CN102570422B - 根据实测轨迹计算电力系统极限切除时间的方法 - Google Patents

Abstract

本发明是一种根据实测轨迹计算电力系统极限切除时间的方法，其特点是：首先推导出电力系统中功角轨迹相对于故障切除时间灵敏度与轨迹之间的关系，基于实测轨迹获取功角轨迹相对于故障切除时间的各阶灵敏度，然后根据计算出的轨迹灵敏度预测出其他故障切除时间下的功角轨迹，最后通过将预测出的各发电机功角轨迹之间做差，判断电力系统的暂态稳定性，从而确定极限切除时间。该方法首先根据实测轨迹获取轨迹灵敏度，并以轨迹灵敏度为工具，估计出电力系统的极限切除时间，避免了现有的极限切除时间计算方法对电力系统仿真模型的依赖。该方法计算简单，为基于轨迹的电力系统动态分析提供重要的理论支持，具有灵敏度高、精度高、应用价值高等优点。

Description

根据实测轨迹计算电力系统极限切除时间的方法

技术领域

本发明涉及一种根据实测轨迹计算电力系统极限切除时间的方法。

背景技术

极限切除时间是电力系统暂态稳定分析与控制中十分重要的一个参数，它表示电力系统遭受某一故障后在不失去稳定的前提下能够承受的最长故障持续时间。根据极限切除时间和当前的故障切除时间可计算出电力系统的稳定裕度，进而可以设计合理的暂态稳定控制措施，提高电力系统运行的安全水平。

现有的极限切除时间求取方法均是依赖于电力系统的模型，其计算结果受系统模型的精度影响较大。而国内外多次电力系统事故后分析和大扰动试验结果均表明现有的电力系统模型存在一定的误差，使得基于现有模型的动态仿真结果与实测轨迹不相吻合。因此，寻找更为精确的电力系统极限切除时间方法已成为研究的重点。

广域量测系统WAMS的不断发展为基于轨迹的电力系统动态分析提供了重要数据支持，WAMS能够实时记录电力系统受扰后的动态过程，且精度较高。在现有技术中，研究人员利用广域量测系统，提出了基于轨迹与轨迹灵敏度之间的关系计算轨迹灵敏度的方法，但是，这种轨迹灵敏度的计算方法只给出基于轨迹计算一阶轨迹灵敏度，而无法计算更高阶次的轨迹灵敏度。迄今未见根据轨迹计算高阶轨迹灵敏度的方法，特别是未见根据轨迹直接预测其他故障切除时间下的动态变量轨迹，从而确定故障极限切除时间方法的报道和实际应用。

发明内容

本发明所要解决的技术问题是，克服现有技术存在的不足，提出一种计算精度高，根据实测轨迹计算电力系统极限切除时间的方法，该方法可以避免极限切除时间及轨迹灵敏度计算对电力系统模型的依赖，从而提高了计算精度。

解决其技术问题采用的技术方案是：一种根据实测轨迹计算电力系统极限切除时间的方法，其特征是：它包含有以下步骤：

1）.基于实测轨迹计算故障切除时间灵敏度

对于单机或多机系统，在t₀时刻发生三相短路，t₁时刻故障被切除，则整个过程中系统经历了短路前、短路中和短路切除后3个阶段；

设在短路发生前发电机内电势点与无穷大点之间的阻抗为x_Ι，在短路期间变成了x_ΙΙ，短路切除后又变为x_Ι，则故障前后发电机内电势点至无穷大节点出的阻抗变化值Δx可表示为：

Δx=Δx_Ι[ε(t-t₀)-ε(t-t₁)]  （1）

其中：

Δx_Ι=x_Ι-x_ΙΙ  （2）

将单机系统的动态响应看成是由发电机内电势点至无穷大节点之间的电抗变化这一激励引发，利用线性系统的理论获得轨迹相对于故障切除时间灵敏度和轨迹之间的关系；

设发电机为2阶模型，不考虑励磁系统模型和调速系统模型，其数学模型为：

$\stackrel{\·}{\mathrm{\δ}}=\mathrm{\Δ\ω}\·{\mathrm{\ω}}_0$   （3）

$T_j\stackrel{\·}{\mathrm{\ω}}=M_m-M_e-D\·\mathrm{\Δ\ω}$

其中M_m、M_e分别为发电机的机械功率和电磁功率，T_j和D分别为发电机惯性时间常数和阻尼系数。其中电磁功率可表达为：

$M_e=\frac{E_q^{\′}U}{x_{\mathrm{d\Σ}}^{\′}}\sin \mathrm{\δ}+\frac{U^2}{2}(\frac{1}{x_{\mathrm{q\Σ}}}-\frac{1}{x_{\mathrm{d\Σ}}^{\′}})\sin 2\mathrm{\δ}$

对其进行线性化并转换到复频域，则模型为：

$\mathrm{\Δ\ω}\left(s\right)=\frac{{\mathrm{\ΔM}}_m\left(s\right)-{\mathrm{\ΔM}}_e\left(s\right)}{T_{j}s+D}---\left(5\right)$

$\mathrm{\Δ\δ}\left(s\right)=\frac{{\mathrm{\ω}}_0}{s}\·\mathrm{\Δ\ω}\left(s\right)---\left(6\right)$

ΔM_e(s)=k₁Δδ(s)+k_xΔx(s)  （7）

其中k₁、k_x均为常系数；

由于不考虑调速器模型，发电机的机械功率不变，即ΔM_m=0，

整理式（5）～（7）得：

F₁(s)·Δδ(s)=k_x·Δx(s)  （8）

其中：

$\mathrm{\Δx}\left(s\right)={\mathrm{\Δx}}_I\·\frac{e^{{-t}_{0}s}-e^{{-t}_{1}s}}{s}---\left(9\right)$

两边同时对故障切除时间t₁求导，可得：

$F_1\left(s\right)\·\mathrm{\Δ}{{\mathrm{\δ}}_t}_1\left(s\right)=k_x\·{\mathrm{\Δx}}_I\·\frac{e^{{-t}_{1}s}}{s}---\left(10\right)$

联合式（8）～（10），可得：

${\mathrm{\Δ\δ}}_{t_1}\left(s\right)=\frac{e^{{-t}_{1}s}/s}{(e^{{-t}_{0}s}-e^{{-t}_{1}s})/s}\·\mathrm{\Δ\δ}\left(s\right)\·s---\left(11\right)$

进行拉普拉斯反变换，即：

${\mathrm{\Δ\δ}}_{t_1}\left(t\right)*[\mathrm{\ϵ}(t_0-t_0)-\mathrm{\ϵ}(t-t_1)]={\mathrm{\ω}}_0\·\mathrm{\Δ\ω}\left(t\right)*\mathrm{\ϵ}(t-t_1)---\left(12\right)$

式（12）两端同时对t₁再次进行求导，可得：

$\mathrm{\Δ}{\mathrm{\δ}}_{t_1^2}\left(t\right)*[\mathrm{\ϵ}(t-t_1)-\mathrm{\ϵ}(t-t_2)]=-{\mathrm{\Δ\δ}}^{\′\′}\left(t\right)*\mathrm{\ϵ}(t-t_2)---\left(13\right)$

$\begin{array}{c}\mathrm{\Δ}{\mathrm{\δ}}_{t_1^3}\left(t\right)*[\mathrm{\ϵ}(t-t_1)-\mathrm{\ϵ}(t-t_2)]+\mathrm{\Δ}{\mathrm{\δ}}_{t_1^2}^{\′}\left(t\right)*\mathrm{\ϵ}(t-t_2)\\ =\mathrm{\Δ}{\mathrm{\δ}}^{\′\′\′}\left(t\right)*\mathrm{\ϵ}(t-t_2)+\mathrm{\Δ}{\mathrm{\δ}}_{t_1}^{\′\′}\left(t\right)*\mathrm{\ϵ}(t-t_2)\end{array}---\left(14\right)$

其中

分别表示功角轨迹相对于t₁的2阶、3阶灵敏度，是待求量；Δδ′′(t)、Δδ′′′(t)分别表示功角轨迹的2阶、3阶导数，根据实际功角轨迹计算出来；

分别表示功角轨迹的一阶导数相对于t₁的2阶灵敏度和功角轨迹的2阶导数相对于t₁的1阶灵敏度；

式（12）～（14）表明直接根据功角轨迹和阶跃函数轨迹即可计算出功角轨迹相对于故障切除时间t₁的1、2、3阶灵敏度，同理也可进一步求得功角轨迹相对于t_cl的其他更高阶灵敏度；

对于多机系统，可采用以上方法获得各发电机功角轨迹相对于故障切除时间的灵敏度。

2）.其他故障切除时间下受扰轨迹的计算

设电力系统当前的故障切除时间为t_cl，在已知该故障切除时间下的功角轨迹δ(t,t_cl)后，可预测其他故障切除时间下的功角轨迹：

$\mathrm{\δ}(t,t_{\mathrm{cl}}+\mathrm{\Δt})=\mathrm{\δ}(t,t_{\mathrm{cl}})+{{\mathrm{\δ}}_t}_{\mathrm{cl}}\left(t\right)\·\mathrm{\Δt}+\frac{1}{2}{\mathrm{\δ}}_{t_{\mathrm{cl}}^2}\left(t\right)\·{\mathrm{\Δt}}^2+\frac{1}{3}{\mathrm{\δ}}_{t_{\mathrm{cl}}^3}\left(t\right)\·{\mathrm{\Δt}}^3+\·\·\·---\left(15\right)$

对于多机系统，设有N台发电机，也可根据以上的分析方法求得任意故障切除时间下每台发电机的功角轨迹；

3）.对于电力系统暂态稳定性的判断

当多机系统中任意两台发电机功角之差的最大值大于180°或2π(rad)时，表明此电力系统失去功角稳定，则暂态稳定性的判别方法为

max|δ_ij(t)|<2π  （16）

4）.对于实测轨迹的极限切除时间计算

（a）获取当前的故障切除时间t_cl，以及当前故障切除时间下的受扰轨迹δ(t,t_cl)，根据式（12）～（14）计算出功角轨迹相对于故障切除时间t_cl的各阶灵敏度；

（b）设某一待求的故障切除时间t₀，根据式（15）计算出t₀下电力系统中各台发电机的功角轨迹δ_i(t₀,t_cl+Δt)；

(c)计算各台发电机功角轨迹之差Δδ_ij(t₀,t_cl+Δt)，并判断max|Δδ_ij(t₀,t_cl+Δt)|<2π(rad)，若成立，则增大t₀，返回（b），直至max|Δδ_ij(t₀,t_cl+Δt)|=2π，则此时的t₀为极限切除时间；

（d）若max|Δδ_ij(t₀,t_cl+Δt)|>2π，减小t0，返回（b），直至max|Δδ_ij(t₀,t_cl+Δt)|=2π，则此时的t₀为极限切除时间。

本发明的根据实测轨迹计算电力系统极限切除时间的方法与传统的基于模型的极限切除时间计算方法不同，本发明仅利用了电力系统受扰后的实测轨迹和当前的故障切除时间即可计算出极限切除时间，准确判断其暂态稳定性，从而避免了极限切除时间的计算对系统模型的依赖，具有灵敏度高、精度高、应用价值高等优点。

附图说明

图为单机无穷大系统接线示意图。

具体实施方式

下面对本发明作进一步说明。

本发明根据实测轨迹计算电力系统极限切除时间的方法，包含有以下步骤：

1.基于实测轨迹计算故障切除时间灵敏度

对于单机或多机系统，在t₀时刻发生三相短路，t₁时刻故障被切除，则整个过程中系统经历了短路前、短路中和短路切除后3个阶段；

设在短路发生前发电机内电势点与无穷大点之间的阻抗为x_Ι，在短路期间变成了x_ΙΙ，短路切除后又变为x_Ι，则故障前后发电机内电势点至无穷大节点出的阻抗变化值Δx可表示为：

Δx=Δx_Ι[ε(t-t₀)-ε(t-t₁)]  （1）

其中：

Δx_Ι=x_Ι-x_ΙΙ  （2）

将单机系统的动态响应看成是由发电机内电势点至无穷大节点之间的电抗变化这一激励引发，利用线性系统的理论获得轨迹相对于故障切除时间灵敏度和轨迹之间的关系；

设发电机为2阶模型，不考虑励磁系统模型和调速系统模型，其数学模型为：

$\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&delta;}}=\mathrm{\&Delta;\&omega;}\&CenterDot;{\mathrm{\&omega;}}_0$   （3）

$T_j\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&omega;}}=M_m-M_e-D\&CenterDot;\mathrm{\&Delta;\&omega;}$

其中M_m、M_e分别为发电机的机械功率和电磁功率，T_j和D分别为发电机惯性时间常数和阻尼系数。其中电磁功率可表达为：

$M_e=\frac{E_q^{\&prime;}U}{x_{\mathrm{d\&Sigma;}}^{\&prime;}}\sin \mathrm{\&delta;}+\frac{U^2}{2}(\frac{1}{x_{\mathrm{q\&Sigma;}}}-\frac{1}{x_{\mathrm{d\&Sigma;}}^{\&prime;}})\sin 2\mathrm{\&delta;}---\left(4\right)$

对其进行线性化并转换到复频域，则模型为：

$\mathrm{\&Delta;\&omega;}\left(s\right)=\frac{{\mathrm{\&Delta;M}}_m\left(s\right)-{\mathrm{\&Delta;M}}_e\left(s\right)}{T_{j}s+D}---\left(5\right)$

$\mathrm{\&Delta;\&delta;}\left(s\right)=\frac{{\mathrm{\&omega;}}_0}{s}\&CenterDot;\mathrm{\&Delta;\&omega;}\left(s\right)---\left(6\right)$

ΔM_e(s)=k₁Δδ(s)+k_xΔx(s)  （7）

其中k₁、k_x均为常系数；

由于不考虑调速器模型，发电机的机械功率不变，即ΔM_m=0，

整理式（5）～（7）得：

F₁(s)·Δδ(s)=k_x·Δx(s)  （8）

其中：

$\mathrm{\&Delta;x}\left(s\right)={\mathrm{\&Delta;x}}_I\&CenterDot;\frac{e^{{-t}_{0}s}-e^{{-t}_{1}s}}{s}---\left(9\right)$

两边同时对故障切除时间t₁求导，可得：

$F_1\left(s\right)\&CenterDot;\mathrm{\&Delta;}{{\mathrm{\&delta;}}_t}_1\left(s\right)=k_x\&CenterDot;{\mathrm{\&Delta;x}}_I\&CenterDot;\frac{e^{{-t}_{1}s}}{s}---\left(10\right)$

联合式（8）～（10），可得：

${\mathrm{\&Delta;\&delta;}}_{t_1}\left(s\right)=\frac{e^{{-t}_{1}s}/s}{(e^{{-t}_{0}s}-e^{{-t}_{1}s})/s}\&CenterDot;\mathrm{\&Delta;\&delta;}\left(s\right)\&CenterDot;s---\left(11\right)$

进行拉普拉斯反变换，即：

${\mathrm{\&Delta;\&delta;}}_{t_1}\left(t\right)*[\mathrm{\&epsiv;}(t_0-t_0)-\mathrm{\&epsiv;}(t-t_1)]={\mathrm{\&omega;}}_0\&CenterDot;\mathrm{\&Delta;\&omega;}\left(t\right)*\mathrm{\&epsiv;}(t-t_1)---\left(12\right)$

式（12）两端同时对t₁再次进行求导，可得：

$\mathrm{\&Delta;}{\mathrm{\&delta;}}_{t_1^2}\left(t\right)*[\mathrm{\&epsiv;}(t-t_1)-\mathrm{\&epsiv;}(t-t_2)]=-{\mathrm{\&Delta;\&delta;}}^{\&prime;\&prime;}\left(t\right)*\mathrm{\&epsiv;}(t-t_2)---\left(13\right)$

$\begin{array}{c}\mathrm{\&Delta;}{\mathrm{\&delta;}}_{t_1^3}\left(t\right)*[\mathrm{\&epsiv;}(t-t_1)-\mathrm{\&epsiv;}(t-t_2)]+\mathrm{\&Delta;}{\mathrm{\&delta;}}_{t_1^2}^{\&prime;}\left(t\right)*\mathrm{\&epsiv;}(t-t_2)\\ =\mathrm{\&Delta;}{\mathrm{\&delta;}}^{\&prime;\&prime;\&prime;}\left(t\right)*\mathrm{\&epsiv;}(t-t_2)+\mathrm{\&Delta;}{\mathrm{\&delta;}}_{t_1}^{\&prime;\&prime;}\left(t\right)*\mathrm{\&epsiv;}(t-t_2)\end{array}---\left(14\right)$

其中

分别表示功角轨迹相对于t₁的2阶、3阶灵敏度，是待求量；Δδ′′(t)、Δδ′′′(t)分别表示功角轨迹的2阶、3阶导数，根据实际功角轨迹计算出来；

分别表示功角轨迹的一阶导数相对于t₁的2阶灵敏度和功角轨迹的2阶导数相对于t₁的1阶灵敏度；

式（12）～（14）表明直接根据功角轨迹和阶跃函数轨迹即可计算出功角轨迹相对于故障切除时间t1的1、2、3阶灵敏度，从而避免基于模型微分进行轨迹灵敏度计算，同理也可进一步求得功角轨迹相对于t_cl的其他更高阶灵敏度；

对于多机系统，可采用以上方法获得各发电机功角轨迹相对于故障切除时间的灵敏度。

2.其他故障切除时间下受扰轨迹的计算

设电力系统当前的故障切除时间为t_cl，在已知该故障切除时间下的功角轨迹δ(t,t_cl)后，可预测其他故障切除时间下的功角轨迹：

$\mathrm{\&delta;}(t,t_{\mathrm{cl}}+\mathrm{\&Delta;t})=\mathrm{\&delta;}(t,t_{\mathrm{cl}})+{{\mathrm{\&delta;}}_t}_{\mathrm{cl}}\left(t\right)\&CenterDot;\mathrm{\&Delta;t}+\frac{1}{2}{\mathrm{\&delta;}}_{t_{\mathrm{cl}}^2}\left(t\right)\&CenterDot;{\mathrm{\&Delta;t}}^2+\frac{1}{3}{\mathrm{\&delta;}}_{t_{\mathrm{cl}}^3}\left(t\right)\&CenterDot;{\mathrm{\&Delta;t}}^3+\&CenterDot;\&CenterDot;\&CenterDot;---\left(15\right)$

对于多机系统，设有N台发电机，也可根据以上的分析方法求得任意故障切除时间下每台发电机的功角轨迹；

3.对于电力系统暂态稳定性的判断

当多机系统中任意两台发电机功角之差的最大值大于180°或2π(rad)时，表明此电力系统失去功角稳定，则暂态稳定性的判别方法为

max|δ_ij(t)|<2π  （16）

4.对于实测轨迹的极限切除时间计算

（a）获取当前的故障切除时间t_cl，以及当前故障切除时间下的受扰轨迹δ(t,t_cl)，根据式（12）～（14）计算出功角轨迹相对于故障切除时间t_cl的各阶灵敏度；

（b）设某一待求的故障切除时间t₀，根据式（15）计算出t₀下电力系统中各台发电机的功角轨迹δ_i(t₀,t_cl+Δt)；

(c)计算各台发电机功角轨迹之差Δδ_ij(t₀,t_cl+Δt)，并判断max|Δδ_ij(t₀,t_cl+Δt)|<2π(rad)，若成立，则增大t0，返回（b），直至max|Δδ_ij(t₀,t_cl+Δt)|=2π，则此时的t₀为极限切除时间；

（d）若max|Δδ_ij(t₀,t_cl+Δt)|>2π，减小t₀，返回（b），直至max|Δδ_ij(t₀,t_cl+Δt)|=2π，则此时的t₀为极限切除时间。

具体应用实例：参见图1所示的单机无穷大系统，在Bus02母线上发生100ms三相短路故障，使用电力系统分析综合程序（PSASP）对该故障进行仿真，发电机采用2阶模型，以仿真得到的发电机G1的功角和角速度轨迹作为实测轨迹，采用卷积方法得到功角轨迹相对于故障切除时间的各阶灵敏度，并根据式（12）～（14）计算出其他故障切除时间下发电机G1的功角轨迹，最后进行比较得到的极限故障切除时间为0.342s,而根据仿真分析计算得到的极限切除时间为0.35s，可见二者是比较吻合的。

Claims (1)

1.一种根据实测轨迹计算电力系统极限切除时间的方法，其特征是：它包含有以下步骤：

1）.基于实测轨迹计算故障切除时间灵敏度

对于单机或多机系统，在t₀时刻发生三相短路，t₁时刻故障被切除，则整个过程中系统经历了短路前、短路中和短路切除后3个阶段；

设在短路发生前发电机内电势点与无穷大点之间的阻抗为x_Ι，在短路期间变成了x_ΙΙ，短路切除后又变为x_Ι，则故障前后发电机内电势点至无穷大节点出的阻抗变化值Δx可表示为：

Δx=Δx_Ι[ε(t-t₀)-ε(t-t₁)]              （1）

其中：

Δx_Ι=x_Ι-x_ΙΙ                            （2）

将单机系统的动态响应看成是由发电机内电势点至无穷大节点之间的电抗变化这一激励引发，利用线性系统的理论获得轨迹相对于故障切除时间灵敏度和轨迹之间的关系；

设发电机为2阶模型，不考虑励磁系统模型和调速系统模型，其数学模型为：

$\begin{array}{c}\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&delta;}}=\mathrm{\&Delta;\&omega;}\&CenterDot;{\mathrm{\&omega;}}_0\\ T_j\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&omega;}}=M_m-M_e-D\&CenterDot;\mathrm{\&Delta;\&omega;}\end{array}---\left(3\right)$

其中M_m、M_e分别为发电机的机械功率和电磁功率，T_j和D分别为发电机惯性时间常数和阻尼系数，其中电磁功率可表达为：

$M_e=\frac{E_q^{\&prime;}U}{x_{\mathrm{d\&Sigma;}}^{\&prime;}}\sin \mathrm{\&delta;}+\frac{U^2}{2}(\frac{1}{x_{\mathrm{q\&Sigma;}}}-\frac{1}{x_{\mathrm{d\&Sigma;}}^{\&prime;}})\sin 2\mathrm{\&delta;}---\left(4\right)$

对其进行线性化并转换到复频域，则模型为：

$\mathrm{\&Delta;\&omega;}\left(s\right)=\frac{{\mathrm{\&Delta;M}}_m\left(s\right)-\mathrm{\&Delta;}{M}_e\left(s\right)}{T_{j}s+D}---\left(5\right)$

$\mathrm{\&Delta;\&delta;}\left(s\right)=\frac{{\mathrm{\&omega;}}_0}{s}\&CenterDot;\mathrm{\&Delta;\&omega;}\left(s\right)---\left(6\right)$

ΔM_e(s)=k₁Δδ(s)+k_xΔx(s)              （7）

其中k₁、k_x均为常系数；

由于不考虑调速器模型，发电机的机械功率不变，即ΔM_m=0，

整理式（5）～（7）得：

F₁(s)·Δδ(s)=k_x·Δx(s)               （8）

其中：

$\mathrm{\&Delta;x}\left(s\right)={\mathrm{\&Delta;x}}_I\&CenterDot;\frac{e^{{-t}_{0}s}-e^{{-t}_{1}s}}{s}---\left(9\right)$

两边同时对故障切除时间t₁求导，可得：

$F_1\left(s\right)\&CenterDot;{\mathrm{\&Delta;\&delta;}}_{t_1}\left(s\right)=k_x\&CenterDot;{\mathrm{\&Delta;x}}_I\&CenterDot;\frac{e^{{-t}_{1}s}}{s}---\left(10\right)$

联合式（8）～（10），可得：

${\mathrm{\&Delta;\&delta;}}_{t_1}\left(s\right)=\frac{e^{{-t}_{1}s}/s}{(e^{{-t}_{0}s}-e^{{-t}_{1}s})/s}\&CenterDot;\mathrm{\&Delta;\&delta;}\left(s\right)\&CenterDot;s---\left(11\right)$

进行拉普拉斯反变换，即：

${\mathrm{\&Delta;\&delta;}}_{t_1}\left(t\right)*[\mathrm{\&epsiv;}(t-t_0)-\mathrm{\&epsiv;}(t-t_1)]={\mathrm{\&omega;}}_0\&CenterDot;\mathrm{\&Delta;\&omega;}\left(t\right)*\mathrm{\&epsiv;}(t-t_1)---\left(12\right)$

式（12）两端同时对t₁再次进行求导，可得：

${\mathrm{\&Delta;\&delta;}}_{t_1^2}\left(t\right)*[\mathrm{\&epsiv;}(t-t_0)-\mathrm{\&epsiv;}(t-t_1)]=-\mathrm{\&Delta;}{\mathrm{\&delta;}}^{\&prime;\&prime;}\left(t\right)*\mathrm{\&epsiv;}(t-t_1)---\left(13\right)$

$\begin{array}{c}{\mathrm{\&Delta;\&delta;}}_{t_1^3}\left(t\right)*[\mathrm{\&epsiv;}(t-t_0)-\mathrm{\&epsiv;}(t-t_1)]+{\mathrm{\&Delta;\&delta;}}_{t_1^2}^{\&prime;}\left(t\right)*\mathrm{\&epsiv;}(t-t_1)\\ =\mathrm{\&Delta;\&delta;}\&prime;\&prime;\&prime;\left(t\right)*\mathrm{\&epsiv;}(t-t_1)+{\mathrm{\&Delta;\&delta;}}_{t_1}^{\&prime;\&prime;}\left(t\right)*\mathrm{\&epsiv;}(t-t_1)\end{array}---\left(14\right)$

其中

分别表示功角轨迹相对于t₁的2阶、3阶灵敏度，是待求量；Δδ′′(t)、Δδ′′′(t)分别表示功角轨迹的2阶、3阶导数，根据实际功角轨迹计算出来；

分别表示功角轨迹的一阶导数相对于t₁的2阶灵敏度和功角轨迹的2阶导数相对于t₁的1阶灵敏度；

式（12）～（14）表明直接根据功角轨迹和阶跃函数轨迹即可计算出功角轨迹相对于故障切除时间t₁的1、2、3阶灵敏度，同理也可进一步求得功角轨迹相对于t_cl的其他更高阶灵敏度；

对于多机系统，可采用以上方法获得各发电机功角轨迹相对于故障切除时间的灵敏度；

2）.其他故障切除时间下受扰轨迹的计算

设电力系统当前的故障切除时间为t_cl，在已知该故障切除时间下的功角轨迹δ(t,t_cl)后，可预测其他故障切除时间下的功角轨迹：

$\mathrm{\&delta;}(t,t_{\mathrm{cl}}+\mathrm{\&Delta;t})=\mathrm{\&delta;}(t,t_{\mathrm{cl}})+{\mathrm{\&delta;}}_{t_{\mathrm{cl}}}\left(t\right)\&CenterDot;\mathrm{\&Delta;t}+\frac{1}{2}{\mathrm{\&delta;}}_{t_{\mathrm{cl}}^2}\left(t\right)\&CenterDot;{\mathrm{\&Delta;t}}^2+\frac{1}{3}{\mathrm{\&delta;}}_{t_{\mathrm{cl}}^3}\left(t\right)\&CenterDot;{\mathrm{\&Delta;t}}^3+\&CenterDot;\&CenterDot;\&CenterDot;---\left(15\right)$

对于多机系统，设有N台发电机，也可根据以上的分析方法求得任意故障切除时间下每台发电机的功角轨迹；

3）.对于电力系统暂态稳定性的判断

当多机系统中任意两台发电机功角之差的最大值大于180°或2π(rad)时，表明此电力系统失去功角稳定，则暂态稳定性的判别方法为

max|δ_ij(t)|<2π            （16）

4）.对于实测轨迹的极限切除时间计算（a）

获取当前的故障切除时间t_cl，以及当前故障切除时间下的受扰轨迹δ(t,t_cl)，根据式（12）～（14）计算出功角轨迹相对于故障切除时间t_cl的各阶灵敏度；

（b）设某一待求的故障切除时间t₀，根据式（15）计算出t₀下电力系统中各台发电机的功角轨迹δ_i(t₀,t_cl+Δt)；

(c)计算各台发电机功角轨迹之差Δδ_ij(t₀,t_cl+Δt)，并判断max|Δδ_ij(t₀,t_cl+Δt)|<2π(rad)，若成立，则增大t₀，返回（b），直至max|Δδ_ij(t₀,t_cl+Δt)|=2π，则此时的t₀为极限切除时间；

（d）若max|Δδ_ij(t₀,t_cl+Δt)|>2π，减小t₀，返回（b），直至max|Δδ_ij(t₀,t_cl+Δt)|=2π，则此时的t₀为极限切除时间。

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