CN104037764A - 一种雅可比矩阵改变的直角坐标牛顿法潮流计算方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种雅可比矩阵改变的直角坐标牛顿法潮流计算方法，包括以下步骤：原始数据输入和电压初始化；形成节点导纳矩阵；计算功率及电压偏差，求最大不平衡量ΔW_max；形成雅可比矩阵J；解修正方程及修正电压实部e、虚部f；节点及支路数据输出。本发明通过在首次迭代过程采用与以后各次迭代过程不同的雅可比矩阵计算方法，解决了直角坐标牛顿法潮流计算在分析含有小阻抗支路系统时的收敛性问题。采用常规直角坐标牛顿法潮流计算不收敛时，本算法能够可靠收敛，比现有专利技术迭代次数少。由于本发明不仅能有效解决了常规直角坐标牛顿法潮流计算分析含有小阻抗支路系统的收敛性问题，同时也能对正常系统进行潮流计算，没有不良影响。

Description

一种雅可比矩阵改变的直角坐标牛顿法潮流计算方法

技术领域

本发明涉及一种电力系统的直角坐标牛顿法潮流计算方法，特别适合含小阻抗支路系统的潮流计算。

背景技术

电力系统潮流计算是研究电力系统稳态运行的一项基本计算，它根据给定的运行条件和网络结构确定整个网络的运行状态。潮流计算也是其他电力系统分析的基础，如安全分析、暂态稳定分析等都要用到潮流计算。由于具有收敛可靠、计算速度较快及内存需求适中的优点，牛顿法成为当前潮流计算的主流算法。牛顿法分为极坐标形式和直角坐标形式两种算法，其中直角坐标牛顿法潮流计算不需要三角函数计算，计算量相对小一些。

在直角坐标牛顿法潮流计算中，节点i的电压采用直角坐标表示为： ${\stackrel{\·}{V}}_i=e_i+j{f}_i.$

对正常电力网络，牛顿法潮流计算具有良好的收敛性，但遇到含有小阻抗的病态网络时，牛顿法潮流计算就可能发散。电力系统小阻抗支路可分为小阻抗线路和小阻抗变压器支路，在数学模型上线路可以看作变比为1:1的变压器，因此下面分析时仅以小阻抗变压器支路为例分析。小阻抗变压器模型见图1，变压器的非标准变比k位于节点i侧，阻抗位于标准变比侧。变压器阻抗z_ij＝r_ij+jx_ij很小，导纳为

$y_{\mathrm{ij}}=g_{\mathrm{ij}}+{\mathrm{jb}}_{\mathrm{ij}}=\frac{r_{\mathrm{ij}}}{r_{\mathrm{ij}}^2+x_{\mathrm{ij}}^2}-j\frac{x_{\mathrm{ij}}}{r_{\mathrm{ij}}^2+x_{\mathrm{ij}}^2}---\left(1\right)$

由于小阻抗支路l_ij的阻抗很小，支路的电压降也很小，因此变压器两端节点的电压应满足：

$\left\{\begin{array}{c}{e}_i\≈{\mathrm{ke}}_j\\ f_i\≈{\mathrm{kf}}_j\end{array}\right.---\left(2\right)$

如图2所示，现有直角坐标牛顿法潮流计算方法，主要包括以下步骤：

A、原始数据输入和电压初始化

电压初始化采用平启动，即PV节点和平衡节点的电压实部取给定值，PQ节点的电压实部取1.0；所有电压的虚部都取0.0。这里单位采用标幺值。

B、形成节点导纳矩阵

设节点i和节点j原来的自电导与自电纳分别为G_i0、B_i0、G_j0、B_j0，在它们之间增加一条小阻抗支路后的自导纳和互导纳分别为：

$Y_{\mathrm{ii}}=(G_{i0}+\frac{r_{\mathrm{ij}}}{k^2(r_{\mathrm{ij}}^2+x_{\mathrm{ij}}^2)})+j(B_{i0}-\frac{x_{\mathrm{ij}}}{k^2(r_{\mathrm{ij}}^2+x_{\mathrm{ij}}^2)})---\left(3\right)$

$Y_{\mathrm{jj}}=(G_{j0}+\frac{r_{\mathrm{ij}}}{(r_{\mathrm{ij}}^2+x_{\mathrm{ij}}^2)})+j(B_{j0}-\frac{x_{\mathrm{ij}}}{(r_{\mathrm{ij}}^2+x_{\mathrm{ij}}^2)})---\left(4\right)$

$Y_{\mathrm{ij}}=-\frac{r_{\mathrm{ij}}}{k(r_{\mathrm{ij}}^2+x_{\mathrm{ij}}^2)}+j\frac{x_{\mathrm{ij}}}{k(r_{\mathrm{ij}}^2+x_{\mathrm{ij}}^2)}---\left(5\right)$

C、计算功率及电压偏差

功率及电压偏差计算公式为：

$\left\{\begin{array}{c}{\mathrm{\ΔP}}_i=P_{\mathrm{is}}-P_i=P_{\mathrm{is}}-e_i{a}_i-f_i{b}_i\\ {\mathrm{\ΔQ}}_i=Q_{\mathrm{is}}-Q_i=Q_{\mathrm{is}}-f_i{a}_i+e_i{b}_i\\ {{\mathrm{\ΔV}}_i}^2=V_{\mathrm{is}}^2-(e_i^2+{f_i}^2)\end{array}\right.---\left(6\right)$

式中，P_is、Q_is分别为节点i给定的注入有功功率和无功功率；V_is为节点i给定的电压幅值；a_i、b_i分别为节点i的计算注入电流相量的实部和虚部，为

$\left\{\begin{array}{c}{a}_i=\underset{j=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}(G_{\mathrm{ij}}{e}_j-B_{\mathrm{ij}}{f}_j)\\ b_i=\underset{j=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}(G_{\mathrm{ij}}{f}_j+B_{\mathrm{ij}}{e}_j)\end{array}\right.---\left(7\right)$

式中，n为系统的节点数。

D、形成雅可比矩阵J

雅可比矩阵J的元素(i≠j时)计算公式如下：

$\frac{\∂\mathrm{\Δ}{P}_i}{{\∂e}_j}=-G_{\mathrm{ij}}{e}_i-B_{\mathrm{ij}}{f}_i---\left(8\right)$

$\frac{\∂\mathrm{\Δ}{P}_i}{{\∂f}_j}=B_{\mathrm{ij}}{e}_i-G_{\mathrm{ij}}{f}_i---\left(9\right)$

$\frac{\∂\mathrm{\Δ}{Q}_i}{{\∂e}_j}=B_{\mathrm{ij}}{e}_i-G_{\mathrm{ij}}{f}_i---\left(10\right)$

$\frac{\∂\mathrm{\Δ}{Q}_i}{{\∂f}_j}=G_{\mathrm{ij}}{e}_i+B_{\mathrm{ij}}{f}_i---\left(11\right)$

$\frac{{{\∂\mathrm{\ΔV}}_i}^2}{{\∂e}_j}=0---\left(12\right)$

$\frac{{{\∂\mathrm{\ΔV}}_i}^2}{{\∂f}_j}=0---\left(13\right)$

雅可比矩阵J的元素(i＝j时)计算公式如下：

$\frac{{\∂\mathrm{\ΔP}}_i}{{\∂e}_i}=-a_i-G_{\mathrm{ii}}{e}_i-B_{\mathrm{ii}}{f}_i---\left(14\right)$

$\frac{{\∂\mathrm{\ΔP}}_i}{{\∂f}_i}=-b_i+B_{\mathrm{ii}}{e}_i-G_{\mathrm{ii}}{f}_i---\left(15\right)$

$\frac{{\∂\mathrm{\ΔQ}}_i}{{\∂e}_i}=b_i+B_{\mathrm{ii}}{e}_i-G_{\mathrm{ii}}{f}_i---\left(16\right)$

$\frac{{\∂\mathrm{\ΔQ}}_i}{{\∂f}_i}=-a_i+G_{\mathrm{ii}}{e}_i+B_{\mathrm{ii}}{f}_i---\left(17\right)$

$\frac{{{\∂\mathrm{\ΔV}}_i}^2}{{\∂e}_i}=-2e_i---\left(18\right)$

$\frac{{{\∂\mathrm{\ΔV}}_i}^2}{{\∂f}_i}=-2f_i---\left(19\right)$

E、解修正方程及修正电压实部e、虚部f

修正方程为：

$\left[\begin{array}{c}\mathrm{\ΔP}\\ \mathrm{\ΔQ}\\ {\mathrm{\ΔV}}^2\end{array}\right]=J\left[\begin{array}{c}\mathrm{\Δe}\\ \mathrm{\Δf}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}\frac{\∂\mathrm{\ΔP}}{{\∂e}^T}& \frac{\∂\mathrm{\ΔP}}{{\∂f}^T}\\ \frac{\∂\mathrm{\ΔQ}}{{\∂e}^T}& \frac{\∂\mathrm{\ΔQ}}{{\∂f}^T}\\ \frac{{\∂\mathrm{\ΔV}}^2}{{\∂e}^T}& \frac{{\∂\mathrm{\ΔV}}^2}{{\∂f}^T}\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}\mathrm{\Δe}\\ \mathrm{\Δf}\end{array}\right]---\left(20\right)$

式中，J为雅可比矩阵。

电压修正公式为：

$\left\{\begin{array}{c}{e}_i^{(t+1)}=e_i^{\left(t\right)}-\mathrm{\Δ}{e}_i^{\left(t\right)}\\ {f_i}^{(t+1)}={f_i}^{\left(t\right)}-{{\mathrm{\Δf}}_i}^{\left(t\right)}\end{array}\right.---\left(21\right)$

式中，上标(t)表示第t次迭代。

F、节点及支路数据输出。

对正常电力网络，牛顿法潮流计算具有良好的收敛性，但遇到含有小阻抗的病态网络时，牛顿法潮流计算就可能发散。而电力系统中小阻抗支路普遍存在，收敛性是电力系统潮流计算这类非线性问题的最重要指标，计算不收敛就无法得到问题的解。因此改善直角坐标牛顿法潮流计算针对含有小阻抗支路电力系统的收敛性具有非常重要的意义。

中国专利ZL201410299531.5披露了一种通过修改常规直角坐标牛顿法潮流计算雅可比矩阵的方法，该方法用来解决含有小阻抗系统潮流计算的收敛性问题，改善了潮流计算的收敛性，有效解决了含有电阻为0的小阻抗支路系统潮流计算的发散问题。但当小阻抗支路的电阻不为0时，该方法迭代增加，收敛性变差，甚至不收敛。

发明内容

为解决现有技术存在的上述问题，本发明要提出一种直角坐标牛顿法潮流计算方法，该方法可以改善其分析含有电阻不为0的小阻抗支路电力系统的收敛性。

为了实现上述目的，本发明从直角坐标牛顿法潮流计算的基本原理出发，在分析其基本修正方程的特点基础上提出了一种直角坐标牛顿法潮流计算算法来改善潮流计算收敛性。本发明的首次迭代和后续各次迭代采用不同的雅可比矩阵计算方法。本发明的技术方案如下：一种雅可比矩阵改变的直角坐标牛顿法潮流计算方法，包括以下步骤：

A、原始数据输入和电压初始化；

B、形成节点导纳矩阵；

C、设置迭代计数t＝0；

D、计算功率及电压偏差，求最大不平衡量ΔW_max；

E、形成雅可比矩阵J；

如果t＝0转步骤E1，否则转步骤E2；

E1、首次迭代采用专利201410299531.5的雅可比矩阵计算方法。雅可比矩阵J的部分元素(i＝j时)计算公式如下，i≠j时的雅可比计算公式不变：

$\frac{{\∂\mathrm{\ΔP}}_i}{{\∂e}_i}=-a_{\mathrm{iS}}-G_{\mathrm{ii}}{e}_i-B_{\mathrm{ii}}{f}_i---\left(22\right)$

$\frac{{\∂\mathrm{\ΔP}}_i}{{\∂f}_i}=-b_{\mathrm{iS}}+B_{\mathrm{ii}}{e}_i-G_{\mathrm{ii}}{f}_i---\left(23\right)$

$\frac{{\∂\mathrm{\ΔQ}}_i}{{\∂e}_i}=b_{\mathrm{iS}}+B_{\mathrm{ii}}{e}_i-G_{\mathrm{ii}}{f}_i---\left(24\right)$

$\frac{{\∂\mathrm{\ΔQ}}_i}{{\∂f}_i}=-a_{\mathrm{iS}}+G_{\mathrm{ii}}{e}_i+B_{\mathrm{ii}}{f}_i---\left(25\right)$

$\frac{{{\∂\mathrm{\ΔV}}_i}^2}{{\∂e}_i}=-2e_i---\left(26\right)$

$\frac{{{\∂\mathrm{\ΔV}}_i}^2}{{\∂f}_i}=-2f_i---\left(27\right)$

式中，a_iS、b_iS分别为节点i给定的注入电流相量的实部和虚部，由式(6)求得。

潮流计算收敛时，式(6)中ΔP_i、ΔQ_i都趋近于0，因此，由给定值P_iS和Q_iS求a_i和b_i，记为a_iS和b_iS

$\left\{\begin{array}{c}{a}_{\mathrm{iS}}=\frac{e_i{P}_{\mathrm{iS}}+f_i{Q}_{\mathrm{iS}}}{e_i^2+{f_i}^2}\\ b_{\mathrm{iS}}=\frac{f_i{P}_{\mathrm{iS}}-e_i{Q}_{\mathrm{iS}}}{e_i^2+{f_i}^2}\end{array}\right.---\left(28\right)$

转步骤F；

E2、后续各次迭代采用传统的计算方法，计算公式为式(8)～(19)；

F、解修正方程及修正电压实部e、虚部f；

G、判断无功功率最大不平衡量|ΔW_max|是否小于收敛精度ε；如果小于收敛精度ε，执行步骤H；否则，令t＝t+1，返回步骤D进行下一次迭代；

H、节点及支路数据输出。

本发明方法收敛性证明如下：

本发明的直角坐标牛顿法潮流计算在首次迭代过程采用与以后各次迭代过程不同的雅可比矩阵计算方法。

下面分析首次迭代的情况。首次迭代时，与小阻抗支路有关的修正方程为：

$\begin{array}{c}[-a_{\mathrm{iS}}-(G_{i0}+g_{\mathrm{ij}}/k^2)e_i-(B_{i0}+b_{\mathrm{ij}}/k^2)f_i]{\mathrm{\Δe}}_i+(g_{\mathrm{ij}}{e}_i/k+b_{\mathrm{ij}}{f}_i/k){\mathrm{\Δe}}_j\\ +[-b_{\mathrm{iS}}+(B_{i0}+b_{\mathrm{ij}}/k^2)e_i-(G_{i0}+g_{\mathrm{ij}}/k^2)f_i]{\mathrm{\Δf}}_i+(-b_{\mathrm{ij}}{e}_i/k+g_{\mathrm{ij}}{f}_i/k){\mathrm{\Δf}}_j+A_i\\ =P_{\mathrm{iS}}-(G_{i0}+g_{\mathrm{ij}}/k^2)(e_i^2+{f_i}^2)+g_{\mathrm{ij}}(e_i{e}_j+f_i{f}_j)/k-b_{\mathrm{ij}}(e_i{f}_j-f_i{e}_j)/k-P_{i0}\end{array}---\left(29\right)$

$\begin{array}{c}[-a_{\mathrm{jS}}-(G_{j0}+g_{\mathrm{ij}})e_j-(B_{j0}+b_{\mathrm{ij}})f_j]{\mathrm{\Δe}}_j+(g_{\mathrm{ij}}{e}_j/k+b_{\mathrm{ij}}{f}_j/k){\mathrm{\Δe}}_i\\ +[-b_{\mathrm{jS}}+(B_{j0}+b_{\mathrm{ij}})e_j-(G_{j0}+g_{\mathrm{ij}})f_j]{\mathrm{\Δf}}_j+(-b_{\mathrm{ij}}{e}_j/k+g_{\mathrm{ij}}{f}_j/k){\mathrm{\Δf}}_i+A_j\\ =P_{\mathrm{jS}}-(G_{j0}+g_{\mathrm{ij}})(e_j^2+{f_j}^2)+g_{\mathrm{ij}}(e_i{e}_j+f_i{f}_j)/k-b_{\mathrm{ij}}(e_j{f}_i-f_j{e}_i)/k-P_{j0}\end{array}---\left(30\right)$

$\begin{array}{c}[b_{\mathrm{iS}}+(B_{i0}+b_{\mathrm{ij}}/k^2)e_i-(G_{i0}+g_{\mathrm{ij}}/k^2)f_i]{\mathrm{\Δe}}_i+({-b}_{\mathrm{ij}}{e}_i/k+g_{\mathrm{ij}}{f}_i/k){\mathrm{\Δe}}_j\\ +[-a_{\mathrm{iS}}+(G_{i0}+g_{\mathrm{ij}}/k^2)e_i+(B_{i0}+b_{\mathrm{ij}}/k^2)f_i]{\mathrm{\Δf}}_i+(-g_{\mathrm{ij}}{e}_i/k-b_{\mathrm{ij}}{f}_i/k){\mathrm{\Δf}}_j+B_i\\ =Q_{\mathrm{iS}}+(B_{i0}+b_{\mathrm{ij}}/k^2)(e_i^2+{f_i}^2)+g_{\mathrm{ij}}(f_i{e}_j-e_i{f}_j)/k-b_{\mathrm{ij}}(f_i{f}_j-e_i{e}_j)/k-Q_{i0}\end{array}---\left(31\right)$

$\begin{array}{c}[b_{\mathrm{jS}}+(B_{j0}+b_{\mathrm{ij}})e_j-(G_{j0}+g_{\mathrm{ij}})f_j]{\mathrm{\Δe}}_j+({-b}_{\mathrm{ij}}{e}_j/k+g_{\mathrm{ij}}{f}_j/k){\mathrm{\Δe}}_i\\ +[-a_{\mathrm{jS}}+(G_{j0}+g_{\mathrm{ij}})e_j+(B_{j0}+b_{\mathrm{ij}})f_j]{\mathrm{\Δf}}_j+(-g_{\mathrm{ij}}{e}_j/k-b_{\mathrm{ij}}{f}_j/k){\mathrm{\Δf}}_i+B_j\\ =Q_{\mathrm{jS}}+(B_{j0}+b_{\mathrm{ij}})(e_j^2+{f_j}^2)+g_{\mathrm{ij}}(f_j{e}_i-e_j{f}_i)/k-b_{\mathrm{ij}}(f_i{f}_j-e_i{e}_j)/k-Q_{j0}\end{array}---\left(32\right)$

式中，A_i、A_j、B_i、B_j为与ΔV_k、Δθ_k相关的项(k＝1,…,n且k≠i,j)；P_i0、P_j0、Q_i0、Q_j0为除小阻抗支路l_ij外节点的计算功率。

式(29)～(32)中考虑到首次迭代时，电压为电压初值，即电压初值实部为1.0，虚部为0.0。得：

-(a_iS+G_i0+g_ij/k²)Δe_i+(g_ij/k)Δe_j+(-b_iS+B_i0+b_ij/k²)Δf_i-(b_ij/k)Δf_j+A_i (33)

＝P_iS-(G_i0+g_ij/k²)+g_ij/k-P_i0

-(a_jS+G_j0+g_ij)Δe_j+(g_ij/k)Δe_i+(-b_jS+B_j0+b_ij)Δf_j-(b_ij/k)Δf_i+A_j (34)

＝P_jS-(G_j0+g_ij)+g_ij/k-P_j0

(b_iS+B_i0+b_ij/k²)Δe_i-(b_ij/k)Δe_j+(-a_iS+G_i0+g_ij/k²)Δf_i-(g_ij/k)Δf_j+B_i (35)＝Q_iS+(B_i0+b_ij/k²)-b_ij/k-Q_i0

(b_jS+B_j0+b_ij)Δe_j-(b_ij/k)Δe_i+(-a_jS+G_j0+g_ij)Δf_j-(g_ij/k)Δf_i+B_j (36)＝Q_jS+(B_j0+b_ij)-b_ij/k-Q_j0

式(33)～(36)忽略较小量，得

-(g_ij/k²)Δe_i+(g_ij/k)Δe_j+(b_ij/k²)Δf_i-(b_ij/k)Δf_j≈-g_ij/k²+g_ij/k (37)

-g_ijΔe_j+(g_ij/k)Δe_i+b_ijΔf_j-(b_ij/k)Δf_i≈-g_ij+g_ij/k (38)

(b_ij/k²)Δe_i-(b_ij/k)Δe_j+(g_ij/k²)Δf_i-(g_ij/k)Δf_j≈b_ij/k²-b_ij/k (39)

b_ijΔe_j-(b_ij/k)Δe_i+g_ijΔf_j-(g_ij/k)Δf_i≈b_ij-b_ij/k (40)

式(37)乘以b_ij与式(39)乘以g_ij相加，得

$(b_{\mathrm{ij}}^2+g_{\mathrm{ij}}^2){\mathrm{\Δf}}_i/k^2-(b_{\mathrm{ij}}^2+g_{\mathrm{ij}}^2)\mathrm{\Δ}{f}_j/k\≈0---\left(41\right)$

式(41)中由于得

Δf_i≈kΔf_j (42)

由于初值则电压虚部修正后满足公式(2)。

式(39)乘以b_ij，再与式(37)乘以g_ij相减，得

$(b_{\mathrm{ij}}^2+g_{\mathrm{ij}}^2){\mathrm{\Δe}}_i/k^2-(b_{\mathrm{ij}}^2+g_{\mathrm{ij}}^2){\mathrm{\Δe}}_j/k\≈(b_{\mathrm{ij}}^2+g_{\mathrm{ij}}^2)/k^2-(b_{\mathrm{ij}}^2+g_{\mathrm{ij}}^2)/k---\left(43\right)$

式(43)中由于得

Δe_i/k²-Δe_j/k≈1/k²-1/k (44)

式(44)整理，得

(1-Δe_i)≈k(1-Δe_j) (45)

式(45)中，考虑电压实部初值首次迭代后电压实部为

$e_i^{\left(1\right)}\≈{\mathrm{ke}}_j^{\left(1\right)}---\left(46\right)$

式(46)满足公式(2)。

式(33)乘以k再加式(34)，得

-(a_iS+G_i0)kΔe_i-(a_jS+G_j0)Δe_j+(B_i0-b_iS)kΔf_i+(B_j0-b_jS)Δf_j+kA_i+A_j (47)

＝kP_iS+P_jS-kG_i0-G_j0-kP_i0-P_j0

式(35)乘以k再加式(36)，得

(b_iS+B_i0)kΔe_i+(b_jS+B_j0)Δe_j+(G_i0-a_iS)kΔf_i+(G_j0-a_jS)Δf_j+kB_i+B_j (48)

＝kQ_iS+Q_jS+kB_i0+B_j0-kQ_i0-Q_j0

这样式(33)～(36)经过变换得到式(42)、(46)、(47)、(48)，而式(42)、(46)、(47)、(48)已经不存在小阻抗了，且满足小阻抗支路两端电压关系式(2)。由于小阻抗的影响已经不存在了，因此首次迭代时小阻抗不会对收敛有影响。

下面分析第2次迭代的情况。第2次迭代时，与小阻抗支路有关的修正方程为：

$\begin{array}{c}[-a_i-(G_{i0}+g_{\mathrm{ij}}/k^2)e_i-(B_{i0}+b_{\mathrm{ij}}/k^2)f_i]\mathrm{\Δ}{e}_i+(g_{\mathrm{ij}}{e}_i/k+b_{\mathrm{ij}}{f}_i/k)\mathrm{\Δ}{e}_j\\ +[-b_i+(B_{i0}+b_{\mathrm{ij}}/k^2)e_i-(G_{i0}+g_{\mathrm{ij}}/k^2)f_i]\mathrm{\Δ}{f}_i+(-b_{\mathrm{ij}}{e}_i/k+g_{\mathrm{ij}}{f}_i/k)\mathrm{\Δ}{f}_j+A_i\\ =P_{\mathrm{iS}}-(G_{i0}+g_{\mathrm{ij}}/k^2)(e_i^2+{f_i}^2)+g_{\mathrm{ij}}(e_i{e}_j+f_i{f}_j)/k-b_{\mathrm{ij}}(e_i{f}_j-f_i{e}_j)/k-P_{i0}\end{array}---\left(49\right)$

$\begin{array}{c}[{-a}_j-(G_{j0}+g_{\mathrm{ij}})e_j-(B_{j0}+b_{\mathrm{ij}})f_j]\mathrm{\Δ}{e}_j+(g_{\mathrm{ij}}{e}_j/k+b_{\mathrm{ij}}{f}_j/k)\mathrm{\Δ}{e}_i\\ +[-b_j+(B_{j0}+b_{\mathrm{ij}})e_j-(G_{j0}+g_{\mathrm{ij}})f_j]\mathrm{\Δ}{f}_j+(-b_{\mathrm{ij}}{e}_j/k+g_{\mathrm{ij}}{f}_j/k)\mathrm{\Δ}{f}_i+A_j\\ =P_{\mathrm{jS}}-(G_{j0}+g_{\mathrm{ij}})(e_j^2+f_j^2)+g_{\mathrm{ij}}(e_i{e}_j+f_i{f}_j)/k-b_{\mathrm{ij}}(e_j{f}_i-f_j{e}_i)/k-P_{j0}\end{array}---\left(50\right)$

$\begin{array}{c}[b_i+(B_{i0}+b_{\mathrm{ij}}/k^2)e_i-(G_{i0}+g_{\mathrm{ij}}/k^2)f_i]\mathrm{\Δ}{e}_i+(-b_{\mathrm{ij}}{e}_i/k+g_{\mathrm{ij}}{f}_i/k)\mathrm{\Δ}{e}_j\\ +[-a_i+(G_{i0}+g_{\mathrm{ij}}/k^2)e_i+(B_{i0}+b_{\mathrm{ij}}/k^2)f_i]{\mathrm{\Δf}}_i+(-g_{\mathrm{ij}}{e}_i/k-b_{\mathrm{ij}}{f}_i/k)\mathrm{\Δ}{f}_j+B_i\\ =Q_{\mathrm{iS}}+(B_{i0}+b_{\mathrm{ij}}/k^2)(e_i^2+{f_i}^2)+g_{\mathrm{ij}}(f_i{e}_j-e_i{f}_j)/k-b_{\mathrm{ij}}(f_i{f}_j+e_i{e}_j)/k-Q_{i0}\end{array}---\left(51\right)$

$\begin{array}{c}[b_j+(B_{j0}+b_{\mathrm{ij}})e_j-(G_{j0}+g_{\mathrm{ij}})f_j]\mathrm{\Δ}{e}_j+(-b_{\mathrm{ij}}{e}_j/k+g_{\mathrm{ij}}{f}_j/k)\mathrm{\Δ}{e}_i\\ +[-a_j+(G_{j0}+g_{\mathrm{ij}})e_j+(B_{j0}+b_{\mathrm{ij}})f_j]{\mathrm{\Δf}}_j+(-g_{\mathrm{ij}}{e}_j/k-b_{\mathrm{ij}}{f}_j/k)\mathrm{\Δ}{f}_i+B_j\\ =Q_{\mathrm{jS}}+(B_{j0}+b_{\mathrm{ij}})(e_j^2+f_j^2)+g_{\mathrm{ij}}(f_j{e}_i-e_j{f}_i)/k-b_{\mathrm{ij}}(f_i{f}_j+e_i{e}_j)/k-Q_{j0}\end{array}---\left(52\right)$

把式(7)代入到式(49)～(52)，得：

$\begin{array}{c}[-2(G_{i0}+g_{\mathrm{ij}}/k^2)e_i+g_{\mathrm{ij}}{e}_j/k-b_{\mathrm{ij}}{f}_j/k]\mathrm{\Δ}{e}_i+(g_{\mathrm{ij}}{e}_i/k+b_{\mathrm{ij}}{f}_i/k)\mathrm{\Δ}{e}_j\\ +[-2(G_{i0}+g_{\mathrm{ij}}/k^2)f_i+g_{\mathrm{ij}}{f}_j/k+b_{\mathrm{ij}}{e}_j/k]\mathrm{\Δ}{f}_i+(-b_{\mathrm{ij}}{e}_i/k+g_{\mathrm{ij}}{f}_i/k)\mathrm{\Δ}{f}_j+A_i\\ =P_{\mathrm{iS}}-(G_{i0}+g_{\mathrm{ij}}/k^2)(e_i^2+{f_i}^2)+g_{\mathrm{ij}}(e_i{e}_j+f_i{f}_j)/k-b_{\mathrm{ij}}(e_i{f}_j-f_i{e}_j)/k-P_{i0}\end{array}---\left(53\right)$

$\begin{array}{c}[-2(G_{j0}+g_{\mathrm{ij}})e_j+g_{\mathrm{ij}}{e}_i/k-b_{\mathrm{ij}}{f}_i/k]\mathrm{\Δ}{e}_j+(g_{\mathrm{ij}}{e}_j/k+b_{\mathrm{ij}}{f}_j/k)\mathrm{\Δ}{e}_i\\ +[-2(G_{j0}+g_{\mathrm{ij}})f_j+g_{\mathrm{ij}}{f}_i/k+b_{\mathrm{ij}}{e}_i/k]\mathrm{\Δ}{f}_j+(-b_{\mathrm{ij}}{e}_j/k+g_{\mathrm{ij}}{f}_j/k)\mathrm{\Δ}{f}_i+A_j\\ =P_{\mathrm{jS}}-(G_{j0}+g_{\mathrm{ij}})(e_j^2+f_j^2)+g_{\mathrm{ij}}(e_i{e}_j+f_i{f}_j)/k-b_{\mathrm{ij}}(e_j{f}_i-f_j{e}_i)/k-P_{j0}\end{array}---\left(54\right)$

$\begin{array}{c}[2(B_{i0}+b_{\mathrm{ij}}/k^2)e_i-g_{\mathrm{ij}}{f}_j/k-b_{\mathrm{ij}}{e}_j/k]\mathrm{\Δ}{e}_i+(-b_{\mathrm{ij}}{e}_i/k+g_{\mathrm{ij}}{f}_i/k)\mathrm{\Δ}{e}_j\\ +[2(B_{i0}+b_{\mathrm{ij}}/k^2)f_i+g_{\mathrm{ij}}{e}_j/k-b_{\mathrm{ij}}{f}_j/k]\mathrm{\Δ}{f}_i+(-g_{\mathrm{ij}}{e}_i/k-b_{\mathrm{ij}}{f}_i/k)\mathrm{\Δ}{f}_j+B_i\\ =Q_{\mathrm{iS}}+(B_{i0}+b_{\mathrm{ij}}/k^2)(e_i^2+{f_i}^2)+g_{\mathrm{ij}}(f_i{e}_j-e_i{f}_j)/k-b_{\mathrm{ij}}(f_i{f}_j+e_i{e}_j)/k-Q_{i0}\end{array}---\left(55\right)$

$\begin{array}{c}[2(B_{j0}+b_{\mathrm{ij}})e_j-g_{\mathrm{ij}}{f}_i/k-b_{\mathrm{ij}}{e}_i/k]\mathrm{\Δ}{e}_j+(-b_{\mathrm{ij}}{e}_j/k+g_{\mathrm{ij}}{f}_j/k)\mathrm{\Δ}{e}_i\\ +[2(B_{j0}+b_{\mathrm{ij}})f_j+g_{\mathrm{ij}}{e}_i/k-b_{\mathrm{ij}}{f}_i/k]\mathrm{\Δ}{f}_j+(-g_{\mathrm{ij}}{e}_j/k-b_{\mathrm{ij}}{f}_j/k)\mathrm{\Δ}{f}_i+B_j\\ =Q_{\mathrm{jS}}+(B_{j0}+b_{\mathrm{ij}})(e_j^2+f_j^2)+g_{\mathrm{ij}}(f_j{e}_i-e_j{f}_i)/k-b_{\mathrm{ij}}(f_i{f}_j+e_i{e}_j)/k-Q_{j0}\end{array}---\left(56\right)$

考虑到首次迭代以后，小阻抗支路两端节点电压已经满足 把此电压关系代入式(53)～(56)，得：

$\begin{array}{c}(-2{\mathrm{kG}}_{i0}{e}_j-g_{\mathrm{ij}}{e}_j/k-b_{\mathrm{ij}}{f}_j/k){\mathrm{\Δe}}_i+(g_{\mathrm{ij}}{e}_j+b_{\mathrm{ij}}{f}_j){\mathrm{\Δe}}_j\\ +(-2k{G}_{i0}{f}_j-g_{\mathrm{ij}}{f}_j/k+b_{\mathrm{ij}}{e}_j/k){\mathrm{\Δf}}_i+(-b_{\mathrm{ij}}{e}_j+g_{\mathrm{ij}}{f}_j){\mathrm{\Δf}}_j+A_i\\ \≈P_{\mathrm{iS}}-k^2{G}_{i0}(e_j^2+f_j^2)-P_{i0}\end{array}---\left(57\right)$

$\begin{array}{c}(-2G_{j0}{e}_j-g_{\mathrm{ij}}{e}_j-b_{\mathrm{ij}}{f}_j){\mathrm{\Δe}}_j+(g_{\mathrm{ij}}{e}_j/k+b_{\mathrm{ij}}{f}_j/k){\mathrm{\Δe}}_i\\ +(-2G_{j0}{f}_j-g_{\mathrm{ij}}{f}_j+b_{\mathrm{ij}}{e}_j){\mathrm{\Δf}}_j+(-b_{\mathrm{ij}}{e}_j/k+g_{\mathrm{ij}}{f}_j/k){\mathrm{\Δf}}_i+A_j\\ \≈P_{\mathrm{jS}}-G_{j0}(e_j^2+f_j^2)-P_{j0}\end{array}---\left(58\right)$ $\begin{array}{c}(2{\mathrm{kB}}_{i0}{e}_j-g_{\mathrm{ij}}{f}_j/k+b_{\mathrm{ij}}{e}_j/k){\mathrm{\Δe}}_i+({-b}_{\mathrm{ij}}{e}_j+g_{\mathrm{ij}}{f}_j){\mathrm{\Δe}}_j\\ +(2k{B}_{i0}{f}_j+g_{\mathrm{ij}}{e}_j/k+b_{\mathrm{ij}}{f}_j/k){\mathrm{\Δf}}_i+(-g_{\mathrm{ij}}{e}_j+b_{\mathrm{ij}}{f}_j){\mathrm{\Δf}}_j+B_i\\ \≈Q_{\mathrm{iS}}+k^2{B}_{i0}(e_j^2+f_j^2)-Q_{i0}\end{array}---\left(59\right)$

$\begin{array}{c}(2B_{j0}{e}_j-g_{\mathrm{ij}}{f}_j+b_{\mathrm{ij}}{e}_j){\mathrm{\Δe}}_j+({-b}_{\mathrm{ij}}{e}_j/k+g_{\mathrm{ij}}{f}_j/k){\mathrm{\Δe}}_i\\ +(2B_{j0}{f}_j+g_{\mathrm{ij}}{e}_j+b_{\mathrm{ij}}{f}_j){\mathrm{\Δf}}_j+(-g_{\mathrm{ij}}{e}_j/k-b_{\mathrm{ij}}{f}_j/k){\mathrm{\Δf}}_i+B_j\\ \≈Q_{\mathrm{jS}}+B_{j0}(e_j^2+f_j^2)-Q_{j0}\end{array}---\left(60\right)$

式(57)～(60)忽略较小量，得

-(g_ije_j+b_ijf_j)Δe_i/k+(g_ije_j+b_ijf_j)Δe_j+(b_ije_j-g_ijf_j)Δf_i/k+(g_ijf_j-b_ije_j)Δf_j≈0 (61)-(g_ije_j+b_ijf_j)Δe_j+(g_ije_j+b_ijf_j)Δe_i/k+(b_ije_j-g_ijf_j)Δf_j+(g_ijf_j-b_ije_j)Δf_i/k≈0 (62)

(b_ije_j-g_ijf_j)Δe_i/k+(g_ijf_j-b_ije_j)Δe_j+(g_ije_j+b_ijf_j)Δf_i/k-(g_ije_j+b_ijf_j)Δf_j≈0 (63)

(b_ije_j-g_ijf_j)Δe_j+(g_ijf_j-b_ije_j)Δe_i/k+(g_ije_j+b_ijf_j)Δf_j-(g_ije_j+b_ijf_j)Δf_i/k≈0 (64)

式(61)乘以b_ij与式(63)乘以g_ij相加，得

$-(g_{\mathrm{ij}}^2+b_{\mathrm{ij}}^2)f_j{\mathrm{\Δe}}_i/k+(g_{\mathrm{ij}}^2+b_{\mathrm{ij}}^2)f_j{\mathrm{\Δe}}_j+(g_{\mathrm{ij}}^2+b_{\mathrm{ij}}^2)e_j{\mathrm{\Δf}}_i/k-(g_{\mathrm{ij}}^2+b_{\mathrm{ij}}^2)e_j{\mathrm{\Δf}}_j\≈0---\left(65\right)$

式(65)中由于得

-f_jΔe_i/k+f_jΔe_j+e_jΔf_i/k-e_jΔf_j≈0 (66)

式(63)乘以b_ij，再与式(61)乘以g_ij相减，得

$(g_{\mathrm{ij}}^2+b_{\mathrm{ij}}^2)e_j{\mathrm{\Δe}}_i/k-(g_{\mathrm{ij}}^2+b_{\mathrm{ij}}^2)e_j{\mathrm{\Δe}}_j+(g_{\mathrm{ij}}^2+b_{\mathrm{ij}}^2)f_j{\mathrm{\Δf}}_i/k-(g_{\mathrm{ij}}^2+b_{\mathrm{ij}}^2)f_j{\mathrm{\Δf}}_j\≈0---\left(67\right)$

式(67)中由于得

e_jΔe_i/k-e_jΔe_j+f_jΔf_i/k-f_jΔf_j≈0 (68)

式(66)乘以e_j与式(68)乘以f_j相加，得

$(e_j^2+f_j^2)\mathrm{\Δ}{f}_i/k-(e_j^2+f_j^2)\mathrm{\Δ}{f}_j\≈0---\left(69\right)$

式(69)中由于得

Δf_i≈kΔf_j (70)

由于首次迭代后有则修正后满足公式(2)。

式(70)代入式(66)，得

Δe_i≈kΔe_j (71)

由于首次迭代后有则修正后满足公式(2)。

式(57)加式(58)，得

$\begin{array}{c}(-2k{G}_{i0}{e}_j)\mathrm{\Δ}{e}_i+(-2G_{j0}{e}_j){\mathrm{\Δe}}_j+(-2k{G}_{i0}{f}_j){\mathrm{\Δf}}_i+(-2G_{j0}{f}_j){\mathrm{\Δf}}_j+A_i+A_j\\ \≈P_{\mathrm{iS}}+P_{\mathrm{jS}}-(k^2{G}_{i0}+G_{j0})(e_j^2+f_j^2)-P_{i0}-P_{j0}\end{array}---\left(72\right)$

式(59)加式(60)，得

$\begin{array}{c}\left(2k{B}_{i0}{e}_j\right)\mathrm{\Δ}{e}_i+\left(2B_{j0}{e}_j\right){\mathrm{\Δe}}_j+\left(2k{B}_{i0}{f}_j\right){\mathrm{\Δf}}_i+\left(2B_{j0}{f}_j\right){\mathrm{\Δf}}_j+B_i+B_j\\ \≈Q_{\mathrm{iS}}+Q_{\mathrm{jS}}+(k^2{B}_{i0}+B_{j0})(e_j^2+f_j^2)-Q_{i0}-Q_{j0}\end{array}---\left(73\right)$

这样式(57)～(60)经过变换得到式(70)、(71)、(72)、(73)，而式(70)、(71)、(72)、(73)已经不存在小阻抗了，且满足小阻抗支路两端电压关系式(2)。由于小阻抗的影响已经不存在了，因此第2次迭代时小阻抗不会对收敛有影响。

同理可证第2次后各次迭代时小阻抗不会对收敛有影响。

由此可见，本发明解决了直角坐标牛顿法潮流计算在分析含有小阻抗支路系统时的收敛性问题。采用现有直角坐标牛顿法潮流计算不收敛时，本算法能够可靠收敛。

与现有技术相比，本发明具有以下有益效果：

1、本发明通过在首次迭代过程采用与以后各次迭代过程不同的雅可比矩阵计算方法，解决了直角坐标牛顿法潮流计算在分析含有小阻抗支路系统时的收敛性问题。采用常规直角坐标牛顿法潮流计算不收敛时，本算法能够可靠收敛，比现有专利技术迭代次数少。

2、由于本发明不仅能有效解决了常规直角坐标牛顿法潮流计算分析含有小阻抗支路系统的收敛性问题，同时也能对正常系统进行潮流计算，没有不良影响。

附图说明

本发明共有附图3张。其中：

图1是电力系统小阻抗变压器模型示意图。

图2是直角坐标牛顿法潮流计算的流程图。

图3是本发明直角坐标牛顿法潮流计算的流程图。

具体实施方式

下面结合附图对本发明进行进一步地说明。根据图1所示的小阻抗变压器模型，采用图3所示的直角坐标牛顿法潮流计算的流程图，对一个实际大型电网进行了潮流计算。该实际大型电网有445个节点，含有大量的小阻抗支路。其中，x≤0.01的小阻抗支路有118条，x≤0.001的小阻抗支路有49条，x≤0.0001的小阻抗支路有41条，x≤0.00001的小阻抗支路有22条。其中阻抗值最小的是节点118和节点125之间的小阻抗支路为x＝0.00000001，变比k＝0.9565，k位于节点118侧。潮流计算的收敛精度为0.00001。

作为对比，同时采用常规直角坐标牛顿法潮流算法及已申请专利算法(申请专利号为ZL201410299531.5)对该实际大型电网进行了潮流计算，迭代次数见表1。

表1不同潮流方法的迭代结果

方法	常规算法	ZL201410299531.5算法	本发明算法
				迭代结果	不收敛	11次收敛	5次收敛

由表1可见，对于445节点实际系统算例，常规直角坐标牛顿法潮流算法不收敛，本发明算法和专利ZL201410299531.5算法都能够收敛，但本发明算法的迭代次数要少得多。

表2本发明算法计算结果

迭代序号	e118	e125	f118	f125	最大不平衡量
						0	1.00000	1.00000	0.00000	0.00000	-4754658.110255
1	1.04004	1.08733	0.03919	0.04098	21.811375
						2	1.00690	1.05270	-0.08022	-0.08387	-2.650394
3	0.98965	1.03466	-0.09750	-0.10193	0.387804
						4	0.98888	1.03385	-0.09845	-0.10293	0.009454
5	0.98888	1.03385	-0.09846	-0.10294	0.000003

由表2可知，经过第1次迭代计算以后，节点118和节点125的电压实部和虚部分别满足小阻抗支路两端节点电压关系e₁₁₈≈ke₁₂₅＝0.9565×1.08733＝1.04003，f₁₁₈＝kf₁₂₅＝0.9565×(0.04098)＝0.03919。首次迭代前最大不平衡量很大，但首次迭代后，最大不平衡量明显减少，最终迭代5次，满足收敛精度要求，潮流计算收敛。

表3专利ZL201410299531.5算法计算结果

迭代序号	e118	e125	f118	f125	最大不平衡量
						0	1.00000	1.00000	0.00000	0.00000	-4754658.110255
1	1.04004	1.08733	0.03919	0.04098	21.811375
						2	1.01574	1.06193	-0.19074	-0.19941	3.659359
3	0.99646	1.04178	-0.09904	-0.10354	2.964856
						4	0.98797	1.03186	-0.11819	-0.12356	-0.596216
5	0.98965	1.03466	-0.09541	-0.09974	-0.260762
						6	0.98888	1.03386	-0.09851	-0.10299	-0.014935
7	0.98887	1.03385	-0.09851	-0.10299	0.001656
						8	0.98888	1.03385	-0.09847	-0.10295	0.000395
9	0.98888	1.03385	-0.09846	-0.10294	0.000097
						10	0.98888	1.03385	-0.09846	-0.10294	0.000024
11	0.98888	1.03385	-0.09846	-0.10294	0.000006

由表3可知，经过第1次迭代计算以后，节点118和节点125的电压实部和虚部分别满足小阻抗支路两端节点电压关系e₁₁₈≈ke₁₂₅＝0.9565×1.08733＝1.04003，f₁₁₈＝kf₁₂₅＝0.9565×(0.04098)＝0.03919。首次迭代前最大不平衡量很大，但首次迭代后，最大不平衡量明显减少，最终迭代11次，满足收敛精度要求，潮流计算收敛。

表4常规算法计算结果

由表4可知，经过几次迭代计算以后，节点118和节点125的电压实部在迭代过程中都偏离正常电压值1.0非常远，节点118和节点125的电压虚部也很大，最大不平衡量始终很大，潮流计算发散。

为了验证本发明处理电阻较大的小阻抗支路的能力，把节点118和节点125之间的小阻抗支路的阻抗值改为r＝0.00001，x＝0.00000001。三种不同潮流计算方法的迭代结果与阻抗值改变前的迭代结果相同，表明了本发明算法对不同阻抗值的小阻抗支路都能很好地处理。

本算法可以采用任何一种编程语言和编程环境实现，如C语言、C++、FORTRAN、Delphi等。开发环境可以采用VisualC++、BorlandC++Builder、VisualFORTRAN等。

Claims (1)

1.一种雅可比矩阵改变的直角坐标牛顿法潮流计算方法，包括以下步骤：

A、原始数据输入和电压初始化；

电压初始化采用平启动，即PV节点和平衡节点的电压实部取给定值，PQ节点的电压实部取1.0；所有电压的虚部都取0.0；这里单位采用标幺值；

B、形成节点导纳矩阵

设节点i和节点j原来的自电导与自电纳分别为G_i0、B_i0、G_j0、B_j0，在它们之间增加一条小阻抗支路后的自导纳和互导纳分别为：

$Y_{\mathrm{ii}}=(G_{i0}+\frac{r_{\mathrm{ij}}}{k^2(r_{\mathrm{ij}}^2+x_{\mathrm{ij}}^2)})+j(B_{i0}-\frac{x_{\mathrm{ij}}}{k^2(r_{\mathrm{ij}}^2+x_{\mathrm{ij}}^2)})---\left(3\right)$

$Y_{\mathrm{jj}}=(G_{j0}+\frac{r_{\mathrm{ij}}}{(r_{\mathrm{ij}}^2+x_{\mathrm{ij}}^2)})+j(B_{j0}-\frac{x_{\mathrm{ij}}}{(r_{\mathrm{ij}}^2+x_{\mathrm{ij}}^2)})---\left(4\right)$

$Y_{\mathrm{ij}}=-\frac{r_{\mathrm{ij}}}{k(r_{\mathrm{ij}}^2+x_{\mathrm{ij}}^2)}+j\frac{x_{\mathrm{ij}}}{k(r_{\mathrm{ij}}^2+x_{\mathrm{ij}}^2)}---\left(5\right)$

C、设置迭代计数t＝0；

D、计算功率及电压偏差，求最大不平衡量ΔW_max；

功率及电压偏差计算公式为：

$\left\{\begin{array}{c}{\mathrm{\ΔP}}_i=P_{\mathrm{is}}-P_i=P_{\mathrm{is}}-e_i{a}_i-f_i{b}_i\\ {\mathrm{\ΔQ}}_i=Q_{\mathrm{is}}-Q_i=Q_{\mathrm{is}}-f_i{a}_i+e_i{b}_i\\ {{\mathrm{\ΔV}}_i}^2=V_{\mathrm{is}}^2-(e_i^2+{f_i}^2)\end{array}\right.---\left(6\right)$

式中，P_is、Q_is分别为节点i给定的注入有功功率和无功功率；V_is为节点i给定的电压幅值；a_i、b_i分别为节点i的计算注入电流相量的实部和虚部，为

$\left\{\begin{array}{c}{a}_i=\underset{j=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}(G_{\mathrm{ij}}{e}_j-B_{\mathrm{ij}}{f}_j)\\ b_i=\underset{j=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}(G_{\mathrm{ij}}{f}_j+B_{\mathrm{ij}}{e}_j)\end{array}\right.---\left(7\right)$

式中，n为系统的节点数；

其特征在于：还包括以下步骤：

E、形成雅可比矩阵J；

当i≠j时，雅可比矩阵J的元素计算公式如下：

$\frac{\∂\mathrm{\Δ}{P}_i}{{\∂e}_j}=-G_{\mathrm{ij}}{e}_i-B_{\mathrm{ij}}{f}_i---\left(8\right)$

$\frac{\∂\mathrm{\Δ}{P}_i}{{\∂f}_j}=B_{\mathrm{ij}}{e}_i-G_{\mathrm{ij}}{f}_i---\left(9\right)$

$\frac{\∂\mathrm{\Δ}{Q}_i}{{\∂e}_j}=B_{\mathrm{ij}}{e}_i-G_{\mathrm{ij}}{f}_i---\left(10\right)$

$\frac{\∂\mathrm{\Δ}{Q}_i}{{\∂f}_j}=G_{\mathrm{ij}}{e}_i+B_{\mathrm{ij}}{f}_i---\left(11\right)$

$\frac{{{\∂\mathrm{\ΔV}}_i}^2}{{\∂e}_j}=0---\left(12\right)$

$\frac{{{\∂\mathrm{\ΔV}}_i}^2}{{\∂f}_j}=0---\left(13\right)$

如果t＝0转步骤E2，否则转步骤E1；

E1、当i＝j时，雅可比矩阵J的元素计算公式如下：

$\frac{{\∂\mathrm{\ΔP}}_i}{{\∂e}_i}=-a_i-G_{\mathrm{ii}}{e}_i-B_{\mathrm{ii}}{f}_i---\left(14\right)$

$\frac{{\∂\mathrm{\ΔP}}_i}{{\∂f}_i}=-b_i+B_{\mathrm{ii}}{e}_i-G_{\mathrm{ii}}{f}_i---\left(15\right)$

$\frac{{\∂\mathrm{\ΔQ}}_i}{{\∂e}_i}=b_i+B_{\mathrm{ii}}{e}_i-G_{\mathrm{ii}}{f}_i---\left(16\right)$

$\frac{{\∂\mathrm{\ΔQ}}_i}{{\∂f}_i}=-a_i+G_{\mathrm{ii}}{e}_i+B_{\mathrm{ii}}{f}_i---\left(17\right)$

$\frac{{{\∂\mathrm{\ΔV}}_i}^2}{{\∂e}_i}=-2e_i---\left(18\right)$

$\frac{{{\∂\mathrm{\ΔV}}_i}^2}{{\∂f}_i}=-2f_i---\left(19\right)$

转步骤F；

E2、当i＝j时，雅可比矩阵J的元素计算公式如下：

$\frac{{\∂\mathrm{\ΔP}}_i}{{\∂e}_i}=-a_{\mathrm{iS}}-G_{\mathrm{ii}}{e}_i-B_{\mathrm{ii}}{f}_i---\left(22\right)$

$\frac{{\∂\mathrm{\ΔP}}_i}{{\∂f}_i}=-b_{\mathrm{iS}}+B_{\mathrm{ii}}{e}_i-G_{\mathrm{ii}}{f}_i---\left(23\right)$

$\frac{{\∂\mathrm{\ΔQ}}_i}{{\∂e}_i}=b_{\mathrm{iS}}+B_{\mathrm{ii}}{e}_i-G_{\mathrm{ii}}{f}_i---\left(24\right)$

$\frac{{\∂\mathrm{\ΔQ}}_i}{{\∂f}_i}=-a_{\mathrm{iS}}+G_{\mathrm{ii}}{e}_i+B_{\mathrm{ii}}{f}_i---\left(25\right)$

$\frac{{{\∂\mathrm{\ΔV}}_i}^2}{{\∂e}_i}=-2e_i---\left(26\right)$

$\frac{{{\∂\mathrm{\ΔV}}_i}^2}{{\∂f}_i}=-2f_i---\left(27\right)$

式中，a_iS、b_iS分别为节点i给定的注入电流相量的实部和虚部，由式(6)求得；

潮流计算收敛时，式(6)中ΔP_i、ΔQ_i都趋近于0，因此，由给定值P_iS和Q_iS求a_i和b_i，记为a_iS和b_iS

$\left\{\begin{array}{c}{a}_{\mathrm{iS}}=\frac{e_i{P}_{\mathrm{iS}}+f_i{Q}_{\mathrm{iS}}}{e_i^2+{f_i}^2}\\ b_{\mathrm{iS}}=\frac{f_i{P}_{\mathrm{iS}}-e_i{Q}_{\mathrm{iS}}}{e_i^2+{f_i}^2}\end{array}\right.---\left(28\right)$

F、解修正方程及修正电压实部e、虚部f；

修正方程为：

$\left[\begin{array}{c}\mathrm{\ΔP}\\ \mathrm{\ΔQ}\\ {\mathrm{\ΔV}}^2\end{array}\right]=J\left[\begin{array}{c}\mathrm{\Δe}\\ \mathrm{\Δf}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}\frac{\∂\mathrm{\ΔP}}{{\∂e}^T}& \frac{\∂\mathrm{\ΔP}}{{\∂f}^T}\\ \frac{\∂\mathrm{\ΔQ}}{{\∂e}^T}& \frac{\∂\mathrm{\ΔQ}}{{\∂f}^T}\\ \frac{{\∂\mathrm{\ΔV}}^2}{{\∂e}^T}& \frac{{\∂\mathrm{\ΔV}}^2}{{\∂f}^T}\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}\mathrm{\Δe}\\ \mathrm{\Δf}\end{array}\right]---\left(20\right)$

式中，J为雅可比矩阵；

电压修正公式为：

$\left\{\begin{array}{c}{e}_i^{(t+1)}=e_i^{\left(t\right)}-\mathrm{\Δ}{e}_i^{\left(t\right)}\\ {f_i}^{(t+1)}={f_i}^{\left(t\right)}-{{\mathrm{\Δf}}_i}^{\left(t\right)}\end{array}\right.---\left(21\right)$

式中，上标(t)表示第t次迭代；

G、判断无功功率最大不平衡量|ΔW_max|是否小于收敛精度ε；如果小于收敛精度ε，执行步骤H；否则，令t＝t+1，返回步骤D进行下一次迭代；

H、节点及支路数据输出。