CN103116679B - 航空叶片椭圆形前后缘工艺模型生成方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种航空叶片椭圆形前后缘工艺模型生成方法，用于解决现有技术加工椭圆形前后缘叶片难以建立工艺模型的技术问题。技术方案是首先通过建立仿射坐标系，利用圆与椭圆的仿射关系，建立椭圆形前后缘叶片工艺模型。工程应用中用户只需根据实际需求，设定工艺误差，即可快速得到准确的椭圆形前后缘叶片工艺模型，从而指导航空叶片的高质量加工。

Description

航空叶片椭圆形前后缘工艺模型生成方法

技术领域

本发明涉及一种航空叶片前后缘工艺模型生成方法，特别是涉及一种航空叶片椭圆形前后缘工艺模型生成方法。

背景技术

航空发动机内部基本由一系列叶片组成，如涡轮叶片、压气机叶片、风扇叶片等；航空叶片作为发动机的核心零件，其模型多为自由曲面，成型工艺较为复杂；与此同时，叶片型面的设计和制造水平在很大程度上决定了发动机的性能。

薄壁叶片作为典型的薄壁结构零件，加工时易产生较大的变形；此外，由于工件、刀具、夹具和机床组成的工艺系统本身的问题，在叶片加工时极易产生过切或加工不到的现象；如果直接根据CAD模型进行薄壁叶片的数控加工，容易导致质量问题；因此，在叶片进行加工之前，需要考虑叶片叶身部位叶盆、叶背、前缘及后缘区域的余量分布情况，建立叶片的数控加工工艺模型。随着叶片研究的深入，众多实验和数值分析结果显示，采用椭圆形前缘可以明显改善叶片的气动性能，而薄壁叶片椭圆形前后缘的精确加工具有较大难度。现有技术对叶片加工质量的改善是基于反变形的思想对叶片成型过程中的误差进行反变形补偿；对叶片工艺模型的研究多是基于叶片熔模精铸成型方法建立铸造工艺模型。针对航空发动机薄壁叶片的数控加工，在叶片CAD模型的基础上，建立叶片椭圆形前后缘工艺模型势在必行。

发明内容

为了克服现有技术加工椭圆形前后缘叶片难以建立工艺模型的不足，本发明提供一种航空叶片椭圆形前后缘工艺模型生成方法。该方法通过建立仿射坐标系，利用圆与椭圆的仿射关系，建立椭圆形前后缘叶片工艺模型。工程应用中用户只需根据实际需求，设定工艺误差，即可快速得到准确的椭圆形前后缘叶片工艺模型，从而指导航空叶片的高质量加工。

本发明解决其技术问题所采用的技术方案是：一种航空叶片椭圆形前后缘工艺模型生成方法，其特点是包括以下步骤：

步骤一、读入航空叶片CAD模型；

步骤二、沿垂直Z向截取航空叶片某一截面，前缘椭圆弧L与叶盆、叶背切点分别记为T₀、T₁，求作T₀、T₁处切线及其交点O(O_x,O_y)；且记椭圆形前缘曲线L上的前缘点为P_L，椭圆短轴半径为r_b；

步骤三、设定工艺误差为δ，将前缘曲线L沿T₀O方向平移δ，得到对应点P₀(x₀,y₀)及T₁在T₁O上的最近点P₁(x₁,y₁)；

步骤四、利用点P₀′(x₀′,y₀′)及O(O_x,O_y)建立仿射坐标系O-x′y′，P₀′(x₀′,y₀′)、P₁′(x₁′,y₁′)分别为P₀(x₀,y₀)、P₁(x₁,y₁)在仿射坐标系中象，二者所在曲线为圆弧；

步骤五、求P₀′(x₀′,y₀′)、P₁′(x₁′,y₁′)的坐标：在仿射坐标系中x₀′=d=|P₀′O|，y₀′=0；设仿射坐标系中P₀′(x₀′,y₀′)、P₁′(x₁′,y₁′)所在圆O₁′半径为r₁=0.1r_b；由P₀′(d,0)知圆O₁′的圆心O₁′(x_O1′,y_O1′)即为O₁′(d,r₁)，由得 $\left\{\begin{array}{c}{x}_1^{\′}+y_1^{\′}=d^2\\ {(x_1^{\′}-x_{O1})}^2+{(y_1^{\′}-y_{O1})}^2=r_1^2\end{array}\right.,$ 求得P₁′的坐标为 $(\frac{d^3-{\mathrm{dr}}_1^2}{d^2+r_1^2},\frac{{2d}^{2}r}{d^2+r_1^2});$

步骤六、利用圆与椭圆的仿射关系，设笛氏直角坐标系中椭圆O₁经变换 $\left\{\begin{array}{c}{x}^{\′}=m_{11}x+m_{12}y\\ y^{\′}=m_{21}x+m_{22}y\end{array}\right.$ 得到仿射坐标系O-x′y′中的圆O₁′，则 $\left\{\begin{array}{c}{m}_{11}{x}_0+m_{12}{y}_0=d\\ m_{21}{x}_0+m_{22}{y}_0=0\\ m_{11}{x}_1+m_{12}{y}_1=x_1^{\′}\\ m_{21}{x}_1+m_{22}{y}_1=y_1^{\′}\end{array}\right.,$ 即 $\left[\begin{array}{cc}{m}_{11}& m_{12}\\ m_{21}& m_{22}\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}{x}_0& x_1\\ y_0& y_1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}d& x_1^{\′}\\ 0& y_1^{\′}\end{array}\right]$ 求得 $\left[\begin{array}{cc}{m}_{11}& m_{12}\\ m_{21}& m_{22}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}d& x_1^{\′}\\ 0& y_1^{\′}\end{array}\right]{\left[\begin{array}{cc}{x}_0& x_1\\ y_0& y_1\end{array}\right]}^{-1},$ 即求出变换 $\left\{\begin{array}{c}{x}^{\′}=m_{11}x+m_{12}y\\ y^{\′}=m_{21}x+m_{22}y\end{array}\right.;$

仿射坐标系中圆上的点(x′,y′)满足圆方程(x′-d)²+(y′-r)²=r²，将 $\left\{\begin{array}{c}{x}^{\′}=m_{11}x+m_{12}y\\ y^{\′}=m_{21}x+m_{22}y\end{array}\right.$ 代入整理得到原坐标系中椭圆的二次多项式方程，

$(m_{11}^2+m_{21}^2)x^2+(m_{12}^2+m_{22}^2)y^2+2(m_{11}{m}_{12}+m_{21}{m}_{22})\mathrm{xy}-2(m_{11}d+m_{21}r)x$ $-2(m_{12}d+m_{22}r)y+d^2)=0$

步骤七、设定r的变化区间为[0.1r_b,10r_b]，利用二分法在此区间上搜索最佳半径r_optimal，使该半径的圆对应的椭圆上前缘点与初始椭圆弧上前缘点P_L在T₀O上的投影距离δ_i满足|δ_i-δ|≤ε；具体方法如下：

椭圆形前缘曲线T₀T₁L上的前缘点为P_L在T₀O上的投影为P_L′；半径为r_i的圆对应的椭圆的前缘点P_Li在P₀O上的投影为P_Li′，投影距离δ_i=|P_Li′P_L′|；用δ_i=f(r_i)表示二者的函数关系，二分法搜索的具体步骤如下：

步骤1、令r₁=0.1r_b，r₂=10r_b；

步骤2、令i=3,计算δ_i=f(r_i)，若δ_i<δ，则否则，令 $r_{i+1}=\frac{1}{2}(r_{i-2}+r_i);$

步骤3、令i=i+1，返回执行步骤2，直至|δ_i-δ|≤ε，即得到满足设定工艺误差要求的椭圆。

步骤八、由图形的仿射性质，上述椭圆与T₀O、T₁O分别相切于P₀(x₀,y₀)及P₁(x₁,y₁)，记椭圆弧P₀P₁的前缘点为P_Lopt，光滑连结T₀P₀、T₁P₁，得到曲线段T₀P_LoptT₁即为航空叶片椭圆形前后缘工艺模型。

本发明的有益效果是：由于通过建立仿射坐标系，利用圆与椭圆的仿射关系，建立椭圆形前后缘叶片工艺模型。工程应用中用户只需根据实际需求，设定工艺误差，即可快速得到准确的椭圆形前后缘叶片工艺模型，从而指导航空叶片的高质量加工。

下面结合附图和实施例对本发明作详细说明。

附图说明

图1是本发明方法实施例中平移及建立仿射坐标系的示意图。

图2是本发明方法实施例中圆到椭圆的仿射变换示意图。

图3是本发明方法实施例中生成的工艺模型示意图。

图4是本发明方法生成的航空叶片椭圆形前后缘工艺模型示意图。

图5是本发明航空叶片椭圆形前后缘工艺模型生成方法的流程图。

具体实施方式

参照图1～5。本发明航空叶片椭圆形前后缘工艺模型生成方法具体步骤如下：

步骤一、读入航空叶片CAD模型；

步骤二、沿垂直Z向截取航空叶片某一截面，前缘椭圆弧L与叶盆、叶背切点分别记为T₀、T₁，求作T₀、T₁处切线及其交点O(O_x,O_y)；且记椭圆形前缘曲线L上的前缘点为P_L，椭圆短轴半径为r_b；

步骤三、设定工艺误差为δ，将前缘曲线L沿T₀O方向平移δ，得到对应点P₀(x₀,y₀)及T₁在T₁O上的最近点P₁(x₁,y₁)；

步骤四、利用点P₀′(x₀′,y₀′)及O(O_x,O_y)建立仿射坐标系O-x′y′，P₀′(x₀′,y₀′)、P₁′(x₁′,y₁′)分别为P₀(x₀,y₀)、P₁(x₁,y₁)在仿射坐标系中象，二者所在曲线为圆弧；

步骤五、求P₀′(x₀′,y₀′)、P₁′(x₁′,y₁′)的坐标：在仿射坐标系中x₀′=d=|P₀′O|，y₀′=0；设仿射坐标系中P₀′(x₀′,y₀′)、P₁′(x₁′,y₁′)所在圆O₁′半径为r₁=0.1r_b；由P₀′(d,0)知圆O₁′的圆心O₁′(x_O1′,y_O1′)即为O₁′(d,r₁)，由得 $\left\{\begin{array}{c}{x}_1^{\&prime;}+y_1^{\&prime;}=d^2\\ {(x_1^{\&prime;}-x_{O1})}^2+{(y_1^{\&prime;}-y_{O1})}^2=r_1^2\end{array}\right.,$ 求得P₁′的坐标为 $(\frac{d^3-{\mathrm{dr}}_1^2}{d^2+r_1^2},\frac{{2d}^{2}r}{d^2+r_1^2});$

步骤六、利用圆与椭圆的仿射关系，设笛氏直角坐标系中椭圆O₁经变换 $\left\{\begin{array}{c}{x}^{\&prime;}=m_{11}x+m_{12}y\\ y^{\&prime;}=m_{21}x+m_{22}y\end{array}\right.$ 得到仿射坐标系O-x′y′中的圆O₁′，则 $\left\{\begin{array}{c}{m}_{11}{x}_0+m_{12}{y}_0=d\\ m_{21}{x}_0+m_{22}{y}_0=0\\ m_{11}{x}_1+m_{12}{y}_1=x_1^{\&prime;}\\ m_{21}{x}_1+m_{22}{y}_1=y_1^{\&prime;}\end{array}\right.,$ 即 $\left[\begin{array}{cc}{m}_{11}& m_{12}\\ m_{21}& m_{22}\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}{x}_0& x_1\\ y_0& y_1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}d& x_1^{\&prime;}\\ 0& y_1^{\&prime;}\end{array}\right]$ 求得 $\left[\begin{array}{cc}{m}_{11}& m_{12}\\ m_{21}& m_{22}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}d& x_1^{\&prime;}\\ 0& y_1^{\&prime;}\end{array}\right]{\left[\begin{array}{cc}{x}_0& x_1\\ y_0& y_1\end{array}\right]}^{-1},$ 即求出变换 $\left\{\begin{array}{c}{x}^{\&prime;}=m_{11}x+m_{12}y\\ y^{\&prime;}=m_{21}x+m_{22}y\end{array}\right.;$

仿射坐标系中圆上的点(x′,y′)满足圆方程(x′-d)²+(y′-r)²=r²，将 $\left\{\begin{array}{c}{x}^{\&prime;}=m_{11}x+m_{12}y\\ y^{\&prime;}=m_{21}x+m_{22}y\end{array}\right.$ 代入整理得到原坐标系中椭圆的二次多项式方程，

$(m_{11}^2+m_{21}^2)x^2+(m_{12}^2+m_{22}^2)y^2+2(m_{11}{m}_{12}+m_{21}{m}_{22})\mathrm{xy}-2(m_{11}d+m_{21}r)x$ $-2(m_{12}d+m_{22}r)y+d^2)=0$

步骤七、设定r的变化区间为[0.1r_b,10r_b]，利用二分法在此区间上搜索最佳半径r_optimal，使该半径的圆对应的椭圆上前缘点与初始椭圆弧上前缘点P_L在T₀O上的投影距离δ_i满足|δ_i-δ|≤ε；具体方法如下：

椭圆形前缘曲线T₀T₁L上的前缘点为P_L在T₀O上的投影为P_L′；半径为r_i的圆对应的椭圆的前缘点P_Li在P₀O上的投影为P_Li′，投影距离δ_i=|P_Li′P_L′|；用δ_i=f(r_i)表示二者的函数关系，二分法搜索的具体步骤如下：

步骤1、令r₁=0.1r_b，r₂=10r_b；

步骤2、令i=3,计算δ_i=f(r_i)，若δ_i<δ，则否则，令 $r_{i+1}=\frac{1}{2}(r_{i-2}+r_i);$

步骤3、令i=i+1，返回执行步骤2，直至|δ_i-δ|≤ε，即得到满足设定工艺误差要求的椭圆。

步骤八、由图形的仿射性质，上述椭圆与T₀O、T₁O分别相切于P₀(x₀,y₀)及P₁(x₁,y₁)，记椭圆弧P₀P₁的前缘点为P_Lopt，光滑连结T₀P₀、T₁P₁，得到曲线段T₀P_LoptT₁即为航空叶片椭圆形前后缘工艺模型。

应用实施例：

该实施例为某型发动机叶片，椭圆形前缘曲线方程为前缘曲线L与叶盆、叶背切点分别为T₀(-27.55,-0.46)、T₁(-27.54,-1.27)；

结合附图和实施例对本发明椭圆形前后缘工艺模型生成方法的进行详细说明，具体步骤如下：

步骤一、读入叶片CAD模型；

步骤二、沿垂直Z向截取航空叶片某一截面，前缘椭圆弧L与叶盆、叶背切点分别记为T₀、T₁，求作T₀、T₁处切线及其交点O(O_x,O_y)；且记椭圆形前缘曲线L上的前缘点为P_L，椭圆短轴半径为r_b；

步骤三、设定工艺误差为δ=0.15mm，将前缘曲线L沿T₀O方向平移0.15mm，得到对应点P₀(x₀,y₀)及T₁在T₁O上的最近点P₁(x₁,y₁)；

步骤四、利用点P₀′(x₀′,y₀′)及O(O_x,O_y)建立仿射坐标系O-x′y′，P₀′(x₀′,y₀′)、P₁′(x₁′,y₁′)分别为P₀(x₀,y₀)、P₁(x₁,y₁)在仿射坐标系中象，二者所在曲线为圆弧；

步骤五、求P₀′(x₀′,y₀′)、P₁′(x₁′,y₁′)的坐标：在仿射坐标系中x₀′=d=|P₀′O|，y₀′=0；设仿射坐标系中P₀′(x₀′,y₀′)、P₁′(x₁′,y₁′)所在圆O₁′半径为r₁=0.1r_b；由P₀′(d,0)知圆O₁′的圆心O₁′(x_O1′,y_O1′)即为O₁′(d,r₁)，由得 $\left\{\begin{array}{c}{x}_1^{\&prime;}+y_1^{\&prime;}=d^2\\ {(x_1^{\&prime;}-x_{O1})}^2+{(y_1^{\&prime;}-y_{O1})}^2=r_1^2\end{array}\right.,$ 即 $\left\{\begin{array}{c}{x}_1^{\&prime;}+y_1^{\&prime;}=d^2\\ {(x_1^{\&prime;}-d)}^2+{(y_1^{\&prime;}-r_1)}^2=r_1^2\end{array}\right.,$

求得 $\left\{\begin{array}{c}{x}_1^{\&prime;}=\frac{d^3-{\mathrm{dr}}_1^2}{d^2+r_1^2}\\ y_1^{\&prime;}=\frac{{2d}^{2}r}{d^2+r_1^2}\end{array}\right.,$ 即P₁′的坐标为 $(\frac{d^3-{\mathrm{dr}}_1^2}{d^2+r_1^2},\frac{{2d}^{2}r}{d^2+r_1^2});$

步骤六、利用圆与椭圆的仿射关系，设笛氏直角坐标系中椭圆O₁经变换 $\left\{\begin{array}{c}{x}^{\&prime;}=m_{11}x+m_{12}y\\ y^{\&prime;}=m_{21}x+m_{22}y\end{array}\right.$ 得到仿射坐标系O-x′y′中的圆O₁′，则 $\left\{\begin{array}{c}{m}_{11}{x}_0+m_{12}{y}_0=d\\ m_{21}{x}_0+m_{22}{y}_0=0\\ m_{11}{x}_1+m_{12}{y}_1=x_1^{\&prime;}\\ m_{21}{x}_1+m_{22}{y}_1=y_1^{\&prime;}\end{array}\right.,$ 即 $\left[\begin{array}{cc}{m}_{11}& m_{12}\\ m_{21}& m_{22}\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}{x}_0& x_1\\ y_0& y_1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}d& x_1^{\&prime;}\\ 0& y_1^{\&prime;}\end{array}\right],$

由 $\left[\begin{array}{cc}{m}_{11}& m_{12}\\ m_{21}& m_{22}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}d& x_1^{\&prime;}\\ 0& y_1^{\&prime;}\end{array}\right]{\left[\begin{array}{cc}{x}_0& x_1\\ y_0& y_1\end{array}\right]}^{-1}$ 即求出变换 $\left\{\begin{array}{c}{x}^{\&prime;}=m_{11}x+m_{12}y\\ y^{\&prime;}=m_{21}x+m_{22}y\end{array}\right.;$

仿射坐标系中圆上的点(x′,y′)满足圆方程(x′-d)²+(y′-r)²=r²，将 $\left\{\begin{array}{c}{x}^{\&prime;}=m_{11}x+m_{12}y+m_{13}\\ y^{\&prime;}=m_{21}x+m_{22}y+m_{23}\end{array}\right.$ 代入整理得到原坐标系中椭圆的二次多项式方程，

$(m_{11}^2+m_{21}^2)x^2+(m_{12}^2+m_{22}^2)y^2+2(m_{11}{m}_{12}+m_{21}{m}_{22})\mathrm{xy}-2(m_{11}d+m_{21}r)x$ $-2(m_{12}d+m_{22}r)y+d^2)=0$

步骤七、设定r的变化区间为[0.1r_b,10r_b]，利用二分法在此区间上搜索最佳半径r_optimal，使该半径的圆对应的椭圆上前缘点与初始椭圆弧上前缘点P_L在T₀O上的投影距离δ_i满足|δ_i-δ|≤0.003；

二分法搜索的具体步骤如下：

椭圆形前缘曲线L上的前缘点为P_L在T₀O上的投影为P_L′；半径为r_i的圆对应的椭圆的前缘点P_Li在P₀O上的投影为P_Li′，投影距离δ_i=|P_Li′P_L′|；用δ_i=f(r_i)表示二者的函数关系；

步骤1、令r₁=0.1r_b，r₂=10r_b；

步骤2、令i=3,计算δ_i=f(r_i)，若δ_i<δ，则否则，令 $r_{i+1}=\frac{1}{2}(r_{i-2}+r_i);$

步骤3、令i=i+1，返回执行步骤2，直至|δ_i-δ|≤0.003，即得到满足设定工艺误差要求的椭圆。

步骤八、由图形的仿射性质，上述椭圆与T₀O、T₁O分别相切于P₀(x₀,y₀)及P₁(x₁,y₁)，记椭圆弧P₀P₁的前缘点为P_Lopt，光滑连结T₀P₀、T₁P₁，得到曲线段T₀P_LoptT₁即为航空叶片椭圆形前后缘工艺模型。

通过上述几个步骤所生成的叶片所选截面圆弧形前缘的工艺模型见图3。其中，前缘工艺模型的椭圆弧段的方程为且P₁(-27.70,-0.46)、P₀(-27.68,-1.25)。

综上所述，本发明方法在工程应用中，通过导入CAD模型及工艺误差，即可生成航空叶片的加工工艺模型，进而指导叶片的加工，从而有效解决叶片加工过程中前后缘处出现的过切问题，保证叶片加工质量。

Claims (1)

1.一种航空叶片椭圆形前后缘工艺模型生成方法，其特征在于包括以下步骤：

步骤一、读入航空叶片CAD模型；

步骤二、沿垂直Z向截取航空叶片某一截面，椭圆形前缘曲线L与叶盆、叶背切点分别记为T₀、T₁，求作T₀、T₁处切线及其交点O(O_x,O_y)；且记椭圆形前缘曲线L上的前缘点为P_L，椭圆短轴半径为r_b；

步骤三、设定工艺误差为δ，将椭圆形前缘曲线L沿T₀O方向平移δ，得到T₀在平移后的椭圆形前缘曲线L'上的对应点P₀(x₀,y₀)及T₁在在平移后的椭圆形前缘曲线L'上的对应点在T₁O上的投影点P₁(x₁,y₁)；

步骤四、利用点P′₀(x′₀,y′₀)及O(O_x,O_y)建立仿射坐标系O-x′y′，P′₀(x′₀,y′₀)、P′₁(x′₁,y′₁)分别为P₀(x₀,y₀)、P₁(x₁,y₁)在仿射坐标系中象，二者所在曲线为圆弧；

步骤五、求P′₀(x′₀,y′₀)、P′₁(x′₁,y′₁)的坐标：在仿射坐标系中x′₀＝d＝|P′₀O|，y′₀＝0；设仿射坐标系中P′₀(x′₀,y′₀)、P′₁(x′₁,y′₁)所在圆O′₁半径为r＝0.1r_b；由P′₀(d,0)知圆O′₁的圆心O′₁(x′_O1,y′_O1)即为O′₁(d,r)，由Rt△OO₁P′₀≌Rt△OO₁P′₁得 $\left\{\begin{array}{c}{x}_1^{\&prime;}+y_1^{\&prime;}=d^2\\ {(x_1^{\&prime;}-x_{O1})}^2+{(y_1^{\&prime;}-y_{O1})}^2=r^2\end{array}\right.,$ 求得P′₁的坐标为 $(\frac{d^3-{\mathrm{dr}}^2}{d^2+r^2},\frac{{2d}^{2}r}{d^2+r^2});$

步骤六、利用圆与椭圆的仿射关系，设笛氏直角坐标系中椭圆O₁经变换 $\left\{\begin{array}{c}{x}^{\&prime;}=m_{11}x+m_{12}y\\ y^{\&prime;}=m_{21}x+m_{22}y\end{array}\right.$ 得到仿射坐标系O-x′y′中的圆O′₁，则 $\left\{\begin{array}{c}{m}_{11}{x}_0+m_{12}{y}_0=d\\ m_{21}{x}_0+m_{22}{y}_0=0\\ m_{11}{x}_1+m_{12}{y}_1=x_1^{\&prime;}\\ m_{21}{x}_1+m_{22}{y}_1=y_1^{\&prime;}\end{array}\right.,$

即 $\left[\begin{array}{cc}{m}_{11}& m_{12}\\ m_{21}& m_{22}\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}{x}_0& x_1\\ y_0& y_1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}d& x_1^{\&prime;}\\ 0& y_1^{\&prime;}\end{array}\right]$ 求得 $\left[\begin{array}{cc}{m}_{11}& m_{12}\\ m_{21}& m_{22}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}d& x_1^{\&prime;}\\ 0& y_1^{\&prime;}\end{array}\right]{\left[\begin{array}{cc}{x}_0& x_1\\ y_0& y_1\end{array}\right]}^{-1},$

即求出变换 $\left\{\begin{array}{c}{x}^{\&prime;}=m_{11}x+m_{12}y\\ y^{\&prime;}=m_{21}x+m_{22}y\end{array}\right.;$

仿射坐标系中圆上的点(x′,y′)满足圆方程(x′-d)²+(y′-r)²＝r²，将 $\left\{\begin{array}{c}{x}^{\&prime;}=m_{11}x+m_{12}y\\ y^{\&prime;}=m_{21}x+m_{22}y\end{array}\right.$ 代入整理得到原坐标系中椭圆的二次多项式方程，

$\begin{array}{c}(m_{11}^2+m_{21}^2)x^2+(m_{12}^2+m_{22}^2)y^2+2(m_{11}{m}_{12}+m_{21}{m}_{22})\mathrm{xy}-2(m_{11}d+m_{21}r)x\\ -2(m_{12}d+m_{22}r)y+d^2)=0\end{array}$

步骤七、设定r的变化区间为[0.1r_b,10r_b]，利用二分法在此区间上搜索最佳半径r_optimal，使最佳半径r_optimal的圆对应的椭圆上前缘点与椭圆形前缘曲线L上前缘点P_L在T₀O上的投影距离δ_i满足|δ_i-δ|≤ε；具体方法如下：

椭圆形前缘曲线L上的前缘点为P_L在T₀O上的投影为P′_L；半径为r_i的圆对应的椭圆的前缘点P_Li在P₀O上的投影为P′_Li，投影距离δ_i＝|P′_LiP′_L|；用δ_i＝f(r_i)表示二者的函数关系，二分法搜索的具体步骤如下：

步骤1、令r₁＝0.1r_b，r₂＝10r_b；

步骤2、令i＝3， $r_3=\frac{1}{2}(r_1+r_2),$ 计算δ_i＝f(r_i)，若δ_i<δ，则 $r_{i+1}=\frac{1}{2}(r_i+r_{i-1});$ 否则，令 $r_{i+1}=\frac{1}{2}(r_{i-2}+r_i);$

步骤3、令i＝i+1，返回执行步骤2，直至|δ_i-δ|≤ε，即得到满足设定工艺误差要求的椭圆；

步骤八、由图形的仿射性质，上述椭圆与T₀O、T₁O分别相切于P₀(x₀,y₀)及P₁(x₁,y₁)，记椭圆弧P₀P₁的前缘点为P_Lopt，光滑连结T₀P₀、T₁P₁，得到曲线段T₀P_LoptT₁即为航空叶片椭圆形前后缘工艺模型。