CN104749957A - 精确配置定常离散系统所有Lyapunov指数的方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了精确配置定常离散系统所有Lyapunov指数的方法，算法的形式非常简单，将受控系统的Lyapunov指数配置成预设的数值，可以用于解决混沌控制和混沌反控制两种问题。本发明的有益效果是，新算法可以用于混沌化、超混沌化以及混沌控制。在算法的基础上，设计硬件电路，可以用于编码调制或者数字加密等目的。

Description

精确配置定常离散系统所有Lyapunov指数的方法

技术领域

本发明属于混沌系统控制技术领域，涉及精确配置定常离散系统所有Lyapunov指数的方法。

背景技术

自从“混沌”这一术语首次被提出以来，大量的研究人员已经做了几十年研究。一系列研究成果表明，混沌理论和技术有广阔的应用前景。人们也意识到，在混沌有利的场合，应制造和增强混沌；而在混沌有害的场合，则应控制和消除混沌。陈关荣等人在离散系统反馈混沌化领域做了开创性和奠基性的工作,首先给出了一般性方法和严格的数学理论。

目前学术界接受用Lyapunov指数判定混沌的观点:如果离散时间系统的轨线全局有界并且Lyapunov指数全不为零,其中至少一个为正，那么系统就是混沌的；如果有两个以上Lyapunov指数为正，那么系统就是超混沌的。因此，离散系统反馈混沌化的一种理论就是如何配置正的Lyapunov指数，设计相应的配置Lyapunov指数的控制算法具有重要意义。容易理解，那么更有意义的问题是如何得到预先指定的若干个Lyapunov指数。因此在某种程度上，混沌反控制和混沌控制可以统一成一个问题来考虑：如何精确配置系统的Lyapunov指数。

最早提出的算法是Chen-Lai算法，该算法能够使受控系统的Lyapunov指数全部大于给定的正常数c，并且可以产生Devaney意义下的混沌以及Li-Yorke意义下的混沌。随后，又出现了Wang-Chen算法。Chen-Lai算法和Wang-Chen算法有区别，但是关于配置Lyapunov指数的理论是基本一致的：都是通过引人反馈，从而配置受控系统的全部Lyapunov指数为正。另外，根据现有文献，控制器采用锯齿函数、正弦函数或者对整个系统进行锯齿、正弦运算，都可以使得受控系统Lyapunov指数全大于某个正数，达到混沌反控制的目标。

有文献介绍了一种可以任意配置n维离散时间系统的n-1个Lyapunov指数的方法。由于该方法的控制器包含系统的导数，因而假定系统是二次可微的。该方法对给定系统的形式做了一定限制，可以精确配置n-1个Lyapunov指数，其余一个Lyapunov指数大于预先给定的正的常数，于是受控系统是混沌的。

发明内容

本发明的目的是提供一种精确配置定常离散系统所有Lyapunov指数的方法，解决混沌控制问题。

本发明所采用的技术方案是，精确配置定常离散系统所有Lyapunov指数的方法，n维非线性离散时间系统

x_k+1＝f(x_k)                   (1)

式中x_k∈Rⁿ为系统的状态，f为n维可微映射，设计控制器u_k使得受控系统是混沌的，即受控系统为全局有界，且具有给定的一组Lyapunov指数；

简单的反馈控制器

u_k＝Bx_kmod(ε)-f(x_k)mod(ε)          (2)

其中ε为一正实数，则显然u_k≤ε。B∈R^n×n为对角阵，σ_i为预设的一组Lyapunov指数，

则受控系统为

x_k+1＝f(x_k)+u_k       (4)

要求控制增益矩阵一致有界，即

$\underset{0\&le;k<\&infin;}{\sup \left|\right|u_k\left|\right|}\&le;M<\&infin;---\left(5\right)$

其中M为一常数，‖·‖为谱范数，即矩阵最大奇异值，由于u_k≤ε，显然满足这样的条件。

本发明的有益效果是，在新算法中，只要求受控的离散系统是定常的，不要求系统的二次可微性。算法主要特点体现在以下几个方面：(1)可以将受控系统的全部Lyapunov指数精确配置为任意给定的一组数值；(2)控制器的形式非常简单。(3)不限制系统的形式。(4)适用范围与Chen-Lai算法一致。特别地，在定常离散时间系统的情形，算法非常简单，控制律容易设计。由于能够任意配置全部Lyapunov指数，所以此算法能用于混沌化、超混沌化，甚至能用于混沌控制。仅要求受控系统是非时变的，算法的形式非常简单，将受控系统的Lyapunov指数配置成预设的数值，可以用于解决混沌控制和混沌反控制两种问题。在算法的基础上，设计硬件电路，可以用于编码调制或者数字加密等目的。

附图说明

图1是x_1k的时域混沌波形图。

具体实施方式

一、设计反馈控制器

考虑n维非线性离散时间系统

x_k+1＝f(x_k)                   (1)

式中x_k∈Rⁿ为系统的状态,f为n维可微映射。设计控制器u_k使得受控系统是混沌的,即受控系统为全局有界，且具有给定的一组Lyapunov指数。

考虑简单的反馈控制器

u_k＝Bx_kmod(ε)-f(x_k)mod(ε)         (2)

其中ε为一正实数，则显然u_k≤ε。B∈R^n×n为对角阵,σ_i为预设的一组Lyapunov指数，

则受控系统为

x_k+1＝f(x_k)+u_k              (4)

考虑到具体实现,还必须要求控制增益矩阵一致有界，即

$\underset{0\&le;k<\&infin;}{\sup \left|\right|u_k\left|\right|}\&le;M<\&infin;---\left(5\right)$

其中M为一常数，‖·‖为谱范数，即矩阵最大奇异值。由于u_k≤ε，显然满足这样的条件。在实际应用中，也可以将ε设置的很小，从而达到微扰控制的效果。

下面证明，

定理一：通过引人反馈控制器并且严格指定反馈控制器的形式(2)，可以将n维非线性离散时间系统(1)的Lyapunov指数配置为一组任意给定的常数。

证明：

受控系统(4)的Jacobi矩阵为

J_j(z)＝B_j                (6)

记

T_j＝T_j(x₀,...,x_j)＝J_j(x_j)J_j-1(x_j-1)…J₁(x₁)J₀(x₀)   (7)

并记

$s_i^j={\mathrm{\&mu;}}_i\left[{T_j}^T{T}_j\right]---\left(8\right)$

为第j个乘积矩阵T_j ^TT_j的第i个特征值,亦即矩阵T_j的第i个奇异值的平方。

根据Lyapunov指数的定义^[4],系统(4)的第i个Lyapunov指数为

${\mathrm{\&lambda;}}_i=\underset{k\&RightArrow;\&infin;}{\lim }\frac{1}{2k}\ln \left|s_i^j\right|,i=\mathrm{1,2},\&CenterDot;\&CenterDot;\&CenterDot;,n---\left(9\right)$

即{T_k}的奇异值序列的极限。

将式(3)、(6)、(7)、(8)代入式(9)，计算式(9)，立即得到了受控系统的Lyapunov指数恰好等于预先给定的一组常数σ_ki，即

${\mathrm{\&lambda;}}_i=\underset{k\&RightArrow;\&infin;}{\lim }\frac{1}{2k}\ln \left|s_i^j\right|={\mathrm{\&sigma;}}_i,i=\mathrm{1,2},\&CenterDot;\&CenterDot;\&CenterDot;,n.---\left(10\right)$

证毕。

二、系统轨道的全局有界性：

目前主要有两种方法可以使得系统轨道全局有界。第一种方法，按照Chen-Lai算法，对整个控制系统采用如下的模运算：

x_k+1＝f(x_k)+u_k(mod1)。

将上式用于系统(1)，由上一节知，受控系统(4)的Lyapunov指数系统为指定的常数，于是受控系统的轨道会依赖于相应的Lyapunov指数在某些方向上扩张或者收缩。模运算使得整个系统轨道全局有界。利用现有文献的结果证明了，在Lyapunov指数为正、系统轨道有界的情况下，系统轨道会在有界区域内产生混沌行为,并且是Devaney意义下的混沌以及Li-Yorke意义下的混沌。

第二种方法，根据Wang-Chen算法，对于稳定的离散时间系统，仅对控制器取模，即可以使得系统是轨道全局有界。考虑式(2)，如果系统(1)是稳定的，并且ε很小的话，则受控系统(4)的轨道必然是全局有界的。

三、例子与仿真结果

事实上，可以考虑任意有限阶的定常离散系统。

例1：考虑二阶线性系统x_k+1＝Ax_k, $A=\left[\begin{array}{cc}4/5& 0\\ 1/5& 4/5\end{array}\right],$ 给定初值x₀＝[0.01,0.01]。系统是渐近稳定的,并且系统的两个状态变量是可解耦的。现用本文的算法，使得受控系统是混沌的，并且要求系统的两个Lyapunov指数等于2和-2。受控系统为

$x_{k+1}={\mathrm{Ax}}_k+u_k={\mathrm{Ax}}_k+B_k{x}_k\mathrm{mod}\left(1\right)-A\left(x_k\right)\mathrm{mod}\left(1\right),B_k=\left[\begin{array}{cc}{e}^2& \\ & e^{-2}\end{array}\right].---\left(11\right)$

只要简单计算，就可以验证受控系统的Lyapunov指数等于2和-2。x_1k的时域混沌波形如图1所示。

例2：考虑三阶非线性系统

$x_{k+1}=0.5x_k-4y_k^3+8z^2$

y_k+1＝2y    (12)

z_k+1＝4z

给定初值[10,10,10]。现用本文的算法，使得受控系统是稳定的，并且要求系统的三个Lyapunov指数分别等于-1、-2和-3。受控系统为

$x_{k+1}=(0.5x_k-4y_k^3+8z^2+e^{-1}{x}_k)\mathrm{mod}\left(1\right)-x_{k+1}\mathrm{mod}\left(1\right)$

y_k+1＝(2y_k+e^-2y_k)mod(1)-y_k+1mod(1)

z_k+1＝(4z_k+e^-3z_k)mod(1)-z_k+1mod(1)

        (13)

仿真图表明受控系统稳定。

算法使用状态反馈来改变系统的雅可比矩阵，因此系统可微、状态可控、可观测的条件是本算法可实现的必要前提。由于可以将Lyapunov指数配置成任意值，显然该算法也可以用于解决混沌控制问题，只要将系统的全部Lyapunov指数配置为非正，即可消除混沌。

四、电路设计与应用

应用我们的算法，可以设计适于实际需要的数字电路。所得的电路一方面可以作为算法的实际系统模拟，一方面可用于编码、调制、数字加密等目的。具体地，只要考虑算法的思想，将相应的受控离散定常系统用数字电路实现即可。对于实际应用的场合，只要将所设计的电路，作为特定系统的子系统模块即可。具体步骤如下

第一，采用EDA设计工具来完成混沌系统的设计，比如ALTERA公司的DSPBUILDER 5.0。设计完成后用mdl文件形式来保存设计文件。然后在simulink环境下进行仿真实验。

以受控系统(13)为例。设计合适容量的存储器，首先将初值存在存储器中，作为初值[10,10,10]，根据(13)进行加法、乘法、取模运算，依次迭代，把每一步的结果存入存储器，作为下一步迭代的输入。这样就能获得输出的三维混沌序列。

第二，用DSPBUILDER5.0中自带的signal compile工具，将mdl文件转换成HDL(硬件描述语言)文件、testbench(测试)文件以及用于功能仿真的tcl文件。

第三，将生成的VHDL文件添加到ALTERA公司QUARTUS 5.0所建立的工程文件中，进行综合和布局布线流程。在这个流程中，QUARTUS 5.0软件将根据用户设定的约束条件来对已有的HDL文件进行编译，并下载配置成用户所要求的硬件IC芯片。

最后，如果有必要，进行时序仿真。在这个流程中，加入逻辑门间的时间延迟，然后观察IC电路是否有不正确的时序逻辑关系，比如是否出现严重的“毛刺”和“逻辑竞争”现象。

通过引人反馈和取模运算，改变受控系统的雅可比矩阵，从而将受控系统的Lyapunov指数精确配置为给定的一组常数。这是离散时间动力系统混沌控制与反控制的一个新方法。研究表明，新方法的控制器简单，容易实现。很明显，新算法可以将系统的全部Lyapunov指数配置为非正，因而本算法可以用于解决混沌控制问题。

Claims (1)

1.精确配置定常离散系统所有Lyapunov指数的方法，其特征在于，n维非线性离散时间系统

x_k+1＝f(x_k)   (1)

式中x_k∈Rⁿ为系统的状态，f为n维可微映射，设计控制器u_k使得受控系统是混沌的，即受控系统为全局有界，且具有给定的一组Lyapunov指数；

简单的反馈控制器

u_k＝Bx_kmod(ε)-f(x_k)mod(ε)   (2)

其中ε为一正实数，则显然u_k≤ε；B∈R^n×n为对角阵，σ_i为预设的一组Lyapunov指数，

则受控系统为

x_k+1＝f(x_k)+u_k   (4)

要求控制增益矩阵一致有界，即

$\underset{0\&le;k<\&infin;}{\sup \left|\right|u_k\left|\right|}\&le;M<\&infin;---\left(5\right)$

其中M为一常数，||·||为谱范数，即矩阵最大奇异值，由于u_k≤ε，显然满足这样的条件。