CN111159637B - 一种应用于磁化等离子体计算的电磁波时域精细积分方法 - Google Patents

一种应用于磁化等离子体计算的电磁波时域精细积分方法 Download PDF

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CN111159637B CN202010002077.8A CN202010002077A CN111159637B CN 111159637 B CN111159637 B CN 111159637B CN 202010002077 A CN202010002077 A CN 202010002077A CN 111159637 B CN111159637 B CN 111159637B
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Abstract

本发明提出了一种应用于磁化等离子体计算的电磁波时域精细积分方法，该方法基于辅助微分方程技术与时域精细积分技术，建立电场向量、极化电流密度以及磁化等离子体参数之间的辅助微分方程；然后结合真空中电磁场量所满足的控制方程，建立一组关于时间的常微分方程组，并得到常微分方程组解的时域递推公式；然后基于四阶Taylor展开式，得到常微分方程组中指数矩阵的高精度计算结果；最后采用两点高斯积分公式进行近似，得到常微分方程组解的离散迭代递推公式。该方法能够求解磁化等离子体相关的各类电磁场问题，解决了迭代求解过程中系数矩阵不可逆问题，降低了迭代过程的复杂度，增大了离散迭代的时间步长，提高了计算效率。

Description

一种应用于磁化等离子体计算的电磁波时域精细积分方法
技术领域
本发明属于计算电磁学领域，具体涉及一种电磁波时域精细积分方法。
背景技术
磁化等离子体具有广泛的应用，其分析与研究涉及到多个方面的基础理论，如光子晶体、隐身技术、表面等离子体激元、天线设计等，在电磁场理论、计算电磁学等领域占有举足轻重的地位。如何对磁化等离子体相关的电磁场问题进行高效、准确的数值分析具有重要的意义。
在磁化等离子体数值分析中，目前应用最为广泛的时域数值方法大部分都是基于时域有限差分方法的。时域有限差分方法虽然具有简单、直观、通用性好等优势，但是由于受到Courant数值稳定性条件的掣肘，其计算效率较低，计算精度往往也不能达到要求。
发明内容
为了克服现有技术的不足，本发明提出了一种应用于磁化等离子体计算的电磁波时域精细积分方法，该方法基于辅助微分方程技术与时域精细积分技术，首先引入极化电流密度作为辅助变量，建立电场向量、极化电流密度以及磁化等离子体参数之间的辅助微分方程；然后结合真空中电磁场量所满足的控制方程，得到磁化等离子体介质中的麦克斯韦偏微分方程组；再对偏微分方程组的空间偏微分算子进行二阶中心差分近似得到其空间离散形式，对时间偏微分算子保持不变，建立一组关于时间的常微分方程组，并根据常微分方程理论，得到常微分方程组解的时域递推公式；然后基于四阶Taylor展开式，得到常微分方程组中指数矩阵的高精度计算结果；最后采用两点高斯积分公式进行近似，得到常微分方程组解的离散迭代递推公式。该方法能够求解磁化等离子体相关的各类电磁场问题，解决了迭代求解过程中系数矩阵不可逆问题，降低了迭代过程的复杂度，增大了离散迭代的时间步长，提高了计算效率。
为达到上述目的，本发明提出了一种应用于磁化等离子体计算的电磁波时域精细积分方法，包括以下步骤：
步骤1：建立磁化等离子体介质中麦克斯韦偏微分方程组
步骤1-1：对于一个磁化等离子体介质区域，引入极化电流密度J作为辅助变量，建立麦克斯韦偏微分方程组，如下式：
Figure GDA0004181808190000021
Figure GDA0004181808190000022
Figure GDA0004181808190000023
其中，E(t)为电场强度矢量，H(t)为磁场强度矢量，J(t)为极化电流密度，ε0为真空中的介电常数，μ0为真空中的磁导率，γ为磁化等离子体的碰撞角频率，ωp为磁化等离子体的本征角频率，ωb＝eB0/m为电子回旋角频率矢量，B0为外加磁场的磁感应强度矢量，e为电子的带电量，m为电子的质量，t为时间；
步骤1-2：在三维直角坐标系中，当外加磁场的方向为z方向时，将式(1)-(3)展开，如下式：
Figure GDA0004181808190000024
Figure GDA0004181808190000025
Figure GDA0004181808190000026
Figure GDA0004181808190000027
Figure GDA0004181808190000028
Figure GDA0004181808190000029
Figure GDA00041818081900000210
Figure GDA00041818081900000211
Figure GDA00041818081900000212
其中，Hx、Hy和Hz分别为磁场强度矢量在x、y和z方向的分量，Ex、Ey和Ez分别为电场强度矢量在x、y和z方向的分量，Jx、Jy和Jz分别为极化电流密度矢量在x、y和z方向的分量；
步骤2：偏微分方程组向常微分方程组的转换
步骤2-1：将磁化等离子体介质区域按照Yee空间离散网格形式进行剖分，并按照空间离散网格中电磁场量的排布形式，对式(4)-(12)中的空间偏微分算子进行二阶中心差分近似，时间偏微分算子保持不变，得到一组常微分方程组，如下式：
Figure GDA0004181808190000031
Figure GDA0004181808190000032
Figure GDA0004181808190000033
Figure GDA0004181808190000034
Figure GDA0004181808190000035
Figure GDA0004181808190000036
Figure GDA0004181808190000037
Figure GDA0004181808190000038
Figure GDA0004181808190000039
其中，i、j和k分别表示空间网格节点的在x、y和z方向的序号，Hx|i,j+1/2,k+1/2为空间网格(i,j+1/2,k+1/2)处的x方向的磁场强度值，Hy|i+1/2,j,k+1/2为空间网格(i+1/2,j,k+1/2)处的y方向的磁场强度值，Hz|i+1/2,j+1/2,k为空间网格(i+1/2,j+1/2,k)处的z方向的磁场强度值，Ex|i+1/2,j,k为空间网格(i+1/2,j,k)处的x方向的电场强度值，Ey|i,j+1/2,k为空间网格(i,j+1/2,k)处的y方向的电场强度值，Ez|i,j,k+1/2为空间网格(i,j,k+1/2)处的z方向的电场强度值，Jx|i+1/2,j,k为空间网格(i+1/2,j,k)处的x方向的极化电流密度值，Jy|i,j+1/2,k为空间网格(i,j+1/2,k)处的y方向的极化电流密度值，Jz|i,j,k+1/2为空间网格(i,j,k+1/2)处的z方向的极化电流密度值；
步骤2-2：将常微分方程组式(13)-(21)统一写成矩阵形式，如下式：
Figure GDA0004181808190000041
其中，X为包含空间离散网格中所有电磁场量以及辅助变量的一维列向量，M为由空间步长和媒质参数所决定并且不随时间变化的系数矩阵，f(t)为由激励源引入的一维列向量；
步骤3：建立常微分方程组解的时域递推公式
根据常微分方程理论，得到式(22)解的时域递推公式，如下式：
Figure GDA0004181808190000042
其中，k为时间迭代步序号，tk＝k△t(k＝0,1,2,...)，tk+1＝(k+1)△t(k＝0,1,2,...)，△t为离散迭代时间步长，Xk+1为tk+1时刻电磁场量的值X((k+1)△t)，Xk为tk时刻电磁场量的值X(k△t)，T为系数矩阵M的指数矩阵，Tk+1为指数矩阵T的k+1次幂，s为被积变量；
步骤4：指数矩阵T的高精度精细积分求解
步骤4-1：根据指数矩阵加法定理，指数矩阵T被重新写为下式：
T＝exp(M△t)＝[exp(Mτ)]l (24)
其中，τ＝△t/l为子时间步长，l＝2N，N为预定义的正整数；
步骤4-2：对exp(Mτ)使用4阶Taylor展开式进行近似，如下式：
exp(Mτ)≈I+Ta (25)
Figure GDA0004181808190000043
其中，I为单位矩阵，Ta为泰勒展开式的1阶项到4阶项的求和；
得到：
T＝(I+Ta)l (27)
步骤4-3：分解式(27)得到：
Figure GDA0004181808190000044
即实现对指数矩阵T的高精度计算；
步骤5：建立离散迭代递推公式
使用高斯积分技术对式(23)右端的积分项
Figure GDA0004181808190000051
进行近似，应用两点插值构造高斯积分公式，得到最终的离散迭代递推公式如下：
Figure GDA0004181808190000052
利用此递推公式，得到每一时刻空间离散网格中电磁场量的值，完成磁化等离子体计算。
本发明的有益效果是：由于采用了本发明的一种应用于磁化等离子体计算的电磁波时域精细积分方法，得到了如下益处。
(1)针对磁化等离子体中的麦克斯韦偏微分方程组，本发明对空间偏微分算子采用二阶中心差分格式进行离散，对时间偏微分算子采用精细积分技术进行处理，能够极大的提高算法的稳定性，增大离散时间步长的选取，减少迭代次数，提高计算效率。
(2)在离散迭代过程中，避免求取求解域内系数矩阵的逆矩阵，选择两个插值节点构造高斯积分公式，计算出对应的求积系数，并获得离散迭代递推公式。采用高斯积分技术，能够解决迭代求解过程中系数矩阵的不可逆问题，降低迭代递推公式的复杂度。
(3)本发明采用两点高斯积分技术获得离散迭代递推公式，两点高斯积分公式已经能够满足计算精度的需求，使得计算误差小，不需要选取更多节点的高斯积分公式以避免增加迭代过程的复杂度。因此，具有构造简单和计算精度高的优点。
(4)本发明的数值色散误差几乎与时间步长的选取无关，在满足采样定理的前提下，能够选取尽可能大的离散迭代时间步长进行仿真，同时不会影响计算精度。
(5)本发明的基本思想与求解步骤具有普适性，不仅可以应用于磁化等离子体问题的求解，而且可以应用于其他色散介质问题的求解。
附图说明
图1是本发明算法流程图。
图2为本发明电磁场量空间离散网格排布。
图3为本发明关于左旋极化波通过磁化等离子板的反射系数的计算结果。
图4为本发明关于左旋极化波通过磁化等离子板的透射系数的计算结果。
图5为本发明关于右旋极化波通过磁化等离子板的反射系数的计算结果。
图6为本发明关于右旋极化波通过磁化等离子板的透射系数的计算结果。
图7为本发明关于磁化等离子体介质填充二维谐振腔的计算结果。
图8为本发明提出的数值算法的系数矩阵特征根的分布示意图。
图9为本发明提出的数值算法的数值误差与时间步长的关系示意图。
具体实施方式
下面结合附图和实施例对本发明进一步说明。
如图1所示，本发明提出了一种应用于磁化等离子体计算的电磁波时域精细积分方法，该方法基于辅助微分方程技术与时域精细积分技术，首先引入极化电流密度作为辅助变量，建立电场向量、极化电流密度以及磁化等离子体参数之间的辅助微分方程；然后结合真空中电磁场量所满足的控制方程，得到磁化等离子体介质中的麦克斯韦偏微分方程组；再对偏微分方程组的空间偏微分算子进行二阶中心差分近似得到其空间离散形式，对时间偏微分算子保持不变，建立一组关于时间的常微分方程组，并根据常微分方程理论，得到常微分方程组解的时域递推公式；然后基于四阶Taylor展开式，得到常微分方程组中指数矩阵的高精度计算结果；最后采用两点高斯积分公式进行近似，得到常微分方程组解的离散迭代递推公式。该方法能够求解磁化等离子体相关的各类电磁场问题，解决了迭代求解过程中系数矩阵不可逆问题，降低了迭代过程的复杂度，增大了离散迭代的时间步长，提高了计算效率。
为达到上述目的，本发明提出了一种应用于磁化等离子体计算的电磁波时域精细积分方法，包括以下步骤：
步骤1：建立磁化等离子体介质中麦克斯韦偏微分方程组
步骤1-1：对于一个磁化等离子体介质区域，引入极化电流密度J作为辅助变量，建立麦克斯韦偏微分方程组，如下式：
Figure GDA0004181808190000061
Figure GDA0004181808190000062
Figure GDA0004181808190000063
其中，E(t)为电场强度矢量，H(t)为磁场强度矢量，J(t)为极化电流密度，ε0为真空中的介电常数，μ0为真空中的磁导率，γ为磁化等离子体的碰撞角频率，ωp为磁化等离子体的本征角频率，ωb＝eB0/m为电子回旋角频率矢量，B0为外加磁场的磁感应强度矢量，e为电子的带电量，m为电子的质量，t为时间；
步骤1-2：在三维直角坐标系中，当外加磁场的方向为z方向时，将式(1)-(3)展开，如下式：
Figure GDA0004181808190000071
Figure GDA0004181808190000072
Figure GDA0004181808190000073
Figure GDA0004181808190000074
Figure GDA0004181808190000075
Figure GDA0004181808190000076
Figure GDA0004181808190000077
Figure GDA0004181808190000078
Figure GDA0004181808190000079
其中，Hx、Hy和Hz分别为磁场强度矢量在x、y和z方向的分量，Ex、Ey和Ez分别为电场强度矢量在x、y和z方向的分量，Jx、Jy和Jz分别为极化电流密度矢量在x、y和z方向的分量；
步骤2：偏微分方程组向常微分方程组的转换
步骤2-1：将磁化等离子体介质区域按照Yee空间离散网格形式进行剖分，并按照空间离散网格中电磁场量的排布形式，对式(4)-(12)中的空间偏微分算子进行二阶中心差分近似，时间偏微分算子保持不变，得到一组常微分方程组，如下式：
Figure GDA0004181808190000081
Figure GDA0004181808190000082
Figure GDA0004181808190000083
Figure GDA0004181808190000084
Figure GDA0004181808190000085
Figure GDA0004181808190000086
Figure GDA0004181808190000087
Figure GDA0004181808190000088
Figure GDA0004181808190000089
其中，i、j和k分别表示空间网格节点的在x、y和z方向的序号，Hx|i,j+1/2,k+1/2为空间网格(i,j+1/2,k+1/2)处的x方向的磁场强度值，Hy|i+1/2,j,k+1/2为空间网格(i+1/2,j,k+1/2)处的y方向的磁场强度值，Hz|i+1/2,j+1/2,k为空间网格(i+1/2,j+1/2,k)处的z方向的磁场强度值，Ex|i+1/2,j,k为空间网格(i+1/2,j,k)处的x方向的电场强度值，Ey|i,j+1/2,k为空间网格(i,j+1/2,k)处的y方向的电场强度值，Ez|i,j,k+1/2为空间网格(i,j,k+1/2)处的z方向的电场强度值，Jx|i+1/2,j,k为空间网格(i+1/2,j,k)处的x方向的极化电流密度值，Jy|i,j+1/2,k为空间网格(i,j+1/2,k)处的y方向的极化电流密度值，Jz|i,j,k+1/2为空间网格(i,j,k+1/2)处的z方向的极化电流密度值；
步骤2-2：将常微分方程组式(13)-(21)统一写成矩阵形式，如下式：
Figure GDA00041818081900000810
其中，X为包含空间离散网格中所有电磁场量以及辅助变量的一维列向量，M为由空间步长和媒质参数所决定并且不随时间变化的系数矩阵，f(t)为由激励源引入的一维列向量；
步骤3：建立常微分方程组解的时域递推公式
根据常微分方程理论，得到式(22)的解析解的形式，如下式：
Figure GDA0004181808190000091
其中，X(t)为X在任意时刻t的值，X(0)为X在初始时刻的值，s为被积变量；
对式(22-1)进行离散，通过求解一系列离散时间点tk＝k△t(k＝0,1,2,...)上的电磁场量Xk可以对式(22-1)进行计算。因此，得到式(22)解的时域递推公式，如下式：
Figure GDA0004181808190000092
其中，k为时间迭代步序号，tk＝k△t(k＝0,1,2,...)，tk+1＝(k+1)△t(k＝0,1,2,...)，△t为离散迭代时间步长，Xk+1为tk+1时刻电磁场量的值X((k+1)△t)，Xk为tk时刻电磁场量的值X(k△t)，T为系数矩阵M的指数矩阵，Tk+1为指数矩阵T的k+1次幂，s为被积变量；
步骤4：指数矩阵T的高精度精细积分求解
步骤4-1：根据指数矩阵加法定理，指数矩阵T被重新写为下式：
T＝exp(M△t)＝[exp(Mτ)]l (24)
其中，τ＝△t/l为子时间步长，l＝2N，N为预定义的正整数；
步骤4-2：对exp(Mτ)使用4阶Taylor展开式进行近似，如下式：
exp(Mτ)≈I+Ta (25)
Figure GDA0004181808190000093
其中，I为单位矩阵，Ta为泰勒展开式的1阶项到4阶项的求和；
得到：
T＝(I+Ta)l (27)
步骤4-3：分解式(27)得到：
Figure GDA0004181808190000094
即实现对指数矩阵T的高精度计算；
步骤5：建立离散迭代递推公式
使用高斯积分技术对式(23)右端的积分项
Figure GDA0004181808190000101
进行近似，应用两点插值构造高斯积分公式，得到最终的离散迭代递推公式如下：
Figure GDA0004181808190000102
利用此递推公式，得到每一时刻空间离散网格中电磁场量的值，完成磁化等离子体计算。
实施例1：设置厚度为1.5cm的磁化等离子体板，磁化等离子体介质的本征频率为28.7GHz，磁化等离子体介质的碰撞频率为20GHz，电子回旋角频率为1.0×1011rad/s。时间步长为0.625ps，空间步长为75μm，设置10层完美匹配层吸收边界条件。入射波设置为离散高斯脉冲，峰值点频率为50GHz，在100GHz处幅值降低10dB。
在实施例1中，如图3至图6所示，分别为采用本发明提出的数值方法对左旋极化波以及右旋极化波通过磁化等离子板后的反射系数与透射系数的计算结果与解析解的对比。
实施例2：设置磁化等离子体填充的二维谐振腔，尺寸为1.5cm×1.5cm，磁化等离子体介质的本征频率为28.7GHz，磁化等离子体介质的碰撞频率为20GHz，电子回旋角频率为1.0×1011rad/s。时间步长为0.6ps，空间步长为75μm。
在实施例2中，如图7所示，采用本发明提出的数值方法对磁化等离子体介质填充二维谐振腔的计算结果与传统时域有限差分方法计算结果的对比。
如图8所示，本发明提出的数值算法在时间步长分别为△t到106△t时，系数矩阵M的特征值的分布示意图，特征值均分布在单位圆内，其中△t为传统时域有限差分方法所能选取的最大时间步长。根据冯·诺依曼稳定性判据，在时间步长分别为△t到106△t时，本发明提出的数值算法是稳定的。
如图9所示，本发明提出的数值算法的数值误差与时间步长的选取几乎无关。也就是说，本发明提出的数值算法能够在保证计算精度的前提下，采用尽可能大的时间步长进行计算。

Claims (1)

1.一种应用于磁化等离子体计算的电磁波时域精细积分方法，其特征在于，包括以下步骤：
步骤1：建立磁化等离子体介质中麦克斯韦偏微分方程组
步骤1-1：对于一个磁化等离子体介质区域，引入极化电流密度J作为辅助变量，建立麦克斯韦偏微分方程组，如下式：
Figure FDA0004181808180000011
Figure FDA0004181808180000012
Figure FDA0004181808180000013
其中，E(t)为电场强度矢量，H(t)为磁场强度矢量，J(t)为极化电流密度，ε0为真空中的介电常数，μ0为真空中的磁导率，γ为磁化等离子体的碰撞角频率，ωp为磁化等离子体的本征角频率，ωb＝eB0/m为电子回旋角频率矢量，B0为外加磁场的磁感应强度矢量，e为电子的带电量，m为电子的质量，t为时间；
步骤1-2：在三维直角坐标系中，当外加磁场的方向为z方向时，将式(1)-(3)展开，如下式：
Figure FDA0004181808180000014
Figure FDA0004181808180000015
Figure FDA0004181808180000016
Figure FDA0004181808180000017
Figure FDA0004181808180000018
Figure FDA0004181808180000019
Figure FDA00041818081800000110
Figure FDA0004181808180000021
Figure FDA0004181808180000022
其中，Hx、Hy和Hz分别为磁场强度矢量在x、y和z方向的分量，Ex、Ey和Ez分别为电场强度矢量在x、y和z方向的分量，Jx、Jy和Jz分别为极化电流密度矢量在x、y和z方向的分量；
步骤2：偏微分方程组向常微分方程组的转换
步骤2-1：将磁化等离子体介质区域按照Yee空间离散网格形式进行剖分，并按照空间离散网格中电磁场量的排布形式，对式(4)-(12)中的空间偏微分算子进行二阶中心差分近似，时间偏微分算子保持不变，得到一组常微分方程组，如下式：
Figure FDA0004181808180000023
Figure FDA0004181808180000024
Figure FDA0004181808180000025
Figure FDA0004181808180000026
Figure FDA0004181808180000027
Figure FDA0004181808180000028
Figure FDA0004181808180000029
Figure FDA00041818081800000210
Figure FDA00041818081800000211
其中，i、j和k分别表示空间网格节点的在x、y和z方向的序号，Hx|i,j+1/2,k+1/2为空间网格(i,j+1/2,k+1/2)处的x方向的磁场强度值，Hy|i+1/2,j,k+1/2为空间网格(i+1/2,j,k+1/2)处的y方向的磁场强度值，Hz|i+1/2,j+1/2,k为空间网格(i+1/2,j+1/2,k)处的z方向的磁场强度值，Ex|i+1/2,j,k为空间网格(i+1/2,j,k)处的x方向的电场强度值，Ey|i,j+1/2,k为空间网格(i,j+1/2,k)处的y方向的电场强度值，Ez|i,j,k+1/2为空间网格(i,j,k+1/2)处的z方向的电场强度值，Jx|i+1/2,j,k为空间网格(i+1/2,j,k)处的x方向的极化电流密度值，Jy|i,j+1/2,k为空间网格(i,j+1/2,k)处的y方向的极化电流密度值，Jz|i,j,k+1/2为空间网格(i,j,k+1/2)处的z方向的极化电流密度值；
步骤2-2：将常微分方程组式(13)-(21)统一写成矩阵形式，如下式：
Figure FDA0004181808180000031
其中，X为包含空间离散网格中所有电磁场量以及辅助变量的一维列向量，M为由空间步长和媒质参数所决定并且不随时间变化的系数矩阵，f(t)为由激励源引入的一维列向量；
步骤3：建立常微分方程组解的时域递推公式
根据常微分方程理论，得到式(22)解的时域递推公式，如下式：
Figure FDA0004181808180000032
其中，k为时间迭代步序号，tk＝k△t(k＝0,1,2,...)，tk+1＝(k+1)△t(k＝0,1,2,...)，△t为离散迭代时间步长，Xk+1为tk+1时刻电磁场量的值X((k+1)△t)，Xk为tk时刻电磁场量的值X(k△t)，T为系数矩阵M的指数矩阵，Tk+1为指数矩阵T的k+1次幂，s为被积变量；
步骤4：指数矩阵T的高精度精细积分求解
步骤4-1：根据指数矩阵加法定理，指数矩阵T被重新写为下式：
T＝exp(M△t)＝[exp(Mτ)]l (24)
其中，τ＝△t/l为子时间步长，l＝2N，N为预定义的正整数；
步骤4-2：对exp(Mτ)使用4阶Taylor展开式进行近似，如下式：
exp(Mτ)≈I+Ta (25)
Figure FDA0004181808180000033
其中，I为单位矩阵，Ta为泰勒展开式的1阶项到4阶项的求和；
得到：
T＝(I+Ta)l (27)
步骤4-3：分解式(27)得到：
Figure FDA0004181808180000041
即实现对指数矩阵T的高精度计算；
步骤5：建立离散迭代递推公式
使用高斯积分技术对式(23)右端的积分项
Figure FDA0004181808180000042
进行近似，应用两点插值构造高斯积分公式，得到最终的离散迭代递推公式如下：
Figure FDA0004181808180000043
利用此递推公式，得到每一时刻空间离散网格中电磁场量的值，完成磁化等离子体计算。
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