U_mk为R_l的第i个对角块。存储

需要的存储空间为k(m+1+p)，它远小于mp。通过上面的操作过程得到R_l。

3)在第L层，对于给定的源组l(j)，对所有属于l(j)的远场作用组l(i)做循环，将所有的矩阵连接起来得到矩阵B。对于给定的截断误差ε，使用截断的SVD分解技术对矩阵B进行压缩，得到压缩过的矩阵B：

$B_{\mathrm{qn}}=U_{\mathrm{qg}}^{\′\′}{S}_{\mathrm{gg}}^{\′\′}{V}_{\mathrm{gn}}^{\′\′H},$ g＜min(q，n)

其中n代表组l(j)中的基函数个数。q代表子矩阵

的秩k之和，g代表矩阵B的秩。

是F_l的第j个块对角矩阵。通过上面的操作，可以得到F_l。剩下的矩阵U″_l(j)S″_l(j)构成了矩阵T_l。存储

需要的存储空间为g(q+1+n)，它远小于qn。

4)通过以上步骤操作，便得到阻抗矩阵Z的第l-1层的远场子矩阵

$Z_{l-1}^{\mathrm{far}}=R_{l-1}{T}_{l-1}{F}_{l-1}.$

改进的MDA算法(MDA-newSVD)的内存消耗主要是存储第l层的三个矩阵R_l、F_l和T_l，然而R_l、F_l和T_l都是非常稀疏的；

第五步，根据第四步得到的阻抗矩阵的稀疏矩阵表达式，采用广义最小余量法(GMRES)方法计算获得复杂电路模型表面电流分布参数，再通过计算得到模型的各种电磁特性参数，完成仿真分析过程。

根据本发明所述方法对30×30Y型频率FSS阵列结构进行的仿真，MDA-Xin SVD方法与仿真软件(Ansoft designer)计算结果吻合的好，其效果如图5所示，验证了MDA-Xin SVD方法的正确性。本发明采用的MDA-Xin SVD与现有MDA-SVD以及MLMDA方法相比，其内存和矩阵矢量乘的时间如图6和7所示，充分显示了MDA-XinSVD方法计算的高效率。

Claims (3)

1.一种复杂电路的矩阵分解结合新的奇异值分解方法，其实现步骤如下：

第一步，建立目标的几何模型，根据复杂电路的几何尺寸，用计算机辅助设计工具进行建模，采用基于Rao-Wilton-Glisson(以下简称RWG)基函数的三角形网格对电路模型进行剖分，每平方电波长内的剖分的三角形数目大于120，得到目标的几何信息；

第二步，根据第一步的网格信息在目标表面建立等效电流积分方程，再将选定的RWG基函数对未知等效流进行近似展开，然后代入积分方程，最后选择适当的加权函数，使在加权平均的意义下积分方程的余量为零，由此将连续的积分方程转换为矩阵方程；

第三步，采用八叉树结构对剖分后的目标模型进行分组，用一个立方体将目标体包围住，该立方体就定义为第零层的第一个且是最后一个组结点，把该立方体等分为八个子立方体结点形成第一层组结点，然后再对每个子立方体进行与上一步相同的细分，并以根据第一步的网格信息来判断最底层立方体的尺寸；

第四步，根据第三步的分组信息，将目标根据尺寸分为近场区和远场区，对近场区直接采用矩量法进行计算场源组间相互作用，对远场区的相互作用采用矩阵分解结合新的奇异值分解方法(以下简称MDA-Xin SVD方法)实现，具体步骤是：先利用矩阵分解对远场矩阵进行填充压缩，然后利用新的奇异值对矩阵分解后的子矩阵再进行一次压缩，得到一种稀疏的矩阵表达式；

第五步，根据第四步得到的稀疏矩阵表达式，采用迭代方法计算获得复杂电路模型表面电流分布参数，再通过计算得到模型的各种电磁特性参数，完成仿真分析全过程。

2.根据权利要求1所述复杂电路的矩阵分解结合新的奇异值分解方法，其特征在于第四步中对远场区的相互作用采用MDA-Xin SVD方法得到的稀疏矩阵表达式为：

$Z=Z_N\underset{l=3}{\overset{L}{\mathrm{\Σ}}}{R}_l{T}_l{F}_l$

式中Z_N为第l层的自作用和相邻作用的矩阵，T_l是维数小的矩阵，R_l和F_l都是块对角稀疏矩阵；T_l，R_l和F_l值可以通过以下步骤得到：

1)在最细层第L层，近场作用矩阵Z_N通过矩量法直接得到，对于第l层，每一个非空场组l(i)，Far(l(i))代表其远场作用组的个数。

2)在第l层，对于给定的场组l(i)，对所有属于l(i)的远场作用组的源组l(j)做循环，由MDA得到阻抗矩阵Z中相应的子矩阵Z_l(i)，l(j)，l(j)∈Far(l(i))；然后将所有的矩阵

连成一行得到矩阵A；对于给定的截断误差ε，使用截断的SVD分解技术对矩阵A进行压缩：

$A_{\mathrm{mp}}=U_{\mathrm{mk}}^{\′}{S}_{\mathrm{kk}}^{\′}{V}_{\mathrm{pk}}^{\′H},$ k＜min(p，m)

其中，m代表组l(i)中的基函数个数；P代表对于非空组l(i)，它与所有远场组Far(l(i))通过MDA形成的子矩阵Z_l(i)，l(j)(l(j)∈Far(l(i)))的秩r的和，k代表矩阵A的秩；U_mk为R_l的第i个对角块；存储

需要的存储空间为k(m+1+p)，它远小于mp；通过上面的操作过程得到R_l；

3)在第L层，对于给定的源组l(j)，对所有属于l(j)的远场作用组l(i)做循环，将所有的矩阵连接起来得到矩阵B；对于给定的截断误差ε，使用截断的SVD分解技术对矩阵B进行压缩，得到压缩过的矩阵B：

$B_{\mathrm{qn}}=U_{\mathrm{qg}}^{\′\′}{S}_{\mathrm{gg}}^{\′\′}{V}_{\mathrm{gn}}^{\′\′H},$ g＜min(q，n)

其中n代表组l(j)中的基函数个数；q代表子矩阵

的秩k之和，g代表矩阵B的秩；

是F_l的第j个块对角矩阵；通过上面的操作，可以得到F_l；剩下的矩阵U″_l(j)S″_l(j)构成了矩阵T_l；存储

需要的存储空间为g(q+1+n)，它远小于qn；

4)通过以上步骤操作，便得到阻抗矩阵Z的第l-1层的远场子矩阵

$Z_{l-1}^{\mathrm{far}}=R_{l-1}{T}_{l-1}{F}_{l-1};$

3.根据权利要求1所述复杂电路的矩阵分解结合新的奇异值分解方法，其特征在于：第三步中采用八叉树结构对目标进行分组，其最底层立方体的尺寸为0.05～1.0个电波长。

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