CN102880050A - 一种磁悬浮动量轮群的操纵方法 - Google Patents

Abstract

本发明涉及一种磁悬浮动量轮群的操纵方法。在航天器姿态参考坐标系下建立基于磁悬浮动量轮群的航天器动力学模型，此模型以通式形式给出，可以用于任意构型的磁悬浮动量轮群。基于磁悬浮动量轮群的航天器动力学模型和改进的权重最小范数算法，设计磁悬浮动量轮群的操纵律，实现磁悬浮动量轮群的力矩合理分配。磁悬浮动量轮群的操纵律引入虚拟框架角测度函数，有效避免虚拟框架角过早饱和。本发明可以用于磁悬浮动量轮群作为姿态控制执行机构的航天器姿态控制系统，本发明属于航天控制技术领域，不仅可以使用磁悬浮动量轮群提高航天器姿态控制精度，而且可以节约航天器在轨运行时的能耗。

Description

一种磁悬浮动量轮群的操纵方法

技术领域

本发明属于航天器控制技术研究领域。特别涉及一种磁悬浮动量轮群的操纵方法。

背景技术

由于磁悬浮技术的先进发展，磁悬浮动量轮使得解决有特殊需求的姿态控制问题成为可能。在现代太空任务中，越来越需要有超高精度姿态指向，以及快速机动能力的航天器平台。与传统球形轴承支承的普通动量轮相比，转子依靠磁力支承的磁悬浮动量轮，几乎消除了所有的机械接触。此外，所有轴主动控制的磁悬浮动量轮显示另一个优势，磁悬浮转子可以在磁间隙范围内小角度偏转一定角度，这使得在垂直于自转轴的平面上输出陀螺力矩成为可能。为了表示方便，我们称磁悬浮动量轮转子的可偏转角为虚拟框架角，这样的磁悬浮动量轮称为带有虚拟框架能力的磁悬浮动量轮。一个磁悬浮动量轮既有自转轴方向的自转力矩输出，还有径向轴方向的陀螺力矩输出。为了最大限度地发挥磁悬浮动量轮在扩展力矩带宽，以及在有限能耗条件下进行三轴姿态控制的能力，采用多个磁悬浮动量轮组合，即磁悬浮动量轮群，成为一种新的趋势。

采用磁悬浮动量轮群作为航天器姿态控制执行机构时，需要根据期望力矩对磁悬浮动量轮群进行力矩分配，称为操纵律问题。现有的操纵律多是针对控制力矩陀螺群进行设计，在使用控制力矩陀螺群的一个最大障碍在于控制力矩陀螺群的框架角可能陷入奇异，从而导致控制力矩陀螺群在某个特定方向上无法输出力矩。因此针对控制力矩陀螺群的操纵律多是为了回避陀螺群奇异性问题设计的，例如基于权重最小范数解的伪逆操纵律，带零运动操纵律等。然而，在磁悬浮动量轮群中，由于磁悬浮动量轮的转子可偏转角度很小，受限于磁极面与转子的距离，通常来说小于3度，因此在磁悬浮动量轮群中不存在奇异性问题，针对控制力矩陀螺群设计的操纵律不再适用于磁悬浮动量轮群。

发明内容

本发明需要解决的技术问题是：克服现有技术的不足，提出一种针对磁悬浮动量轮群的操纵方法。

本发明解决其技术问题所采用的技术方案为：建立基于磁悬浮动量轮群的航天器姿态动力学和运动学模型，基于以通式形式给出的航天器动力学模型，针对磁悬浮动量轮群设计基于改进的权重最小范数算法的操纵律，同时引入磁悬浮动量轮群虚拟框架角测度函数，避免虚拟框架角饱和以及磁悬浮动量轮群输出力矩饱和。

具体包括以下步骤：

1、建立航天器固连坐标系和磁悬浮动量轮群中每个磁悬浮动量轮固连坐标系；

建立航天器固连坐标系(b_x,b_y,b_z)，坐标系原点位于航天器质量中心，航天器装有N个磁悬浮动量轮；建立第j(j＝1,2,...,N)个磁悬浮动量轮固连坐标系(c_sj,c_αj，c_βj)，其中c_sj表示第j个磁悬浮动量轮自转轴方向单位向量，c_αj和c_βj表示第j个磁悬浮动量轮径向轴方向单位向量；

2、基于步骤1建立磁悬浮动量轮群角动量模型；

磁悬浮动量轮群对航天器的角动量贡献分为自转轴方向和径向轴方向，磁悬浮动量轮群相对航天器固连坐标系的角动量为：

$h_w=C_s{I}_{\mathrm{ws}}\mathrm{\Ω}+C_{\mathrm{\α}}{I}_{\mathrm{w\α}}\stackrel{\·}{\mathrm{\α}}+C_{\mathrm{\β}}{I}_{\mathrm{w\β}}\stackrel{\·}{\mathrm{\β}}---\left(1\right)$

其中，矩阵C_s＝[c_s1,c_s2,...,c_sN]，C_α＝[c_α1,c_α2,...,c_αN]，C_β＝[c_β1，c_β2，...,c_βN]；Ω＝(Ω₁,Ω₂,...,Ω_N)，

和

为列向量，向量元素Ω_j是第j个磁悬浮动量轮的自转轴方向自转角速度，

和

为第j个磁悬浮动量轮径向轴虚拟框架角速度；I_ws＝diag(I_ws1,I_ws2，...,I_wsN)为对角矩阵，矩阵元素为第j个磁悬浮动量轮自转轴方向的转动惯量；I_wα＝diag(I_wα1，I_wα2，...,I_wαN)和I_wβ＝diag(I_wβ1,I_wβ2,...,I_wβN)为对角矩阵，矩阵元素为第j个磁悬浮动量轮径向轴方向的转动惯量，考虑到磁悬浮动量轮的对称性设计特点，有I_wα＝I_wβ；进一步磁悬浮动量轮群角动量的微分

为：

${\stackrel{\·}{h}}_w=C_s{I}_{\mathrm{ws}}\stackrel{\·}{\mathrm{\Ω}}+C_{\mathrm{\α}}{I}_{\mathrm{ws}}{\left[\mathrm{\Ω}\right]}^d\stackrel{\·}{\mathrm{\β}}-C_{\mathrm{\β}}{I}_{\mathrm{ws}}{\left[\mathrm{\Ω}\right]}^d\stackrel{\·}{\mathrm{\α}}---\left(2\right)$

其中，

3、基于步骤1和步骤2建立航天器总的转动惯量模型；

航天器总的转动惯量包括航天器本体的转动惯量以及磁悬浮动量轮群的转动惯量，航天器总的转动惯量为：

J＝I_B+C_sI_wsC_s ^T+C_αI_wαC_α ^T+C_βI_wβC_β ^T                (3)

其中，J为航天器总的转动惯量；I_B是航天器本体的转动惯量以及磁悬浮动量轮群固连于航天器的转动惯量；C_s ^T，C_α ^T，和C_β ^T为矩阵C_s，C_α，和C_β的转置；进一步地，航天器总的转动惯量J的微分

为：

$\stackrel{\·}{J}=C_s{\left[\stackrel{\·}{\mathrm{\β}}\right]}^d(I_{\mathrm{ws}}-I_{\mathrm{w\α}})C_{\mathrm{\α}}^T-C_s{\left[\stackrel{\·}{\mathrm{\α}}\right]}^d(I_{\mathrm{ws}}-I_{\mathrm{w\β}})C_{\mathrm{\β}}^T$

$+C_{\mathrm{\α}}{\left[\stackrel{\·}{\mathrm{\β}}\right]}^d(I_{\mathrm{ws}}-I_{\mathrm{w\α}})C_s^T+C_{\mathrm{\α}}{\left[\stackrel{\·}{\mathrm{\β}}\mathrm{\α}\right]}^d(I_{\mathrm{w\α}}+I_{\mathrm{w\β}})C_{\mathrm{\β}}^T---\left(4\right)$

$+C_{\mathrm{\β}}{\left[\stackrel{\·}{\mathrm{\α}}\right]}^d(I_{\mathrm{ws}}-I_{\mathrm{w\β}})C_s^T+C_{\mathrm{\β}}{[\stackrel{\·}{\mathrm{\β}}\mathrm{\α}]}^d(I_{\mathrm{w\α}}+I_{\mathrm{w\β}})C_{\mathrm{\α}}^T$

其中，

4、基于步骤1-步骤3建立航天器总的角动量模型；

航天器总的角动量包括航天器本体的角动量以及磁悬浮动量轮群的角动量，航天器总的角动量为：

h＝Jω+h_w                      (5)

其中，ω＝(ω₁,ω₂,ω₃)为航天器姿态角速度，ω₁为航天器固连坐标系中b_x轴方向姿态角速度，ω₂为航天器固连坐标系中b_y轴方向姿态角速度，ω₃为航天器固连坐标系中b_z轴方向姿态角速度；航天器总的角动量的微分

为：

$\stackrel{\·}{h}=\stackrel{\·}{J}\mathrm{\ω}+J\stackrel{\·}{\mathrm{\ω}}+{\stackrel{\·}{h}}_w---\left(6\right)$

其中，

为航天器姿态角加速度；

5、基于步骤1-步骤4建立基于磁悬浮动量轮群的航天器动力学模型；航天器动力学模型为：

$\stackrel{\·}{h}+{\mathrm{\ω}}^{\×}h={\mathrm{\τ}}_e---\left(7\right)$

其中，τ_e为作用在航天器上的外力矩，ω^×为关于ω的斜对称矩阵

${\mathrm{\ω}}^{\×}=\left[\begin{array}{ccc}0& -{\mathrm{\ω}}_3& {\mathrm{\ω}}_2\\ {\mathrm{\ω}}_3& 0& -{\mathrm{\ω}}_1\\ -{\mathrm{\ω}}_2& {\mathrm{\ω}}_1& 0\end{array}\right]$

基于步骤1-步骤4所建立的模型，建立基于磁悬浮动量轮群的航天器动力学模型为：

$\{C_s{\left[\stackrel{\·}{\mathrm{\β}}\right]}^d(I_{\mathrm{ws}}-I_{\mathrm{w\α}})C_{\mathrm{\α}}^T-C_s{\left[\stackrel{\·}{\mathrm{\α}}\right]}^d(I_{\mathrm{ws}}-I_{\mathrm{w\β}})C_{\mathrm{\β}}^T$

$+C_{\mathrm{\α}}{\left[\stackrel{\·}{\mathrm{\β}}\right]}^d(I_{\mathrm{ws}}-I_{\mathrm{w\α}})C_s^T+C_{\mathrm{\α}}{\left[\stackrel{\·}{\mathrm{\β}}\mathrm{\α}\right]}^d(I_{\mathrm{w\α}}+I_{\mathrm{w\β}})C_{\mathrm{\β}}^T$

$-C_{\mathrm{\β}}{\left[\stackrel{\·}{\mathrm{\α}}\right]}^d(I_{\mathrm{ws}}-I_{\mathrm{w\β}})C_s^T+C_{\mathrm{\β}}{\left[\stackrel{\·}{\mathrm{\β}}\mathrm{\α}\right]}^d(I_{\mathrm{w\α}}+I_{\mathrm{w\β}})C_{\mathrm{\α}}^T\}\mathrm{\ω}---\left(8\right)$

$+J\stackrel{\·}{\mathrm{\ω}}+C_s{I}_{\mathrm{ws}}\stackrel{\·}{\mathrm{\Ω}}+C_{\mathrm{\α}}{I}_{\mathrm{ws}}{\left[\mathrm{\Ω}\right]}^d\stackrel{\·}{\mathrm{\β}}-C_{\mathrm{\β}}{I}_{\mathrm{ws}}{\left[\mathrm{\Ω}\right]}^d\stackrel{\·}{\mathrm{\α}}$

$+{\mathrm{\ω}}^{\×}(\mathrm{J\ω}+C_s{I}_{\mathrm{ws}}\mathrm{\Ω}+C_{\mathrm{\α}}{I}_{\mathrm{w\α}}\stackrel{\·}{\mathrm{\α}}+C_{\mathrm{\β}}{I}_{\mathrm{w\β}}\stackrel{\·}{\mathrm{\β}})={\mathrm{\τ}}_e$

6、基于步骤1所建立的航天器固连坐标系建立航天器运动学模型；

考虑航天器姿态机动通常采用姿态四元数作为姿态描述的物理量，航天器姿态运动学中航天器姿态四元数和姿态角速度的关系为：

$\stackrel{\·}{q}=\frac{1}{2}\left[\begin{array}{cccc}0& {-\mathrm{\ω}}_1& {-\mathrm{\ω}}_2& {-\mathrm{\ω}}_3\\ {\mathrm{\ω}}_1& 0& {\mathrm{\ω}}_3& {-\mathrm{\ω}}_2\\ {\mathrm{\ω}}_2& {-\mathrm{\ω}}_3& 0& {\mathrm{\ω}}_1\\ {\mathrm{\ω}}_3& {\mathrm{\ω}}_2& {-\mathrm{\ω}}_1& 0\end{array}\right]q---\left(9\right)$

其中，q＝(q₀,q₁,q₂,q₃)^T为航天器姿态四元数，

为姿态四元数的微分。

7、基于步骤5和步骤6中所建立的基于磁悬浮动量轮群的航天器姿态动力学和运动学模型，设计基于磁悬浮动量轮群的操纵律；

基于改进的权重最小范数算法设计磁悬浮动量轮群的操纵律为：

$\stackrel{\·}{\mathrm{\δ}}={\mathrm{WQ}}^T{\left({\mathrm{QWQ}}^T\right)}^{-1}{\mathrm{\τ}}_{\mathrm{req}}---\left(10\right)$

其中，τ_req表示磁悬浮动量轮群所输出的力矩； $\mathrm{\δ}=\left[\begin{array}{c}\mathrm{\α}\\ \mathrm{\β}\\ \mathrm{\Ω}\end{array}\right],$

为δ的微分，Q＝[A₁ A₂ B]，其中A₁＝-C_βI_ws[Ω]^d+ω^×(C_αI_wα)，A₂＝C_αI_ws[Ω]^d+ω^×(C_βI_wβ)，和B＝C_sI_ws；W为磁悬浮动量轮群的权重矩阵

W＝diag(w_α1,...,w_αN,w_β1,...,w_βN,w_s1,...,w_sN)

其中，w_sj为第j个磁悬浮动量轮自转轴方向的权重常系数；w_αj为第j个磁悬浮动量轮虚拟框架角α_j方向的权重系数，

其中虚拟框架角测度函数

α_j,max为第j个磁悬浮动量轮虚拟框架角α_j的最大可偏转角度值，α_j,min为第j个磁悬浮动量轮虚拟框架角α_j的最小可偏转角度值；w_βj为第j个磁悬浮动量轮虚拟框架角β_j方向的权重系数，

其中虚拟框架角测度函数 $h\left({\mathrm{\β}}_j\right)=\frac{1}{4}\frac{{({\mathrm{\β}}_{j,\max }-{\mathrm{\β}}_{j,\min })}^2}{({\mathrm{\β}}_{j,\max }-{\mathrm{\β}}_j)({\mathrm{\β}}_j-{\mathrm{\β}}_{j,\min })},$ β_j,max为第j个磁悬浮动量轮虚拟框架角β_j的最大可偏转角度值，β_j,min为第j个磁悬浮动量轮虚拟框架角β_j的最小可偏转角度值；w₀和w₁为常系数，根据虚拟框架角可偏转范围进行选取；当第j个磁悬浮动量轮的虚拟框架角α_j接近虚拟框架角的临界值时，虚拟框架角测度函数h(α_j)趋近于无穷大，

趋近于零，此时虚拟框架不再偏转，磁悬浮动量轮依靠自转轴方向输出力矩；反过来，当α_j处于虚拟框架角可偏转范围中间时，虚拟框架角测度函数h(α_j)接近零，接近最大范围值1，因此虚拟框架要继续偏转，磁悬浮动量轮主要依靠虚拟框架的偏转输出径向陀螺力矩。

本发明的原理是：本发明基于改进的权重最小范数算法对带有虚拟框架能力的磁悬浮动量轮群进行操纵方法设计，在考虑节约航天器在轨运行能耗的条件下充分利用磁悬浮动量轮群的虚拟框架偏转能力，依靠虚拟框架的偏转输出径向陀螺力矩实现航天器姿态高精度控制。使用磁悬浮动量轮群进行航天器姿态控制的原理如图2所示，首先期望姿态与目标姿态的差值进入姿态控制器，得到指令力矩，指令力矩通过磁悬浮动量轮群的操纵律分配每个磁悬浮动量轮的期望自转角速度和虚拟框架偏转角，期望自转角速度和虚拟框架角经过磁悬浮动量轮群得到真实的自转角速度和虚拟框架角度，真实的自转角速度和虚拟框架角度经过磁悬浮动量轮动力学模型得到真实的控制力矩，此控制力矩作用到航天器姿态动力学模型，通过动力学输出航天器姿态角速度，姿态角速度通过航天器姿态运动学模型，得到实时的航天器姿态。本发明所述的基于磁悬浮动量轮群的操纵方法，首先建立航天器固连坐标系和磁悬浮动量轮群中每个磁悬浮动量轮固连坐标系，基于所建立的参考坐标系，建立磁悬浮动量轮群角动量模型，航天器总的转动惯量模型，航天器总的角动量模型，最后建立基于磁悬浮动量轮群的航天器姿态动力学和运动学模型。动力学模型以通式形式给出，适用于任意构型的磁悬浮动量轮群。进一步基于航天器动力学模型，设计基于磁悬浮动量轮群的操纵律，此操纵律基于改进的权重最小范数算法，对操纵律引入基于自转轴方向力矩和径向轴方向力矩的权重系数，权重系数中通过对磁悬浮动量轮群虚拟框架角度的测量来自适应调整磁悬浮动量轮自转轴方向和径向轴方向的力矩输出。如对第j个磁悬浮动量轮虚拟框架角α_j方向引入权重系数其中，虚拟框架角测度函数为 $h\left({\mathrm{\α}}_j\right)=\frac{1}{4}\frac{{({\mathrm{\α}}_{j,\max }-{\mathrm{\α}}_{j,\min })}^2}{({\mathrm{\α}}_{j,\max }-{\mathrm{\α}}_j)({\mathrm{\α}}_j-{\mathrm{\α}}_{j,\min })},$ 当α_j变大，接近虚拟框架角的临界值时，虚拟框架角测度函数h(α_j)趋近于无穷大，

趋近于零，此时虚拟框架不再偏转，磁悬浮动量轮依靠自转轴方向输出自转力矩；反过来，当α_j处于虚拟框架角度可偏转范围中间时，虚拟框架角测度函数h(α_j)接近零，

接近最大范围值1，虚拟框架要继续偏转，磁悬浮动量轮主要依靠虚拟框架的偏转输出径向陀螺力矩。

本发明与现有技术相比的优点在于：（1）提出基于磁悬浮动量轮群的航天器动力学模型，并对模型给出一个通式，使之能够适用于任意构型的磁悬浮动量轮群；（2）对磁悬浮动量轮群作为航天器姿态控制的执行机构提出一种操纵律，该操纵律基于改进的权重最小范数算法，通过引入虚拟框架角测度函数，有效避免磁悬浮动量轮群虚拟框架角饱和问题；（3）在所设计的操纵律中引入自转轴方向力矩和径向轴方向力矩的权重系数，使操纵律不仅适用于普通动量轮模式，而且也适用于虚拟框架动量轮模式；另一方面通过权重系数加入约束条件限制虚拟框架的偏转角度，考虑虚拟框架角受限问题，在虚拟框架角的偏转范围内充分利用虚拟框架偏转输出的径向陀螺力矩。通过本发明所述的操纵方法进行磁悬浮动量轮群力矩的有效分配，与现有的仅控制单个磁悬浮动量轮相比，进一步节约航天器在轨运行时的能耗。

附图说明

图1为本发明中磁悬浮动量轮群操纵方法流程图；

图2为本发明中基于磁悬浮动量轮群的航天器姿态控制系统结构框图；

图3为本发明中基于磁悬浮动量轮群的航天器固连坐标系；

图4为本发明中单个磁悬浮动量轮固连坐标系；

图5为本发明中所述操纵律算法流程图；

图6为本发明中三轴正交安装磁悬浮动量轮群示意图。

具体实施方式

如图1所示，本发明的具体实施方法如下：

1、建立航天器固连坐标系和磁悬浮动量轮群中每个磁悬浮动量轮固连坐标系；

如图3所示，建立航天器固连坐标系(b_x,b_y,b_z)，坐标系原点位于航天器质量中心，航天器装有N个磁悬浮动量轮，构成磁悬浮动量轮群；如图4所示，建立第j(j＝1,2,...,N)个磁悬浮动量轮坐标系(c_sj,c_αj，c_βj)，其中c_sj表示第j个磁悬浮动量轮自转轴方向单位向量，c_αj和c_βj表示第j个磁悬浮动量轮径向轴方向单位向量。

2、基于步骤1建立磁悬浮动量轮群角动量模型；

磁悬浮动量轮群对航天器总的角动量贡献分为自转轴方向和径向轴方向，磁悬浮动量轮群相对航天器固连坐标系的角动量为

$h_w=C_s{I}_{\mathrm{ws}}\mathrm{\Ω}+C_{\mathrm{\α}}{I}_{\mathrm{w\α}}\stackrel{\·}{\mathrm{\α}}+C_{\mathrm{\β}}{I}_{\mathrm{w\β}}\stackrel{\·}{\mathrm{\β}}---\left(1\right)$

其中，矩阵C_s＝[c_s1，c_s2，...,c_sN]，C_α＝[c_α1，c_α2，...,c_αN]，C_β＝[c_β1,c_β2，...,c_βN]；Ω＝(Ω₁,Ω₂,...,Ω_N)，

和为列向量，向量元素Ω_j是第j个磁悬浮动量轮的自转角速度，

和

为第j个磁悬浮动量轮径向虚拟框架角速度；矩阵I_ws＝diag(I_ws1,I_ws2，...,I_wsN)为对角矩阵，矩阵元素是第j个磁悬浮动量轮自转轴方向的转动惯量；I_wα＝diag(I_wα1,I_wα2,...,I_wαN)和I_wβ＝diag(I_wβ1，I_wβ2,...,I_wβN)为对角矩阵，矩阵元素为第j个磁悬浮动量轮径向轴方向的转动惯量，考虑到磁悬浮动量轮的对称性设计特点，有I_wα＝I_wβ；

进一步，矩阵C_s，C_α，和C_β可以使用初始值表示为：

C_s＝C_s0[cosαcosβ]^d+C_α0[cosαsinβ]^d-C_β0[sinα]^d           (2a)

C_α＝-C_s0[sinβ]^d+C_α0[cosβ]^d                                (2b)

C_β＝C_s0[sinαcosβ]^d+C_α0[sinαsinβ]^d+C_β0[cosα]^d          (2c)

其中C_s0＝[c_s10,c_s20,...,c_sN0]，C_α0＝[c_α10,c_α20,...,c_αN0]，C_β0＝[c_β10,c_β20,...,c_βN0]；c_sj0(j＝1,2,...,N)是第j个磁悬浮动量轮初始时刻自转轴方向单位向量，c_αj0和c_βj0(j＝1,2,...,N)是第j个磁悬浮动量轮初始时刻径向轴方向单位向量；[sinα]^d为对角矩阵；

对于[cosα]^d，[sinβ]^d，和[cosβ]^d有相似的表示；

由于磁悬浮动量轮可偏转的虚拟框架角很小，因此考虑小角度线性化有

C_s＝C_s0+C_α0[β]^d-C_β0[α]^d                (3a)

C_α＝-C_s0[β]^d+C_α0                        (3b)

C_β＝C_s0[α]^d+C_β0                         (3c)

其中，

磁悬浮动量轮群角动量的微分

为：

${\stackrel{\·}{h}}_w=C_s{I}_{\mathrm{ws}}\stackrel{\·}{\mathrm{\Ω}}+C_{\mathrm{\α}}{I}_{\mathrm{ws}}{\left[\mathrm{\Ω}\right]}^d\stackrel{\·}{\mathrm{\β}}-C_{\mathrm{\β}}{I}_{\mathrm{ws}}{\left[\mathrm{\Ω}\right]}^d\stackrel{\·}{\mathrm{\α}}---\left(4\right)$

其中，

3、基于步骤1和步骤2建立航天器总的转动惯量模型；

航天器总的转动惯量包括航天器本体的转动惯量以及磁悬浮动量轮群的转动惯量：

J＝I_B+C_sI_wsC_s ^T+C_αI_wαC_α ^T+C_βI_wβC_β ^T                 (5)

其中，J为航天器总的转动惯量；I_B是航天器本体转动惯量以及磁悬浮动量轮群固连于航天器的转动惯量；C_s ^T，C_α ^T，和C_β ^T为矩阵C_s，C_α，和C_β的转置；进一步地，航天器总的转动惯量J的微分

为：

$\stackrel{\·}{J}=C_s{\left[\stackrel{\·}{\mathrm{\β}}\right]}^d(I_{\mathrm{ws}}-I_{\mathrm{w\α}})C_{\mathrm{\α}}^T-C_s{\left[\stackrel{\·}{\mathrm{\α}}\right]}^d(I_{\mathrm{ws}}-I_{\mathrm{w\β}})C_{\mathrm{\β}}^T$

$+C_{\mathrm{\α}}{\left[\stackrel{\·}{\mathrm{\β}}\right]}^d(I_{\mathrm{ws}}-I_{\mathrm{w\α}})C_s^T+C_{\mathrm{\α}}{\left[\stackrel{\·}{\mathrm{\β}}\mathrm{\α}\right]}^d(I_{\mathrm{w\α}}+I_{\mathrm{w\β}})C_{\mathrm{\β}}^T---\left(6\right)$

$-C_{\mathrm{\β}}{\left[\stackrel{\·}{\mathrm{\α}}\right]}^d(I_{\mathrm{ws}}-I_{\mathrm{w\β}})C_s^T+C_{\mathrm{\β}}{[\stackrel{\·}{\mathrm{\β}}\mathrm{\α}]}^d(I_{\mathrm{w\α}}+I_{\mathrm{w\β}})C_{\mathrm{\α}}^T$

其中，

4、基于步骤1-步骤3建立航天器总的角动量模型；

航天器总的角动量包括航天器本体的角动量以及磁悬浮动量轮群的角动量

h＝Jω+h_w                      (7)

其中，ω＝(ω₁,ω₂,ω₃)为航天器姿态角速度，航天器总的角动量的微分

为：

$\stackrel{\·}{h}=\stackrel{\·}{J}\mathrm{\ω}+J\stackrel{\·}{\mathrm{\ω}}+{\stackrel{\·}{h}}_w---\left(8\right)$

其中，

为航天器姿态角加速度；

5、基于步骤1-步骤4建立基于磁悬浮动量轮群的航天器动力学模型；航天器的动力学模型为：

$\stackrel{\·}{h}+{\mathrm{\ω}}^{\×}h={\mathrm{\τ}}_e---\left(9\right)$

其中，τ_e为作用在航天器上的外力矩，ω^×为关于ω的斜对称矩阵

${\mathrm{\ω}}^{\×}=\left[\begin{array}{ccc}0& -{\mathrm{\ω}}_3& {\mathrm{\ω}}_2\\ {\mathrm{\ω}}_3& 0& -{\mathrm{\ω}}_1\\ -{\mathrm{\ω}}_2& {\mathrm{\ω}}_1& 0\end{array}\right]$

基于步骤1-步骤4所建立的模型，建立基于磁悬浮动量轮群的航天器动力学模型为：

$\{C_s{\left[\stackrel{\·}{\mathrm{\β}}\right]}^d(I_{\mathrm{ws}}-I_{\mathrm{w\α}})C_{\mathrm{\α}}^T-C_s{\left[\stackrel{\·}{\mathrm{\α}}\right]}^d(I_{\mathrm{ws}}-I_{\mathrm{w\β}})C_{\mathrm{\β}}^T$

$+C_{\mathrm{\α}}{\left[\stackrel{\·}{\mathrm{\β}}\right]}^d(I_{\mathrm{ws}}-I_{\mathrm{w\α}})C_s^T+C_{\mathrm{\α}}{\left[\stackrel{\·}{\mathrm{\β}}\mathrm{\α}\right]}^d(I_{\mathrm{w\α}}+I_{\mathrm{w\β}})C_{\mathrm{\β}}^T$

$-C_{\mathrm{\β}}{\left[\stackrel{\·}{\mathrm{\α}}\right]}^d(I_{\mathrm{ws}}-I_{\mathrm{w\β}})C_s^T+C_{\mathrm{\β}}{\left[\stackrel{\·}{\mathrm{\β}}\mathrm{\α}\right]}^d(I_{\mathrm{w\α}}+I_{\mathrm{w\β}})C_{\mathrm{\α}}^T\}\mathrm{\ω}---\left(10\right)$

$+J\stackrel{\·}{\mathrm{\ω}}+C_s{I}_{\mathrm{ws}}\stackrel{\·}{\mathrm{\Ω}}+C_{\mathrm{\α}}{I}_{\mathrm{ws}}{\left[\mathrm{\Ω}\right]}^d\stackrel{\·}{\mathrm{\β}}-C_{\mathrm{\β}}{I}_{\mathrm{ws}}{\left[\mathrm{\Ω}\right]}^d\stackrel{\·}{\mathrm{\α}}$

$+{\mathrm{\ω}}^{\×}(\mathrm{J\ω}+C_s{I}_{\mathrm{ws}}\mathrm{\Ω}+C_{\mathrm{\α}}{I}_{\mathrm{w\α}}\stackrel{\·}{\mathrm{\α}}+C_{\mathrm{\β}}{I}_{\mathrm{w\β}}\stackrel{\·}{\mathrm{\β}})={\mathrm{\τ}}_e$

6、基于步骤1所建立的航天器固连坐标系建立航天器运动学模型；

考虑航天器姿态机动通常采用姿态四元数作为姿态描述的物理量，航天器姿态运动学中航天器姿态四元数和姿态角速度的关系为：

$\stackrel{\·}{q}=\frac{1}{2}\left[\begin{array}{cccc}0& -{\mathrm{\ω}}_1& {-\mathrm{\ω}}_2& -{\mathrm{\ω}}_3\\ {\mathrm{\ω}}_1& 0& {\mathrm{\ω}}_3& {-\mathrm{\ω}}_2\\ {\mathrm{\ω}}_2& -{\mathrm{\ω}}_3& 0& {\mathrm{\ω}}_1\\ {\mathrm{\ω}}_3& {\mathrm{\ω}}_2& {-\mathrm{\ω}}_1& 0\end{array}\right]q---\left(11\right)$

其中，q＝(q₀,q₁,q₂,q₃)^T为航天器姿态四元数，

为姿态四元数的微分；

7、基于步骤5和步骤6所建立的基于磁悬浮动量轮群的航天器姿态动力学和运动学模型，设计基于磁悬浮动量轮群的操纵律；

基于改进的权重最小范数算法设计磁悬浮动量轮群操纵律为：

$\stackrel{\·}{\mathrm{\δ}}={\mathrm{WQ}}^T{\left({\mathrm{QWQ}}^T\right)}^{-1}{\mathrm{\τ}}_{\mathrm{req}}---\left(12\right)$

其中，τ_req表示磁悬浮动量轮群所输出的力矩； $\mathrm{\δ}=\left[\begin{array}{c}\mathrm{\α}\\ \mathrm{\β}\\ \mathrm{\Ω}\end{array}\right],$ 为δ的微分；Q＝[A₁ A₂ B]，其中A₁＝-C_βI_ws[Ω]^d+ω^×(C_αI_wα)，A₂＝C_αI_ws[Ω]^d+ω^×(C_βI_wβ)，和B＝C_sI_ws；W为磁悬浮动量轮群的权重矩阵

W＝diag(w_α1,...,w_αN,w_β1,...,w_βN,w_s1,...,w_sN)

其中，w_sj为第j个磁悬浮动量轮自转轴方向的权重常系数；w_αj为第j个磁悬浮动量轮虚拟框架角α_j方向的权重系数，其中虚拟框架角测度函数

w_βj为第j个磁悬浮动量轮虚拟框架角β_j方向的权重系数，其中虚拟框架角测度函数w₀和w₁为常系数，根据虚拟框架可偏转角度范围进行选取。例如第j个磁悬浮动量轮的虚拟框架角α_j接近虚拟框架角的临界值时，虚拟框架角测度函数h(α_j)趋近于无穷大，趋近于零，此时虚拟框架不再偏转，磁悬浮动量轮依靠自转轴方向输出自转力矩；反过来，当α_j处于虚拟框架可偏转角度范围中间时，虚拟框架角测度函数h(α_j)接近零，

接近最大范围值1，因此虚拟框架要继续偏转，磁悬浮动量轮主要依靠虚拟框架的偏转输出径向陀螺力矩。

如图5所示，所述磁悬浮动量轮群的操纵律，由姿态控制器获得指令力矩信号τ，通过指令力矩信号计算磁悬浮动量轮群输出力矩τ_req＝-τ-ω^×h_w，通过改进的权重最小范数算法计算磁悬浮动量轮群的自转角速度和虚拟框架偏转角度，引入虚拟框架角饱和测度函数，判断虚拟框架角是否饱和。如果虚拟框架角接近饱和，即虚拟框架已偏转到极限位置，此时停止虚拟框架偏转，磁悬浮动量轮依靠自转轴输出力矩；如果虚拟框架角很小，继续偏转虚拟框架，磁悬浮动量轮依靠虚拟框架偏转输出径向陀螺力矩。综合上述判断过程，输出最终的磁悬浮动量轮群自转角速度和虚拟框架偏转角度。

对上述步骤方法以三轴正交安装的磁悬浮动量轮群为实施例说明具体实施步骤：

如图6所示，为三个正交安装的磁悬浮动量轮组成的磁悬浮动量轮群，按照本发明所述方法的具体实现步骤为：

（1）建立航天器固连坐标系和磁悬浮动量轮群中每个磁悬浮动量轮固连坐标系；

建立航天器固连坐标系为(b_x,b_y,b_z)，坐标系原点位于航天器质量中心，航天器装有三个磁悬浮动量轮；建立第j(j＝1,2,3)个磁悬浮动量轮坐标系(c_sj,c_αj，c_βj)，其中c_sj表示第j个磁悬浮动量轮自转轴方向单位向量，c_αj和c_βj表示第j个磁悬浮动量轮径向轴方向单位向量；

（2）基于步骤（1）建立磁悬浮动量轮群的角动量模型为：

$h_w=C_s{I}_{\mathrm{ws}}\mathrm{\Ω}+C_{\mathrm{\α}}{I}_{\mathrm{w\α}}\stackrel{\·}{\mathrm{\α}}+C_{\mathrm{\β}}{I}_{\mathrm{w\β}}\stackrel{\·}{\mathrm{\β}}---\left(13\right)$

其中，矩阵C_s＝[c_s1，c_s2,c_s3]，C_α＝[c_α1，c_α2,c_α3]，C_β＝[c_β1，c_β2，c_β3]；Ω＝(Ω₁,Ω₂,Ω₃)，和

为列向量，向量元素Ω_j是第j个磁悬浮动量轮的自转轴方向角速度，

和

为第j个磁悬浮动量轮径向轴虚拟框架角速度；矩阵I_ws＝diag(I_ws1，I_ws2，I_ws3)为对角矩阵，矩阵元素是第j个磁悬浮动量轮自转轴方向的转动惯量；I_wα＝diag(I_wα1，I_wα2，I_wα3)和I_wβ＝diag(I_wβ1,I_wβ2,I_wβ3)为对角矩阵，矩阵元素为磁悬浮动量轮径向轴方向的转动惯量，考虑到磁悬浮动量轮的对称性设计特点，有I_wα＝I_wβ；

进一步，矩阵C_s，C_α，和C_β可以使用初始值表示为：

C_s＝C_s0[cosαcosβ]^d+C_α0[cosαsinβ]^d-C_β0[sinα]^d                 (14a)

C_α＝-C_s0[sinβ]^d+C_α0[cosβ]^d                                      (14b)

C_β＝C_s0[sinαcosβ]^d+C_α0[sinαsinβ]^d+C_β0[cosα]^d                (14c)

其中C_s0＝[c_s10,c_s20,c_s30]，C_α0＝[c_α10,c_α20,c_α30]，C_β0＝[c_β10,c_β20,c_β30]；c_sj0(j＝1,2,3)是第j个磁悬浮动量轮初始时刻自转轴方向单位向量，c_αj0和c_βj0是第j个磁悬浮动量轮初始时刻径向轴方向单位向量；其中 ${\left[\sin \mathrm{\α}\right]}^d=\left[\begin{array}{ccc}\sin {\mathrm{\α}}_1& 0& 0\\ 0& \sin {\mathrm{\α}}_2& 0\\ 0& 0& \sin {\mathrm{\α}}_3\end{array}\right],$ ${\left[\cos \mathrm{\α}\right]}^d=\left[\begin{array}{ccc}\cos {\mathrm{\α}}_1& 0& 0\\ 0& \cos {\mathrm{\α}}_2& 0\\ 0& 0& \cos {\mathrm{\α}}_3\end{array}\right],$ ${\left[\sin \mathrm{\β}\right]}^d=\left[\begin{array}{ccc}\sin {\mathrm{\β}}_1& 0& 0\\ 0& \sin {\mathrm{\β}}_2& 0\\ 0& 0& \sin {\mathrm{\β}}_3\end{array}\right],$ 和 ${\left[\cos \mathrm{\β}\right]}^d=\left[\begin{array}{ccc}\cos {\mathrm{\β}}_1& 0& 0\\ 0& \cos {\mathrm{\β}}_2& 0\\ 0& 0& \cos {\mathrm{\β}}_3\end{array}\right];$

由于磁悬浮动量轮可偏转虚拟框架角很小，考虑小角度线性化有：

C_s＝C_s0+C_α0[β]^d-C_β0[α]^d                (15a)

C_α＝-C_s0[β]^d+C_α0                        (15b)

C_β＝C_s0[α]^d+C_β0                         (15c)

其中， ${\left[\mathrm{\α}\right]}^d=\left[\begin{array}{ccc}{\mathrm{\α}}_1& 0& 0\\ 0& {\mathrm{\α}}_2& 0\\ 0& 0& {\mathrm{\α}}_3\end{array}\right],$ ${\left[\mathrm{\β}\right]}^d=\left[\begin{array}{ccc}{\mathrm{\β}}_1& 0& 0\\ 0& {\mathrm{\β}}_2& 0\\ 0& 0& {\mathrm{\β}}_3\end{array}\right];$

进一步磁悬浮动量轮群的角动量的微分

为：

${\stackrel{\·}{h}}_w=C_s{I}_{\mathrm{ws}}\stackrel{\·}{\mathrm{\Ω}}+C_{\mathrm{\α}}{I}_{\mathrm{ws}}{\left[\mathrm{\Ω}\right]}^d\stackrel{\·}{\mathrm{\β}}-C_{\mathrm{\β}}{I}_{\mathrm{ws}}{\left[\mathrm{\Ω}\right]}^d\stackrel{\·}{\mathrm{\α}}---\left(16\right)$

其中 ${\left[\mathrm{\Ω}\right]}^d=\left[\begin{array}{ccc}{\mathrm{\Ω}}_1& 0& 0\\ 0& {\mathrm{\Ω}}_2& 0\\ 0& 0& {\mathrm{\Ω}}_3\end{array}\right];$

（3）基于步骤（2）建立航天器总的转动惯量模型；

J＝I_B+C_sI_wsC_s ^T+C_αI_wαC_α ^T+C_βI_wβC_β ^T                   (17)

进一步，航天器总的转动惯量J的微分

为：

$\stackrel{\·}{J}=C_s{\left[\stackrel{\·}{\mathrm{\β}}\right]}^d(I_{\mathrm{ws}}-I_{\mathrm{w\α}})C_{\mathrm{\α}}^T-C_s{\left[\stackrel{\·}{\mathrm{\α}}\right]}^d(I_{\mathrm{ws}}-I_{\mathrm{w\β}})C_{\mathrm{\β}}^T$

$+C_{\mathrm{\α}}{\left[\stackrel{\·}{\mathrm{\β}}\right]}^d(I_{\mathrm{ws}}-I_{\mathrm{w\α}})C_s^T+C_{\mathrm{\α}}{\left[\stackrel{\·}{\mathrm{\β}}\mathrm{\α}\right]}^d(I_{\mathrm{w\α}}+I_{\mathrm{w\β}})C_{\mathrm{\β}}^T---\left(18\right)$

$-C_{\mathrm{\β}}{\left[\stackrel{\·}{\mathrm{\α}}\right]}^d(I_{\mathrm{ws}}-I_{\mathrm{w\β}})C_s^T+C_{\mathrm{\β}}{[\stackrel{\·}{\mathrm{\β}}\mathrm{\α}]}^d(I_{\mathrm{w\α}}+I_{\mathrm{w\β}})C_{\mathrm{\α}}^T$

其中， ${\left[\stackrel{\·}{\mathrm{\α}}\right]}^d=\left[\begin{array}{ccc}{\stackrel{\·}{\mathrm{\α}}}_1& 0& 0\\ 0& {\stackrel{\·}{\mathrm{\α}}}_2& 0\\ 0& 0& {\stackrel{\·}{\mathrm{\α}}}_3\end{array}\right],$ ${\left[\stackrel{\·}{\mathrm{\β}}\right]}^d=\left[\begin{array}{ccc}{\stackrel{\·}{\mathrm{\β}}}_1& 0& 0\\ 0& {\stackrel{\·}{\mathrm{\β}}}_2& 0\\ 0& 0& {\stackrel{\·}{\mathrm{\β}}}_3\end{array}\right],$ ${\left[\stackrel{\·}{\mathrm{\β}}\mathrm{\α}\right]}^d=\left[\begin{array}{ccc}{\stackrel{\·}{\mathrm{\β}}}_1{\mathrm{\α}}_1& 0& 0\\ 0& {\stackrel{\·}{\mathrm{\β}}}_2{\mathrm{\α}}_2& 0\\ 0& 0& {\stackrel{\·}{\mathrm{\β}}}_3{\mathrm{\α}}_3\end{array}\right];$

（4）基于步骤（2）和（3）建立航天器总的角动量模型；

h＝Jω+h_w                          (19)

其中，ω＝(ω₁,ω₂,ω₃)为航天器姿态角速度，航天器总的角动量的微分

为：

$\stackrel{\·}{h}=\stackrel{\·}{J}\mathrm{\ω}+J\stackrel{\·}{\mathrm{\ω}}+{\stackrel{\·}{h}}_w---\left(20\right)$

其中，

为航天器姿态角加速度；

（5）基于步骤（2）-（4）建立基于磁悬浮动量轮群的航天器动力学模型；

$\{C_s{\left[\stackrel{\·}{\mathrm{\β}}\right]}^d(I_{\mathrm{ws}}-I_{\mathrm{w\α}})C_{\mathrm{\α}}^T-C_s{\left[\stackrel{\·}{\mathrm{\α}}\right]}^d(I_{\mathrm{ws}}-I_{\mathrm{w\β}})C_{\mathrm{\β}}^T$

$+C_{\mathrm{\α}}{\left[\stackrel{\·}{\mathrm{\β}}\right]}^d(I_{\mathrm{ws}}-I_{\mathrm{w\α}})C_s^T+C_{\mathrm{\α}}{\left[\stackrel{\·}{\mathrm{\β}}\mathrm{\α}\right]}^d(I_{\mathrm{w\α}}+I_{\mathrm{w\β}})C_{\mathrm{\β}}^T$

$-C_{\mathrm{\β}}{\left[\stackrel{\·}{\mathrm{\α}}\right]}^d(I_{\mathrm{ws}}-I_{\mathrm{w\β}})C_s^T+C_{\mathrm{\β}}{\left[\stackrel{\·}{\mathrm{\β}}\mathrm{\α}\right]}^d(I_{\mathrm{w\α}}+I_{\mathrm{w\β}})C_{\mathrm{\α}}^T\}\mathrm{\ω}---\left(21\right)$

$+J\stackrel{\·}{\mathrm{\ω}}+C_s{I}_{\mathrm{ws}}\stackrel{\·}{\mathrm{\Ω}}+C_{\mathrm{\α}}{I}_{\mathrm{ws}}{\left[\mathrm{\Ω}\right]}^d\stackrel{\·}{\mathrm{\β}}{C}_{\mathrm{\β}}{I}_{\mathrm{ws}}{\left[\mathrm{\Ω}\right]}^d\stackrel{\·}{\mathrm{\α}}$

$+{\mathrm{\ω}}^{\×}(\mathrm{J\ω}+C_s{I}_{\mathrm{ws}}\mathrm{\Ω}+C_{\mathrm{\α}}{I}_{\mathrm{w\α}}\stackrel{\·}{\mathrm{\α}}+C_{\mathrm{\β}}{I}_{\mathrm{w\β}}\stackrel{\·}{\mathrm{\β}})={\mathrm{\τ}}_e$

（6）基于步骤（1）建立航天器运动学模型；

$\stackrel{\·}{q}=\frac{1}{2}\left[\begin{array}{cccc}0& {-\mathrm{\ω}}_1& {-\mathrm{\ω}}_2& {-\mathrm{\ω}}_3\\ {\mathrm{\ω}}_1& 0& {\mathrm{\ω}}_3& {-\mathrm{\ω}}_2\\ {\mathrm{\ω}}_2& {-\mathrm{\ω}}_3& 0& {\mathrm{\ω}}_1\\ {\mathrm{\ω}}_3& {\mathrm{\ω}}_2& {-\mathrm{\ω}}_1& 0\end{array}\right]q---\left(22\right)$

（7）基于步骤（5）和（6）设计基于磁悬浮动量轮群的操纵律；

$\stackrel{\·}{\mathrm{\δ}}={\mathrm{WQ}}^T{\left({\mathrm{QWQ}}^T\right)}^{-1}{\mathrm{\τ}}_{\mathrm{req}}---\left(23\right)$

其中W＝diag(w_α1,w_α2,w_α3,w_β1,w_β2,w_β3,w_s1,w_s2,w_s3)；取w_sj＝1，w_αj为第j个磁悬浮动量轮虚拟框架角α_j方向的权重系数，

其中

α_j,max＝1.5°，α_j,min＝-1.5°，α_j∈[-1.5°,1.5°]；w_βj为第j个磁悬浮动量轮虚拟框架角β_j方向的权重系数，

其中

β_j,max＝1.5°，β_j,min＝-1.5°，β_j∈[-1.5°,1.5°]；取w₀=0.0001，w₁=1；

例如，如图6所示安装于b_z轴上的第3个磁悬浮动量轮（MSMW₃）的虚拟框架角α₃接近虚拟框架角的临界值±1.5°时，虚拟框架角测度函数h(α₃)趋近于无穷大，

趋近于零，此时虚拟框架不再偏转，磁悬浮动量轮依靠自转轴方向输出力矩；反过来，当α₃处于虚拟框架角可偏转范围中间时，虚拟框架角测度函数h(α₃)接近零，接近最大范围值1，因此虚拟框架要继续偏转，磁悬浮动量轮主要依靠虚拟框架的偏转输出径向陀螺力矩。

本发明说明书中未作详细描述的内容属于本领域专业技术人员公知的现有技术。

Claims (2)

1.一种磁悬浮动量轮群的操纵方法，其特征在于：在航天器姿态参考坐标系下建立基于磁悬浮动量轮群的航天器姿态动力学和运动学模型，基于此模型设计磁悬浮动量轮群的操纵律，具体包括以下步骤：

①建立航天器固连参考坐标系和磁悬浮动量轮群中每个磁悬浮动量轮的固连坐标系；

建立航天器固连坐标系(b_x,b_y,b_z)，坐标系原点位于航天器的质量中心，航天器装有N个磁悬浮动量轮；建立每一个磁悬浮动量轮固连坐标系(c_sj,c_αj，c_βj)，j＝1,2,...,N，其中c_sj表示第j个磁悬浮动量轮自转轴方向单位向量，c_αj和c_βj表示第j个磁悬浮动量轮径向轴方向单位向量；

②基于步骤①建立磁悬浮动量轮群角动量模型；

$h_w=C_s{I}_{\mathrm{ws}}\mathrm{\Ω}+C_{\mathrm{\α}}{I}_{\mathrm{w\α}}\stackrel{\·}{\mathrm{\α}}+C_{\mathrm{\β}}{I}_{\mathrm{w\β}}\stackrel{\·}{\mathrm{\β}}---\left(1\right)$

其中，矩阵C_s＝[c_s1,c_s2,...,c_sN]，C_α＝[c_α1,c_α2,...,c_αN]，C_β＝[c_β1，c_β2，...,c_βN]；Ω＝(Ω₁,Ω₂,...,Ω_N)，

和为列向量，向量元素Ω_j是第j个磁悬浮动量轮自转轴方向自转角速度，

和

为第j个磁悬浮动量轮径向轴方向虚拟框架角速度；I_ws＝diag(I_ws1，I_ws2，...,I_wsN)为对角矩阵，矩阵元素是第j个磁悬浮动量轮自转轴方向的转动惯量；I_wα＝diag(I_wα1，I_wα2，...,I_wαN)和I_wβ＝diag(I_wβ1，I_wβ2,...,I_wβN)为对角矩阵，矩阵元素为第j个磁悬浮动量轮径向轴方向的转动惯量，考虑到磁悬浮动量轮的对称性设计特点，有I_wα＝I_wβ；进一步可以得到磁悬浮动量轮群角动量的微分

为：

${\stackrel{\·}{h}}_w=C_s{I}_{\mathrm{ws}}\stackrel{\·}{\mathrm{\Ω}}+C_{\mathrm{\α}}{I}_{\mathrm{ws}}{\left[\mathrm{\Ω}\right]}^d\stackrel{\·}{\mathrm{\β}}-C_{\mathrm{\β}}{I}_{\mathrm{ws}}{\left[\mathrm{\Ω}\right]}^d\stackrel{\·}{\mathrm{\α}}---\left(2\right)$

其中，

③基于步骤②建立航天器总的转动惯量模型；

J＝I_B+C_sI_wsC_s ^T+C_αI_wαC_α ^T+C_βI_wβC_β ^T                 (3)

其中，J为航天器总的转动惯量；I_B是航天器本体转动惯量以及磁悬浮动量轮群固连于航天器的转动惯量；C_s ^T，C_α ^T，和C_β ^T为矩阵C_s，C_α，和C_β的转置；进一步地，航天器总的转动惯量J的微分

为：

$\stackrel{\·}{J}=C_s{\left[\stackrel{\·}{\mathrm{\β}}\right]}^d(I_{\mathrm{ws}}-I_{\mathrm{w\α}})C_{\mathrm{\α}}^T-C_s{\left[\stackrel{\·}{\mathrm{\α}}\right]}^d(I_{\mathrm{ws}}-I_{\mathrm{w\β}})C_{\mathrm{\β}}^T$

$+C_{\mathrm{\α}}{\left[\stackrel{\·}{\mathrm{\β}}\right]}^d(I_{\mathrm{ws}}-I_{\mathrm{w\α}})C_s^T+C_{\mathrm{\α}}{\left[\stackrel{\·}{\mathrm{\β}}\mathrm{\α}\right]}^d(I_{\mathrm{w\α}}+I_{\mathrm{w\β}})C_{\mathrm{\β}}^T---\left(4\right)$

$-C_{\mathrm{\β}}{\left[\stackrel{\·}{\mathrm{\α}}\right]}^d(I_{\mathrm{ws}}-I_{\mathrm{w\β}})C_s^T+C_{\mathrm{\β}}{[\stackrel{\·}{\mathrm{\β}}\mathrm{\α}]}^d(I_{\mathrm{w\α}}+I_{\mathrm{w\β}})C_{\mathrm{\α}}^T$

其中，

④基于步骤②和③建立航天器总的角动量模型；

h＝Jω+h_w                         (5)

其中，ω＝(ω₁,ω₂,ω₃)为航天器姿态角速度，ω₁为航天器固连坐标系中b_x轴方向姿态角速度，ω₂为航天器固连坐标系中b_y轴方向姿态角速度，ω₃为航天器固连坐标系中b_z轴方向姿态角速度；进一步地，航天器总的角动量的微分

为：

$\stackrel{\·}{h}=\stackrel{\·}{J}\mathrm{\ω}+J\stackrel{\·}{\mathrm{\ω}}+{\stackrel{\·}{h}}_w---\left(6\right)$

其中，

为航天器姿态角加速度；

⑤基于步骤②-步骤④建立基于磁悬浮动量轮群的航天器动力学模型；

$\{C_s{\left[\stackrel{\·}{\mathrm{\β}}\right]}^d(I_{\mathrm{ws}}-I_{\mathrm{w\α}})C_{\mathrm{\α}}^T-C_s{\left[\stackrel{\·}{\mathrm{\α}}\right]}^d(I_{\mathrm{ws}}-I_{\mathrm{w\β}})C_{\mathrm{\β}}^T$

$+C_{\mathrm{\α}}{\left[\stackrel{\·}{\mathrm{\β}}\right]}^d(I_{\mathrm{ws}}-I_{\mathrm{w\α}})C_s^T+C_{\mathrm{\α}}{\left[\stackrel{\·}{\mathrm{\β}}\mathrm{\α}\right]}^d(I_{\mathrm{w\α}}+I_{\mathrm{w\β}})C_{\mathrm{\β}}^T$

$-C_{\mathrm{\β}}{\left[\stackrel{\·}{\mathrm{\α}}\right]}^d(I_{\mathrm{ws}}-I_{\mathrm{w\β}})C_s^T+C_{\mathrm{\β}}{\left[\stackrel{\·}{\mathrm{\β}}\mathrm{\α}\right]}^d(I_{\mathrm{w\α}}+I_{\mathrm{w\β}})C_{\mathrm{\α}}^T\}\mathrm{\ω}---\left(7\right)$

$+J\stackrel{\·}{\mathrm{\ω}}+C_s{I}_{\mathrm{ws}}\stackrel{\·}{\mathrm{\Ω}}+C_{\mathrm{\α}}{I}_{\mathrm{ws}}{\left[\mathrm{\Ω}\right]}^d\stackrel{\·}{\mathrm{\β}}-C_{\mathrm{\β}}{I}_{\mathrm{ws}}{\left[\mathrm{\Ω}\right]}^d\stackrel{\·}{\mathrm{\α}}$

$+{\mathrm{\ω}}^{\×}(\mathrm{J\ω}+C_s{I}_{\mathrm{ws}}\mathrm{\Ω}+C_{\mathrm{\α}}{I}_{\mathrm{w\α}}\stackrel{\·}{\mathrm{\α}}+C_{\mathrm{\β}}{I}_{\mathrm{w\β}}\stackrel{\·}{\mathrm{\β}})={\mathrm{\τ}}_e$

其中，τ_e为作用在航天器上的外力矩，ω^×为关于ω的斜对称矩阵，为：

${\mathrm{\ω}}^{\×}=\left[\begin{array}{ccc}0& {-\mathrm{\ω}}_3& {\mathrm{\ω}}_2\\ {\mathrm{\ω}}_3& 0& {-\mathrm{\ω}}_1\\ {-\mathrm{\ω}}_2& {\mathrm{\ω}}_1& 0\end{array}\right]$

⑥基于步骤①所建立的航天器固连坐标系，建立航天器运动学模型；

$\stackrel{\·}{q}=\frac{1}{2}\left[\begin{array}{cccc}0& {-\mathrm{\ω}}_1& {-\mathrm{\ω}}_2& {-\mathrm{\ω}}_3\\ {\mathrm{\ω}}_1& 0& {\mathrm{\ω}}_3& {-\mathrm{\ω}}_2\\ {\mathrm{\ω}}_2& {-\mathrm{\ω}}_3& 0& {\mathrm{\ω}}_1\\ {\mathrm{\ω}}_3& {\mathrm{\ω}}_2& {-\mathrm{\ω}}_1& 0\end{array}\right]q---\left(8\right)$

其中，q＝(q₀,q₁,q₂,q₃)^T为航天器姿态四元数，

为姿态四元数的微分；

⑦基于步骤⑤和步骤⑥所建立的基于磁悬浮动量轮群的航天器姿态动力学和运动学模型，设计基于磁悬浮动量轮群的操纵律。

2.根据权利要求1所述的一种磁悬浮动量轮群的操纵方法，其特征在于：所述步骤⑦中的基于磁悬浮动量轮群的操纵律为：

$\stackrel{\·}{\mathrm{\δ}}={\mathrm{WQ}}^T{\left({\mathrm{QWQ}}^T\right)}^{-1}{\mathrm{\τ}}_{\mathrm{req}}---\left(9\right)$

其中，τ_req表示磁悬浮动量轮群所输出的力矩； $\mathrm{\δ}=\left[\begin{array}{c}\mathrm{\α}\\ \mathrm{\β}\\ \mathrm{\Ω}\end{array}\right],$

为δ的微分；

Q＝[A₁ A₂ B]，并且有A₁＝-C_βI_ws[Ω]^d+ω^×(C_αI_wα)，A₂＝C_αI_ws[Ω]^d+ω^×(C_βI_wβ)，和B＝C_sI_ws；W为磁悬浮动量轮群的权重矩阵W＝diag(w_α1,...,w_αN,w_β1,...,w_βN,w_s1,...,w_sN)；

其中，w_sj为第j个磁悬浮动量轮自转轴方向的权重常系数；w_αj为第j个磁悬浮动量轮虚拟框架角α_j方向的权重系数，

其中虚拟框架角测度函数α_j,max为第j个磁悬浮动量轮虚拟框架角α_j的最大可偏转角度值，α_j,min为第j个磁悬浮动量轮虚拟框架角α_j的最小可偏转角度值；w_βj为第j个磁悬浮动量轮虚拟框架角β_j方向的权重系数，

其中虚拟框架角测度函数 $h\left({\mathrm{\β}}_j\right)=\frac{1}{4}\frac{{({\mathrm{\β}}_{j,\max }-{\mathrm{\β}}_{j,\min })}^2}{({\mathrm{\β}}_{j,\max }-{\mathrm{\β}}_j)({\mathrm{\β}}_j-{\mathrm{\β}}_{j,\min })},$ β_j,max为第j个磁悬浮动量轮虚拟框架角β_j的最大可偏转角度值，β_j,min为第j个磁悬浮动量轮虚拟框架角β_j的最小可偏转角度值；w₀和w₁为常系数，根据虚拟框架角可偏转范围进行选取。

Images