CN103592702B - 用于激光光束整形的双自由曲面透镜及其设计方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种用于激光光束整形的双自由曲面透镜的设计方法，属于非成像光学和激光光束整形技术领域，本发明根据设计要求设置双自由曲面透镜的初始结构，根据能量守恒、折射定律和光程关系，在计算机的辅助下，设计出满足预定照明要求的双自由曲面透镜，使入射激光光束经过该透镜偏折后产生预定的强度分布和相位分布。双自由曲面透镜包含前表面和后表面两个自由曲面，且前后两个自由曲面均通过曲面拟合离散数据点得到。本发明还公开了一种基于上述方法的用于激光光束整形的双自由曲面透镜。本发明获得了连续的自由曲面面型，实现了曲面的可加工；能同时实现对激光光束的强度与相位分布的调控，控制能力强，设计效率高。

Description

用于激光光束整形的双自由曲面透镜及其设计方法

技术领域

本发明涉及非成像光学及照明技术领域，尤其涉及一种用于激光光束整形的双自由曲面透镜及其设计方法。

背景技术

自由曲面照明设计，是指根据光源的发光特性和目标照明来设计自由曲面，使光源出光经过自由曲面偏折后产生预定照明。它是以非成像光学理论为基础，以追求尽可能大的能量利用率、准确控制光束分布并有效实现复杂照明为设计目标。自由曲面具有灵活的空间布局和极高的设计自由度等优点，可以在很大程度简化光学系统结构的同时，极大地提升照明系统的性能。因而，自由曲面照明研究具有非常重要的理论意义和实际应用价值，在通用照明(室内照明、路灯照明等)和一些特殊照明(LED投影仪、激光光束整形等)中都具有广阔的应用前景。

作为自由曲面的一个重要应用，自由曲面激光光束整形是指借助自由曲面来改变入射激光束的传播特性(如强度分布、相位分布等)。在自由曲面照明设计过程中，通常单个自由曲面可实现对光源出射光束的方向或光强分布的调控；而双自由曲面设计具有更高的自由度，采用两个自由曲面可同时实现对光束传播方向和光强分布的调控。因此，自由曲面激光光束整形需要借助至少两个自由曲面方可同时实现对激光光束强度分布和相位分布的调控。目前，国内外对单个自由曲面的研究相对较多，然而却鲜有文献或专利涉及两个或多个自由曲面光学元件的设计及应用。

中国专利200910046129.5提出了一种针对点光源配光透镜的设计方法，利用该方法能设计出满足要求的透镜，使光源经配光后，光斑达预期分布。然而该方法设计过程中须建立光源与目标照明之间的映射关系，此映射关系通常不满足可积条件，因而只能得到不连续的自由曲面，难以加工。且利用该方法设计的透镜仅包含一个自由曲面，因而只能实现对光束的强度控制，并不能同时实现对相位的调控，控制能力相对较弱。

发明内容

为克服现有技术中存在的问题，本发明提供了一种用于激光光束整形的双自由曲面透镜及其设计方法，便于双自由曲面透镜的加工，且通过本发明所得到的双自由曲面透镜具有较强的调控能力。

一种用于激光光束整形的双自由曲面透镜，用于将平行入射的激光光束偏折后对目标面进行区域照明，所述的双自由曲面透镜包括前表面S1和后表面S2两个自由曲面，其特征在于，以所述双自由曲面透镜的轴线为z轴建立空间直角坐标系o-xyz，并以xoy为底平面、z轴为纵轴建立柱坐标系，所述前表面S1所满足的方程为：

$\left\{\begin{array}{c}\left|J\left(T\right)\right|E(t_x,t_y)-I(r,\mathrm{\θ})r=0\\ \left\{\begin{array}{c}{t}_x=t_x(r,\mathrm{\θ},z_r,z_{\mathrm{\θ}})\\ t_y=t_y(r,\mathrm{\θ},z_r,z_{\mathrm{\θ}})\end{array}:\∂{\mathrm{\Ω}}_1\→\∂{\mathrm{\Ω}}_2\right.\end{array}\right.$

$\left|J\left(T\right)\right|=\left|\begin{array}{cc}\frac{\∂t_x}{\∂r}& \frac{\∂t_x}{\∂\mathrm{\θ}}\\ \frac{\∂t_y}{\∂r}& \frac{\∂t_y}{\∂\mathrm{\θ}}\end{array}\right|$

其中，所述前表面S1上任一点P的柱坐标为(r,θ,z(r,θ))，所述目标面上与点P对应的目标点T的直角坐标为T(t_x,t_y,t_z)，E(t_x,t_y)为目标面上照明光斑的照度分布，I(r,θ)为入射激光光束的强度分布，Ω₁和Ω₂分别为入射激光光束的横截面和目标照明区域；和分别为Ω₁和Ω₂的边界，z_r和z_θ分别为z关于r和θ的一阶偏导数；

设所述后表面S2上与点P对应的为点Q，点Q的柱坐标表示为Q(r,θ,w(r,θ))，所述点Q的纵坐标满足

$w(r,\mathrm{\θ})=z(r,\mathrm{\θ})+\mathrm{\β}\frac{n_o\mathrm{rb}+n_i(z_{\mathrm{\θ}}^2+r^2{z}_r^2)}{(n_o^2-n_i)(z_{\mathrm{\θ}}^2+r^2{z}_r^2)+n_o^2{r}^2-n_o\mathrm{rb}}$

$b=\sqrt{a(z_{\mathrm{\θ}}^2+r^2{z}_r^2)+r^2}$

$a=1-n_i^2/n_o^2$

其中，n_o和n_i分别为双自由曲面透镜所用材料的折射率和双自由曲面透镜周围介质的折射率，β为面xoy和目标面之间光线的光程与面xoy与目标面间的距离之差。

其中，柱坐标系与直角坐标系原点相同，且柱坐标系的纵轴与直角坐标系的z轴相同。

优选的，所述双自由曲面透镜的材质的折射率n_o＝1.4935。

本发明还提供了一种用于激光光束整形的双自由曲面透镜的设计方法，所述的双自由曲面透镜用于将平行入射的激光光束偏折后对目标面进行区域照明，且包括前表面S1和后表面S2两个自由曲面，所述的设计方法包括以下几个步骤：

1)建立激光光束整形要求，确定目标面上照明区域的边界；

2)以激光光束的一个横截面α作为坐标平面xoy，并以所述双自由曲面透镜的轴线为z轴，建立空间直角坐标系o-xyz，同时以xoy为底平面建立柱坐标系(柱坐标系与直角坐标系原点相同，且柱坐标系的纵轴与直角坐标系的z轴相同)，且激光光束的方向与z轴平行，目标面与横截面α平行，且目标面与所述平面xoy的距离为d，记前表面S1上任一点P的柱坐标为(r,θ,z(r,θ))，目标面上与点P对应的目标点T的坐标用直角坐标表示为T(t_x,t_y,t_z)，根据所述的激光光束整形要求，建立点P与目标点T之间的坐标关系；

3)根据点P与目标点T之间的坐标关系，结合激光光束偏折到达目标面所应满足的能量传输关系，以及所述目标面上照明区域的边界，确立所述前表面S1所满足的方程；

4)记点Q为后表面S2上与点P对应的点，点Q在所述柱坐标系下其坐标表示为Q(r,θ,w(r,θ))，根据等光程条件确定点Q的纵坐标w(r,θ)所满足的关系式；

5)对所述步骤3)中的方程以及步骤4)中的关系式联立求解，分别得到前表面S1和后表面S2对应的离散数据点，根据所述的离散数据点进行曲面拟合生成双自由曲面透镜模型。

其中，所述步骤1)中的激光光束整形要求为：经双自由曲面透镜后表面S2出射的光束具有一致的方向性，并平行于入射所述双自由曲面透镜的激光光束，且垂直于所述的目标面。

同时，在步骤1)中，所述激光光束横截面α边界经双自由曲面透镜偏折后与所述照明区域的边界重合。

步骤2)中的点P与目标点T之间的坐标关系为

$\left\{\begin{array}{c}{t}_x=r\cos \mathrm{\θ}+\mathrm{\β}(n_{o}b-n_{i}r)\frac{z_{\mathrm{\θ}}\sin \mathrm{\θ}-r{z}_r\cos \mathrm{\θ}}{(n_o^2-n_i)(z_{\mathrm{\θ}}^2+r^2{z}_r^2)+n_o^2{r}^2-n_o\mathrm{rb}}\\ t_y=r\sin \mathrm{\θ}-\mathrm{\β}(n_{o}b-n_{i}r)\frac{z_{\mathrm{\θ}}\cos \mathrm{\θ}+r{z}_r\sin \mathrm{\θ}}{(n_o^2-n_i)(z_{\mathrm{\θ}}^2+r^2{z}_r^2)+n_o^2{r}^2-n_o\mathrm{rb}}\end{array}\right.$

$b=\sqrt{a(z_{\mathrm{\θ}}^2+r^2{z}_r^2)+r^2}$

$a=1-n_i^2/n_o^2$

其中，z_r和z_θ分别为z关于r和θ的一阶偏导数，n_o和n_i分别为双自由曲面透镜所用材料的折射率和双自由曲面透镜周围介质的折射率，β为横截面α和目标面之间光线的光程与横截面α和目标面距离d之差。

所述步骤3)中的能量传输关系为

|J(T)|E(t_x,t_y)＝I(r,θ)r

$\left|J\left(T\right)\right|=\left|\begin{array}{cc}\frac{\∂t_x}{\∂r}& \frac{\∂t_x}{\∂\mathrm{\θ}}\\ \frac{\∂t_y}{\∂r}& \frac{\∂t_y}{\∂\mathrm{\θ}}\end{array}\right|$

其中，I(r,θ)为入射激光光束的强度分布，E(t_x,t_y)为目标面上照明区域的照度分布。

根据所述目标面上照明区域的边界，所述的双自由曲面透镜应满足边界条件

$\left\{\begin{array}{c}{t}_x=t_x(r,\mathrm{\θ},z_r,z_{\mathrm{\θ}})\\ t_y=t_y(r,\mathrm{\θ},z_r,z_{\mathrm{\θ}})\end{array},:\∂{\mathrm{\Ω}}_1\→\∂{\mathrm{\Ω}}_2\right.$

其中，Ω₁和Ω₂分别为入射激光光束的横截面和目标照明区域；和分别为Ω₁和Ω₂的边界。

步骤3)中，所述前表面S1所满足的方程为

$\left\{\begin{array}{c}\left|J\left(T\right)\right|E(t_x,t_y)-I(r,\mathrm{\θ})r=0\\ \left\{\begin{array}{c}{t}_x=t_x(r,\mathrm{\θ},z_r,z_{\mathrm{\θ}})\\ t_y=t_y(r,\mathrm{\θ},z_r,z_{\mathrm{\θ}})\end{array}:\∂{\mathrm{\Ω}}_1\→\∂{\mathrm{\Ω}}_2\right.\end{array}\right.$

其中，I(r,θ)为入射激光光束的强度分布，E(t_x,t_y)为目标面上照明区域的照度分布。

在所述的步骤4)中，点Q的纵坐标w(r,θ)所满足的关系式为

$w(r,\mathrm{\θ})=z(r,\mathrm{\θ})+\mathrm{\β}\frac{n_o\mathrm{rb}+n_i(z_{\mathrm{\θ}}^2+r^2{z}_r^2)}{(n_o^2-n_i)(z_{\mathrm{\θ}}^2+r^2{z}_r^2)+n_o^2{r}^2-n_o\mathrm{rb}}$

本发明与现有技术相比具有的优点是：

1)本发明双自由曲面透镜能同时实现对激光光束强度分布和相位分布的调控，设计灵活，控制能力强；

2)本发明提出的用于激光光束整形的双自由曲面透镜的设计方法可获得连续的自由曲面面型，实现了曲面的可加工；

3)本发明提出的用于激光光束整形的双自由曲面透镜的设计方法设计效率高，可实现对激光光束和非相干准直光束的整形。

附图说明

图1为用于激光光束整形的双自由曲面透镜的结构示意图；

图2为用于激光光束整形的双自由曲面透镜的设计原理图；

图3为用于激光光束整形的双自由曲面透镜的折射示意图；

图4为第一象限的取值区域离散化示意图；

图5为光源的照度曲线图；

图6为预定目标照明面的照明光斑；

图7(a)为光线接收面位于60mm时的照度曲线图；

图7(b)为光线接收面位于80mm时的照度曲线图；

图7(c)为光线接收面位于100mm时的照度曲线图。

具体实施方式

为使本发明的目的、技术方案及优点更加清楚，下面将结合附图对本发明做进一步说明。

用于激光光束整形的双自由曲面透镜的设计方法，所述的透镜包含前表面S1和后表面S2两个自由曲面，具体步骤如下：

(1)根据入射激光光束的发光特性和目标照明要求，设置入射面S1和出射面S2的初始结构，参见附图1；

(2)以入射激光光束的一个横截面α作为坐标平面xoy建立直角坐标系，入射激光光束的方向与z轴平行，并以xoy为底平面、z轴为纵轴建立柱坐标系，目标面与横截面α平行，与平面xoy的距离为d。双自由曲面透镜的前表面S1上任一点P的柱坐标为(r,θ,z(r,θ))，目标面上与点P对应的目标点T的坐标用直角坐标表示为T(t_x,t_y,t_z)。显然，t_z＝d。矢量P为点P的位置矢量，是一个由原点指向点P的矢量；矢量T为点T的位置矢量，是一个由原点指向点T的矢量。由于入射光线的单位方向向量I＝(0,0,1)，根据折射定律n_oO＝n_iI+pN，其中：

$p=\frac{n_{o}b-n_{i}r}{\sqrt{z_{\mathrm{\θ}}^2+r^2{z}_r^2+r^2}}$

可以得到入射光线经前表面S1偏折后的出射光线的单位方向向量为

$O=\frac{1}{n_o(z_{\mathrm{\θ}}^2+r^2{z}_r^2+r^2)}(O_x,O_y,O_z)$

其中， $\left\{\begin{array}{c}{O}_x=(z_{\mathrm{\θ}}\sin \mathrm{\θ}-{\mathrm{rz}}_r\cos \mathrm{\θ})(n_{o}b-n_{i}r)\\ O_y=-(z_{\mathrm{\θ}}\cos \mathrm{\θ}+{\mathrm{rz}}_r\sin \mathrm{\θ})(n_{o}b-n_{i}r)\\ O_z=n_i(z_{\mathrm{\θ}}^2+r^2{z}_r^2)+n_o\mathrm{rb}\end{array}\right.,$

$b=\sqrt{a(z_{\mathrm{\θ}}^2+r^2{z}_r^2)+r^2}$

$a=1-n_i^2/n_o^2$

其中，z_r和z_θ分别为z关于r和θ的一阶偏导数，n_o和n_i分别为双自由曲面透镜所用材料的折射率和双自由曲面透镜周围介质的折射率；

(3)根据激光光束整形要求，由双自由曲面透镜后表面S2出射的光束具有一致的方向性，且垂直于目标面入射。由入射激光光束和出射光束波前之间的光程关系，可建立点P与目标点T之间的坐标关系

$\left\{\begin{array}{c}{t}_x=r\cos \mathrm{\θ}+\mathrm{\β}(n_{o}b-n_{i}r)\frac{z_{\mathrm{\θ}}\sin \mathrm{\θ}-r{z}_r\cos \mathrm{\θ}}{(n_o^2-n_i)(z_{\mathrm{\θ}}^2+r^2{z}_r^2)+n_o^2{r}^2-n_o\mathrm{rb}}\\ t_y=r\sin \mathrm{\θ}-\mathrm{\β}(n_{o}b-n_{i}r)\frac{z_{\mathrm{\θ}}\cos \mathrm{\θ}+r{z}_r\sin \mathrm{\θ}}{(n_o^2-n_i)(z_{\mathrm{\θ}}^2+r^2{z}_r^2)+n_o^2{r}^2-n_o\mathrm{rb}}\end{array}\right.$

其中，β为面α和目标面之间光线的光程与两平面距离d之差；

(4)由步骤(3)得到的点P与目标点T之间的坐标关系，经坐标变换可得到以下关系

dt_xdt_y＝|J(T)|drdθ

其中，J(T)为位置矢量T的Jacobi矩阵，

$\left|J\left(T\right)\right|=\left|\begin{array}{cc}\frac{\∂t_x}{\∂r}& \frac{\∂t_x}{\∂\mathrm{\θ}}\\ \frac{\∂t_y}{\∂r}& \frac{\∂t_y}{\∂\mathrm{\θ}}\end{array}\right|.$

(5)在不考虑能量损耗的情况下，要求入射激光光束截面无限小的光束窄带经双自由曲面透镜前表面S1和后表面S2偏折到达目标面后，满足能量传输关系

|J(T)|E(t_x,t_y)＝I(r,θ)r

其中，I(r,θ)为入射激光光束的强度分布，E(t_x,t_y)为目标面上照明光斑的照度分布；

(6)为使出射激光光束获得预定的边界，还应保证入射激光光束的边界经双自由曲面透镜的前表面S1和后面S2偏折后入射到目标面照明区域的边界，因此该双自由曲面透镜还须满足以下边界条件：

$\left\{\begin{array}{c}{t}_x=t_x(r,\mathrm{\θ},z_r,z_{\mathrm{\θ}})\\ t_y=t_y(r,\mathrm{\θ},z_r,z_{\mathrm{\θ}})\end{array},:\∂{\mathrm{\Ω}}_1\→\∂{\mathrm{\Ω}}_2\right.$

其中，Ω₁和Ω₂分别为入射激光光束的横截面和目标照明区域；和分别为Ω₁和Ω₂的边界；

(7)由步骤(5)中的能量传输关系和步骤(6)中的边界条件可得到双自由曲面透镜前表面S1所满足的方程

$\left\{\begin{array}{c}\left|J\left(T\right)\right|E(t_x,t_y)-I(r,\mathrm{\θ})r=0\\ \left\{\begin{array}{c}{t}_x=t_x(r,\mathrm{\θ},z_r,z_{\mathrm{\θ}})\\ t_y=t_y(r,\mathrm{\θ},z_r,z_{\mathrm{\θ}})\end{array}:\∂{\mathrm{\Ω}}_1\→\∂{\mathrm{\Ω}}_2\right.\end{array}\right.$

(8)点Q为双自由曲面透镜后表面S2上与点P对应的一点，在柱坐标系下其坐标表示为Q(r,θ,w(r,θ))，根据等光程条件可得到点Q的纵坐标w(r,θ)满足以下关系式

$w(r,\mathrm{\θ})=z(r,\mathrm{\θ})+\mathrm{\β}\frac{n_o\mathrm{rb}+n_i(z_{\mathrm{\θ}}^2+r^2{z}_r^2)}{(n_o^2-n_i)(z_{\mathrm{\θ}}^2+r^2{z}_r^2)+n_o^2{r}^2-n_o\mathrm{rb}}$

(9)对步骤(7)和步骤(8)中的关系式联立求解，分别得到双自由曲面透镜前表面S1和后表面S2对应的离散数据点，通过该两组数据点进行曲面拟合即可得到双自由曲面透镜模型。

所述的双自由曲面透镜的前后表面均为自由曲面，透镜前表面S1的边界在横截面α上的投影与入射光束的横截面光斑Ω₁的边界重合；透镜后表面S2的边界在目标面上的投影与目标面上照明区域光斑Ω₂的边界重合。本发明的双自由曲面透镜还可用于实现非相干的准直光束的整形。

实施例1

双自由曲面透镜拟采用如附图1所示的结构类型，前后表面均为自由曲面。假定利用双自由曲面透镜所需要实现的目标为：平行入射的激光光束为圆对称高斯分布，经双自由曲面透镜偏折后产生方向一致且与入射光平行的均匀圆形照明。

如附图2所示，以入射激光光束的一个横截面α作为坐标平面xoy建立直角坐标系，激光光束的方向与z轴平行，目标面与横截面α平行，与平面xoy的距离为d＝80mm。激光光源为高斯分布，扩束后的光束束腰为40mm，圆形横截面半径为10mm。圆形照明光斑半径为13mm，为均匀强度分布。双自由曲面透镜前表面S1顶点坐标为z＝10mm，后表面S2顶点坐标为z＝20mm。双自由曲面透镜的材料折射率为n_o＝1.4935，透镜周围介质为空气即n_i＝1。

入射光线的单位方向向量I＝(0,0,1)，根据折射定律n_oO＝n_iI+pN，其中可以得到入射光线经前表面S1偏折后的出射光线的单位方向向量

$O=\frac{1}{n_o(z_{\mathrm{\θ}}^2+r^2{z}_r^2+r^2)}(O_x,O_y,O_z)$

其中， $\left\{\begin{array}{c}{O}_x=(z_{\mathrm{\θ}}\sin \mathrm{\θ}-{\mathrm{rz}}_r\cos \mathrm{\θ})(n_{o}b-n_{i}r)\\ O_y=-(z_{\mathrm{\θ}}\cos \mathrm{\θ}+{\mathrm{rz}}_r\sin \mathrm{\θ})(n_{o}b-n_{i}r)\\ O_z=n_i(z_{\mathrm{\θ}}^2+r^2{z}_r^2)+n_o\mathrm{rb}\end{array}\right.,$

$b=\sqrt{a(z_{\mathrm{\θ}}^2+r^2{z}_r^2)+r^2}$

$a=1-n_i^2/n_o^2$

式中：z_r和z_θ分别为z关于r和θ的一阶偏导数，n_o和n_i分别为双自由曲面透镜所用材料的折射率和双自由曲面透镜周围介质的折射率。

根据激光光束整形要求，由双自由曲面透镜后表面S2出射的光束具有一致的方向性，且垂直于目标面入射，参见附图3。由入射激光光束和出射光束波前之间的光程关系，可建立点P与目标点T之间的坐标关系

$\left\{\begin{array}{c}{t}_x=r\cos \mathrm{\θ}+\mathrm{\β}(n_{o}b-n_{i}r)\frac{z_{\mathrm{\θ}}\sin \mathrm{\θ}-r{z}_r\cos \mathrm{\θ}}{(n_o^2-n_i)(z_{\mathrm{\θ}}^2+r^2{z}_r^2)+n_o^2{r}^2-n_o\mathrm{rb}}\\ t_y=r\sin \mathrm{\θ}-\mathrm{\β}(n_{o}b-n_{i}r)\frac{z_{\mathrm{\θ}}\cos \mathrm{\θ}+r{z}_r\sin \mathrm{\θ}}{(n_o^2-n_i)(z_{\mathrm{\θ}}^2+r^2{z}_r^2)+n_o^2{r}^2-n_o\mathrm{rb}}\end{array}\right.$

其中，β为面α和目标面之间光线的光程与两平面距离d之差，d＝80mm，则β＝4.935mm。

根据点P与目标点T之间的坐标关系，经坐标变换可得到以下关系

dt_xdt_y＝|J(T)|drdθ

其中，J(T)为位置矢量T的Jacobi矩阵， $\left|J\left(T\right)\right|=\left|\begin{array}{cc}\frac{\∂t_x}{\∂r}& \frac{\∂t_x}{\∂\mathrm{\θ}}\\ \frac{\∂t_y}{\∂r}& \frac{\∂t_y}{\∂\mathrm{\θ}}\end{array}\right|.$

上述能量传输方程经过整理和简化后得到一组椭圆型Monge-Ampére方程

$A_1(z_{\mathrm{rr}}{z}_{\mathrm{\θ\θ}}-z_{\mathrm{\θr}}^2)+A_2{z}_{\mathrm{rr}}+A_3{z}_{\mathrm{\θ\θ}}+A_4{z}_{\mathrm{\θr}}+A_5=0$

其中，z_rr、z_θθ和z_θr分别是z关于r和θ的二阶偏导数和混合偏导数，系数A_i＝A_i(r,θ,z_r,z_θ)(i＝1,...,5)。为保证目标照明区域的形状，该双自由曲面透镜还须满足以下边界条件

$\left\{\begin{array}{c}{t}_x=t_x(r,\mathrm{\θ},z_r,z_{\mathrm{\θ}})\\ t_y=t_y(r,\mathrm{\θ},z_r,z_{\mathrm{\θ}})\end{array},:\∂{\mathrm{\Ω}}_1\→\∂{\mathrm{\Ω}}_2\right.$

其中，和分别为Ω₁＝{(r,θ)|0≤r≤10,0≤θ≤2π}和Ω₂＝{(r,θ)|0≤r≤13,0≤θ≤2π}的边界。

将照明问题转化为如上所述的数学问题后，须对上述数学方程进行求解，且通常只能求得其数值解。首先对区域Ω₁进行离散化，即分别对变量r和θ的取值区域离散化，Ω₁＝{(θ_i,r_j)|θ_i＝ih₁,r_j＝jh₂,i＝0,1,...,m,j＝0,1,...,n}，其中h₁、h₂和m、n分别为θ和r方向的步长和离散点数目。以该区域第一象限为例，离散化后的区域如附图4所示。之后，采用差分格式替代能量传输方程和边界条件方程中的偏导项，其中，边界点、内点及其中的顶点的差分格式均根据其坐标位置特点和自由曲面设计的相应精度要求具体选择。由此将偏微分方程转化为一个非线性方程组，并采用牛顿法求解该方程组，即可得到前表面S1上的一系列离散数据点。

根据光程关系可由前表面S1确定后表面S2的面型。S2的出射光为与z轴平行的光束，因而可将S2面型离散点的x、y坐标与目标面离散目标点的t_x、t_y对应，其纵坐标w(r,θ)则可根据等光程条件由前表面S1的纵坐标获得

$w(r,\mathrm{\θ})=z(r,\mathrm{\θ})+\mathrm{\β}\frac{n_o\mathrm{rb}+n_i(z_{\mathrm{\θ}}^2+r^2{z}_r^2)}{(n_o^2-n_i)(z_{\mathrm{\θ}}^2+r^2{z}_r^2)+n_o^2{r}^2-n_o\mathrm{rb}}$

由此，得到后表面S2一系列离散数据点的坐标信息。

利用计算得到的两个自由曲面的离散数据点进行3D建模，构建出双自由曲面透镜模型。将透镜模型导入光学软件进行模拟，对透镜追迹100万条光线，光源照度曲线如附图5所示。预定目标照明面垂直于z轴并与z轴交于点(0,0,80)，在目标面上得到照明光斑，如附图6所示。由于透镜出射光为平行光，为便于对结果进行分析，将预定目标面位置沿z轴前后调整，并绘制各个位置目标面上直线x＝0(或y＝0)上的照度曲线并进行对比，附图7为目标面分别位于60mm、80mm和100mm处的照度曲线对比图，从对比图可以看出，位于三个位置的目标面上获得的照度曲线一致，因此可以从侧面证明本发明提出的设计方法可以实现对激光光束相位的调控的结论。

由模拟结果分析可见，本发明所提出的用于激光光束整形的双自由曲面透镜的设计方法是有效可行的。

Claims (9)

1.一种用于激光光束整形的双自由曲面透镜，用于将平行入射的激光光束偏折后对目标面进行区域照明，所述的双自由曲面透镜包括前表面S1和后表面S2两个自由曲面，其特征在于，以所述双自由曲面透镜的轴线为z轴建立空间直角坐标系o-xyz，并以xoy为底平面、z轴为纵轴建立柱坐标系，所述的柱坐标系与直角坐标系o-xyz原点相同，且柱坐标系的纵轴与直角坐标系的z轴相同，所述前表面S1所满足的方程为：

$\left\{\begin{array}{c}\left|J\left(T\right)\right|E(t_x,t_y)-I(r,\mathrm{\θ})r=0\\ \left\{\begin{array}{c}{t}_x=t_x(r,\mathrm{\θ},z_r,z_{\mathrm{\θ}})\\ t_y=t_y(r,\mathrm{\θ},z_r,z_{\mathrm{\θ}})\end{array}\right.\end{array}:\∂:{\mathrm{\Ω}}_1:\→:\∂:{\mathrm{\Ω}}_2\right.$

$\left|J\left(T\right)\right|=\left|\begin{array}{cc}\frac{{\∂t}_x}{\∂r}& \frac{{\∂t}_x}{\∂\mathrm{\θ}}\\ \frac{{\∂t}_y}{\∂r}& \frac{{\∂t}_y}{\∂\mathrm{\θ}}\end{array}\right|$

其中，所述前表面S1上任一点P的柱坐标为(r,θ,z(r,θ))，所述目标面上与点P对应的目标点T的直角坐标为T(t_x,t_y,t_z)，E(t_x,t_y)为目标面上照明光斑的照度分布，I(r,θ)为入射激光光束的强度分布，Ω₁和Ω₂分别为入射激光光束的横截面和目标照明区域；和分别为Ω₁和Ω₂的边界，z_r和z_θ分别为z关于r和θ的一阶偏导数；

设所述后表面S2上与点P对应的为点Q，点Q的柱坐标表示为Q(r,θ,w(r,θ))，所述点Q的纵坐标满足

$w(r,\mathrm{\θ})=z(r,\mathrm{\θ})+\mathrm{\β}\frac{n_o\mathrm{rb}+n_i(z_{\mathrm{\θ}}^2+r^2{z}_r^2)}{(n_o^2-n_i)(z_{\mathrm{\θ}}^2+r^2{z}_r^2)+n_o^2{r}^2-n_o\mathrm{rb}}$

$b=\sqrt{a(z_{\mathrm{\θ}}^2+r^2{z}_r^2)+r^2}$

$a=1-n_i^2/n_o^2$

其中，n_o和n_i分别为双自由曲面透镜所用材料的折射率和双自由曲面透镜周围介质的折射率，β为面xoy和目标面之间光线的光程与面xoy与目标面间的距离之差。

2.一种用于激光光束整形的双自由曲面透镜的设计方法，所述的双自由曲面透镜用于将平行入射的激光光束偏折后对目标面进行区域照明，且包括前表面S1和后表面S2两个自由曲面，其特征在于，所述的设计方法包括以下几个步骤：

1)建立激光光束整形要求，确定目标面上照明区域的边界；

2)以激光光束的一个横截面α作为坐标平面xoy，并以所述双自由曲面透镜的轴线为z轴，建立空间直角坐标系o-xyz，同时以xoy为底面建立柱坐标系，所述的柱坐标系与直角坐标系o-xyz原点相同，且柱坐标系的纵轴与直角坐标系的z轴相同，且激光光束的方向与z轴平行，目标面与横截面α平行，且目标面与所述平面xoy的距离为d，记前表面S1上任一点P的柱坐标为(r,θ,z(r,θ))，目标面上与点P对应的目标点T的坐标用直角坐标表示为T(t_x,t_y,t_z)，根据所述的激光光束整形要求，建立点P与目标点T之间的坐标关系；

3)根据点P与目标点T之间的坐标关系，结合激光光束偏折到达目标面所应满足的能量传输关系，以及所述目标面上照明区域的边界，确立所述前表面S1所满足的方程；

4)记点Q为后表面S2上与点P对应的点，点Q在所述柱坐标系下其坐标表示为Q(r,θ,w(r,θ))，根据等光程条件确定点Q的纵坐标w(r,θ)所满足的关系式；

5)对所述步骤3)中的方程以及步骤4)中的关系式联立求解，分别得到前表面S1和后表面S2对应的离散数据点，根据所述的离散数据点进行曲面拟合生成双自由曲面透镜模型。

3.如权利要求2所述的用于激光光束整形的双自由曲面透镜的设计方法，其特征在于，所述步骤1)中的激光光束整形要求为：经双自由曲面透镜后表面S2出射的光束具有一致的方向性，并平行于入射所述双自由曲面透镜的激光光束，且垂直于所述的目标面。

4.如权利要求3所述的用于激光光束整形的双自由曲面透镜的设计方法，其特征在于，在步骤1)中，所述激光光束横截面α边界经双自由曲面透镜偏折后与所述照明区域的边界重合。

5.如权利要求2所述的用于激光光束整形的双自由曲面透镜的设计方法，其特征在于，步骤2)中的点P与目标点T之间的坐标关系为

$\left\{\begin{array}{c}{t}_x=r\cos \mathrm{\θ}+\mathrm{\β}(n_{o}b-n_{i}r)\frac{z_{\mathrm{\θ}}\sin \mathrm{\θ}-{\mathrm{rz}}_r\cos \mathrm{\θ}}{(n_o^2-n_i)(z_{\mathrm{\θ}}^2+r^2{z}_r^2)+n_o^2{r}^2-n_o\mathrm{rb}}\\ t_y=r\sin \mathrm{\θ}-\mathrm{\β}(n_{o}b-n_{i}r)\frac{z_{\mathrm{\θ}}\cos \mathrm{\θ}+{\mathrm{ra}}_r\sin \mathrm{\θ}}{(n_o^2-n_i)(z_{\mathrm{\θ}}^2+r^2{z}_r^2)+n_o^2{r}^2-n_o\mathrm{rb}}\end{array}\right.$

$b=\sqrt{a(z_{\mathrm{\θ}}^2+r^2{z}_r^2)+r^2}$

$a=1-n_i^2/n_o^2$

其中，z_r和z_θ分别为z关于r和θ的一阶偏导数，n_o和n_i分别为双自由曲面透镜所用材料的折射率和双自由曲面透镜周围介质的折射率，β为横截面α和目标面之间光线的光程与横截面α和目标面距离d之差。

6.如权利要求2所述的用于激光光束整形的双自由曲面透镜的设计方法，其特征在于，所述步骤3)中的能量传输关系为

|J(T)|E(t_x,t_y)＝I(r,θ)r

$\left|J\left(T\right)\right|=\left|\begin{array}{cc}\frac{{\∂t}_x}{\∂r}& \frac{{\∂t}_x}{\∂\mathrm{\θ}}\\ \frac{{\∂t}_y}{\∂r}& \frac{{\∂t}_y}{\∂\mathrm{\θ}}\end{array}\right|$

其中，I(r,θ)为入射激光光束的强度分布，E(t_x,t_y)为目标面上照明区域的照度分布。

7.如权利要求2所述的用于激光光束整形的双自由曲面透镜的设计方法，其特征在于，根据所述目标面上照明区域的边界，所述的双自由曲面透镜应满足边界条件

$\left\{\begin{array}{c}{t}_x=t_x(r,\mathrm{\θ},z_r,z_{\mathrm{\θ}})\\ t_y=t_y(r,\mathrm{\θ},z_r,z_{\mathrm{\θ}})\end{array}\right.:\∂{\mathrm{\Ω}}_1\→\∂{\mathrm{\Ω}}_2$

其中，Ω₁和Ω₂分别为入射激光光束的横截面和目标照明区域；和分别为Ω₁和Ω₂的边界。

8.如权利要求7所述的用于激光光束整形的双自由曲面透镜的设计方法，其特征在于，步骤3)中，所述前表面S1所满足的方程为

$\left\{\begin{array}{c}\left|J\left(T\right)\right|E(t_x,t_y)-I(r,\mathrm{\θ})r=0\\ \left\{\begin{array}{c}{t}_x=t_x(r,\mathrm{\θ},z_r,z_{\mathrm{\θ}})\\ t_y=t_y(r,\mathrm{\θ},z_r,z_{\mathrm{\θ}})\end{array}\right.\end{array}:\∂{\mathrm{\Ω}}_1\→\∂{\mathrm{\Ω}}_2\right.$

其中，I(r,θ)为入射激光光束的强度分布，E(t_x,t_y)为目标面上照明区域的照度分布。

9.如权利要求8所述的用于激光光束整形的双自由曲面透镜的设计方法，其特征在于，在所述的步骤4)中，点Q的纵坐标w(r,θ)所满足的关系式为

$w(r,\mathrm{\θ})=z(r,\mathrm{\θ})+\mathrm{\β}\frac{n_o\mathrm{rb}+n_i(z_{\mathrm{\θ}}^2+r^2{z}_r^2)}{(n_o^2-n_i)(z_{\mathrm{\θ}}^2+r^2{z}_r^2)+n_o^2{r}^2-n_o\mathrm{rb}}.$