CN103235305A - 星载超高分辨率滑动聚束sar成像方法 - Google Patents

Abstract

本发明提出一种星载超高分辨率滑动聚束SAR成像方法。技术方案是：首先，将星载滑动聚束SAR一次观测获得的全孔径数据划分为若干子孔径，在每个子孔径分别建立该子孔径下的局部线性孔径距离历程模型；然后，对每段子孔径数据进行子孔径聚焦处理，同时补偿由于分段线性孔径距离历程带来的聚焦位置和相位不一致；最后，将各子孔径数据合成为全孔径数据，通过非线性调频解旋转，解决方位向大测绘带宽带来的方位向移变问题，最后实现成像。本发明相对于已有的方法，没有增加过多的计算量，保持了计算的高效率。

Description

星载超高分辨率滑动聚束SAR成像方法

技术领域

本发明属于航天和微波遥感的交叉技术领域，特别涉及一种针对星载SAR（Synthetic Aperture Radar，合成孔径雷达）新工作模式——滑动聚束SAR（Sliding Spotlight Synthetic Aperture Radar）的成像处理方法。

背景技术

星载滑动聚束SAR的工作模式是一种新颖的介于条带模式和聚束模式之间的SAR工作模式。通过控制天线辐照区在地面移动的速度来控制方位向分辨率，成像的面积比聚束SAR大，分辨率高于相同天线尺寸的条带SAR。在分辨率降低很小的前提下，星载滑动聚束SAR可以获得比聚束SAR更大的方位向成像带宽度，在高分辨率和大面积成像中做出很好的权衡；同时天线在方位向依次扫描每个散射中心，避免了传统聚束模式由于方位向天线加权不均匀导致的图像信噪比沿方位向分布不均匀的问题。该模式对重要目标所在地域可以进行分辨率的灵活配置，减少星载条带SAR初次侦察虚警、漏警的概率，加快了在航天侦察中甄别目标的速度，具有重要的军事应用价值。

目前，子孔径BAS（baseband azimuth scaling，基带方位向变标）算法是高效高精度处理星载滑动聚束SAR数据的新颖算法，该算法基于线性孔径的距离历程，通过子孔径的合理划分和解旋转处理，高效率的解决了由于星载滑动聚束SAR特有的天线方位向扫描规律造成的慢时间域欠采样问题和图像域折迭问题。该方法已被证明能够解决中等分辨率（Ｘ波段下米级分辨率）的星载滑动聚束SAR成像处理问题。然而，星载滑动聚束SAＲ正朝着高分辨率（如Ｘ波段下分米级分辨率）发展。当分辨率足够高时，一方面，星载滑动聚束SAR对应的超长合成孔径引起非线性孔径问题，如果仍然沿用当前基于线性孔径的距离历程来处理数据，将导致严重的方位向散焦；另一方面，高分辨率下方位匹配滤波器的方位向移变问题凸显出来，而现有BAS算法使用固定线性调频率的解旋转处理，不能适应方位调频率的方位向移变，导致测绘区方位向边缘成像质量显著下降。这些问题是目前已有的包括子孔径BAS算法在内的所有星载滑动聚束SAR成像算法无法解决的。

发明内容

本发明为了有效解决适用于星载超高分辨率滑动聚束SAR的成像处理问题，提出了一种基于分段式的线性孔径距离历程和非线性调频解旋转处理的星载滑动聚束SAR成像算法。本算法处理精度高，适用于处理超高分辨率下的回波数据；同时本发明相对于已有高效BAS算法，在保证高处理精度的同时，计算量不大，具有高的执行效率。

本发明技术方案的基本思路是：首先，将星载滑动聚束SAR一次观测获得的全孔径数据划分为若干子孔径，在每个子孔径分别建立该子孔径下的局部线性孔径距离历程模型，通过使用这种分段式的线性孔径距离历程，避免了超长合成孔径带来的非线性孔径问题，不过，分段线性孔径距离历程额外带来了不同子孔径下聚焦位置和相位不一致问题；然后，对每段子孔径数据进行子孔径聚焦处理，同时补偿由于分段线性孔径距离历程带来的聚焦位置和相位不一致；最后，将各子孔径数据合成为全孔径数据，通过非线性调频解旋转，解决方位向大测绘带宽带来的方位向移变问题。

本发明技术方案是：

已知星载滑动聚束SAR发射信号的参数是：中心频率f₀，带宽B_r，调频率K_r，波长λ，脉冲重复频率PRF，波束多普勒带宽B_a,inst。

已知星载滑动聚束SAR在某次观测过程中的参数是：总观测时间长度T_obs，总观测时间中心时刻t_a,ref，测绘带中心地距（ground range）r_mid，平均卫星等效速度

，卫星等效速度的平方值随时间变化率ν，滑动聚束SAR旋转中心斜距（the vector distance to the rotation center）r_rot0，变标距离（the scaling range）r_scl0。在上述观测过程中，星载滑动聚束SAR观测目标获得回波数据s₀(t,τ)，其中t表示慢时间，τ表示快时间。

以s₀(t,τ)为作为成像的数据，对于观测范围内的任意地距值r，采用以下步骤完成该地距上方位向观测范围内目标的成像聚焦：

第一步：子孔径二维频域数据获取

首先，利用下式计算子孔径处理带宽B_a,proc：

$B_{a,\mathrm{proc}}=\frac{f_0+B_r/2}{f_0}{B}_{a,\mathrm{inst}}$

将回波数据s₀(t,τ)在慢时间域t均匀划分为N_ap个子孔径，得到N_ap个子孔径回波数据s_0,i(t,τ)，i=0,1,...,N_ap-1。N_ap的值按照下式计算：

$K_{\mathrm{rot}0}=-\frac{2{\left(V_e^{\mathrm{mid}}\right)}^2}{\mathrm{\λ}{r}_{\mathrm{rot}0}}$

$N_{\mathrm{ap}}=\mathrm{floor}\left(\frac{T_{\mathrm{obs}}\·\left|K_{\mathrm{rot}0}\right|}{\mathrm{PRF}-B_{a,\mathrm{proc}}}\right)$

上式中floor()表示向小取整函数。对各子孔径回波数据分别进行二维傅里叶变换得到各子孔径二维频域数据S_0,i(f_a,f_τ)，i=0,1,...,N_ap-1，其中f_a为慢时间频率，f_τ为快时间频率。

对地距r处的目标，首先在全孔径上计算星载滑动聚束SAR与目标的距离等效模型参数：全孔径下全局等效速度V_e、全局零多普勒距离r₀和全局零多普勒时间t₀，具体计算方法参见文献《合成孔径雷达卫星》第139-142页，魏钟铨等著，科学出版社2001年出版。

然后对每个子孔径i=0,1,...,N_ap-1，按照与全孔径相同的方法，在每个子孔径上计算地距r处目标的子孔径距离等效模型参数：子孔径下局部等效速度V_e,i、局部零多普勒距离r_0,i和局部零多普勒时间t_0,i。

最后，对测绘带中心地距r_mid，重复以上子孔径距离等效模型参数计算工作，得到测绘带中心地距r_mid上的子孔径下局部等效速度

局部零多普勒距离

和局部零多普勒时间

第二步，子孔径聚焦与规格化处理

首先，将各子孔径二维频域数据S_0,i(f_a,f_τ)分别与H_1,i(f_a,f_τ)相乘完成距离脉压和二次距离脉压处理得到数据S_1,i(f_a,f_τ)。H_1,i(f_a,f_τ)按照下式计算：

$H_{1,i}(f_a,f_{\mathrm{\τ}})=\exp \{-j{\mathrm{\ψ}}_{a,\mathrm{hi}-\mathrm{ord}}(f_a,f_{\mathrm{\τ}};V_{e,i}^{\mathrm{mid}},r_{0,i}^{\mathrm{mid}})\}\exp \left\{\mathrm{j\π}\frac{f_{\mathrm{\τ}}^2}{K_r}\right\},$ i=0,1,...,N_ap-1

其中按照以下公式计算：

${\mathrm{\ψ}}_{a,\mathrm{hi}-\mathrm{ord}}(f_a,f_{\mathrm{\τ}};V_{e,i}^{\mathrm{mid}},r_{0,i}^{\mathrm{mid}})=-\frac{4\mathrm{\π}{r}_{0,i}^{\mathrm{mid}}\left(f_0\text{+}{f}_{\mathrm{\τ}}\right)}{c}\sqrt{1-\frac{c^2{f}_a^2}{{[2V_{e,i}^{\mathrm{mid}}(f_0+f_{\mathrm{\τ}})]}^{\text{2}}}}$

$+\frac{{4\mathrm{\πr}}_{0,i}^{\mathrm{mid}}}{\mathrm{\λ}}[\sqrt{1-{\left(\frac{{\mathrm{\λf}}_a}{2V_{e,i}^{\mathrm{mid}}}\right)}^2}+\frac{f_{\mathrm{\τ}}}{f_0\sqrt{1-{\left(\frac{{\mathrm{\λf}}_a}{2V_{e,i}^{\mathrm{mid}}}\right)}^2}}],$ i=0,1,...，N_ap-1

上式中c表示光速。然后，再将S_1,i(f_a,f_τ)沿快时间频率域f_τ做逆傅里叶变换得到S_2,i(f_a,τ)。

通过sinc插值法完成下式所示的数据变换实现距离迁移校正和子孔径距离规格化：

$S_{3,i}(f_a,\mathrm{\τ})=S_{2,i}(f_a,\mathrm{\τ}+\frac{2}{c}(r_{0,i}/\sqrt{1-{\left(\frac{{\mathrm{\πf}}_a}{{2V}_{e,i}}\right)}^2}-r_0)),$ i=0,1,...，N_ap-1

Sinc插值的具体实现方法参见文献《合成孔径雷达成像—算法与实现》第2.7.1节，Cumming，I.G.等著，电子工业出版社2007年出版。

接下来的步骤为各子孔径数据S_3,i(f_a,τ)与H_2,i(f_a;r₀)相乘完成子孔径双曲线相位历程替换和方位规格化，得到S_4,i(f_a,τ)。H_2,i(f_a;r₀)按照下式计算：

$H_2(f_a;r_0)=\exp \{-j\frac{4\mathrm{\π}}{\mathrm{\λ}}{r}_0\}\exp \left\{j\frac{4\mathrm{\π}}{\mathrm{\λ}}{r}_{0,i}\sqrt{1-{\left(\frac{\mathrm{\λ}{f}_a}{2V_{e,i}}\right)}^2}\right\},$ i=0,1,...，N_ap-1

$\·\exp \left\{j2\mathrm{\π}{f}_a(t_{0,i}-t_0)\right\}\exp \{-\mathrm{j\π}\frac{f_a^2}{K_{\mathrm{scl}}\left(r_0\right)}\}$

其中K_scl(r₀)按照下式计算：

$K_{\mathrm{scl}}\left(r_0\right)=\frac{K_{\mathrm{scl}0}-K_{\mathrm{rot}0}}{K_a\left(r_0\right)-K_{\mathrm{rot}0}}\·K_a\left(r_0\right)$

上式中 $K_{\mathrm{scl}0}=-\frac{2{\left(V_e^{\mathrm{mid}}\right)}^2}{\mathrm{\λ}{r}_{\mathrm{scl}0}},$ $K_a\left(r_0\right)=-\frac{2{\left(V_e\right)}^2}{{\mathrm{\λr}}_0}.$

第三步：全孔径非线性解旋转、聚焦与保相处理

首先，将上一步得到的各子孔径数据S_4,i(f_a,τ)沿慢时间频率域f_a做逆傅里叶变换，并将得到的数据在慢时间域t上按照原有顺序依次重新排列，组合后形成全孔径数据s₄(t,τ)。

接着，将全孔径数据s₄(t,τ)与H₃(t,r₀)相乘得到方位向非线性解旋转处理后的全孔径数据s₅(t,τ)。H₃(t,r₀)按下式计算：

$H_3(t,r_0)=\exp \{-\mathrm{j\π}[K_{\mathrm{rot}}\left(r_0\right)\·{(t-t_{a,\mathrm{ref}})}^2+\frac{2}{3}{Y}_{\mathrm{rot}}\left(r_0\right)\·{(t-t_{a,\mathrm{ref}})}^3\left]\right\}$

上式中K_rot(r₀)为全局零多普勒距离r₀处的解旋转调频率，Y_rot(r₀)用于方位移变补偿，按下式计算：

$K_{\mathrm{rot}}\left(r_0\right)=\frac{K_{\mathrm{rot}0}}{K_{\mathrm{scl}0}}\text{\·}{K}_{\mathrm{scl}}\left(r_0\right)$

$Y_{\mathrm{rot}}\left(r_0\right)=\frac{v}{2\mathrm{\α}}\frac{K_{\mathrm{scl}}^2\left(r_0\right)}{K_a\left(r_0\right)V_e^2},$ $\mathrm{\α}=\frac{K_{\mathrm{scl}0}}{K_{\mathrm{scl}0}-K_{\mathrm{rot}0}}$

然后将数据s₅(t,τ)沿慢时间域t做傅里叶变换，再乘以H₄(f_a)得到方位向全孔径聚焦处理后的数据S₆(f_a,τ)，其中H₄(f_a)计算公式为：

$H_4\left(f_a\right)=\exp \left\{j\frac{\mathrm{\π}}{K_{\mathrm{scl}}\left(r_0\right)-K_{\mathrm{rot}}\left(r_0\right)}{f_a}^2\right\}\exp \left\{j2\mathrm{\π}\frac{Y_{\mathrm{rot}}\left(r_0\right)}{3{[K_{\mathrm{scl}}\left(r_0\right)-K_{\mathrm{rot}}\left(r_0\right)]}^3}{f_a}^3\right\}$

最后，将S₆(f_a,τ)沿慢时间频率域f_a做逆傅里叶变换，再乘以H₅(t)进行相位补偿，即获得高保相精度的成像结果s₆(t,τ)。H₅(t)计算公式为：

$H_5\left(t\right)=\exp \{\mathrm{j\π}{K}_t\left(r_0\right)\·{\tilde{t}}^2\}\exp \{-j2\mathrm{\π}[\mathrm{\α}{(a-1)}^2-\frac{{\mathrm{\α}}^3}{3}]Y_{\mathrm{rot}}\left(r_0\right)\·{\tilde{t}}^3\}$

其中

$K_t\left(r_0\right)=\frac{K_{\mathrm{rot}}\left(r_0\right)K_{\mathrm{scl}}\left(r_0\right)}{K_{\mathrm{scl}}\left(r_0\right)-K_{\mathrm{rot}}\left(r_0\right)}$

$\tilde{t}={\mathrm{\α}}^{-1}(t-t_{a,\mathrm{ref}})-{\mathrm{\α}}^{-3}\mathrm{\β}{(t-t_{a.\mathrm{ref}})}^2,$ $\mathrm{\β}=\frac{(2-\mathrm{\α})\mathrm{\α}}{K_{\mathrm{scl}}\left(r_0\right)-K_{\mathrm{rot}}\left(r_0\right)}{Y}_{\mathrm{rot}}\left(r_0\right)$

采用本发明可取得以下技术效果：

本发明提出了适于处理超高分辨率（X波段下分米分辨率）滑动聚束SAR数据的成像方法，该方法采用分段式的线性孔径距离历程，解决了超长合成孔径下的非线性孔径问题；采用三阶非线性调频解旋转处理，补偿了方位移变性误差，同时避免了图像域折迭；在聚焦的图像域进行相位补偿，可获得高保相精度。此外，本发明相对于已有的高效BAS算法，没有增加过多的计算量，保持了本算法的高效率。

附图说明

图1为本发明提供的成像处理流程图；

图2为仿真中设定的星载滑动聚束SAR参数；

图3为子孔径BAS成像算法获得的点目标处理结果；

图4为本发明获得的点目标处理结果。

具体实施方式

下面结合附图对本发明提供的超高分辨率滑动聚束SAR成像方法进行详细说明。

图1为本发明提供的超高分辨率滑动聚束SAR成像处理流程图。整个流程分为三大步。第一步，子孔径二维频域数据获取：划分子孔径后将每个子孔径数据变换到二维频域；第二步，子孔径聚焦与规格化处理：完成各子孔径下的聚焦处理及距离、方位规格化处理。第三步：全孔径非线性解旋转、聚焦与保相处理：上一步处理后的各子孔径数据合并为全孔径数据后，完成三阶非线性调频解旋转处理、全孔径聚焦及保相补偿处理，得到保相聚焦的SAR图像。

图2～图4是利用本发明具体实施方式进行仿真实验的处理结果。

图2为仿真中设定的星载滑动聚束SAR参数，星载滑动聚束SAR波段为X波段，方位分辨率设定为0.125米。

图3为利用当前典型的子孔径BAS处理方法得到的点目标成像结果，数据处理时间为613秒。左、右两图的横坐标为方位向尺寸，单位为米，纵坐标为距离向尺寸，单位为米。左图为测绘带中心目标成像结果，右图为方位向边缘（距离中心2.5公里）目标成像结果。由图可见，左右两图都有明显的散焦，左图散焦是由于超长非线性合成孔径造成的，而右图由于进一步受方位向移变影响，造成更为严重的散焦。

图4为利用本发明方法得到的点目标成像结果，数据处理时间为638秒，与子孔径BAS处理方法在效率上基本相当。左、右两图的横坐标为方位向尺寸，单位为米，纵坐标为距离向尺寸，单位为米。左图为测绘带中心目标成像结果，右图为方位向边缘（距离中心2.5公里）目标成像结果。可见，对测绘带中心和方位向边缘目标均获得精确的聚焦效果，主瓣展宽均在2%以内，相位误差均小于1度。

Claims (1)

1.一种星载超高分辨率滑动聚束SAR成像方法，其特征在于，包括下述步骤：

已知星载滑动聚束SAR发射信号的参数是：中心频率f₀，带宽B_r，调频率K_r，波长λ，脉冲重复频率PRF，波束多普勒带宽B_a,inst；

已知星载滑动聚束SAR在某次观测过程中的参数是：总观测时间长度T_obs，总观测时间中心时刻t_a,ref，测绘带中心地距r_mid，平均卫星等效速度

，卫星等效速度的平方值随时间变化率ν，滑动聚束SAR旋转中心斜距r_rot0，变标距离r_scl0；在上述观测过程中，星载滑动聚束SAR观测目标获得回波数据s₀(t,τ)，其中t表示慢时间，τ表示快时间；

以s₀(t,τ)为作为成像的数据，对于观测范围内的任意地距值r，采用以下步骤完成该地距上方位向观测范围内目标的成像聚焦：

第一步：子孔径二维频域数据获取：

首先，利用下式计算子孔径处理带宽B_a,proc：

$B_{a,\mathrm{proc}}=\frac{f_0+B_r/2}{f_0}{B}_{a,\mathrm{inst}}$

将回波数据s₀(t,τ)在慢时间t均匀划分为N_ap个子孔径，得到N_ap个子孔径回波数据s_0,i(t,τ)，i=0,1,...,N_ap-1；N_ap的值按照下式计算：

$K_{\mathrm{rot}0}=-\frac{2{\left(V_e^{\mathrm{mid}}\right)}^2}{\mathrm{\λ}{r}_{\mathrm{rot}0}}$

$N_{\mathrm{ap}}=\mathrm{floor}\left(\frac{T_{\mathrm{obs}}\·\left|K_{\mathrm{rot}0}\right|}{\mathrm{PRF}-B_{a,\mathrm{proc}}}\right)$

上式中floor()表示向小取整函数；对各子孔径回波数据分别进行二维傅里叶变换得到各子孔径二维频域数据S_0,i(f_a,f_τ)，i=0,1,...,N_ap-1，其中f_a为慢时间频率，f_τ为快时间频率；

对地距r处的目标，在全孔径上计算星载滑动聚束SAR与目标的距离等效模型参数：全孔径下全局等效速度V_e、全局零多普勒距离r₀和全局零多普勒时间t₀；然后对每个子孔径i=0,1,...,N_ap-1，在每个子孔径上计算地距r处目标的子孔径距离等效模型参数：子孔径下局部等效速度V_e,i、局部零多普勒距离r_0,i和局部零多普勒时间t_0,i；对测绘带中心地距r_mid，计算测绘带中心地距r_mid上的子孔径下局部等效速度

局部零多普勒距离

和局部零多普勒时间

第二步，子孔径聚焦与规格化处理：

首先，将各子孔径二维频域数据S_0,i(f_a,f_τ)分别与H_1,i(f_a,f_τ)相乘得到数据S_1,i(f_a,f_τ)；H_1,i(f_a,f_τ)按照下式计算：

$H_{1,i}(f_a,f_{\mathrm{\τ}})=\exp \{-j{\mathrm{\ψ}}_{a,\mathrm{hi}-\mathrm{ord}}(f_a,f_{\mathrm{\τ}};V_{e,i}^{\mathrm{mid}},r_{0,i}^{\mathrm{mid}})\}\exp \left\{\mathrm{j\π}\frac{f_{\mathrm{\τ}}^2}{K_r}\right\},$ i＝0，1，...，N_ap-1

其中

按照以下公式计算：

${\mathrm{\ψ}}_{a,\mathrm{hi}-\mathrm{ord}}(f_a,f_{\mathrm{\τ}};V_{e,i}^{\mathrm{mid}},r_{0,i}^{\mathrm{mid}})=-\frac{4\mathrm{\π}{r}_{0,i}^{\mathrm{mid}}\left(f_0\text{+}{f}_{\mathrm{\τ}}\right)}{c}\sqrt{1-\frac{c^2{f}_a^2}{{[2V_{e,i}^{\mathrm{mid}}(f_0+f_{\mathrm{\τ}})]}^{\text{2}}}}$

$+\frac{{4\mathrm{\πr}}_{0,i}^{\mathrm{mid}}}{\mathrm{\λ}}[\sqrt{1-{\left(\frac{{\mathrm{\λf}}_a}{2V_{e,i}^{\mathrm{mid}}}\right)}^2}+\frac{f_{\mathrm{\τ}}}{f_0\sqrt{1-{\left(\frac{{\mathrm{\λf}}_a}{2V_{e,i}^{\mathrm{mid}}}\right)}^2}}],$ i=0,1,...，N_ap-1

上式中c表示光速；然后，再将S_1,i(f_a,f_τ)沿快时间频率f_τ做逆傅里叶变换得到S_2,i(f_a,τ)；

通过sinc插值法完成下式所示的数据变换，计算S_3,i(f_a,τ)：

$S_{3,i}(f_a,\mathrm{\τ})=S_{2,i}(f_a,\mathrm{\τ}+\frac{2}{c}(r_{0,i}/\sqrt{1-{\left(\frac{{\mathrm{\πf}}_a}{{2V}_{e,i}}\right)}^2}-r_0)),$ i=0,1,...，N_ap-1

将各子孔径数据S_3,i(f_a,τ)与H_2,i(f_a;r₀)相乘得到S_4,i(f_a,τ)；H_2,i(f_a;r₀)按照下式计算：

$H_2(f_a;r_0)=\exp \{-j\frac{4\mathrm{\π}}{\mathrm{\λ}}{r}_0\}\exp \left\{j\frac{4\mathrm{\π}}{\mathrm{\λ}}{r}_{0,i}\sqrt{1-{\left(\frac{\mathrm{\λ}{f}_a}{2V_{e,i}}\right)}^2}\right\},$ i=0,1,...，N_ap-1

$\·\exp \left\{j2\mathrm{\π}{f}_a(t_{0,i}-t_0)\right\}\exp \{-\mathrm{j\π}\frac{f_a^2}{K_{\mathrm{scl}}\left(r_0\right)}\}$

其中K_scl(r₀)按照下式计算：

$K_{\mathrm{scl}}\left(r_0\right)=\frac{K_{\mathrm{scl}0}-K_{\mathrm{rot}0}}{K_a\left(r_0\right)-K_{\mathrm{rot}0}}\·K_a\left(r_0\right)$

上式中 $K_{\mathrm{scl}0}=-\frac{2{\left(V_e^{\mathrm{mid}}\right)}^2}{\mathrm{\λ}{r}_{\mathrm{scl}0}},$ $K_a\left(r_0\right)=-\frac{2{\left(V_e\right)}^2}{{\mathrm{\λr}}_0};$

第三步：全孔径非线性解旋转、聚焦与保相处理：

首先，将数据S_4,i(f_a,τ)沿慢时间频率f_a做逆傅里叶变换，并将得到的数据在慢时间t上按照原有时间顺序依次重新排列，组合后形成全孔径数据s₄(t,τ)；

接着，将全孔径数据s₄(t,τ)与H₃(t,r₀)相乘得到全孔径数据s₅(t,τ)；H₃(t,r₀)按下式计算：

$H_3(t,r_0)=\exp \{-\mathrm{j\π}[K_{\mathrm{rot}}\left(r_0\right)\·{(t-t_{a,\mathrm{ref}})}^2+\frac{2}{3}{Y}_{\mathrm{rot}}\left(r_0\right)\·{(t-t_{a,\mathrm{ref}})}^3\left]\right\}$

上式中K_rot(r₀)、Y_rot(r₀)按下式计算：

$K_{\mathrm{rot}}\left(r_0\right)=\frac{K_{\mathrm{rot}0}}{K_{\mathrm{scl}0}}\text{\·}{K}_{\mathrm{scl}}\left(r_0\right)$

$Y_{\mathrm{rot}}\left(r_0\right)=\frac{v}{2\mathrm{\α}}\frac{K_{\mathrm{scl}}^2\left(r_0\right)}{K_a\left(r_0\right)V_e^2},$ $\mathrm{\α}=\frac{K_{\mathrm{scl}0}}{K_{\mathrm{scl}0}-K_{\mathrm{rot}0}}$

然后将数据s₅(t,τ)沿慢时间t做傅里叶变换，再乘以H₄(f_a)得到数据S₆(f_a,τ)，其中H₄(f_a)计算公式为：

$H_4\left(f_a\right)=\exp \left\{j\frac{\mathrm{\π}}{K_{\mathrm{scl}}\left(r_0\right)-K_{\mathrm{rot}}\left(r_0\right)}{f_a}^2\right\}\exp \left\{j2\mathrm{\π}\frac{Y_{\mathrm{rot}}\left(r_0\right)}{3{[K_{\mathrm{scl}}\left(r_0\right)-K_{\mathrm{rot}}\left(r_0\right)]}^3}{f_a}^3\right\}$

最后，将S₆(f_a,τ)沿慢时间频率f_a做逆傅里叶变换，再乘以H₅(t)得到成像结果s₆(t,τ)；H₅(t)计算公式为：

$H_5\left(t\right)=\exp \{\mathrm{j\π}{K}_t\left(r_0\right)\·{\tilde{t}}^2\}\exp \{-j2\mathrm{\π}[\mathrm{\α}{(a-1)}^2-\frac{{\mathrm{\α}}^3}{3}]Y_{\mathrm{rot}}\left(r_0\right)\·{\tilde{t}}^3\}$

其中：

$K_t\left(r_0\right)=\frac{K_{\mathrm{rot}}\left(r_0\right)K_{\mathrm{scl}}\left(r_0\right)}{K_{\mathrm{scl}}\left(r_0\right)-K_{\mathrm{rot}}\left(r_0\right)}$

$\tilde{t}={\mathrm{\α}}^{-1}(t-t_{a,\mathrm{ref}})-{\mathrm{\α}}^{-3}\mathrm{\β}{(t-t_{a.\mathrm{ref}})}^2,$ $\mathrm{\β}=\frac{(2-\mathrm{\α})\mathrm{\α}}{K_{\mathrm{scl}}\left(r_0\right)-K_{\mathrm{rot}}\left(r_0\right)}{Y}_{\mathrm{rot}}\left(r_0\right).$

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