CN102054094A - 一种平面微带电路的快速多层方向性仿真方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种分析平面微带电路的快速多层方向性方法，它是基于快速多层方向性方法实现对平面微带电路结构的分析，该方法采用平面三角形面元对复杂电路进行剖分，并将快速方向性多层算法结合RWG函数应用于电场积分方程，保证了模型的计算精确性；利用在场源点距离足够远时矩量法形成的阻抗矩阵具有很好低秩特性原理，对远场区采用多层方向性快速计算，格林函数由低秩表达式展开，且展开式只涉及核函数的计算，大大降低了多层微带电路中的计算复杂度，使计算复杂度和内存需求降低到O(NlogN)量级。本发明还采用四叉树形式对平面微带多层电路进行分组分析，有效降低了内存消耗，计算结果准确，实验测试费用低，可广泛应用于对复杂电路的仿真分析中。

Description

一种平面微带电路的快速多层方向性仿真方法

技术领域

本发明涉及一种基于微带电路的电磁特性仿真技术，特别是一种平面微带电路的快速多层方向性仿真方法。

背景技术

微带电路和微带天线一样，由于体积小、重量轻、造价低、性能与可靠性高等优点，而被广泛应用于微波中继通信、移动通信、雷达、导航、火箭制导等领域，并且向着宽带化、小型化和复杂结构等方向发展，新的发展同时也对微带电路的设计提出了更高的要求，目前采用软件仿真分析该类问题已成为产前设计的重要手段，而在仿真中如何高效地对其进行快速全波电磁分析和参数提取至关重要。目前，对微带电路的仿真分析手段主要是采用积分方程类方法中的矩量法，而矩量法又分为两类，一类是谱域法，另一类是空域法；采用谱域法对微带电路分析时需要处理双重无限积分，而由于积分是高度振荡的并且缓慢衰减的，所以生成的矩阵填充的时间相当大，因此该方法难以推广应用；对于空域法，它在进行微带电路分析时的重点和难点是对空域格林函数的提取，而以离散复镜像技术为代表的快速准确地抽取空域格林函数方法的出现，使空域方法获得了极其迅速的发展。K.A.Michalski and C.G.Hsu，“RCS Computation of Coax-Loaded Microstrip Patch Antennas of Arbitrary Shape，”Electromagn.，Vol.14，Jan.～Mar.，pp.33-62，1994.曾公开了一种空域矩量法，它是通过离散复镜像技术来快速准确地抽取空域格林函数，并且应用于多层介质微带贴片天线的散射求解中。然而对于求解电大尺寸微带电路问题，直接应用空域矩量法时所需要的计算复杂度高，为O(N²)。为了降低计算复杂度，许多学者又将迭代解法结合基于快速傅立叶技术(FFT)的自适应积分方法(AIM)以及多层快速多极子算法(MLFMA)、快速多层方向性方法(FDMA)等一些快速算法相继引入到这一领域。其应用效果较为好的如多层快速多极子算法(MLFMA)，它可以用来求解微带电路的二维和静态场问题以及进行全波微带电路分析，但是在求解微带电路的二维和静态场问题时，求解的精度会随着频率的升高而逐步降低，在应用于全波微带电路的分析时又过分依赖于核函数格林函数的形式，因而实施起来仍较为复杂。B.Engquist，L.X.Ying，“Fast directional multilevel algorithms for oscillatory kernels，”SIAM Journal on Scientific Computing，vol.29，no.4，pp.1710-1737，2007公开了一种用于求解N-body或者N-point问题的快速方向性算法(FDMA)，该算法不依赖于核函数的形式，并且格林函数由低秩的表达形式展开，展开式中只涉及到核函数的计算，因而实施较为方便。该方法由H.Chen，K.W.Leung and Edward K.N.Yung，在文献“Fast directional multilevel algorithms for analyzing wave scattering”，accepted for publication by IEEE Trans.Antennas Propag中被首次引入对自由空间电磁散射问题的求解，并且推导了混合场积分方程的形式。但至今尚未见采用该算法进行多层平面微带电路问题求解的报道。

发明内容

本发明的目的在于提供一种具有计算精度高，节省计算内存需求以及节省计算时间的平面微带电路的快速多层方向性仿真方法。

实现本发明目的的技术方案为：平面微带电路的快速多层方向性仿真方法，它是一种基于快速多层方向性方法(FDMA)的快速算法通过利用低秩表达式的展开来实现对平面微带电路的快速分析，其具体操作步骤如下：

第一步，利用Ansys软件建立目标的几何剖分模型，根据复杂电路的几何尺寸，用计算机辅助设计工具进行建模，采用基于Rao-Wilton-Glisson(RWG)基函数的三角形网格对电路目标模型进行分别剖分，每平方电波长内剖分的三角形数目大于120，得到目标的几何信息并且设置激励源的参数边信息以及施加激励源；

第二步，采用四叉树结构对剖分后的目标模型进行分组，用一个正方形将目标体包围住，该正方形定义为第零层的第一个且是最后一个组结点，把该正方形等分为四个子正方形结点形成第一层组结点，然后再对每个子正方形进行与上一步相同的细分，并以此类推直到最底层正方形的尺寸达到所需合适的大小为止；

第三步，根据目标尺寸区分近场区和远场区，首先根据上述组的尺寸区分低频域和高频域，对于组的尺寸小于1个电波长的定为低频域，大于等于1个电波长的定为高频域，然后再将低频域和高频域分别按照每个正方形组相邻的正方形组设定为近场区组，将包含该正方形的下一层正方形区域的近场区设定为该层组的远场区；

第四步，根据第一步中得到的目标几何信息以及第二步中所得到的组的信息，对近场区目标模型直接采用矩量法进行计算场源组间相互作用，即先在目标表面建立等效电流积分方程，再将选定的RWG基函数对未知等效流进行近似展开，然后代入积分方程，最后选择RWG基函数作为加权函数，使在加权平均的意义下积分方程的余量为零，由此将连续的积分方程转换为矩阵方程，得到近场作用阻抗矩阵信息；

第五步，根据第二步中所得到的组的信息，采用快速多层方向性算法实现远场区场源组间相互作用，即对于任意观察组，经过随机采样，得到每一层的等效点以及关联矩阵，将远场作用的格林函数展开成低秩表达式的形式，通过核函数计算得到远场作用阻抗矩阵信息；

第六步，根据上述近场区、远场区场源组间相互作用所得到的阻抗矩阵的信息，采用广义最小余量法求解系统矩阵方程，得到模型表面电流系数；

第七步，根据电流系数，计算电磁特性参数，得到复杂电路模型表面电流分布参数，最后利用电流分布参数计算出目标模型的各种电磁特性参数，完成对平面微带电路的分析过程。

本发明是基于压缩类方法之一的快速多层方向性算法(FDMA)来进行平面微带电路结构的分析，该算法将目标模型分为近场区远场区，利用在场源点距离足够远时，矩量法形成的阻抗矩阵具有很好的低秩特性的原理，引入远场作用区的思想并对远场区域采用快速多层方向性算法进行计算，从而获得对平面复杂微带电路的分析仿真。该算法由于不依赖于核函数的形式，并且格林函数由低秩的表达形式展开，其展开式中只涉及到核函数的计算，计算中将表面波项和准静态项统一用低秩的表达形式展开，大大降低了该算法在多层微带电路中的复杂度。

本发明与现有技术相比其显著优点为：(1)采用平面三角形面元对复杂电路模型进行剖分，并将快速方向性多层算法结合RWG函数应用于电场积分方程，不但保证了模型的计算精确性，还能对平面多层微带结构实现快速求解；(2)引入远场作用区的思想，对远场区采用了多层方向性快速算法，降低了内存需求和矩阵填充时间，计算复杂度和内存需求均降低到O(NlogN)，N为未知量的数目；(3)采用四叉树形式进行分组分析平面微带多层电路，有效降低了内存消耗；(4)本发明计算结果准确，实验测试费用低，可广泛应用于对复杂电路的仿真分析中，特别是对国防雷达天线设计的仿真中。

附图说明

图1是电磁带隙(EBG)结构剖面示意图。

图2是两层介质中四叉树结构分组的低频域近场区和远场区示意图。

图3是为两层介质中四叉树结构分组的高频域近场区和远场区示意图。

图4是电磁带隙(EBG)结构远场区作用示意图。

图5是电磁带隙(EBG)结构S11仿真参数示意图。

图6是电磁带隙(EBG)结构S21仿真参数示意图。

具体实施方式

下面结合附图，以图1所示具有七个周期的准周期电磁带隙(EBG)结构为例，对本发明的具体步骤作进一步详细描述。

根据本发明仿真图1所示电磁带隙(EBG)结构的快速多层方向性算法，其具体操作步骤如下：

第一步，根据图1所示电磁带隙(EBG)结构的几何尺寸，利用Ansys软件对其进行建模，采用基于Rao-Wilton-Glisson(RWG)基函数的三角形网格对电磁带隙(EBG)结构进行分别剖分，依据每平方电波长内剖分的三角形数目大于120的原则，即得到电磁带隙(EBG)结构的未知量的个数以及节点的坐标信息；对于电磁带隙(EBG)结构的参数边信息，可依据电磁带隙(EBG)的结构和尺寸，将其设定为两层介质的平面微带结构来处理，并在第一层微带线的两端选取加源的参数边，施加Delta-Gap电压源；

第二步，采用四叉树结构对剖分后的电磁带隙(EBG)结构进行分组，对第一层微带线和第二层金属贴片分别采用四叉树的分组方式，即先用一个正方形将第一层微带线包围住，该正方形定义为第零层的第一个且是最后一个组结点，把该正方形等分为四个子正方形结点形成第一层组结点，然后再对每个子正方形进行与上一步相同的细分，并以此类推直到最底层正方形的尺寸达到所需要求为止，一般为0.25～0.5个电波长。

第三步，根据电磁带隙(EBG)结构的尺寸区分该结构的近场区和远场区；按照第一层的分组方式对第二层金属贴片进行分组，根据组的尺寸首先区分低频域和高频域，对于组的尺寸小于1个波长的定为低频域，如图2所示，大于等于1个波长的则定义为高频域，如图3所示；然后再将低频域和高频域分别按照每个正方形组相邻的正方形组设定为近场区组，将包含该正方形的下一层正方形区域的近场区设定为该层组的远场区。图2中白色区域和图3楔形中圆弧以内的白色区域为近场区，灰色的区域为远场区。

第四步，对近场区直接采用矩量法进行计算场源组间相互作用，即先在电磁带隙(EBG)表面建立等效电流积分方程，再将选定的RWG基函数对未知等效流进行近似展开，然后代入积分方程，最后选择RWG基函数作为加权函数，使在加权平均的意义下积分方程的余量为零，由此将连续的积分方程转换为矩阵方程，得到电磁带隙(EBG)近场作用阻抗矩阵元素。其矩阵方程的形式如下式所示

$\underset{n=1}{\overset{N}{\mathrm{\Σ}}}{Z}_{\mathrm{mn}}{a}_n=V_m,m=\mathrm{1,2},...,N$

其中：

$Z_{\mathrm{mn}}^E=\frac{\mathrm{jk}}{4\mathrm{\π}}\underset{s}{\∫\∫}{\mathrm{\Λ}}_m\left(r\right)\·\underset{s}{\∫\∫}G(r,r^{\′}){\mathrm{\Λ}}_n\left(r^{\′}\right){\mathrm{dS}}^{\′}\mathrm{dS}$

$-\frac{j}{4\mathrm{\πk}}\underset{s}{\∫\∫}\▿\·{\mathrm{\Λ}}_m\left(r\right)\·\underset{s}{\∫\∫}G(r,r^{\′})\▿\·{\mathrm{\Λ}}_n\left(r^{\′}\right){\mathrm{dS}}^{\′}\mathrm{dS}$

$V_m=\frac{1}{\mathrm{\η}}{\∫}_s{\mathrm{\Λ}}_m\left(r\right)\·E^i\left(r\right)\mathrm{ds},G(r,r^{\′})=\frac{e^{-\mathrm{jk}|r-r^{\′}|}}{4\mathrm{\π}|r-r^{\′}|}$

G(r，r′)为自由空间格林函数，{a_n}为待求RWG基函数展开表面电流的系数，Eⁱ(r)为入射的平面波，r和r′分别对应场源点的位置，Λ_m(r)和Λ_n(r′)分别为基函数和测试函数，η和k分别为自由空间波阻抗和波数。

第五步，根据第二步的分组结果，采用快速多层方向性方法(FDMA)方法对远场区场源组间的相互作用进行加速计算。由于场源组分离较远的情况下它们的相互作用矩阵是一个低秩的矩阵，一般来说，场组在源组近作用区，相互作用矩阵是接近于满秩矩阵，场组在源组远作用区相互作用矩阵是低秩矩阵，当相互作用矩阵是满秩的情况时，对矩阵采用直接计算和存储，当相互作用矩阵是低秩的情况时，即可对矩阵采用FDMA方法进行处理。本例所述的电磁带隙(EBG)是依据FDMA方法，采用四叉树结构分组，对于四叉树的每一层，首先随机采样构造出如下低秩表达式

$G(r_i,r_j)\≈\underset{p,q}{\mathrm{\Σ}}G(r_i,r_p)d_{\mathrm{pq}}G(r_q,r_j)$

在构造每一层的低秩表达式时，可以同时得到等效点{r_p}、{r_q}和矩阵D，D矩阵元素为d_pq。

根据上述等效点和矩阵D，进行远场阻抗矩阵的展开计算，参见图4，首先假定B代表四叉树结构中的某一个正方形组，w是组的宽度，单位为波长；假定组A在组B方向为l的楔形区域，而组B则位于组A方向为l′的楔形区域；组A和组B的宽度w＝1，组B的子组组为B_c，A的子组为A_c，宽度为0.5。此时使用两层FDMA算法，这里A_c和B_c是最细层的组，由于组的尺寸小于1，所以不分方向，而从它们的父层组开始分方向。由上述低秩表达式的构造过程分别得得到了最细层的等效点及其父层的等效点{r_p}，{r_q}和矩阵D。将以上得到的等效点和矩阵D根据FDMA进行核函数底计算，其过程包括上行和下行两个过程，最终得到远场作用阻抗矩阵信息；

上行过程：

1、根据下式得到外向等效密度

$\left\{f_p^{B_c,o}\right\}=\left\{\underset{q}{\mathrm{\Σ}}{d}_{\mathrm{pq}}\underset{s}{\∫\∫}G(r_q^{B_c},r^{\′})f_n{\mathrm{dS}}^{\′}\right\}$

式中 $f_n=\left\{\begin{array}{cc}{\mathrm{\Λ}}_n,& \mathrm{for\; the\; magnetic\; vector\; potential}\\ \▿\·{\mathrm{\Λ}}_n,& \mathrm{for\; the\; scalar\; potential}\end{array}\right.$

由于子组Bc的尺寸小于1，所以

是无方向的，处于低频域。

代表组Bc在其远场区域的等效点。

2、将组B作用的远场区划分成若干个方向的楔形区域，然后将外向等效点

作为组B的等效源点，外向等效密度

作为组B的等效密度，

代表组B在l方向的外向等效点。根据下式计算得到组B在方向为l方向性外向等效位

$\left\{u_{p^{\′}}^{B,o,l}\right\}=\left\{\underset{p^{\′}}{\mathrm{\Σ}}G(r_{q^{\′}}^B,r_p^{B_c})f_p^{B_c,o}\right\}$

此时组B处于高频域，所以等效位为方向性的。通过方向性外向等效位，由下式得到组B在方向为l方向性外向等效密度为

$\left\{f_{p^{\′}}^{B,o,l}\right\}=\left\{\underset{q^{\′}}{\mathrm{\Σ}}{d}_{p^{\′}{q}^{\′}}\underset{p^{\′}}{\mathrm{\Σ}}G(r_{q^{\′}}^B,r_p^{B_c})f_p^{B_c,o}\right\}$

这里父层使用“p′，q′”来区分子层的符号p，q。

3、将等效密度为作为组A的等效密度，再由下式计算得到组A在方向为l′方向性内向接收位

$\left\{u_{q^{\′}}^{A,i,l^{\′}}\right\}=\left\{\underset{p}{\mathrm{\Σ}}G(r_{q^{\′}}^A,r_{p^{\′}}^B)f_{p^{\′}}^{B,o,l}\right\}$

式中

代表组B在l方向的内向等效点，

代表组A在l′方向的外向等效点。

下行过程：

1、通过上行过程所获得的方向性内向接收位

与父层组组的D矩阵，计算得到组A方向性内向等效密度

$\left\{f_{p^{\′}}^{A,i,l^{\′}}\right\}=\left\{\underset{p^{\′}}{\mathrm{\Σ}}{d}_{p^{\′}{q}^{\′}}{u}_{q^{\′}}^{A,i,l^{\′}}\right\}$

2、将方向性内向等效密度作为其子组Ac的等效密度，通过下式计算得到内向接收位

$u_q^{A_c,i}=u_q^{\′A_c,i}+\underset{p}{\mathrm{\Σ}}G(r_q^{A_c},r_{p^{\′}}^A)f_{p^{\′}}^{A,i,l^{\′}}$

上式右边的第一项代表组Ac远场组的贡献，由于此时组Ac的尺寸小于1，此时组Ac处于低频域，所以

为无方向性的，右边第二项代表组Ac的父层组的贡献，

代表组A在l′方向的内向等效点，

代表组Ac在其远场区域的等效点。最后由内向接收位

以及子层所得到的D矩阵计算内向等效密度

$\left\{f_q^{A_c,i}\right\}=\left\{\underset{p}{\mathrm{\Σ}}{d}_{\mathrm{pq}}{u}_p^{A_c,i}\right\}$

3、由内向等效密度通过下式得到由电场积分方程所产生的远场作用阻抗矩阵为：

$Z_{\mathrm{mn}}=\underset{q}{\mathrm{\Σ}}\underset{s}{\∫\∫}{f}_m\·G(r_q^{A_c},r)\mathrm{dS}\·f_q^{A_c,i}$

由上下行计算过程可以看出，格林函数的展开并不是通过多极子，而是通过一些核函数的计算来实现，整个过程是围绕着等效位和等效密度的转换来实现的。

第六步，使用FDMA方法加速矩阵矢量乘，采用广义最小余量法(GMRES)进行迭代计算，得到电磁带隙(EBG)表面电流系数，该过程降低了内存需求，整个过程中矩阵性态不变。

第七步，根据上述表面电流系数计算电磁特性参数，得到电磁带隙(EBG)表面电流分布，再利用电流分布参数计算出磁带隙(EBG)结构的S11参数和S21参数，完成对电磁带隙(EBG)结构的仿真全过程。

根据本发明所述方法对电磁带隙(EBG)结构进行的仿真，其计算复杂度和内存需求均可以从O(N²)降低到O(NlogN)量级，仿真结果与现有仿真软件(Ansoft designer)相比，计算吻合度好，计算效率高。电磁带隙(EBG)结构S11和S21仿真参数见图5和图6示意图。

Claims (3)

1.一种分析平面微带电路的快速多层方向性方法，它是一种基于快速多层方向性方法(FDMA)的快速算法通过利用低秩表达式的展开来实现对平面微带电路的快速分析，其特征在于它是按照以下操作步骤实现：

第一步，利用Ansys软件建立目标的几何剖分模型，根据复杂电路的几何尺寸，用计算机辅助设计工具进行建模，采用基于Rao-Wilton-Glisson(RWG)基函数的三角形网格对电路目标模型进行分别剖分，每平方电波长内剖分的三角形数目大于120，得到目标的几何信息并且设置激励源的参数边信息以及施加激励源；

第二步，采用四叉树结构对剖分后的目标模型进行分组，用一个正方形将目标体包围住，该正方形定义为第零层的第一个且是最后一个组结点，把该正方形等分为四个子正方形结点形成第一层组结点，然后再对每个子正方形进行与上一步相同的细分，并以此类推直到最底层正方形的尺寸达到所需合适的大小为止；

第三步，根据目标尺寸区分近场区和远场区，首先根据上述组的尺寸区分低频域和高频域，对于组的尺寸小于1个电波长的定为低频域，大于等于1个电波长的定为高频域，然后再将低频域和高频域分别按照每个正方形组相邻的正方形组设定为近场区组，将包含该正方形的下一层正方形区域的近场区设定为该层组的远场区；

第四步，根据第一步中得到的目标几何信息以及第二步中所得到的组的信息，对近场区目标模型直接采用矩量法进行计算场源组间相互作用，即先在目标表面建立等效电流积分方程，再将选定的RWG基函数对未知等效流进行近似展开，然后代入积分方程，最后选择RWG基函数作为加权函数，使在加权平均的意义下积分方程的余量为零，由此将连续的积分方程转换为矩阵方程，得到近场作用阻抗矩阵信息；

第五步，根据第二步中所得到的组的信息，采用快速多层方向性算法实现远场区场源组间相互作用，即对于任意观察组，经过随机采样，得到每一层的等效点以及关联矩阵，将远场作用的格林函数展开成低秩表达式的形式，通过核函数计算得到远场作用阻抗矩阵信息；

第六步，根据上述近场区、远场区场源组间相互作用所得到的阻抗矩阵的信息，采用广义最小余量法求解系统矩阵方程，得到模型表面电流系数；

第七步，根据电流系数，计算电磁特性参数，得到复杂电路模型表面电流分布参数，最后利用电流分布参数计算出目标模型的各种电磁特性参数，完成对平面微带电路的分析过程。

2.根据权利要求1所述分析平面微带电路的快速多层方向性方法，其特征在于：第二步中采用四叉树结构对剖分后的目标模型进行分组时，最底层正方形的尺寸一般为0.25～0.5个电波长。

3.根据权利要求1所述分析平面微带电路的快速多层方向性方法，其特征在于：第五步中通过核函数对远场作用阻抗矩阵信息进行计算前，先设定四叉树结构中的某一正方形组为B，组的宽度是w，单位为波长；设定组A在组B方向为l的楔形区域，组B则位于组A方向为l′的楔形区域；组A和组B的宽度w＝1，组B的子组组为B_c，组A的子组组为A_c，宽度为0.5；核函数计算包括上行和下行两个过程，其具体操作如下：

上行操作过程：

①根据下式得到外向等效密度

$\left\{f_p^{B_c,o}\right\}=\left\{\underset{q}{\mathrm{\Σ}}{d}_{\mathrm{pq}}\underset{s}{\∫\∫}G(r_q^{B_c},r^{\′})f_n{\mathrm{dS}}^{\′}\right\}$

式中

代表组Bc在其远场区域的等效点，d_pq代表最底层关联矩阵的元素；

②将组B作用的远场区划分成若干个方向的楔形区域，然后将外向等效点

作为组B的等效源点，外向等效密度

作为组B的等效密度，

代表组B在l方向的外向等效点。根据下式计算得到组B在方向为l方向性外向等效位

$\left\{u_{p^{\′}}^{B,o,l}\right\}=\left\{\underset{p^{\′}}{\mathrm{\Σ}}G(r_{q^{\′}}^B,r_p^{B_c})f_p^{B_c,o}\right\}$

通过方向性外向等效位，由下式得到组B在方向为l方向性外向等效密度为

$\left\{f_{p^{\′}}^{B,o,l}\right\}=\left\{\underset{q^{\′}}{\mathrm{\Σ}}{d}_{p^{\′}{q}^{\′}}\underset{p^{\′}}{\mathrm{\Σ}}G(r_{q^{\′}}^B,r_p^{B_c})f_p^{B_c,o}\right\}$

这里父层使用“p′，q′”来区分子层的符号p，q；

③将等效密度为作为组A的等效密度，再由下式计算得到组A在方向为l′方向性内向接收位

$\left\{u_{q^{\′}}^{A,i,l^{\′}}\right\}=\left\{\underset{p}{\mathrm{\Σ}}G(r_{q^{\′}}^A,r_{p^{\′}}^B)f_{p^{\′}}^{B,o,l}\right\}$

式中

代表组B在l方向的内向等效点，

代表组A在l′方向的外向等效点；

下行操作过程：

①通过上行过程所获得的方向性内向接收位

与父层组组的D矩阵，计算得到组A方向性内向等效密度

$\left\{f_{p^{\′}}^{A,i,l^{\′}}\right\}=\left\{\underset{p^{\′}}{\mathrm{\Σ}}{d}_{p^{\′}{q}^{\′}}{u}_{q^{\′}}^{A,i,l^{\′}}\right\}$

②将方向性内向等效密度

作为其子组组Ac的等效密度，通过下式计算得到内向接收位

$u_q^{A_c,i}=u_q^{\′A_c,i}+\underset{p}{\mathrm{\Σ}}G(r_q^{A_c},r_{p^{\′}}^A)f_{p^{\′}}^{A,i,l^{\′}}$

代表组A在l′方向的内向等效点，

代表组Ac在其远场区域的等效点，最后由内向接收位

以及子层所得到的D矩阵计算内向等效密度

$\left\{f_q^{A_c,i}\right\}=\left\{\underset{p}{\mathrm{\Σ}}{d}_{\mathrm{pq}}{u}_p^{A_c,i}\right\}$

③由内向等效密度通过下式得到由电场积分方程所产生的远场作用阻抗矩阵Z_mn：

$Z_{\mathrm{mn}}=\underset{q}{\mathrm{\Σ}}\underset{s}{\∫\∫}{f}_m\·G(r_q^{A_c},r)\mathrm{dS}\·f_q^{A_c,i}$

完成上行和下行全过程。

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