CN104647378B - 一种单关节机械臂系统的迭代学习故障诊断方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种单关节机械臂系统的迭代学习故障诊断方法。首先建立单关节非线性机械臂系统模型；构建机械臂非线性状态变量动力方程；然后对状态变量动力系统进行扩展变换；设计扩展系统的迭代学习故障诊断方法；最后分析故障诊断算法的稳定性与参数选择条件，实现机械臂系统的实时故障诊断。其优点是：故障诊断算法不仅适用于不同类型的故障，而且对分别诊断执行器和传感器故障具有通用性；不仅可以定性检测故障的发生，还可以在线进行故障重构和估计，实时性好；扩展方程由系统方程直接构造，迭代算法简单高效，不需要引入大量附加参数变量也不用解繁琐的矩阵方程，易于工程实现。

Description

一种单关节机械臂系统的迭代学习故障诊断方法

技术领域

本发明涉及一种单关节机械臂系统的迭代学习故障诊断方法，属于故障诊断领域。

背景技术

机械臂是高精度、高速的机械手，在工业制造、医疗、航空航天和半导体制造等领域都得到了广泛应用。机械臂在接受指令信号的基础上，可完成批量生产方式下三维(或二维)空间上的点对点作业，提高生产效率和生产人员的安全性。

单关节机械臂是目前在机器人技术领域中得到最广泛实际应用的自动化机械装置，但随着机械臂系统的多次重复动作，其故障发生的几率也随着增加，为安全和连续运行造成了安全隐患。故障诊断技术作为系统安全运行的重要保障对提高机械臂系统的安全可靠性和降低故障风险具有重要意义，也受到越来越多的关注。

基于机器学习和观测器理论的故障诊断方法是故障分析的两个重要分枝，主要的诊断方法和成果有：基于神经网络的方法、基于自适应观测器的方法和基于滑模观测器的方法等。采用神经网络的故障诊断方法一般具有很大的局限性，要获得比较可靠的故障诊断结果，必须要有已知的固定故障诊断实例和一定数量可用于学习的故障样本，同时还需要足够长的时间来进行在线或离线学习训练。自适应观测器方法可用于线性和非线性系统故障诊断，然而当故障类型发生变化时，其故障估计精度将受到影响，还有可能产生局部最优问题.基于滑模观测器的检测方法鲁棒性较好，可以准确检测故障发生时间并实现故障隔离，其弊端在于非连续的切换控制律会使系统产生高频颤动，影响系统精确性。

针对单关节机械臂系统的重复运行特点，将迭代学习算法和观测器理论结合构造故障诊断滤波器，可将迭代学习控制算法简单、控制精度高的优点运用于系统故障重构，最终实现故障检测与估计。现有方法是将滤波器引入进行系统的执行器故障诊断，但由于输出传感器故障和执行器故障有明显区别，所以用于执行器的故障诊断算法一般不能直接推广和应用到系统输出传感器故障的诊断问题。

发明内容

本发明的目的是解决一种单关节机械臂系统的迭代学习故障诊断问题，针对一类存在执行器和传感器故障的单关节机械臂非线性系统，提出基于滤波器的故障重构算法，由机械臂系统方程构造新状态方程对系统作扩展变换，将原机械臂系统输出端非线性和故障转换到扩展系统的状态方程再设计故障诊断滤波器，采用迭代学习调节算法更新虚拟故障使之逼近实际故障，该故障诊断方法可以检测和估计系统故障并且对不同类型故障具有一定适应性。

根据本发明提供的技术方案，所述单关节机械臂系统的迭代学习故障诊断方法包括如下步骤：

第一步：建立单关节非线性机械臂系统模型

单关节非线性机械臂系统模型可描述为：

$u\left(t\right)=J_m\stackrel{\·\·}{q}+\mathrm{sg}\sin \left(q\left(t\right)\right)+\mathrm{Bf}\left(t\right)---\left(1\right)$

其中u(t)是作用点上的输入力矩，q(t)是机械臂旋转角度，f(t)是系统故障，g是重力加速度，系统参数选J_m＝0.75ml²，s＝lm，B＝m，m为质量，l为机械臂长度。系统输出是机械臂旋转角度。

第二步：构建机械臂非线性状态变量动力方程

定义状态变量x₁＝q，则机械臂系统可描述为

$\left(\begin{array}{c}{\stackrel{\·}{x}}_1\\ {\stackrel{\·}{x}}_2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 0& 0\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\end{array}\right)+\left(\begin{array}{c}0\\ -\mathrm{sg}\sin \left(x_1\right)\end{array}\right)+\left(\begin{array}{c}0\\ 1/J_m\end{array}\right)u\left(t\right)+\left(\begin{array}{c}0\\ -B/J_m\end{array}\right)f\left(t\right)---\left(2\right)$

y＝x₁+f(t)

显然式(2)可表示为系统(3)形式的状态空间方程

$\begin{array}{c}\stackrel{\·}{x}\left(t\right)=\mathrm{Ax}\left(t\right)+g_1(x\left(t\right),t)+\mathrm{Bu}\left(t\right)+B_{f}f\left(t\right)\\ y\left(t\right)=\mathrm{Cx}\left(t\right)+g_2(x\left(t\right),t)+\mathrm{Du}\left(t\right)+D_{f}f\left(t\right)\end{array}---\left(3\right)$

其中x(t)∈Rⁿ，y(t)∈R^m，u(t)∈R^r分别表示系统的状态、输出和输入向量；f(t)为待估计的故障函数；A,B,C,D,B_f,D_f为相应维数的已知常数矩阵g₁(x(t),t)，g₂(x(t),t)为非线性项。显然系统矩阵(C,A)可观，设g₁(x(t),t)，g₂(x(t),t)满足Lipschitz条件，即||g₁(x₁(t),t)-g₁(x₂(t),t)||≤α₁||x₁(t)-x₂(t)||，||g₂(x₁(t),t)-g₂(x₂(t),t)||≤α₂||x₁(t)-x₂(t)||，其中α₁，α₂＞0为g₁和g₂的Lipschitz常数。

第三步：状态变量动力系统的扩展变换

对系统(3)进行扩展变换，利用其输出端方程构造以下新状态方程：

$\stackrel{\·}{z}\left(t\right)=A_{s}z\left(t\right)+B_{s}y\left(t\right)---\left(4\right)$

式中z(t)∈R^m为新引入的状态向量，A_S∈R^m×m，B_s∈R^m×m是根据设计需要选定的新状态方程的系数矩阵。将(3)式输出方程代入式(4)，可得：

$\stackrel{\·}{z}\left(t\right)=A_{s}z\left(t\right)+B_s\mathrm{Cx}\left(t\right)+B_s{g}_2(x\left(t\right),t)+B_s\mathrm{Du}\left(t\right)+B_s{D}_{f}f\left(t\right)---\left(5\right)$

由(3)和(5)可得扩展系统状态方程：

$\left[\begin{array}{c}\stackrel{\·}{x}\left(t\right)\\ \stackrel{\·}{z}\left(t\right)\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}A& 0\\ B_{S}C& A_S\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}x\left(t\right)\\ z\left(t\right)\end{array}\right]+\left[\begin{array}{c}{g}_1(x\left(t\right),t)\\ B_S{g}_2(x\left(t\right),t)\end{array}\right]+\left[\begin{array}{c}B\\ B_{S}D\end{array}\right]u\left(t\right)+\left[\begin{array}{c}{B}_f\\ B_S{D}_f\end{array}\right]f\left(t\right)---\left(6\right)$

同时令

$z\left(t\right)=\left[\begin{array}{cc}0& I\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}x\left(t\right)\\ z\left(t\right)\end{array}\right]---\left(7\right)$

作为扩展后系统的输出。

对(6)和(7)中的状态和各矩阵重新定义： $\tilde{x}\left(t\right)={\left[\begin{array}{cc}x\left(t\right)& z\left(t\right)\end{array}\right]}^T,\tilde{y}\left(t\right)=z\left(t\right),$

$\tilde{A}=\left[\begin{array}{cc}A& 0\\ B_{S}C& A_S\end{array}\right],g_3(\tilde{x}\left(t\right),t)=\left[\begin{array}{c}{g}_1(x\left(t\right),t)\\ B_S{g}_2(x\left(t\right),t)\end{array}\right],\tilde{B}=\left[\begin{array}{c}B\\ B_{S}D\end{array}\right],{\tilde{B}}_f=\left[\begin{array}{c}{B}_f\\ B_S{D}_f\end{array}\right],\tilde{C}=\left[\begin{array}{cc}0& I\end{array}\right].$

则式(6)和式(7)可表示为

$\stackrel{\·}{\tilde{x}}\left(t\right)=\tilde{A}\tilde{x}\left(t\right)+g_3(\tilde{x}\left(t\right),t)+\tilde{B}u\left(t\right)+{\tilde{B}}_{f}f\left(t\right)$

$\tilde{y}\left(t\right)=\tilde{C}\tilde{x}\left(t\right)---\left(8\right)$

式中非线性项在g₁(x(t),t)，g₂(x(t),t)性质的基础上也满足可知t)满足Lipschitz条件，α₃为其Lipschitz常数。式(8)表示一类仅存在执行器故障的非线性故障系统，对系统进行的扩展变换将原系统的输出传感器故障转变成新系统的一个执行器故障，因此，可以将已有的用于系统执行器故障诊断的方法直接用于输出传感器故障的检测和估计。扩展滤波器(4)的参数矩阵选取使扩展系统(8)仍然具有可观测性。

第四步：扩展系统的迭代学习故障诊断方法

为对扩展系统(8)的故障进行诊断，设计如下故障跟踪滤波器：

$\stackrel{\·}{\hat{\tilde{x}}}=\tilde{A}\hat{\tilde{x}}\left(t\right)=g_3(\hat{\tilde{x}}\left(t\right),t)+\tilde{B}u\left(t\right)+{\tilde{B}}_f{\hat{f}}_k\left(t\right)+L(\tilde{y}\left(t\right)-{\hat{\tilde{y}}}_k\left(t\right))---\left(9\right)$

$\hat{\tilde{y}}\left(t\right)=\tilde{C}\hat{\tilde{x}}\left(t\right)$

系统残差定义如下

$r_k\left(t\right)=\tilde{y}\left(t\right)-{\hat{\tilde{y}}}_k\left(t\right)---\left(10\right)$

迭代学习故障估计算法

${\hat{f}}_{k+1}\left(t\right)={\hat{f}}_k\left(t\right)+\mathrm{\Γ}{\stackrel{\·}{r}}_k\left(t\right)+\mathrm{\Φ}{r}_k\left(t\right)+\mathrm{\Ψ}\∫r_k\left(t\right)\mathrm{dt}---\left(11\right)$

故障诊断滤波器启动条件

${\left|\right|\tilde{y}\left(t\right)-{\hat{\tilde{y}}}_k\left(t\right)\left|\right|}_{\∞}>\mathrm{\γ}---\left(12\right)$

其中分别是系统(8)状态和输出的估计值；下标k表示在优化时域t∈[t_n-P，t_n]内滤波器的迭代估计次数，P为所选优化时域的长度；矩阵L是预先设计的增益矩阵，使得矩阵(A-LC)的特征根在左半平面；为故障跟踪估计器的可调参数，即虚拟故障；是在优化时域内第k次调节后虚拟故障的大小；r_k(t)是在优化时域内第k次调节后故障跟踪滤波器和系统(8)的输出残差；γ是设定的性能指标，式(12)表示输出残差信号幅值超出设定时才对系统进行诊断，合理选取γ值使故障诊断系统具有一定的鲁棒性又满足故障检测精度要求。式(11)是虚拟故障的调节算法，式中Γ,Φ,Ψ是迭代学习增益矩阵；这里采用迭代学习算法，充分利用残差信息在优化时域内反复对虚拟故障进行更新，使之逼近系统实际发生的故障，直至达到设定的精度要求，从而达到故障检测和估计的诊断目的。

第五步：分析故障诊断算法的稳定性与参数选择

不妨假设系统故障诊断的优化周期为[0,t_n]，取P为优化时域长度，则优化时域区间为[t_n-P,t_n]，系统的状态误差定义为故障估计偏差定义为则由式(8)和式(9)可得误差系统状态方程为

$\begin{array}{c}\stackrel{\·}{e}\left(t\right)=(\tilde{A}-L\tilde{C})e\left(t\right)+{\tilde{B}}_f\mathrm{\δ}{f}_k\left(t\right)+g_3(\tilde{x}\left(t\right),t)-g_3(\hat{\tilde{x}}\left(t\right),t)\\ r\left(t\right)=\tilde{C}e\left(t\right)\end{array}---\left(13\right)$

考虑到实际控制系统(1)的初始状态未知，即对于扩展系统(8)，设计如(11)式所示的故障诊断滤波器和(13)式所示虚拟故障调节算法，在有限优化时域[t_n-P,t_n]内，若参数满足条件和第k次迭代初态偏差则当k→∞时，在λ范数意义下：

$\underset{\underset{t\∈[0,t_n]}{k\→\∞}}{\lim }{\left|\right|\tilde{y}\left(t\right)-{\hat{\tilde{y}}}_k\left(t\right)\left|\right|}_{\mathrm{\λ}}\≤L_C{e}_0+\frac{L_C{a}_2(1-e^{(a_1-\mathrm{\λ})P})(b_1+b_{2}P)e_0}{(\mathrm{\λ}-a_1)(1-\left(\right|\left|(I-\mathrm{\Γ}\tilde{C}{\tilde{B}}_f)\right||+b_1{a}_3\frac{1-e^{-\mathrm{\λP}}}{\mathrm{\λ}}+b_2{a}_3{\left(\frac{1-e^{-\mathrm{\λP}}}{\mathrm{\λ}}\right)}^2))}---\left(14\right)$

其中 $a_1=\left|\right|(\tilde{A}-L\tilde{C})\left|\right|+{\mathrm{\α}}_3,a_2=\left|\right|{\tilde{B}}_f\left|\right|,b_2=\left|\right|\mathrm{\Ψ}\tilde{C}|,L_C=\left|\right|\tilde{C}\left|\right|,b_1=\left|\right|\mathrm{\Γ}\tilde{C}(\tilde{A}-L\tilde{C})+\mathrm{\Φ}\tilde{C}\left|\right|+{\mathrm{\α}}_3\left|\right|\mathrm{\Γ}\tilde{C}\left|\right|.$

由式(13)可得

$e\left(t\right)=e(t_n-P)+{\∫}_{t_n-P}^{t_n}[(\tilde{A}-L\tilde{C})e\left(\mathrm{\τ}\right)+{\tilde{B}}_f\mathrm{\δ}{f}_k\left(\mathrm{\τ}\right)+g_3(\tilde{x}\left(\mathrm{\τ}\right),\mathrm{\τ})-g_3(\hat{\tilde{x}}\left(\mathrm{\τ}\right),\mathrm{\τ})]\mathrm{d\τ}---\left(15\right)$

式(15)等式两边取范数可得

$\begin{array}{c}\left|\right|e\left(t\right)\left|\right|\≤\left|\right|e(t_n-P)\left|\right|+{\∫}_{t_n-P}^{t_n}\left|\right|(\tilde{A}-L\tilde{C})\left|\right|\·\left|\right|e\left(\text{\τ}\right)\left|\right|\mathrm{d\τ}+{\∫}_{t_n-P}^{t_n}\left|\right|{\tilde{B}}_f\left|\right|\left|\right|\mathrm{\δ}{f}_k\left(\mathrm{\τ}\right)\left|\right|\mathrm{d\τ}\\ +{\∫}_{t_n-P}^{t_n}\left|\right|[g_3(\tilde{x}\left(\mathrm{\τ}\right),\mathrm{\τ})-g_3(\hat{\tilde{x}}\left(\mathrm{\τ}\right),\mathrm{\τ})]\left|\right|\mathrm{d\τ}\end{array}---\left(16\right)$

由于g₃满足Lipschitz条件，则式(16)可转换为

$\left|\right|e\left(t\right)\left|\right|\≤e_0+a_1{\∫}_{t_n-P}^{t_n}\left|\right|e\left(\mathrm{\τ}\right)\left|\right|\mathrm{d\τ}+a_2{\∫}_{t_n-P}^{t_n}\left|\right|\mathrm{\δ}{f}_k\left(\mathrm{\τ}\right)\left|\right|\mathrm{d\τ}---\left(17\right)$

其中 $a_1=\left|\right|(\tilde{A}-L\tilde{C})\left|\right|+{\mathrm{\α}}_3,a_2=\left|\right|{\tilde{B}}_f\left|\right|.$ 进一步可得

$\left|\right|e\left(t\right)\left|\right|\≤e_0{e}^{a_1\·t_n}+a_2{\∫}_{t_n-P}^{t_n}{e}^{a_1(t_n-\mathrm{\τ})}\left|\right|\mathrm{\δ}{f}_k\left(\mathrm{\τ}\right)\left|\right|\mathrm{d\τ}---\left(18\right)$

同理易得

${\∫}_{t_n-P}^{t_n}\left|\right|e\left(s\right)\left|\right|\mathrm{ds}\≤e_0{e}^{a_1\·t_n}P+a_2{\∫}_{t_n-P}^{t_n}{\∫}_{t_n-P}^s{e}^{a_1(t_n-\mathrm{\τ})}\left|\right|\mathrm{\δ}{f}_k\left(\mathrm{\τ}\right)\left|\right|\mathrm{d\τds}---\left(19\right)$

由式(11)和式(13)可知

${\hat{f}}_{k+1}\left(t\right)={\hat{f}}_k\left(t\right)+\mathrm{\Γ}\tilde{C}{\stackrel{\·}{e}}_k\left(t\right)+\mathrm{\Φ}\tilde{C}{e}_k\left(t\right)+\mathrm{\Ψ}\tilde{C}{\∫}_{t_n-P}^{t_n}{e}_k\left(\mathrm{\τ}\right)\mathrm{d\τ}---\left(20\right)$

式(20)等式两边同时减f(t)可得

$\mathrm{\δ}{f}_{k+1}\left(t\right)=\mathrm{\δ}{f}_k\left(t\right)-\mathrm{\Γ}\tilde{C}{\stackrel{\·}{e}}_k\left(t\right)-\mathrm{\Φ}\tilde{C}{e}_k\left(t\right)-\mathrm{\Ψ}\tilde{C}{\∫}_{t_n-P}^{t_n}{e}_k\left(\mathrm{\τ}\right)\mathrm{d\τ}---\left(21\right)$

由式(21)和(15)得

$\begin{array}{c}\mathrm{\δ}{f}_{k+1}\left(t\right)=\mathrm{\δ}{f}_k\left(t\right)-\mathrm{\Γ}\tilde{C}[(\tilde{A}-L\tilde{C})e\left(t\right)+{\tilde{B}}_f\mathrm{\δ}{f}_k\left(t\right)+g_3(\tilde{x}\left(t\right),t){-g}_3(\hat{\tilde{x}}\left(t\right),t)]\\ -\mathrm{\Φ}\tilde{C}{e}_k\left(t\right)-\mathrm{\Ψ}\tilde{C}{\∫}_{t_n-P}^{t_n}{e}_k\left(\mathrm{\τ}\right)\mathrm{d\τ}\end{array}---\left(22\right)$

式(22)两边取范数

$\begin{array}{c}\left|\right|\mathrm{\δ}{f}_{k+1}\left(t\right)\left|\right|\≤\left|\right|I-\mathrm{\Γ}\tilde{C}{\tilde{B}}_f\left|\right|\left|\right|\mathrm{\δ}{f}_k\left(t\right)\left|\right|+\left|\right|\mathrm{\Γ}\tilde{C}\left|\right|\left|\right|g_3(\tilde{x}\left(t\right),t)-g_3(\hat{\tilde{x}}\left(t\right),t)\left|\right|\\ +\left|\right|\mathrm{\Γ}\tilde{C}(\tilde{A}-L\tilde{C})+\mathrm{\Φ}\tilde{C}\left|\right|\left|\right|e_k\left(t\right)\left|\right|+\left|\right|\mathrm{\Ψ}\tilde{C}\left|\right|{\∫}_{t_n-P}^{t_n}\left|\right|e_k\left(\mathrm{\τ}\right)\left|\right|\mathrm{d\τ}\end{array}---\left(23\right)$

即

$\left|\right|\mathrm{\δ}{f}_{k+1}\left(t\right)\left|\right|\≤\left|\right|(I-\mathrm{\Γ}\tilde{C}{\tilde{B}}_f)\left|\right|\·\left|\right|\mathrm{\δ}{f}_k\left(t\right)\left|\right|+b_1\left|\right|e_k\left(t\right)\left|\right|+b_2{\∫}_{t_n-P}^{t_n}\left|\right|e_k\left(\mathrm{\τ}\right)\left|\right|\mathrm{d\τ}---\left(24\right)$

其中由式(18)，(19)和(24)可得

$\begin{array}{c}\left|\right|\mathrm{\δ}{f}_{k+1}\left(t\right)\left|\right|\≤(b_1+b_{2}P)e_0{e}^{a_1\·t_n}+\left|\right|(I-\mathrm{\Γ}\tilde{C}{\tilde{B}}_f)\left|\right|\left|\right|\mathrm{\δ}{f}_k\left(t\right)\left|\right|\\ +b_1{a}_3{\∫}_{t_n-P}^{t_n}\left|\right|\mathrm{\δ}{f}_k\left(\mathrm{\τ}\right)\left|\right|\mathrm{d\τ}+b_2{a}_3{\∫}_{t_n-P}^{t_n}{\∫}_{t_n-P}^s\left|\right|\mathrm{\δ}{f}_k\left(\mathrm{\τ}\right)\left|\right|\mathrm{d\τds}\end{array}---\left(25\right)$ 式(25)两端同取λ范数得

||δf_k+1(t)||_λ≤M||δf_k(t)||_λ+(b₁+b₂P)e₀(26)其中 $M=\left|\right|(I-\mathrm{\&Gamma;}\tilde{C}{\tilde{B}}_f)\left|\right|+b_1{a}_3\frac{1-e^{-\mathrm{\&lambda;P}}}{\mathrm{\&lambda;}}+b_2{a}_3{\left(\frac{1-e^{-\mathrm{\&lambda;P}}}{\mathrm{\&lambda;}}\right)}^2.$ 由条件 $\left|\right|(I-\mathrm{\&Gamma;}\tilde{C}{\tilde{B}}_f)\left|\right|<1$ 可知，只要取足够大的λ就可使得M＜1，则当k→∞时可得：

$\underset{\underset{t\&Element;[t_n-P,t_n]}{k\&RightArrow;\&infin;}}{\lim }{\left|\right|f\left(t\right)-{\hat{f}}_k\left(t\right)\left|\right|}_{\mathrm{\&lambda;}}\&le;\frac{(b_1+b_{2}P)e_0}{1-\left(\right||I-\mathrm{\&Gamma;}\tilde{C}{\tilde{B}}_f||+b_1{a}_3\frac{1-e^{-\mathrm{\&lambda;P}}}{\mathrm{\&lambda;}}+b_2{a}_3{\left(\frac{1-e^{-\mathrm{\&lambda;P}}}{\mathrm{\&lambda;}}\right)}^2)}---\left(27\right)$

对(18)取λ范数得

${\left|\right|e\left(t\right)\left|\right|}_{\mathrm{\&lambda;}}\&le;e_0+\frac{1-e^{(a_1-\mathrm{\&lambda;})P}}{\mathrm{\&lambda;}-a_1}{a}_2{\left|\right|\mathrm{\&delta;}{f}_k\left(t\right)\left|\right|}_{\mathrm{\&lambda;}}---\left(28\right)$

由式(27)得

$\underset{\underset{t\&Element;[0,t_n]}{k\&RightArrow;\&infin;}}{\lim }{\left|\right|\tilde{x}\left(t\right)-{\hat{\tilde{x}}}_k\left(t\right)\left|\right|}_{\mathrm{\&lambda;}}\&le;e_0+\frac{a_2(1-e^{(a_1-\mathrm{\&lambda;})P})(b_1+b_{2}P)e_0}{(\mathrm{\&lambda;}-a_1)(1-\left(\right|\left|(I-\mathrm{\&Gamma;}\tilde{C}{\tilde{B}}_f)\right||+b_1{a}_3\frac{1-e^{-\mathrm{\&lambda;P}}}{\mathrm{\&lambda;}}+b_2{a}_3{\left(\frac{1-e^{-\mathrm{\&lambda;P}}}{\mathrm{\&lambda;}}\right)}^2))}---\left(29\right)$

进一步扩展系统方程可得

$\underset{\underset{t\&Element;[0,t_n]}{k\&RightArrow;\&infin;}}{\lim }{\left|\right|\tilde{y}\left(t\right)-{\hat{\tilde{y}}}_k\left(t\right)\left|\right|}_{\mathrm{\&lambda;}}\&le;L_C{e}_0+\frac{L_C{a}_2(1-e^{(a_1-\mathrm{\&lambda;})P})(b_1+b_{2}P)e_0}{(\mathrm{\&lambda;}-a_1)(1-\left(\right|\left|(I-\mathrm{\&Gamma;}\tilde{C}{\tilde{B}}_f)\right||+b_1{a}_3\frac{1-e^{-\mathrm{\&lambda;P}}}{\mathrm{\&lambda;}}+b_2{a}_3{\left(\frac{1-e^{-\mathrm{\&lambda;P}}}{\mathrm{\&lambda;}}\right)}^2))}---\left(30\right)$

其中 $L_C=\left|\right|\tilde{C}\left|\right|.$

在故障重构过程中，对于一个优化周期内的故障诊断情况，若系统存在初始偏差，由于系统(13)是稳定的，故障跟踪估计器也是稳定的，则初始条件引起的响应是衰减的，所以，随着优化周期的不断前进，其初始偏差逐步减小，初始偏差引起的误差最终趋零，即

本发明的优点是：以单关节机械臂此类典型重复运动的非线性系统为对象进行故障诊断。本发明故障诊断算法的适用性更好，不仅适用于不同类型的故障，而且对分别诊断执行器和传感器故障具有通用性；故障诊断算法的实时性更好，不仅可以定性检测故障的发生，还可以在线进行故障重构和估计；本发明的扩展方程由系统方程直接构造，迭代算法简单高效，不需要引入大量附加参数变量也不用解繁琐的矩阵方程，使得算法的设计和实现都较为方便，同时还可以获得较高的故障诊断精度。可进一步推广到应用于多关节机械手臂和发酵过程等实际工程对象。

附图说明

图1为机械臂系统的故障诊断结构图

图2为机械臂系统突变信号故障的诊断结果

图3为机械臂系统渐变信号故障的诊断结果

图4为机械臂系统周期信号故障的诊断结果

具体实施方式

下面结合附图和实施例对本发明做进一步说明。

针对式(1)形式的单关节机械臂非线性系统，构成如式(2)形式的状态变量动力方程，显然其满足式(3)形式的状态空间模型。再利用式(4)形式的扩展滤波器将状态空间模型(3)转换成式(6)和式(7)形式的状态方程和输出方程。故障诊断结构图如图1所示。当一类单关节机械臂系统参数m＝10kg，l＝2.5m，J_m＝0.75ml²，定义状态变量x₁＝q，则系统可描述为

$\left(\begin{array}{c}{\stackrel{\&CenterDot;}{x}}_1\\ {\stackrel{\&CenterDot;}{x}}_2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 0& 0\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\end{array}\right)+\left(\begin{array}{c}0\\ -5.33\sin \left(x_1\right)\end{array}\right)+\left(\begin{array}{c}0\\ 0.0213\end{array}\right)u\left(t\right)+\left(\begin{array}{c}0\\ -0.213f\left(t\right)\end{array}\right)$

系统输出取y＝x₁+f(t)。显然系统此时满足可观测性条件，可以进行扩展。当系统初态x₀＝[0.10.3]^Τ时，根据本发明方法，扩展滤波器(4)的参数选为A_s＝-1，B_s＝1，则扩展状态方程：

$\stackrel{\&CenterDot;}{z}\left(t\right)=-z\left(t\right)+y\left(t\right)$

$\tilde{y}\left(t\right)=z\left(t\right)$

设计增益矩阵L＝[112]^T，设计如下扩展故障诊断滤波器：

$\stackrel{\&CenterDot;}{\widehat{\tilde{\text{x}}}}\left(t\right)=\left(\begin{array}{ccc}0& 1& -1\\ 0& 0& -1\\ 1& 0& -3\end{array}\right)\hat{\tilde{x}}\left(t\right)+\left(\begin{array}{c}0\\ -5.33\sin \left(x_1\right)\\ 0\end{array}\right)+\left(\begin{array}{c}0\\ 0.0213\\ 0\end{array}\right)u\left(t\right)+\left(\begin{array}{c}0\\ -0.213\\ 1\end{array}\right){\hat{f}}_k\left(t\right)+L\tilde{y}\left(t\right)$

$\hat{\tilde{y}}\left(t\right)=\left(\begin{array}{ccc}0& 0& 1\end{array}\right)\hat{\tilde{x}}\left(t\right)$

${\hat{f}}_{k+1}\left(t\right)={\hat{f}}_k\left(t\right)+\mathrm{\&Gamma;}{\stackrel{\&CenterDot;}{r}}_k\left(t\right)+\mathrm{\&Phi;}{\stackrel{\&CenterDot;}{r}}_k\left(t\right)+\mathrm{\&Phi;}{r}_k\left(t\right)+\mathrm{\&Psi;}\&Integral;r_k\left(t\right)\mathrm{dt}$

优化时域P＝3s。在具体实施过程中，选取优化时域P是为了对系统分段诊断和滚动优化使系统残差在有限时间内无限趋零，避免因系统运行时间过长导致故障诊断不及时。P值的选取与被控对象和控制要求有关。对实时性要求较高的控制过程P值相对小一些，其他情况P值选取要求比较宽松

故障诊断方法中的算法启动要求γ＝0.05，根据本发明方法选取迭代增益Γ＝0.2，进而利用所设计的扩展故障诊断滤波器检测和估计系统故障。当系统故障分别为突变故障函数f₁(t)，渐变故障函数f₂(t)和周期性故障函数f₃(t)时

图2、图3和图4是分别对突变故障f₁(t)，渐变故障f₂(t)和周期性故障f₃(t)进行诊断的结果。可见本发明的故障诊断方法可以检测故障的发生并对故障进行较准确的估计，而且对不同类型的故障有一定的适应性。由于初值偏差的影响，故障重构起始误差较大，随时间推移逐渐减小，但系统运行时间为有限值，所以故障重构误差始终可以控制在一定范围内。

上述实施例仅仅是为清楚地说明本发明所作的举例，而并非是对本发明的实施方式的限定，对于所属领域的普通技术人员来说，在上述说明的基础上还可以做出其它不同形式的变化或变动。

Claims (1)

1.一种单关节机械臂系统的迭代学习故障诊断方法，其特征包括：建立单关节非线性机械臂系统模型；构建机械臂非线性状态变量动力方程；对状态变量动力系统进行扩展变换；设计扩展系统的迭代学习故障诊断方法；分析故障诊断算法的稳定性与参数选择条件，实现机械臂系统的实时故障诊断；

第一步：建立单关节非线性机械臂系统模型

单关节非线性机械臂系统模型可描述为：

$u\left(t\right)=J_m\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{q}+sgsin\left(q\right(t))+Bf\left(t\right)---\left(1\right)$

其中u(t)是作用点上的输入力矩，q(t)是机械臂旋转角度，f(t)是系统故障，g是重力加速度，系统参数选J_m＝0.75ml²，s＝lm，B＝m，m为质量，l为机械臂长度，系统输出是机械臂旋转角度；

第二步：构建机械臂非线性状态变量动力方程

定义状态变量x₁＝q，则机械臂系统可描述为

$\left(\begin{array}{c}{\stackrel{\&CenterDot;}{x}}_1\\ {\stackrel{\&CenterDot;}{x}}_2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 0& 0\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\end{array}\right)+\left(\begin{array}{c}0\\ -sgsin\left(x_1\right)\end{array}\right)+\left(\begin{array}{c}0\\ 1/J_m\end{array}\right)u\left(t\right)+\left(\begin{array}{c}0\\ -B/J_m\end{array}\right)f\left(t\right)---\left(2\right)$

y＝x₁+f(t)

显然式(2)可表示为系统(3)形式的状态空间方程

$\stackrel{\&CenterDot;}{x}\left(t\right)=Ax\left(t\right)+g_1\left(x\right(t),t)+Bu\left(t\right)+B_{f}f\left(t\right)$

(3)

y(t)＝Cx(t)+g₂(x(t),t)+Du(t)+D_ff(t)

其中x(t)∈Rⁿ，y(t)∈R^m，u(t)∈R^r分别表示系统的状态、输出和输入向量；f(t)为待估计的故障函数；A,B,C,D,B_f,D_f为相应维数的已知常数矩阵；g₁(x(t),t)，g₂(x(t),t)为非线性项；显然矩阵(C,A)可观，设g₁(x(t),t)，g₂(x(t),t)满足Lipschitz条件，即||g₁(x₁(t),t)-g₁(x₂(t),t)||≤α₁||x₁(t)-x₂(t)||，||g₂(x₁(t),t)-g₂(x₂(t),t)||≤α₂||x₁(t)-x₂(t)||，其中α₁，α₂＞0为g₁和g₂的Lipschitz常数；

第三步：状态变量动力系统的扩展变换

对系统(3)进行扩展变换，利用其输出端方程构造以下新状态方程：

$\stackrel{\&CenterDot;}{z}\left(t\right)=A_{s}z\left(t\right)+B_{s}y\left(t\right)---\left(4\right)$

式中z(t)∈R^m为新引入的状态向量，A_S∈R^m×m，B_s∈R^m×m是根据设计需要选定的新状态方程的系数矩阵；将(3)式输出方程代入式(4)，可得：

$\stackrel{\&CenterDot;}{z}\left(t\right)=A_{s}z\left(t\right)+B_{s}Cx\left(t\right)+B_s{g}_2\left(x\right(t),t)+B_{s}Du\left(t\right)+B_s{D}_{f}f\left(t\right)---\left(5\right)$

由(3)和(5)可得扩展系统状态方程：

$\left[\begin{array}{c}\stackrel{\&CenterDot;}{x}\left(t\right)\\ \stackrel{\&CenterDot;}{z}\left(t\right)\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}A& 0\\ B_{S}C& A_S\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}x\left(t\right)\\ z\left(t\right)\end{array}\right]+\left[\begin{array}{c}{g}_1\left(x\right(t),t)\\ g_S{g}_2\left(x\right(t),t)\end{array}\right]+\left[\begin{array}{c}B\\ B_{S}D\end{array}\right]u\left(t\right)+\left[\begin{array}{c}{B}_f\\ B_S{D}_f\end{array}\right]f\left(t\right)---\left(6\right)$

同时令

$z\left(t\right)=\&lsqb;\begin{array}{cc}0& I\end{array}\&rsqb;\left[\begin{array}{c}x\left(t\right)\\ z\left(t\right)\end{array}\right]---\left(7\right)$

作为扩展后系统的输出；

对(6)和(7)中的状态和各矩阵重新定义： $\tilde{x}\left(t\right)={\left[\begin{array}{cc}x\left(t\right)& z\left(t\right)\end{array}\right]}^T,$ $\tilde{A}=\left[\begin{array}{cc}A& 0\\ B_{S}C& A_S\end{array}\right],g_3\left(\tilde{x}\right(t),t)=\left[\begin{array}{c}{g}_1(x\left(t\right),t)\\ B_S{g}_2(x\left(t\right),t)\end{array}\right],\tilde{B}=\left[\begin{array}{c}B\\ B_{S}D\end{array}\right],{\tilde{B}}_f=\left[\begin{array}{c}{B}_f\\ B_S{D}_f\end{array}\right],\tilde{C}=\&lsqb;\begin{array}{cc}0& I\end{array}\&rsqb;;$ 则式(6)和式(7)可表示为

$\stackrel{\&CenterDot;}{\tilde{x}}\left(t\right)=\tilde{A}\tilde{x}\left(t\right)+g_3\left(\tilde{x}\right(t),t)+\tilde{B}u\left(t\right)+{\tilde{B}}_{f}f\left(t\right)$

$\tilde{y}\left(t\right)=\tilde{C}\tilde{x}\left(t\right)---\left(8\right)$

式中非线性项在g₁(x(t),t)，g₂(x(t),t)性质的基础上也满足 $\left|\right|g_3\left({\tilde{x}}_1\right(t),t)-g_3\left({\tilde{x}}_2\right(t),t)\left|\right|\&le;{\mathrm{\&alpha;}}_3\left|\right|{\tilde{x}}_1\left(t\right)-{\tilde{x}}_2\left(t\right)\left|\right|,$ 可知满足Lipschitz条件，α₃为其Lipschitz常数；式(8)表示一类仅存在执行器故障的非线性故障系统，对系统进行的扩展变换将原系统的输出传感器故障转变成新系统的一个执行器故障，因此，可以将已有的用于系统执行器故障诊断的方法直接用于输出传感器故障的检测和估计；扩展滤波器(4)的参数矩阵选取使扩展系统(8)仍然具有可观测性；

第四步：扩展系统的迭代学习故障诊断方法

为对扩展系统(8)的故障进行诊断，设计如下故障跟踪滤波器：

$\stackrel{\&CenterDot;}{\hat{\tilde{x}}}\left(t\right)=\tilde{A}\hat{\tilde{x}}\left(t\right)+g_3\left(\hat{\tilde{x}}\right(t),t)+\tilde{B}u\left(t\right)+{\tilde{B}}_f{\hat{f}}_k\left(t\right)+L\left(\tilde{y}\right(t)-{\hat{\tilde{y}}}_k(t\left)\right)---\left(9\right)$

$\hat{\tilde{y}}\left(t\right)=\tilde{C}\hat{\tilde{x}}\left(t\right)$

系统残差定义如下

$r_k\left(t\right)=\tilde{y}\left(t\right)-{\hat{\tilde{y}}}_k\left(t\right)---\left(10\right)$

迭代学习故障估计算法

${\hat{f}}_{k+1}\left(t\right)={\hat{f}}_k\left(t\right)+\mathrm{\&Gamma;}{\stackrel{\&CenterDot;}{r}}_k\left(t\right)+{\mathrm{\&Phi;r}}_k\left(t\right)+\mathrm{\&Psi;}\&Integral;r_k\left(t\right)dt---\left(11\right)$

故障诊断滤波器启动条件

$\left|\right|\tilde{y}\left(t\right)-{\hat{\tilde{y}}}_k\left(t\right)|{|}_{\mathrm{\&infin;}}>\mathrm{\&gamma;}---\left(12\right)$

其中分别是系统(8)状态和输出的估计值；下标k表示在优化时域t∈[t_n-P，t_n]内滤波器的迭代估计次数，P为所选优化时域的长度；矩阵L是预先设计的增益矩阵，使得矩阵(A-LC)的特征根在左半平面；为故障跟踪估计器的可调参数，即虚拟故障；是在优化时域内第k次调节后虚拟故障的大小；r_k(t)是在优化时域内第k次调节后故障跟踪滤波器和系统(8)的输出残差；γ是设定的性能指标，式(12)表示输出残差信号幅值超出设定时才对系统进行诊断，合理选取γ值使故障诊断系统具有一定的鲁棒性又满足故障检测精度要求；式(11)是虚拟故障的调节算法，式中Γ,Φ,Ψ是迭代学习增益矩阵；这里采用迭代学习算法，充分利用残差信息在优化时域内反复对虚拟故障进行更新，使之逼近系统实际发生的故障，直至达到设定的精度要求，从而达到故障检测和估计的诊断目的；

第五步：分析故障诊断算法的稳定性与参数选择

不妨假设系统故障诊断的优化周期为[0,t_n]，取P为优化时域长度，则优化时域区间为[t_n-P,t_n]，系统的状态误差定义为故障估计偏差定义为则由式(8)和式(9)可得误差系统状态方程为

$\begin{array}{c}\stackrel{\&CenterDot;}{e}\left(t\right)=(\tilde{A}-L\tilde{C})e\left(t\right)+{\tilde{B}}_f{\mathrm{\&delta;f}}_k\left(t\right)+g_3\left(\tilde{x}\right(t),t)-g_3\left(\hat{\tilde{x}}\right(t),t)\\ r\left(t\right)=\tilde{C}e\left(t\right)\end{array}---\left(13\right)$

考虑到实际控制系统(1)的初始状态未知，即对于扩展系统(8)，设计如(11)式所示的故障诊断滤波器和(13)式所示虚拟故障调节算法，在有限优化时域[t_n-P,t_n]内，若参数满足条件和第k次迭代初态偏差则当k→∞时，在λ范数意义下：

$\underset{t\&Element;\&lsqb;0,t_n\&rsqb;}{\underset{k\&RightArrow;\mathrm{\&infin;}}{\lim }}\left|\right|\tilde{y}\left(t\right)-{\hat{\tilde{y}}}_k\left(t\right)|{|}_{\mathrm{\&lambda;}}\&le;L_C{e}_0+\frac{L_C{a}_2(1-e^{(a_1-\mathrm{\&lambda;})P})(b_1+b_{2}P)e_0}{(\mathrm{\&lambda;}-a_1)(1-(\left|\right|\left(I-\mathrm{\&Gamma;}\tilde{C}{\tilde{B}}_f\right)\left|\right|+b_1{a}_3\frac{1-e^{-\mathrm{\&lambda;}P}}{\mathrm{\&lambda;}}+b_2{a}_3{\left(\frac{1-e^{-\mathrm{\&lambda;}P}}{\mathrm{\&lambda;}}\right)}^2\left)\right)}---\left(14\right)$

其中 $a_1=\left|\right|(\tilde{A}-L\tilde{C})\left|\right|+{\mathrm{\&alpha;}}_3,a_2=\left|\right|{\tilde{B}}_f\left|\right|,b_2=\left|\right|\mathrm{\&Psi;}\tilde{C}|,L_C=|\left|\tilde{C}\right||,b_1=||\mathrm{\&Gamma;}\tilde{C}(\tilde{A}-L\tilde{C})+\mathrm{\&Phi;}\tilde{C}||+{\mathrm{\&alpha;}}_3|\left|\mathrm{\&Gamma;}\tilde{C}\right||;$

由式(13)可得

$e\left(t\right)=e(t_n-P)+{\&Integral;}_{t_n-P}^{t_n}\&lsqb;(\tilde{A}-L\tilde{C})e\left(\mathrm{\&tau;}\right)+{\tilde{B}}_f{\mathrm{\&delta;f}}_k\left(\mathrm{\&tau;}\right)+g_3\left(\tilde{x}\right(\mathrm{\&tau;}),\mathrm{\&tau;})-g_3\left(\hat{\tilde{x}}\right(\mathrm{\&tau;}),\mathrm{\&tau;})\&rsqb;d\mathrm{\&tau;}---\left(15\right)$

式(15)等式两边取范数可得

$\begin{array}{c}\left|\right|e\left(t\right)\left|\right|\&le;\left|\right|e(t_n-P)\left|\right|+{\&Integral;}_{t_n-P}^{t_n}\left|\right|(\tilde{A}-L\tilde{C})\left|\right|\&CenterDot;\left|\right|e\left(\mathrm{\&tau;}\right)\left|\right|d\mathrm{\&tau;}+{\&Integral;}_{t_n-P}^{t_n}\left|\right|{\tilde{B}}_f\left|\right|\left|\right|{\mathrm{\&delta;f}}_k\left(\mathrm{\&tau;}\right)\left|\right|d\mathrm{\&tau;}\\ +{\&Integral;}_{t_n-P}^{t_n}\left|\right|\&lsqb;g_3\left(\tilde{x}\right(\mathrm{\&tau;}),\mathrm{\&tau;})-g_3\left(\hat{\tilde{x}}\right(\mathrm{\&tau;}),\mathrm{\&tau;})\&rsqb;\left|\right|d\mathrm{\&tau;}\end{array}---\left(16\right)$

由于g₃满足Lipschitz条件，则式(16)可转换为

$\left|\right|e\left(t\right)\left|\right|\&le;e_0+a_1{\&Integral;}_{t_n-P}^{t_n}\left|\right|e\left(\mathrm{\&tau;}\right)\left|\right|d\mathrm{\&tau;}+a_2{\&Integral;}_{t_n-P}^{t_n}\left|\right|{\mathrm{\&delta;f}}_k\left(\mathrm{\&tau;}\right)\left|\right|d\mathrm{\&tau;}---\left(17\right)$

其中 $a_1=\left|\right|(\tilde{A}-L\tilde{C})\left|\right|+{\mathrm{\&alpha;}}_3,a_2=\left|\right|{\tilde{B}}_f\left|\right|;$ 进一步可得

$\left|\right|e\left(t\right)\left|\right|\&le;e_0{e}^{a_1\&CenterDot;t_n}+a_2{\&Integral;}_{t_n-P}^{t_n}{e}^{a_1(t_n-\mathrm{\&tau;})}\left|\right|{\mathrm{\&delta;f}}_k\left(\mathrm{\&tau;}\right)\left|\right|d\mathrm{\&tau;}---\left(18\right)$

同理易得

${\&Integral;}_{t_n-P}^{t_n}\left|\right|e\left(s\right)\left|\right|ds\&le;e_0{e}^{a_1\&CenterDot;t_n}P+a_2{\&Integral;}_{t_n-P}^{t_n}{\&Integral;}_{t_n-P}^s{e}^{a_1(t_n-\mathrm{\&tau;})}\left|\right|{\mathrm{\&delta;f}}_k\left(\mathrm{\&tau;}\right)\left|\right|d\mathrm{\&tau;}ds---\left(19\right)$

由式(11)和式(13)可知

${\hat{f}}_{k+1}\left(t\right)={\hat{f}}_k\left(t\right)+\mathrm{\&Gamma;}\tilde{C}{\stackrel{\&CenterDot;}{e}}_k\left(t\right)+\mathrm{\&Phi;}\tilde{C}{e}_k\left(t\right)+\mathrm{\&Psi;}\tilde{C}{\&Integral;}_{t_n-P}^{t_n}{e}_k\left(\mathrm{\&tau;}\right)d\mathrm{\&tau;}---\left(20\right)$

式(20)等式两边同时减f(t)可得

${\mathrm{\&delta;f}}_{k+1}\left(t\right)={\mathrm{\&delta;f}}_k\left(t\right)-\mathrm{\&Gamma;}\tilde{C}{\stackrel{\&CenterDot;}{e}}_k\left(t\right)-\mathrm{\&Phi;}\tilde{C}{e}_k\left(t\right)-\mathrm{\&Psi;}\tilde{C}{\&Integral;}_{t_n-P}^{t_n}{e}_k\left(\mathrm{\&tau;}\right)d\mathrm{\&tau;}---\left(21\right)$

由式(21)和(15)得

$\begin{array}{c}{\mathrm{\&delta;f}}_{k+1}\left(t\right)={\mathrm{\&delta;f}}_k\left(t\right)-\mathrm{\&Gamma;}\tilde{C}\&lsqb;(\tilde{A}-L\tilde{C})e\left(t\right)+{\tilde{B}}_f{\mathrm{\&delta;f}}_k\left(t\right)+g_3\left(\tilde{x}\right(t),t)-g_3\left(\hat{\tilde{x}}\right(t),t)\&rsqb;\\ -\mathrm{\&Phi;}\tilde{C}{e}_k\left(t\right)-\mathrm{\&Psi;}\tilde{C}{\&Integral;}_{t_n-P}^{t_n}{e}_k\left(\mathrm{\&tau;}\right)d\mathrm{\&tau;}\end{array}---\left(22\right)$

式(22)两边取范数

$\begin{array}{c}\left|\right|{\mathrm{\&delta;f}}_{k+1}\left(t\right)\left|\right|\&le;\left|\right|(I-\mathrm{\&Gamma;}\tilde{C}{\tilde{B}}_f)\left|\right|\left|\right|{\mathrm{\&delta;f}}_k\left(t\right)\left|\right|+\left|\right|\mathrm{\&Gamma;}\tilde{C}\left|\right|\left|\right|g_3\left(\tilde{x}\right(t),t)-g_3\left(\hat{\tilde{x}}\right(t),t)\left|\right|\\ +\left|\right|\mathrm{\&Gamma;}\tilde{C}(\tilde{A}-L\tilde{C})+\mathrm{\&Phi;}\tilde{C}\left|\right|\left|\right|e_k\left(t\right)\left|\right|+\left|\right|\mathrm{\&Psi;}\tilde{C}\left|\right|{\&Integral;}_{t_n-P}^{t_n}\left|\right|e_k\left(\mathrm{\&tau;}\right)\left|\right|d\mathrm{\&tau;}\end{array}---\left(23\right)$

即

$\left|\right|{\mathrm{\&delta;f}}_{k+1}\left(t\right)\left|\right|\&le;\left|\right|(I-\mathrm{\&Gamma;}\tilde{C}{\tilde{B}}_f)\left|\right|\&CenterDot;\left|\right|{\mathrm{\&delta;f}}_k\left(t\right)\left|\right|+b_1\left|\right|e_k\left(t\right)\left|\right|+b_2{\&Integral;}_{t_n-P}^{t_n}\left|\right|e_k\left(\mathrm{\&tau;}\right)\left|\right|d\mathrm{\&tau;}---\left(24\right)$

其中 $b_1=\left(\right|\left|\mathrm{\&Gamma;}\tilde{C}\right(\tilde{A}-L\tilde{C})+\mathrm{\&Phi;}\tilde{C}\left|\right|+{\mathrm{\&alpha;}}_3\&CenterDot;\left|\right|\mathrm{\&Gamma;}\tilde{C}\left|\right|),b_2=|\left|\mathrm{\&Psi;}\tilde{C}\right||;$ 由式(18)，(19)和(24)可得

$\begin{array}{c}\left|\right|{\mathrm{\&delta;f}}_{k+1}\left(t\right)\left|\right|\&le;(b_1+b_{2}P)e_0{e}^{a_1\&CenterDot;t_n}+\left|\right|(I-\mathrm{\&Gamma;}\tilde{C}{\tilde{B}}_f)\left|\right|\left|\right|{\mathrm{\&delta;f}}_k\left(t\right)\left|\right|\\ +b_1{a}_3{\&Integral;}_{t_n-P}^{t_n}\left|\right|{\mathrm{\&delta;f}}_k\left(\mathrm{\&tau;}\right)\left|\right|d\mathrm{\&tau;}+b_2{a}_3{\&Integral;}_{t_n-P}^{t_n}{\&Integral;}_{t_n-P}^s\left|\right|{\mathrm{\&delta;f}}_k\left(t\right)\left|\right|d\mathrm{\&tau;}ds\end{array}---\left(25\right)$

式(25)两端同取λ范数得

||δf_k+1(t)||_λ≤M||δf_k(t)||_λ+(b₁+b₂P)e₀(26)

其中 $M=\left|\right|(I-\mathrm{\&Gamma;}\tilde{C}{\tilde{B}}_f)\left|\right|+b_1{a}_3\frac{1-e^{-\mathrm{\&lambda;}P}}{\mathrm{\&lambda;}}+b_2{a}_3{\left(\frac{1-e^{-\mathrm{\&lambda;}P}}{\mathrm{\&lambda;}}\right)}^2;$ 由条件 $\left|\right|(I-\mathrm{\&Gamma;}\tilde{C}{\tilde{B}}_f)\left|\right|<1$ 可知，只要取足够大的λ就可使得M＜1，则当k→∞时可得：

$\underset{t\&Element;\&lsqb;t_n-P,t_n\&rsqb;}{\underset{k\&RightArrow;\mathrm{\&infin;}}{\lim }}\left|\right|f\left(t\right)-{\hat{f}}_k\left(t\right)|{|}_{\mathrm{\&lambda;}}\&le;\frac{(b_1+b_{2}P)e_0}{1-\left(\left|\right|\left(I-\mathrm{\&Gamma;}\tilde{C}{\tilde{B}}_f\right)\left|\right|+b_1{a}_3\frac{1-e^{-\mathrm{\&lambda;}P}}{\mathrm{\&lambda;}}+b_2{a}_3{\left(\frac{1-e^{-\mathrm{\&lambda;}P}}{\mathrm{\&lambda;}}\right)}^2\right)}---\left(27\right)$

对(18)取λ范数得

$\left|\right|e\left(t\right)|{|}_{\mathrm{\&lambda;}}\&le;e_0+\frac{1-e^{(a_1-\mathrm{\&lambda;})P}}{\mathrm{\&lambda;}-a_1}{a}_2|\left|{\mathrm{\&delta;f}}_k\left(t\right)\right|{|}_{\mathrm{\&lambda;}}---\left(28\right)$

由式(27)得

$\underset{t\&Element;\&lsqb;0,t_n\&rsqb;}{\underset{k\&RightArrow;\mathrm{\&infin;}}{\lim }}\left|\right|\tilde{x}\left(t\right)-{\hat{\tilde{x}}}_k\left(t\right)|{|}_{\mathrm{\&lambda;}}\&le;e_0+\frac{a_2(1-e^{(a_1-\mathrm{\&lambda;})P})(b_1+b_{2}P)e_0}{(\mathrm{\&lambda;}-a_1)(1-(\left|\right|\left(I-\mathrm{\&Gamma;}\tilde{C}{\tilde{B}}_f\right)\left|\right|+b_1{a}_3\frac{1-e^{-\mathrm{\&lambda;}P}}{\mathrm{\&lambda;}}+b_2{a}_3{\left(\frac{1-e^{-\mathrm{\&lambda;}P}}{\mathrm{\&lambda;}}\right)}^2\left)\right)}---\left(29\right)$

进一步扩展系统方程可得

$\underset{t\&Element;\&lsqb;0,t_n\&rsqb;}{\underset{k\&RightArrow;\mathrm{\&infin;}}{\lim }}\left|\right|\tilde{y}\left(t\right)-{\hat{\tilde{y}}}_k\left(t\right)|{|}_{\mathrm{\&lambda;}}\&le;L_C{e}_0+\frac{L_C{a}_2(1-e^{(a_1-\mathrm{\&lambda;})P})(b_1+b_{2}P)e_0}{(\mathrm{\&lambda;}-a_1)(1-(\left|\right|\left(I-\mathrm{\&Gamma;}\tilde{C}{\tilde{B}}_f\right)\left|\right|+b_1{a}_3\frac{1-e^{-\mathrm{\&lambda;}P}}{\mathrm{\&lambda;}}+b_2{a}_3{\left(\frac{1-e^{-\mathrm{\&lambda;}P}}{\mathrm{\&lambda;}}\right)}^2\left)\right)}---\left(30\right)$

其中 $L_C=\left|\right|\tilde{C}\left|\right|;$

在故障重构过程中，对于一个优化周期内的故障诊断情况，若系统存在初始偏差，由于系统(13)是稳定的，故障跟踪估计器也是稳定的，则初始条件引起的响应是衰减的，所以，随着优化周期的不断前进，其初始偏差逐步减小，初始偏差引起的误差最终趋零，即