CN104485965A - 一种基于贪婪算法的自适应压缩感知信号恢复方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开一种基于贪婪算法的自适应压缩感知信号恢复方法，在OMP算法基础上，设计一个判断剩余向量中是否还存在有信号成分的检测器，并通过信号检测理论中的假设检验模型，计算得到检测器，然后通过预设的虚警概率给出检测器的门限，当检测器小于给定的门限时，则可以判断剩余向量中不含有信号成分，此时可以使算法停止迭代，并得到信号的恢复值，否则继续迭代。本发明使用贪婪算法作为信道估计，不依赖信道的多径数；本发明的方法与MDL相比并不需要多次观测，从而节省了通信资源；本发明的方法具有贪婪算法计算量较少的优点，解决了贪婪算法在对稀疏信号恢复的实时性要求较高的问题，以及在信号稀疏度未知问题中的应用。

Description

一种基于贪婪算法的自适应压缩感知信号恢复方法

技术领域

本发明属于信号处理领域，具体涉及一种自适应压缩感知方法。

背景技术

压缩感知是一种处理稀疏向量的信号处理方法，是在本世纪所提出最重要的理论之一。压缩感知技术可以将稀疏信号从比奈奎斯特采样率得到地更少的样本点中恢复出来，即y＝Ax+e，其中，为观测向量，通过观测矩阵对一个k稀疏的信号进行观测，这里观测向量y的维数远小于信号x的维数，m<n，压缩感知技术能够将信号x从观测向量y中恢复出来。根据压缩感知技术，可以使得信号在获取的同时就直接进行压缩，节省了采样的复杂度，同时节省了存储空间。所谓稀疏信号是指信号大部分位置均为零值或很小的值，而较大的值仅占较少的部分。当得到对信号的观测点数后，恢复出原信号的方法主要有BP(Basis Pursui)和贪婪算法(greedy pursuit)。BP算法在恢复性能上有理论的保证，但是在实际中由于它的计算复杂度较高。在一些要求低功耗和高实时性的问题中，不宜采用BP算法。而贪婪算法的优势是实现简单，计算量小。所以，在性能满足要求的情况下，在实际中我们将选择使用贪婪算法作为信号恢复的方法。最典型的一个贪婪算法为，正交匹配追踪算法(OMP)。

OMP算法是一种迭代算法。每次迭代时，将估计出一个原信号非零值的位置。然后将观测向量y由最小二乘法投影到由所确定位置构成的子矩阵张成的空间上，并得到剩余向量r_t为对应补空间上的投影。在下一次迭代时，将上次迭代得到的剩余向量r_t投影至本次迭代包括已经选出的非零值位置S_k所确定的子空间上。对于k稀疏的信号，即信号仅有k个非零值，OMP算法将迭代k次，最终的得到所选出的k个非零值位置所张成子空间的投影，就是信号非零值的估计。

从典型的贪婪算法OMP中可以看，对于k稀疏的信号来说，贪婪算法依次迭代k次，分别估计出k个非零值。如果算法迭代次数多余或少于k，均会导致对信号估计准确性的下降。因此，信号的稀疏度，即非零值的个数，对贪婪算法来说是需要已知的先验信息。在很多实际问题中，信号的稀疏度通常是未知的。

在无线通信中，无线多径信道通常建模为多个延迟冲激函数叠加而成的滤波器，可以将其看作是一个在时间域上近似稀疏的信号。因此，可以利用压缩感知技术来作为信道估计的方法，从而得到更精确的估计效果。在通信系统中，对信号处理的实时性要求较高，所以利用BP算法做为信道估计的恢复算法是不合适的。因此，贪婪算法较适合作为信道估计的恢复算法。然而，由于无线信道是一个时变的信号，所以在估计出信道前，很难得到信道的多径数。换句话说，信道的稀疏度，一般情况下是未知的。因此，并不能直接应用贪婪算法作为信道估计的恢复算法。

在信号稀疏度未知的情况下，采用贪婪算法对信号进行估计的时，可以采取的解决方案为：采用最短描述长度原则(Minimum Description Length)估计出信号的稀疏度，然后由贪婪算法利根据估计出的稀疏度对原信号进行恢复。根据最短描述长度原则，首先需要得到观测向量y的协方差矩阵R的特征值λ₁,λ₂,…,λ_m，这里协方差矩阵R通过样本协方差矩阵(sample covariance matrix)来近似

$R=\frac{1}{N}\underset{i=1}{\overset{N}{\mathrm{\&Sigma;}}}{y}_i{y}_i^T$

其中，y₁,y₂,…,y_N为N次观测得到的观测向量。信号稀疏度的估计则通过下式得到

$\hat{k}=\underset{k\&Element;\{\mathrm{1,2},...,n\}}{\arg \min }\mathrm{MDL}\left(k\right),$

其中，就是通过MDL的方法所估计出的信号稀疏度；

所述MDL(k)由下式给出

$\mathrm{MDL}\left(k\right)=-\log {\left(\frac{\underset{i=k+1}{\overset{m}{\mathrm{\&Pi;}}}{\mathrm{\&lambda;}}_i^{\frac{1}{(m-k)}}}{\frac{1}{(m-k)}\underset{i=k+1}{\overset{m}{\mathrm{\&Sigma;}}}{\mathrm{\&lambda;}}_i}\right)}^{(m-k)n}+\frac{1}{2}k(2m-k)\log n.$

在信道稀疏度未知的情况下，通过MDL最终得到信道估计的方案如图所示。

图1所示稀疏度未知的信道，采用MDL估计信号稀疏度和信号的方案，可以看出对于先利用MDL估计出稀疏度的方法，需要足够多次数的观测信号。这样才能得到相对准确的观测信号的协方差矩阵，以此来估计信号的稀疏度。

由于信道的多径数一般情况下是未知的。采用凸松弛的方法可以在稀疏度未知的情况下对信道进行估计，但该方法计算量过大，不适合作为信道估计的算法。因此，在实际中通常倾向于采用计算量小的贪婪算法。但无线多径信道随着通信环境的变化，是一个时变的信号，所以信道的多径数通常是未知的，即信号的稀疏度未知。因此，并不能直接利用贪婪算法来做多径信道估计。已有的方法是通过MDL先估计出稀疏度，但这种方法的弊端是会占用过多的通信资源，使得信道资源的利用率降低。

在实际的应用中，当压缩感知技术所处理的问题对信号处理的速度要求较高时，采用计算量较大的凸松弛法一般是不合适的。此外，在实际的信号处理问题中，通常信号的稀疏度是未知的，因此，并不能直接利用贪婪算法来做稀疏信号的恢复。基于对稀疏度的依赖，使得贪婪算法在压缩感知技术中，难于直接应用于稀疏度未知的问题中。

发明内容

为解决现有技术的问题，本发明提出一种不依赖信道多径数的基于贪婪算法的自适应压缩感知信号恢复方法。

本发明的技术方案：一种基于贪婪算法的自适应压缩感知信号恢复方法，包括：

S1：将观测矩阵A、观测向量y、噪声方差σ²以及虚警概率P_FA作为输入；

S2：初始化：r₀←y，t←1；

其中，←表示将右边的值赋值给左边，r₀表示初始剩余向量，S₀表示初始支撑集，表示空集，t表示迭代次数；

S3：计算剩余向量r_t-1与观测矩阵A的列之间的内积u_t-1(i)，计算式为： $u_{t-1}\left(i\right)={\mathrm{\&alpha;}}_i^T{r}_{t-1};$

其中，α_i表示观测矩阵A的第i列，(·)^T表示求转置，i表示列标；

S4：在观测矩阵A的所有列中，选出使得内积绝对值最大的列标，并入支撑集S_t，计算式为：S_t←S_t-1∪argmax_i|u_t-1(i)|；

其中，∪表示求并集，argmax_i|u_t-1(i)|表示求出使得u_t-1(i)值最大的i值；

S5：将观测向量y投影至由步骤S4得到的支撑集S_t所确定的列向量张成的补空间得到第t次迭代的剩余向量r_t，计算式为：

其中，表示支撑集S_t所确定的列向量张成的补空间，即投影算子；

S6：将步骤S5得到的剩余向量r_t降维，得到降维后的向量z_t，计算式为：z_t←M_m-tr_t；

其中，M_m-t为一个从剩余向量r_t中任意取m-t个元素的矩阵，m表示观测向量y或剩余向量r的维数，t表示迭代次数；

S7：根据步骤S6得到的向量z_t，计算得到检测器T(z_t)；

S8：根据虚警概率P_FA，计算得到检测门限γ_t；

S9：根据步骤S7得到的检测器T(z_t)以及步骤S8得到的检测门限γ_t，判断剩余向量r_t中仍含有信号成分，则进行步骤S10，否则进行步骤S11；

S10：执行t←t+1，并返回步骤S3继续迭代；

S11：停止迭代，根据选出的支撑集S_t，对输入信号x进行恢复；

进一步地，所述步骤S7根据步骤S6得到的向量z_t，得到检测器T(z_t)具体包括以下分步骤：

S71：提出假设检验模型；

H₀:z_t＝P_m-te

H₁:z_t＝P_m-t(y₀+e)

其中，H₀为真表示剩余向量r_t中不含有任何信号成分，H₁为真表示剩余向量r_t中仍含有信号成分，P_m-t表示从投影算子中任取m-t行所构成的矩阵，z_t为剩余向量r_t降维后的向量，y₀表示观测向量y中不含噪声e的部分；

S72：由步骤S71得到向量z_t分别在H₀和H₁假设条件下的概率密度函数为：

$p(z_t;H_0)=\frac{1}{{\left(2\mathrm{\&pi;}\right)}^{\frac{m-t}{2}}{\det }^{\frac{1}{2}}\left({\mathrm{\&sigma;}}^2{C}_{m-t}\right)}\exp [-\frac{1}{2}{z}_t^T{\left({\mathrm{\&sigma;}}^2{C}_{m-t}\right)}^{-1}{z}_t]$

$p(z_t;{\mathrm{\&theta;}}_t,H_1)=\frac{1}{{\left(2\mathrm{\&pi;}\right)}^{\frac{m-t}{2}}{\det }^{\frac{1}{2}}\left(({\mathrm{\&theta;}}_t+{\mathrm{\&sigma;}}^2)C_{m-t}\right)}\exp [-\frac{1}{2}{z}_t^T{\left(({\mathrm{\&theta;}}_t+{\mathrm{\&sigma;}}^2)C_{m-t}\right)}^{-1}{z}_t]$

其中，p(z_t；H₀)表示向量z_t在H₀假设下的概率密度函数，p(z_t；θ_t,H₁)表示向量z_t在H₁假设下的概率密度函数，表示计算(·)的次方，表示对(·)求行列式之后，再开2次方，σ²表示噪声方差，C_m-t表示一个m-t阶方阵，(·)^T表示求转置，(·)^-1表示求逆；

S73：对步骤S72得到的概率密度函数进行简化运算得到简化后的概率密度函数为：

$p(z_t;{\mathrm{\&theta;}}_t,H_1)=\frac{1}{{\left(2\mathrm{\&pi;}\right)}^{\frac{m-t}{2}}{({\mathrm{\&theta;}}_t+{\mathrm{\&sigma;}}^2)}^{\frac{m-t}{2}}{\left(\underset{i=1}{\overset{m-t}{\mathrm{\&Pi;}}}{\mathrm{\&lambda;}}_i\right)}^{\frac{1}{2}}}\exp [-\frac{1}{2({\mathrm{\&theta;}}_t+{\mathrm{\&sigma;}}^2)}{z}_t^T{C}_{m-t}^{-1}{z}_t]$

$p(z_t;H_0)=\frac{1}{{\left(2\mathrm{\&pi;}\right)}^{\frac{m-t}{2}}{\left({\mathrm{\&sigma;}}^2\right)}^{\frac{m-t}{2}}{\left(\underset{i=1}{\overset{m-t}{\mathrm{\&Pi;}}}{\mathrm{\&lambda;}}_i\right)}^{\frac{1}{2}}}\exp [-\frac{1}{{2\mathrm{\&sigma;}}^2}{z}_t^T{C}_{m-t}^{-1}{z}_t];$

其中，表示求算术平方根，表示i从1到m-t逐次递增对λ_i连乘求积，λ_i表示观测向量y的协方差矩阵的特征值；

S74：对步骤S73得到的概率密度函数p(z_t；θ_t,H₁)中所含有未知参数θ_t采用最大似然进行估计，得到参数θ_t的最大似然估计值：

$\left(\mathrm{MLE}\right){\widehat{\mathrm{\&theta;}}}_t=\frac{z_t^T{C}_{m-t}^{-1}{z}_t}{m-t}-{\mathrm{\&sigma;}}^2;$

其中，MLE表示极大似然估计，表示θ_t的估计值；

S75：根据最大似然估计得到的简化后的p(z_t；H₀)以及简化后的p(z_t；θ_t,H₁)，采用GLRT方法，得到检测器T(z_t)，计算式为：

进一步地，步骤S8根据虚警概率P_FA，得到检测门限γ_t，具体包括：根据给定的虚警概率P_FA，得到判决门限γ_t为：

${\mathrm{\&gamma;}}_t=\left\{\begin{array}{cc}{\mathrm{\&sigma;}}^2{\left[Q^{-1}(P_{\mathrm{FA}}/2)\right]}^2,& m-t=1\\ {2\mathrm{\&sigma;}}^2{a}_t,& m-t>1\end{array}\right.$

其中，σ²表示噪声方差，Q^-1表示Q函数的反函数，a_t是一个标量，表示第t次迭代所确定的门限γ_t所对应的值；

所述a_t的具体算法为：在定点迭代式中存在a_r+1＝f(a_r)，通过迭代计算，当a_r+1和a_r之间的差值小于给定门限的时候，此时就将a_r+1作为贪婪算法第t次迭代需要得到的a_t；

所述a_r利用下式定点迭代求出：

其中，a_r+1表示定点迭代函数，(·)！表示求阶乘，k表示信号稀疏度；

更进一步地，所述检测器T(z_t)，如果满足T(z_t)>γ_t，判断H₁为真，剩余向量r_t中仍含有信号成分，否则判断H₀为真，剩余向量r_t中不含有任何信号成分。

本发明的有益效果：1、本发明提出一种基于贪婪算法的自适应压缩感知信号恢复方法，使用贪婪算法作为信道估计，不依赖信道的多径数；

2、本发明的方法与MDL相比并不需要多次观测，从而节省了通信资源；

3、本发明的方法具有贪婪算法计算量较少的优点，解决了贪婪算法在对稀疏信号恢复的实时性要求较高的问题，以及在信号稀疏度未知问题中的应用。

附图说明

图1是稀疏度未知的信道，采用MDL估计信号稀疏度和信号的方案。

图2是本发明提供的DOMP算法流程图。

具体实施方式

本发明的思想为：基于贪婪算法的自适应压缩感知信号恢复方法在OMP算法基础上，设计一个判断剩余向量r_t中是否还存在有信号成分的检测器T(z_t)；通过信号检测理论中的假设检验模型，计算得出检测器T(z_t)；并通过虚警概率P_FA得到检测器T(z_t)的门限γ_t；当检测器T(z_t)小于某个给定的门限γ_t时，即T(z_t)≤γ_t，则此时可以判断剩余向量中不含有信号成分，则算法停止迭代，并得到信号的恢复值；下面是本发明所提出的基于贪婪算法的自适应压缩感知信号恢复方法，称为Detection-based Orthogonal Matching Pursuit，DOMP，该算法方案的流程如图2所示，具体步骤如下：

S1：将观测矩阵A、观测向量y、噪声方差σ²以及虚警概率P_FA作为输入；

S2：初始化：r₀←y，t←1；

其中，←表示将右边的值赋值给左边，r₀表示初始剩余向量，S₀表示初始支撑集，表示空集，t表示迭代次数；

S3：计算剩余向量r_t-1与观测矩阵A的列之间的内积u_t-1(i)，计算式为： $u_{t-1}\left(i\right)={\mathrm{\&alpha;}}_i^T{r}_{t-1};$

其中，α_i表示观测矩阵A的第i列，(·)^T表示求转置，i表示列标；

S4：在观测矩阵A的所有列中，选出使得内积绝对值最大的列标，并入支撑集S_t，计算式为：S_t←S_t-1∪argmax_i|u_t-1(i)|；

其中，∪表示求并集，argmax_i|u_t-1(i)|表示求出使得u_t-1(i)值最大的i值；

S5：将观测向量y投影至由步骤S4得到的支撑集S_t所确定的列向量张成的补空间得到第t次迭代的剩余向量r_t，计算式为：

其中，表示支撑集S_t所确定的列向量张成的补空间，即投影算子；

所述S_t是算法在第t次迭代时确定的支撑集，它的补集就用来表示；

S6：将步骤S5得到的剩余向量r_t降维，得到降维后的向量z_t，计算式为：z_t←M_m-tr_t；

其中，M_m-t为一个从剩余向量r_t中任意取m-t个元素的矩阵，m表示观测向量y或剩余向量r_t的维数，即表示所述观测向量y和剩余向量r_t的维数相同，均为m，t表示迭代次数；

S7：根据步骤S6得到的向量z_t，计算得到检测器T(z_t)；

S8：根据虚警概率P_FA，计算得到检测门限γ_t；

S9：根据步骤S7得到的检测器T(z_t)以及步骤S8得到的检测门限γ_t，判断剩余向量r_t中仍含有信号成分，则进行步骤S10，否则进行步骤S11；

S10：执行t←t+1，并返回步骤S3继续迭代；

S11：停止迭代，根据选出的支撑集S_t，对输入信号x进行恢复。

所述步骤S7由向量z_t，计算得到检测器T(z_t)具体为：

本发明中的判断算法停止迭代的检测器，由下面的假设检验模型得到，

H₀:z_t＝P_m-te

H₁:z_t＝P_m-t(y₀+e)

其中，P_m-t为投影矩阵降维后的矩阵，z_t为降维后的向量，现在如果我们判断出H₀为真，则表示剩余向量中不含有任何信号成分，算法可以停止迭代，容易得到在H₀和H₁两种假设下，m-t维随机向量z_t的概率密度函数分别为

$p(z_t;H_0)=\frac{1}{{\left(2\mathrm{\&pi;}\right)}^{\frac{m-t}{2}}{\det }^{\frac{1}{2}}\left({\mathrm{\&sigma;}}^2{C}_{m-t}\right)}\exp [-\frac{1}{2}{z}_t^T{\left({\mathrm{\&sigma;}}^2{C}_{m-t}\right)}^{-1}{z}_t]$

$p(z_t;{\mathrm{\&theta;}}_t,H_1)=\frac{1}{{\left(2\mathrm{\&pi;}\right)}^{\frac{m-t}{2}}{\det }^{\frac{1}{2}}\left(({\mathrm{\&theta;}}_t+{\mathrm{\&sigma;}}^2)C_{m-t}\right)}\exp [-\frac{1}{2}{z}_t^T{\left(({\mathrm{\&theta;}}_t+{\mathrm{\&sigma;}}^2)C_{m-t}\right)}^{-1}{z}_t];$

其中，且P_m-t表示从投影算子中任取m-t行所构成的矩阵，式中所以它的特征值分解和奇异值分解相同，并且它是一个满秩的方阵，将其做奇异值分解为C_m-t＝VΛ_m-tV^-1，Λ_m-t为C_m-t的特征值构成的对角阵，容易验证，V^T＝V^-1。下面分别对协方差矩阵求行列式和求逆做简化；

将C_m-t＝VΛ_m-tV^-1带入行列式，得

$\begin{array}{c}{\det }^{1/2}\left(({\mathrm{\&theta;}}_t+{\mathrm{\&sigma;}}^2)C_{m-t}\right)={({\mathrm{\&theta;}}_t+{\mathrm{\&sigma;}}^2)}^{\frac{m-t}{2}}{\det }^{\frac{1}{2}}\left({\mathrm{V\&Lambda;}}_{m-t}{V}^T\right)\\ ={({\mathrm{\&theta;}}_t+{\mathrm{\&sigma;}}^2)}^{\frac{m-t}{2}}{\left(\underset{i=1}{\overset{m-t}{\mathrm{\&Pi;}}}{\mathrm{\&lambda;}}_i\right)}^{\frac{1}{2}}\end{array};$

其中，表示对(·)求行列式之后，再开2次方，表示i从1到m-t逐次递增对λ_i连乘求积，(·)^T表示求转置，(·)^-1表示求逆；

同时可以方便得到其协方差矩阵的逆矩阵为，

${\left(({\mathrm{\&theta;}}_t+{\mathrm{\&sigma;}}^2)C_{m-t}\right)}^{-1}=\frac{1}{{\mathrm{\&theta;}}_t+{\mathrm{\&sigma;}}^2}{C}_{m-t}^{-1}$

综上得到在H₁假设条件下简化后的概率密度函数，

$p(z_t;{\mathrm{\&theta;}}_t,H_1)=\frac{1}{{\left(2\mathrm{\&pi;}\right)}^{\frac{m-t}{2}}{({\mathrm{\&theta;}}_t+{\mathrm{\&sigma;}}^2)}^{\frac{m-t}{2}}{\left(\underset{i=1}{\overset{m-t}{\mathrm{\&Pi;}}}{\mathrm{\&lambda;}}_i\right)}^{\frac{1}{2}}}\exp [-\frac{1}{2({\mathrm{\&theta;}}_t+{\mathrm{\&sigma;}}^2)}{z}_t^T{C}_{m-t}^{-1}{z}_t]$

类似可以得到在H₀假设条件下简化后的概率密度函数，

$p(z_t;H_0)=\frac{1}{{\left(2\mathrm{\&pi;}\right)}^{\frac{m-t}{2}}{\left({\mathrm{\&sigma;}}^2\right)}^{\frac{m-t}{2}}{\left(\underset{i=1}{\overset{m-t}{\mathrm{\&Pi;}}}{\mathrm{\&lambda;}}_i\right)}^{\frac{1}{2}}}\exp [-\frac{1}{{2\mathrm{\&sigma;}}^2}{z}_t^T{C}_{m-t}^{-1}{z}_t];$

至此，本发明给出了在两种假设H₀和H₁的情况下，剩余向量概率密度函数，由于p(z_t；θ_t,H₁)中含有未知参数θ_t，需要先对θ_t估计，这里采用最大似然估计，得出参数θ_t的最大似然估计值为：

$\left(\mathrm{MLE}\right){\widehat{\mathrm{\&theta;}}}_t=\frac{z_t^T{C}_{m-t}^{-1}{z}_t}{m-t}-{\mathrm{\&sigma;}}^2$

由给出的估计参数和在H₀和H₁下的剩余向量概率密度函数，采用GLRT的方法，经推导化简，由假设检验模型得到的检测器为T(z_t)，如果满足

$T\left(z_t\right)=z_t^T{C}_{m-t}^{-1}{z}_t>{\mathrm{\&gamma;}}_t$

时，则判断H₁为真，换句话说，本次迭代后剩余向量中仍含有信号成分，需要继续迭代；

其中，门限γ_t可通过下面T(z_t)的概率分布和虚警概率得到。

所述步骤S8贪婪算法迭代停止门限具体包括：根据二次型的概率分布的性质，可以得到检测器T(z_t)有下面的分布：

$\frac{T\left(z_t\right)}{{\mathrm{\&sigma;}}^2}=\frac{z_t^T}{\mathrm{\&sigma;}}{C}_{m-t}^{-1}\frac{z_t}{\mathrm{\&sigma;}}~{\mathrm{\&chi;}}_{m-t}^2,H_0$

$\frac{T\left(z_t\right)}{{\mathrm{\&theta;}}_t+{\mathrm{\&sigma;}}^2}=\frac{z_t^T}{\sqrt{{\mathrm{\&theta;}}_t+{\mathrm{\&sigma;}}^2}}{C}_{m-t}^{-1}\frac{z_t}{\sqrt{{\mathrm{\&theta;}}_t+{\mathrm{\&sigma;}}^2}}~{\mathrm{\&chi;}}_{m-t}^2,H_1$

根据 $T\left(z_t\right)=z_t^T{C}_{m-t}^{-1}{z}_t>{\mathrm{\&sigma;}}^2(m-t){\mathrm{\&gamma;}}^{\&prime;\&prime;}={\mathrm{\&gamma;}}_t$ 得到虚警概率P_FA和检测概率P_D，

$P_{\mathrm{FA}}=P\{T\left(z_t\right)>{\mathrm{\&gamma;}}^{\&prime;\&prime;\&prime;};H_0\}=P\{\frac{T\left(z_t\right)}{{\mathrm{\&sigma;}}^2}>\frac{{\mathrm{\&gamma;}}^{\&prime;\&prime;\&prime;}}{{\mathrm{\&sigma;}}^2};H_0\}=Q_{{\mathrm{\&chi;}}_{m-t}^2}\left(\frac{{\mathrm{\&gamma;}}^{\&prime;\&prime;\&prime;}}{{\mathrm{\&sigma;}}^2}\right)$

$P_D=P\{T\left(z_t\right)>{\mathrm{\&gamma;}}^{\&prime;\&prime;\&prime;};H_1\}=P\{\frac{T\left(z_t\right)}{{\mathrm{\&theta;}}_t+{\mathrm{\&sigma;}}^2}>\frac{{\mathrm{\&gamma;}}^{\&prime;\&prime;\&prime;}}{{\mathrm{\&theta;}}_t+{\mathrm{\&sigma;}}^2};H_1\}=Q_{{\mathrm{\&chi;}}_{m-t}^2}\left(\frac{{\mathrm{\&gamma;}}^{\&prime;\&prime;\&prime;}}{{\mathrm{\&theta;}}_t+{\mathrm{\&sigma;}}^2}\right)$

由给定虚警概率的计算方法，得到相应的判决门限，当根据应用的需要，给定一个虚警概率P_FA，此时的判决门限γ_t将由下式计算得到，

${\mathrm{\&gamma;}}_t=\left\{\begin{array}{cc}{\mathrm{\&sigma;}}^2{\left[Q^{-1}(P_{\mathrm{FA}}/2)\right]}^2,& m-t=1\\ {2\mathrm{\&sigma;}}^2{a}_t,& m-t>1\end{array}\right.$

所述a_t的具体算法为：在定点迭代式中存在a_r+1＝f(a_r)，通过迭代计算，当a_r+1和a_r之间的差值小于给定门限的时候，此时就将a_r+1作为贪婪算法第t次迭代需要得到的a_t；

其中，a_r利用下式由定点迭代求出：

根据步骤S4得到的支撑集S_t和最小二乘法对输入信号x进行恢复，

$\hat{x}=\left\{\begin{array}{c}{\hat{x}}_S={\arg \min }_x{\left|\right|y-A_{S_t}x\left|\right|}_{l_2}\\ {\hat{x}}_{{\stackrel{\&OverBar;}{S}}_t}=0\end{array}\right.$

其中，表示恢复出的输入信号，表示求使得最小的x的值，表示向量l₂范数，α为任意的向量，表示在矩阵A中由下标集S_t所选出的列构成的子矩阵，表示在向量中由支撑集S_t的补集所确定的元素。

综上本发明提出的一种基于贪婪算法的自适应压缩感知信号恢复方法，使用贪婪算法作为信道估计，不依赖信道的多径数，同时，与MDL相比并不需要多次观测，从而节省了通信资源，加上贪婪算法计算量较少的优点，解决了贪婪算法在对稀疏信号恢复的实时性要求较高的问题，以及在信号稀疏度未知问题中的应用。

本领域的普通技术人员将会意识到，这里所述的实施例是为了帮助读者理解本发明的原理，应被理解为本发明的保护范围并不局限于这样的特别陈述和实施例。对于本领域的技术人员来说，本发明可以有各种更改和变化。凡在本发明的精神和原则之内，所作的任何修改、等同替换、改进等，均应包含在本发明的权利要求范围之内。

Claims (6)

1.一种基于贪婪算法的自适应压缩感知信号恢复方法，其特征在于，包括以下步骤：

S1：将观测矩阵A、观测向量y、噪声方差σ²以及虚警概率P_FA作为输入；

S2：初始化：r₀←y，t←1；

其中，←表示将右边的值赋值给左边，r₀表示初始剩余向量，S₀表示初始支撑集，表示空集，t表示迭代次数；

S3：计算剩余向量r_t-1与观测矩阵A的列之间的内积u_t-1(i)，计算式为： $u_{t-1}\left(i\right)={\mathrm{\&alpha;}}_i^T{r}_{t-1};$

其中，α_i表示观测矩阵A的第i列，(·)^T表示求转置，i表示列标；

S4：在观测矩阵A的所有列中，选出使得内积绝对值最大的列标，并入支撑集S_t，S_t←S_t-1∪arg max_i|u_t-1(i)|；

其中，∪表示求并集，arg max_i|u_t-1(i)|表示求出使得u_t-1(i)值最大的i值；

S5：将观测向量y投影至由步骤S4得到的支撑集S_t所确定的列向量张成的补空间得到第t次迭代的剩余向量r_t，计算式为：

其中，表示支撑集S_t所确定的列向量张成的补空间，即投影算子；

S6：将步骤S5得到的剩余向量r_t降维，得到降维后的向量z_t，计算式为：z_t←M_m-tr_t；

其中，M_m-t为一个从剩余向量r_t中任意取m-t个元素组成的矩阵，m表示观测向量y或剩余向量r_t的维数；

S7：根据步骤S6得到的向量z_t，计算得到检测器T(z_t)；

S8：根据虚警概率P_FA，计算得到检测门限γ_t；

S9：根据步骤S7得到的检测器T(z_t)以及步骤S8得到的检测门限γ_t，判断剩余向量r_t中仍含有信号成分，则进行步骤S10，否则进行步骤S11；

S10：执行t←t+1，并返回步骤S3继续迭代；

S11：停止迭代，根据选出的支撑集S_t，对输入信号x进行恢复。

2.根据权利要求1的一种基于贪婪算法的自适应压缩感知信号恢复方法，其特征在于，所述步骤S7根据步骤S6得到的向量z_t，得到检测器T(z_t)具体包括以下分步骤：

S71：提出假设检验模型；

H₀:z_t＝P_m-te

H₁:z_t＝P_m-t(y₀+e)

其中，H₀为真表示剩余向量r_t中不含有任何信号成分，H₁为真表示剩余向量r_t中仍含有信号成分，P_m-t表示从投影算子中任取m-t行所构成的矩阵，z_t为剩余向量r_t降维后的向量，y₀表示观测向量y中不含噪声e的部分；

S72：由步骤S71得到向量z_t分别在H₀和H₁假设条件下的概率密度函数为：

$p(z_t;H_0)=\frac{1}{{\left(2\mathrm{\&pi;}\right)}^{\frac{m-t}{2}}{\det }^{\frac{1}{2}}\left({\mathrm{\&sigma;}}^2{C}_{m-t}\right)}\exp [-\frac{1}{2}{z}_t^T{\left({\mathrm{\&sigma;}}^2{C}_{m-t}\right)}^{-1}{z}_t],$

$p(z_t;{\mathrm{\&theta;}}_t,H_1)=\frac{1}{{\left(2\mathrm{\&pi;}\right)}^{\frac{m-t}{2}}{\det }^{\frac{1}{2}}\left(({\mathrm{\&theta;}}_t+{\mathrm{\&sigma;}}^2)C_{m-t}\right)}\exp [-\frac{1}{2}{z}_t^T{\left(({\mathrm{\&theta;}}_t+{\mathrm{\&sigma;}}^2)C_{m-t}\right)}^{-1}{z}_t];$

其中，p(z_t；H₀)表示向量z_t在H₀假设下的概率密度函数，p(z_t；θ_t,H₁)表示向量z_t在H₁假设下的概率密度函数，表示计算(·)的次方，表示对(·)求行列式之后，再开2次方，σ²表示噪声方差，C_m-t表示一个m-t阶方阵，(·)^T表示求转置，(·)^-1表示求逆；

S73：对步骤S72得到的概率密度函数进行简化运算得到简化后的概率密度函数为：

$p(z_t;{{\mathrm{\&theta;}}_t,H}_1)=\frac{1}{{\left(2\mathrm{\&pi;}\right)}^{\frac{m-t}{2}}{\left({{\mathrm{\&theta;}}_t+\mathrm{\&sigma;}}^2\right)}^{\frac{m-t}{2}}{\left(\underset{i=1}{\overset{m-t}{\mathrm{\&Pi;}}}{\mathrm{\&lambda;}}_i\right)}^{\frac{1}{2}}}\exp [-\frac{1}{2({\mathrm{\&theta;}}_t+{\mathrm{\&sigma;}}^2)}{z}_t^T{C}_{m-t}^{-1}{z}_t],$

$p(z_t;H_0)=\frac{1}{{\left(2\mathrm{\&pi;}\right)}^{\frac{m-t}{2}}{\left({\mathrm{\&sigma;}}^2\right)}^{\frac{m-t}{2}}{\left(\underset{i=1}{\overset{m-t}{\mathrm{\&Pi;}}}{\mathrm{\&lambda;}}_i\right)}^{\frac{1}{2}}}\exp [-\frac{1}{2{\mathrm{\&sigma;}}^2}{z}_t^T{C}_{m-t}^{-1}{z}_t];$

其中，表示求算术平方根，表示i从1到m-t逐次递增对λ_i连乘求积，λ_i表示观测向量y的协方差矩阵的特征值；

S74：对步骤S73得到的概率密度函数p(z_t；θ_t,H₁)中所含有未知参数θ_t采用最大似然进行估计，得到参数θ_t的最大似然估计值：

$\left(\mathrm{MLE}\right){\widehat{\mathrm{\&theta;}}}_t=\frac{z_t^T{C}_{m-t}^{-1}{z}_t}{m-t}-{\mathrm{\&sigma;}}^{2;}$

其中，MLE表示极大似然估计，表示θ_t的估计值；

S75：根据最大似然估计得到的简化后的p(z_t；H₀)以及简化后的p(z_t；θ_t,H₁)，采用GLRT方法，得到检测器T(z_t)，计算式为：

3.根据权利要求1的一种基于贪婪算法的自适应压缩感知信号恢复方法，其特征在于，所述步骤S8根据虚警概率P_FA，得到检测门限γ_t，具体包括：根据给定的虚警概率P_FA，得到判决门限γ_t为：

${\mathrm{\&gamma;}}_t=\left\{\begin{array}{cc}{\mathrm{\&sigma;}}^2{\left[Q^{-1}(P_{\mathrm{FA}}/2)\right]}^2,& m-t=1\\ 2{\mathrm{\&sigma;}}^2{a}_t,& m-t>1\end{array}\right.;$

其中，σ²表示噪声方差，Q^-1表示Q函数的反函数，a_t是一个标量，表示第t次迭代所确定的门限γ_t所对应的值；

所述a_t的具体算法为：在定点迭代式中存在a_r+1＝f(a_r)，通过迭代计算，当a_r+1和a_r之间的差值小于给定门限的时候，将a_r+1作为贪婪算法第t次迭代需要得到的a_t；

所述a_r利用下式定点迭代求出：

其中，a_r+1表示定点迭代函数，(·)！表示求阶乘，k表示信号稀疏度。

4.根据权利要求3的一种基于贪婪算法的自适应压缩感知信号恢复方法，其特征在于，所述信号稀疏度k，由MDL算法估计得到。

5.根据权利要求1的一种基于贪婪算法的自适应压缩感知信号恢复方法，其特征在于，所述步骤S11根据选出的支撑集S_t，对输入信号进行恢复具体为：根据最小二乘法对输入信号x进行恢复， $\hat{x}=\left\{\begin{array}{c}{\hat{x}}_S=\arg {\min }_x{\left|\right|y-A_{S_t}x\left|\right|}_{l_2}\\ {\hat{x}}_{\stackrel{\&OverBar;}{S_t}}=0\end{array}\right.;$

其中，表示恢复出的输入信号，表示求使得最小的x的值，表示向量l₂范数，α为任意的向量，表示在矩阵A中由下标集S_t所选出的列构成的子矩阵，表示在向量中由支撑集S_t的补集所确定的元素。

6.根据权利要求1至5任意的一种基于贪婪算法的自适应压缩感知信号恢复方法，其特征在于，所述检测器T(z_t)，如果满足T(z_t)>γ_t，判断H₁为真，剩余向量r_t中仍含有信号成分，否则判断H₀为真，剩余向量r_t中不含有任何信号成分。