CN103326976A - 基于加权分数傅立叶变换的双弥散信道下的迭代频域最小均方误差均衡方法 - Google Patents

Abstract

基于加权分数傅立叶变换的双弥散信道下的迭代频域最小均方误差均衡方法，本发明涉及一种无线双弥散信道或水底声纳信道下的混合载波通信系统中的迭代频域最小均方误差信道均衡方法。本发明是要解决信号同时在时间域和频率域上的能量弥散的问题。一、混合载波调制系统发送端完成混合载波调制；二、对时域序列x加入循环前缀并经过并串转换；三、将时域采样序列串行发送；四、混合载波调制系统接收端忽略CP部分；五、对时域采样序列y做N点DFT；六、对频域某子载波对应的频率上的采样点

进行线性MMSE估计并做N点阶WFRFT；七、对先验信息

和ρ_s＝χ(s，s)进行渐进估计；八、计算对应的频域先验信息；九、先验信息的反馈。本发明应用于移动通信领域。

Description

基于加权分数傅立叶变换的双弥散信道下的迭代频域最小均方误差均衡方法

技术领域

本发明涉及一种无线双弥散信道或水底声纳信道下的混合载波通信系统中的迭代频域最小均方误差信道均衡方法。

背景技术

随着陆地交通、航空航天及海底通信技术的发展，通信系统经历的信道环境进一步复杂化。由于通信双方的高速相对移动而引起的大多普勒频移，对未来以正交频分复用(orthogonal frequency division multiplexing,OFDM)和单载波(single carrier,SC)调制为基础的LTE系统的信号检测系统提出了挑战。尤其是在如高铁、低空飞行器、低仰角卫星以及水底声纳等通信环境下，信号在经历信道时不可避免的同时引入了多径传输和多普勒频移。由此造成的信号同时在时间域和频率域上的能量弥散，在OFDM和SC调制系统中体现为时域的采样间干扰(inter-sample interference,ISI)和频域的载波间干扰(inter-carrierinterference,ICI)。

这两种干扰是由双弥散信道造成的，与外界干扰不同，往往需要在接收端引入复杂的多抽头信道均衡削弱其对通信质量的影响。已有的均衡技术包括线性均衡、非线性均衡两种。基于最大后验(maximum a posteriori,MAP)准则和最小均方误差(minimum mean squareerror,MMSE)准则设计的迭代均衡技术作为一种特殊的非线性均衡方法，与传统线性均衡和以判决反馈为基础的非线性均衡相比，其误码性能具有明显优势。但现有均衡方法多针对OFDM和SC调制系统提出。本发明针对一种基于分数傅立叶变换(weighted-typefractional Fourier transform,WFRFT)的混合载波(hybrid carrier,HC)调制系统构架，提出一种新的迭代频域MMSE均衡方法，以期在双弥散信道下获得更大的误码性能增益。此外，这种迭代频域MMSE均衡的抽头个数由多普勒频移的大小决定，从而避免了时域迭代均衡中出现的在遭遇时延扩展较大的信道时为实现均衡器而花费的巨大开销。

发明内容

本发明是要解决由于信号在经历信道时不可避免的同时引入了多径传输和多普勒频移，由此造成的信号同时在时间域和频率域上的能量弥散的问题，而提供了基于加权分数傅立叶变换的双弥散信道下的迭代频域最小均方误差均衡方法。

基于加权分数傅立叶变换的双弥散信道下的迭代频域最小均方误差均衡方法按以下步骤实现：

一、混合载波调制系统发送端完成混合载波调制得到时域序列x；

二、对步骤一中得到的时域序列x加入循环前缀并经过并串转换后得到时域采样序列

三、将步骤二中的时域采样序列

串行发送，经历双弥散信道后到达混合载波调制系统接收端；

四、混合载波调制系统接收端忽略CP部分，将接收到的每个时域采样序列y可表示为混合载波调制系统发送端序列与信道离散冲击响应的卷积形式：

$y_m=\underset{l=0}{\overset{N_h-1}{\mathrm{\&Sigma;}}}h(m,l)x_{{<m-l>}_N}+v_m,0\&le;m\&le;N-1,$

其中N_h表示信道冲击响应的长度，即多径的最大时延扩展对应的采样延时长度，在混合载波调制系统接收端对接收序列做串并转换和去CP处理后得到的时域序列可进一步表示为：

y＝H_tlx+v   (1)

其中时域信道矩阵H_tl中的元素为：

${\left[H_{\mathrm{tl}}\right]}_{m,n}=\left\{\begin{array}{cc}h(m,l),& n={<m-l>}_N\\ 0& \mathrm{otherwise}\end{array}\right..$

其中l取值范围为l＝0，…，N_h-1；

五、混合载波调制系统接收端对接收到的时域采样序列y做N点DFT得到频域各子载波对应的频率上的采样点序列z可表示为：

z＝Fy＝FH_tlx+Fv

＝FH_tlF^Hu+Fv

＝H_dfu+Fv

＝H_dfF^1-αs+Fv

其中u＝F^1-αs表示s对应的频域各子载波频率上的采样序列，F^1-α表示1-α阶WFRFT矩阵，频域信道矩阵H_df=FH_tlF^H呈现一种带状结构，其元素能量主要聚集在主对角线附近，这种带状结构的宽度[-D，D]只与多普勒频移的大小有关，多普勒频移越小，能量分布越集中，反之亦然，通过接收端引入某些特定的滤波器改进频域信道矩阵的带状结构，以改进系统的性能；

六、由混合载波调制系统接收端对接收到的频域某子载波对应的频率上的采样点

进行线性MMSE估计；

七、以迭代的方式对发送端频域序列对应的先验信息

和ρ_u＝χ(u,u)进行渐进估计；

八、借助估计WFRFT域的先验信息(即和ρ_s)来计算对应的频域先验信息；

九、先后完成WFRFT域的先验信息与频域先验信息的更新。

工作原理：

HC调制系统中引入基于WFRFT的迭代频域MMSE均衡系统模型如图2所示，为后文推导简便故，在此给出系统中各符号定义：

α——HC系统调制阶数；

h(m，l)——双弥散信道离散瞬时信道冲击响应；

H_tl——双弥散信道时域信道矩阵；

H_df——双弥散信道时域信道矩阵；

b＝[b_0，0，…，b_0，Q-1，…，b_N-1，0，…，b_N-1，Q-1]^t——发送端长度为NQ数据比特序列；

s＝[s₀，s₁，…，s_N-1]^t——发送端长度为N的数据符号序列；

u＝[u₀，u₁，…，u_N-1]^t——发送端数据符号序列对应的频域信号采样序列；

x＝[x₀，x₁，…，x_N-1]^t——发送端数据符号序列对应的时域信号采样序列；

——加入长度为N_c的循环前缀并经过并串转换处理后的发送端时域信号采用序列。

v＝[v₀，v₁，…，v_N-1]^t——接收端引入的方差为σ²的时域复高斯白噪声采样序列；

y＝[y₀，y₁，…，y_N-1]^t——接收端接收到的时域信号采样序列；

z＝[_z0，z₁，…，z_N-1]^t——接收端接收到的时域信号采样序列经过N点DFT后得到的对应的频域采样序列；

——接收端对发送端频域信号采样序列的估计序列；

——接收端对发送端源数据符号序列的估计序列；

——迭代频域MMSE过程中第l次迭代过程中线性MMSE估计的先验信息，表示对s的期望E{s}的估计值，其中E{·}表示对序列求期望/均值。

——迭代频域MMSE过程中第l次迭代过程中线性MMSE估计的先验信息，表示对s自协方差矩阵的估计，其中χ(·，·)表示两序列的协方差矩阵。

——接收端对发送端源数据符号序列的估计序列；

$\hat{b}={[{\hat{b}}_{\mathrm{0,0}},\&CenterDot;\&CenterDot;\&CenterDot;,{\hat{b}}_{0,Q-1},\&CenterDot;\&CenterDot;\&CenterDot;,{\hat{b}}_{N-\mathrm{1,0}},\&CenterDot;\&CenterDot;\&CenterDot;,{\hat{b}}_{N-1,Q-1}]}^t$ ——接收端对发送端源数据比特序列的估计序列；

L＝[L_0，0，…，L_0，Q-1，…，L_N-1，0，…，L_N-1，Q-1]^t——源数据比特序列对应的对数似然比(log-likelihood ratio,LLR)序列；

——0到N-1的自然数集合；

——0到Q-1的自然数集合；

——0到J-1的自然数集合，其中J＝2^Q。

发明效果：

仿真试验中，图4所示为三种调制方式：OFDM、SC和HC分别采用5次迭代和10次迭代的基于WFRFT的频域迭代MMSE均衡方法时的误码性能曲线。系统参数为：带宽2MHz，载波中心频率20GHz，块长度N＝128；信道参数：7径(N_h＝7)瑞利信道模型，发送端与接收端的相对移动速度为270km/hr，最大时延扩展为3μs。其中子图(a)为接收端采用矩形窗的结果，(b)为采用最大信干噪比(maximum signal-to-interference-plus-noise ratio,max-SNIR)时域窗的结果，(c)为采用最小带限近似误差(minimum band approximation error,min-BAE)时域窗的结果。由仿真结果图可知，本发明所采用的方法明显提高了HC调制系统在双弥散信道下的优势，且当接收端采用一些为双弥散信道设计的时域窗的条件下，这种优势被进一步增大。当未采用时域窗时，在比特能量/噪声功率谱密度<19dB时，三种系统即使在引入迭代频域均衡时其误比特率均未达到10^-3以下；而当采用时域窗处理后，混合载波系统在引入迭代频域均衡后可在18dB的比特能量/噪声功率谱密度内达到10^-3以下误比特率，明显优于单载波和OFDM系统。

附图说明

图1是本发明流程图；

图2是具体实施方式一中的HC-迭代频域MMSE均衡系统框图；

图3是具体实施方式一中的基于WFRFT的迭代频域MMSE均衡结构图；

图4(a)是具体实施方式一中的双弥散信道下误码率仿真曲线接收端不采用时域窗处理的结果，图4(b)是具体实施方式一中的双弥散信道下误码率仿真曲线接收端为采用最小信干噪比时域窗处理的结果，图4(c)是具体实施方式一中的双弥散信道下误码率仿真曲线接收端为采用最小带限近似误差时域窗处理后的结果；

表示OFDM系统中采用5次迭代的迭代频域均衡，

表示OFDM系统中采用10次迭代的迭代频域均衡，

表示单载波系统中采用5次迭代的迭代频域均衡，

表示单载波系统中采用10次迭代的迭代频域均衡，表示混合载波系统中采用5次迭代的迭代频域均衡，

表示混合载波系统中采用10次迭代的迭代频域均衡。

具体实施方式

具体实施方式一：本实施方式的基于加权分数傅立叶变换的双弥散信道下的迭代频域最小均方误差均衡方法按以下步骤实现：

一、混合载波调制系统发送端完成混合载波调制得到时域序列x；

二、对步骤一中得到的时域序列x加入循环前缀并经过并串转换后得到时域采样序列

三、将步骤二中的时域采样序列

串行发送，经历双弥散信道后到达混合载波调制系统接收端；

四、混合载波调制系统接收端忽略CP部分，将接收到的每个时域采样序列y可表示为混合载波调制系统发送端序列与信道离散冲击响应的卷积形式：

$y_m=\underset{l=0}{\overset{N_h-1}{\mathrm{\&Sigma;}}}h(m,l)x_{{<m-l>}_N}+v_m,0\&le;m\&le;N-1,$

其中N_h表示信道冲击响应的长度，即多径的最大时延扩展对应的采样延时长度，在混合载波调制系统接收端对接收序列做串并转换和去CP处理后得到的时域序列可进一步表示为：

y＝H_tlx+v   (2)

其中时域信道矩阵H_tl中的元素为：

${\left[H_{\mathrm{tl}}\right]}_{m,n}=\left\{\begin{array}{cc}h(m,l),& n={<m-l>}_N\\ 0& \mathrm{otherwise}\end{array}\right..$

其中l取值范围为l＝0，…，N_h-1；

五、混合载波调制系统接收端对接收到的时域采样序列y做N点DFT得到频域各子载波对应的频率上的采样点序列z可表示为：

z＝Fy＝FH_tlx+Fv

＝FH_tlF^Hu+Fv

＝H_dfu+Fv

＝H_dfF^1-αs+Fv

其中u＝F^1-αs表示s对应的频域各子载波频率上的采样序列，F^1-α表示1-α阶WFRFT矩阵，频域信道矩阵H_df=FH_tlF^H呈现一种带状结构，其元素能量主要聚集在主对角线附近，这种带状结构的宽度[-D，D]只与多普勒频移的大小有关，多普勒频移越小，能量分布越集中，反之亦然，通过接收端引入某些特定的滤波器改进频域信道矩阵的带状结构，以改进系统的性能；

六、由混合载波调制系统接收端对接收到的频域某子载波对应的频率上的采样点

进行线性MMSE估计；

七、以迭代的方式对发送端频域序列对应的先验信息和ρ_u＝χ(u，u)进行渐进估计；

八、借助估计WFRFT域的先验信息(即

和ρ_s)来计算对应的频域先验信息；

九、先后完成WFRFT域的先验信息与频域先验信息的更新。

本实施方式中，线性MMSE估计具体为：

由频域信道矩阵的结构可知，频域某子载波对应的频率上的采样只对其邻近的±D个子载波对应频率上的采样产生干扰，也即是每个采样的能量被弥散到频域其前面D个子载波对应的采样上面，因此为了抵消信道的影响并恢复某个频域子载波对应频率上的采样值，仅需对这2D+1个临近的频域采样做处理并实现能量聚集即可；

根据以上分析，若已知发送端频域序列u的期望

及其自协方差矩阵ρ_u(即先验信息)，由接收端接收到的序列所得的对发送端频域某子载波对应的频率上的采样点

的线性MMSE估计可表示为：

${\hat{u}}_k={\stackrel{\&OverBar;}{u}}_k+g_k^H(y_k-H_k\stackrel{\&OverBar;}{u}),$

其中y_k＝[y_k-D，…，y_k+D]^t，H_k包含H_df的第k-D至k+D行，均衡器系数向量可表示为：

$g_k={(H_k{\mathrm{\&rho;}}_u{H}_k^H+{\mathrm{\&sigma;}}^2{I}_{2D+1})}^{-1}{H}_k{\mathrm{\&rho;}}_u{i}_k,$

其中I_2D+1表示(2D+1)×(2D+1)的单位矩阵，i_k表示I的第k列；

然而，发送端频域序列对应的先验信息

和ρ_u＝χ(u，u)对接收端是未知的，因此需要在每次迭代过程中对这两个先验信息进行估计，且随着迭代次数的增加，对这两个先验信息的估计误差逐渐降低；在HC系统中，由于WFRFT的关系，发送端的频域序列不满足固定的星座点特征，源数据比特或符号被认为是α阶WFRFT域的信号，因此需要借助估计WFRFT域的先验信息(即

和ρ_s)来计算

和 $g_k={(H_k{\mathrm{\&rho;}}_u{H}_k^H+{\mathrm{\&sigma;}}^2{I}_{2D+1})}^{-1}{H}_k{\mathrm{\&rho;}}_u{i}_k$ 中的频域先验信息

和ρ_u；根据WFRFT的性质，可知WFRFT域的先验信息与频域先验信息之间的关系可表示为：

$\left\{\begin{array}{c}\stackrel{\&OverBar;}{u}=F^{1-\mathrm{\&alpha;}}\stackrel{\&OverBar;}{s}\\ {\mathrm{\&rho;}}_u=F^{1-\mathrm{\&alpha;}}{\mathrm{\&rho;}}_u{F}^{\mathrm{\&alpha;}-1}\end{array}\right.$

根据上式可知，公式 ${\left[H_{\mathrm{tl}}\right]}_{m,n}=\left\{\begin{array}{cc}h(m,l),& n={<m-l>}_N\\ 0& \mathrm{otherwise}\end{array}\right..$ 描述的对u中某采样点u_k的线性MMSE估计可表示为：

${\hat{u}}_k=i_k^H{F}^{1-\mathrm{\&alpha;}}\stackrel{\&OverBar;}{s}+g_k^H(y_k-H_k{F}^{1-\mathrm{\&alpha;}}\stackrel{\&OverBar;}{s})$

同理均衡器系数向量可表示为：

$g_k={(H_k{F}^{1-\mathrm{\&alpha;}}{\mathrm{\&rho;}}_s{F}^{\mathrm{\&alpha;}-1}{H}_k^H+{\mathrm{\&sigma;}}^2{I}_{2D+1})}^{-1}{H}_k{F}^{1-\mathrm{\&alpha;}}{\mathrm{\&rho;}}_s{F}^{\mathrm{\&alpha;}-1}{i}_k$

因此，频域迭代均衡过程迭代的目的在于通过迭代更新WFRFT域的先验信息，从而逐渐提高线性MMSE估计的精度；对所得的频域序列估计序列做α-1阶WFRFT得到对源数据符号序列s的估计值：

$\hat{s}=F^{\mathrm{\&alpha;}-1}\hat{u}$

其中F^α-1表示归一化的α-1阶WFRFT矩阵，根据这个α阶WFRFT域的估计值可在每次迭代过程中更新源数据比特的LLR值，再根据更新后的LLR值估计下一次迭代用的先验信息。

工作原理：

HC调制系统中引入基于WFRFT的迭代频域MMSE均衡系统模型如图2所示，为后文推导简便故，在此给出系统中各符号定义：

α——HC系统调制阶数；

h(m，l)——双弥散信道离散瞬时信道冲击响应；

H_tl——双弥散信道时域信道矩阵；

H_df——双弥散信道时域信道矩阵；

b＝[b_0，0，…，b_0,Q-1，…，b_N-1，0，…，b_N-1，Q-1]^t——发送端长度为NQ数据比特序列；

s＝[s₀，s₁，…，s_N-1]^t——发送端长度为N的数据符号序列；

u＝[u₀，u₁，…，u_N-1]^t——发送端数据符号序列对应的频域信号采样序列；

x＝[x₀，x₁，…，x_N-1]^t——发送端数据符号序列对应的时域信号采样序列；

——加入长度为N_c的循环前缀并经过并串转换处理后的发送端时域信号采用序列。

v＝[v₀，v₁，…，v_N-1]^t——接收端引入的方差为σ²的时域复高斯白噪声采样序列；

y＝[_y0，y₁，…，y_N-1]^t——接收端接收到的时域信号采样序列；

z＝[z₀，z₁，…，z_N-1]^t——接收端接收到的时域信号采样序列经过N点DFT后得到的对应的频域采样序列；

——接收端对发送端频域信号采样序列的估计序列；

——接收端对发送端源数据符号序列的估计序列；

——迭代频域MMSE过程中第l次迭代过程中线性MMSE估计的先验信息，表示对s的期望E{s}的估计值，其中E{·}表示对序列求期望/均值。

——迭代频域MMSE过程中第l次迭代过程中线性MMSE估计的先验信息，表示对s自协方差矩阵的估计，其中χ(·，·)表示两序列的协方差矩阵。

——接收端对发送端源数据符号序列的估计序列；

$\hat{b}={[{\hat{b}}_{\mathrm{0,0}},\&CenterDot;\&CenterDot;\&CenterDot;,{\hat{b}}_{0,Q-1},\&CenterDot;\&CenterDot;\&CenterDot;,{\hat{b}}_{N-\mathrm{1,0}},\&CenterDot;\&CenterDot;\&CenterDot;,{\hat{b}}_{N-1,Q-1}]}^t$ ——接收端对发送端源数据比特序列的估计序列；

L＝[L_0，0，…，L_0，Q-1，…，L_N-1，0，…，L_N-1，Q-1]^t——源数据比特序列对应的对数似然比(log-likelihood ratio,LLR)序列；

——0到N-1的自然数集合；

——0到Q-1的自然数集合；

——0到J-1的自然数集合，其中J＝2^Q。

本实施方式效果：

仿真试验中，图4所示为三种调制方式：OFDM、SC和HC分别采用5次迭代和10次迭代的基于WFRFT的频域迭代MMSE均衡方法时的误码性能曲线。系统参数为：带宽2MHz，载波中心频率20GHz，块长度N＝128；信道参数：7径(N_h＝7)瑞利信道模型，发送端与接收端的相对移动速度为270km/hr，最大时延扩展为3μs。其中子图(a)为接收端采用矩形窗的结果，(b)为采用最大信干噪比(maximum signal-to-interference-plus-noise ratio,max-SNIR)时域窗的结果，(c)为采用最小带限近似误差(minimum band approximation error,min-BAE)时域窗的结果。由仿真结果图可知，本实施方式所采用的方法明显提高了HC调制系统在双弥散信道下的优势，且当接收端采用一些为双弥散信道设计的时域窗的条件下，这种优势被进一步增大。当未采用时域窗时，在比特能量/噪声功率谱密度<19dB时，三种系统即使在引入迭代频域均衡时其误比特率均未达到10^-3以下；而当采用时域窗处理后，混合载波系统在引入迭代频域均衡后可在18dB的比特能量/噪声功率谱密度内达到10^-3以下误比特率，明显优于单载波和OFDM系统。

具体实施方式二：本实施方式与具体实施方式一不同的是：步骤一中混合载波调制系统发送端完成混合载波调制得到时域序列x具体为：

在发送端长度为NQ的数据比特序列b经过星座调制被映射为N长的QAM符号序列s，每Q个比特{b_n，0，…，b_n，Q-1}被映射为一个符号s_n，对所得的QAM符号序列做-α阶的WFRFT，完成混合载波调制得到时域序列：

x＝F^-αs＝(w₀I+w₁F+w₂A+w₃F^-1)s

其中F^-α表示-α阶归一化WFRFT矩阵；I表示N×N的单位矩阵；F表示归一化的离散傅立叶变换(discrete Fourier transform,DFT)矩阵；A表示一个N×N的置换矩阵，其内部元素满足当

时[A]_n，m：＝δ(<n+m>_N)此外，对于-α阶WFRFT而言，加权系数

由下式给出：

$w_p=(1/4)\underset{\mathrm{\&lambda;}=0}{\overset{3}{\mathrm{\&Sigma;}}}\exp (-\mathrm{j\&pi;\&lambda;}(a+p)/2),p=\mathrm{0,1,2,3}$

同理可得到其他阶数WFRFT对应的加权系数。其它步骤及参数与具体实施方式一相同。

具体实施方式三：本实施方式与具体实施方式一或二不同的是：步骤六中由混合载波调制系统接收端对接收到的频域某子载波对应的频率上的采样点

进行线性MMSE估计具体为：

${\hat{u}}_k={\stackrel{\&OverBar;}{u}}_k+g_k^H(y_k-H_k\stackrel{\&OverBar;}{u}),$

其中y_k＝[y_k-D，…，y_k+D]^t，H_k包含H_df的第k-D至k+D行，均衡器系数向量可表示为：

$g_k={(H_k{\mathrm{\&rho;}}_u{H}_k^H+{\mathrm{\&sigma;}}^2{I}_{2D+1})}^{-1}{H}_k{\mathrm{\&rho;}}_u{i}_k,$

其中I_2D+1表示(2D+1)×(2D+1)的单位矩阵，i_k表示I的第k列；

${\hat{u}}_k={\stackrel{\&OverBar;}{u}}_k+g_k^H(y_k-H_k\stackrel{\&OverBar;}{u}),$

其中y_k＝[y_k-D，…，y_k+D]^t，H_k包含H_df的第k-D至k+D行，均衡器系数向量可表示为：

$g_k={(H_k{\mathrm{\&rho;}}_u{H}_k^H+{\mathrm{\&sigma;}}^2{I}_{2D+1})}^{-1}{H}_k{\mathrm{\&rho;}}_u{i}_k,$

其中I_2D+1表示(2D+1)×(2D+1)的单位矩阵，i_k表示I的第k列。其它步骤及参数与具体实施方式一或二相同。

具体实施方式四：本实施方式与具体实施方式一至三之一不同的是；步骤八中借助估计WFRFT域的先验信息(即

和ρ_s)来计算对应的频域先验信息具体为：

根据WFRFT的性质，可知WFRFT域的先验信息与频域先验信息之间的关系可表示为：

$\left\{\begin{array}{c}\stackrel{\&OverBar;}{u}=F^{1-\mathrm{\&alpha;}}\stackrel{\&OverBar;}{s}\\ {\mathrm{\&rho;}}_u=F^{1-\mathrm{\&alpha;}}{\mathrm{\&rho;}}_u{F}^{\mathrm{\&alpha;}-1}\end{array}\right.$

根据上式可知，公式 ${\left[H_{\mathrm{tl}}\right]}_{m,n}=\left\{\begin{array}{cc}h(m,l),& n={<m-l>}_N\\ 0& \mathrm{otherwise}\end{array}\right..$ 描述的对u中某采样点u_k的线性MMSE估计可表示为：

${\hat{u}}_k=i_k^H{F}^{1-\mathrm{\&alpha;}}\stackrel{\&OverBar;}{s}+g_k^H(y_k-H_k{F}^{1-\mathrm{\&alpha;}}\stackrel{\&OverBar;}{s})$

同理均衡器系数向量可表示为：

$g_k={(H_k{F}^{1-\mathrm{\&alpha;}}{\mathrm{\&rho;}}_s{F}^{\mathrm{\&alpha;}-1}{H}_k^H+{\mathrm{\&sigma;}}^2{I}_{2D+1})}^{-1}{H}_k{F}^{1-\mathrm{\&alpha;}}{\mathrm{\&rho;}}_s{F}^{\mathrm{\&alpha;}-1}{i}_k$

对所得的频域序列估计序列做α-1阶WFRFT得到对源数据符号序列s的估计值：

$\hat{s}=F^{\mathrm{\&alpha;}-1}\hat{u}$

其中F^α-1表示归一化的α-1阶WFRFT矩阵，根据这个α阶WFRFT域的估计值可在每次迭代过程中更新源数据比特的LLR值，再根据更新后的LLR值估计下一次迭代用的先验信息。其它步骤及参数与具体实施方式一至三之一相同。

具体实施方式五：本实施方式与具体实施方式一至四之一不同的是：步骤九中先验信息的更新具体为：

引入上角标(l)表示迭代次数，将公式y＝H_tlx+v和 ${\hat{u}}_k=i_k^H{F}^{1-\mathrm{\&alpha;}}\stackrel{\&OverBar;}{s}+g_k^H(y_k-H_k{F}^{1-\mathrm{\&alpha;}}\stackrel{\&OverBar;}{s})$ 代入公式 $\hat{s}=F^{\mathrm{\&alpha;}-1}\hat{u}$ 可得：第l次迭代中所得的WFRFT域的估计值亦可表示为：

$\hat{s}=F^{\mathrm{\&alpha;}-1}\underset{k=0}{\overset{N-1}{\mathrm{\&Sigma;}}}{i}_k\&CenterDot;{\hat{u}}_k^{\left(l\right)}={\stackrel{\&OverBar;}{s}}^{\left(l\right)}+R^{\left(l\right)}(s-{\stackrel{\&OverBar;}{s}}^{\left(l\right)})+C^{\left(l\right)}v$

式中矩阵R^(l)和C^(l)可分别表示为：

$R^{\left(l\right)}=F^{\mathrm{\&alpha;}-1}\underset{k=0}{\overset{N-1}{\mathrm{\&Sigma;}}}{i}_k\left(g_k^H{H}_k{F}^{1-\mathrm{\&alpha;}}\right)$

$C^{\left(l\right)}=F^{\mathrm{\&alpha;}-1}\underset{k=0}{\overset{N-1}{\mathrm{\&Sigma;}}}{i}_k\left(g_k^H{F}_k\right)$

其中F_k包含DFT矩阵F的第k-D至k+D行；

根据WFRFT域符号估计值的条件高斯分布假设，可认为第l次迭代中对每个源数据符号s_n的估计值满足均值为：

${\mathrm{\&mu;}}_{n,j}^{\left(l\right)}=E\left\{{\hat{s}}^{\left(l\right)}\right|s_n=S_j\}={\stackrel{\&OverBar;}{s}}_n^{\left(l\right)}+R_{n,n}^{\left(l\right)}(S_j-{\stackrel{\&OverBar;}{s}}_n^{\left(l\right)}),$

方差为：

${\left({\mathrm{\&sigma;}}_{n,j}^{\left(l\right)}\right)}^2=E\left\{{({\hat{s}}_n^{\left(l\right)}-{\mathrm{\&mu;}}_{n,j}^{\left(l\right)})}^2\right|s_n=S_j\}$

$=\underset{n^{\&prime;}=0,n^{\&prime;}\&NotEqual;n}{\overset{N-1}{\mathrm{\&Sigma;}}}{\left|R_{n,n^{\&prime;}}^{\left(l\right)}\right|}^2{\left[{\mathrm{\&rho;}}_s^{\left(l\right)}\right]}_{n^{\&prime;},n^{\&prime;}}+{\mathrm{\&sigma;}}^2{\left|\right|c_n^{\left(l\right)}\left|\right|}^2$

的条件高斯分布，其中且表示数据符号所有可能星座点的集合，

表示矩阵C^(l)的第n行，此外，‖·‖²表示对矩阵求2范数运算，根据这种条件高斯分布假设，可如下式对源数据每个比特的LLR信息进行更新：

根据MAP准则可知，更新值为：

${\mathrm{\&Delta;L}}_{n,q}^{\left(l\right)}=\ln \frac{\underset{\&ForAll;b_n:b_{n,q}=0}{\mathrm{\&Sigma;}}P\left({\hat{s}}_n^{\left(l\right)}\right|b_n)\underset{\&ForAll;q^{\&prime;}:q^{\&prime;}\&NotEqual;q}{\mathrm{\&Pi;}}P\left(b_{n,q^{\&prime;}}\right)}{\underset{{\&ForAll;b}_n:b_{n,q}=1}{\mathrm{\&Sigma;}}P\left({\hat{s}}_n^{\left(l\right)}\right|b_n)\underset{{\&ForAll;q}^{\&prime;}:q^{\&prime;}\&NotEqual;q}{\mathrm{\&Pi;}}P\left(b_{n,q^{\&prime;}}\right)}$

其中

可由第l次迭代的均值和方差计算得到：

此外γ_j＝[γ_j，0，…，γ_j，Q-1]^t表示映射为QAM星座S_j的比特序列；

借助每次迭代更新的比特LLR信息，可进一步更新α阶WFRFT域的数据符号的先验信息，其中对第l+1迭代的先验信息可由下式更新：

${\stackrel{\&OverBar;}{s}}_n^{(l+1)}=\underset{j=0}{\overset{J-1}{\mathrm{\&Sigma;}}}{S}_j{P}^{(l+1)}(s_n=S_j)$

${\left[{\mathrm{\&rho;}}_s^{(l+1)}\right]}_{n,n}=\underset{j=0}{\overset{J-1}{\mathrm{\&Sigma;}}}{\left|S_j\right|}^2{P}^{(l+1)}(s_n=S_j)-{\left|{\stackrel{\&OverBar;}{s}}_n^{(l+1)}\right|}^2,$

其中P^(l+1)(s_n＝S_j)由更新后的LLR计算得到：

$P^{(l+1)}(s_n=S_j)=\frac{1}{2}\underset{q=0}{\overset{Q-1}{\mathrm{\&Pi;}}}(1+(1-2{\mathrm{\&gamma;}}_{j,q})\tanh (L_{n,q}^{(l+1)}/2))$

根据源数据符号的随机性和不相关性，可知s的自协方差为一个对角阵；利用在本次更新的WFRFT域先验信息，在下一次迭代过程中完成新一次的线性MMSE估计，重复以上过程，可获得对源数据符号的渐进逼近，并进一步逼近数据比特对应的LLR值，最终判决输出。其它步骤及参数与具体实施方式一至四之一相同。

采用以下仿真试验验证本实施方式效果：

如图3所示，在接收端对接收到的时域信号采样、去除CP并进行串并转换处理后，经过DFT变换为频域采样序列z；借助信道估计方法获得的信道系数，计算频域信道矩阵。根据频域信道矩阵的系数，采用本方法实现对双弥散信道的抵消并完成对发送端数据信息的估计：

1)将接收端频域采样序列z输入迭代频域MMSE均衡器，首先进行对发送端逐个等效频域采样值的线性MMSE估计如公式 ${\hat{u}}_k=i_k^H{F}^{1-\mathrm{\&alpha;}}\stackrel{\&OverBar;}{s}+g_k^H(y_k-H_k{F}^{1-\mathrm{\&alpha;}}\stackrel{\&OverBar;}{s}),$ 式中的均衡器系数向量由公式 $g_k={(H_k{F}^{1-\mathrm{\&alpha;}}{\mathrm{\&rho;}}_s{F}^{\mathrm{\&alpha;}-1}{H}_k^H+{\mathrm{\&sigma;}}^2{I}_{2D+1})}^{-1}{H}_k{F}^{1-\mathrm{\&alpha;}}{\mathrm{\&rho;}}_s{F}^{\mathrm{\&alpha;}-1}{i}_k$ 给出；每次迭代过程中线性MMSE估计需进行N次；其中先验信息

和

在第一次迭代中分别被初始化为全零序列和单位矩阵，而后随着迭代进行，先验信息被不断更新；

2)完成对频域采样序列的线性MMSE估计后得到的频域估计序列

经过N点α-1阶WFRFT变换到α阶WFRFT域如公式

$\hat{s}=F^{\mathrm{\&alpha;}-1}\underset{k=0}{\overset{N-1}{\mathrm{\&Sigma;}}}{i}_k\&CenterDot;{\hat{u}}_k^{\left(l\right)}={\stackrel{\&OverBar;}{s}}^{\left(l\right)}+R^{\left(l\right)}(s-{\stackrel{\&OverBar;}{s}}^{\left(l\right)})+C^{\left(l\right)}v,$ 以获得对源数据符号序列s的估计值序列根据信道系数和均衡器系数计算矩阵R^(l)和矩阵C^(l)如公式 $\begin{array}{c}{R}^{\left(l\right)}=F^{\mathrm{\&alpha;}-1}\underset{k=0}{\overset{N-1}{\mathrm{\&Sigma;}}}{i}_k\left(g_k^H{H}_k{F}^{1-\mathrm{\&alpha;}}\right)\\ C^{\left(l\right)}=F^{\mathrm{\&alpha;}-1}\underset{k=0}{\overset{N-1}{\mathrm{\&Sigma;}}}{i}_k\left(g_k^H{F}_k\right)\end{array};$

3)根据条件高斯分布假设，利用步骤2)中获得的矩阵R^(l)和矩阵C^(l)分别计算的α阶WFRFT域估计值序列

中每个符号的统计均值和方差如公式 ${\mathrm{\&mu;}}_{n,j}^{\left(l\right)}=E\left\{{\hat{s}}^{\left(l\right)}\right|s_n=S_j\}={\stackrel{\&OverBar;}{s}}_n^{\left(l\right)}+R_{n,n}^{\left(l\right)}(S_j-{\stackrel{\&OverBar;}{s}}_n^{\left(l\right)})$ 和公式 $\left(\begin{array}{c}{\left({\mathrm{\&sigma;}}_{n,j}^{\left(l\right)}\right)}^2=E\left\{{({\hat{s}}_n^{\left(l\right)}-{\mathrm{\&mu;}}_{n,j}^{\left(l\right)})}^2\right|s_n=S_j\}\\ =\underset{n^{\&prime;}=0,n^{\&prime;}\&NotEqual;n}{\overset{N-1}{\mathrm{\&Sigma;}}}{\left|R_{n,n^{\&prime;}}^{\left(l\right)}\right|}^2{\left[{\mathrm{\&rho;}}_s^{\left(l\right)}\right]}_{n^{\&prime;},n^{\&prime;}}+{\mathrm{\&sigma;}}^2{\left|\right|c_n^{\left(l\right)}\left|\right|}^{2\text{'}}\end{array}\right.$ 再根据最大后验概率准则，进一步更新对发送端比特序列LLR的估计如公式

和

4)根据更新过的比特LLR值计算下一次迭代中用的先验信息

和

如公式 $\begin{array}{c}{\stackrel{\&OverBar;}{s}}_n^{(l+1)}=\underset{j=0}{\overset{J-1}{\mathrm{\&Sigma;}}}{S}_j{P}^{(l+1)}(s_n=S_j),\\ {\left[{\mathrm{\&rho;}}_s^{(l+1)}\right]}_{n,n}=\underset{j=0}{\overset{J-1}{\mathrm{\&Sigma;}}}{\left|S_j\right|}^2{P}^{(l+1)}(s_n=S_j)-{\left|{\stackrel{\&OverBar;}{s}}_n^{(l+1)}\right|}^2,\end{array}$ 和 $P^{(l+1)}(s_n=S_j)=\frac{1}{2}\underset{q=0}{\overset{Q-1}{\mathrm{\&Pi;}}}(1+(1-2{\mathrm{\&gamma;}}_{j,q})\tanh (L_{n,q}^{(l+1)}/2)),$ 并将更新后的先验信息反馈回步骤1)的频域线性MMSE估计。重复上述过程直至达到预先设定的迭代次数上限，将最近一次更新的LLR作为输出判决得到对比特位的估计。

Claims (5)

1.基于加权分数傅立叶变换的双弥散信道下的迭代频域最小均方误差均衡方法，其特征在于基于加权分数傅立叶变换的双弥散信道下的迭代频域最小均方误差均衡方法按以下步骤实现：

一、混合载波调制系统发送端完成混合载波调制得到时域序列x；

二、对步骤一中得到的时域序列x加入循环前缀并经过并串转换后得到时域采样序列

三、将步骤二中的时域采样序列

串行发送，经历双弥散信道后到达混合载波调制系统接收端；

四、混合载波调制系统接收端忽略CP部分，将接收到的每个时域采样序列y可表示为混合载波调制系统发送端序列与信道离散冲击响应的卷积形式：

$y_m=\underset{l=0}{\overset{N_h-1}{\mathrm{\&Sigma;}}}h(m,l)x_{{<m-l>}_N}+v_m,0\&le;m\&le;N-1,$

其中N_h表示信道冲击响应的长度，即多径的最大时延扩展对应的采样延时长度，在混合载波调制系统接收端对接收序列做串并转换和去CP处理后得到的时域序列可进一步表示为：

y＝H_tlx+v   (l)

其中时域信道矩阵H_tl中的元素为：

${\left[H_{\mathrm{tl}}\right]}_{m,n}=\left\{\begin{array}{cc}h(m,l),& n={<m-l>}_N\\ 0& \mathrm{otherwise}\end{array}\right..$

其中l取值范围为l＝0，…，N_h-1；

五、混合载波调制系统接收端对接收到的时域采样序列y做N点DFT得到频域各子载波对应的频率上的采样点序列z可表示为：

z＝Fy＝FH_tlx+Fv

＝FH_tlF^Hu+Fv

＝H_dfu+Fv

＝H_dfF^1-αs+Fv

其中u＝F_1-αs表示s对应的频域各子载波频率上的采样序列，F^1-α表示1-α阶WFRFT矩阵，频域信道矩阵H_df=FH_tF^H呈现一种带状结构，其元素能量主要聚集在主对角线附近，这种带状结构的宽度[-D，D]只与多普勒频移的大小有关，多普勒频移越小，能量分布越集中，反之亦然，通过接收端引入某些特定的滤波器改进频域信道矩阵的带状结构，以改进系统的性能；

六、由混合载波调制系统接收端对接收到的频域某子载波对应的频率上的采样点进行线性MMSE估计；

七、以迭代的方式对发送端频域序列对应的先验信息

和ρ_u＝χ(u，u)进行渐进估计；

八、借助估计WFRFT域的先验信息(即

和ρ_s)来计算对应的频域先验信息；

九、先后完成WFRFT域的先验信息与频域先验信息的更新。

2.根据权利要求1所述的基于加权分数傅立叶变换的双弥散信道下的迭代频域最小均方误差均衡方法，其特征在于步骤一中混合载波调制系统发送端完成混合载波调制得到时域序列x具体为：

在发送端长度为NQ的数据比特序列b经过星座调制被映射为N长的QAM符号序列s，每Q个比特{b_n，0，…，_bn，Q-1}被映射为一个符号s_n，对所得的QAM符号序列做-α阶的WFRFT，完成混合载波调制得到时域序列：

x＝F^-αs＝(w₀I+w₁F+w₂A+w₃F^-1)s

其中F^-α表示-α阶归一化WFRFT矩阵；I表示N×N的单位矩阵；F表示归一化的离散傅立叶变换(discrete Fourier transform,DFT)矩阵；A表示一个N×N的置换矩阵，其内部元素满足当

时[A]_n，m：＝δ(<n+m>_N)，此外，对于-α阶WFRFT而言，加权系数

由下式给出：

$w_p=(1/4)\underset{\mathrm{\&lambda;}=0}{\overset{3}{\mathrm{\&Sigma;}}}\exp (-\mathrm{j\&pi;\&lambda;}(\mathrm{\&alpha;}+p)/2),p=\mathrm{0,1,2,3}$

同理可得到其他阶数WFRFT对应的加权系数。

3.根据权利要求1所述的基于加权分数傅立叶变换的双弥散信道下的迭代频域最小均方误差均衡方法，其特征在于步骤六中由混合载波调制系统接收端对接收到的频域某子载波对应的频率上的采样点进行线性MMSE估计具体为：

${\hat{u}}_k={\stackrel{\&OverBar;}{u}}_k+g_k^H(y_k-H_k\stackrel{\&OverBar;}{u}),$

其中y_k＝[y_k-D，…，y_k+D]^tH_k包含H_df的第k-D至k+D行，均衡器系数向量可表示为：

$g_k={(H_k{\mathrm{\&rho;}}_u{H}_k^H+{\mathrm{\&sigma;}}^2{I}_{2D+1})}^{-1}{H}_k{\mathrm{\&rho;}}_u{i}_k,$

其中I_2D+1表示(2D+1)×(2D+1)的单位矩阵，i_k表示I的第k列；

${\hat{u}}_k={\stackrel{\&OverBar;}{u}}_k+g_k^H(y_k-H_k\stackrel{\&OverBar;}{u}),$

其中y_k＝[y_k-D，…，y_k+D]^t，H_k包含H_df的第k-D至k+D行，均衡器系数向量可表示为：

$g_k={(H_k{\mathrm{\&rho;}}_u{H}_k^H+{\mathrm{\&sigma;}}^2{I}_{2D+1})}^{-1}{H}_k{\mathrm{\&rho;}}_u{i}_k,$

其中I_2D+1表示(2D+1)×(2D+1)的单位矩阵，i_k表示I的第k列。

4.根据权利要求1所述的基于加权分数傅立叶变换的双弥散信道下的迭代频域最小均方误差均衡方法，其特征在于步骤八中借助估计WFRFT域的先验信息(即

和ρ_s)来计算对应的频域先验信息具体为：

根据WFRFT的性质，可知WFRFT域的先验信息与频域先验信息之间的关系可表示为：

$\left\{\begin{array}{c}\stackrel{\&OverBar;}{u}=F^{1-\mathrm{\&alpha;}}\stackrel{\&OverBar;}{s}\\ {\mathrm{\&rho;}}_u=F^{1-\mathrm{\&alpha;}}{\mathrm{\&rho;}}_u{F}^{\mathrm{\&alpha;}-1}\end{array}\right.$

根据上式可知，公式 ${\left[H_{\mathrm{tl}}\right]}_{m,n}=\left\{\begin{array}{cc}h(m,l),& n={<m-l>}_N\\ 0& \mathrm{otherwise}\end{array}\right..$ 描述的对u中某采样点u_k的线性MMSE估计可表示为：

${\hat{u}}_k=i_k^H{F}^{1-\mathrm{\&alpha;}}\stackrel{\&OverBar;}{s}+g_k^H(y_k-H_k{F}^{1-\mathrm{\&alpha;}}\stackrel{\&OverBar;}{s})$

同理均衡器系数向量可表示为：

$g_k={(H_k{F}^{1-\mathrm{\&alpha;}}{\mathrm{\&rho;}}_s{F}^{\mathrm{\&alpha;}-1}{H}_k^H+{\mathrm{\&sigma;}}^2{I}_{2D+1})}^{-1}{H}_k{F}^{1-\mathrm{\&alpha;}}{\mathrm{\&rho;}}_s{F}^{\mathrm{\&alpha;}-1}{i}_k$

对所得的频域序列估计序列做α-1阶WFRFT得到对源数据符号序列s的估计值：

$\hat{s}=F^{\mathrm{\&alpha;}-1}\hat{u}$

其中F^α-1表示归一化的α-1阶WFRFT矩阵，根据这个α阶WFRFT域的估计值可在每次迭代过程中更新源数据比特的LLR值，再根据更新后的LLR值估计下一次迭代用的先验信息。

5.根据权利要求1所述的基于加权分数傅立叶变换的双弥散信道下的迭代频域最小均方误差均衡方法，其特征在于步骤九中先验信息的更新具体为：

引入上角标(l)表示迭代次数，将公式y＝H_tlx+v和 ${\hat{u}}_k=i_k^H{F}^{1-\mathrm{\&alpha;}}\stackrel{\&OverBar;}{s}+g_k^H(y_k-H_k{F}^{1-\mathrm{\&alpha;}}\stackrel{\&OverBar;}{s})$ 代入公式 $\hat{s}=F^{\mathrm{\&alpha;}-1}\hat{u}$ 可得：第l次迭代中所得的WFRFT域的估计值亦可表示为：

$\hat{s}=F^{\mathrm{\&alpha;}-1}\underset{k=0}{\overset{N-1}{\mathrm{\&Sigma;}}}{i}_k\&CenterDot;{\hat{u}}_k^{\left(l\right)}={\stackrel{\&OverBar;}{s}}^{\left(l\right)}+R^{\left(l\right)}(s-{\stackrel{\&OverBar;}{s}}^{\left(l\right)})+C^{\left(l\right)}v$

式中矩阵R^(l)和C^(l)可分别表示为：

$R^{\left(l\right)}=F^{\mathrm{\&alpha;}-1}\underset{k=0}{\overset{N-1}{\mathrm{\&Sigma;}}}{i}_k\left(g_k^H{H}_k{F}^{1-\mathrm{\&alpha;}}\right)$

$C^{\left(l\right)}=F^{\mathrm{\&alpha;}-1}\underset{k=0}{\overset{N-1}{\mathrm{\&Sigma;}}}{i}_k\left(g_k^H{F}_k\right)$

其中F_k包含DFT矩阵F的第k-D至k+D行；

根据WFRFT域符号估计值的条件高斯分布假设，可认为第l次迭代中对每个源数据符号s_n的估计值

满足均值为：

${\mathrm{\&mu;}}_{n,j}^{\left(l\right)}=E\left\{{\hat{s}}^{\left(l\right)}\right|s_n=S_j\}={\stackrel{\&OverBar;}{s}}_n^{\left(l\right)}+R_{n,n}^{\left(l\right)}(S_j-{\stackrel{\&OverBar;}{s}}_n^{\left(l\right)}),$

方差为：

${\left({\mathrm{\&sigma;}}_{n,j}^{\left(l\right)}\right)}^2=E\left\{{({\hat{s}}_n^{\left(l\right)}-{\mathrm{\&mu;}}_{n,j}^{\left(l\right)})}^2\right|s_n=S_j\}$

$=\underset{n^{\&prime;}=0,n^{\&prime;}\&NotEqual;n}{\overset{N-1}{\mathrm{\&Sigma;}}}{\left|R_{n,n^{\&prime;}}^{\left(l\right)}\right|}^2{\left[{\mathrm{\&rho;}}_s^{\left(l\right)}\right]}_{n^{\&prime;},n^{\&prime;}}+{\mathrm{\&sigma;}}^2{\left|\right|c_n^{\left(l\right)}\left|\right|}^2$

的条件高斯分布，其中

且

表示数据符号所有可能星座点的集合，

表示矩阵C^(l)的第n行，此外，‖·‖²表示对矩阵求2范数运算，根据这种条件高斯分布假设，可如下式对源数据每个比特的LLR信息进行更新：

根据MAP准则可知，更新值为：

${\mathrm{\&Delta;L}}_{n,q}^{\left(l\right)}=\ln \frac{\underset{\&ForAll;b_n:b_{n,q}=0}{\mathrm{\&Sigma;}}P\left({\hat{s}}_n^{\left(l\right)}\right|b_n)\underset{\&ForAll;q^{\&prime;}:q^{\&prime;}\&NotEqual;q}{\mathrm{\&Pi;}}P\left(b_{n,q^{\&prime;}}\right)}{\underset{{\&ForAll;b}_n:b_{n,q}=1}{\mathrm{\&Sigma;}}P\left({\hat{s}}_n^{\left(l\right)}\right|b_n)\underset{{\&ForAll;q}^{\&prime;}:q^{\&prime;}\&NotEqual;q}{\mathrm{\&Pi;}}P\left(b_{n,q^{\&prime;}}\right)}$

其中

可由第l次迭代的均值和方差计算得到：

此外γ_j＝[γ_j，0，…，γ_j，Q-1]^t表示映射为QAM星座S_j的比特序列；

借助每次迭代更新的比特LLR信息，可进一步更新α阶WFRFT域的数据符号的先验信息，其中对第l+1迭代的先验信息可由下式更新：

${\stackrel{\&OverBar;}{s}}_n^{(l+1)}=\underset{j=0}{\overset{J-1}{\mathrm{\&Sigma;}}}{S}_j{P}^{(l+1)}(s_n=S_j),$

${\left[{\mathrm{\&rho;}}_s^{(l+1)}\right]}_{n,n}=\underset{j=0}{\overset{J-1}{\mathrm{\&Sigma;}}}{\left|S_j\right|}^2{P}^{(l+1)}(s_n=S_j)-{\left|{\stackrel{\&OverBar;}{s}}_n^{(l+1)}\right|}^2,$

其中P^(l+1)(s_n＝S_j)由更新后的LLR计算得到：

$P^{(l+1)}(s_n=S_j)=\frac{1}{2}\underset{q=0}{\overset{Q-1}{\mathrm{\&Pi;}}}(1+(1-2{\mathrm{\&gamma;}}_{j,q})\tanh (L_{n,q}^{(l+1)}/2))$

根据源数据符号的随机性和不相关性，可知s的自协方差为一个对角阵；利用在本次更新的WFRFT域先验信息，在下一次迭代过程中完成新一次的线性MMSE估计，重复以上过程，可获得对源数据符号的渐进逼近，并进一步逼近数据比特对应的LLR值，最终判决输出。

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