CN104463765A - 基于稀疏基受控的图像压缩感知与图像加密的方法 - Google Patents

Abstract

一种基于稀疏基受控的图像压缩感知与图像加密的方法，用阶数作为密钥控，制分数小波变换稀疏基的生成，然后用稀疏基对图像进行稀疏表示，得到图像的低频系数矩阵和高频系数矩阵；根据系数矩阵稀疏度构造出相应测量次数的测量矩阵，测量稀疏系数得到压缩和加密的图像。为了增加加密算法的安全性，用加权组合的分数Chen混沌序列对测量值置乱得到密文。本发明既结合了分数小波变换，又结合了分数Chen混沌置乱，充分利用了分数阶性和分数混沌序列的非线性特性。在实现图像压缩的同时对图像进行加密，能有效克服图像传输时数据量大的困难和防止图像信息泄露。

Description

基于稀疏基受控的图像压缩感知与图像加密的方法

技术领域

本发明专利属于信息安全技术领域，特别涉及图像压缩加密技术。

背景技术

图像加密技术是利用数字图像的矩阵特征，在图像的空间域(或变换域)，按某种变换规则，改变像素(或变换域系数)的位置(或值)，将有意义的原始图像变得“杂乱无章”，使其失去原有外观，变换成类似于信道随机噪声的信息，而授权的接收方可用预先约定的密钥和解密方法，对变换图像进行解密而得到原图像。然而图像的数据量一般都是比较大，信息冗余度高不利于数据的传输。为了减少网络传输数据量，图像需经过压缩进入信道传输，图像在加密时破坏了像素之间的相关性，降低了压缩率。为了解决加密图像传输问题，可将图像压缩与加密有效融合，一步实现。这样既可以提高加密效率也可以提高传输效率，具有很高的实用价值。

近年来，压缩感知(CS)在信息处理领域被广泛应用，压缩感知理论是在2006年，由Candés和Donoho提出的，该理论在采样的同时实现压缩的目的。其核心思想是利用信息空间结构，将压缩与采样合并进行，突破了香农采样定理的瓶颈，可以减少采样点数，大大减少数据量。假定长度为n的信号X，在稀疏基上表示为：X＝Ψα，Ψ为正交矩阵，α＝Ψ^TX，其中α向量中只有K个非零值，则信号X是稀疏的。根据CS理论，若存在一个与Ψ不相关的M×N的变换基Φ，M＜＜N，稀疏系数α投影在Φ上得到M个投影值，y＝Φα，上述过程完成了对信号x的低速采样和压缩。压缩感知理论主要包括信号的稀疏表示、编码测量和重构算法。

基于压缩感知理论的图像加密和压缩新算法被陆续提出。A Orsdemir等在IEEE军事会议上提出了基于压缩感知理论的鲁棒加密概念。AA Kumar和A Makur在2009年基于压缩感知技术实现了对加密图像的有损压缩，并给出了联合解压缩和解密方法。2011年，日本九州大学Rong Huang和K SaKurai等将压缩感知技术与Arnold变换相结合，提出了鲁棒的数字图像加密方法。2012年卢佩等将压缩感知与双随机相位编码结合，将测量矩阵视为密钥，先用压缩感知对图像进行一次压缩和加密，再用双随机相位编码对压缩加密后的图像进行相位编码，第二次加密时使用的相位掩模得到减小。2014年，周南润等提出了密钥控制测量矩阵产生的图像压缩加密耦合方法，该方法一步实现图像压缩和加密，减少了密钥的消耗量。

现有基于压缩感知的图像加密算法几乎都是用测量矩阵作为加密密钥，然而构造出既能满足约束等距性条件又可用于加密的测量矩阵相对比较困难。为了克服这种缺陷，在保证信息安全性的前提下，本发明专利提出了基于密钥控制稀疏基的图像压缩与加密融合方案。该方法可采用较少的密钥控制稀疏基的生成，达到在提供较强的安全性的同时完成对图像的压缩和加密同步进行。

发明内容

本发明的目的之一是提出基于稀疏基受控的图像压缩加密的新方法。

本发明的另一个目的是将压缩感知与分数小波变换相结合，实现同时完成图像压缩和加密，降低系统实现的复杂性，提高系统的安全性。

本发明是通过以下技术方案实现的：

(1)图像通过基于密钥控制分数小波稀疏基的压缩感知处理，实现对图像数据的压缩和加密一步操作，为了增加系统安全性，构造分数Chen混沌加密序列，对加密图像再次置乱。

(2)为了实现压缩和加密，先要对图像进行压缩感知处理。假定图像x为N×N，在稀疏基上表示为：x＝Ψα，Ψ为正交矩阵，α＝Ψ^Tx，其中α向量中只有K个非零值，则信号x是稀疏的。根据CS理论，若存在一个与Ψ不相关的M×N的变换基Φ，M＜＜N，稀疏系数α投影在Φ上得到M个投影值，y＝Φα。

步骤一：为了实现压缩感知，稀疏信号要先经过稀疏基的稀疏表示。稀疏基的构造有傅里叶基，离散余弦基还有小波基等，本专利提出用分数小波基Ψ作为稀疏基。

Ψ的设计依据：二维分数傅里叶变换定义为

$F^{{\mathrm{\φ}}_1,{\mathrm{\φ}}_2}\left[f(x,y)\right](x^{\′},y^{\′})=\∫\∫B_{p_1,p_2}(x,y;x^{\′},y^{\′})f(x,y)\mathrm{dxdy}---\left(1\right)$

其中核 $B_{p_1,p_2}(x,y;x^{\′},y^{\′})=B_{p1}(x,x^{\′})B_{p2}(y,y^{\′})$

$\begin{array}{c}{B}_{p_j}(t,t^{\′})=\frac{\exp \{-i[\mathrm{\πsgn}\left(\sin {\mathrm{\φ}}_j\right)/4-{\mathrm{\φ}}_j/2\left]\right\}}{{\left|\mathrm{\λ}{f}_{\mathrm{sj}}\sin {\mathrm{\φ}}_j\right|}^{1/2}}\\ \×\exp (\mathrm{i\π}\frac{t^2+t^{\′2}}{\mathrm{\λ}{f}_{\mathrm{sj}}\tan {\mathrm{\φ}}_j}-2\mathrm{\πi}\frac{{\mathrm{tt}}^{\′}}{\mathrm{\λ}{f}_{\mathrm{sj}}\sin {\mathrm{\φ}}_j})\end{array}j=\mathrm{1,2}---\left(2\right)$

且φ₁＝p₁π/2，φ₂＝p₂π/2，φ₁和φ₂是Wigner域的旋转角，f(x,y)是原始图像。二维分数小波变换的定义为

$\begin{array}{c}W(a_{\mathrm{mn}},\stackrel{\‾}{b})=\∫\∫\∫\∫B_{p_1,p_2}(x,y;x^{\′},y^{\′})f(x,y)\×h_{a_{\mathrm{mn}}\stackrel{\‾}{b}}^{*}(x^{\′},y^{\′})\mathrm{dxdyd}{x}^{\′}d{y}^{\′}\\ =\∫\∫[\∫\∫B_{p_1,p_2}(x,y;x^{\′},y^{\′})f(x,y\left)\mathrm{dxdy}\right]\×h_{a_{\mathrm{mn}}\stackrel{\‾}{b}}^{*}(x^{\′},y^{\′})d{x}^{\′}d{y}^{\′}\\ =\∫\∫\left[F^{{\mathrm{\φ}}_1,{\mathrm{\φ}}_2}\right[f(x,y)\left](x^{\′},y^{\′})\right]\×h_{a_{\mathrm{mn}}\stackrel{\‾}{b}}^{*}(x^{\′},y^{\′})d{x}^{\′}d{y}^{\′}\\ =\∫\∫h_{a_{\mathrm{mn}}\stackrel{\‾}{b}}^{*}(x^{\′},y^{\′})\×\left\{F^{{\mathrm{\φ}}_1,{\mathrm{\φ}}_2}\right[f(x,y)\left](x^{\′},y^{\′})\right\}d{x}^{\′}d{y}^{\′}\end{array}---\left(3\right)$

式(3)中p₁、p₂是对应于x、y方向的分数阶次，f(x,y)为原始图像。其中分数核 $B_{p_1{p}_2}(x,y;x^{\′},y^{\′})=B_{p_1}(x,x^{\′})B_{p_2}(y,y^{\′}).$ a_mn＝(a_m,a_n)是离散缩放矢量， $\stackrel{\‾}{b}=(b_{x^{\′}},b_{y^{\′}})$ 是平移矢量，*表示复共轭。是缩放后和平移后的小波子函数

$h_{a_{\mathrm{mn}}\stackrel{\‾}{b}}(x^{\′},y^{\′})={\left(a_m{a}_n\right)}^{-1/2}h(\frac{x^{\′}-b_{x^{\′}}}{a_m},\frac{y^{\′}-b_{y^{\′}}}{a_n})---\left(4\right)$

当p₁＝p₂＝1时，式(4)就退化为小波变换。分数小波变换基是先经过分数傅里叶变换再经过小波变换得到。选取图像信号x经过分数小波基稀疏可得稀疏系数

步骤二：对稀疏系数进行测量。从信号重建的角度出发，根据等距约束性条件构造测量矩阵Φ∈R^M×N，其中M＜＜N。用Φ对稀疏系数α，进行测量。图像经过分数小波处理得到图像的低频系数和高频系数，且系数的稀疏度不同。有研究表明，小波分解层数对重构结果有着重大影响。分解层次越少重构效果越差，随着分解层数增多重构效果增强。因为低频系数是原图像在不同尺度下的逼近信号，大部分是数值较大的系数，稀疏度很小，可认为是不稀疏的；高频子带只有少量的大系数，可以认为是稀疏的。如果将高低频相同测量就破坏了低频分量系数间的相关性，从而重构效果不佳。为了解决重构效果不佳的问题，要根据稀疏度不同的稀疏系数α＝[ca cd cv ch]进行不同测量次数的测量。在测量矩阵下的线性测量值为y∈R^M，表示为

y＝Φα            (5)

(3)对测量值进行混沌置乱处理以进一步提高加密系统的安全性。分数混沌具有复杂的动力系统，能为图像加密提供更多的自由度。本专利选用分数Chen混沌为置乱系列，其定义为：

$\left\{\begin{array}{c}\frac{d^{\mathrm{\α}}x}{{\mathrm{dt}}^{\mathrm{\α}}}=a(y-x)\\ \frac{d^{\mathrm{\β}}y}{{\mathrm{dt}}^{\mathrm{\β}}}=\mathrm{dx}-\mathrm{xz}+\mathrm{cy}\\ \frac{d^{\mathrm{\γ}}z}{{\mathrm{dt}}^{\mathrm{\γ}}}=\mathrm{xy}-\mathrm{bz}\end{array}\right.---\left(6\right)$

其中α、β、γ为分数阶数；a、b、c和d为混沌参数。根据选取的分数阶数α＝0.97、β＝0.96、γ＝0.95和混沌参数a＝35、b＝3、c＝28和d＝-7，用迭代算法，对方程组迭代求解，得到三组不同的混沌序列{x(k),y(k),z(k)|k＝1,2,3…}，并对序列x(k)、y(k)、z(k)进行加权组合构成相关性更小的置乱序列，即l(k)＝a'x(k)+b'y(k)+c'z(k)。用l(k)对测量值进行置乱。

本发明提出了基于密钥控制压缩感知稀疏基生成的图像加密压缩算法。利用分数小波变换的阶数敏感性，对图像稀疏加密，再用测量矩阵对图像的稀疏系数进行采样压缩，得到加密压缩图像。为提高加密算法的安全性，对测量值用加权组合的分数Chen混沌序列进行置乱加密。该算法密钥空间大，密钥敏感性高，可有效抵抗暴力攻击。压缩加密时间短且操作简单，适合在图像传输前压缩加密处理。另外，该算法可结合密钥控制测量矩阵的加密方法实现图像的多次加密，扩大系统的密钥空间，提高图像置乱效果，增加系统安全性。

附图说明

图1是图像压缩感知的处理过程。

图2是图像的分数小波稀疏过程。

图3是稀疏基受控的图像压缩感知与加密和解密新方法流程图。

具体实施方案

下面结合实施方案和附图对本发明作进一步说明，但不应以此限制本发明的保护范围。

本实施方案基于分数小波变换、压缩感知和分数Chen混沌系统，先用分数小波变换基作为稀疏基对图像f(x,y)稀疏处理，再用M×N的高斯随机矩阵对图像进行测量。用混沌系统对测量后的矩阵进行置乱处理完成图像加密过程。加密及解密过程可用公式表示如下

加密： $\tilde{g}(x,y)=Q\left[\mathrm{\Φ}{{\mathrm{\Ψ}}^T}_{k}f(x,y)\right]---\left(7\right)$

解密： $g(x,y)=\mathrm{\Ψ}\×\mathrm{OMP}(Q^{-1}\left(\tilde{g}(x,y)\right),\mathrm{\Φ})---\left(8\right)$

式中f(x,y)表示原始图像，表示为稀疏基，Φ表示测量矩阵，Q表示二次加密序列，表示密文，g(x,y)表示解密图像。利用加密逆系列Q^-1对首次解密，结合正交匹配追踪重建算法(OMP)和分数小波逆变换对密文进一步解密解压，即可完成解密工作。

具体加密过程分为如下三步：

步骤1选定小波分解尺度k和分数阶次(p₁,p₂)，p₁、p₂的取值范围为(0,1]，控制分数小波变换稀疏基Ψ_k的生成。将大小为N×N的二维图像矩阵f(x,y)在稀疏基Ψ_k中稀疏表示成α，α＝[ca cd cv ch]，其中ca、cd、cv、ch分别表示图像经分数小波变换后的低频系数、对角高频系数、垂直高频系数和水平高频系数，且系数矩阵大小均为N/2×N/2。对图像具体如下处理

对图像进行二维分数傅里叶变换

$F^{{\mathrm{\φ}}_1,{\mathrm{\φ}}_2}\left[f(x,y)\right](x^{\′},y^{\′})=\∫\∫B_{p_1,p_2}(x,y;x^{\′},y^{\′})f(x,y)\mathrm{dxdy}---\left(9\right)$

对进行分解尺度为k的二维离散sym4小波变换

$\begin{array}{c}W(a_{\mathrm{mn}},\stackrel{\‾}{b})=\∫\∫\left({\∫\∫B}_{p_1,p_2}(x,y;x^{\′},y^{\′})f(x,y)\mathrm{dxdy}\right)\×h_{a_{\mathrm{mn}}\stackrel{\‾}{b}}^{*}(x^{\′},y^{\′})d{x}^{\′}d{y}^{\′}\\ =\∫\∫\left(F^{{\mathrm{\φ}}_1,{\mathrm{\φ}}_2}\right[f(x,y)\left](x^{\′},y^{\′})\right)\×h_{a_{\mathrm{mn}}\stackrel{\‾}{b}}^{*}(x^{\′},y^{\′})d{x}^{\′}d{y}^{\′}\\ =\∫\∫h_{a_{\mathrm{mn}}\stackrel{\‾}{b}}^{*}(x^{\′},y^{\′})\×\left\{F^{{\mathrm{\φ}}_1,{\mathrm{\φ}}_2}\right[f(x,y)\left](x^{\′},y^{\′})\right\}d{x}^{\′}d{y}^{\′}\end{array}---\left(10\right)$

得到分数小波分解后的系数α＝[ca cd cv ch]。

如果将高低频系数相同测量就破坏了低频分量系数间的相关性，将导致重构效果不佳。所以在测量时对稀疏系数进行不同测量次数的测量。

步骤2利用统计函数，设置阈值为b，计算出高频系数cd、cv、ch的大于b的稀疏度K_i，i＝1,2,3，根据稀疏度K_i构造相应测量次数为M_i，M_i＝2cK_ilog(N/2K_i)的测量矩阵。此专利选用大小为M_i×N/2，服从(0,2/N)高斯分布的随机高斯矩阵为测量矩阵Φ_i，i＝1,2,3。将Φ_i分别对高频系数I_d＝cd、I_v＝cv、I_h＝ch进行测量得到对应子带的测量值I'_d、I'_v、I'_h。且对低频系数I_a＝ca选用单位矩阵E_I进行测量。测量处理如下

I_a＝E_II_a         (11)

I'_d＝Φ₁I_d          (12)

I'_v＝Φ₂I_v         (13)

I'_h＝Φ₃I_h         (14)其中I_a、I'_d、I_v'、I'_h为经测量后得到的矩阵。将测量得到系数矩阵I_a、I'_d、I_v'、I'_h都按行扫描成一维序列，其长度为m_i，i＝1，m_i＝N/2×N/2；i＝2,3,4，m_i＝M_i×N/2。

步骤3选定分数阶数α＝0.97、β＝0.96、γ＝0.95和混沌参数a＝35、b＝3、c＝28和d＝-7，利用分数Chen混沌方程

$\left\{\begin{array}{c}\frac{d^{\mathrm{\α}}x}{{\mathrm{dt}}^{\mathrm{\α}}}=a(y-x)\\ \frac{d^{\mathrm{\β}}y}{{\mathrm{dt}}^{\mathrm{\β}}}=\mathrm{dx}-\mathrm{xz}+\mathrm{cy}\\ \frac{d^{\mathrm{\γ}}z}{{\mathrm{dt}}^{\mathrm{\γ}}}=\mathrm{xy}-\mathrm{bz}\end{array}\right.---\left(15\right)$

根据迭代原理，产生3组混沌序列{x(k),y(k),z(k)|k＝1,2,3…}，在每组末尾截取长为max(m_i)，i＝1,2,3,4(m_i为步骤2中L_i的长度)的互不相同的混沌序列。利用加权组合方法构造出四列互不同的相关性更小的置乱序列l_i(k)＝a_ix(k)+b_iy(k)+c_iz(k)，i＝1,2,3,4。其中a_i，b_i，c_i，d_i，i＝1,2,3,4是经试验后选定的较佳参数，对每个l_i序列按从小到大的顺序进行排列得到新序列l_i'，记Q_i为得到新序列l′_i后l_i的位置序列。利用得到的位置序列Q₁，Q₂，Q₃，Q₄分别对系数序列I_a、I'_d、I_v'、I'_h进行重排。具体如下

I₁＝I_a(Q₁)          (16)

I₂＝I'_d(Q₂)          (17)

I₃＝I′_v(Q₃)         (18)

I₄＝I'_h(Q₄)         (19)

得到置乱序列I₁，I₂，I₃，I₄，将序列按顺序拼接并置成矩阵C＝[I₁,I₂；I₃,I₄]即加密图像。

解密过程可分为以下三步：首先由密钥控制分数Chen混沌产生逆置乱序列Q′₁、Q'₂、Q′₃、Q'₄，用序列对加密图像进行逆处理得到中间结果，即测量值。然后采用正交匹配追踪算法(OMP)重构信号，得到高频系数。最后利用高频系数和低频系数进行分数小波逆变换，得到解密图像，即：

$\begin{array}{c}f(x,y)=\frac{1}{C}\∫\∫F\{\underset{m}{\mathrm{\Σ}}\underset{n}{\mathrm{\Σ}}\∫\∫\frac{1}{a_m{a}_n}W(a_{\mathrm{mn}},\stackrel{\‾}{b})H(a_{m}u,a_{n}v)\exp (-j2\mathrm{\πu}{b}_{x^{\′}},-j2\mathrm{\π}{b}_{y^{\′}})\×d{b}_{x^{\′}}d{b}_{y^{\′}}\}\×\\ (x^{\′},y^{\′})B_{-p_1,{-p}_2}(x,y;x^{\′},y^{\′}){\mathrm{dx}}^{\′}{\mathrm{dy}}^{\′}\end{array}---\left(20\right)$

其中C为常数。

Claims (3)

1.一种基于稀疏基受控的图像压缩感知与图像加密的方法，其特征是用分数小波变换和分数阶Chen混沌对图像进行加密。

2.根据权利要求1所述的基于稀疏基受控的图像压缩感知与图像加密的方法，其特征是加密过程中用分数小波变换对图像进行稀疏表示，得到不同稀疏度的稀疏系数矩阵同时对图像进行了加密并对每个稀疏矩阵进行对应的测量得到测量后的结果。

3.根据权利要求1所述的基于稀疏基受控的图像压缩感知与图像加密的方法，其特征是按如下步骤实现图像加密和图像解密：

步骤1：选定小波分解尺度k和分数阶次(p₁,p₂)，p₁、p₂的取值范围为(0,1]，控制分数小波变换稀疏基Ψ_k的生成；将大小为N×N的二维图像矩阵f(x,y)在稀疏基Ψ_k中稀疏表示成α，α＝[ca cd cv ch]，其中ca、cd、cv、ch分别表示图像经分数小波变换后的低频系数、对角高频系数、垂直高频系数和水平高频系数，且系数矩阵大小均为N/2×N/2；对图像具体处理如下：

对图像进行二维分数傅里叶变换

$F^{{\mathrm{\φ}}_1,{\mathrm{\φ}}_2}\left[f(x,y)\right](x^{\′},y^{\′})={\∫\∫B}_{p_1,p_2}(x,y;x^{\′},y^{\′})f(x,y)\mathrm{dxdy}---\left(1\right)$

对F^φ1,φ2[f(x,y)](x',y')进行分解尺度为k的二维离散sym4小波变换

$\begin{array}{c}W(a_{\mathrm{mn}},\stackrel{\‾}{b})=\∫\∫(\∫\∫B_{p_1,p_2}(x,y;x^{\′},y^{\′})f(x,y)\mathrm{dxdy})\×h_{a_{\mathrm{mn}}\stackrel{\‾}{b}}^{*}(x^{\′},y^{\′}){\mathrm{dx}}^{\′}{\mathrm{dy}}^{\′}\\ =\∫\∫\left(F^{{\mathrm{\φ}}_1,{\mathrm{\φ}}_2}\right[f(x,y)\left](x^{\′},y^{\′})\right)\×h_{a_{\mathrm{mn}}\stackrel{\‾}{b}}^{*}(x^{\′},y^{\′}){\mathrm{dx}}^{\′}{\mathrm{dy}}^{\′}\\ =\∫\∫h_{a_{\mathrm{mn}}\stackrel{\‾}{b}}^{*}(x^{\′},y^{\′})\×\left(F^{{\mathrm{\φ}}_1,{\mathrm{\φ}}_2}\right[f(x,y)\left](x^{\′},y^{\′})\right){\mathrm{dx}}^{\′}{\mathrm{dy}}^{\′}\end{array}---\left(2\right)$

得到分数小波分解后的系数α＝[ca cd cv ch]；

步骤2：利用统计函数，设置阈值为b，计算出高频系数cd、cv、ch的大于b的稀疏度K_i，i＝1,2,3，根据稀疏度K_i构造相应测量次数为M_i，M_i＝2cK_ilog(N/2K_i)的测量矩阵；选用大小为M_i×N/2，服从(0,2/N)高斯分布的随机高斯矩阵为测量矩阵Φ_i，i＝1,2,3；将Φ_i分别对高频系数I_d＝cd、I_v＝cv、I_h＝ch进行测量得到对应子带的测量值I'_d、I'_v、I'_h；且对低频系数I_a＝ca选用单位矩阵E_I进行测量；测量处理如下：

I_a＝E_II_a  (3)

I'_d＝Φ₁I_d  (4)

I'_v＝Φ₂I_v  (5)

I'_h＝Φ₃I_h  (6)

其中I_a、I'_d、I′_v、I'_h为经测量后得到的矩阵；将测量得到系数矩阵I_a、I'_d、I'_v、I'_h都按行扫描成一维序列，其长度为m_i，i＝1，m_i＝N/2×N/2；i＝2,3,4，m_i＝M_i×N/2；

步骤3：选定分数阶数α＝0.97、β＝0.96、γ＝0.95和混沌参数a＝35、b＝3、c＝28和d＝-7，利用分数Chen混沌方程

$\left\{\begin{array}{c}\frac{d^{\mathrm{\α}}x}{{\mathrm{dt}}^{\mathrm{\α}}}=a(y-x)\\ \frac{d^{\mathrm{\β}}y}{{\mathrm{dt}}^{\mathrm{\β}}}=\mathrm{dx}-\mathrm{xz}+\mathrm{cy}\\ \frac{d^{\mathrm{\γ}}z}{{\mathrm{dt}}^{\mathrm{\γ}}}=\mathrm{xy}-\mathrm{bz}\end{array}\right.---\left(7\right)$

根据迭代原理，产生3组混沌序列{x(k),y(k),z(k)|k＝1,2,3…}，在每组末尾截取长为max(m_i)，i＝1,2,3,4(m_i为步骤2中L_i的长度)的互不相同的混沌序列；利用加权组合方法构造出四列互不同的相关性更小的置乱序列l_i(k)＝a_ix(k)+b_iy(k)+c_iz(k)，i＝1,2,3,4；其中a_i，b_i，c_i，d_i，i＝1,2,3,4是经试验后选定的较佳参数，对每个l_i序列按从小到大的顺序进行排列得到新序列l'_i，记Q_i为得到新序列l'_i后l_i的位置序列；利用得到的位置序列Q₁，Q₂，Q₃，Q₄分别对系数序列I_a、I'_d、I'_v、I'_h进行重排；具体如下：

I₁＝I_a(Q₁)  (8)

I₂＝I'_d(Q₂)  (9)

I₃＝I'_v(Q₃)  (10)

I₄＝I'_h(Q₄)  (11)

得到置乱序列I₁，I₂，I₃，I₄，将序列按顺序拼接并置成矩阵C＝[I₁,I₂；I₃,I₄]即加密图像；

解密过程可分为以下三步：首先由密钥控制分数Chen混沌产生逆置乱序列Q'₁、Q'₂、Q'₃、Q'₄，用序列对加密图像进行逆处理得到中间结果，即测量值；然后采用正交匹配追踪算法(OMP)重构信号，得到高频系数，最后利用高频系数和低频系数进行分数小波逆变换，得到解密图像，即：

$\begin{array}{c}f(x,y)=\frac{1}{C}\∫\∫F\{\underset{m}{\mathrm{\Σ}}\underset{n}{\mathrm{\Σ}}\∫\∫\frac{1}{a_m{a}_n}W(a_{\mathrm{mn}},\stackrel{\‾}{b})H(a_{m}u,a_{n}v)\exp (-j2\mathrm{\πu}{b}_{x^{\′}},-j2\mathrm{\πv}{b}_{y^{\′}})\×{\mathrm{db}}_{x^{\′}}{\mathrm{db}}_{y^{\′}}\}\×\\ (x^{\′},y^{\′})B_{-p_1,-p_2}(x,y;x^{\′},y^{\′}){\mathrm{dx}}^{\′}{\mathrm{dy}}^{\′}\end{array}---\left(22\right)$

其中C为常数。