CN106294283A - 基于泰勒级数展开的时域积分方程快速算法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种基于泰勒级数展开的时域积分方程快速算法。传统的时域积分方程方法由于计算时间和内存消耗的限制无法解决大规模的电磁问题。而发展快速算法是解决实际工程问题的必由之路。本发明是利用自由空间中格林函数的泰勒级数展开重构成聚合、转移、配置的形式进而实现矩阵矢量乘的加速计算，本发明对于求解金属复杂目标散射问题需要更少的计算内存以及计算时间。而且编程相对简单易于实现，具有很强的实际工程应用价值。

Description

基于泰勒级数展开的时域积分方程快速算法

技术领域

本发明涉及金属目标瞬态电磁散射特性数值计算技术，属于目标电磁散射特性的快速计算技术领域，具体是一种基于泰勒级数展开的时域积分方程快速算法。

背景技术

随着计算电磁学领域研究的深入，传统的频域方法已经不能满足需要。以计算机硬件技术的发展为契机，人们逐步具有了直接在时域对具有宽频带特性的瞬变电磁场的计算分析能力，从而实现了对物理量和物理现象更深刻、更直观的理解。同频域方法相比，在时域求解目标的电磁特性不仅可以直观的揭示目标与电

磁波相互作用的机理，而且通过少量的计算就可以获得目标的宽频带信息，这在宽带电磁问题、瞬态电磁问题分析中具有明显的优势。

同基于微分方程的时域方法(FDTD、FETD等)相比，基于积分方程的时域方法在求解的未知数数量上具有明显的优势，这是因为积分方程利用格林函数建立源和场的关系，求解区域在边界上，离散后未知数的数量与边界面积成正比。其次，积分方程方法自动满足辐射边界条件，不需要强加吸收边界，而吸收边界是基于微分方程的方法所必需的。

由于计算机水平和硬件的限制，传统的时域积分方程方法无法解决大规模的电磁问题。而发展快速算法是解决实际工程问题的必由之路。时域积分方程快速算法的研究是在近20年开展起来的，其中最著名的两种：一是时域平面波算法(PWTD)，二是时域自适应积分方程(TD-AIM)。对于三维目标模型，TD-AIM的计算量和存储量分别为和可见其处理三维目标的效率低下。PWTD算法其原理类似于FMM算法，但是因为时间变量的存在，使得PWTD算法更加复杂，实现起来更加困难。并且该算法的适应性差，当用以求解介质或者有耗媒质等复杂问题时，还需要对算法进行特殊修改。

发明内容

本发明的目的在于提供一种高效、稳定的分析金属目标的时域电磁散射特性 的快速方法。由于对远场部分采用泰勒级数展开重构成聚合、转移、配置的形式进而实现矩阵矢量乘的加速计算，本发明对于求解金属复杂目标散射问题需要更少的计算内存以及计算时间。而且编程相对简单易于实现。

实现本发明目的的技术解决方案为：一种基于泰勒级数展开的时域积分方程快速算法，步骤如下：

第一步，建立时域电磁场积分方程。金属目标在入射电磁波的作用下，在金属散射体的表面上会产生面感应面电流，感应电流的不断变化，会向外辐射出电磁场，由感应电流产生的电磁场就是散射场，利用入射电磁场和散射电磁场在金属表面满足的边界条件建立时域电磁场积分方程。

第二步，将散射体表面上离散得到的子散射体分组。任意两个子散射体间的互耦或自耦根据它们所在组的位置关系而分成近场组对和远场组对。当它们是近场组对时，采用直接数值计算。而当它们为远场组对时，则采用泰勒级数展开成聚合-转移-配置方法计算。

第三步，近场阻抗矩阵计算，将金属表面电流密度用空间基函数和时间基函数展开，并在空间域上进行伽辽金测试，时间域上进行点匹配得到矩阵元素值。

第四步，远场部分采用泰勒级数展开重构成聚合、转移、配置的形式。

第五步，矩阵方程求解以及电磁散射参数的计算。利用时间递推的方式求解每个时刻的电流系数。每个时刻空间某处的散射场贡献来源分为近场组源的贡献和远场组源的贡献。前者直接通过近场矩阵和电流系数相乘得到，后者通过泰勒级数展开成聚合-转移-配置方法快速计算。采用迭代法求解出最终的散射电流系数。并根据互易定理求解出雷达散射截面积。

本发明与现有技术相比，其显著优点为：(1)可以快速分析复杂电大目标时域电磁散射特性；(2)远场计算是基于泰勒级数展开的，避免了PWTD算法需要的复杂的时频域转换、谱域积分等操作，编程相对简单易于实现；(3)适用性高，可以只需作较少的改动便可应用于求解介质、有耗、色散等复杂问题的分析中。

附图说明

图1是本发明的应用于基于泰勒级数展开的时域积分方程快速算法中的多层分组示意图。

图2是本发明的应用于基于泰勒级数展开的时域积分方程快速算法中的近 远场关系示意图。

图3是本发明的应用于基于泰勒级数展开的时域积分方程快速算法中的场源基函数位置向量分布示意图。

图4是本发明的应用于基于泰勒级数展开的时域积分方程快速算法中的简易导弹模型不同频点处双站RCS比较图。(a)30MHz；(b)150MHz；(c)270MHz。

具体实施方式

下面结合附图对本发明作进一步详细描述。

本发明一种基于泰勒级数展开的时域积分方程快速算法，步骤如下：

第一步，建立时域电磁场积分方程。

金属目标在入射电磁波{E^inc(r,t),H^inc(r,t)}的作用下，在金属散射体的表面上会产生面感应面电流J(r,t)，感应电流的不断变化，会向外辐射出电磁场，由感应电流产生的电磁场就是散射场{E^sca(r,t),H^sca(r,t)}，利用入射电磁场和散射电磁场在金属表面满足的边界条件建立时域电磁场积分方程。

$\begin{array}{c}\mathrm{\α}\hat{n}\left(r\right)\×\hat{n}\left(r\right)\×E^{inc}(r,t)+(1-\mathrm{\α})\mathrm{\η}\hat{n}\left(r\right)\×H^{inc}(r,t)\\ ={\mathrm{\αL}}_e\left\{J(r,t)\right\}+\mathrm{\η}(1-\mathrm{\α})L_h\left\{J(r,t)\right\}\end{array}---\left(1\right)$

$\begin{array}{c}{L}_e\left\{J(r,t)\right\}=\hat{n}\left(r\right)\×\hat{n}\left(r\right)\×\frac{\mathrm{\μ}}{4\mathrm{\π}}\∫{\∫}_{s}dS\frac{1}{R}\frac{\∂J(r^{\′},\mathrm{\τ})}{\∂t}-\\ n\left(r\right)\×\hat{n}\left(r\right)\×\frac{1}{4\mathrm{\π}\mathrm{\ϵ}}\∫{\∫}_{s}dS{\∫}_0^{\mathrm{\τ}}\frac{{\▿}^{\′}\·J(r^{\′},\mathrm{\τ})}{R}dt\end{array}---\left(2\right)$

$L_h\left\{J(r,t)\right\}=\frac{1}{2}J(r,t)-\hat{n}\left(r\right)\×\frac{1}{4\mathrm{\π}}\∫{\∫}_{s}dS\▿\×\frac{J(r^{\′},\mathrm{\τ})}{R}---\left(3\right)$

其中是单位外法向矢量，α取值为0～1之间的实数，μ和ε分别是自由空间的磁导率和介电参数。η是自由空间的波阻抗。R＝|r-r'|,c是自由空间中的光速,τ＝t-R/c是延时。

第二步，将散射体表面上离散得到的子散射体分组。

我们借鉴MLFMM里面对空间基函数进行分组的思想，将基函数的相互作用转换为组的相互作用。假设空间中有一个刚好可以把整个目标物体包围的立方体，把这个立方体等分成8个子立方体，接着在将每个子立方体等分成8个更小的立方体，如图1(a-d)所示。依次类推，直到达到预先设置的门限值，停止划分。定义第一层为划分最细的一层，第一层中的立方体中如果包含基函数，定义为第 一层组，对于其它层组，依次类推即可。

任意两个子散射体间的互耦或自耦根据它们所在组的位置关系而分成近场组对和远场组对。对于每一层，我们都会设定一个参数β,4＜β＜6。首先从最高层N_l的各组着手划分，如果两组中心间的距离大于规定的的门限值β，就把其称之为远场组对；然后在其子层中，组对中心间距大于规定的该层的门限值，同时这两个组都没有划分到N_l层的远场组对，那么就规定这样的组对为该层的远场组对；根据以上所述依次类推，对于每一层我们就可以得到其远场组对的信息，如图2所示。当它们是近场组对时，采用直接数值计算。而当它们为远场组对时，则采用泰勒级数展开成聚合-转移-配置方法计算。

第三步，近场阻抗矩阵计算。

把金属表面电流电流密度J(r,t)用RWG基函数Λ_n(r)作为空间基函数，三角基函数T_j(t)作时间基函数展开：

$J(r,t)=\underset{n=1}{\overset{N_S}{\Σ}}\underset{j=1}{\overset{N_t}{\Σ}}{I}_{n,j}{\mathrm{\Λ}}_n\left(r\right)T_j\left(t\right)---\left(4\right)$

其中N_s是散射体包含的RWG基函数的个数，N_t是时间基函数的个数，I_n,j是第n个RWG基函数第j个时间步上时间基函数的系数。将式(4)代入(1)，在空间上进行Galerkin测试，在时间上进行点匹配，最终得到如下的矩阵方程：

$Z^0{I}^i=V^i-\underset{j=1}{\overset{i-1}{\Σ}}{Z}^{i-j}{I}^j---\left(5\right)$

$Z^{i-j}={\mathrm{\αZ}}_E^{i-j}+(1-\mathrm{\α})Z_M^{i-j}---\left(6\right)$

${\[Z_E^{i-j}\]}_{mn}=\left\{\begin{array}{c}\frac{{\mathrm{\μ}}_0}{4\mathrm{\π}}{\∫}_{S_m}{\∫}_{S_n}{\mathrm{\Λ}}_m\left(r\right)\·{\mathrm{\Λ}}_n\left(r^{\′}\right)\frac{{\∂}_{\mathrm{\τ}}{T}_j(i\mathrm{\Δ}t-R/c)}{R}{\mathrm{ds}}^{\′}ds+\\ \frac{1}{4{\mathrm{\π\ϵ}}_0}{\∫}_{S_m}{\∫}_{S_n}\▿\·{\mathrm{\Λ}}_m\left(r\right)\▿\·{\mathrm{\Λ}}_n\left(r^{\′}\right)\frac{{\∂}_{\mathrm{\τ}}^{-1}{T}_j(i\mathrm{\Δ}t-R/c)}{R}{\mathrm{ds}}^{\′}ds\end{array}\right.---\left(7\right)$

${\[Z_M^{i-j}\]}_{mn}=\left\{\begin{array}{c}\frac{1}{2}{\∫}_{S_m}{\mathrm{\Λ}}_m\left(r\right)\·{\mathrm{\Λ}}_n\left(r^{\′}\right)T_j\left(i\mathrm{\Δ}t\right)ds-\frac{1}{4\mathrm{\π}}{\∫}_{S_m}{\mathrm{\Λ}}_m\left(r\right)\\ \{\hat{n}\left(r\right)\×{\∫}_{S_n}\left\{\begin{array}{c}{\∂}_{\mathrm{\τ}}{T}_j(i\mathrm{\Δ}t-R/c){\mathrm{\Λ}}_m\left(r^{\′}\right)\×\frac{R}{R^2}+\\ T_j(i\mathrm{\Δ}t-R/c){\mathrm{\Λ}}_m\left(r^{\′}\right)\×\frac{R}{R^3}\end{array}\right\}\}{\mathrm{ds}}^{\′}ds\end{array}\right.---\left(8\right)$

第四步，远场部分采用泰勒级数展开重构成聚合、转移、配置的形式。

现在通过计算源点r'处的源信号J_n(r',t)对场点r处的辐射贡献来描述该算 法的基本原理。假设源点r'所在的空间基函数为Λ_n(r')，因此r'处的源信号J_n(r',t)可以展开如下：

$J_n(r^{\′},t)=\underset{j=1}{\overset{N_t}{\Σ}}{I}_{n,j}{\mathrm{\Λ}}_n\left(r^{\′}\right)T_j\left(t\right)={\mathrm{\Λ}}_n\left(r^{\′}\right)g_n\left(t\right)---\left(9\right)$

实际操作中我们需要将源信号分解为持续时间更短的分段子信号，保证每段子信号的持续时间满足约束条件。源信号J_n(r',t)可以被分解为L段连续的子信号J_n,l(r',t)，每一段子信号的持续时间为T_s＝(M_t+1)Δt。源信号可以写成如下形式：

$J_n\left(r^{\′},t\right)=\underset{l=1}{\overset{L}{\Σ}}{J}_{n,l}(r^{\′},t)=\underset{l=1}{\overset{L}{\Σ}}{\mathrm{\Λ}}_n\left(r^{\′}\right)g_{n,l}\left(t\right)---\left(10\right)$

那么源点r'处第l段子信号在场点r处产生的测试场为：

$\begin{array}{c}\⟨{\mathrm{\Λ}}_m\left(r\right),n_m\×H_{n,l}(r,t)\⟩\\ =\frac{1}{4\mathrm{\π}}{\∫}_{S_m}{\mathrm{\Λ}}_m\left(r\right)\·n_m\×\left\{{\∫}_{S_n}{\mathrm{dS}}^{\′}\{\[{\∂}_{\mathrm{\τ}}{g}_{n,l}\left(\mathrm{\τ}\right){\mathrm{\Λ}}_n(r^{\′})\]\×\frac{R}{{\mathrm{cR}}^2}+\[g_{n,l}\left(\mathrm{\τ}\right){\mathrm{\Λ}}_n(r^{\′})\]\×\frac{R}{R^3}\}\right\}dS\\ \≈{\frac{1}{4\mathrm{\π}}}_m\left({\∫}_{S_m}{\mathrm{\Λ}}_m\left(r\right)dS\·n_m\×{\∫}_{S_n}{\mathrm{\Λ}}_n\left(r^{\′}\right)d{S}^{\′\×R}\right)\[\frac{1}{{\mathrm{cR}}^2}{\∂}_{\mathrm{\τ}}{g}_{n,l}\left(\mathrm{\τ}\right)+\frac{1}{R^3}{g}_{n,l}\left(\mathrm{\τ}\right)\]\\ =\frac{1}{4\mathrm{\π}}(m_m\·n_m\×m_n\×R)\[\frac{1}{{\mathrm{cR}}^2}{\∂}_{\mathrm{\τ}}{g}_{n,l}\left(\mathrm{\τ}\right)+\frac{1}{R^3}{g}_{n,l}\left(\mathrm{\τ}\right)\]\end{array}---\left(11\right)$

$\begin{array}{c}\⟨{\mathrm{\Λ}}_m\left(r\right),E_{n,l}(r,t)\⟩\\ ={\∫}_{S_m}{\∫}_{S_n}{\mathrm{\Λ}}_m\left(r\right)\·{\mathrm{\Λ}}_n\left(r^{\′}\right)\frac{{\mathrm{\μ}}_0{\∂}_{\mathrm{\τ}}{g}_{n,l}\left(\mathrm{\τ}\right)}{4\mathrm{\π}R}{\mathrm{ds}}^{\′}ds+{\∫}_{S_m}{\∫}_{S_n}\▿\·{\mathrm{\Λ}}_m\left(r\right)\▿\·{\mathrm{\Λ}}_n\left(r^{\′}\right)\frac{{\∂}_{\mathrm{\τ}}^{-1}{g}_{n,l}\left(\mathrm{\τ}\right)}{4{\mathrm{\π\ϵ}}_{0}R}{\mathrm{ds}}^{\′}ds\\ \≈{\∫}_{S_m}{\mathrm{\Λ}}_m\left(r\right)ds\·{\∫}_{S_n}{\mathrm{\Λ}}_n\left(r^{\′}\right){\mathrm{ds}}^{\′}\frac{{\mathrm{\μ}}_0{\∂}_{\mathrm{\τ}}{g}_{n,l}\left(\mathrm{\τ}\right)}{4\mathrm{\π}R}+{\∫}_{S_m}\▿\·{\mathrm{\Λ}}_m\left(r\right)ds{\∫}_{S_n}\▿\·{\mathrm{\Λ}}_n\left(r^{\′}\right){\mathrm{ds}}^{\′}\frac{{\∂}_{\mathrm{\τ}}^{-1}{g}_{n,l}\left(\mathrm{\τ}\right)}{4{\mathrm{\π\ϵ}}_{0}R}\\ =\frac{{\mathrm{\μ}}_0}{4\mathrm{\π}}{m}_m\·m_n\frac{{\∂}_{\mathrm{\τ}}{g}_{n,l}\left(\mathrm{\τ}\right)}{R}\±\frac{l_m{l}_n}{4{\mathrm{\π\ϵ}}_0}\frac{{\∂}_{\mathrm{\τ}}^{-1}{g}_{n,l}\left(\mathrm{\τ}\right)}{R}\end{array}---\left(12\right)$

其中 $m_m={\∫}_{S_m}{\mathrm{\Λ}}_m\left(r\right)ds,m_n={\∫}_{S_n}{\mathrm{\Λ}}_n\left(r^{\′}\right){\mathrm{ds}}^{\′}.$

现假设源点r_n与场点r_m分别位于两个组内，如图3所示，两个组分别称为源组和场组，组中心分别为r_i和r_j，场源基函数之间的矢量可以表示为：

R＝r_mi+r_ij-r_nj＝R_m-R_n (13)

这里，r_ij＝r_i-r_j，r_mi＝r_m-r_i，r_nj＝r_n-r_j R_m＝r_mi+r_ij/2，R_n＝r_nj-r_ij/2

利用泰勒级数展开可以得到如下表达式：

$\begin{array}{c}{R}^{\mathrm{\α}}={(R\·R)}^{\frac{\mathrm{\α}}{2}}={\[(r_{mi}+r_{ij}-r_{nj})\·(r_{mi}+r_{ij}-r_{nj})\]}^{\frac{\mathrm{\α}}{2}}\\ =r_{ij}^{\mathrm{\α}}{\[1+(\frac{2r_{mi}\·{\hat{r}}_{ij}}{r_{ij}}+\frac{r_{mi}^2}{r_{ij}^2})+(\frac{2r_{nj}\·{\hat{r}}_{ji}}{r_{ij}}+\frac{r_{nj}^2}{r_{ij}^2})-\frac{2r_{mi}\·{\hat{r}}_{nj}}{r_{ij}^2}\]}^{\frac{\mathrm{\α}}{2}}\\ \≈R_m^{\left(\mathrm{\α}\right)}+R_n^{\left(\mathrm{\α}\right)}\end{array}---\left(14\right)$

$R_m^{\left(\mathrm{\α}\right)}=r_{ij}^{\mathrm{\α}}\[\frac{1}{2}+\mathrm{\α}\left(\frac{r_{mi}\·{\hat{r}}_{ij}}{r_{ij}}+\frac{r_{mi}^2+(\mathrm{\α}-2){(r_{mi}\·{\hat{r}}_{ij})}^2}{2r_{ij}^2}\right)\]---\left(15\right)$

$R_n^{\left(\mathrm{\α}\right)}=r_{ij}^{\mathrm{\α}}\[\frac{1}{2}+\mathrm{\α}\left(\frac{r_{nj}\·{\hat{r}}_{ji}}{r_{ij}}+\frac{r_{nj}^2+(\mathrm{\α}-2){(r_{nj}\·{\hat{r}}_{ji})}^2}{2r_{ij}^2}\right)\]---\left(16\right)$

则式(11)(12)可以写成聚合、转移、配置的形式。

第五步，矩阵方程求解以及电磁散射参数的计算。

利用时间递推的方式求解每个时刻的电流系数。现将任意空间上的散射场按来源分为两部分:一部分由该场点所在组的近场组NFP(α)中的源产生的；另一部分由该场点所在组的远场组FFP(α)中的源产生。基于泰勒级数展开的时域积分方程快速算法的递推公式变为：

$Z^0{I}^i=V^i-\underset{{\mathrm{\α}}^{\′\∈NFP\left(\mathrm{\α}\right)}}{\Σ}\underset{j=0}{\overset{i-1}{\Σ}}{Z}_{i-j}^{{\mathrm{\α\α}}^{\′}}{I}_j^{{\mathrm{\α}}^{\′}}-\underset{{\mathrm{\α}}^{\′}\∈\mathrm{FF}P\left(\mathrm{\α}\right)}{\Σ}\underset{n\∈{\mathrm{\α}}^{\′}\left(n\right)}{\Σ}\⟨{\mathrm{\Λ}}_m\left(r\right),{\mathrm{\αE}}_{n,l}(r,t)+(1-\mathrm{\α})n_m\×H_{n,l}(r,t)\⟩---\left(17\right)$

近场区域产生的贡献是由经典MOT算法计算得到，主要通过矩阵元素值与电流系数相乘得到。在远场区域，也就是对应组中的远场组对，这些组之间的相互作用，过泰勒级数展开成聚合-转移-配置方法快速计算。

由于时刻iΔt以前的I^j在时刻iΔt都是已知的，j＝1,2,3,...,i-1，这样每个时间步求解一次式(17)的矩阵方程，就可以得到每个时刻iΔt上的Iⁱ所以可以递推求出各时刻的电流值。最后可以根据求得的瞬态电流系数计算出我们需要的电磁散射参数。

为了验证本发明的正确性与有效性，下面分析了简易导弹模型的的电磁散射特性。

算例：简易导弹模型，几何尺寸为长8m，半径0.25m。激励源设置为：调制高斯脉冲，中心频率150MHz，带宽300MHz，入射波的方向θ＝180°,(弹 头方向照射)，极化方式VV极化，观察角度0°≤θ≤180°,导弹模型采用0.1λ(λ＝1m)剖分得到8034个三角形，总未知量为12051。分组大小为0.3λ。3个盒子之外为远场区域，近场门限0.3λ*3。使用Δt＝333.3ps，一共计算了600个时间步。CFIE的参数α＝0.5，采用GMRES迭代方法计算，收敛精度为1e-9。图4给出了导弹模型在30MHz、150MHz以及270MHz时的双站RCS曲线并与经典MOT算法计算结果进行对比，表格1统计了本专利提出的方法与传统的时域积分方法消耗的时间和内存对比。

表1.计算时间和内存消耗对比

从图4中可以看出本发明方法计算的双站RCS数据和MOT计算的结果十分吻合，证明了本发明方法的精确性。从表1看出，采用本发明方法相比经典MOT算法需要更好的计算内存和计算时间。进一步证明了本发明方法的有效性。

本发明的实现过程简单，相较于需要的复杂的时频域转换、谱域积分等操作，本发明方法只需在八叉树分组以及多层近远场划分的基础上，对远场组对之间的距离R进行泰勒展开重构成聚合、转移、投射的操作，编程相对简单易于实现。而且本发明方法适用性高，可以只需作较少的改动便可应用于求解介质、有耗、色散等复杂问题的分析中。

Claims (2)

1.一种基于泰勒级数展开的时域积分方程快速算法，其特征在于步骤如下：

第一步，建立时域电磁场积分方程；利用入射电磁场和散射电磁场在金属表面满足的边界条件建立时域电磁场积分方程；

第二步，将散射体表面上离散得到的子散射体分组；用一个立方体盒子将整个目标物体包围，把这个立方体等分成8个子立方体，接着将每个子立方体等分成8个更小的立方体，依次类推，直到达到预先设置的门限值，停止划分；任意两个子散射体间的互耦或自耦根据它们的位置关系而分成近场作用对和远场作用对；当它们是近场作用对时，计算近场阻抗矩阵，当它们为远场作用对时，采用泰勒级数展开成聚合-转移-配置方法计算源组基函数在场组基函数处产生的场；

第三步，计算近场阻抗矩阵，将金属表面电流密度用空间基函数和时间基函数展开，并在空间域上进行伽辽金测试，时间域上进行点匹配得到矩阵元素值；

第四步，远场作用对之间采用泰勒级数展开重构成聚合、转移、配置的形式计算源组基函数在场组基函数处产生的场；

第五步，矩阵方程求解以及电磁散射参数的计算；利用时间递推的方式求解每个时刻的电流系数，采用迭代法求解出最终的感应电流系数，最后根据求得的瞬态电流系数计算出需要的电磁散射参数。

2.根据权利要求1所述的基于泰勒级数展开的时域积分方程快速算法，其特征在于：所述步骤四中，在八叉树分组以及多层近远场划分的基础上，对远场作用对之间进行泰勒级数展开重构成聚合、转移、投射的操作来加速矩阵矢量乘；

设源点r'所在的空间基函数为Λ_n(r')，r'处的源信号J_n(r',t)展开如下：

$J_n(r^{\′},t)=\underset{j=1}{\overset{N_t}{\mathrm{\Σ}}}{I}_{n,j}{\mathrm{\Λ}}_n\left(r^{\′}\right)T_j\left(t\right)={\mathrm{\Λ}}_n\left(r^{\′}\right)g_n\left(t\right)---\left(1\right)$

其中空间基函数Λ_n(r)为RWG基函数，时间基函数T_j(t)为三角基函数，N_t是时间基函数的个数；

源信号J_n(r',t)被分解为L段连续的子信号J_n,l(r',t)，每一段子信号的持续时间为T_s＝(M_t+1)Δt，M_t为每段子信号的长度，源信号写成如下形式：

$J_n(r^{\′},t)=\underset{l=1}{\overset{L}{\mathrm{\Σ}}}{J}_{n,l}(r^{\′},t)=\underset{l=1}{\overset{L}{\mathrm{\Σ}}}{\mathrm{\Λ}}_n\left(r^{\′}\right)g_{n,l}\left(t\right)---\left(2\right)$

源点r'处第l段子信号在场点r处产生的测试电磁场为：

$\begin{array}{c}\⟨{\mathrm{\Λ}}_m\left(r\right),n_m\×H_{n,l}(r,t)\⟩\\ =\frac{1}{4\mathrm{\π}}{\∫}_{S_m}{\mathrm{\Λ}}_m\left(r\right)\·n_m\×\left\{{\∫}_{S_n}{\mathrm{dS}}^{\′}\right\{\left[{\∂}_{\mathrm{\τ}}{g}_{n,l}\left(\mathrm{\τ}\right){\mathrm{\Λ}}_n\left(r^{\′}\right)\right]\×\frac{R}{{\mathrm{cR}}^2}+\left[g_{n,l}\left(\mathrm{\τ}\right){\mathrm{\Λ}}_m\left(r^{\′}\right)\right]\×\frac{R}{R^3}\left\}\right\}\mathrm{dS}\\ \≈\frac{1}{4\mathrm{\π}}({\∫}_{S_m}{\mathrm{\Λ}}_m\left(r\right)\mathrm{dS}\·n_m\×{\∫}_{S_n}{\mathrm{\Λ}}_n\left(r^{\′}\right){\mathrm{dS}}^{\′}\×R)[\frac{1}{c{R}^2}{\∂}_{\mathrm{\τ}}{g}_{n,l}\left(\mathrm{\τ}\right)+\frac{1}{R^3}{g}_{n,l}\left(\mathrm{\τ}\right)]\\ =\frac{1}{4\mathrm{\π}}(m_m\·n_m\×m_n\×R)[\frac{1}{c{R}^2}{\∂}_{\mathrm{\τ}}{g}_{n,l}\left(\mathrm{\τ}\right)+\frac{1}{R^3}{g}_{n,l}\left(\mathrm{\τ}\right)]\end{array}---\left(3\right)$

$\begin{array}{c}\⟨{\mathrm{\Λ}}_m\left(r\right),E_{n,l}(r,t)\⟩\\ ={\∫}_{S_m}{\∫}_{S_n}{\mathrm{\Λ}}_m\left(r\right)\·{\mathrm{\Λ}}_n\left(r^{\′}\right)\frac{\mathrm{\μ}{\∂}_{\mathrm{\τ}}{g}_{n,l}\left(\mathrm{\τ}\right)}{4\mathrm{\πR}}{\mathrm{ds}}^{\′}\mathrm{ds}+{\∫}_{S_m}{\∫}_{S_n}\▿\·{\mathrm{\Λ}}_m\left(r\right)\▿\·{\mathrm{\Λ}}_n\left(r^{\′}\right)\frac{{\∂}_{\mathrm{\τ}}^{-1}{g}_{n,l}\left(\mathrm{\τ}\right)}{4\mathrm{\π\ϵR}}{\mathrm{ds}}^{\′}\mathrm{ds}\\ \≈{\∫}_{S_m}{\mathrm{\Λ}}_m\left(r\right)\mathrm{ds}\·{\∫}_{S_n}{\mathrm{\Λ}}_n\left(r^{\′}\right){\mathrm{ds}}^{\′}\frac{\mathrm{\μ}{\∂}_{\mathrm{\τ}}{g}_{n,l}\left(\mathrm{\τ}\right)}{4\mathrm{\πR}}+{\∫}_{S_m}\▿\·{\mathrm{\Λ}}_m\left(r\right)\mathrm{ds}{\∫}_{S_n}\▿\·{\mathrm{\Λ}}_n\left(r^{\′}\right){\mathrm{ds}}^{\′}\frac{{\∂}_{\mathrm{\τ}}^{-1}{g}_{n,l}\left(\mathrm{\τ}\right)}{4\mathrm{\π\ϵR}}\\ =\frac{\mathrm{\μ}}{4\mathrm{\π}}{m}_m\·m_n\frac{{\∂}_{\mathrm{\τ}}{g}_{n,l}\left(\mathrm{\τ}\right)}{R}\±\frac{l_m{l}_n}{4\mathrm{\π\ϵ}}\frac{{\∂}_{\mathrm{\τ}}^{-1}{g}_{n,l}\left(\mathrm{\τ}\right)}{R}\end{array}---\left(4\right)$

其中Λ_m(r)为场点r处的测试基函数，n_m为场点r处的单位外法向矢量，E_n,l(r,t),H_n,l(r,t)为源点r'处第l段子信号在场点r处产生的电磁和磁场，μ和ε分别是自由空间的磁导率和介电常数；R＝|r-r'|,c是自由空间中的光速,τ＝t-R/c是延时；l_m,l_n分别为第m和n条边的边长，为基函数在其支撑域内的积分；

源点r_n与场点r_m分别位于两个组内，两个组分别称为源组和场组，组中心分别为r_i和r_j，场源基函数之间的矢量表示为：

R＝r_mi+r_ij-r_nj＝R_m-R_n (5)

这里，r_ij＝r_i-r_j，r_mi＝r_m-r_i，r_nj＝r_n-r_j R_m＝r_mi+r_ij/2，R_n＝r_nj-r_ij/2

利用泰勒级数展开得到如下表达式：

$\begin{array}{c}{R}^{\mathrm{\α}}={(R\·R)}^{\frac{\mathrm{\α}}{2}}={[(r_{\mathrm{mi}}+r_{\mathrm{ij}}-r_{\mathrm{nj}})\·(r_{\mathrm{mi}}+r_{\mathrm{ij}}-r_{\mathrm{ni}})]}^{\frac{\mathrm{\α}}{2}}\\ =r_{\mathrm{ij}}^{\mathrm{\α}}{[1+(\frac{{2r}_{\mathrm{mi}}\·{\hat{r}}_{\mathrm{ij}}}{r_{\mathrm{ij}}}+\frac{r_{\mathrm{mi}}^2}{r_{\mathrm{ij}}^2})+(\frac{{2r}_{\mathrm{nj}}\·{\hat{r}}_{\mathrm{ji}}}{r_{\mathrm{ij}}}+\frac{r_{\mathrm{nj}}^2}{r_{\mathrm{ij}}^2})\frac{2r_{\mathrm{mi}}\·r_{\mathrm{nj}}}{r_{\mathrm{ij}}^2}]}^{\frac{\mathrm{\α}}{2}}\\ \≈R_m^{\left(\mathrm{\α}\right)}+R_n^{\left(\mathrm{\α}\right)}\end{array}---\left(6\right)$

$R_m^{\left(\mathrm{\α}\right)}=r_{\mathrm{ij}}^{\mathrm{\α}}[\frac{1}{2}+\mathrm{\α}(\frac{r_{\mathrm{mi}}\·{\hat{r}}_{\mathrm{ij}}}{r_{\mathrm{ij}}}+\frac{r_{\mathrm{mi}}^2+(\mathrm{\α}-2){(r_{\mathrm{mi}}\·{\hat{r}}_{\mathrm{ij}})}^2}{2r_{\mathrm{ij}}^2})]---\left(7\right)$

$R_n^{\left(\mathrm{\α}\right)}=r_{\mathrm{ij}}^{\mathrm{\α}}[\frac{1}{2}+\mathrm{\α}(\frac{r_{\mathrm{nj}}\·{\hat{r}}_{\mathrm{ji}}}{r_{\mathrm{ij}}}+\frac{r_{\mathrm{nj}}^2+(\mathrm{\α}-2){(r_{\mathrm{nj}}\·{\hat{r}}_{\mathrm{ji}})}^2}{2r_{\mathrm{ij}}^2})]---\left(8\right)$

则将(5-8)代入式(3)(4)将写成聚合、转移、配置的形式来加速矩阵矢量乘。