CN103075493A - 基于共轭曲线的锥齿轮及其啮合副 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种基于共轭曲线的锥齿轮及其啮合副，包括相互点啮合且齿廓曲线均为圆弧的锥齿轮I和锥齿轮II，锥齿轮I的齿廓曲面上由啮合点构成的接触曲线Γ₁与锥齿轮II的齿廓曲面上由啮合点构成的接触曲线Γ₂为共轭曲线。本发明基于共轭曲线的锥齿轮传动啮合副，相互啮合的锥齿轮I和锥齿轮II的齿廓曲线均为圆弧形，且锥齿轮I和锥齿轮II的啮合齿面沿着共轭曲线运动，继承了接触曲线的啮合特点，并且齿面间的接触曲线啮合具有高的接触强度；接触传动过程沿轴向接近纯滚，传动效率高；齿面易于加工制造，传动误差小，使用寿命长；在同传动比、同中心距条件下可实现小齿数、大模数的选择确定；并能够满足高速、重载、大功率及高效率的传动要求。

Description

基于共轭曲线的锥齿轮及其啮合副

技术领域

本发明属于齿轮传动技术领域，具体的为一种基于共轭曲线的锥齿轮及其啮合副。

背景技术

齿轮传动是机械传动中的主要形式之一，由于它具有速比范围大、功率范围广、结构紧凑可靠等优点，已广泛应用于各种机械设备和仪器仪表中，成为现有机械产品中所占比重最大的一种传动。

目前，国内外锥齿轮传动主要有相交轴传动与交错轴传动两种传动形式，并多采用渐开线变厚齿轮副为研究基础实现动力的传递。啮合齿轮副间的接触特性对齿轮系统的承载能力和寿命影响很大，如齿面局部应力集中及边缘接触等均会导致早期齿轮点蚀或剥落等失效现象，严重时会导致轮齿折断等，继而使得整个传动系统瘫痪，严重影响了齿轮传动的可靠性。虽然陆续有相关研究采用齿廓修形、制造加工和传动特性分析等方式来改善齿轮承载能力低、传动误差大、使用寿命短等问题，以提高齿轮副的接触承载能力与可靠性，但是还是不能从根本上解决该类传动副的传动缺点。

有鉴于此，本发明旨在探索一种基于共轭曲线的锥齿轮及其啮合副，该锥齿轮啮合副具有齿面间滑动率小、接触强度大且承载能力高、传动精度高和使用寿命长的优点，能够满足高速、重载、大功率及高效率的传动要求。

发明内容

本发明要解决的技术问题是提出一种基于共轭曲线的锥齿轮及其啮合副，该锥齿轮啮合副具有齿面间滑动率小、接触强度大且承载能力高、传动精度高和使用寿命长的优点，能够满足高速、重载、大功率及高效率的传动要求。

要实现上述技术目的，本发明首先提出了一种基于共轭曲线的锥齿轮，该锥齿轮的齿廓曲线为圆弧，且该齿轮的齿廓曲面上由啮合点构成的接触曲线的曲线方程为：

$\left\{\begin{array}{c}x=X\left(\mathrm{\θ}\right)\\ y=Y\left(\mathrm{\θ}\right)\\ z=f\left(\mathrm{\θ}\right)\end{array}\right.,{\mathrm{\θ}}_1\≤\mathrm{\θ}\≤{\mathrm{\θ}}_2$

其中，θ为曲线参数角；θ₁,θ₂为接触线取值范围，即齿廓啮入点处对应的曲线参数角到啮出点处对应的曲线参数角；

该锥齿轮的齿廓曲面的圆心构成的圆心曲线为接触曲线沿齿廓曲面公法线方向的等距曲线，且圆心曲线的曲线方程为：

$\left\{\begin{array}{c}{x}_h=x\±\mathrm{\ρ}\·\frac{n_x}{\sqrt{n_x^2+n_y^2+n_z^2}}\\ y_h=y\±\mathrm{\ρ}\·\frac{n_{y1}}{\sqrt{n_x^2+n_y^2+n_2^2}}\\ z_h=z\±\mathrm{\ρ}\·\frac{n_z}{\sqrt{n_x^2+n_y^2+n_z^2}}\end{array}\right.$

式中，ρ为锥齿轮I的凸圆弧齿廓曲面的曲率半径；n_x,n_y,n_z分别是法矢n在齿轮坐标系下沿坐标轴线方向的分解法向量。

进一步，所述锥齿轮的齿廓曲面为球心沿所述圆心曲线运动的球族管状包络面，其曲面方程分别为：

式中，

为球族参数，且满足

本发明还提出了一种基于共轭曲线的锥齿轮啮合副，包括相互点啮合且齿廓曲线均为圆弧的锥齿轮I和锥齿轮II，所述锥齿轮I的齿廓曲面上由啮合点构成的接触曲线Γ₁与所述锥齿轮II的齿廓曲面上由啮合点构成的接触曲线Γ₂为共轭曲线；

所述锥齿轮I的接触曲线Γ₁的曲线方程为：

$\left\{\begin{array}{c}{x}_1=X\left(\mathrm{\θ}\right)\\ y_1=Y\left(\mathrm{\θ}\right)\\ z_1=f\left(\mathrm{\θ}\right)\end{array}\right.,{\mathrm{\θ}}_1\≤\mathrm{\θ}\≤{\mathrm{\θ}}_2$

式中，θ为曲线参数角；θ₁,θ₂为接触线取值范围，即齿廓啮入点处对应的曲线参数角到啮出点处对应的曲线参数角；

当所述锥齿轮I的轴线和锥齿轮II的轴线平面相交时，由共轭曲线原理，所述锥齿轮II的接触曲线Γ₂的曲线方程为：

$\left\{\begin{array}{c}{x}_2=x_1(-\sin {\mathrm{\φ}}_1\sin {\mathrm{\φ}}_2+\cos {\mathrm{\φ}}_1\cos {\mathrm{\φ}}_2\cos \mathrm{\Σ})+y_1(\cos {\mathrm{\φ}}_1\sin {\mathrm{\φ}}_2+\sin {\mathrm{\φ}}_1\cos {\mathrm{\φ}}_2\cos \mathrm{\Σ})\\ +z_1\cos {\mathrm{\φ}}_2\sin \mathrm{\Σ}-l_1\cos {\mathrm{\φ}}_2\sin \mathrm{\Σ}\\ y_2=x_1(-\sin {\mathrm{\φ}}_1\cos {\mathrm{\φ}}_2-\cos {\mathrm{\φ}}_1\sin {\mathrm{\φ}}_2\cos \mathrm{\Σ})+y_1(\cos \mathrm{\φ}\cos {\mathrm{\φ}}_2-\sin {\mathrm{\φ}}_1\sin {\mathrm{\φ}}_2\cos \mathrm{\Σ})\\ -z_1\sin {\mathrm{\φ}}_2\sin \mathrm{\Σ}+l_1\sin {\mathrm{\φ}}_2\sin \mathrm{\Σ}\\ z_2=x_1(-\cos {\mathrm{\φ}}_1\sin \mathrm{\Σ})+y_1(-\sin {\mathrm{\φ}}_1\sin \mathrm{\Σ})+z_1\cos \mathrm{\Σ}-l_1\cos \mathrm{\Σ}+l_2\\ \mathrm{\Φ}(\mathrm{\θ},{\mathrm{\φ}}_1)=n\·{\mathrm{\υ}}^{\left(12\right)}=0\end{array}\right.$

其中，φ₁,φ₂分别是锥齿轮I、锥齿轮II绕各自轴线回转的角度，满足关系φ₂＝i₂₁φ₁，i₂₁为齿轮传动比；∑为锥齿轮I和锥齿轮II之间的轴交角；l₁,l₂分别为锥齿轮I、锥齿轮II在其轴线方向上锥顶点至底圆的距离；n是接触曲线Γ₂在啮合点处沿给定接触角方向的法矢；υ⁽¹²⁾表示在啮合点处的相对运动速度；

当所述锥齿轮I的轴线和锥齿轮II的轴线空间交错时，由共轭曲线原理，所述接触曲线Γ₂的曲线方程为：

$\left\{\begin{array}{c}{x}_2=x_1(\cos {\mathrm{\φ}}_1\cos {\mathrm{\φ}}_2-\sin {\mathrm{\φ}}_1\sin {\mathrm{\φ}}_2\cos \mathrm{\Σ})+y_1(-\sin {\mathrm{\φ}}_1\cos {\mathrm{\φ}}_2-\cos {\mathrm{\φ}}_1\sin {\mathrm{\φ}}_2\cos \mathrm{\Σ})\\ +z_1\sin {\mathrm{\φ}}_2\sin \mathrm{\Σ}-(D_1-b_1)\sin {\mathrm{\φ}}_2\sin \mathrm{\Σ}-a\cos {\mathrm{\φ}}_2\\ y_2=x_1(\cos {\mathrm{\φ}}_1\sin {\mathrm{\φ}}_2+\sin {\mathrm{\φ}}_1\cos {\mathrm{\φ}}_2\cos \mathrm{\Σ})+y_1(-\sin {\mathrm{\φ}}_1\sin {\mathrm{\φ}}_2+\cos {\mathrm{\φ}}_1\cos {\mathrm{\φ}}_2\cos \mathrm{\Σ})\\ -z_1\cos {\mathrm{\φ}}_2\sin \mathrm{\Σ}+(D_1-b_1)\cos {\mathrm{\φ}}_2\sin \mathrm{\Σ}-a\sin {\mathrm{\φ}}_2\\ z_2=x_1\left(\sin {\mathrm{\φ}}_1\sin \mathrm{\Σ}\right)+y_1\left(\cos {\mathrm{\φ}}_1\sin \mathrm{\Σ}\right)+z_1\cos \mathrm{\Σ}-(D_1-b_1)\cos \mathrm{\Σ}+(D_2-b_2)\\ \mathrm{\Φ}(\mathrm{\θ},{\mathrm{\φ}}_1)=n\·{\mathrm{\υ}}^{\left(12\right)}=0\end{array}\right.$

其中，φ₁,φ₂分别是锥齿轮I、锥齿轮II绕各自轴线回转的角度，满足关系φ₂＝i₂₁φ₁，i₂₁为齿轮传动比；∑为锥齿轮I和锥齿轮II之间的轴交角；锥齿轮I和锥齿轮II的基准节圆与工作节圆间的距离分别用b₁,b₂表示，D₁,D₂分别为锥齿轮I、锥齿轮II的工作节圆柱沿轴线方向的距离；a是锥齿轮I轴线和锥齿轮II轴线之间的最短距离；n是接触曲线Γ₂在啮合点处沿给定接触角方向的法矢；υ⁽¹²⁾表示在啮合点处的相对运动速度。

进一步，所述锥齿轮I齿廓曲面的圆心构成的圆心曲线Γ'₁为接触曲线Γ₁沿接触角方向啮合的等距曲线；所述锥齿轮II齿廓曲面的圆心构成的圆心曲线Γ'₂为接触曲线Γ₂沿接触角方向啮合的等距曲线。

进一步，所述锥齿轮I和锥齿轮II的齿廓曲线分别为凸圆弧和凹圆弧；

且所述锥齿轮I的圆心曲线Γ'₁的曲线方程为：

${{\mathrm{\Γ}}^{\′}}_1:\left\{\begin{array}{c}{x}_{1h}=x_1+{\mathrm{\ρ}}_1\·\frac{n_{x1}}{\sqrt{n_{x1}^2+n_{y1}^2+n_{z1}^2}}\\ y_{1h}=y_1+{\mathrm{\ρ}}_1\·\frac{n_{y1}}{\sqrt{n_{x1}^2+n_{y1}^2+n_{z1}^2}}\\ z_{1h}=z_1+{\mathrm{\ρ}}_1\·\frac{n_{z1}}{\sqrt{n_{x1}^2+n_{y1}^2+n_{z1}^2}}\end{array}\right.$

所述锥齿轮II的圆心曲线Γ'₂的曲线方程为：

${{\mathrm{\Γ}}^{\′}}_2:\left\{\begin{array}{c}{x}_{2h}=x_2-{\mathrm{\ρ}}_2\·\frac{n_{x2}}{\sqrt{n_{x2}^2+n_{y2}^2+n_{z2}^2}}\\ y_{2h}=y_2-{\mathrm{\ρ}}_2\·\frac{n_{y2}}{\sqrt{n_{x2}^2+n_{y2}^2+n_{z2}^2}}\\ z_{2h}=z_2-{\mathrm{\ρ}}_2\·\frac{n_{z2}}{\sqrt{n_{x2}^2+n_{y2}^2+n_{z2}^2}}\end{array}\right.$

式中，ρ₁为锥齿轮I的凸圆弧齿廓曲面的曲率半径；ρ₂为锥齿轮II的凹圆弧齿廓曲面的曲率半径；n_x1,n_y1，n_z1,n_x2,n_y2，n_z2分别是法矢n在齿轮坐标系下沿坐标轴线方向的分解法向量。

进一步，所述锥齿轮I的齿廓曲面∑₁为球心沿所述圆心曲线Γ'₁运动的球族管状包络面，其方程为：

所述锥齿轮II的齿廓曲面∑₂为球心沿所述圆心曲线Γ'₂运动的球族管状包络面，其方程为：

式中，ρ₁为锥齿轮I的凸圆弧齿廓曲面的曲率半径；ρ₂为锥齿轮II的凹圆弧齿廓曲面的曲率半径；n_x1,n_y1,n_z1,n_x2,n_y2,n_z2分别是法矢n在齿轮坐标系下沿坐标轴线方向的分解法向量；

分别表示锥齿轮I、锥齿轮II球族管状包络面的包络条件，其中参数项表示齿面方程对各自参数的求导；

为球族参数，且满足

进一步，所述锥齿轮I和锥齿轮II之间的轴交角为0°＜∑≤90°。

进一步，所述接触曲线Γ₁与接触曲线Γ₂均为光滑曲线。

本发明的有益效果为：

本发明基于共轭曲线的锥齿轮啮合副，相互啮合的锥齿轮I和锥齿轮II的齿廓曲线均为圆弧形，即锥齿轮I和锥齿轮II中其中一个为凸圆弧齿廓，另一个为凹圆弧齿廓，且锥齿轮I和锥齿轮II的啮合齿面沿着共轭曲线运动；该锥齿轮副继承了接触曲线的啮合特点，并且凸圆弧和凹圆弧齿面间的接触曲线啮合具有高的接触强度；接触传动过程沿轴向接近纯滚，传动效率高；齿面易于加工制造，传动误差小，使用寿命长；在同传动比、同中心距条件下可实现小齿数、大模数的选择确定；并能够满足高速、重载、大功率及高效率的传动要求，因此，本发明的基于共轭曲线的锥齿轮啮合副是一种应用前景广阔的高性能齿轮传动副。

附图说明

图1为本发明基于共轭曲线的锥齿轮啮合副的第一实施例结构示意图；

图2为本实施例基于共轭曲线的锥齿轮啮合副的空间坐标系示意图；

图3为本实施例基于共轭曲线的锥齿轮啮合副沿接触角方向啮合原理图；

图4为为齿廓曲面形成原理示意图；

图5为本实施例基于共轭曲线的锥齿轮啮合副的法向齿廓啮合副示意图；

图6为本实施例基于共轭曲线的锥齿轮啮合副的齿廓曲面啮合示意图；

图7为本发明基于共轭曲线的锥齿轮啮合副的第二实施例结构示意图；

图8为本发明基于共轭曲线的锥齿轮啮合副的第三实施例结构示意图；

图9为本实施例基于共轭曲线的锥齿轮啮合副的空间坐标系示意图。

具体实施方式

下面结合附图对本发明的具体实施方式作详细说明。

首先对本发明基于共轭曲线的锥齿轮的具体实施方式作详细说明。本实施例基于共轭曲线的锥齿轮的齿廓曲线为圆弧，且该齿轮的齿廓曲面上由啮合点构成的接触曲线的曲线方程为：

$\left\{\begin{array}{c}x=X\left(\mathrm{\θ}\right)\\ y=Y\left(\mathrm{\θ}\right)\\ z=f\left(\mathrm{\θ}\right)\end{array}\right.,{\mathrm{\θ}}_1\≤\mathrm{\θ}\≤{\mathrm{\θ}}_2$

其中，θ为曲线参数角；θ₁,θ₂为接触线取值范围，即齿廓啮入点处对应的曲线参数角到啮出点处对应的曲线参数角；

该锥齿轮的齿廓曲面的圆心构成的圆心曲线为接触曲线沿齿廓曲面公法线方向的等距曲线，且圆心曲线的曲线方程为：

$\left\{\begin{array}{c}{x}_h=x\±\mathrm{\ρ}\·\frac{n_x}{\sqrt{n_x^2+n_y^2+n_z^2}}\\ y_h=y\±\mathrm{\ρ}\·\frac{n_{y1}}{\sqrt{n_x^2+n_y^2+n_2^2}}\\ z_h=z\±\mathrm{\ρ}\·\frac{n_z}{\sqrt{n_x^2+n_y^2+n_z^2}}\end{array}\right.$

式中，ρ为锥齿轮I的凸圆弧齿廓曲面的曲率半径；n_x,n_y，n_z分别是法矢n在齿轮坐标系下沿坐标轴线方向的分解法向量。

本实施例锥齿轮的齿廓曲面为球心沿所述圆心曲线运动的球族管状包络面，其曲面方程分别为：

式中，

为球族参数，且满足

设定本实施例锥齿轮的接触曲线为空间圆锥等距螺旋线：

$\left\{\begin{array}{c}x=(R_f-\mathrm{c\θ})\cos \mathrm{\θ}\\ y=(R_f-\mathrm{c\θ})\sin \mathrm{\θ}\\ z=\mathrm{p\θ}\\ c=p\tan \mathrm{\δ}\end{array}\right.,{\mathrm{\θ}}_1\≤\mathrm{\θ}\≤{\mathrm{\θ}}_2$

其中，R_f是锥齿轮I的底圆半径；θ为螺旋曲线参数，且θ₁,θ₂为接触线取值范围，即齿廓啮入点处对应的曲线参数角到啮出点处对应的曲线参数角；p为螺旋参数；δ表示锥齿轮的节角.

圆心曲线的曲线方程为：

$\left\{\begin{array}{c}{x}_h=(R_f-\mathrm{c\θ})\cos \mathrm{\θ}\±\mathrm{\ρ}\·\frac{n_x}{\sqrt{n_x^2+n_y^2+n_z^2}}\\ y_h=(R_f-\mathrm{c\θ})\sin \mathrm{\θ}\±\mathrm{\ρ}\·\frac{n_{y1}}{\sqrt{n_x^2+n_y^2+n_2^2}}\\ z_h=\mathrm{p\θ}\±\mathrm{\ρ}\·\frac{n_z}{\sqrt{n_x^2+n_y^2+n_z^2}}\end{array}\right.$

齿廓曲面的曲面方程为：

其中，R_f是锥齿轮的底圆半径；θ为螺旋曲线参数；p为螺旋参数；δ表示锥齿轮的节角，且c＝ptanδ；φ分别是锥齿轮绕其轴线回转的角度且有关系；ρ为锥齿轮的齿廓曲面的曲率半径；n_x,n_y,n_z分别是法矢n在齿轮坐标系下沿坐标轴线方向的分解法向量；为锥齿轮I球族管状包络面的包络条件，其中参数项表示齿面方程对各自参数的求导；

为球族参数，且满足

下面对本发明基于共轭曲线的锥齿轮啮合副的具体实施方式作详细说明。

第一实施例

如图1所示，为本发明基于共轭曲线的锥齿轮啮合副的第一实施例结构示意图。本实施例基于共轭曲线的锥齿轮啮合副，包括相互啮合且齿廓曲线均为圆弧的锥齿轮I和锥齿轮II，且锥齿轮I和锥齿轮II之间的轴交角为0°＜∑≤90°，本实施例锥齿轮I和锥齿轮II的轴交角为10°，且本实施例的锥齿轮I的轴线和锥齿轮II的轴线之间平面相交。

进一步，锥齿轮I和锥齿轮II之间为点接触啮合，锥齿轮I的齿廓曲面∑₁上由啮合点构成的接触曲线Γ₁与锥齿轮II的齿廓曲面∑₂上由啮合点构成的接触曲线Γ₂为共轭曲线。优选的，接触曲线Γ₁与接触曲线Γ₂均为光滑曲线，保证齿轮副的啮合平稳性能。

如图2所示，为本实施例基于共轭曲线的锥齿轮啮合副的空间坐标系示意图，其中，S(O-x,y,z)和S_p(O_p-x_p,y_p,z_p)是两个空间固定的坐标系，锥齿轮I的轴线与z轴重合，锥齿轮II的轴线与z_p轴重合，两轴线之间的夹角为∑＝10°。坐标系S₁(O₁-x₁,y₁,z₁)设置在锥齿轮I上，坐标系S₂(O₂-x₂,y₂,z₂)设置在锥齿轮II上，在起始位置它们分别与S和S_p重合，锥齿轮I以匀角速度ω⁽¹⁾绕z轴转动，锥齿轮II以匀角速度ω⁽²⁾绕z_p轴转动，并且规定角速度ω⁽¹⁾、ω⁽²⁾的正向分别与z及z_p的正向相同；从起始位置经过一段时间后，S₁和S₂两个坐标系运动到图示位置，φ₁和φ₂分别是锥齿轮I和锥齿轮II转过的角度，齿轮轴线和节锥母线间的夹角叫做节角，用δ表示，δ₁和δ₂分别表示锥齿轮I和锥齿轮II的节角，R_1f和R_2f分别为锥齿轮I和锥齿轮II的节圆半径，图中l₁＝R_1f/tanδ₁，l₂＝R_2f/tanδ₂。

锥齿轮I上的接触曲线Γ₁的曲线方程为：

$\left\{\begin{array}{c}{x}_1=X\left(\mathrm{\θ}\right)\\ y_1=Y\left(\mathrm{\θ}\right)\\ z_1=f\left(\mathrm{\θ}\right)\end{array}\right.,{\mathrm{\θ}}_1\≤\mathrm{\θ}\≤{\mathrm{\θ}}_2$

式中，θ为曲线参数角；θ₁,θ₂为接触线取值范围，即齿廓啮入点处对应的曲线参数角到啮出点处对应的曲线参数角。

由于锥齿轮I的轴线和锥齿轮II的轴线平面相交，由共轭曲线原理，接触曲线Γ₂的曲线方程为：

$\left\{\begin{array}{c}{x}_2=x_1(-\sin {\mathrm{\φ}}_1\sin {\mathrm{\φ}}_2+\cos {\mathrm{\φ}}_1\cos {\mathrm{\φ}}_2\cos \mathrm{\Σ})+y_1(\cos {\mathrm{\φ}}_1\sin {\mathrm{\φ}}_2+\sin {\mathrm{\φ}}_1\cos {\mathrm{\φ}}_2\cos \mathrm{\Σ})\\ +z_1\cos {\mathrm{\φ}}_2\sin \mathrm{\Σ}-l_1\cos {\mathrm{\φ}}_2\sin \mathrm{\Σ}\\ y_2=x_1(-\sin {\mathrm{\φ}}_1\cos {\mathrm{\φ}}_2-\cos {\mathrm{\φ}}_1\sin {\mathrm{\φ}}_2\cos \mathrm{\Σ})+y_1(\cos \mathrm{\φ}\cos {\mathrm{\φ}}_2-\sin {\mathrm{\φ}}_1\sin {\mathrm{\φ}}_2\cos \mathrm{\Σ})\\ -z_1\sin {\mathrm{\φ}}_2\sin \mathrm{\Σ}+l_1\sin {\mathrm{\φ}}_2\sin \mathrm{\Σ}\\ z_2=x_1(-\cos {\mathrm{\φ}}_1\sin \mathrm{\Σ})+y_1(-\sin {\mathrm{\φ}}_1\sin \mathrm{\Σ})+z_1\cos \mathrm{\Σ}-l_1\cos \mathrm{\Σ}+l_2\\ \mathrm{\Φ}(\mathrm{\θ},{\mathrm{\φ}}_1)=n\·{\mathrm{\υ}}^{\left(12\right)}=0\end{array}\right.$

其中，φ₁,φ₂分别是锥齿轮I、锥齿轮II绕各自轴线回转的角度，满足关系φ₂＝i₂₁φ₁，i₂₁为齿轮传动比；∑为锥齿轮I和锥齿轮II之间的轴交角；l₁,l₂分别为锥齿轮I、锥齿轮II在其轴线方向上锥顶点至底圆的距离；n是接触曲线Γ₂在啮合点处沿给定接触角方向的法矢；υ⁽¹²⁾表示在啮合点处的相对运动速度。

本实施例设定锥齿轮I上的接触曲线Γ₁为空间圆锥等距螺旋线：

$\left\{\begin{array}{c}{x}_1=(R_f-\mathrm{c\θ})\cos \mathrm{\θ}\\ y_1=(R_f-\mathrm{c\θ})\sin \mathrm{\θ}\\ z_1=\mathrm{p\θ}\\ c=p\tan {\mathrm{\δ}}_1\end{array}\right.,{\mathrm{\θ}}_1\≤\mathrm{\θ}\≤{\mathrm{\θ}}_2$

其中，R_f是锥齿轮I的底圆半径；θ为螺旋曲线参数，且θ₁,θ₂为接触线取值范围，即齿廓啮入点处对应的曲线参数角到啮出点处对应的曲线参数角；p为螺旋参数；δ₁表示锥齿轮I的节角。

根据共轭曲线原理得到接触曲线Γ₂的曲线方程为：

其中，

式中，R_f是锥齿轮I的底圆半径；θ为螺旋曲线参数；p为螺旋参数；δ₁表示锥齿轮I的节角，且c＝ptanδ₁；l₁,l₂分别为锥齿轮I、锥齿轮II在其轴线方向上锥顶点至底圆的距离；n_x,n_y，n_z表示共轭曲线沿给定接触角方向法矢量在各坐标轴的分量；i₂₁为齿轮传动比，φ₁,φ₂分别是锥齿轮I、锥齿轮II绕各自轴线的回转角度，且有关系φ₂＝i₂₁φ₁。

进一步，如图4所示，锥齿轮I齿廓曲面的圆心构成的圆心曲线Γ'₁为接触曲线Γ₁沿接触角方向啮合的等距曲线；锥齿轮II齿廓曲面的圆心构成的圆心曲线Γ'₂为接触曲线Γ₂沿接触角方向啮合的等距曲线。本实施例的锥齿轮I和锥齿轮II的齿廓曲线分别为凸圆弧和凹圆弧，并设定锥齿轮I的凸齿廓沿接触角方向正向等距，距离为ρ₁；锥齿轮II的凹齿廓沿接触角方向反向等距，距离为ρ₂，且实际等距距离有ρ₂＞ρ₁，球族中球体的球半径为中心曲线与接触曲线之间的距离。

可知，锥齿轮I的圆心曲线Γ'₁的曲线方程为：

${{\mathrm{\Γ}}^{\′}}_1:\left\{\begin{array}{c}{x}_{1h}=x_1+{\mathrm{\ρ}}_1\·\frac{n_{x1}}{\sqrt{n_{x1}^2+n_{y1}^2+n_{z1}^2}}\\ y_{1h}=y_1+{\mathrm{\ρ}}_1\·\frac{n_{y1}}{\sqrt{n_{x1}^2+n_{y1}^2+n_{z1}^2}}\\ z_{1h}=z_1+{\mathrm{\ρ}}_1\·\frac{n_{z1}}{\sqrt{n_{x1}^2+n_{y1}^2+n_{z1}^2}}\end{array}\right.$

锥齿轮II的圆心曲线Γ'₂的曲线方程为：

${{\mathrm{\Γ}}^{\′}}_2:\left\{\begin{array}{c}{x}_{2h}=x_2-{\mathrm{\ρ}}_2\·\frac{n_{x2}}{\sqrt{n_{x2}^2+n_{y2}^2+n_{z2}^2}}\\ y_{2h}=y_2-{\mathrm{\ρ}}_2\·\frac{n_{y2}}{\sqrt{n_{x2}^2+n_{y2}^2+n_{z2}^2}}\\ z_{2h}=z_2-{\mathrm{\ρ}}_2\·\frac{n_{z2}}{\sqrt{n_{x2}^2+n_{y2}^2+n_{z2}^2}}\end{array}\right.$

式中，ρ₁为锥齿轮I的凸圆弧齿廓曲面的曲率半径；ρ₂为锥齿轮II的凹圆弧齿廓曲面的曲率半径；n_x1,n_y1,n_z1,n_x2,n_y2，n_z2分别是法矢n在齿轮坐标系下沿坐标轴线方向的分解法向量。

进一步，锥齿轮I的齿廓曲面∑₁为球心沿圆心曲线Γ'₁运动的球族管状包络面，其方程为：

锥齿轮II的齿廓曲面∑₂为球心沿圆心曲线Γ'₂运动的球族管状包络面，其方程为：

式中，ρ₁为锥齿轮I的凸圆弧齿廓曲面的曲率半径；ρ₂为锥齿轮II的凹圆弧齿廓曲面的曲率半径；n_x1,n_y1,n_z1,n_x2,n_y2,n_z2分别是法矢n在齿轮坐标系下沿坐标轴线方向的分解法向量；

分别表示锥齿轮I、锥齿轮II的球族管状包络面的包络条件，其中参数项表示齿面方程对各自参数的求导；为球族参数，且满足

具体的，本实施例的接触曲线Γ₁和接触曲线Γ₂为共轭的空间圆锥等距螺旋线，可知：

锥齿轮I的齿廓曲面方程为：

锥齿轮II的齿廓曲面方程为：

其中，R_f是锥齿轮I的底圆半径；θ为螺旋曲线参数；p为螺旋参数；δ₁表示锥齿轮I的节角，且c＝ptanδ₁；i₂₁为传动比，φ₁,φ₂分别是锥齿轮I、锥齿轮II绕各自轴线回转的角度且有关系φ₂＝i₂₁φ₁；l₁,l₂分别为锥齿轮I、锥齿轮II在其轴线方向上锥顶点至底圆的距离；ρ₁为锥齿轮I的凸圆弧齿廓曲面的曲率半径；ρ₂为锥齿轮II的凹圆弧齿廓曲面的曲率半径；n_x1,n_y1,n_z1,n_x2,n_y2，n_z2分别是法矢n在齿轮坐标系下沿坐标轴线方向的分解法向量；

分别表示锥齿轮I、锥齿轮II的球族管状包络面的包络条件，其中参数项表示齿面方程对各自参数的求导；

为球族参数，且满足

随着本实施例基于共轭曲线的锥齿轮啮合副以一定的角速度转动，在某一时刻啮合点沿着各自的接触曲线移动一个距离，锥齿轮I和锥齿轮II的齿廓沿轴向同时移动一个距离进入下一个啮合点处参与啮合，锥齿轮II的齿廓曲线圆弧半径大于锥齿轮I的齿廓曲线圆弧半径，根据实际啮合情况，前者相对后者形成局部包容，使其具有较高的啮合传动强度。

第二实施例

如图7所示，为本发明基于共轭曲线的锥齿轮啮合副的第二实施例结构示意图。本实施例的基于共轭曲线的锥齿轮啮合副，包括相互啮合且齿廓曲线均为圆弧的锥齿轮I和锥齿轮II，且锥齿轮I和锥齿轮II之间的轴交角为0°＜∑≤90°，本实施例锥齿轮I和锥齿轮II的轴交角为90°，且本实施例的锥齿轮I的轴线和锥齿轮II的轴线之间平面相交。

进一步，锥齿轮I和锥齿轮II之间为点接触啮合，锥齿轮I的齿廓曲面∑₁上由啮合点构成的接触曲线Γ₁与锥齿轮II的齿廓曲面∑₂上由啮合点构成的接触曲线Γ₂为共轭曲线。优选的，接触曲线Γ₁与接触曲线Γ₂均为光滑曲线，保证齿轮副的啮合平稳性能。

本实施例基于共轭曲线的锥齿轮啮合副的空间坐标系与第一实施例相同，其中，S(O-x,y,z)和S_p(O_p-x_p,y_p,z_p)是两个空间固定的坐标系，锥齿轮I的轴线与z轴重合，锥齿轮II的轴线与z_p轴重合，两轴线之间的夹角为∑＝90°。坐标系S₁(O₁-x₁,y₁,z₁)设置在锥齿轮I上，坐标系S₂(O₂-x₂,y₂,z₂)设置在锥齿轮II上，在起始位置它们分别与S和S_p重合，锥齿轮I以匀角速度ω⁽¹⁾绕z轴转动，锥齿轮II以匀角速度ω⁽²⁾绕z_p轴转动，并且规定角速度ω⁽¹⁾、ω⁽²⁾的正向分别与z及z_p的正向相同；从起始位置经过一段时间后，S₁和S₂两个坐标系运动到图示位置，φ₁和φ₂分别是锥齿轮I和锥齿轮II转过的角度，齿轮轴线和节锥母线间的夹角叫做节角，用δ表示，δ₁和δ₂分别表示锥齿轮I和锥齿轮II的节角，R_1f和R_2f分别为锥齿轮I和锥齿轮II的节圆半径，图中l₁＝R_1f/tanδ₁，l₂＝R_2f/tanδ₂。

本实施例设定锥齿轮I上的接触曲线Γ₁为空间圆锥等距螺旋线：

$\left\{\begin{array}{c}{x}_1=(R_f-\mathrm{c\θ})\cos \mathrm{\θ}\\ y_1=(R_f-\mathrm{c\θ})\sin \mathrm{\θ}\\ z_1=\mathrm{p\θ}\\ c=p\tan {\mathrm{\δ}}_1\end{array}\right.,{\mathrm{\θ}}_1\≤\mathrm{\θ}\≤{\mathrm{\θ}}_2$

其中，R_f是锥齿轮I的底圆半径；θ为螺旋曲线参数，且θ₁,θ₂为接触线取值范围，即齿廓啮入点处对应的曲线参数角到啮出点处对应的曲线参数角，p为螺旋参数，δ₁表示锥齿轮I的节角，且c＝ptanδ₁。

根据共轭曲线原理得到接触曲线Γ₂的曲线方程为：

其中，

式中，R_f是锥齿轮I的底圆半径；θ为螺旋曲线参数；p为螺旋参数；δ₁表示锥齿轮I的节角，且c＝ptanδ₁；i₂₁为齿轮传动比，φ₁,φ₂分别是锥齿轮I、锥齿轮II绕各自轴线回转的角度，且有关系φ₂＝i₂₁φ₁；l₁,l₂分别为锥齿轮I、锥齿轮II在其轴线方向上锥顶点至底圆的距离；n_x,n_y，n_z表示共轭曲线沿给定接触角方向法矢量在各坐标轴的分量；i₂₁为齿轮传动比。

进一步，如图4所示，锥齿轮I齿廓曲面的圆心构成的圆心曲线Γ'₁为接触曲线Γ₁沿接触角方向啮合的等距曲线；锥齿轮II齿廓曲面的圆心构成的圆心曲线Γ'₂为接触曲线Γ₂沿接触角方向啮合的等距曲线。本实施例的锥齿轮I和锥齿轮II的齿廓曲线分别为凸圆弧和凹圆弧，并设定锥齿轮I的凸齿廓沿接触角方向正向等距，距离为ρ₁；锥齿轮II的凹齿廓沿接触角方向反向等距，距离为ρ₂，且实际等距距离有ρ₂＞ρ₁，球族中球体的球半径为中心曲线与接触曲线之间的距离。

可知，锥齿轮I的圆心曲线Γ'₁的曲线方程为：

${{\mathrm{\Γ}}^{\′}}_1:\left\{\begin{array}{c}{x}_{1h}=x_1+{\mathrm{\ρ}}_1\·\frac{n_{x1}}{\sqrt{n_{x1}^2+n_{y1}^2+n_{z1}^2}}\\ y_{1h}=y_1+{\mathrm{\ρ}}_1\·\frac{n_{y1}}{\sqrt{n_{x1}^2+n_{y1}^2+n_{z1}^2}}\\ z_{1h}=z_1+{\mathrm{\ρ}}_1\·\frac{n_{z1}}{\sqrt{n_{x1}^2+n_{y1}^2+n_{z1}^2}}\end{array}\right.$

锥齿轮II的圆心曲线Γ'₂的曲线方程为：

${{\mathrm{\Γ}}^{\′}}_2:\left\{\begin{array}{c}{x}_{2h}=x_2-{\mathrm{\ρ}}_2\·\frac{n_{x2}}{\sqrt{n_{x2}^2+n_{y2}^2+n_{z2}^2}}\\ y_{2h}=y_2-{\mathrm{\ρ}}_2\·\frac{n_{y2}}{\sqrt{n_{x2}^2+n_{y2}^2+n_{z2}^2}}\\ z_{2h}=z_2-{\mathrm{\ρ}}_2\·\frac{n_{z2}}{\sqrt{n_{x2}^2+n_{y2}^2+n_{z2}^2}}\end{array}\right.$

式中，ρ₁为锥齿轮I的凸圆弧齿廓曲面的曲率半径；ρ₂为锥齿轮II的凹圆弧齿廓曲面的曲率半径；n_x1,n_y1,n_z1,n_x2,n_y2，n_z2分别是法矢n在齿轮坐标系下沿坐标轴线方向的分解法向量。

进一步，锥齿轮I的齿廓曲面∑₁为球心沿圆心曲线Γ'₁运动的球族管状包络面，锥齿轮II的齿廓曲面∑₂为球心沿圆心曲线Γ'₂运动的球族管状包络面，且本实施例的接触曲线Γ₁和接触曲线Γ₂为共轭的空间圆锥等距螺旋线，可知：

锥齿轮I的齿廓曲面方程为：

锥齿轮II的齿廓曲面方程为：

其中，R_f是锥齿轮I的底圆半径；θ为螺旋曲线参数；p为螺旋参数；δ₁表示锥齿轮I的节角，且c＝ptanδ₁；i₂₁为齿轮传动比，φ₁,φ₂分别是锥齿轮I、锥齿轮II绕各自轴线回转的角度且有关系φ₂＝i₂₁φ₁；l₁,l₂分别为锥齿轮I、锥齿轮II在其轴线方向上锥顶点至底圆的距离；ρ₁为锥齿轮I的凸圆弧齿廓曲面的曲率半径；ρ₂为锥齿轮II的凹圆弧齿廓曲面的曲率半径；n_x1,n_y1,n_z1,n_x2,n_y2,n_z2分别是法矢n在齿轮坐标系下沿坐标轴线方向的分解法向量；

分别表示锥齿轮I、锥齿轮II球族管状包络面的包络条件，其中参数项表示齿面方程对各自参数的求导；

为球族参数，且满足

随着本实施例基于共轭曲线的锥齿轮啮合副以一定的角速度转动，在某一时刻啮合点沿着各自的接触曲线移动一个距离，锥齿轮I和锥齿轮II的齿廓沿轴向同时移动一个距离进入下一个啮合点处参与啮合，锥齿轮II的齿廓曲线圆弧半径大于锥齿轮I的齿廓曲线圆弧半径，根据实际啮合情况，前者相对后者形成局部包容，使其具有较高的啮合传动强度。

第三实施例

如图8所示，为本发明基于共轭曲线的锥齿轮啮合副的第三实施例结构示意图。本实施例基于共轭曲线的锥齿轮啮合副，包括相互啮合且齿廓曲线均为圆弧的锥齿轮I和锥齿轮II，且锥齿轮I和锥齿轮II之间的轴交角为0°＜∑≤90°，，且本实施例的锥齿轮I的轴线和锥齿轮II的轴线之间空间交错。

进一步，锥齿轮I和锥齿轮II之间为点接触啮合，锥齿轮I的齿廓曲面∑₁上由啮合点构成的接触曲线Γ₁与锥齿轮II的齿廓曲面∑₂上由啮合点构成的接触曲线Γ₂为共轭曲线。优选的，接触曲线Γ₁与接触曲线Γ₂均为光滑曲线，保证齿轮副的啮合平稳性能。

如图9所示，为本实施例基于共轭曲线的锥齿轮啮合副的空间坐标系示意图，S(O-x,y,z)、S_p(O_p-x_p,y_p,z_p)是两个空间固定的坐标系，锥齿轮I的轴线与z轴重合，锥齿轮II的轴线与z_p轴重合，两轴线之间的夹角为∑＝10°。坐标系S₁(O₁-x₁,y₁,z₁)设置在锥齿轮I上，坐标系S₂(O₂-x₂,y₂,z₂)设置在锥齿轮II上，在起始位置它们分别与S和S_p重合，锥齿轮I以匀角速度ω⁽¹⁾绕z轴转动，锥齿轮II以匀角速度ω⁽²⁾绕z_p轴转动，并且规定角速度ω⁽¹⁾、ω⁽²⁾的正向分别与z及z_p的正向相同；从起始位置经过一段时间后，S₁和S₂两个坐标系运动到图示位置，φ₁和φ₂分别是锥齿轮I和锥齿轮II转过的角度，齿轮轴线和节锥母线间的夹角叫做节角，用δ表示，δ₁和δ₂分别表示锥齿轮I和锥齿轮II的节角，r₁和r₂分别为锥齿轮I和锥齿轮II的节圆半径，r_w1和r_w2分别表示锥齿轮I和锥齿轮II的工作节圆柱的半径，锥齿轮I和锥齿轮II的节圆间的距离分别用b₁和b₂表示，D₁和D₂则分别是锥齿轮I和锥齿轮II的工作节圆柱沿轴线方向的距离，a是锥齿轮I轴线和锥齿轮II轴线之间的最短距离，且P点为配对齿轮上的任意一个啮合点。

锥齿轮I上的接触曲线Γ₁的曲线方程为：

$\left\{\begin{array}{c}{x}_1=X\left(\mathrm{\θ}\right)\\ y_1=Y\left(\mathrm{\θ}\right)\\ z_1=f\left(\mathrm{\θ}\right)\end{array}\right.,{\mathrm{\θ}}_1\≤\mathrm{\θ}\≤{\mathrm{\θ}}_2$

式中，θ为曲线参数角；θ₁,θ₂为接触线取值范围，即齿廓啮入点处对应的曲线参数角到啮出点处对应的曲线参数角。

由于锥齿轮I的轴线和锥齿轮II的轴线空间交错，由共轭曲线原理，接触曲线Γ₂的曲线方程为：

$\left\{\begin{array}{c}{x}_2=x_1(\cos {\mathrm{\φ}}_1\cos {\mathrm{\φ}}_2-\sin {\mathrm{\φ}}_1\sin {\mathrm{\φ}}_2\cos \mathrm{\Σ})+y_1(-\sin {\mathrm{\φ}}_1\cos {\mathrm{\φ}}_2-\cos {\mathrm{\φ}}_1\sin {\mathrm{\φ}}_2\cos \mathrm{\Σ})\\ +z_1\sin {\mathrm{\φ}}_2\sin \mathrm{\Σ}-(D_1-b_1)\sin {\mathrm{\φ}}_2\sin \mathrm{\Σ}-a\cos {\mathrm{\φ}}_2\\ y_2=x_1(\cos {\mathrm{\φ}}_1\sin {\mathrm{\φ}}_2+\sin {\mathrm{\φ}}_1\cos {\mathrm{\φ}}_2\cos \mathrm{\Σ})+y_1(-\sin {\mathrm{\φ}}_1\sin {\mathrm{\φ}}_2+\cos {\mathrm{\φ}}_1\cos {\mathrm{\φ}}_2\cos \mathrm{\Σ})\\ -z_1\cos {\mathrm{\φ}}_2\sin \mathrm{\Σ}+(D_1-b_1)\cos {\mathrm{\φ}}_2\sin \mathrm{\Σ}-a\sin {\mathrm{\φ}}_2\\ z_2=x_1\left(\sin {\mathrm{\φ}}_1\sin \mathrm{\Σ}\right)+y_1\left(\cos {\mathrm{\φ}}_1\sin \mathrm{\Σ}\right)+z_1\cos \mathrm{\Σ}-(D_1-b_1)\cos \mathrm{\Σ}+(D_2-b_2)\\ \mathrm{\Φ}(\mathrm{\θ},{\mathrm{\φ}}_1)=n\·{\mathrm{\υ}}^{\left(12\right)}=0\end{array}\right.$

其中，φ₁,φ₂分别是锥齿轮I、锥齿轮II绕各自轴线回转的角度，满足关系φ₂＝i₂₁φ₁，i₂₁为齿轮传动比；∑为锥齿轮I和锥齿轮II之间的轴交角；锥齿轮I和锥齿轮II的基准节圆与工作节圆间的距离分别用b₁,b₂表示，D₁,D₂分别为锥齿轮I、锥齿轮II的工作节圆柱沿轴线方向的距离；a是锥齿轮I轴线和锥齿轮II轴线之间的最短距离；n是接触曲线Γ₂在啮合点处沿给定接触角方向的法矢；υ⁽¹²⁾表示在啮合点处的相对运动速度。

本实施例设定锥齿轮I上的接触曲线Γ₁为空间圆锥等距螺旋线：

$\left\{\begin{array}{c}{x}_1=(R_f-\mathrm{c\θ})\cos \mathrm{\θ}\\ y_1=(R_f-\mathrm{c\θ})\sin \mathrm{\θ}\\ z_1=\mathrm{p\θ}\\ c=p\tan {\mathrm{\δ}}_1\end{array}\right.,{\mathrm{\θ}}_1\≤\mathrm{\θ}\≤{\mathrm{\θ}}_2$

其中，R_f是锥齿轮I的底圆半径；θ为螺旋曲线参数，且θ₁,θ₂为接触线取值范围，即齿廓啮入点处对应的曲线参数角到啮出点处对应的曲线参数角，p为螺旋参数，δ₁表示锥齿轮I的节角，且c＝ptanδ₁。

根据共轭曲线原理得到接触曲线Γ₂的曲线方程为：

其中，

式中，R_f是锥齿轮I的底圆半径；θ为螺旋曲线参数；p为螺旋参数；δ₁表示锥齿轮I的节角，且c＝ptanδ₁；i₂₁为齿轮传动比，φ₁,φ₂分别是锥齿轮I和锥齿轮II绕各自轴线回转的角度，且有关系φ₂＝i₂₁φ₁；锥齿轮I和锥齿轮II的基准节圆与工作节圆间的距离分别用b₁,b₂表示，D₁,D₂分别为锥齿轮I、锥齿轮II的工作节圆柱沿轴线方向的距离；a是锥齿轮I轴线和锥齿轮II轴线之间的最短距离；n_x,n_y，n_z表示共轭曲线沿给定接触角方向法矢量在各坐标轴的分量。

进一步，如图4所示，锥齿轮I齿廓曲面的圆心构成的圆心曲线Γ'₁为接触曲线Γ₁沿接触角方向啮合的等距曲线；锥齿轮II齿廓曲面的圆心构成的圆心曲线Γ'₂为接触曲线Γ₂沿接触角方向啮合的等距曲线。本实施例的锥齿轮I和锥齿轮II的齿廓曲线分别为凸圆弧和凹圆弧，并设定锥齿轮I的凸齿廓沿接触角方向正向等距，距离为ρ₁；锥齿轮II的凹齿廓沿接触角方向反向等距，距离为ρ₂，且实际等距距离有ρ₂＞ρ₁，球族中球体的球半径为中心曲线与接触曲线之间的距离。

可知，锥齿轮I的圆心曲线Γ'₁的曲线方程为：

${{\mathrm{\Γ}}^{\′}}_1:\left\{\begin{array}{c}{x}_{1h}=x_1+{\mathrm{\ρ}}_1\·\frac{n_{x1}}{\sqrt{n_{x1}^2+n_{y1}^2+n_{z1}^2}}\\ y_{1h}=y_1+{\mathrm{\ρ}}_1\·\frac{n_{y1}}{\sqrt{n_{x1}^2+n_{y1}^2+n_{z1}^2}}\\ z_{1h}=z_1+{\mathrm{\ρ}}_1\·\frac{n_{z1}}{\sqrt{n_{x1}^2+n_{y1}^2+n_{z1}^2}}\end{array}\right.$

锥齿轮II的圆心曲线Γ'₂的曲线方程为：

${{\mathrm{\Γ}}^{\′}}_2:\left\{\begin{array}{c}{x}_{2h}=x_2-{\mathrm{\ρ}}_2\·\frac{n_{x2}}{\sqrt{n_{x2}^2+n_{y2}^2+n_{z2}^2}}\\ y_{2h}=y_2-{\mathrm{\ρ}}_2\·\frac{n_{y2}}{\sqrt{n_{x2}^2+n_{y2}^2+n_{z2}^2}}\\ z_{2h}=z_2-{\mathrm{\ρ}}_2\·\frac{n_{z2}}{\sqrt{n_{x2}^2+n_{y2}^2+n_{z2}^2}}\end{array}\right.$

式中，ρ₁为锥齿轮I的凸圆弧齿廓曲面的曲率半径；ρ₂为锥齿轮II的凹圆弧齿廓曲面的曲率半径；n_x1,n_y1，n_z1,n_x2,n_y2，n_z2分别是法矢n在齿轮坐标系下沿坐标轴线方向的分解法向量。

进一步，锥齿轮I的齿廓曲面∑₁为球心沿圆心曲线Γ'₁运动的球族管状包络面，其方程为：

锥齿轮II的齿廓曲面∑₂为球心沿圆心曲线Γ'₂运动的球族管状包络面，其方程为：

式中，ρ₁为锥齿轮I的凸圆弧齿廓曲面的曲率半径；ρ₂为锥齿轮II的凹圆弧齿廓曲面的曲率半径；n_x1,n_y1,n_z1,n_x2,n_y2，n_z2分别是法矢n在齿轮坐标系下沿坐标轴线方向的分解法向量；

分别表示锥齿轮I、锥齿轮II的球族管状包络面的包络条件，其中参数项表示齿面方程对各自参数的求导；为球族参数，且满足

具体的，本实施例的接触曲线Γ₁和接触曲线Γ₂为共轭的空间圆锥等距螺旋线，可知：

锥齿轮I的齿廓曲面方程为：

锥齿轮II的齿廓曲面方程为：

其中，R_f是锥齿轮I的底圆半径；θ为螺旋曲线参数；p为螺旋参数；δ₁表示锥齿轮I的节角，且c＝ptanδ₁；i₂₁为齿轮传动比，φ₁,φ₂分别是锥齿轮I、锥齿轮II绕各自轴线回转的角度且有关系φ₂＝i₂₁φ₁；锥齿轮I和锥齿轮II的基准节圆与工作节圆间的距离分别用b₁,b₂表示，D₁,D₂分别为锥齿轮I、锥齿轮II的工作节圆柱沿轴线方向的距离；a是锥齿轮I轴线和锥齿轮II轴线之间的最短距离；ρ₁为锥齿轮I的凸圆弧齿廓曲面的曲率半径；ρ₂为锥齿轮II的凹圆弧齿廓曲面的曲率半径；n_x1,n_y1，n_z1,n_x2,n_y2，n_z2分别是法矢n在齿轮坐标系下沿坐标轴线方向的分解法向量；

分别表示锥齿轮I、锥齿轮II的球族管状包络面的包络条件，其中参数项表示齿面方程对各自参数的求导；为球族参数，且满足

随着本实施例基于共轭曲线的锥齿轮啮合副以一定的角速度转动，在某一时刻啮合点沿着各自的接触曲线移动一个距离，锥齿轮I和锥齿轮II的齿廓沿轴向同时移动一个距离进入下一个啮合点处参与啮合，锥齿轮II的齿廓曲线圆弧半径大于锥齿轮I的齿廓曲线圆弧半径，根据实际啮合情况，前者相对后者形成局部包容，使其具有较高的啮合传动强度。

最后说明的是，以上实施例仅用以说明本发明的技术方案而非限制，尽管参照较佳实施例对本发明进行了详细说明，本领域的普通技术人员应当理解，可以对本发明的技术方案进行修改或者等同替换，而不脱离本发明技术方案的宗旨和范围，其均应涵盖在本发明的权利要求范围当中。

Claims (8)

1.一种基于共轭曲线的锥齿轮，其特征在于：该锥齿轮的齿廓曲线为圆弧，且该齿轮的齿廓曲面上由啮合点构成的接触曲线的曲线方程为：

$\left\{\begin{array}{c}x=X\left(\mathrm{\θ}\right)\\ y=Y\left(\mathrm{\θ}\right)\\ z=f\left(\mathrm{\θ}\right)\end{array}\right.,{\mathrm{\θ}}_1\≤\mathrm{\θ}\≤{\mathrm{\θ}}_2$

其中，θ为曲线参数角；θ₁,θ₂为接触线取值范围，即齿廓啮入点处对应的曲线参数角到啮出点处对应的曲线参数角；

该锥齿轮的齿廓曲面的圆心构成的圆心曲线为接触曲线沿齿廓曲面公法线方向的等距曲线，且圆心曲线的曲线方程为：

$\left\{\begin{array}{c}{x}_h=x\±\mathrm{\ρ}\·\frac{n_x}{\sqrt{n_x^2+n_y^2+n_z^2}}\\ y_h=y\±\mathrm{\ρ}\·\frac{n_{y1}}{\sqrt{n_x^2+n_y^2+n_2^2}}\\ z_h=z\±\mathrm{\ρ}\·\frac{n_z}{\sqrt{n_x^2+n_y^2+n_z^2}}\end{array}\right.$

式中，ρ为锥齿轮I的凸圆弧齿廓曲面的曲率半径；n_x,n_y,n_z分别是法矢n在齿轮坐标系下沿坐标轴线方向的分解法向量。

2.根据权利要求1所述基于共轭曲线的锥齿轮，其特征在于：所述锥齿轮的齿廓曲面为球心沿所述圆心曲线运动的球族管状包络面，其曲面方程分别为：

式中，为球族参数，且满足

3.一种基于共轭曲线的锥齿轮啮合副，其特征在于：包括相互点啮合且齿廓曲线均为圆弧的锥齿轮I和锥齿轮II，所述锥齿轮I的齿廓曲面上由啮合点构成的接触曲线Γ₁与所述锥齿轮II的齿廓曲面上由啮合点构成的接触曲线Γ₂为共轭曲线；

所述锥齿轮I的接触曲线Γ₁的曲线方程为：

$\left\{\begin{array}{c}{x}_1=X\left(\mathrm{\θ}\right)\\ y_1=Y\left(\mathrm{\θ}\right)\\ z_1=f\left(\mathrm{\θ}\right)\end{array}\right.,{\mathrm{\θ}}_1\≤\mathrm{\θ}\≤{\mathrm{\θ}}_2$

式中，θ为曲线参数角；θ₁,θ₂为接触线取值范围，即齿廓啮入点处对应的曲线参数角到啮出点处对应的曲线参数角；

当所述锥齿轮I的轴线和锥齿轮II的轴线平面相交时，由共轭曲线原理，所述锥齿轮II的接触曲线Γ₂的曲线方程为：

$\left\{\begin{array}{c}{x}_2=x_1(-\sin {\mathrm{\φ}}_1\sin {\mathrm{\φ}}_2+\cos {\mathrm{\φ}}_1\cos {\mathrm{\φ}}_2\cos \mathrm{\Σ})+y_1(\cos {\mathrm{\φ}}_1\sin {\mathrm{\φ}}_2+\sin {\mathrm{\φ}}_1\cos {\mathrm{\φ}}_2\cos \mathrm{\Σ})\\ +z_1\cos {\mathrm{\φ}}_2\sin \mathrm{\Σ}-l_1\cos {\mathrm{\φ}}_2\sin \mathrm{\Σ}\\ y_2=x_1(-\sin {\mathrm{\φ}}_1\cos {\mathrm{\φ}}_2-\cos {\mathrm{\φ}}_1\sin {\mathrm{\φ}}_2\cos \mathrm{\Σ})+y_1(\cos \mathrm{\φ}\cos {\mathrm{\φ}}_2-\sin {\mathrm{\φ}}_1\sin {\mathrm{\φ}}_2\cos \mathrm{\Σ})\\ -z_1\sin {\mathrm{\φ}}_2\sin \mathrm{\Σ}+l_1\sin {\mathrm{\φ}}_2\sin \mathrm{\Σ}\\ z_2=x_1(-\cos {\mathrm{\φ}}_1\sin \mathrm{\Σ})+y_1(-\sin {\mathrm{\φ}}_1\sin \mathrm{\Σ})+z_1\cos \mathrm{\Σ}-l_1\cos \mathrm{\Σ}+l_2\\ \mathrm{\Φ}(\mathrm{\θ},{\mathrm{\φ}}_1)=n\·{\mathrm{\υ}}^{\left(12\right)}=0\end{array}\right.$

其中，φ₁,φ₂分别是锥齿轮I、锥齿轮II绕各自轴线回转的角度，满足关系φ₂＝i₂₁φ₁，i₂₁为齿轮传动比；∑为锥齿轮I和锥齿轮II之间的轴交角；l₁,l₂分别为锥齿轮I、锥齿轮II在其轴线方向上锥顶点至底圆的距离；n是接触曲线Γ₂在啮合点处沿给定接触角方向的法矢；υ⁽¹²⁾表示在啮合点处的相对运动速度；

当所述锥齿轮I的轴线和锥齿轮II的轴线空间交错时，由共轭曲线原理，所述接触曲线Γ₂的曲线方程为：

$\left\{\begin{array}{c}{x}_2=x_1(\cos {\mathrm{\φ}}_1\cos {\mathrm{\φ}}_2-\sin {\mathrm{\φ}}_1\sin {\mathrm{\φ}}_2\cos \mathrm{\Σ})+y_1(-\sin {\mathrm{\φ}}_1\cos {\mathrm{\φ}}_2-\cos {\mathrm{\φ}}_1\sin {\mathrm{\φ}}_2\cos \mathrm{\Σ})\\ +z_1\sin {\mathrm{\φ}}_2\sin \mathrm{\Σ}-(D_1-b_1)\sin {\mathrm{\φ}}_2\sin \mathrm{\Σ}-a\cos {\mathrm{\φ}}_2\\ y_2=x_1(\cos {\mathrm{\φ}}_1\sin {\mathrm{\φ}}_2+\sin {\mathrm{\φ}}_1\cos {\mathrm{\φ}}_2\cos \mathrm{\Σ})+y_1(-\sin {\mathrm{\φ}}_1\sin {\mathrm{\φ}}_2+\cos {\mathrm{\φ}}_1\cos {\mathrm{\φ}}_2\cos \mathrm{\Σ})\\ -z_1\cos {\mathrm{\φ}}_2\sin \mathrm{\Σ}+(D_1-b_1)\cos {\mathrm{\φ}}_2\sin \mathrm{\Σ}-a\sin {\mathrm{\φ}}_2\\ z_2=x_1\left(\sin {\mathrm{\φ}}_1\sin \mathrm{\Σ}\right)+y_1\left(\cos {\mathrm{\φ}}_1\sin \mathrm{\Σ}\right)+z_1\cos \mathrm{\Σ}-(D_1-b_1)\cos \mathrm{\Σ}+(D_2-b_2)\\ \mathrm{\Φ}(\mathrm{\θ},{\mathrm{\φ}}_1)=n\·{\mathrm{\υ}}^{\left(12\right)}=0\end{array}\right.$

其中，φ₁,φ₂分别是锥齿轮I、锥齿轮II绕各自轴线回转的角度，满足关系φ₂＝i₂₁φ₁，i₂₁为齿轮传动比；∑为锥齿轮I和锥齿轮II之间的轴交角；锥齿轮I和锥齿轮II的基准节圆与工作节圆间的距离分别用b₁,b₂表示，D₁,D₂分别为锥齿轮I、锥齿轮II的工作节圆柱沿轴线方向的距离；a是锥齿轮I轴线和锥齿轮II轴线之间的最短距离；n是接触曲线Γ₂在啮合点处沿给定接触角方向的法矢；υ⁽¹²⁾表示在啮合点处的相对运动速度。

4.根据权利要求3所述基于共轭曲线的锥齿轮啮合副，其特征在于：所述锥齿轮I齿廓曲面的圆心构成的圆心曲线Γ'₁为接触曲线Γ₁沿接触角方向啮合的等距曲线；所述锥齿轮II齿廓曲面的圆心构成的圆心曲线Γ'₂为接触曲线Γ₂沿接触角方向啮合的等距曲线。

5.根据权利要求4所述基于共轭曲线的锥齿轮啮合副，其特征在于：所述锥齿轮I和锥齿轮II的齿廓曲线分别为凸圆弧和凹圆弧；

且所述锥齿轮I的圆心曲线Γ′₁的曲线方程为：

${{\mathrm{\Γ}}^{\′}}_1:\left\{\begin{array}{c}{x}_{1h}=x_1+{\mathrm{\ρ}}_1\·\frac{n_{x1}}{\sqrt{n_{x1}^2+n_{y1}^2+n_{z1}^2}}\\ y_{1h}=y_1+{\mathrm{\ρ}}_1\·\frac{n_{y1}}{\sqrt{n_{x1}^2+n_{y1}^2+n_{z1}^2}}\\ z_{1h}=z_1+{\mathrm{\ρ}}_1\·\frac{n_{z1}}{\sqrt{n_{x1}^2+n_{y1}^2+n_{z1}^2}}\end{array}\right.$

所述锥齿轮II的圆心曲线Γ′₂的曲线方程为：

${{\mathrm{\Γ}}^{\′}}_2:\left\{\begin{array}{c}{x}_{2h}=x_2-{\mathrm{\ρ}}_2\·\frac{n_{x2}}{\sqrt{n_{x2}^2+n_{y2}^2+n_{z2}^2}}\\ y_{2h}=y_2-{\mathrm{\ρ}}_2\·\frac{n_{y2}}{\sqrt{n_{x2}^2+n_{y2}^2+n_{z2}^2}}\\ z_{2h}=z_2-{\mathrm{\ρ}}_2\·\frac{n_{z2}}{\sqrt{n_{x2}^2+n_{y2}^2+n_{z2}^2}}\end{array}\right.$

式中，ρ₁为锥齿轮I的凸圆弧齿廓曲面的曲率半径；ρ₂为锥齿轮II的凹圆弧齿廓曲面的曲率半径；n_x1,n_y1，n_z1,n_x2,n_y2,n_z2分别是法矢n在齿轮坐标系下沿坐标轴线方向的分解法向量。

6.根据权利要求5所述基于共轭曲线的锥齿轮啮合副，其特征在于：所述锥齿轮I的齿廓曲面∑₁为球心沿所述圆心曲线Γ'₁运动的球族管状包络面，其方程为：

所述锥齿轮II的齿廓曲面∑₂为球心沿所述圆心曲线Γ'₂运动的球族管状包络面，其方程为：

式中，ρ₁为锥齿轮I的凸圆弧齿廓曲面的曲率半径；ρ₂为锥齿轮II的凹圆弧齿廓曲面的曲率半径；n_x1,n_y1，n_z1,n_x2,n_y2,n_z2分别是法矢n在齿轮坐标系下沿坐标轴线方向的分解法向量；

分别表示锥齿轮I、锥齿轮II球族管状包络面的包络条件，其中参数项表示齿面方程对各自参数的求导；为球族参数，且满足

7.根据权利要求3-6任一项所述基于共轭曲线的锥齿轮啮合副，其特征在于：所述锥齿轮I和锥齿轮II之间的轴交角为0°＜∑≤90°。

8.根据权利要求7所述基于共轭曲线的锥齿轮啮合副，其特征在于：所述接触曲线Γ₁与接触曲线Γ₂均为光滑曲线。

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